Момент ускорения: Кафедра физики Физико-механический институт СПбПУ

Глава 11. Раскручиваем объекты: момент инерции – FIZI4KA

Физика с формулами ›

В этой главе…

• Переходим от динамики поступательного движения к динамике вращательного движения
• Вычисляем момент инерции
• Определяем работу вращательного движения
• Находим связь между работой и изменением кинетической энергии
• Изучаем закон сохранения момента импульса

Эта глава посвящена динамике вращательного движения, т.е. описанию сил и их влияния на характер вращательного движения. Здесь рассматриваются основные законы динамики вращательного движения по аналогии с законами динамики поступательного движения. Например, описывается аналог второго закона Ньютона (см. главу 5), представлено новое понятие “момент инерции”, исследуется связь между работой и кинетической энергией и т.п.

Содержание

• Применяем второй закон Ньютона для вращательного движения
  • Преобразуем тангенциальное ускорение в угловое
  • Пример: вычисляем момент силы для обеспечения углового ускорения
• Вычисляем момент инерции протяженного объекта
  • Пример: замедление вращения компакт-диска
  • Еще один пример: поднимаем груз
•  
• Вычисляем энергию и работу при вращательном движении
  • Работа при вращательном движении
  • Изучаем кинетическую энергию вращательного движения
  • Измеряем кинетическую энергию бочки, катящейся по наклонной плоскости
• Не можем остановиться: момент импульса
  • Сохраняем момент импульса
  • Пример закона сохранения момента импульса: вычисляем скорость спутника

Применяем второй закон Ньютона для вращательного движения

Согласно второму закону Ньютона (см. главу 5), ускорение объекта под действием силы пропорционально величине силы и обратно пропорционально массе объекта:

где ​\( \mathbf{a} \)​ — это вектор ускорения, \( \mathbf{F} \) — вектор силы, а ​\( m \)​ — масса объекта. Подробнее о векторах рассказывается в главе 4. Соблюдается ли этот закон для вращательного движения?

В главе 10 мы уже познакомились характеристиками вращательного движения, которые являются эквивалентами (аналогами) некоторых характеристик поступательного движения. А как будет выглядеть аналог у второго закона Ньютона? Похоже, что во вращательном движении роль ускорения \( \mathbf{a} \) играет угловое ускорение \( \alpha \), а роль силы \( \mathbf{F} \) — момент силы \( \mathbf{M} \)? Не вдаваясь в подробности, скажем лишь, что это действительно так. А что же с массой? Оказывается, что для этого используется новое понятие — момент инерции ​\( l \)​. Известно, что второй закон Ньютона для вращательного движения принимает следующий вид:

Рассмотрим простой пример. Пусть привязанный нитью мячик для игры в гольф вращается по окружности, как показано на рис. 11.1. Допустим, что к мячику приложена направленная по касательной к окружности тангенциальная сила, которая приводит к увеличению тангенциальной скорости мячика. (Обратите внимание, что речь идет не о нормальной силе, направленной вдоль радиуса окружности вращения. Более подробно нормальная и тангенциальная скорости, а также нормальное и тангенциальное ускорения рассматриваются в главе 10.)

Поскольку:

то, умножая обе части этой формулы на радиус окружности ​\( r \)​, получим:

Поскольку ​\( r\mathbf{F}=\mathbf{M} \)​ то

или

Таким образом, частично совершен переход от второго закона Ньютона для поступательного движения к его аналогу для вращательного движения. (Следует отметить, что это выражение справедливо для материальной точки, т.е. объекта, размерами которого можно пренебречь по сравнению с величиной радиуса окружности ​\( r \)​. 2 \)​, называется моментом инерции материальной точки. Таким образом, мы получили эквивалент второго закона Ньютона для вращательного движения, где роль силы играет момент силы, роль ускорения — угловое ускорение, а роль массы — момент инерции.

Пример: вычисляем момент силы для обеспечения углового ускорения

Если на объект действует несколько сил, то второй закон Ньютона имеет следующий вид:

где ​\( \mathbf{\sum\!F} \)​ обозначает векторную сумму всех сил, действующих на объект.

Аналогично, если на объект действует несколько моментов сил, то второй закон Ньютона имеет вид:

где \( \mathbf{\sum\! M} \) обозначает векторную сумму всех моментов сил, действующих на объект. Аналог массы, т.е. момент инерции, измеряется в кг·м².

Помните, что аналогом второго закона Ньютона при описании вращательного движения является формула ​\( \mathbf{\sum\! M}=l\alpha \)​, т.е. угловое ускорение прямо пропорционально сумме всех моментов сил, действующих на вращающийся точечный объект, и обратно пропорционально моменту инерции. {-2} \)​? Подставляя значения в уже известную нам формулу

получим:

Как видите, для решения этой задачи достаточно было поступить, как при определении силы, необходимой для обеспечения ускорения поступательного движения (где нужно было бы умножить массу на ускорение), т.е. умножить угловое ускорение на момент инерции.

Вычисляем момент инерции протяженного объекта

Момент инерции легко вычисляется для очень маленького (точечного) объекта, если все точки объекта расположены на одинаковом расстоянии от точки вращения. Например в предыдущем примере, если считать, что мячик для игры в гольф гораздо меньше длины нити, то все его точки находятся на одинаковом расстоянии от точки вращения, равном радиусу окружности вращения ​\( r \)​. В таком случае момент инерции имеет знакомый вид:

где \( r \) — это расстояние, на котором сосредоточена вся масса мячика \( m \).

Однако такая идеальная ситуация имеет место далеко не всегда. А чему равен момент инерции протяженного объекта, например стержня, вращающегося относительно одного из своих концов? Ведь его масса сосредоточена не в одной точке, а распределена по всей длине. 2 \):

А как определить момент инерции диска, вращающегося относительно своего центра? Нужно мысленно разбить диск на множество материальных точек, вычислить момент инерции каждой такой точки и просуммировать полученные моменты инерции. Физики научились вычислять моменты инерции для многих объектов со стандартной формой. Некоторые из них приведены в табл. 11.1.

Попробуем вычислить моменты инерции нескольких предметов с простой геометрией.

Пример: замедление вращения компакт-диска

Компакт-диски могут вращаться с разными угловыми скоростями. Это необходимо для обеспечения одинаковой линейной скорости считывания информации на участках, находящихся на разных расстояниях от центра вращения. Пусть диск массой 30 г и диаметром 12 см сначала вращается со скоростью 700 оборотов в секунду, а спустя 50 минут — со скоростью 200 оборотов в секунду. Какой средний момент сил действует на компакт-диск при таком уменьшении скорости? Связь момента сил и углового ускорения имеет вид:

Момент инерции диска с радиусом ​\( r \)​, вращающегося относительно своего центра в плоскости диска, выражается формулой:

Подставляя значения, получим:

Теперь нужно определить угловое ускорение, которое определяется следующей формулой:

Изменение угловой скорости ​\( \Delta\omega \)​ произошло за промежуток времени:

В данном примере изменение угловой скорости:

где ​\( \omega_1 \)​ — конечная, а \( \omega_0 \) — начальная угловая скорость компакт-диска.

