Момент инерции куба – 15 момент инерции параллелепипеда

Задача по физике — 9977

2018-11-09   
На абсолютно гладкой горизонтальной плоскости лежит куб, опираясь на плоскость одним из ребер. Угол между гранью куба и горизонтальной плоскостью составляет $45^{ \circ}$. Такое положение куба явно неустойчиво, и от самого слабого толчка куб переворачивается. Найти угловую скорость куба в момент» когда его боковая грань ударяется о горизонтальную плоскость. Ребро куба равно $a$, масса — $m$.

Решение:

На куб действуют следующие внешние силы: сила тяжести и сила реакции опоры, обе направленные по вертикали. В горизонтальном направлении па куб не действуют никакие силы, а значит, горизонтальная составляющая импульса центра куба должна быть постоянной во времени. Поскольку эта составляющая в начальный момент была равна нулю, она остается равной нулю все время. Это означает, что центр куба будет перемещаться только в вертикальном направлении. Искомую угловую скорость $\omega$ определим из условия

$\frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2} I \omega (конечная, кинетическая \quad энергия \quad (начальная\quad была\quad равна \quadнулю)) = mg \frac{a}{2} ( \sqrt{2} — 1) (разность \quad начальной \quad и конечной \quad потенциальной \quad энергии) $, (1)

где $v$ — скорость центра масс куба, $I$ — момент инерции куба относительно оси, проходящей через центры противоположных граней, $\omega$ — угловая скорость к>ба относительно той же оси в конечный момент.

Чтобы определить угловую скорость $\omega$, следует сначала установить зависимость между $v$ и $\omega$ в конечный момент и найти соответствующее выражение для $I$.

Линейная скорость ребра, скользящего по горизонтальной поверхности, в системе отсчета, которая движется вертикально вместе с центром куба, равна произведению $\omega$ на половину диагонали квадрата, являющегося боковой гранью куба:

$v_{1} = \omega \frac{1}{2} a \sqrt{2}$.

В конечный момент скорость $v_{1}$ направлена под углом $45^{ \circ}$ к горизонтали. Вертикальная составляющая $v^{ \prime}$ скорости $v$ равна при этом

$v^{ \prime} = \frac{1}{2} \sqrt{2} v_{1} = \frac{1}{2} \omega a$.

Очевидно, такое же значение имеет скорость $v$:

$v = \frac{1}{2} \omega a$.

Определим теперь момент инерции $I$. Ясно, что момент инерции куба относительно оси, проходящей через центры противоположных граней, равен по величине моменту инерции тонкой квадратной пластины (масса которой равна массе куба и сторона равна ребру куба) относительно оси, перпендикулярной к плоскости пластины и проходящей через ее середину.

Мысленно поделим пластину на очень малые элементы массой $m_{i}$. Согласно рис., имеем

$I = \sum_{i} m_{i}r_{i}^{2} = \sum_{i} m_{i} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2} ) = \sum_{i} m_{i}x_{i}^{2} + \sum_{i} m_{i}y_{i}^{2}$.

Из соображений симметрии

$\sum_{i} m_{i}x_{i}^{2} = \sum_{i} m_{i}y_{i}^{2}$. Значит, $I = 2 \sum_{i} m_{i}x_{i}^{2}$.

Отметим, что $\sum_{i} m_{i}x_{i}^{2}$ означает момент инерции пластины относительно оси, совпадающей с осью у. Этот момент, очевидно, равен моменту инерции стержня (масса которого равна массе пластины, а длина равна ее стороне) относительно оси, проходящей через центр стержня и перпендикулярной к нему. Момент инерции стержня равен $ma^{2}/12$, поэтому

$I = 2 \frac{1}{12} ma^{2} = \frac{1}{6} ma^{2}$,

Это равенство можно получить также на основании теоремы Штейнера и анализа размерностей. Момент инерции тела равен

$I = \sum_{i} m_{i}r_{i}^{2}$.

