Моменты инерции некоторых тел: Моменты инерции некоторых тел | Элементарная Физика

Содержание

Моменты инерции некоторых тел – Энциклопедия по машиностроению XXL

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ  [c.146]

Воспользовавшись общей формулой (1.209), выведем формулы моментов инерции некоторых тел.  [c.146]

Моменты инерции некоторых тел простейшей формы  [c.59]

Найдем моменты инерции некоторых тел простейшей формы, встречающихся при решении задач механики.  [c.59]

Моменты инерции некоторых тел см. т. 1 книга 2, стр. 37.  [c.952]

Моменты инерции некоторых тел приведены в т. 1. настоящего Справочника, стр. 403, табл. 8.  [c.360]


Формулы для определения моментов инерции некоторых тел с постоянной плотностью приведены в табл. 6.1.  [c.199]ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ЦЕНТР МАСС  [c.
233]

Моменты инерции некоторых тел. Теорема Гюйгенса — Штейнера  [c.211]

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы (т — масса тела)  [c.61]

Вычислим моменты инерции некоторых тел простейшей геометрической формы.  [c.504]

Приводим (без вывода) формулы моментов инерции некоторых тел.  [c.206]

Понятие о тензоре инерции тела в данной точке. Моменты инерции твердого тела относительно координатных осей, проходящих через некоторую точку О, и центробежные моменты инерции относительно этих осей представляют собой шесть величин, зависящих от положения точки О и от направления осей, так как с их изменением изменяются координаты точек тела Xi, yi, Zi. Эти величины можно расположить в виде симметричной таблицы-матрицы  

[c.109]

Моменты инерции некоторых однородных твердых тел  [c.197]

Моменты инерции тел сложной формы часто удается вычислить, если их предварительно разбить на тела простой формы. Моменты инерции сложных тел получают, суммируя моменты инерции частей этих тел. Получим формулы для вычисления моментов инерции некоторых однородных простейших тел.  [c.266]

Момент инерции твёрдого тела относительно некоторой оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через его центр тяжести, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.  

[c.46]

Моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси Z , проходящей через центр масс тела, приведены в следующей таблице (здесь т — масса тела)  [c.151]

Вычисление момента инерции твердого тела произвольной формы относительно той ли иной оси представляет собой, вообще говоря, довольно кропотливую в математическом отношении задачу. Однако в некоторых случаях нахождение момента инерции значительно упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера  

[c.151]


Примеры вычисления моментов инерции некоторых однородных тел.[c.553]

Моментом инерции твердого тела относительно некоторой оси Oz называется  [c.373]

Вычислим осевые моменты инерции некоторых однородных тел. а) Тонкое однородное кольцо радиуса К и массы М. Проведем через центр кольца О ось Ог, перпендикулярную плоскости кольца (рис. 1.149). В этом случае для любой точки кольца Ни = / , и по формуле (14.13) момент инерции кольца равен  [c.162]

Приведем формулы (без выводов) для вычисления моментов инерции простейших тел относительно некоторых осей.  

[c.167]

Коэффициент а / при рассмотрении колебаний механических систем представляет собой массу или момент инерции массы тела, или, наконец, некоторую комбинацию таких физических параметров.  [c.84]

Моменты инерции некоторых правильных геометрических тел приведены в т. 1, стр. 394, табл. 8.  [c.358]

Однако перечисленные характеристики собственно тела винта недостаточно полно и точно определяют инерционные свойства этого элемента системы. Действительно, при вращении винта в его движение вовлекается некоторая часть окружающей воды, участвующая в колебаниях вместе с винтом. Влияние этой сопутствующей воды может быть учтено в расчете соответствующими добавками к массе и моменту инерции собственно тела винта. Точное математическое определение таких добавок чрезвычайно сложно и не представляется возможным. Вместе с тем, судя по имеющимся литературным данным [47], влияние присоединенной массы воды можно учесть с некоторым запасом увеличением массы винта на 30% и момента инерции его на 60%, т. е. приняв в расчете  

[c.237]

Момент инерции. Сумму произведений масс частиц диска (тела) на квадраты их расстояний от некоторой оси называют моментом инерции диска (тела) относитель-  [c.85]

Если не вводить ограничений на собственные угловые скорости тел, составляющих рассматриваемую соосную систему, то можно провести более общее истолкование движения, В этом случае вектор момента внешних сил по-прежнему вращается со скоростью Ф, но он воздействует на моделирующее тело, вращающееся уже с некоторой другой скоростью ф .

Если принять момент инерции этого моделирующего тела около оси системы равным арифметической сумме осевых моментов инерции составляющих тел соосной системы и принять кинетический момент такого тела равным Яо, то искомая угловая скорость моделирующего тела выразится в виде  
[c.18]

Иногда бывает удобно момент инерции J тела относительно оси представить в виде произведения массы т тела на квадрат длины некоторого отрезка г , называемого радиусом инерции тела относительно данной оси  [c.321]

Формулы для вычисления моментов инерции однородных тел различной геометрической формы можно найти в технических справочниках. Вывод этих формул для некоторых однородных тел простейшей геометрической формы дан ниже, в 98. Для тел неоднородных или имеющих сложное очертание моменты инерции находятся обычно экспериментальным путем.  [c.322]

Момент инерции (динамический момент инерции). Моментом инерции J тела относительно некоторой оси инерции называют величину, равную сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от этой оси.

Единицу момента инерции удобно определить по формуле момента инерции материальной точки относительно некоторой оси инерции  [c.40]

Зависимость между моментами инерции тела относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса). Пусть нам известен момент инерции тела относительно оси 2, проходящей через центр масс С тела, требуется определить момент инерции этого тела относительно оси 2 , параллельной оси г и отстоящей от нее на расстоянии с1 (рис. 329). Выберем начало декартовой системы осей координат Сху2 в центре масс, С тела и проведем ось у так, чтобы она пересекла ось 21 в некоторой точке А.  

[c.557]

Иначе говоря, радиусом инерции р твердого тела относительно некоторой оси Oz называется расстояние от этой оси, на котором следует расположить всю массу тела, не изменяя момента инерции тела. Введя понятие радиуса инерции, мы можел момент инерции твердого тела выражать как момент инерции некоторой точки, обладающей массой тела и удаленной от оси Oz на расстояние р (вторая из формул (21. 3)).  [c.374]


В таблице приведены примеры расчета моментов инерции некоторых однородных хвердых тел.  [c.166]

Момент инерции различных тел. Теорема Штейнера

Лабораторная работа 15

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕЛ. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА.

