Момент силы момент инерции: 9.Момент силы и момент импульса.Момент инерции. - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

9.Момент силы и момент импульса.Момент инерции.

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело. В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения момента силы является ньютон-метр. Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудахАрхимеда над рычагами. В простейшем случае, если сила приложена к рычагу перпендикулярно ему, момент силы определяется как произведение величины этой силы на расстояние до оси вращения рычага. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу на расстоянии 2 метров от его оси вращения, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии 6 метров до оси вращения.

Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:

где — сила, действующая на частицу, а—радиус-вектор частицы.

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количествовращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — псевдоскаляр.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Момент инерции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Обозначение: I или JМоментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

где: m_i — масса i-й точки,

r_i — расстояние от i-й точки до оси.

11. Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) — один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этиммомент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.

В упрощённом виде: , если система находится в равновесии.

Специальная теория относительности (СТО; также частная теория относительности) — теория, описывающая движение, законымеханики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света. В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей. Обобщение СТО для гравитационных полей называется общей теорией относительности.

Момент силы, теория и онлайн калькуляторы

Пусть тело вращается около неподвижной оси под действием силы $\overline{F}$. Элементарная работа ($\Delta A$), которую совершает данная сила при повороте тела на малый угол $\Delta \varphi ,$ равна:

\[\Delta A=F_r\Delta l\ \left(1\right),\]

где $F_r=F{\sin \alpha \ }$, $\alpha $ – угол между направлением силы и направлением радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы; $\Delta l=r\Delta \varphi $. Соответственно выражение (1) преобразуется к виду:

\[\Delta A=F{\sin \alpha \ }r\Delta \varphi \ \left(2\right).\]

Величину:

\[M=Fr{\sin \alpha \ }\ (3)\]

называют моментом силы относительно оси вращения. Самое короткое расстояние от оси вращения до линии действия силы $d=r{sin \alpha \ }$ называют плечом силы, тогда:

\[M=Fd\ \left(4\right).\]

Момент силы – это векторная величина. $\overline{M}\ $направлен по оси вращения тела. Направление момента силы определяют при помощи правила правого винта: если головку винта с правой резьбой вращать по направлению силы, то поступательное перемещение винта указывает на направление вектора момента силы.

Определение момента силы

Определение

Моментом силы ($\overline{M}$) называют векторную физическую величину, которая равна векторному произведению радиус – вектора, который проведен от оси вращения до точки приложения силы $\overline{F}$ на вектор этой силы:

\[\overline{M}=\overline{r}\times \overline{F\ }\left(5\right). \]

Ньютон, умноженный на метр (ньютон – метр) (Н$\cdot $м) – единицы измерения момента силы в Международной системе единиц (СИ).

Условие равновесия тела, имеющего ось вращения

Пусть на тело, способное вращаться вокруг оси действуют несколько сил, например, ${\overline{F}}_1,\ {\overline{F}}_2,{\overline{F}}_3$. Если тело находится в равновесии, то при повороте на бесконечно малый угол $\Delta \varphi $ его потенциальная энергия не изменится, значит, элементарная работа, равная изменению потенциальной энергии равна нулю, но:

\[\Delta A=F{\sin \alpha \ }r\Delta \varphi =M\Delta \varphi =\Delta A_1+\Delta A_2+\Delta A_3=M_1\Delta \varphi +M_2\Delta \varphi +M_3\Delta \varphi ={(M}_1+M_2+M_3)\Delta \varphi =0\ \left(6\right),\]

так как $\Delta \varphi \ne 0$, то

\[M_1+M_2+M_3=0\left(7\right).\]

Тело, имеющее ось вращения, находится в состоянии равновесия, если алгебраическая сумма моментов сил относительно этой оси равна нулю. 2}{2}\right)=J\omega d\omega \ \left(9\right),\]

где $J$ – момент инерции тела относительно неподвижной оси; $\omega $ – угловая скорость тела.