Если массу каждого элемента увеличим в $k$ раз, то момент увеличится в $k$ раз. Следовательно, можно записать $I \sim m$.

Аналогично если размер каждого элемента $r_{i}$ увеличить в $l$ раз, то момент инерции $I$ возрастет в $l^{2}$ раз, а все линейные размеры пластины увеличатся пропорционально $l$. Значит, $I \sim a^{2}$.

Обобщая эти две зависимости, получим

$I \sim \alpha ma^{2}$. (2)

Величина $ma^{2}$ имеет размерность момента инерции, поэтому коэффициент пропорциональности $\alpha$ должен быть безразмерным, ибо единственными параметрами, характеризующими механические свойства пластины, являются $m$ и $a$.

Поделим теперь пластину на четыре части, как показано на рис. Момент инерции каждой из четырех частей относительно оси, проходящей через точку О и перпендикулярной к плоскости рисунка, обозначим через $I_{1}$. Тогда

$I = 4I_{1}$, но по теореме Штейнера $I_{1} = I^{ \prime} + \frac{m}{4} d^{2}$,

где $I^{ \prime}$ — момент инерции каждой из четырех частей относительно собственного центра. Согласно уравнению (2),

$I^{ \prime} = \alpha \frac{m}{4} \left ( \frac{a}{2} \right )^{2}$,

откуда

$\alpha ma^{2} = 4 \left [ \alpha \frac{m}{4} \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} + \frac{m}{4} \left ( \frac{ \sqrt{2} }{4} \right )^{2} a^{2} \right ]$.

Тогда $\alpha = 1/6$, а2

$I = \frac{1}{6} ma^{2}$.

Подставляя в уравнение (1) зависимость $v$ от $\omega$, а также полученное выражение для $I$, найдем

$\omega = \sqrt{ \frac{12g}{5a} ( \sqrt{2} — 1 )}$.

earthz.ru

Список моментов инерции Википедия

Приведены формулы моме́нтов ине́рции для ряда массивных твёрдых тел различной формы. Момент инерции массы имеет размерность масса × длину2. Он является аналогом массы при описании вращательного движения. Не следует путать его с моментом инерции плоских сечений[уточнить], который используется при расчетах изгибов.

Моменты инерции в таблице рассчитаны для постоянной плотности по всему объекту. Также предполагается, что ось вращения проходит через центр масс, если не указано иное.

ОписаниеИзображениеМоменты инерцииКомментарии
Тонкая цилиндрическая оболочка с открытыми концами радиуса r и массы mI=mr2{\displaystyle I=mr^{2}}  [1]Предполагается, что толщина корпуса пренебрежимо мала. Этот объект является частным случаем нижеследующего при r1=r2.

Кроме того, точка массы m на конце стержня длиной r имеет тот же момент инерции, а r называется радиусом инерции.

Толстостенная цилиндрическая труба с открытыми концами, внутреннего радиуса r1, внешнего радиуса r2, длиной h и массой mIz=12m(r12+r22){\displaystyle I_{z}={\frac {1}{2}}m\left({r_{1}}^{2}+{r_{2}}^{2}\right)}

ru-wiki.ru

ФИЗИКА3 БОЛЬШЕ ГОТОВОГО1 / 1-st / Механика / 9 / №9 / 9 отчёт

Министерство
образования РФ

Кафедра
общей и технической физики

СПГГИ (ТУ) им.
Г.В. Плеханова

Отчет по
лабораторной работе №9

Определение
моментов инерции параллелепипеда
методом крутильных колебаний

Выполнил: студент
гр. ГГ-01 Нагорная Е. В.

Проверил: доцент
Смирнова Н.Н.

Санкт-Петербург

2002г.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

определить
моменты инерции прямоугольного
параллелепипеда относительно трех
взаимно перпендикулярных осей, проходящих
через центр масс, с помощью крутильных
колебаний.