Экспериментальная   установка

Цель работы – измерить моменты инерции различных тел. Проверить теорему Штейнера.

Общие сведения

Момент инерции тела  является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой инертности тела при поступательном движении. Момент  инерции  тела   зависит от размеров и формы тел и  от   распределения  массы  тела относительно оси вращения. Для вычисления момента инерции твердого тела относительно некоторой оси ОО  разобьем мысленно тело на большое число весьма малых элементов – материальных точек (рис.

1). Тогда момент инерции такой отдельной элементарной массы

где  – расстояние от элемента  объема  до оси вращения, r – плотность вещества.

Момент инерции всего тела

,

Таким образом, момент инерции  различных тел можно найти с помощью интегрирования.

Рассмотрим результаты расчета для некоторых частных случаев.

1. Момент инерции материальной точки массой m , находящейся на расстоянии

R от оси вращения

                                                            (1)

2. Момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр. Радиус диска R, его масса m.

                                                                    (2)

.Эта же формула справедлива для момента инерции сплошного цилиндра относительно оси совпадающей с осью цилиндра..

3. Момент инерции полого цилиндра с внутренним радиусом R1 и внешним радиусом R2 относительно оси , совпадающей с осью цилиндра.

                                                                  (3)

4. Момент инерции шара радиуса R относительно оси проходящей через его центр.

                                                                              (4)

5. Момент инерции тонкого стержня относительно оси перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину. Длина стержня l,

                                                                                  (5)

Эти формулы для моментов инерции  относительно оси симметрии.

Момент инерции относительно произвольной оси можно найти с помощью теоремы Штейнера:

Момент инерции относительно произвольной оси О1О1 равен сумме момента инерции I0, относительно оси OO, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела  и произведения массы тела на квадрат расстояния d между осями.

                                                            

Получим с помощью этой теоремы формулу момента инерции стержня относительно оси перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец.

                        (6)

В общем случае расчет момента инерции представляет собой достаточно сложную задачу, и часто он определяется экспериментально с помощью основного уравнения динамики вращательного движения, методом крутильных колебаний и др.

В данной работе для экспериментального измерения моментов инерции различных тел используется метод крутильных колебаний.

Исследуемые тела насаживаются на ось спиральной пружины. Если зкрутить пружину на угол j, то в результате деформации пружины возникнет упругая сила. Она создает крутящий момент (момент силы) М

M=Dj                                                                        (7)

Здесь D – модуль кручения пружины.

Этот крутящий момент стремится вернуть пружину в исходное (равновесное) состояние. В результате возникают крутильные колебания.

Из теории крутильных колебаний следует формула для  периода колебаний

                                                                           (8)

где J – момент инерции.

Отсюда

                                                                               (9)

Таким образом, измеряя период крутильных колебаний и зная модуль кручения D пружины, можно вычислить момент инерции тела,  насаженного  на ось пружины.

Порядок выполнения работы.

Для определения модуля кручения D   пружины возьмите стержень с грузами и насадите его на ось пружины. Грузы сдвиньте к центру.

Поверните стержень на 90о (p/2 радиан). Прикрепите к стержню (у края грузов) динамометр и измерьте силу F. Необходимую для удержания стержня в этом положении (динамометр держите перпендикулярно стержню).

Вычислите момент силы М

М=Fl

Здесь l – плечо силы, то есть расстояние от оси вращения до места приложения силы (до места прикрепления динамометра).

Момент инерции


Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инерции во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от типа базового множества до которого отсчитываются расстояния от элементарных масс.

Осевой момент инерции

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

J a = ∑ i = 1 n m i r i 2 , {displaystyle J_{a}=sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2},}

где:

  • mi — масса i-й точки,
  • ri — расстояние от i-й точки до оси. {3}dr=} = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h ( R 4 − R 1 4 ) = 1 2 π ρ h ( R 2 − R 1 2 ) ( R 2 + R 1 2 ) . {4}dh;}

    Интегрируя, получим

    J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ ( R H ) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ ( R H ) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = ( ρ ⋅ 1 3 π R 2 H ) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . {2}dh;} d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ ( R 2 − h 2 ) 2 d h = 1 2 π ρ ( R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4 ) d h . {4} ight)dh.}

    Момент инерции шара найдём интегрированием:

    J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R ( R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4 ) d h = = π ρ ( R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5 ) | 0 R = π ρ ( R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5 ) = 8 15 π ρ R 5 = = ( 4 3 π R 3 ρ ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . {5}.}

    Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

    J = d J 0 d R d R = d d R ( 8 15 π ρ R 5 ) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = ( ρ ⋅ 4 π R 2 d R ) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . {2}dr}{l}}.}

    Интегрируя, получим

    J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . {2}.}

    Тонкий стержень (ось проходит через конец)

    Вывод формулы

    При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l⁄2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

    J = J 0 + m r 2 = J 0 + m ( l 2 ) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . {2}.}

    Безразмерные моменты инерции планет и спутников

    Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение доплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра.

    Центробежный момент инерции

    Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

    J x y = ∫ ( m ) x y d m = ∫ ( V ) x y ρ d V , {displaystyle J_{xy}=int limits _{(m)}xydm=int limits _{(V)}xy ho dV,} J x z = ∫ ( m ) x z d m = ∫ ( V ) x z ρ d V , {displaystyle J_{xz}=int limits _{(m)}xzdm=int limits _{(V)}xz ho dV,} J y z = ∫ ( m ) y z d m = ∫ ( V ) y z ρ d V , {displaystyle J_{yz}=int limits _{(m)}yzdm=int limits _{(V)}yz ho dV,}

    где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

    Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции данного тела.

    Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

    Геометрические моменты инерции

    Геометрический момент инерции объёма относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой:

    J V a = ∫ ( V ) r 2 d V , {displaystyle J_{Va}=int limits _{(V)}r^{2}dV,}

    где, как и ранее r — расстояние от элемента dV до оси a. {4}} } ), соответственно единица измерения СИ — м4. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката часто указывается в см4.

    Через геометрический момент инерции площади выражается момент сопротивления сечения:

    W = J S a r m a x . {displaystyle W={frac {J_{Sa}}{r_{max}}}.}

    Здесь rmax — максимальное расстояние от поверхности до оси.