Но элементарную работу при повороте тела на малый угол $d\varphi $ определяют как:

\[dA=Md\varphi \ \left(10\right),\]

следовательно, из (8)-(10) получим:

\[Md\varphi =J \omega d \omega\to M\frac{d\varphi }{dt}=J \omega\frac{d \omega}{dt}\ \left(11\right).\]

Принимая во внимание то, что:

\[\frac{d\varphi }{dt}=\omega;\ \frac{d \omega }{dt}=\varepsilon (12)\]

формулу (11) представим в виде:

\[M=J\varepsilon \ \left(13\right),\]

где $\varepsilon $ – угловое ускорение. Уравнение (13) – основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, которая проходит через центр масс тела, то закон (13) можно записать в виде:

\[\overline{M}=J\overline{\varepsilon }\left(14\right),\]

где $J$ – главный момент инерции тела.

{t_2}_{t_1}{Mdt-}$это площади криволинейных трапеций. В нашем случае получились прямоугольные треугольники. Найдем их площади:

\[S_{{\Delta }_1}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 5=5.\] \[S_{{\Delta }_2}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 10=5.\]

Получили, что:

\[S_{{\Delta }_1}=S_{{\Delta }_2}\left(2.3\right).\]

Значит,${\omega }_1={\omega }_2.$

Ответ. ${\omega }_1={\omega }_2$

Читать дальше: сила Архимеда.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Знать связь между крутящим моментом и моментом инерции

Мы знаем, что крутящий момент вентилятора называется крутящим моментом, и существует прямая зависимость между крутящим моментом и моментом инерции.

Так вот, при включении кнопки вентилятора, когда вентилятор начинает вращаться, его момент силы или крутящий момент изменяется обратно пропорционально ускорению. Здесь это соотношение можно рассматривать как сестру второго закона движения Ньютона. Момент инерции – это вращательная масса вентилятора, а крутящий момент – его вращательная сила или его вращающая сила.

В физике и механике крутящий момент является вращательным, но эквивалентен линейной силе. Его также называют моментом, моментом силы, силой вращения или эффектом поворота, в зависимости от области или категории исследования. Эта концепция возникла в результате исследований, проведенных Архимедом по использованию рычагов. Крутящий момент — это крутящая сила, которая вызывает эффективный процесс вращения в любом механизме. Точка, в которой вращается конкретный объект, называется осью вращения. Математически крутящий момент можно записать как T = F * r * sin(theta), и он измеряется в ньютон-метрах.

Связь между инерцией и крутящим моментом

Согласно первому закону движения Ньютона, тело остается в покое или в состоянии движения, если оно не приводится в движение внешней силой. Например, конденсатор переменного тока, а стиральная машина остается в покое, если мы не включаем кнопку питания, и позволяем ей вращаться с помощью электричества.

Итак, мы видим, что все вращающиеся электроприборы остаются в покое, и при воздействии вращающего действия или крутящего момента каждая частица в системе, имеющая свои индивидуальные вращательные массы, начинает вращаться вокруг своей оси вращения. Итак, вот как мы можем понять взаимосвязь между крутящим моментом и инерцией, применяя первый закон движения Ньютона.

До сих пор мы понимали связь крутящего момента с инерцией и моментом инерции. Теперь выведем связь между крутящим моментом и моментом инерции.

Понятие, используемое во вращательном движении

Согласно механике вращательного движения, каждое твердое тело, совершающее вращательное движение вокруг неподвижной оси, совершает движение с равномерным угловым ускорением, т. е. под действием крутящего момента или момента силы.

Получение зависимости между крутящим моментом и моментом инерции

Предположим, что частица «Q» массы «m» вращается вокруг оси вращения, где она описывает дугу по окружности радиуса «r». Теперь, согласно второму закону движения Ньютона, имеем:

F = ma

Где а — ускорение, с которым вращается тело.

Теперь,\[a=\frac{F}{m}\]…….(a)

Если мы говорим, что частица движется по окружности со смещением ‘s’, то мы можем переписать уравнение для линейное ускорение как двойная производная от углового перемещения следующим образом:

\[a=\frac{d}{dt}\frac{d(s)}{dt}\]……..(1)

ускорение каждой частицы будет a1, a2, a3,…., an.