Теоретическое
обоснование:

Моментом
инерции

тела называется величина равная сумме
произведений элементарных масс на
квадрат их расстояния от некоторой оси.

Момент инерции
тела зависит от распределения массы
тела относительно оси вращения. Для
вычисления момента инерции твердого
тела относительно данной оси разобьем
мысленно тело на большое число весьма
малых элементов — материальных точек
(рис.1). Тогда момент инерции тела

Рис.1

или

,

где
mi
— масса элемента; ri
— расстояние от элемента до оси вращения;

— плотность вещества в элементе объема
dV,
находящегося
на расстоянии r
от оси вращения.

Так как у тела
может быть сколько угодно осей вращения,
то и моментов инерции может быть
бесконечное множество. Наибольший
интерес для практики представляют
моменты инерции тела относительно трех
взаимно перпендикулярных осей Оx
, Оy
, Оz,
проходящих через центр масс. Моменты
инерции тела относительно этих осей
называются главными моментами инерции:

Если тело имеет
форму куба, то

.

Если тело, висящее
на нерастяжимой нити (так, что направление
нити проходит через центр тяжести тела),
повернуть в горизонтальной плоскости
на некоторый угол ,
то в результате деформации нити возникнет
упругая сила. Эта сила создаст крутящий
момент (момент силы) М
, возвращающий
систему в исходное состояние. В результате
возникнут крутильные колебания.

Из механики нам
известно, что при небольших отклонениях
от равновесия момент М пропорционален
углу .
Введя коэффициент пропорциональности
D
— модуль кручения, зависящий от упругих
свойств нити, получим

М = -D.

Если пренебречь
силами сопротивления, то основной закон
динамики вращательного движения можно
записать в виде

М = -D = J
.                               
(1)

Учитывая, что

уравнение (1) можно
привести к виду

.
                                
(2)

Решением уравнения
(2) являются функции синуса или косинуса

(здесь
— амплитудное значение угла отклонения;
— круговая частота;
— начальная фаза), дифференцируя которые
два раза по времени, получим

.
                                  
(3)

Уравнение (3)
тождественно уравнению (2), если

.

Так как
,
гдеT
— период колебаний, то уравнение можно
записать в виде

.

РАБОЧИЕ ФОРМУЛЫ:

1.
Период колебания

,

где:
t-время
колебания [с],

N-
число колебаний

2.
Момент инерции куба

,

где:
m-масса
куба [кг],

a-длина
ребра куба [м]

3.
Момент
инерции параллелепипеда

,

где:
J0-момент
инерции куба [кг.м2]
,

Тр
— период колебаний рамки [с] ,

Т0
период колебаний рамки и куба [с] ,

Т- период колебаний
рамки и параллелепипеда [с].

Формула
относительной погрешности косвенных
измерений:

Приборная
погрешность:

Секундомера0,0005
с.

Исходные данные:

m=0,62
кг;

a=0,049
м.

ТАБЛИЦЫ ИЗМЕРЕНИЙ
И ВЫЧИСЛЕНИЙ:

Таблица
1.
Таблица 2.

Опыт с рамкой

Опыт с кубом

Номер

опыта

t

Tp

Номер

опыта

t

T0

J0

Размер-

ность

с

с

Размер-

ность

с

с

кг*м2

22

2,2

28,304

2,83

2,481

22,433

2,243

27,912

2,791

21,631

2,163

26,238

2,623

21,951

2,195

26,451

2,645

Таблица 3.

Опыт с параллелепипедом

Номер

опыта

tx

ty

tz

Tx

Ty

Tz

Jx

Jy

Jz

Размер-

ность

с

с

с

с

с

с

кг*м2

кг*м2

кг*м2

33,064

42,712

45,142

3,306

4,271

4,514

3,501

10,512

12,547

33,077

42,702

45,135

3,307

4,270

4,513

3,423

10,314

12,412

33,084

42,696

45,122

3,308

4,269

4,512

3,304

9,954

11,445

33,052

42,501

45,092

3,305

4,25

4,509

3,284

9,841

11,320

ПРИМЕР РАСЧЕТА:

  1. Период колебания

,

с.