    Момент инерции относительно плоскости

    Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой плоскости называют скалярную величину, равную сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до рассматриваемой плоскости.

    Если через произвольную точку O {displaystyle O} провести координатные оси x , y , z {displaystyle x,y,z} , то моменты инерции относительно координатных плоскостей x O y {displaystyle xOy} , y O z {displaystyle yOz} и z O x {displaystyle zOx} будут выражаться формулами:

    J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2   , {displaystyle J_{xOy}=sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}^{2} ,} J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2   , {displaystyle J_{yOz}=sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}^{2} ,} J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2   . {2}dV,}

    где:

    • d m = ρ d V {displaystyle dm= ho dV} — масса малого элемента объёма тела d V {displaystyle dV} ,
    • ρ {displaystyle ho } — плотность,
    • r {displaystyle r} — расстояние от элемента d V {displaystyle dV} до точки O.

    Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые моменты инерции, а также через моменты инерции относительно плоскостей:

    J O = 1 2 ( J x + J y + J z ) , {displaystyle J_{O}={frac {1}{2}}left(J_{x}+J_{y}+J_{z} ight),} J O = J x O y + J y O z + J x O z . {displaystyle J_{O}=J_{xOy}+J_{yOz}+J_{xOz}.}

    Тензор инерции и эллипсоид инерции

    Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 {displaystyle {vec {s}}=leftVert s_{x},s_{y},s_{z} ightVert ^{T},leftvert {vec {s}} ightvert =1} , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:

    I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , {displaystyle I_{s}={vec {s}}^{T}cdot {hat {J}}cdot {vec {s}},qquad } (1)

    где J ^ {displaystyle {hat {J}}} — тензор инерции. = ‖ J x x − J x y − J x z − J y x J y y − J y z − J z x − J z y J z z ‖ , {displaystyle {hat {J}}=leftVert {egin{array}{ccc}J_{xx}&-J_{xy}&-J_{xz}-J_{yx}&J_{yy}&-J_{yz}-J_{zx}&-J_{zy}&J_{zz}end{array}} ightVert ,} J x y = J y x , J x z = J z x , J z y = J y z , {displaystyle J_{xy}=J_{yx},quad J_{xz}=J_{zx},quad J_{zy}=J_{yz},quad } J x x = ∫ ( m ) ( y 2 + z 2 ) d m , J y y = ∫ ( m ) ( x 2 + z 2 ) d m , J z z = ∫ ( m ) ( x 2 + y 2 ) d m . d = ‖ J X 0 0 0 J Y 0 0 0 J Z ‖ , {displaystyle {hat {J}}_{d}=leftVert {egin{array}{ccc}J_{X}&0&0

    ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 1 МОМЕНТ ИНЕРЦИИ Момент

    ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

    1. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ Момент инерции – скалярная физическая величина, характеризующая инертные свойства тел при вращательном движении. – Момент инерции материальной точки [ J ] = кг м 2 r m Момент инерции – аналог массы при вращательном движении Момент инерции твёрдого тела зависит от: – Массы тела; – Формы тела; – Размеров тела; – Положения оси вращения относительно тела.

    Для системы материальных точек (твердого тела): – Момент инерции ТЕЛА при непрерывном распределении массы тела по некоторому объему

    δ

    Моменты инерции некоторых тел правильной формы Кольцо Цилиндр

    Теорема Штейнера (о параллельном переносе оси, если ось вращения не совпадет с центром инерции тела) d Момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела IС относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

    Применение теоремы Штейнера для расчета момента инерции стержня относительно оси, проходящей через край стержня, перпендикулярно ему: О Cтержень массой m, длиной l, вращается вокруг оси Z:

    Кинетическая энергия вращения Кинетическая энергия катящегося тела складывается из энергии поступательного и вращательного движения:

    2. МОМЕНТ СИЛЫ Момент силы относительно точки вращения – это векторная величина, определяемая векторным произведением r точки приложения силы на действующую силу F. радиуса-вектора Плечо силы d – это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

    Если на тело действует независимо друг от друга несколько сил, каждая из которых создает свой момент сил, то результирующий (главный) момент сил равен

    Разница между силой моментом сил

    Применение момента сил

    3. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА Момент импульса материальной точки Момент импульс материальной точки относительно точки вращения – это векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r на импульс р материальной точки.

    – момент импульса твердого тела Момент импульса – аддитивная величина:

    ОСНОВНОЙ ЗАКОН ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ если Угловое ускорение прямо пропорционально результирующему моменту сил, приложенных к телу и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно той же оси вращения. – общая формулировка

    ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Полный момент импульса замкнутой системы тел остается постоянным. если (система не замкнута), НО Момент импульса и для незамкнутых систем постоянен, если результирующий момент внешних сил, приложенных к системе, равен нулю.

    ω2 ω1 J 1 ω3 J 2 J 3 ЗСМИ J 1ω1= J 2ω2= J 3ω3 J 2 ω1 >ω3

    До взлета Lвинта Lверт После взлета ЗСМИ После взлета Lвинта 1 Lвинт2

    Lвинта Fвинта Mвинта

    Система состоит из трех шаров c массами m 1=1 кг, m 2=2 кг, m 3=3 кг, которые движутся так, как показано на рисунке. Если скорости шаров равны v 1=3 м/с, v 2=2 м/с, v 3=1 м/с. Чему равна величина скорости центра масс этой системы?

    Импульс тела изменился под действием кратковременного удара и стал равным , как показано на рисунке. В момент удара сила действовала в направлении …

    Теннисный мяч летел с импульсом в горизонтальном направлении, когда теннисист произвел по мячу резкий удар длительностью 0, 1 с. Изменившийся импульс мяча стал равным (масштаб указан на рисунке). Чему равна средняя сила удара?

    2.3: Моменты инерции некоторых простых форм

    Ученик вполне может спросить: «Для скольких различных форм тела я должен запомнить формулы для их моментов инерции?» У меня возникнет соблазн сказать: «Нет». Однако, если какие-либо из них должны быть сохранены в памяти, я бы посоветовал ограничить список для запоминания теми немногими телами, которые, вероятно, будут встречаться очень часто (особенно если их можно использовать для быстрого определения моментов инерции тела). другие тела), для которых легче запомнить формулы, чем вывести их.{2}} {4} \), поскольку распределение массы относительно вращения вокруг диаметра такое же.