Для тела, совершающего вращательное движение, соотношение: ‘s = r’, применим это в уравнении (1):

\[a=\frac{d}{dt}\frac{rd(\ theta )}{dt}\]…….(2)

Также мы знаем соотношение между линейным и угловым ускорением, для которого напишем то же самое:

\[a=r\alpha \]…… (3)

Из уравнения (2) мы получаем уравнение (3), так как мы видим, что скорость изменения углового смещения является угловой скоростью, давайте посмотрим, как это происходит:

\[r\frac{d\ theta }{dt}=\omega \]

And,

\[\frac{d\omega }{dt}=\alpha \]

Здесь угловое ускорение частицы Q. Таким образом, мы также получили уравнение (3). Теперь переходим к следующему шагу:

Сила и момент силы

Нам известно еще одно соотношение между силой, приложенной к телу, и крутящим моментом, и оно выглядит следующим образом: 92\].….(6)

Где

m = масса частицы «Q», а r — квадрат расстояния частицы от оси вращения или просто радиус вращения, таким образом, подставляя значение уравнение (6) в (5), получаем:

\[\tau =I\alpha \]…..(7)

Итак, уравнение (7) и есть искомое уравнение, для которого мы проделали все эти математические вывод. Уравнение (7) описывает предельное соотношение между моментом инерции и крутящим моментом.

Мы можем переписать уравнение (7) в векторной форме как:

\[\vec{\tau }=I\vec{\alpha }\]

Мы называем это уравнение основным законом вращательного движения или законом вращательного движения. Теперь давайте определим приведенное выше уравнение:

Определение основного закона вращательного движения

Если α = 1, то τ = I * 1. Из этого утверждения мы можем сказать, что момент инерции и крутящий момент, приложенные к телу равны друг другу при отсутствии углового ускорения.

Поскольку количество частиц в системе равно n, и каждая частица подчиняется уравнению (7), закон вращательного движения применим ко всем без исключения частицам системы.

6.3: Динамика вращательного движения – вращательная инерция

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 46186

OpenStax
OpenStax

Цели обучения

Понять взаимосвязь между крутящим моментом, инерцией вращения и угловым ускорением.

Изучите вращательный эффект крутящего момента.
Изучите аналогию между силой и крутящим моментом, массой и моментом инерции, линейным ускорением и угловым ускорением.

Если вы когда-нибудь крутили велосипедное колесо или толкали карусель, вы знаете, что для изменения угловой скорости необходима сила, как показано на Рисунок $\PageIndex{1}$. На самом деле, ваша интуиция надежно предсказывает многие из задействованных факторов. Например, мы знаем, что дверь открывается медленно, если мы прислоняем ее слишком близко к петлям. Кроме того, мы знаем, что чем массивнее дверь, тем медленнее она открывается. Первый пример подразумевает, что чем дальше приложена сила от оси вращения, тем больше угловое ускорение; другое следствие состоит в том, что угловое ускорение обратно пропорционально массе. Эти отношения должны казаться очень похожими на знакомые отношения между силой, массой и ускорением, воплощенные во втором законе движения Ньютона. На самом деле существуют точные вращательные аналоги как силы, так и массы.

Рисунок $\PageIndex{1}$: Для вращения велосипедного колеса требуется сила. Чем больше сила, тем больше угловое ускорение. Чем массивнее колесо, тем меньше угловое ускорение. Если надавить на спицу ближе к оси, угловое ускорение будет меньше.

Чтобы установить точное соотношение между силой, массой, радиусом и угловым ускорением, рассмотрим, что произойдет, если мы приложим силу $F$ к точке массы $m$, находящейся на расстоянии $r$ от точка поворота, как показано на рисунке $\PageIndex{2}$. Поскольку сила перпендикулярна $r$, ускорение $a=\frac{F}{m}$ получается в направлении $F$. Мы можем изменить это уравнение так, чтобы $F=m a$ и затем искать способы связать это выражение с выражениями для вращательных величин. Заметим, что $a=r \alpha$, и подставим это выражение в $F=m a$, получив

\[F=m r \alpha . \номер\]

Поворотная эффективность силы называется крутящим моментом . Интуитивно крутящий момент увеличивается с увеличением плеча рычага или перпендикулярного расстояния между центром вращения и точкой приложения силы (подумайте о качелях; чтобы сбалансировать вес более тяжелого ребенка с одной стороны с помощью более легкий ребенок с другой стороны, более легкий ребенок должен сидеть дальше от точки поворота). Таким образом, крутящий момент определяется выражением $\tau=r F$. Итак, если мы умножим обе части приведенного выше уравнения на $r$, мы получим крутящий момент в левой части. то есть 9{2}\) называется инерцией вращения или моментом инерции точечной массы $m$ на расстоянии $r$ от центра вращения.

Рисунок $\PageIndex{2}$: Объект поддерживается горизонтальным столом без трения и прикреплен к точке поворота шнуром, создающим центростремительную силу. Сила $F$ приложена к объекту перпендикулярно радиусу $r$, заставляя его ускоряться относительно точки вращения. Сила удерживается перпендикулярно $r$.

ВЫПОЛНЕНИЕ СОЕДИНЕНИЙ: ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Динамика вращательного движения полностью аналогична линейной или поступательной динамике. Динамика занимается силой и массой и их влиянием на движение. Для вращательного движения мы найдем прямые аналоги силы и массы, которые ведут себя именно так, как мы и ожидали, исходя из нашего предыдущего опыта. {2}\)), как и следовало ожидать из его определения.

Общая взаимосвязь между крутящим моментом, моментом инерции и угловым ускорением: { net } \tau}{I}, \nonumber \]

, где net $\tau$ – это общий крутящий момент от всех сил относительно выбранной оси. Для простоты мы будем рассматривать только крутящие моменты, создаваемые силами в плоскости вращения. Такие крутящие моменты бывают положительными или отрицательными и складываются как обычные числа. Соотношение в $\tau=I\alpha$, $\alpha=\frac{\text {net} \tau}{I}$ является вращательным аналогом второго закона Ньютона и применимо очень широко. Это уравнение действительно справедливо для любой крутящий момент, приложенный к любому объекту, относительно любой оси.

Как и следовало ожидать, чем больше крутящий момент, тем больше угловое ускорение. Например, чем сильнее ребенок толкает карусель, тем быстрее она разгоняется. Кроме того, чем массивнее карусель, тем медленнее она разгоняется при том же крутящем моменте. Основное соотношение между моментом инерции и угловым ускорением заключается в том, что чем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение. Но есть дополнительный нюанс. Момент инерции зависит не только от массы объекта, но и от его распределение массы относительно оси, вокруг которой она вращается. Например, будет намного легче разогнать карусель, полную детей, если они будут стоять близко к ее оси, чем если все они будут стоять на внешнем краю. Масса в обоих случаях одинакова, но момент инерции намного больше, когда дети находятся на краю.

ЭКСПЕРИМЕНТ ДЛЯ ДОМАШНИХ

Вырежьте круг радиусом около 10 см из плотного картона. Рядом с краем круга напишите числа от 1 до 12, как часы на циферблате. Расположите круг так, чтобы он мог свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, как колесо. (Вы можете свободно прибить круг к стене. ) Держите круг неподвижно и, расположив цифру 12 вверху, прикрепите кусок синей замазки (клейкий материал, используемый для крепления постеров к стенам) к цифре 3. Какого размера глыба должна быть, чтобы просто вращать круг? Опишите, как можно изменить момент инерции окружности. Как это изменение повлияет на количество синей замазки, необходимое под номером 3, чтобы просто повернуть круг? Измените момент инерции круга, а затем попробуйте повернуть круг, используя разное количество синей замазки. Повторите этот процесс несколько раз.

ВЫПОЛНЕНИЕ СОЕДИНЕНИЙ

В статике чистый крутящий момент равен нулю, а угловое ускорение отсутствует. При вращательном движении чистый крутящий момент является причиной углового ускорения, точно так же, как во втором законе движения Ньютона для вращения.

Рисунок $\PageIndex{3}$: Некоторая инерция вращения.

Упражнение $\PageIndex{1}$

Крутящий момент является аналогом силы, а момент инерции – аналогом массы.