  1. Момент инерции
    куба

,

кг*м2.

  1. Момент инерции
    параллелепипеда

,

кг*м2.

кг*м2.

кг*м2.

  1. Относительная
    погрешность косвенных измерений:

,

;

;

кг*м2;

кг*м2;

кг*м2.

Выводы:

В ходе проведения
работы при помощи крутильных колебаний
я научилась определять моменты инерций
разных тел: рамки, куба, параллелепипеда,
относительно трех взаимно перпендикулярных
осей, проходящих через центр масс.
Результаты опыта показали, что с
увеличением размера тела по какой-нибудь
оси, происходит уменьшение значения
момента инерции относительно этой же
оси.

studfiles.net

ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ


 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с методом крутильных колебаний.

2. Определить экспериментальные значения моментов инерции тел различной формы.

3. Рассчитать теоретические значения моментов инерции тех же тел.

 

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Момент инерции I является мерой инертности тел при вращательном движении. Для тела или системы тел эта величина равна сумме моментов инерции всех точек Ii этого тела или системы тел:

(127)

где mi – масса материальной точки (частицы тела),

ri – расстояние от этой точки до оси вращения.

Следовательно, значение момента инерции зависит от размеров, формы, массы тела, а также от расположения тела относительно оси вращения.

Исследуемыми телами в данной работе являются стальные образцы в форме куба и параллелепипедов. Схема установки дана на рисунке 25.

Рис. 25

 

Рамка 1 закреплена на натянутых стальных проволоках 2 и 6, проходящих по ее геометрической оси. Если рамку повернуть на некоторый угол , то произойдет закручивание проволоки. Возникающие силы упругости в проволоке создают вращающий момент М и заставляют рамку возвращаться в положение равновесия. Рамка совершает крутильные колебания согласно уравнению (123) (см. описание лаб. раб. № 25)

Из формулы (124) для циклической частоты колебаний период Т0 колебаний пустой рамки равен:

(128)

Если к рамке добавить два цилиндра 3 (рис.), находящихся на расстоянии а от оси рамки, то период Т крутильных колебаний такой системы тел увеличится:

(129)

Здесь I – момент инерции цилиндров, который можно определить по теореме Штейнера:

(130)

где m – масса одного цилиндра,

r – его радиус, a – расстояние между осью проволоки и осью цилиндра (рис. 25).

Решая систему двух уравнений (128) и (129), можно исключить неизвестную величину модуля кручения с проволоки и найти значение момента инерции Ip рамки:

(131)

Чтобы найти момент инерции куба или параллелепипеда, цилиндры 3 снимают с рамки и закрепляют в ней исследуемое тело 5 (рис.) с помощью винтов на перекладине 4.

Определив период крутильных колебаний Т1 рамки с данным телом с помощью электронного блока, можно рассчитать момент его инерции I1 по формуле:


(132)

Эти же значения моментов инерции можно рассчитать теоретически по формулам, которые выводят из определения (127):

(133)

где m1 – масса куба (или параллелепипеда),

b и d – длины сторон образца, расположенных в горизонтальной плоскости.

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Установить рамку так, чтобы при ее вращении флажок рамки 8 (рис. 25) свободно перемещался между окнами фотодатчика 7.

2. Включить электропитание нажатием клавиши «СЕТЬ» на задней стенке электронного блока ФМ 1/1.

3. Повернуть пустую рамку так, чтобы она удерживалась в исходном положении электромагнитом.

4. Нажав кнопку «ПУСК» на электронном блоке, измеряют t0 время N полных колебаний рамки. Кнопку «СТОП» нажать, когда число полных колебаний будет равно N-1. Повторить измерения 3 – 5 раз.