    Страница не найдена – Vijaya College

    404 Страница не найдена

    Вернуться на главную Виджая колледж
    • Дом
    • О нас
      • Genesis
      • Политика качества
      • Расширение деятельности
        • NCC
        • RANGERS AND ROVERS
        • NSS
        • Группа по расширению прав и возможностей женщин
        • Молодежный Красный Крест
    • Организация
      • Члены руководства
      • Различные учреждения
      • Департаменты колледжа
      • Инфраструктурные объекты
      • Директор
      • Трудоустройство – Центр профессионального консультирования
      • Годовые отчеты по обеспечению качества
      • NAAC SSR
      • 901 Отцы-основатели 9011 Практика
      • Кодекс поведения
        • Кодекс поведения студентов
        • Кодекс поведения преподавателей
    • Преподаватели
      • Правила приема и обучения
      • Требования к посещаемости
      • Минимальные нормы раскрытия информации
      • Результаты
      • Содержание преподавания
      • Банк вопросов
      • АКАДЕМИЧЕСКИЙ ПЛАН
      • Национальная политика в области образования (NEP) 2020
      • Информация о приеме
      • Регистрация на 2021-22 годы
      • Оплата регистрационного взноса
      • Оплата взноса
    • Предлагаемые курсы
      • Б.Sc.
      • B.Com.
      • BBA
      • BCA
      • ОТДЕЛ ТОРГОВЛИ ДЛЯ ВЫПУСКНИКА
      • ОТДЕЛЕНИЕ ХИМИИ ДЛЯ ВЫПУСКНИКА
      • Положение BU CBCS
      • Результаты программы
    • Комитеты
      • Законодательная декларация RTI
      • Приемная комиссия
      • Коммерческий комитет
      • Управляющий совет
      • IQAC
      • Литературный и культурный комитет
      • Журнальный комитет
      • Политика в отношении сексуальных домогательств
      • Комитет по науке
      • 3 Публикации
        • Research Bulletin
        • Microbiome
        • MRP Publications
        • College Magazine 2019-20
      • Контакты

      12.3.5 Момент инерции

      © Х.Föll (сценарий Iron, Steel and Swords)

      12.3.5 Момент инерции

      Что такое Момент инерции?
      Момент инерция, иногда также называемая угловая масса или инерция вращения , является внутренним свойство всего, что имеет массу и определенное тело или форму. Мы знаем это тензор, но пока мы рассматриваем его как число , которое можно использовать для описания определенного свойство тела, как и другие числа, определяющие, например, его массу, объем, модуль Юнга, цвет, размер бюстгальтера или средний доход.
      Тела с одинаковой массой могут иметь очень разные моменты инерции, так как они могут иметь разные объемы, цвета или коэффициенты сексуальной привлекательности.
      Следующая картинка дает представление о том, что необходимо учитывать при определяем момент инерции данного тела.
      Рассмотрите тела показано ниже. Удлиненный стержень массой 100 с чем-то (кг, г, фунты, унции, …), различные сферы на конце тонкого и практически безмассового стержня, всегда с общей массой 100 и центром масс прямо посередине, плюс тело.Угадайте, какой крутящий момент нужен, чтобы заставить все эти тела вращаться одинаково. пути («с равным ускорением скорости вращения») вокруг оси указаны. Я обозначил свою догадку по длине стрелок крутящего момента.
      Невозможно угадать точную длину стрелок крутящего момента, но одно уверен: гораздо легче вращать стержень вокруг его длинной оси, чем вокруг его центр, или одна большая сфера по сравнению с двумя сферами далеко на тонкий стержень.
      Усилие или крутящий момент, необходимые для получения определенного ускорения вращательного скорость прямо пропорциональна моменту инерции. Длина красного стрелки на картинке ниже, таким образом, также символизируют момент инерции тела, рассматриваемые для показанных осей вращения.
      .
      Вращающиеся тела одинаковой массы, но различной моменты инерции
      Ось вращения проходит через центр масс во всех примерах
      Из рисунка также видно, что и одно и то же тело может иметь совершенно разные моменты инерции.Только отдача один номер , таким образом, означает, что вы также даете ось вращения .
      Практическое правило мы можем утверждать, что расстояние масс от оси вращения – это то, что считается моментом инерции. Далекие массы крутить сложнее примерно чем массы, близкие к оси. Фактически, расстояние от поворота ось отсчитывает квадратично . Удвойте это, и вам нужно в четыре раза больше усилий, потому что момент инерции увеличивается в четыре раза..
      Вычисление момента инерции для любого объекта (относительно заданной оси) есть легко сделать, если следовать этому простому рецепту:
      • Разделите свое тело на крошечные кубики (представьте, что оно создано крошечным конструктором Лего. блоки).
      • Возьмите массу куба и умножьте ее на квадрат расстояния до ту конкретную ось вращения, проходящую через центр масс, который вы иметь в виду.
      • Это дает вам число в единицах измерения: кг · м 2 .Напишите вниз это число.
      • Повторите процедуру для всех остальных блоков, которые вам нужно было произвести. тело.
      • Сложите все числа. Результат дает вам момент инерции в единицах кг · м 2 относительно выбранной оси.
      Конечно, если знаешь хоть немного немного об исчислении, вы знаете, что рецепт выше говорит вам сделать интеграл и что все вышеперечисленное сводится к уравнению короче, чем слова «момент инерции».Как это работает, показано в науке ссылка.
      Однако гораздо проще измерить момент инерции вашего меча, чем его вычислить. Как это будет сделано, я буду изложено в науке ссылка и здесь.
      А теперь посмотрим на единственное действительно важный момент во всем этом:

      Момент инерции для
      вращательных движений
      какова масса для
      поступательных движений.
      Когда вы бросаете копье, бейсбольный мяч или камень (поступательное движение) вы “чувствуете” по существу массу объект, противодействующий силе, которую вы прилагаете. Увеличиться сложнее массы движутся.
      Когда вы вращаете гироскоп или меч, вы чувствуете момент инерции. противодействуя приложенному вами крутящему моменту. Сложнее получить большие моменты инерционное вращение.
      Конечно, момент инерции заключает в себе массу объекта. Но как это масса, распределенная относительно оси вращения, также является частью момента инерция, а это обычно важнее массы.
      Если вы все еще со мной, вы можете отметили, что у нас все еще есть две основные проблемы в отношении момента инерция наших мечей:
      1. Есть много (фактически бесконечно много) возможных осей вращения, по которым можно двигаться через центр масс некоторого тела.На картинке выше показаны два для стержень и тело. Вращательное поведение двух случаев и, следовательно, момент инерции будет совсем другим. Нам нужно два числа для двух осей! Три числа по трем осям и так далее? Напротив, если мы повернем идеальный сфера, все оси равны – только одно число для момента инерции нужен для всех возможных осей!
      2. Используя свой меч, я редко вращаю его вокруг центра масс. Я скорее поверните его вокруг оси или точки поворота рукояти (потому что я вращаю запястье) или ось даже не внутри меча, как ось, проходящая через мой локоть или плечо.Как правило, я могу вращать его вокруг любой оси, о которой только могу подумать. Другой бесконечность возможностей и бесконечно много моментов инерции?
      Хорошие вопросы. В ответы очевидны и просты – для людей с некоторым опытом в физике и знание тензорной алгебры.
      Начнем:
      1. Момент инерции оказывается равным тензор – набор не более 9 «нормальные» номера; но в нашем случае подойдет уже 6 или меньше.А тензор – это математическая сущность немного более продвинутая, чем вектор (что-то требуются три “нормальных числа” для его определения), но все же довольно простой прочее и просто своего рода продвинутый номер.
      2. Если известен тензор момента инерции для вращений вокруг осей, проходящих через центр масс, вы легко можете рассчитать его значение для любой оси . Ну может ты и не можешь, но я и мой У друзей здесь нет проблем.
      Итак, момент инерции – это «число», как указано выше, просто не обычное или «нормальный» скучный вид.Вы уже сталкивались с этим раньше. Ты бы дайте скорость вашего автомобиля как нормальное число – например, 123 км / ч – но при более внимательном рассмотрении вы понимаете, что скорость – это вектор – сущность, которая требует трех «нормальные» числа, чтобы полностью описать его величину (123 здесь) и пространственное направление движения. Обычно вы задаете компоненты скорости по трем осям некоторой координаты система – три числа!
      Момент инерции – это тензор, нечто более сложное, чем вектор. но все же в той математической лиге, где “нормальные” числа или скаляра известны как тензоры нулевого ранга, векторы 1-го ранга, тензоры типа момента инерции (или стресс и тензоры деформации) 2-го ранга и т. д.
      Таким образом, момент инерции – это сущность, однозначно связанная с некоторой совокупностью материал. Нам нужно знать это, если мы хотим произвести какие-либо расчеты, связанные с вращения тела. Модуль Юнга, например, также оказался при ближайшем рассмотрении оказывается тензором. Модуль Юнга на самом деле тензор 4-го ранга, требуется до 21 “нормальных” чисел или скаляров для полностью опишите это.
      Работа с моментом инерции
      Теперь к хорошим новостям: не все топоры вращения равны! У вас может быть бесконечно много осей, проходящих через центр масс какого-то тела, но одно или два сразу бросаются в глаза, если это тело не совсем неправильное, но имеет некоторую симметрию.Давайте посмотрим на некоторые примеры:
      Основные оси
      Эти специальные оси называются « главных осей » и – неожиданно – одна из они будут соответствовать максимально возможному моменту инерции, который тело может есть, еще один – к самому маленькому, а третий – к чему-то среднему.Как выясняется (после тяжелой математики), только вращения вокруг главных осей устойчивы, а вращающийся вокруг оси с наибольшим или наименьшим моментом инерция самая устойчивая.
      Если два из трех моментов инерции идентичны (например, для цилиндров или тела в форме яйца) только ось с уникальным значением момента инерция стабильна.
      Что означает “стабильный” в этот контекст? Ну, вообще ничего, пока мы смотрим на вращение жестких тел в космическом пространстве без трения.Ситуация изменится, если мы посмотрим на вращение реальных тел в среде с некоторыми (даже такими малое) трение.
      Тела, вращающиеся вокруг произвольной оси в среде с гравитацией и некоторое (небольшое) трение или другие помехи (например, дуновение ветра) начнутся качаться и в конечном итоге вращаться вокруг оси с самым большим, наименьший или уникальный момент инерции.
      Это одна из причин, по которым сваренное вкрутую яйцо заставляет вращаться, лежа на со временем его бок выпрямится и встанет на кончик.Это на самом деле далеко сложнее, но здесь начинается самое интересное. Вращающиеся предметы могут очень странные вещи!
      Вращающееся яйцо, стоящее на кончике
      Слава богу (или мне) нам не нужно вникнуть в это. Пока скорость вращения не очень велика, мы не придется много беспокоиться о стабильных и нестабильных осях, центробежных силах и всем остальном. захватывающий материал, связанный с «гироскопами».
      Когда вы взмахиваете мечом, вызывая вращательное движение, вы совершаете им долю полного круга за доли секунды. Таким образом, его скорость вращения составляет около одного оборота в секунду. или 60 об. / мин. Это не считается большой скоростью вращения, поэтому мы забываем о сложности, упомянутые выше.
      Нам нужно вникать в еще один аспект момента инерции.Теперь вы понимаете, почему ваш боевой топор, когда вы его бросите, полетит так:
      Игра с топором
      Сверху видим брошенный топор, сначала вращение вокруг точки вращения рядом с кулаком, но после отпускания в свободном полет, вращающийся вокруг своего центра масс.Это стабильное вращение, потому что ось вращения – это не только главная ось, но и ось с наибольшим момент инерции. Во втором и третьем примере топор также вращается вокруг основные оси, но его полет менее устойчив. Вероятно, начнется колебание. Конечно, никто никогда так не метает топор (как бы вы это сделали?).
      The Ось вращения не проходит через центр Масса
      Наконец-то я перехожу к настоящему Мир! Вы уже поняли, что любое движение можно преобразовать в чистый перевод и чистый поворот , но есть много движений, которые выглядят очень похоже на просто вращения, и почему вы должны описывать это как смесь? Представьте маятник часов, вашу поездку на карусели, циферблаты вашего смотреть.Мы назвали эти повороты «вращениями опорных точек». я буду подробнее об этом в следующем подразделе, здесь мне нужно только указать хорошие новости:

      Вы можете описать вращение точки поворота
      с моментом инерции!
      Давайте посмотрим на теперь осмысленные повороты точки поворота.То, на что мы смотрим, вращается вокруг где-то фиксировала ось ; в поворотной точке, что не обязательно должен быть идентичен центру масс. Вот примеры:
      Вращения вокруг точек поворота
      В левом случае точка поворота совпадает с центром масс. в В правом случае точка поворота находится за пределами объекта (меча), возможно, в вашем локоть.Середина соответствует вращению запястья.
      Для всех трех случаев нам нужен крутящий момент. Вы можете представить, что крутящий момент будет передаваться коленчатым валом перпендикулярно к экрана и заканчивая точкой поворота. Если вы можете себе это представить, вы точно так же хорошо могу представить крутящий момент в виде стрелки в направлении коленчатого вала, “сидя” на точке поворота, длина которой пропорциональна значение приложенного крутящего момента.Именно так я описал крутящий момент в текст.
      Если ваши мышцы так или иначе задействованы в передавая крутящий момент, они обязательно почувствуют возрастающее сопротивление вращательное движение, если расстояние между центром масс и шарниром балл увеличивается. Мы уже знаем, что сопротивление вращению вокруг центр масс задавался моментом инерции этой оси вращения. Для вращения вокруг какой-либо другой оси или точки поворота, как показано, нам нужно использовать “ теорема о параллельности оси ” (“ Satz von Steiner ” на немецком языке), и это довольно простая теорема.
      В нем указано, что момент инерции для некоторая ось задается моментом инерция оси, проходящей через центр масс параллельно оси считается, плюс масса, умноженная на расстояние между осями в квадрате.
      Давайте посмотрим на пример: если ваши оси или точка поворота вашего 1 кг меч на на 10 см от центра масс на , вы добавляете 1 кг · (0.1 м) 2 = 0,02 кгм 2 к заданному моменту инерции для центра масс.
      Вы не должны вникать в это. Все это означает, что на квадратично на сложнее размахивать мечом или топора с увеличением расстояния между выбранной вами опорной точкой и центр массы. Это уже объясняет, почему размахивать мечом намного проще. с определенным весом, чем топор с таким же весом. В первом случае центр масс находится недалеко от рукояти, где находится точка поворота; в во втором случае расстояние большое.
      Мы приближаемся к возможности чтобы обсудить “обращение” с удлиненными предметами, такими как мечи, топоры или клюшки для гольфа, “чувство”, которое вы испытываете, когда ими размахиваете, и почему маленькие различия в геометрии могут иметь большое значение. Однако прежде чем мы это сделаем, мы нужно немного глубже вникнуть в динамику этих объектов. Частично просто для развлечения, отчасти потому, что есть еще несколько полезных вещей, которые нужно изучить.

      Момент инерции – wikidoc

      Эта статья о моменте инерции вращающегося объекта . Что касается момента инерции при изгибе плоскости, см. Второй момент площади.

      Момент инерции , также называемый моментом инерции массы или угловой массой , (единицы СИ кг м 2 , Бывшие британские единицы slug ft 2 ), является вращательным аналогом массы. .То есть это инерция твердого вращающегося тела по отношению к его вращению. Момент инерции играет во вращательной динамике почти ту же роль, что и масса в базовой динамике, определяя взаимосвязь между угловым моментом и угловой скоростью, крутящим моментом и угловым ускорением, а также рядом других величин. В то время как простая скалярная обработка момента инерции достаточна для многих ситуаций, более продвинутая тензорная обработка позволяет анализировать такие сложные системы, как волчки и движение гироскопа.

      Символы I {\ displaystyle I} и иногда J {\ displaystyle J} обычно используются для обозначения момента инерции.

      Момент инерции был введен Эйлером в его книге a Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum в 1730 году. В этой книге он подробно обсудил момент инерции и многие концепции, такие как главная ось инерции, связанные с моментом инерции.

      Обзор

      Момент инерции объекта относительно данной оси описывает, насколько сложно изменить его угловое движение вокруг этой оси.Например, рассмотрим два диска (A и B) одинаковой массы. Диск A имеет больший радиус, чем диск B. Предполагая, что существует однородная толщина и распределение массы, требуется больше усилий для ускорения диска A (изменения его угловой скорости), потому что его масса распределена дальше от его оси вращения: масса, которая находится дальше выходящий из этой оси должен для данной угловой скорости двигаться быстрее, чем масса ближе внутрь. В этом случае диск A имеет больший момент инерции, чем диск B.

      Файл: Synchro.jpg

      Дайверы минимизируют моменты инерции для увеличения скорости вращения.

      Момент инерции объекта может измениться при изменении его формы. Фигурист, начинающий вращение с вытянутыми руками, – яркий тому пример. Обнимая ее, она уменьшает свой момент инерции, заставляя ее вращаться быстрее (за счет сохранения углового момента).

      Момент инерции имеет две формы: скалярную форму I {\ displaystyle I} (используется, когда известна ось вращения) и более общую тензорную форму, которая не требует знания оси вращения.Скалярный момент инерции I {\ displaystyle I} (часто называемый просто «моментом инерции») позволяет кратко проанализировать многие простые проблемы динамики вращения, такие как скатывание объектов по склону и поведение шкивов. Например, в то время как блок любой формы будет скользить вниз по склону без трения с одинаковой скоростью, катящиеся объекты могут спускаться с разной скоростью, в зависимости от их моментов инерции. Обруч будет опускаться медленнее, чем твердый диск того же диаметра, потому что большая часть его массы расположена далеко от оси вращения, и, следовательно, ему необходимо двигаться быстрее, если обруч катится с той же угловой скоростью.Однако для (более сложных) задач, в которых ось вращения может измениться, скалярная обработка неадекватна, и необходимо использовать тензорную обработку (хотя в особых случаях возможны сокращения). Примеры, требующие такой обработки, включают гироскопы, вершины и даже спутники, все объекты, выравнивание которых может изменяться.

      Момент инерции может также называться моментом инерции массы (особенно инженерами-механиками), чтобы избежать путаницы со вторым моментом площади, который иногда называют моментом инерции (особенно инженерами-строителями) и обозначают тот же символ I {\ displaystyle I}.{2} \, \ rho ({\ boldsymbol {r}}) \, dV \!}

      где

      В – объем, занимаемый объектом.
      ρ – пространственная функция плотности объекта, а
      r≡ (r, θ, ϕ), (x, y, z) или (r, θ, z) {\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} \ Equiv (r, \ theta, \ phi), ( x, y, z) или (r, \ theta, z)} – координаты точки внутри тела.
      Файл: Moment of inertia disk.png

      Схема для расчета момента инерции диска. Здесь k, – 1/2, а r – радиус, используемый для определения момента.{2} \, \!}

      где

      M – масса
      R – радиус объекта от центра масс (в некоторых случаях вместо этого используется длина объекта).
      k – это безразмерная константа, называемая константой инерции , которая изменяется в зависимости от рассматриваемого объекта.