Чему они равны? Начальная скорость 700 оборотов в секунду означает, что диск за секунду 700 раз проходит ​\( 2\pi \)​ радиан:

Аналогично, конечная скорость 200 оборотов в секунду означает, что диск за секунду 200 раз проходит \( 2\pi \) радиан:

Подставляя значения в формулу углового ускорения, получим:

Подставляя значения момента инерции и углового ускорения в итоговую формулу момента силы, получим:

Итак, средний момент равен 10^-4 Н·м, а чему будет равна сила для создания такого момента, если она приложена к краю диска? Ее величину легко вычислить по следующей формуле:

Оказывается, для такого замедления компакт-диска нужно приложить не такую уж и большую силу.

Еще один пример: поднимаем груз

Вращательное движение порой внешне выглядит не так очевидно, как вращение ком- пакт-диска. Например подъем груза с помощью блока также является примером вращательного движения. Хотя канат и груз движутся поступательно, но сам блок вращается (рис. 11.2). Пусть радиус блока равен 10 см, его масса равна 1 кг, масса груза равна 16 кг, а к веревке прилагается сила 200 Н. Попробуем вычислить угловое ускорение блока.

В данном примере нужно вычислить сумму всех моментов сил ​\( \mathbf{\sum\! M} \)​, которые действуют на веревку:

В данном примере на веревку действует два момента сил: один ​\( M_1 \)​ со стороны груза весом ​\( mg \)​, а другой \( M_2 \) — со стороны горизонтальной силы ​\( F \)​:

Отсюда получаем формулу для углового ускорения:

Эти моменты ​\( M_1 \)​ и \( M_2 \) имеют одинаковое плечо, равное радиусу блока ​\( r \)​, поэтому:

Поскольку блок имеет форму диска, то из табл. 11.1 находим его момент инерции:

Подставляя выражения для ​\( l \)​, ​\( M_1 \)​ и ​\( M_2 \)​ в формулу для углового ускорения, получим:

Подставляя значения, получим:

 

Вычисляем энергию и работу при вращательном движении

При изучении поступательного движения в главе 8 мы познакомились с понятием работа. Она равна произведению силы на перемещение под действием этой силы. Можно ли выразить работу при вращательном движении на основе его характеристик? Конечно можно, и для этого потребуется преобразовать силу в момент силы, а перемещение — в угол. В этом разделе демонстрируется такое преобразование, а также связь работы с изменением энергии.

Работа при вращательном движении

Допустим, что инженеру в области автомобилестроения необходимо рассчитать параметры революционно новой шины колеса. Для начала он решил оценить работу, которую необходимо выполнить для ускоренного раскручивания этой шины. Как связать работу при поступательном движении и работу при вращательном движении? Инженер предложил простую, как все гениальное, идею: “связать” шину веревкой. Точнее говоря, он предложил намотать веревку на шину, потянуть за веревку с помощью внешней силы и раскрутить шину. Так, приравнивая работу внешней силы при поступательном движении веревки и работу ускорения вращательного движения шины, можно, образно говоря, “связать” их веревкой.

Пусть шина имеет радиус ​\( r \)​ и для ее вращения используется сила ​\( F \)​, как показано на рис. 11.3.

Чему равна работа этой силы? Применим знакомую нам формулу:

где ​\( s \)​ — это перемещение веревки под действием этой силы. В данном примере перемещение ​\( s \)​ равно произведению радиуса ​\( r \)​ на угол поворота шины ​\( \theta \)​:

Подставляя это выражение в формулу работы, получим:

Поскольку момент ​\( M \)​, создаваемой этой силой, равен:

то получаем для работы:

Таким образом, работа при вращательном движении равна произведению момента силы и угла поворота. Она измеряется в тех же единицах, что и работа при поступательном движении, т.е. в джоулях.

Учтите, что для описания вращательного движения в этих формулах работы угол нужно указывать в радианах.

Вот еще один пример. Пусть пропеллер самолета совершает 100 поворотов с постоянным моментом силы 600 Н·м. Какую работу выполняет двигатель самолета? Для ответа на этот вопрос начнем с уже известной нам формулы:

Полный оборот соответствует повороту на угол ​\( 2\pi \)​. Подставляя значения в формулу, получим:

Что происходит с выполненной таким образом работой? Она преобразуется в кинетическую энергию вращательного движения.

Изучаем кинетическую энергию вращательного движения

Из главы 8 нам уже известно, что объект массы ​\( m \)​, движущийся поступательно со скоростью ​\( v \)​, обладает кинетической энергией:

А как получить формулу кинетической энергии для вращающегося объекта? Нужно применить данную формулу для всех его частичек.

При описании вращательного движения аналогом массы является момент инерции, а аналогом скорости — угловая скорость.

Как известно (см. главу 10), тангенциальная скорость ​\( v \)​ и угловая скорость ​\( \omega \)​ связаны соотношением:

где ​\( r \)​ — это радиус окружности вращения.

Подставляя это соотношение в предыдущую формулу, получим:

Однако эта формула справедлива только для бесконечно малой материальной точки. Чтобы определить кинетическую энергию протяженного объекта, нужно просуммировать кинетические энергии всех его мельчайших материальных точек, т.е. вычислить сумму:

Как можно было бы упростить эту формулу? Предположим, что все составляющие частички протяженного объекта вращаются с одинаковой угловой скоростью. Тогда угловую скорость можно вынести за знак суммирования и получим:

Здесь начинается самое интересное. Ранее в этой главе уже приводилась формула момента инерции:

Теперь совсем нетрудно сделать подстановку в предыдущей формуле кинетической энергии:

Итак, кинетическая энергия вращательного движения вычисляется аналогично кинетической энергии поступательного движения, если вместо массы использовать момент инерции, а вместо тангенциальной скорости — угловую скорость. Примеры кинетической энергии вращательного движения окружают повсюду. Спутник на космической орбите и бочка пива, которую скатывают по наклонной плоскости, обладают определенной кинетической энергией вращательного движения. Особенности вращательного движения бочки пива более подробно описываются в следующем разделе.