5. Установить цилиндры 3 на рамку. Определить t время N полных колебаний. Повторить измерения 3 – 5 раз.

6. Снять цилиндры 3 с рамки. Установить в рамке куб с помощью винтов на перекладине 4. Определить t1 время N полных колебаний. Повторить измерения 3 – 5 раз.

7. Заменить куб в рамке на параллелепипед. Определить t2 время N полных колебаний, повторив измерения 3 – 5 раз.

8. Поменять положение параллелепипеда в рамке и определить t3 время N полных колебаний.

9. Рассчитать момент инерции Ip пустой рамки по формуле (131).

10. Рассчитать экспериментальные значения моментов инерции куба и параллелепипеда по формуле (132).

11. Оценить погрешности экспериментальных значений моментов инерции.

12. Рассчитать теоретические значения моментов инерции тел по формуле (133).

13. Сравнить экспериментальные значения с теоретическими. Сделать вывод о зависимости момента инерции тела от его массы, формы, размеров и положения тела относительно оси вращения.



 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что собой представляет деформация кручения? Как записывается закон Гука для кручения?

2. Сформулируйте основной закон динамики для вращательного движения.

3. Какой вид имеет динамическое уравнение крутильных колебаний? Какой вид имеет кинематическое уравнение этого движения?

4. От чего зависит период крутильных колебаний?

5. Что такое момент инерции материальной точки (частицы)? Момент инерции тела или системы тел? От чего зависит значения момента инерции?

6. Сформулируйте теорему Штейнера. Выведите формулу (130).

7. Выведите формулы (131) и (132).

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Трофимова Т.И. Курс общей физики. — М.: Высшая школа. 2004 г.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. Учебное пособие для втузов 5кн. Т.1. /Игорь Савельев – М.: АСТ Астрель/

3. Бордовский Г.А., Бурсиан Э.В. Общая физика. Курс лекций. – М.: Изд-во ВЛАДОС – ПРЕСС, 2001. – Т.1



Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

Архивы Момент инерции — Конструкторский

В справочнике авиаконструктора под редакцией Лурье и Горяинова (ЦАГИ, 1939 год, том 3, стр. 623) приводится формула, позволяющая выполнить экспериментальное определение момента инерции. Вот такая:

Формула позволяет определить момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела (центр тяжести).

Рассмотрим, что такое физический маятник и как получилась такая формула.

Читать далее «Экспериментальное определение момента инерции»

Определение моментов инерции в Компас 3D v17.1. Показано информационное окно для моментов плоского сечения.

Пару дней назад опубликовал статью про моменты инерции. В качестве прикладного инструмента, там были даны примеры определения моментов в NX. Следует заметить, что отечественное ПО в этой области тоже имеет порядочный задел. Здесь приведу коротенькую справку о том, как для тел и сечений найти моменты инерции в Компас 3D.

Читать далее «Моменты инерции в Компас 3D v17.1»

Разные моменты инерции: для прямоугольного сечения (слева) и объемного тела — куба (справа). Для куба, момент дан в предпосылке постоянной плотности по всему объему. b, h — стороны прямоугольного сечения, m — масса куба, s — сторона куба.

Моменты инерции встречались нам в университетском курсе технических дисциплин дважды. Один раз на сопротивлении материалов, а второй — на теоретической механике при рассмотрении вращательного движения. Рассмотрим оба этих момента. Прежде всего, необходимо понимать, что это разные моменты. У них разный смысл и разные единицы измерения.

Читать далее «Моменты инерции»

xn--h1acbaaqgcqcheicn.xn--p1ai

РАСЧЕТ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ — КиберПедия

 

 

14.1 .Найти момент инерции математическго маятника относительно точки подвеса.

 

14.2 .Найти момент инерции тонкого однородного стержня массы М и длины L относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей: 1.через один из его концов; 2.через середину стержня; 3. Через точку А, лежащую на продолжении стержня на расстоянии L от одного из его концов.