      Инерционные константы используются для учета различий в размещении массы относительно центра вращения.Примеры включают:

      • k = 1, тонкое кольцо или тонкостенный цилиндр вокруг его центра,
      • k = 2/5, сплошная сфера вокруг центра
      • k = 1/2, сплошной цилиндр или диск вокруг его центра.

      Дополнительные примеры см. В Списке моментов инерции.

      Теорема о параллельной оси

      После того, как момент инерции был вычислен для вращений вокруг центра масс твердого тела, можно удобно пересчитать момент инерции для всех параллельных осей вращения, не прибегая к формальному определению.{2} \, \!}

      Эта теорема также известна как правило о параллельных осях и является частным случаем теоремы Штейнера о параллельных осях .

      Композитные тела

      Если тело можно разложить (физически или концептуально) на несколько составных частей, то момент инерции тела относительно данной оси получается путем суммирования моментов инерции каждой составной части вокруг той же заданной оси [1 ] .

      Уравнения с моментом инерции

      Кинетическая энергия вращения твердого тела может быть выражена через его момент инерции.{2} \, \!} Также выполняется для непрерывного распределения массы с обобщением приведенного выше вывода от дискретного суммирования к интегрированию.

      В частном случае, когда вектор углового момента параллелен вектору угловой скорости, их можно связать уравнением

      L = Iω {\ displaystyle L = I \ omega \;}

      , где L – угловой момент, а ω {\ displaystyle \ omega} – угловая скорость. Однако это уравнение не выполняется во многих интересных случаях, таких как прецессия вращающегося объекта без крутящего момента, хотя его более общая тензорная форма всегда верна.

      Когда момент инерции постоянен, можно также связать крутящий момент на объекте и его угловое ускорение аналогичным уравнением:

      τ = Iα {\ displaystyle \ tau = I \ alpha \!}

      , где τ {\ displaystyle \ tau} – крутящий момент, а α {\ displaystyle \ alpha} – угловое ускорение.

      Тензор момента инерции

      Для одного и того же объекта разные оси вращения будут иметь разные моменты инерции относительно этих осей.В общем, моменты инерции не равны, если объект не симметричен относительно всех осей. Тензор момента инерции – удобный способ суммировать все моменты инерции объекта одной величиной. Его можно вычислить относительно любой точки в пространстве, хотя для практических целей чаще всего используется центр масс.

      Определение

      Для жесткого объекта с точечными массами N {\ displaystyle N} mk {\ displaystyle m_ {k}} тензор момента инерции определяется выражением

      I = [IxxIxyIxzIyxIyyIyzIzxIzyIzz] {\ displaystyle \ mathbf {I} = {\ begin {bmatrix} I_ {xx} & I_ {xy} & I_ {xz} \\ I_ {yx} & I\_ {yy} & I_ {yz} & I_ {yz} I_ {zx} & I_ {zy} & I_ {zz} \ end {bmatrix}}}. | {\ displaystyle | \ mathbf {x} – (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}) \ mathbf {\ hat {n}} | }.. {\ displaystyle I = \ mathbf {I} \ mathbf {\ hat {n}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}.}

      Основные моменты инерции

      Поскольку тензор момента инерции действительный и симметричный, можно найти декартову систему координат, в которой он диагонален, имеющий вид

      I = [I1000I2000I3] {\ displaystyle \ mathbf {I} = {\ begin {bmatrix} I_ {1} & 0 & 0 \\ 0 & I_ {2} & 0 \\ 0 & 0 & I_ {3} \ end {bmatrix}}}

      где оси координат называются главными осями и осями Константы I1 {\ displaystyle I_ {1}}, I2 {\ displaystyle I_ {2}} и I3 {\ displaystyle I_ {3}} называются основными моментами инерции .Единичные векторы вдоль главных осей обычно обозначаются как (e1, e2, e3) {\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ mathbf {e} _ {3 })}.

      Когда все главные моменты инерции различны, главные оси задаются однозначно. Если два основных момента одинаковы, твердое тело называется симметричной вершиной , и нет однозначного выбора для двух соответствующих главных осей. Если все три основных момента одинаковы, твердое тело называется сферической вершиной (хотя она не обязательно должна быть сферической), и любая ось может считаться главной осью, что означает, что момент инерции одинаков для любой оси.

      Главные оси часто совпадают с осями симметрии объекта. Если твердое тело имеет ось симметрии порядка m {\ displaystyle m}, т. Е. Симметрично при поворотах на 360 ° / m вокруг данной оси, ось симметрии является главной осью. Когда m> 2 {\ displaystyle m> 2}, твердое тело представляет собой симметричную вершину. Если твердое тело имеет по крайней мере две оси симметрии, которые не параллельны или перпендикулярны друг другу, это сферическая вершина, например, куб или любое другое платоново твердое тело.Практическим примером этого математического явления является рутинная автомобильная задача по балансировке шины, что в основном означает регулировку распределения массы автомобильного колеса таким образом, чтобы его главная ось инерции была выровнена с осью, чтобы колесо не качалось. {2}}

      и угловой момент можно записать как произведение

      L = Iω = ω1I1e1 + ω2I2e2 + ω3I3e3 {\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {I} \, {\ boldsymbol {\ omega}} = \ omega _ {1} I_ {1} \ mathbf {e } _ {1} + \ omega _ {2} I_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + \ omega _ {3} I_ {3} \ mathbf {e} _ {3}}

      Взято вместе, можно выразить кинетическую энергию вращения через угловой момент (L1, L2, L3) {\ displaystyle (L_ {1}, L_ {2}, L_ {3})} в кадре главной оси как

      Т = L122I1 + L222I2 + L322I3.{2}} {2I_ {3}}}. \, \!}

      Кинетическая энергия вращения и угловой момент являются константами движения (сохраняющимися величинами) в отсутствие общего крутящего момента. Угловая скорость ω равна , а не постоянна ; даже без крутящего момента конечная точка этого вектора может двигаться в плоскости (см. конструкцию Пуансо).