Измеряем кинетическую энергию бочки, катящейся по наклонной плоскости

Итак, нам уже известно, что объекты могут двигаться поступательно и вращательно, причем двигаться так, что без знания строгих законов физики порой трудно понять их поведение. Да ну? Действительно, если бочка скользит вниз по наклонной плоскости, то ее потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию поступательного движения (см. главу 8). А если бочка скатывается вниз по наклонной плоскости, то ее потенциальная энергия превращается не только в кинетическую энергию поступательного движения, но и в кинетическую энергию вращательного движения.

На рис. 11.4 показан случай, когда с наклонной плоскости высотой ​\( h \)​ скатываются сплошной и полый цилиндры с одинаковой массой ​\( m \)​. 2 \)​.

Итак, для полого цилиндра получим:

а для сплошного цилиндра:

А их отношение равно:

Как видите, скорость сплошного цилиндра в 1,15 раза больше скорости полого цилиндра, а значит, сплошной цилиндр быстрее достигнет конца наклонной плоскости.

Как на пальцах объяснить полученный результат? Все очень просто. В полом цилиндре вся масса сосредоточена на расстоянии радиуса цилиндра, а в сплошном цилиндре значительная часть масса распределена ближе радиуса. Это значит, что при одинаковой угловой скорости в полом цилиндре больше материала будет обладать большей тангенциальной скоростью, а для этого потребуется потратить больше энергии.

Не можем остановиться: момент импульса

Допустим, нам нужно остановить космический корабль с массой 40 т, который находится на околоземной орбите. Для этого потребуется затратить немалые усилия. Почему? Все дело во вращательном импульсе космического корабля.

В главе 9 подробно описывается понятие импульс материальной точки, который выражается следующей формулой:

где ​\( m \)​ — это масса, a ​\( v \)​ — скорость материальной точки.

По аналогии, при описании вращательного движения физики используют понятие вращательный импульс (который в русскоязычной научной литературе чаще называют моментом импульса материальной точки. — Примеч. ред.):

где ​\( l \)​ — это момент инерции, а ​\( \omega \)​ — угловая скорость материальной точки.

Следует помнить, что момент импульса (или вращательный импульс) является вектором, направление которого совпадает с направлением вектора угловой скорости.

Момент импульса в системе СИ измеряется в кг·м²·с^-1 (более подробно системы единиц измерения описываются в главе 2). Одним из наиболее важных свойств момента импульса является закон сохранения момента импульса.

Сохраняем момент импульса

Закон сохранения момента импульса гласит: момент импульса сохраняется, если равна нулю сумма всех моментов внешних сил. Этот закон проявляется во многих обыденных ситуациях. Например часто приходится видеть, как мастера фигурного катания на льду вращаются с широко разведенными в стороны руками, а затем резко приближают их к своему телу и сильно ускоряют свое вращение. Дело в том, что таким образом они уменьшают свой момент инерции и, согласно закону сохранения момента импульса, увеличивают свою угловую скорость. Зная начальную угловую скорость вращения фигуриста ​\( \omega_0 \)​ и его моменты инерции в позе с разведенными руками ​\( I_0 \)​ и в позе с сомкнутыми руками ​\( I_1 \)​, легко найти конечную угловую скорость ​\( \omega_1 \)​ по формуле:

Однако этот закон удобно использовать не только в таких простых ситуациях. Возвращаясь к примеру с космическим кораблем на околоземной орбите, следует отметить, что его орбита далеко не всегда является строго круглой. Чаще всего орбиты спутников Земли и других планет имеют эллиптическую форму. Поэтому без закона сохранения момента импульса было бы гораздо сложнее определять параметры их орбитального движения.

Пример закона сохранения момента импульса: вычисляем скорость спутника

Предположим, что космический корабль вращается на эллиптической орбите вокруг Плутона. Причем в самой близкой к Плутону точке орбиты спутник находится на расстоянии 6·10⁶ м от центра Плутона и имеет скорость 9·10³ м/с. Вопрос: какой будет скорость спутника в самой далекой точке эллиптической орбиты на расстоянии 2·10⁷ м от центра Плутона?

Для ответа на этот вопрос нужно воспользоваться законом сохранения момента импульса, поскольку на спутник не действуют никакие внешние моменты сил (сила гравитационного притяжения направлена параллельно радиусу и не создает момента). Однако закон сохранения момента импульса нужно преобразовать так, чтобы вместо угловых скоростей в его формулировке фигурировали тангенциальные скорости.

Итак, рассмотрим формулу закона сохранения момента импульса:

где ​\( I_{бл} \)​ — это момент инерции спутника в самой близкой точке, \( I_{дал} \) — это момент инерции спутника в самой далекой точке, \( \omega_{бл} \) — угловая скорость спутника в самой близкой точке, а \( \omega_{дал} \) — угловая скорость спутника в самой далекой точке.

Предположим, что размеры спутника гораздо меньше расстояния до центра Плутона и спутник можно считать материальной точкой. Тогда его моменты инерции равны:

и

где ​\( r_{бл} \)​ — это расстояние от спутника до центра Плутона в самой близкой точке эллиптической орбиты, а \( r_{дал} \) — это расстояние от спутника до центра Плутона в самой далекой точке эллиптической орбиты.

Кроме того:

и

Подставляя все перечисленные соотношения в формулу закона сохранения момента импульса

получим:

Отсюда путем несложных алгебраических преобразований, получим:

Подставляя значения, получим:

Итак, в ближайшей к Плутону точке орбиты спутник будет иметь скорость 9000 м/с, а в самой дальней — 2700 м/с. Этот результат мы легко получили только благодаря знанию закона сохранения момента импульса.

Глава 12. Сжимаем пружины: простое гармоническое движение →

← Глава 10. Вращаем объекты: момент силы

I.4.1 МОМЕНТ СИЛЫ И МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

Основная задача динамики вращательного движения – определение угловых координат точек вращающегося тела в любой момент времени по известным начальным угловым координатам, угловым скоростям и по заданным моментам внешних сил, действующих на тело.

Твёрдое тело – тело, все части которого неизменно сохраняют своё расположение; конфигурация частей твёрдого тела не изменяется даже при действии внешних сил. В частности, неизменными остаются расстояния между его частями.

Это идеальное представление об абсолютно твёрдом теле (см. определение в § I.1.1). В реальности же все существующие в природе твёрдые тела деформируются под действием сил, однако, деформации многих твёрдых тел очень малы относительно прикладываемых к ним сил и поэтому мы можем смело пользоваться упрощённой моделью абсолютно твёрдого тела.

Абсолютно твёрдое тело, имеющее закреплённую ось вращения, без воздействия моментов внешних сил не изменяет угловой скорости вращательного движения. При этом в инерциальной системе отсчёта тело либо покоится ( ), либо вращается с постоянной угловой скоростью, одинаковой для всех точек тела и .

Вращение тела вокруг оси под действием одной силы может быть остановлено действием второй силы (рис.

33). Если две силы и по отдельности вызывают вращение тела в противоположных направлениях, то при их одновременном действии тело находится в равновесии, если выполняется условие: ;

где и – радиус-вектор (плечо силы – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы). Из рисунка 35следует, что а .

Моментом силы относительно неподвижной точки называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора , проведённого из точки в точку приложения силы (на рис. 33, это точки и ), на силу :

(I.96)

 

Рисунок 33 – Вращающее действие сил и

Момент силы является псевдовектором, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от радиус-вектора к силе .

Модуль момента силы:

(I.97)

За единицу вращающего момента в СИ принимается момент силы в 1Н, линия действия которой находится на расстоянии 1 м от оси вращения. Эту единицу называют ньютон – метром (Н·м).

Суммарный момент нескольких сил, действующих на тело, равен алгебраической сумме моментов всех сил относительно данной оси:

. (I.98)

Если моментам сил, вызывающим вращение тела вокруг оси по часовой стрелке, приписать положительный знак, а моментам сил, вызывающим вращение против часовой стрелки, – отрицательный знак, то условие равновесия тела, имеющего ось вращения, можно сформулировать в виде правила моментов.

Правило моментов: тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:

.

Общее условие равновесия тел: тело находится в равновесии, если равны нулю геометрическая сумма векторов всех приложенных к нему сил и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно оси вращения

.

Моментом инерции материальной точки относительно данной оси называется физическая величина , равная произведению массы точки на квадрат её расстояния от оси:

. (I.99)

Рассматривая твёрдое тело как систему неизменно соединённых между собой материальных точек с массами , расположенных на расстояниях от оси вращения (рис.34). Каждая из этих точек имеет свой момент инерции ; сумму моментов инерции всех точек, составляющих данное тело, будем называть –

моментом инерции тела относительно оси вращения: ; или

 

. (I.100)

 

 

Исходя из формулы (I.100), можно дать следующее определение момента инерции тела.

Моментом инерции тела (механической системы) относительно неподвижной оси называется физическая величина , равная сумме произведений масс всех материальных точек тела (системы) на квадраты их расстояний до оси.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу вида:

, (I.101)

 

где – масса малого элемента объёма тела. Пределы интегрирования определяются формой и размерами тела.

Из формул (I.100) и (I.101) следует, что момент инерции тела зависит от:

§ его массы;

§ распределения массы относительно данной оси.

Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Он играет такую же роль, что и масса при описании поступательного движения тела. Но если масса данного тела считается величиной постоянной, то момент инерции данного тела зависит от положения оси вращения. Кроме того, на момент инерции влияют форма и размеры тела.

Согласно теореме Гюйгенса – Штейнера

(теореме о переносе осей инерции): момент инерции тела (рис. 35) относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр инерции тела (центр масс) параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

 

.

 

 

 

Из теоремы Гюйгенса – Штейнера, следует, что:

q параллельное смещение оси вращения, проходящей через центр масс, приводит к увеличению момента инерции данного тела;

q момент инерции тела минимален, если ось вращения проходит через центр масс: ;

q оси, проходящие через точку и через центр масс (точку ), должны быть параллельны.

Формула (I.101), позволяет рассчитать моменты инерции тел простейшей формы относительно некоторых осей.

 

1. Момент инерции однородного прямого тонкого цилиндрического стержня длины и массы относительно оси проходящей через его середину и перпендикулярной к его длине:

. (I.102)

2. Момент инерции однородного сплошного цилиндра (или диска) радиуса и массы относительно оси симметрии перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр:

. (I.103)

3.

Момент инерции цилиндра радиуса , массы и высоты относительно оси, перпендикулярной к его высоте и проходящей через её середину:

. (I.104)

4. Момент инерции шара (тонкостенной сферы) радиуса и массы относительно его диаметра (или оси проходящей через центр сферы):

. (I.105)

5. Момент инерции стержня длины и массы , относительно оси проходящей через один из его концов и перпендикулярной к его длине:

. (I.106)

 

6. Момент инерции полого тонкостенного цилиндра радиуса и массы , относительно оси цилиндра:

. (I.107)

 

7. Момент инерции цилиндра с отверстием (колесо, муфта):

 

, (I.108)

где и – радиусы цилиндра и отверстия в нём.

---

Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 4549; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

---

Изучение момента инерции и углового ускорения с Cobra SMARTsense

Nach oben

Информация

• Контактное лицо
• Условия сотрудничества
• Декларация о конфиденциальности
• Вводные данные

Обслуживание

• Краткий обзор услуг
• Скачать
• Каталоги
• Вебинары и Видео
• Связаться со службой поддержки клиентов

Компания

• О нас
• Качественная политика
• Безопасность в классе

Please note

* Prices subject to VAT.

We only supply companies, institutions and educational facilities. No sales to private individuals.

Please note: To comply with EU regulation 1272/2008 CLP, PHYWE does not sell any chemicals to the general public. We only accept orders from resellers, professional users and research, study and educational institutions.

Пожалуйста, введите имя, под которым должна быть сохранена Ваша корзина.
Сохраненные корзины вы можете найти в разделе My Account.

Название корзины

---

10.7 Второй закон Ньютона для вращения – University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Расчет крутящих моментов вращающихся систем относительно неподвижной оси для определения углового ускорения
• Объясните, как изменения момента инерции вращающейся системы влияют на угловое ускорение при фиксированном приложенном крутящем моменте

В этом разделе мы собрали воедино все, что узнали в этой главе, чтобы проанализировать динамику вращающихся твердых тел. Мы проанализировали движение с помощью кинематики и кинетической энергии вращения, но еще не связали эти идеи с силой и/или крутящим моментом. В этом разделе мы вводим вращательный эквивалент второго закона движения Ньютона и применяем его к твердым телам с вращением с фиксированной осью.

Второй закон Ньютона для вращения

На данный момент мы нашли множество эквивалентов переводческим терминам, используемым в этом тексте, совсем недавно крутящий момент, вращательный аналог силы. В связи с этим возникает вопрос: существует ли уравнение, аналогичное второму закону Ньютона, ΣF→=ma→, ΣF→=ma→, которое включает крутящий момент и вращательное движение? Чтобы исследовать это, мы начнем со второго закона Ньютона для одиночной частицы, вращающейся вокруг оси и совершающей круговое движение. Приложим силу F→F→ к точечной массе м , что находится на расстоянии r от точки вращения (рис. 10.37). Частица вынуждена двигаться по круговой траектории с фиксированным радиусом, а сила касается окружности. Мы применяем второй закон Ньютона, чтобы определить величину ускорения a=F/ma=F/m в направлении F→F→. Напомним, что величина тангенциального ускорения пропорциональна величине углового ускорения как a=rαa=rα. Подставляя это выражение во второй закон Ньютона, получаем

F=мра.F=мра.

Рисунок 10.37 Объект поддерживается горизонтальным столом без трения и прикреплен к точке поворота шнуром, создающим центростремительную силу. Сила F→F→ приложена к объекту перпендикулярно радиусу r , заставляя его ускоряться вокруг точки вращения. Сила перпендикулярна r .

Умножьте обе части этого уравнения на r ,

rF=mr2α.rF=mr2α.

Обратите внимание, что левая часть этого уравнения представляет собой крутящий момент вокруг оси вращения, где r — плечо рычага, а F ​​ — сила, перпендикулярная r . Напомним, что момент инерции точечной частицы I=mr2I=mr2. Таким образом, крутящий момент, приложенный перпендикулярно к точечной массе на рис. 10.37, равен

.

τ=Iα.τ=Iα.

Крутящий момент на частице равен моменту инерции относительно оси вращения, умноженному на угловое ускорение . Мы можем обобщить это уравнение на твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси.

Второй закон Ньютона для вращения

Если на твердое тело вокруг неподвижной оси действует более одного крутящего момента, то сумма крутящих моментов равна произведению момента инерции на угловое ускорение:

∑iτi=Iα.∑iτi=Iα.

10,25

Член IαIα является скалярной величиной и может быть положительным или отрицательным (против или по часовой стрелке) в зависимости от знака чистого крутящего момента. Помните соглашение о том, что угловое ускорение против часовой стрелки положительно. Таким образом, если твердое тело вращается по часовой стрелке и испытывает положительный крутящий момент (против часовой стрелки), угловое ускорение положительно.

Уравнение 10.25 представляет собой второй закон Ньютона для вращения и говорит нам, как связать крутящий момент, момент инерции и кинематику вращения. Это называется уравнением динамики вращения. С помощью этого уравнения мы можем решить целый класс задач, связанных с силой и вращением. Имеет смысл, что соотношение силы, необходимой для вращения тела, будет включать момент инерции, поскольку это величина, которая говорит нам, насколько легко или сложно изменить вращательное движение объекта.

Вывод второго закона Ньютона для вращения в векторной форме

Как и раньше, когда мы нашли угловое ускорение, мы также можем найти вектор крутящего момента. Второй закон ΣF→=ma→ΣF→=ma→ говорит нам о связи между результирующей силой и тем, как изменить поступательное движение объекта. У нас есть эквивалент этого уравнения для векторного вращения, который можно найти, используя уравнение 10.7 и рис. 10.8. Уравнение 10.7 связывает угловое ускорение с векторами положения и тангенциального ускорения:

а→=α→×r→. a→=α→×r→.

Мы образуем перекрестное произведение этого уравнения с r→r→ и используем тождество перекрестного произведения (обратите внимание, что r→·α→=0r→·α→=0):

r→×a→=r→×(α→×r→)=α→(r→·r→)−r→(r→·α→)=α→(r→·r→)=α→ r2.r→×a→=r→×(α→×r→)=α→(r→·r→)−r→(r→·α→)=α→(r→·r→)=α →r2.

Теперь мы составим векторное произведение второго закона Ньютона с вектором положения r→,r→,

Σ(r→×F→)=r→×(ma→)=mr→×a→=mr2α→.Σ(r→×F→)=r→×(ma→)=mr→×a→= мр2α→.

Отождествляя первый член слева как сумму крутящих моментов, а mr2mr2 как момент инерции, мы приходим ко второму закону вращения Ньютона в векторной форме:

Στ→=Iα→.Στ→=Iα→.

10,26

Это уравнение точно такое же, как уравнение 10.25, но с крутящим моментом и угловым ускорением в виде векторов. Важным моментом является то, что вектор крутящего момента имеет то же направление, что и угловое ускорение.

Применение уравнения динамики вращения

Прежде чем мы применим уравнение динамики вращения к некоторым повседневным ситуациям, давайте рассмотрим общую стратегию решения проблем для этой категории задач.

Стратегия решения проблем

Вращательная динамика

1. Изучите ситуацию, чтобы определить, участвуют ли крутящий момент и масса во вращении. Нарисуйте тщательный набросок ситуации.
2. Определить интересующую систему.
3. Нарисуйте диаграмму свободного тела. То есть нарисуйте и обозначьте все внешние силы, действующие на интересующую вас систему.
4. Определите точку поворота. Если объект находится в равновесии, он должен быть в равновесии для всех возможных точек поворота — выберите ту, которая максимально упрощает вашу работу.
5. Примените ∑iτi=Iα∑iτi=Iα, вращательный эквивалент второго закона Ньютона, чтобы решить задачу. Необходимо соблюдать осторожность, чтобы использовать правильный момент инерции и учитывать крутящий момент вокруг точки вращения.
6. Как всегда, проверьте правильность решения.

Пример 10.16

Расчет влияния распределения масс на карусель

Рассмотрим отца, толкающего карусель на детской площадке на рис. 10.38. Он прикладывает силу 250 Н к краю карусели массой 50,0 кг, имеющей радиус 1,50 м. Вычислите угловое ускорение, создаваемое (а), когда на карусели никого нет, и (б), когда ребенок массой 18,0 кг сидит на расстоянии 1,25 м от центра. Считайте саму карусель однородным диском с пренебрежимо малым трением.

Рисунок 10.38 Отец толкает игровую карусель за ее край и перпендикулярно ее радиусу для достижения максимального крутящего момента.

Стратегия

Чистый крутящий момент задается непосредственно выражением больше во втором случае).

Решение

1. Момент инерции твердого диска относительно этой оси на рис. 10.20 равен

   12MR2.12MR2.

   У нас есть M = 50,0 кг M = 50,0 кг и R = 1,50 мR = 1,50 м, поэтому

   I=(0,500)(50,0 кг)(1,50 м)2=56,25 кг-м2. I=(0,500)(50,0 кг)(1,50 м)2=56,25 кг-м2.

   Чтобы найти чистый крутящий момент, заметим, что приложенная сила перпендикулярна радиусу, а трением можно пренебречь, так что

   τ=rFsinθ=(1,50м)(250,0Н)=375,0Н-м. τ=rFsinθ=(1,50м)(250,0Н)=375,0Н-м.

   Теперь, после подстановки известных значений, мы находим угловое ускорение равным

   α=τI=375,0Н-м56,25кг-м2=6,67рад2.α=τI=375,0Н-м56,25кг-м2=6,67рад2.

2. Мы ожидаем, что угловое ускорение системы будет меньше в этой части, потому что момент инерции больше, когда ребенок находится на карусели. Чтобы найти общий момент инерции I , сначала найдем момент инерции ребенка IcIc, представив ребенка в виде точечной массы на расстоянии 1,25 м от оси. затем

   Ic=mR2=(18,0 кг)(1,25 м)2=28,13 кг-м2. Ic=mR2=(18,0 кг)(1,25 м)2=28,13 кг-м2.

   Суммарный момент инерции равен сумме моментов инерции карусели и ребенка (относительно одной оси):

   I=28,13кг-м2+56,25кг-м2=84,38кг-м2.I=28,13кг-м2+56,25кг-м2=84,38кг-м2.

   Подстановка известных значений в уравнение для α дает

   α=τI=375,0Н-м84,38кг-м2=4,44рад2.α=τI=375,0Н-м84,38кг-м2=4,44рад2.

Значение

Как и ожидалось, угловое ускорение меньше, когда ребенок находится на карусели, чем когда карусель пуста. Найденные угловые ускорения довольно велики, отчасти из-за того, что трение считалось пренебрежимо малым. Если бы, например, отец продолжал толкать перпендикулярно в течение 2,00 с, он придал бы карусели угловую скорость 13,3 рад/с, когда она пуста, но только 8,89.рад/с, когда на нем находится ребенок. В пересчете на обороты в секунду эти угловые скорости составляют 2,12 об/с и 1,41 об/с соответственно. В первом случае отец будет бежать со скоростью около 50 км/ч.

Проверьте свое понимание 10,7

Лопасти вентилятора реактивного двигателя имеют момент инерции 30,0 кг-м230,0 кг-м2. За 10 с они вращаются против часовой стрелки из состояния покоя до скорости вращения 20 об/с. а) Какой крутящий момент необходимо приложить к лопастям, чтобы получить это угловое ускорение? б) Какой крутящий момент необходим, чтобы лопасти вентилятора, вращающиеся со скоростью 20 об/с, остановились за 20 с?

17.4: Крутящий момент, угловое ускорение и момент инерции

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

24532

• Питер Дурмашкин
• Массачусетский технологический институт через MIT OpenCourseWare

Уравнение крутящего момента для вращения с фиксированной осью

Для вращения с фиксированной осью существует прямая зависимость между составляющей крутящего момента вдоль оси вращения и угловым ускорением. Рассмотрим силы, действующие на вращающееся тело. Как правило, силы, действующие на разные элементы объема, будут разными, поэтому мы будем обозначать силу, действующую на элемент объема массой \(\Delta m_{i}\) через \(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{i }\). Выберите ось z, чтобы она лежала вдоль оси вращения. Разобьем тело на элементы объема массы \(\Delta m_{i}\). Пусть точка \(S\) обозначает конкретную точку вдоль оси вращения (рис. 17.19).). Каждый элемент объема испытывает тангенциальное ускорение по мере того, как элемент объема движется по круговой орбите радиусом \(r_{i}=\left|\overrightarrow{\mathbf{r}}_{i}\right|\) вокруг фиксированной оси .

Рисунок 17.19: Элемент объема, вращающийся с фиксированной осью вокруг оси z.

Вектор от точки \(S\) до элемента объема задается как

\[\overrightarrow{\mathbf{r}}_{S, i}=z_{i} \hat{\mathbf{k} }+\overrightarrow{\mathbf{r}}_{i}=z_{i} \hat{\mathbf{k}}+r_{i} \hat{\mathbf{r}} \nonumber \]

где \(z_{i}\) – расстояние по оси вращения между точкой \(S\) и элементом объема. Крутящий момент относительно \(S\) из-за силы \(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{i}\), действующей на элемент объема, равен

\[\vec{\tau}_{S , i}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{S, i} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{i} \nonumber \]

Подставляя уравнение (17.3.1) в уравнение ( 17.3.2) дает

\[\vec{\tau}_{S, i}=\left(z_{i} \hat{\mathbf{k}}+r_{i} \hat{\mathbf{r }}\right) \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{i} \nonumber \]

Для вращения с фиксированной осью нас интересует z-компонента крутящего момента, которая должна быть членом

\[\left(\vec{\tau}_{S, i}\right)_{z }=\left(r_{i} \hat{\mathbf{r}} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{i}\right)_{z} \nonumber \]

, потому что векторное произведение \(z_{i} \hat{\mathbf{k}} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{i}\) должны быть направлены перпендикулярно плоскости, образованной векторами \(\hat{\mathbf {k}}\) и \(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{i}\), следовательно, перпендикулярно оси z. Сила, действующая на элемент объема, имеет составляющие

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}_{i}=F_{r, i} \hat{\mathbf{r}}+F_{\theta, i} \hat{\boldsymbol{\theta} }+F_{z, i} \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

z-составляющая \(F_{z, i}\) силы не может создавать крутящий момент в z-направлении, и поэтому подстановка уравнения (17. 3.5) в уравнение (17.3.4) дает

\[\left(\vec{\tau}_{S, i}\right)_{z}=\left(r_{i } \hat{\mathbf{r}} \times\left(F_{r, i} \hat{\mathbf{r}}+F_{\theta, i} \hat{\boldsymbol{\theta}}\right )\right)_{z} \nonumber \]

Рис. 17.20 Касательная сила, действующая на объемный элемент.

Радиальная сила не влияет на крутящий момент вокруг оси z, поскольку

\[r_{i} \hat{\mathbf{r}} \times F_{r, i} \hat{\mathbf{r} }=\overrightarrow{\mathbf{0}} \nonumber \]

Итак, нас интересует вклад крутящего момента относительно оси z из-за тангенциальной составляющей силы, действующей на элемент объема (рис. 17.20). Составляющая крутящего момента вокруг оси z определяется выражением

\[\left(\vec{\tau}_{S, i}\right)_{z}=\left(r_{i} \hat{ \mathbf{r}} \times F_{\theta, i} \hat{\mathbf{\theta}}\right)_{z}=r_{i} F_{\theta, i} \nonumber \]

На рис. 17.20 z-составляющая крутящего момента направлена ​​вверх, где \(F_{\theta, i}\) положительно (тангенциальная сила направлена ​​против часовой стрелки, как на рисунке). Применяя второй закон Ньютона в тангенциальном направлении,

\[F_{\theta, i}=\Delta m_{i} a_{\theta, i} \nonumber \]

Используя нашу кинематику, получаем, что тангенциальное ускорение равно \ (a_{\theta, i}=r_{i} \alpha_{z}\), где \(\alpha_{z}\) – z-компонента углового ускорения, мы имеем, что 9{\mathrm{ext}}\right)_{z}=I_{S} \alpha_{z}\)

Это очень похоже на второй закон Ньютона: полная сила пропорциональна ускорению,

\[ \overrightarrow{\mathbf{F}}=m \overrightarrow{\mathbf{a}} \nonumber \]

где масса, m, является константой пропорциональности.

Крутящий момент действует в центре тяжести

Предположим, что твердое тело, находящееся в статическом равновесии, состоит из N частиц, помеченных индексом \(i=1,2,3, \ldots, N\). Выберите систему координат с выбором начала координат O так, чтобы масса \(m_{i}\) имела положение \(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{i}\). Каждая точечная частица испытывает гравитационную силу \(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{\text {гравитация}, i}=m_{i} \overrightarrow{\mathbf{g}}\). Тогда общий крутящий момент вокруг начала координат равен нулю (условие статического равновесия), 9{i = N} \ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {i} \ times m_ {i} \ overrightarrow {\ mathbf {g}} = M _ {\ mathrm {T}} \ overrightarrow {\ mathbf {R} } _ {\ mathrm {см}} \ раз \ overrightarrow {\ mathbf {g}} = \ overrightarrow {\ mathbf {R}} _ {\ mathrm {см}} \ раз M _ {\ mathrm {T}} \ overrightarrow {\mathbf{g}}=\overrightarrow{\mathbf{0}} \nonumber \]

Таким образом, крутящий момент из-за силы гравитации, действующей на каждую точечную частицу, эквивалентен крутящему моменту из-за силы гравитации, действующей на каждую точечную частицу. точечная частица массы \(M_{\mathrm{T}}\), расположенная в точке тела, называемой центром тяжести, которая равна центру масс тела в типичном случае, когда гравитационное ускорение \(\overrightarrow{\mathbf{g}}\) постоянно во всем теле. 9{-3} \mathrm{N} \cdot \mathrm{m}
\end{aligned} \nonumber \]

Пример 17.10 Шкив и блоки

Шкив массой \(m _{\mathrm{p} }\), радиусом R и моментом инерции относительно его центра масс \(I _{\mathrm{см}}\), прикреплен к краю стола. Нерастяжимая нить ничтожной массы намотана на шкив и прикреплена одним концом к блоку 1, свисающему с края стола (рис. 17.22). Другой конец нити прикреплен к блоку 2, который скользит по столу.

Коэффициент трения скольжения между столом и блоком 2 равен \(\mu_{k}\). Блок 1 имеет массу \(m_{1}\), а блок 2 имеет массу \(m_{2}\), причем \(m_{1}>\mu_{k} m_{2}\). В момент времени t = 0 блоки выходят из состояния покоя, и струна не проскальзывает вокруг шкива. В момент времени \(t=t_{1}\) блок 1 падает на землю. Пусть g обозначает гравитационную постоянную. а) Найдите модуль ускорения каждого бруска. б) Какое расстояние пролетел брусок 1, прежде чем коснуться земли?

Рисунок 17.23 Диаграмма крутящего момента для шкива

Решение: Диаграмма крутящего момента для шкива показана на рисунке ниже, где мы выбираем \(\hat{\mathbf{k}}\), указывая на страницу. Обратите внимание, что натяжение струны по обе стороны от шкива неодинаково. Причина в том, что шкив массивный. Чтобы понять почему, вспомните, что разница в величинах крутящих моментов из-за натяжения по обе стороны шкива равна моменту инерции, умноженному на величину углового ускорения, которое отлично от нуля для массивного шкива. Так что напряжения не могут быть равными. Из нашей диаграммы крутящего момента крутящий момент вокруг точки O в центре шкива равен

\[\vec{\tau}_{O}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{O, 1} \times \overrightarrow{\mathbf{T}}_{1}+\overrightarrow{\ mathbf{r}}_{O, 2} \times \overrightarrow{\mathbf{T}}_{2}=R\left(T_{1}-T_{2}\right) \hat{\mathbf{k }} \nonumber \]

Следовательно, уравнение крутящего момента (17.3.23) принимает вид

\[R\left(T_{1}-T_{2}\right)=I_{z} \alpha_{z} \nonumber \]

Диаграммы силы свободного тела на двух блоках показаны на рис. 17.23.

Рис. 17.23 Диаграммы силы свободного тела на блоке 2 (а), блоке 1 (б)

Второй закон Ньютона для блока 1 дает

\[m_{1} g-T_{1}=m_{1} a_{y 1} \nonumber \]

Второй закон Ньютона для блока 2 в \(\hat {\mathbf{j}}\) дает

\[N-m_{2} g=0 \nonumber \]

Второй закон Ньютона для блока 2 в \(\hat{\mathbf{i}}\ ) направление дает

\[T_{2}-f_{k}=m_{2} a_{x 2} \nonumber \]

Кинетическая сила трения определяется выражением

\[f_{k}=\mu_ {k} N=\mu_{k} m_{2} g \nonumber \]

Следовательно, уравнение (17. 3.34) принимает вид

\[T_{2}-\mu_{k} m_{2} g=m_{2} a_{x 2} \nonumber \]

Блок 1 и блок 2 должны иметь одинаковое ускорение, поэтому

\[a \equiv a_{x 1}=a_{x 2} \nonumber \]

Мы можем решить уравнения (17.3.32) и (17.3.36) для двух натяжений, получив

\[T_{1} =m_{1} g-m_{1} a \nonumber \]

\[T_{2}=\mu_{k} m_{2} g+m_{2} a \nonumber \]

В точке на обод шкива имеет тангенциальное ускорение, равное ускорению блоков, поэтому 9{2} \номер\]

Пример 17.11 Экспериментальный метод определения момента инерции

Стальная шайба установлена ​​на цилиндрическом роторе радиусом r = 12,7 мм. Безмассовая струна, на другом конце которой закреплен предмет массой m = 0,055 кг, намотана на борт ротора и проходит по безмассовому шкиву (рис. 17.24). Предположим, что вокруг оси ротора действует постоянный момент трения. Объект высвобождается и падает. Когда объект падает, ротор испытывает угловое ускорение величины \(\alpha_{1}\). После отрыва струны от ротора ротор останавливается по инерции с угловым ускорением величины \(\alpha_{2}\). Пусть \(g=9{-2}\) обозначают гравитационную постоянную. По данным рис. 17.25, каков момент инерции \(I_{R}\) узла ротора (включая шайбу) относительно оси вращения?

Рис. 17.26 График зависимости угловой скорости от времени для падающего объекта

Решение: Начнем с построения диаграммы сила-момент (рис. 17.26а) для ротора и диаграммы свободного тела для подвески (рис. 17.26б). (Выбор положительных направлений указан на рисунках.) Тогда момент трения на роторе определяется выражением \(\vec{\tau}_{f}=-\tau_{f} \hat{\mathbf{k} }\), где мы используем \(\tau_{f}\) как величину момента трения. Крутящий момент вокруг центра ротора из-за натяжения струны определяется выражением \(\vec{\tau}_{T}=r T \hat{\mathbf{k}}\), где r – радиус ротор. Угловое ускорение ротора определяется выражением \(\vec{\alpha}_{1}=\alpha_{1} \hat{\mathbf{k}}\), и мы ожидаем, что \(\alpha_{1}> 0\), потому что ротор ускоряется.

(a) (b)

Рисунок 17.26 (a) Диаграмма силы-момента на роторе и (b) диаграмма силы свободного тела на подвешенном объекте

При падении подвески комбинация ротор-шайба имеет чистый крутящий момент из-за натяжения струны и момента трения, а также с использованием вращательного уравнения движения,

\[\operatorname{Tr}-\tau_{f}=I_{R} \alpha_{1} \nonumber \ ] 9{2}\right) \alpha_{1} \nonumber \]

Уравнение (17.4.3) содержит неизвестный момент трения, и этот момент определяется с учетом замедления ротора/шайбы после отрыва струны.

Рис. 17.27 Диаграмма крутящего момента на роторе при отсоединении струны

Крутящий момент в системе представляет собой именно этот момент трения (рис. 17.27), и поэтому

\[-\tau_{f}=I_{R} \alpha_{2} \ nonumber \]

Обратите внимание, что в уравнении (17.4.4) \(\tau_{f}>0\) и \(\alpha_{2}<0\). Вычитание уравнения (17.4.4) из уравнения (17.4.3) исключает \(\tau_{f}\), 9{2} \alpha_{1}+I_{R}\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right) \nonumber \]

Теперь мы можем найти \(I_{R}\), что дает

\[I_{R}=\frac{m r\left(g-r \alpha_{1}\right)}{\alpha_{1}-\alpha_{2}} \nonumber \]

Для числового результата мы используем данные, собранные во время пробного запуска, в результате чего получается график зависимости угловой скорости от времени для падающего объекта, показанный на рис. 17.25. Значения для \(\alpha_{1}\) и \(\alpha_{2}\) можно определить путем вычисления наклона двух прямых линий на рис. 17.28, что дает 9{2} \номер\]

---

Эта страница под названием 17.4: Крутящий момент, угловое ускорение и момент инерции распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0, автором, ремиксом и/или куратором выступил Питер Доурмашкин (MIT OpenCourseWare) с использованием исходного контента, который был отредактировано в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или страница

   Автор

   Петр Доурмашкин

   Лицензия

   CC BY-NC-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Программа OER или Publisher

   MIT OpenCourseWare

   Показать оглавление

   нет

2. Метки

   1. угловое ускорение
   2. момент инерции
   3. источник@https://ocw. mit.edu/courses/8-01sc-classical-mechanics-fall-2016/
   4. крутящий момент

Крутящий момент и угловое ускорение | безграничная физика |

Статическое равновесие, упругость и крутящий момент

Связь между крутящим моментом и угловым ускорением

Крутящий момент равен произведению момента инерции на угловое ускорение.

Цели обучения

Выразите взаимосвязь между крутящим моментом и угловым ускорением в виде уравнения

Основные выводы

Ключевые моменты

• Когда к объекту прикладывается крутящий момент, он начинает вращаться с ускорением, обратно пропорциональным его моменту инерции.
• Это соотношение можно рассматривать как второй закон Ньютона для вращения. Момент инерции – это масса вращения, а крутящий момент – это сила вращения.
• Угловое движение подчиняется Первому закону Ньютона. Если на объект не действуют никакие внешние силы, движущийся объект остается в движении, а покоящийся объект остается в покое.

Ключевые термины

• угловое ускорение : скорость изменения угловой скорости, часто обозначаемая α.
• крутящий момент : Вращательное или скручивающее действие силы; (единица СИ ньютон-метр или Нм; британская единица фут-фунт или фут-фунт)
• инерция вращения : Тенденция вращающегося объекта продолжать вращаться, если к нему не приложен крутящий момент.

Крутящий момент и угловое ускорение связаны следующей формулой, где – момент инерции объекта, а

α\alphaα

– угловое ускорение.

Крутящий момент, угловое ускорение и роль церкви во Французской революции 903:25 : Почему вещи меняют свою угловую скорость? Скоро ты узнаешь.

Подобно второму закону Ньютона, согласно которому сила равна произведению массы на ускорение, крутящий момент подчиняется аналогичному закону. Если вы замените крутящий момент силой, инерцию вращения массой, а угловое ускорение линейным ускорением, вы получите второй закон Ньютона. По сути, это уравнение представляет собой второй закон Ньютона, примененный к системе частиц, вращающихся вокруг заданной оси. Он не делает предположений о постоянной скорости вращения.

Чистый крутящий момент вокруг оси вращения равен произведению инерции вращения вокруг этой оси и углового ускорения, как показано на рисунке 1.

Рисунок 1 ), импульса (p) и углового момента (L) во вращающейся системе

Подобно второму закону Ньютона, угловое движение также подчиняется первому закону Ньютона. Если на объект не действуют никакие внешние силы, движущийся объект остается в движении, а покоящийся объект остается в покое. О вращающихся объектах мы можем сказать, что если не приложен внешний крутящий момент, вращающийся объект будет продолжать вращаться, а объект в состоянии покоя не начнет вращаться.

Если бы поворотный стол вращался против часовой стрелки (если смотреть сверху), и вы приложили бы пальцы к противоположным сторонам, поворотный стол начал бы замедлять свое вращение. По крайней мере, с точки зрения поступательного движения к поворотному столу не будет приложена результирующая сила. Сила, направленная в одну сторону, будет уравновешена силой, направленной в другую сторону. Силы двух пальцев нейтрализуют. Следовательно, поворотный стол будет находиться в поступательном равновесии. Несмотря на это, скорость вращения уменьшится, а это означает, что ускорение больше не будет равно нулю. Отсюда мы можем заключить, что только потому, что вращающийся объект находится в поступательном равновесии, он не обязательно находится в вращательном равновесии.

Лицензии и ссылки

Контент под лицензией CC, совместно используемый ранее

• Курирование и пересмотр.