 

14.3 .Найти момент инерции тонкого обода радиуса 0,2 м и массы 3 кг относительно оси, перпендикулярной плоскости обода и проходящей: 1.через центр тяжести обода; 2.через конец диаметра.

 

14.4 .Определить момент инерции диска массы m, радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через край диска.

 

14.5 .Определить момент инерции сплошного шара радиуса R и массы m относительно оси, проходящей: 1.через центр тяжести; 2.по касательной к шару.

 

14.6 .Определить момент инерции полого шара массы m относительно оси, проходящей через центр тяжести. Внешний радиус шара R, внутренний – r.

 

14.7 .Определить момент инерции тонкого кольца радиуса R и массы m относительно оси, проходящей через центр тяжести и лежащей в плоскости обода.

 

14.8 .Определить момент инерции шайбы, радиусы которой r и R, относительно оси, перпендикулярной плоскости шайбы и проходящей через ее центр масс.

 

14.9 .Определить момент инерции сплошного цилиндра радиуса R, массы m относительно оси цилиндра.

 

14.10 .Определить момент инерции полого цилиндра массы m, внутренний радиус которого r, внешний R.

 

14.11 .Определить момент инерции фигур, изготовленных из тонких стержней массы m, длины L относительно осей, перпендикулярных плоскости рисунка и проходящих через указанные точки (рис. 51).

 

 

 
 

 

а) б) в)

 

Рис. 51

 

14.12 .Определить момент инерции тонкой прямоугольной пластинки (масса m, стороны и ) относительно оси, проходящей через центр тяжести параллельно одной из сторон.

 

14.13 . Определить момент инерции тонкой прямоугольной пластинки (масса m, стороны и b) относительно оси, проходящей через центр тяжести перпендикулярно плоскости пластинки.

 

14.14 .В тонком диске массой m и радиусом R вырезают n круглых отверстий радиуса r на равных расстояниях a от центра диска. Определить момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр масс.

 

14.15 .Цилиндр массы 3 кг, диаметр которого 12 см, лежит на горизонтальной плоскости. Определить момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей по линии контакта его боковой поверхности с плоскостью.


 

14.16 .Кинолента наматывается на бобину со скоростью V. Момент инерции бобины без ленты Iо, радиус rо. Определить зависимость момента инерции катушки с лентой от времени. Ширина ленты , плотность , толщина b.

 

14.17 .Две частицы с одинаковой массой m соединены жестким однородным стержнем длины L и массы m1. Найти момент инерции этой системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1.центр масс системы; 2.одну из частиц.

 

14.18 .Поверхностная плотность тонкого диска радиуса R изменяется по закону . Найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости.

 

14.19 .Прямой круглый однородный конус имеет массы m и радиус основания R. Найти момент инерции конуса относительно его оси.

 

14.20 .Найти момент инерции однородного куба относительно оси, проходящей через центры противолежащий граней. Масса куба m, длина ребра L.

 

14.21 .Вычислить момент инерции однородного круглого прямого цилиндра относительно оси, перпендикулярной к оси симметрии цилиндра и проходящей через его центр. Масса цилиндра m, радиус R, высота h. Рассмотреть предельные случаи: R << h, h << R.

 

14.22 .Найти момент инерции однородной пирамиды, основанием которой является квадрат со стороной , относительно оси, проходящей через вершину и центр основания. Масса пирамиды равна m.

 

15.ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ,ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВОКРУГ

НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

 

15.1 . Найти ускорение грузов и натяжение нитей на машине, изображенной на рис. 52, учитывая момент инерции I блока, при условии, что нить не скользит по блоку. Определить натяжение подвеса А.

 

 
 

 

А

 
 

 

I, r

 

 
 

m2

m1

 

 

Рис. 52

 

15.2 . На однородный сплошной цилиндр массы М и радиуса R плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массы m (рис. 54). В момент времени t=0 система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти:1. Зависимость угловой скорости от времени; 2. Направление векторов и ; 3. Ускорение груза; 4. Силу натяжения нити; 5. Для системы блок-груз зависимость от времени момента импульса относительно оси блока и кинетической энергии; 6. Углы поворота блока в зависимости от времени.


 

 

 
 

 

М

 

 

 
 

m

 

Рис. 54

 

15.3 .Через блок радиуса 10 см, масса которого m=100 г, перекинута тонкая гибкая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены два груза массами m1=200 г и m2=300 г (рис. 55). Определить: 1. Ускорения грузов; 2. Угловое ускорение; 3. Силы натяжения нитей.

 

 
 

 

m2

 

 
 

m1

 

Рис. 55

 

15.4 . Однородный цилиндр массы М и радиуса R вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр масс, под действием грузов весом Р каждый. Найти силу натяжения нити на участках и (рис. 56).

 

 
 

 

Р

 

 

Р

 

Рис. 56

 

15.5 . На ступенчатый блок намотаны в противоположных направлениях две нити (рис 57). На конец одной нити действуют постоянной силой F, а к концу другой нити прикреплен груз массы m. Известны радиусы R1 и R2 блока и его момент инерции I относительно оси вращения. Найти угловое ускорение блока.

 
 

 

 

 

Рис. 57

15.6 . На горизонтальном столе лежат два тела, которые могут скользить по столу без трения. Тела связаны невесомой нерастяжимой нитью (рис. 58). Такая же нить, переброшенная через блок, связывает тело 2 с грузом массы m=0,5 кг. Блок представляет собой однородный сплошной цилиндр. Масса тел и блока одинакова и равна М=1 кг. Считая, что блок вращается без трения, а нить не проскальзывает по блоку, найти ускорение тел, натяжение F12 нити, связывающей оба тела, натяжение нити F2 на участке от тела 2 до блока, натяжение нити Fm на участке от блока до груза m.

1 2

М F1 М F2 М

 
 

 

 

Fm

m

 

 

Рис. 58

15.7 . Однородный сплошной цилиндр массы m=1 кг висит в горизонтальном положении на двух намотанных на него невесомых нитях (рис. 59). Цилиндр опускается без толчка. А). За сколько времени t цилиндр опустится на расстояние h=50 см? б) Какое натяжение F испытывает при этом каждая из нитей?

 

 

Рис. 59

 

15.8 . Система, состоящая из цилиндрического катка радиуса R и гири, связанных нитью, перекинутой через блок (рис. 60) под действием силы тяжести приходит в движение из состояния покоя. Определить ускорение a центра масс катка и силу натяжения нити. Какую скорость приобретет гиря, если она опускается с высоты h? Масса цилиндра М, масса гири m, массой блока пренебречь. Каток катится без скольжения.

 

 
 

М

    
  
 
 

 

 

m

 

Рис. 60

 

15.9 . Из колодца с помощью ворота поднималось ведро с водой массы m. В момент, когда ведро находилось на высоте h от поверхности воды, рукоятка освободилась, и ведро стало двигаться вниз. Определить линейную скорость рукоятки в момент удара ведро о поверхность воды в колодце, если радиус рукоятки R, радиус вала ворота r, его масса m1. Трением и весом торса пренебречь.

 

15.10 . К концу тонкой нерастяжимой нити, намотанной на цилиндрический сплошной блок массой m1=200 г, прикреплено тело массой m2=500 г, которое находится на наклонной плоскости с углом наклона 450 (рис. 61). Нить, удерживающая тело, параллельна наклонной плоскости. Какой путь пройдет тело по наклонной плоскости за t=1 с, если коэффициент трения скольжения по наклонной плоскости равен k=0,1?

 

 
 

m1

 
 

m2

 

 

Рис. 61

 

15.11 . По наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом, скатывается без скольжения сплошной однородный диск. Найти линейное ускорение центра диска.

 

15.12 . Какой путь пройдет катящийся без скольжения диск, поднимаясь вверх по наклонной плоскости с углом наклона 300,если ему сообщена начальная скорость 7 м/с, параллельная наклонной плоскости.

 

15.13 . Найти ускорение центра однородного шара, скатывающегося по наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом. Чему равна сила трения шара о плоскость?

 

15.14 . Шар скатывается по наклонной плоскости с углом наклона 300. Какую скорость будет иметь центр шара относительно наклонной плоскости через 1,5 с, если его начальная скорость была равна нулю?

 

15.15 . По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 300, скатывается без скольжения сплошной цилиндр, масса которого равна 300 г. Найти величину силы трения цилиндра о плоскость.

 

15.16 . С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают скатываться сплошной цилиндр и шар одинаковых радиусов. 1)Какое тело будет иметь скорость на данном уровне? 2)Во сколько раз? 3)Во сколько раз скорость одного будет больше скорости другого в данный момент времени?

 

cyberpedia.su

Момент — инерция — относительно любая ось

Момент — инерция — относительно любая ось

Cтраница 2

Находим / ] 1У1 по способу третьей оси, который состоит в том, что если известны моменты инерции относительно трех осей, проходящих через данную точку, можно определить момент инерции относительно любой оси ( осей), проходящей через эту точку.
 [16]

Составить функцию Гамильтона для углов ф, 9 и ср ( угол собственного вращения) и соответствующих импульсов, если т — масса волчка, / — расстояние от его центра тяжести до точки О, С-момент инерции относительно оси z, A — момент инерции относительно любой оси, лежащей в экваториальной плоскости, проходящей через точку О.
 [17]

Составить функцию Гамильтона для углов if 0 и ф ( угол собственного вращения) и соответствующих импульсов, если т — масса волчка, / — расстояние от его центра масс до точки О, С — момент инерции относительно оси г, А — момент инерции относительно любой оси, лежащей в экваториальной плоскости, проходящей через точку О.
 [18]

Составить функцию Гамильтона для углов ф, 9 и ф ( угол собственного вращения) и соответствующих импульсов, если m — масса волчка, I — расстояние от его центра масс до точки О, С — момент инерции относительно оси z, A — момент инерции относительно любой оси, лежащей в экваториальной плоскости, проходящей через точку О.
 [19]

Составить функцию Гамильтона для углов о), 9 и ф ( угол собственного вращения) и соответствующих импульсов, если т — масса волчка, / — расстояние от его центра тяжерти до точки О, С — момент инерции относительно оси z, Л — момент инерции относительно любой оси, лежащей в экваториальной плоскости, проходящей через точку О.
 [20]

Составить функцию Гамильтона для углов г), 0 и ф ( угол собственного вращения) и соответствующих импульсов, если m — масса волчка, / — расстояние от его центра масс до точки О, С — момент инерции относительно оси г, А — момент инерции относительно любой оси, лежащей в экваториальной плоскости, проходящей через точку О.
 [21]

Относительно одной из главных центральных осей момент инерции имеет наибольшее из всех возможных значений, а относительно другой — наименьшее. Здесь сопоставляются моменты инерции относительно любых осей, проходящих через центр тяжести сечения.
 [22]

Равенство осевых моментов инерции и равенство нулю центробежного момента инерции означают, что эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, а его сечение плоскостью пластинки — окружностью. Следовательно, моменты инерции относительно любой оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через центр, равны между собой.
 [23]

Из соображений симметрии ясно, что главные оси инерции, проходящие через центр куба ( совпадающий с его центром инерции), параллельны ребрам куба. Моменты инерции относительно этих осей одинаковы, поэтому эллипсоид инерции — сфера; следовательно, моменты инерции относительно любых осей, проходящих через центр инерции куба, одинаковы.
 [24]

Однако момент инерции существует безотносительно к вращению. Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находится в покое.
 [26]

Страницы:  

   1

   2




www.ngpedia.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о