      См. Статью о жестком роторе, чтобы узнать больше о способах выражения кинетической энергии твердого тела.

      См. Также

      Список литературы

      • Гольдштейн Х.(1980) Классическая механика , 2-й. изд., Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-02918-9
      • Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. (1976) Механика , 3-й. изд., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (твердая обложка) и ISBN 0-08-029141-4 (мягкая обложка).
      • Marion JB и Thornton ST. (1995) Классическая динамика систем и частиц , 4-й. изд., Томсон. ISBN 0-03-097302-3
      • Symon KR. (1971) Механика , 3-й. изд., Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-07392-7
      • Тененбаум, РА. (2004) Основы прикладной динамики , Springer. ISBN 0-387-00887-X

      Внешние ссылки

      cs: Moment setrvačnosti da: Inertimoment de: Trägheitsmoment et: Inertsimoment eu: Inertzia momentua ко: 관성 모멘트 hr: Moment inercije it: Momento di inerzia он: מומנט התמד lt: Inercijos momentas мс: мама инерсия nl: Traagheidsmoment sk: Момент zotrvačnosti sl: Взтражностный момент fi: Hitausmomentti sv: Tröghetsmoment uk: Момент інерції

      Шаблон: WH

      Шаблон: WS

      моментов инерции | Сет Штайн

      Демонстрационные голы:

      • Чтобы показать взаимосвязь между моментом инерции объекта и распределением массы внутри него

      Многое из того, что мы знаем о распределении массы внутри планет, основано на их моментах инерции.Момент инерции контролирует скорость вращения планеты, а положение оси вращения зависит от распределения массы в каждом теле. Мы проиллюстрируем эту концепцию «гонкой» металлического кольца и диска, которые имеют одинаковую массу, но разные моменты инерции, вниз по склону.

      Момент инерции , и можно найти, откуда m i – масса, а p i – расстояние от оси вращения частицы i th . Если частицы достаточно малы, мы можем заменить первое уравнение интегральным.

      Что означают эти уравнения? Во-первых, объекты с большей массой в центре имеют более низкий момент инерции. Поскольку отношение момента инерции к вращению точно аналогично соотношению для момента инерции и движения, тело с меньшим моментом инерции будет вращаться быстрее, чем тело с более высоким моментом инерции, даже если они имеют те же массы и размеры. . Во-вторых, если масса по-разному распределена по разным осям, тело будет иметь разный момент инерции.Это важно не только для планетарных исследований, но и для таких вещей, как спутники; более одного спутника потеряно из-за неправильно рассчитанного момента инерции!

      Мы проиллюстрируем эти идеи на рассмотрении дисков, которые мы считаем двумерными. Для этого эксперимента вам потребуется:

      • Комплект одного кольца и дисков (Fischer CHS529721 30,00 $)
      • Доска (длина 1 м)
      • Книга (.Толщиной 25 м {10 дюймов})

      1. Поместите доску на книгу так, чтобы она образовывала наклонную плоскость.

      2. Проведите кольцо и диск по комнате; спросите: “Кто выиграет гонку?” Запишите ответы.

      3. Поместите кольцо и диск в верхнюю часть доски и отпустите их одновременно. Диск стартует быстрее и быстро отрывается от кольца, потому что диск с меньшим моментом инерции вращается быстрее.

      4. Установите доску на ковер. Прежде чем отпустить диск и кольцо, спросите: «Кто поедет дальше?» Поскольку кинетическая энергия вращающегося объекта дается выражением, большинство студентов предсказывают, что объект с большим моментом инерции будет двигаться дальше.Однако, поскольку полная энергия системы постоянна, оба объекта должны пройти примерно одинаковое расстояние.

      Для обсуждения:
      У кого меньший момент инерции – полый шар или цельный? Как они выглядят по сравнению с полым шаром, наполненным жидкостью? Подтвердите свои ответы!

      Связанные страницы:

      Моменты инерции для различных форм

      MasteringPhysics 2.0: Проблемный вид печати

      Цель обучения: Понять концепцию момента инерции и то, как он зависит от массы, радиуса и распределения массы.

      В динамике вращения твердого тела роль аналогична массе тела (когда поступательное движение) играет момент инерции тела. Для по этой причине концептуальное понимание движения твердого тела требует некоторого понимания моментов инерции. Эта проблема должна помочь вам развить такое понимание.

      Момент инерции тела относительно некоторой заданной оси равен, где – безразмерная постоянная, – масса тела, и – перпендикулярное расстояние от оси вращения.Следовательно, если у вас есть два объекта одинаковой формы, одинакового размера, но с одним вдвое массивнее другого, более массивный объект должен иметь момент инерции вдвое больше, чем у менее массивного. Кроме того, если у вас есть два объекта одинаковой формы и одинаковой массы, но у одного есть в два раза больше другого, более крупный объект должен иметь момент инерция в четыре раза больше, чем у меньшего.

      Часть A
      Две сферические оболочки имеют равномерно распределенную массу. по сферической поверхности.Одна из раковин имеет диаметр 2 метров и массой 1 килограмм. Другая оболочка имеет диаметр 1 метр. Какой должна быть масса 1-метрового снаряда, чтобы оба снаряда имели одинаковый момент инерции относительно их центров масс?
      ОТВЕТ:
      = 4 кг

      Важно понимать, как безразмерная постоянная формула момента инерции, приведенная во введении к задаче, имеет вид определенный.Рассмотрим диск и тонкое кольцо с одинаковым внешним видом. радиус и масса . Момент инерции диска равен, а момент инерции кольца. (Для каждого объекта ось перпендикулярна плоскости объекта и проходит через центр масс объекта.)

      Фактор для диска дает представление о том, как распределяется масса в этом объект. Если и диск, и кольцо вращаются с одинаковым угловым скорость, кольцо должно иметь большую кинетическую энергию, потому что вся масса кольца имеет линейную скорость, в то время как линейные скорости различных частей диска различаются, в зависимости от того, как далеко деталь находится от центра, и эти скорости меняются от нуля до.

      В общем, значение отражает распределение массы внутри объекта. Число, близкое к, указывает на то, что большая часть массы расположена на расстоянии от центра масс, близком к, а число, которое намного меньше, указывает на то, что большая часть массы расположена вблизи центра масс.

      Часть B
      Рассмотрим момент инерции твердого однородного диска, по сравнению с твердой сферой относительно их соответствующих центров масс.

      Оставить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *