N формула: Формула общего (n-го) члена арифметической прогрессии

Основные формулы по физике – Физика – Теория, тесты, формулы и задачи

Знание формул по физике является основой для успешной подготовки и сдачи различных экзаменов, в том числе и ЦТ или ЕГЭ по физике. Формулы по физике, которые надежно хранятся в памяти ученика – это основной инструмент, которым он должен оперировать при решении физических задач. На этой странице сайта представлены основные формулы по школьной физике в двух частях. В первой части Вы найдете самые важные физические формулы, а во второй – дополнительный набор полезных формул по физике.

 

Оглавление:

 

Основные формулы по школьной физике (Часть I)

К оглавлению…

 

Основные формулы по школьной физике (Часть II)

К оглавлению…

 

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

 

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка.

Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Тема 11.

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Сегодня мы выведем 2 формулы для нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии.

Давным-давно сказал один мудрец

Что прежде надо

Связать начало и конец

У численного ряда.

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел:

1+2+3+…+98+99+100.

Задача очень непроста:

Как сделать, чтобы быстро

От единицы и до ста

Сложить в уме все числа?

Пять первых связок изучи,

Найдёшь к решению ключи.

С этой задачей связана история, которую рассказывают об известном немецком математике Карле Гауссе.

Когда учитель предложил ученикам сложить натуральные числа от 1 до 100, то маленький Карл моментально пришел с ответом. Вероятно, он заметил, что сумма первого и последнего слагаемого равна 101, сумма второго и предпоследнего слагаемого, тоже 101 и ничего странного в этом нет. Второе слагаемое на единицу больше первого, а предпоследнее на единицу меньше последнего, так что сумма должна быть такой же. То же будет происходить и с каждой новой парой чисел. Таких сумм 50, так как всего чисел 100 и все они разделены на пары. Значит, вся сумма равна числу 101 умноженному на 50. И Гаусс подсчитал, что сумма равна 5050.

1+2+3+4+…..+97+98+99+100

1+100=101

2+99=101

3+98=101

1+2+3+4+…+97+98+99+100=101∙50=5050

С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму n-первых членов арифметической прогрессии:

Обозначим сумму первых n-членов арифметической прогрессии S_n и запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором в порядке убывания:

Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an (1)

Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 (2)

Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом равна a₁ + a

n, число таких пар равно n, поэтому сложив почленно равенства (1) и (2), получим:

2Sn=a1+an∙n

Разделим обе части этого равенства на 2 и получим формулу суммы первых n-членов арифметической прогрессии:

Sn=(a1+an)2∙n

Этой формулой удобно пользоваться, когда известны первый и последний члены арифметической прогрессии. Но можно вывести еще одну формулу, для этого вместо a_n подставим формулу n-го члена, которую мы узнали на прошлом занятии. Получим:

Sn=(a1+an)2∙n=a1+a1+dn-12∙n=2a1+dn-12∙n

Для нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии, используя эту формулу, достаточно знать первый член и разность арифметической прогрессии.

Разберем несколько примеров:

Найдем сумму первых 10-ти членов арифметической прогрессии, первый член которой равен минус 23, а десятый член равен 4. Воспользуемся формулой:Sn=(a1+an)2∙n, получим

S10=(-23+4)2∙10=-192∙10=-19∙5=-95

Рассмотрим еще один пример:

Вычислим сумму первых двадцати двух членов арифметической прогрессии:

-15; -11; -7; -3; ….

Итак, a1=-15,d=4, значит, можно воспользоваться второй формулой: Sn=2a1+dn-12∙n, получим:

S22=2∙-15+4∙(22-1)2∙22=-30+842∙22=54∙11=594.

А теперь давай найдем сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член равен 10 и разность равна 3.

Как найти сумму с 15-го по 30-й член включительно, давай подумаем: S30=a1+a2+…+a14+a15+…+a30, если мы найдем сумму тридцати членов и вычтем из нее сумму первых 14-ти членов, то мы получим необходимую сумму с 15-го по 30-й члены.

Итак, S30=2∙10+3∙292∙30=1072∙30=107∙15=1605

S14=2∙10+3∙132∙14=592∙14=59∙7=413

S15-30=S30-S14=1605-413=1192

Ответ: 1192.

Эту же сумму мы могли найти и другим, способом, если бы ввели новую арифметическую последовательность, первый член которой был бы равен пятнадцатому члену нашей прогрессии.

А теперь давай решим уравнение:

x+1+x+5+x+9+…+x+69=684

Можно, конечно, расписать все слагаемые, привести подобные и решить это линейное уравнение, но это займет очень много времени. А если внимательно посмотреть на это уравнение, то можно заметить, что каждое следующее слагаемое отличается от предыдущего на 4. То, есть последовательность:

x + 1; x + 5;

x + 9; … ; x + 69 является арифметической, сумма членов которой равна 684.

Итак, имеем: a1=x+1,a2=x+5,an=x+69, Sn=684.

Найдем разность арифметической прогрессии:

d=a2-a1=x+5-x+1=4

Найдем номер последнего члена, для этого воспользуемся формулой n-го члена: a_n = a₁ + d(n – 1)

x + 69 = x + 1 + 4(n – 1)

x + 69 = x + 1 + 4n – 4

4n = 72, n = 18

Подставим все данные в формулу суммы первых n-членов арифметической прогрессии, получим:

684=x+1+x+52∙18

684 = (2x + 70) ∙ 9, отсюда 2x + 70 = 76    2x=6,    x=3

Ответ:3

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ | Энциклопедия Кругосвет

Содержание статьи

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y₁, y₂,…, y_n,…. Значения y₁, y₂, y₃,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n² можно записать:

y₁ = 1² = 1;

y₂ = 2² = 4;

y₃ = 3² = 9;…y_n = n²;…

Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n-го члена:

y_n = f(n).

Пример. y_n= 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y₁ = 3; y_n = y_n–1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y₁ = 3; y₂ = 3 + 4 = 7; y₃ = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y_n = 4n – 1.

Пример 2. y₁ = 1; y₂ = 1; y_n = y_n–2 + y_n–1 , если n = 3, 4,….

Здесь: y₁ = 1; y₂ = 1; y₃ = 1 + 1 = 2; y₄ = 1 + 2 = 3; y₅ = 2 + 3 = 5; y₆ = 3 + 5 = 8;

Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n-е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .

На первый взгляд, формула для n-го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n.

Свойства числовых последовательностей.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность {y_n} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y₁y₂y₃y_ny_n+1

Определение. Последовательность {y_n} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y₁ > y₂ > y₃ > … > y_n > y_n+1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y₁ = 1; y_n = n²– возрастающая последовательность.

Пример 2. y₁ = 1; – убывающая последовательность.

Пример 3. y₁ = 1; – эта последовательность не является не возрастающей не убывающей.

Определение. Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство y_n = y_n+T. Число T называется длиной периода.

Пример. Последовательность периодична с длиной периода T = 2.

Арифметическая прогрессия.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность {a_n}, заданная рекуррентно соотношениями

a₁ = a, a_n = a_n–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

(a и d – заданные числа).

Пример. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … – возрастающая арифметическая прогрессия, у которой a₁ = 1, d = 2.

Пример. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,… – убывающая арифметическая прогрессия, у которой a₁ = 20, d = –3.

Нетрудно найти явное (формульное) выражение a_nчерез n. Величина очередного элемента возрастает на d по сравнению с предыдущим, таким образом, величина n элемента возрастет на величину (n – 1)d по сравнению с первым членом арифметической прогрессии, т.е.

a_n = a₁ + d(n – 1).

Это формула n-го члена арифметической прогрессии.

Используя явное выражение a_nчерез n, можно доказать следующее свойство арифметической прогрессии: если натуральные числа i, j, k, l таковы, что i + j = k + l, то a_i + a_j= a_k + a_l. Чтобы в этом убедиться, достаточно подставить i, j, k и l вместо n в формулу n-го члена арифметической прогрессии и сложить. Отсюда следует, что если рассматривать первые n членов арифметической прогрессии, то суммы членов, равно отстоящих от концов, будут одинаковы:

a₁ + a_n = a₂ + a_n–1 = a₃ + a_n–2 = … = 2_a1 + (n – 1)d.

Последнее равенство позволяет вычислить сумму первых n членов арифметической прогрессии:

S_n = a₁ + a₂ + … + a_n–1 + a_n.

С этой целью берется еще одна такая же сумма, но слагаемые записывается в обратном порядке:

S_n = a_n + a_n–1 + … + a₂ + a₁.

Далее она складывается почленно с исходной суммой, причем слагаемые сразу попарно группируются. В результате

2S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_n–1) + … + (a_n + a₁) = n(2_a1 + (n – 1)d),

откуда . Это формула суммы n членов арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессия названа потому, что в ней каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому двух соседних с ним – предыдущего и последующего. Действительно, так как

a_n = a_n–1 + d;

a_n = a_n+1 – d.

Сложение двух последних равенств дает .

Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.

Геометрическая прогрессия.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b_n}, заданная рекуррентно соотношениями

b₁ = b, b_n = b_n–1q (n = 2, 3, 4…).

(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.

Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b1 > 0, q > 1, и убывающей, если b1 > 0, 0 q

Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.

b₁², b₂², b₃², …, b_n2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b₁², а знаменатель – q².

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид

b_n = b₁q^n–1.

Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия

b₁, b₂, b₃, …, b_n

пусть S_n – сумма ее членов, т. е.

S_n= b₁ + b₂+ b₃ + … + b_n.

Принимается, что q № 1. Для определения S_nприменяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S_nq.

Тогда

S_nq = (b₁ + b₂ + b₃+ … + b_n–1 + b_n)q = b₂ + b₃ + b₄ + …+ b_n + b_nq = S_n+ b_nq – b₁.

Таким образом, S_nq = S_n + b_nq – b₁ и, следовательно,

.

Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.

При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S_n = a₁n.

Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как

b_n= b_n-1q;

b_n= b_n+1/q,

следовательно, b_n2= b_n–1 b_n+1 и верна следующая теорема (характеристическое свойство геометрической прогрессии):

числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.

Предел последовательности.

Пусть есть последовательность {c_n} = {1/n}. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число , или . С ростом n все члены геометрической прогрессии убывают и их значение приближается к нулю. В этом случае принято говорить, что при n, стремящемся к бесконечности, данная последовательность сходится и нуль есть ее предел. Записывается это так:

.

Строгое определение предела формулируется следующим образом:

Если существует такое число A, что для любого (сколь угодно малого) положительного числа ε найдется такое натуральное N (вообще говоря, зависящее от ε), что для всех n ≥ N будет выполнено неравенство |a_n – A| {a_n} сходится и A – ее предел.

Обозначается это так: .

В противном случае последовательность называется расходящейся.

Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c_n} = {1/n}. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность

.

Существует ли такое N, что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/ε, то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N ε , что и требовалось доказать.

Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 3. Если последовательность {a_n} имеет предел A, то последовательности {ca_n}, {a_n + с} и {| a_n|} имеют пределы cA, A + c, |A| соответственно (здесь c – произвольное число).

Теорема 4. Если последовательности {a_n} и {b_n} имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {pa_n + qb_n} имеет предел pA + qB.

Теорема 5. Если последовательности {a_n} и {b_n}имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a_nb_n} имеет предел AB.

Теорема 6. Если последовательности {a_n} и {b_n} имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b_n ≠ 0 и B ≠ 0, то последовательность {a_n / b_n} имеет предел A/B.

Анна Чугайнова

Суммы квадратов, суммы кубов…

Суммы квадратов, суммы кубов…

опубликовано на «Элементах»

Задача

Еще в древнем Египте была известна формула для суммы последовательных натуральных чисел: $$ 1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2 $$ (чтобы убедиться в этом, сложите первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и т. 2}4. $$

Заметно сложнее угадать формулу для суммы четвертых степеней. В отличие от предыдущих случаев, у $S_4(n)$ практически не видно общих делителей с $S_1(n)$ (кроме двойки). Зато можно заметить, что 14 и 98 делятся на 7, 55 и 979 на 11… Посмотрим на отношение $S_4/S_2$.

$n$	1	2	3	4	5	6
$S_2$	1	5	14	30	55	91
$S_4$	1	17	98	354	979	2275
$S_4/S_2$	1	17/5	7	59/5	89/5	25

Видно, что после домножения этого отношения на 5 получится последовательность целых чисел: 5, 17, 35, 59, 89, 125… Тут уже нельзя сказать, что разность соседних чисел неизменна… Все же посмотрим на эти разности: 12, 18, 24, 30… — закономерность сразу видна!

Таким образом, гипотеза состоит в том, что $$ S_4(n)/S_2(n)= \frac{5+6\cdot2+6\cdot3+\ldots+6n}5= \frac{6\frac{n(n+1)}2-1}5= \frac{3n^2+3n-1}5, $$ и соответственно $$ S_4(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}. 2}6$ (т. е. значений знаменитой дзета-функции), и в комбинаторике, и в теории чисел, и в топологии…

Литература

1. Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения (М.: Наука, 1975)
   http://ilib.mccme.ru/djvu/polya/rassuzhdenija.htm
   Мало где можно прочитать не о конкретной области математики, а о том, как вообще решать новую для себя математическую задачу. Подсказки и решение выше по существу следуют главе 7 этой замечательной книги.
2. Интервью с академиком И. М. Гельфандом // Квант, 1989, № 1, 3–12
   http://kvant.mccme.ru/1989/01/akademik_izrail_moiseevich_gel.htm
   В решении выше сделана попытка объяснить, как некоторые формулы для сумм степеней мог бы искать любой человек. Интересующимся математикой может быть интересно прочитать, как такую задачу решал в школьные годы один из выдающихся математиков 20 века (собственно про это — небольшой фразмент на стр. 8–9, но все интервью интересное).
3. В. С. Абрамович. наверх

   ЕСНД (функция ЕСНД) – Служба поддержки Office

   Функция ЕСЛИНА возвращает значение, задатое вами, если формула возвращает значение ошибки #N/A; в противном случае возвращается результат формулы.

   Синтаксис

   ЕСНД(значение;значение_при_ошибке)

   Аргументы функции ЕСНД указаны ниже.

   Аргумент	Описание
   значение Обязательный	Аргумент, проверяемый на наличие ошибки со значением #Н/Д.
   value_if_na Обязательно	Значение, которое будет возвращено, если в результате выполнения формулы будет получено значение ошибки #Н/Д.

   Замечания

   • Если значение или value_if_na является пустой ячейкой, то ЕСЛИНА рассматривает ее как пустую строку (“”).

   • Если значение является формулой массива, то ЕСЛИНА возвращает массив результатов для каждой ячейки в диапазоне, указанном в значении.

   Пример

   В следующем примере ФУНКЦИЯ ЕСЛИНА проверяет результат функции В ПРОСМОТР. Так как значение “Тверь” не найдено в диапазоне поиска, функция ВПР возвращает значение ошибки #Н/Д. ЕСНД возвращает в ячейке строку “Не найдено” вместо стандартного значения ошибки #Н/Д.

   Дополнительные сведения

   Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community.

   См. также

   Рекомендации, позволяющие избежать появления неработающих формул

   Формулы сокращенного умножения

   Формулы сокращенного умножения позволяют преобразовать математическое выражение к более простому виду, который позволяет выполнить дальнейшие преобразования или найти нужное решение. Примером формул для математических преобразований является факторизация многочленов, с помощью которой выполнятся понижение степени многочленов. А например с помощью Бинома Ньютона выполняется разложение на отдельные слагаемые степени двух переменных.

   Формулы упрощения применяются для раскрытия скобок степеней, понижения степени суммы или разности, а так же для других математических упрощений. В приведенных ниже формулах, вместо символов «a» и «b» могут применяться числовые значения, переменные или любые математические выражения и формулы.

   Внизу страницы можно скачать формулы в виде картинок для последующей печати и использования в качестве справочного материала при решении задач.

   
   

   1. Квадрат суммы

   … … подготовка формул … …
   
   
   

   ---

   2. Квадрат разности

   
   
   

   ---

   3. Сумма и разность квадратов

   
   
   

   ---

   4. Сумма в третьей степени (куб суммы)

   
   
   
   

   ---

   5. Разность в третьей степени (куб разности)

   
   
   

   ---

   6. Сумма и разность кубов

   
   
   

   ---

   7. Формулы сокращенного умножения для четвертой степени

   
   
   
   
   

   ---

   8. Формулы сокращенного умножения для пятой степени

   
   
   
   
   

   ---

   9. Формулы сокращенного умножения для шестой степени

   
   
   
   

   ---

   10. Формулы сокращенного умножения для степени n, где

   n – любое натуральное число
   
   

   ---

   11. Формулы сокращенного умножения для степени n, где

   n – четное положительное число
   

   ---

   12. Формулы сокращенного умножения для степени n, где

   n – нечетное положительное число
   

   ---

   13. Некоторые свойства формул

   
   
   
   
   

   ---

   Скачать формулы в виде изображения в виде картинок

   Скачать формулы в виде изображения:

   
   

   Определение ГП. Формула n-го члена ГП

   Определение:

   Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

   q - знаменателем геометрической прогрессии.

   Для задания геометрической прогрессии достаточно задать её первый член и значение знаменателя q.

   Пример.

   Найти пять первых членов геометрических прогрессий.

   1.                   

   Получим геометрическую прогрессию:

   2.                 

   Получим геометрическую прогрессию:

   3.                  

   Получим геометрическую прогрессию:

   Каждый следующий член геометрической прогрессии получают из предыдущего умножением на q:

   Получили формулу n - ого члена геометрической прогрессии.

   Она позволит найти любой член геометрической прогрессии, зная её первый член и номер искомого члена.

   Пример.

   Найти 4 – ый, 7 – ой и n - ый члены геометрической прогрессии, если:

   Найдём члены геометрической прогрессии:

   Пример.

   Найти 1 – й член геометрической прогрессии, если:

   По формуле n - ого члена геометрической прогрессии запишем:

   Решим уравнение:

   Пример.

   Найти знаменатель геометрической прогрессии q, если:

   Запишем:

   Подставим известные величины и найдём значение знаменателя геометрической прогрессии:

   Пример.

   Найти 3 – ий член геометрической прогрессии, если:

   Нам не известны первый член и знаменатель геометрической прогрессии.

   Но записав известные нам члены по формуле n - ого члена геометрической прогрессии, из полученных уравнений мы можем составить систему уравнений с двумя переменными:

   Решим уравнение с одной переменной, получаем:

   Найдём по формуле 3 – й член прогрессии:

   Рассмотрим геометрическую прогрессию, состоящую из степеней числа 3.

   Свойство геометрической прогрессии:

   Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов.

   Другими словами, любой член геометрической прогрессии равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов.

   Например:

   Признак:

   Если в последовательности чисел, отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является геометрической прогрессией.

   С теорией геометрической прогрессии связаны многие процессы на земле.

   Пример.

   На опытном участке леса ежегодный прирост древесины составляет 8 %. Какое количество древесины будет на этом участке через 6 лет, если первоначальное количество древесины равно 5000 метров кубических?

   Составим математическую модель данной задачи:

   Получили геометрическую прогрессию.

   Запишем формулу n - ого члена геометрической прогрессии, и с её помощью найдём значение седьмого члена:

   Что такое факторный? – Определение, примеры, свойства, формула

   Факториал целого числа «n» определяется как произведение этого числа на каждое целое число до 1. Например, факториал 4 равен 4 × 3 × 2 × 1, что равно 24. Он представлен с использованием символ ‘!’ Итак, 24 – это значение 4! В 1677 году британский автор Фабиан Стедман определил факториал как эквивалент звонка перемен. Переменный звонок был частью музыкального представления, когда музыканты звонили в несколько настроенных колоколов.И это было в 1808 году, когда математик из Франции Кристиан Крамп придумал символ факториала: n! Изучение факториалов лежит в основе нескольких тем математики, таких как теория чисел, алгебра, геометрия, вероятность, статистика, теория графов, дискретная математика и т. Д.

   Думаете о том, как вычислить факториал числа? Давай учить.

   Что такое факторный?

   Факториал числа – это функция, которая умножает число на каждое натуральное число под ним.Символически факториал можно представить как “!”. Итак, факториал n является произведением первых натуральных чисел n и представлен как n!

   Так н! или «n факториал» означает: n! = 1. 2. 3 ………………………………… n = произведение первых n натуральных чисел = n (n-1) (n-2) ……………………. ( 3) (2) (1)

   Например, 4 факториала, то есть 4! можно записать как: 4! = \ (4 \ раза 3 \ раза 2 \ раза 1 \) = 24.

   Обратите внимание на числа и их факториальные значения, указанные в следующей таблице.Чтобы найти факториал числа, умножьте это число на факториал предыдущего числа. Например, чтобы узнать значение 6! умножьте 120 (факториал 5) на 6 и получите 720. Для 7! умножьте 720 (факториальное значение 6) на 7, чтобы получить 5040.

   n	п!
   1	1	1	1
   2	2 × 1	= 2 × 1!	= 2
   3	3 × 2 × 1	= 3 × 2!	= 6
   4	4 × 3 × 2 × 1	= 4 × 3!	= 24
   5	5 × 4 × 3 × 2 × 1	= 5 × 4!	= 120

   Формула для n Факториала

   Формула для факториала n: \ [n! = n \ раз (n – 1)! \]

   \ [п! = п \ раз (п – 1)! \]

   Это означает, что факториал любого числа – это заданное число, умноженное на факториал предыдущего числа.Итак, \ (8! = 8 \ times 7! \) …… И \ (9! = 9 \ times 8! \) …… Факториал 10 будет \ (10! = 10 \ times 9! \) …… Если у нас есть (n + 1) факториал, то его можно записать как \ ((n + 1)! = (N + 1) \ times n! \)

   Что такое 0!

   Нулевой факториал или Факториал 0 интересен, и его значение равно 1, то есть 0! = 1

   Давайте посмотрим, как это работает:

   \ (\ begin {array} {l}
   1! = 1 \
   2! = 2 \ раз 1 = 2 \\
   3! = 3 \ раз 2 \ раз 1 = 3 \ раз 2! = 6 \
   4! = 4 \ раз 3 \ раз 2 \ раз 1 = 4 \ раз 3! = 24 \
   5! = 5 \ раз 4 \ раз 3 \ раз 2 \ раз 1 = 5 \ раз 4! = 120 \
   \ end {array} \)

   Перейдем к основной формуле факториала \ (n! = N \ times (n – 1)! \) Как найти 4! Вы делаете \ (\ dfrac {{5!}} {5} \).Теперь посмотрим на шаблон:

   Факториал отрицательных чисел

   Можно ли использовать факториалы для чисел типа −1, −2 и т. Д.? Начнем с 3! = \ (3 \ раз 2 \ раз 1 = 6 \)

   \ (\ begin {array} {l}
   {\ rm {\ text {Начнем с} \ 3! = 3 \ times 2 \ times 1 \\ = 6 \: \ text {и спустимся вниз}:}} \\
   {\ rm {2! = 3! / 3 = 6/3 = 2}} \\
   {\ rm {1! = 2! / 2 = 2/2 = 1}} \\
   {\ rm {0! = 1! / 1 = 1/1 = 1}} \\
   \ left ({{\ rm {- 1}}} \ right) {\ rm {! = 0! / 0 = 1/0 \\ = {\ text {деление на ноль не определено}}}} \\
   \ end {array} \)

   И с этого момента все целочисленные факториалы не определены.Итак, отрицательные целые факториалы не определены.

   Использование факториала

   Одна из областей, где обычно используются факториалы, – это перестановки и комбинации. Теперь перестановка представляет собой упорядоченное расположение результатов, и ее можно вычислить по формуле:

   ⁿ P _r = \ (\ dfrac {{n!}} {{(N – r)!}} \)

   Комбинация – это группа результатов, в которой порядок не имеет значения. {{\ rm {1}} 0} {{\ rm {P}} _ {\ rm {3}}} \) способами.{{\ rm {1}} 0} {{\ rm {C}} _ ​​{\ rm {3}}} = \ dfrac {{10!}} {{3! (10–3)!}} = \ dfrac {{10!}} {{3! 7!}} \\ = \ dfrac {{10 \ times 9 \ times 8 \ times 7!}} {{3 \ times 2 \ times 1 \ times 7!}}} = 120 \) способов.

   Расчет факториала

   Факториал числа n обозначается n! и вычисляется целыми числами от 1 до n. Формула для факториала n: \ (n! = N \ times (n – 1)! \).

   Пример

   Если 8! 40 320 то сколько 9 !?

   Решение

   9! = 9 × 8! = 9 × 40,320 = 362,880

   Теперь давайте посмотрим на приведенную ниже таблицу факториалов, которая показывает значения факториала для первых 15 натуральных чисел:

   n	п!
   1	1
   2	2
   3	6
   4	24
   5	120
   6	720
   7	5040
   8	40 320
   9	362 880
   10	3 628 800
   11	39 916 800
   12	479 001 600
   13	6 227 020 800
   14	8,717,8291,200
   15	1 307 674 368 000

   Темы, связанные с Factorial

   Нажмите на эти статьи, чтобы узнать больше о факториалах в математике!

   Важные примечания:

   • Факториал любого целого числа можно вычислить как \ (n! = N \ times (n – 1)! \).
   • Значение нулевого факториала равно единице, то есть 0! = 1. Отрицательные целочисленные факториалы не определены.
   • Перестановка и комбинация могут быть рассчитаны как: ⁿ P _r = \ (\ dfrac {{n!}} {{(N – r)!}} \) & ⁿ C _r = \ ( \ dfrac {{n!}} {{r! (n – r)!}} \) соответственно.
   1. Пример 1. Вычислить выражение \ (\ dfrac {{10!}} {{4! \ Times 6!}} \)
      Решение:

      \ (\ begin {array} {l}
      \ dfrac {{10!}} {{4! \ times 6!}} & = \ dfrac {{10 \ times 9 \ times 8 \ times 7 \ times 6!}} {{4! \ times 6!}} \\ [0.2см]
      & = \ dfrac {{10 \ times 9 \ times 8 \ times 7}} {{4 \ times 3 \ times 2 \ times 1}} \\ [0,2 см]
      & = 210 \\
      \ end {array} \)

      Следовательно, значение выражения \ (\ dfrac {{10!}} {{4! \ Times 6!}} \) Равно 210.

   2. Пример 2: Найдите значение 5! (6 – 3)!
      Решение:

      5! (6−3)! = 5! × 3!

      = (5 × 4 × 3 × 2 × 1) (3 × 2 × 1)

      = 120 × 6

      = 720
      Следовательно, значение 5! (6 – 3)! составляет 720.

   3. Пример 3: Сколько 5-значных чисел можно составить с использованием цифр 1, 2, 5, 7 и 8, в каждой из которых ни одна цифра не повторяется?
      Решение:

      Указанные 5 цифр (1, 2, 5, 7 и 8) должны быть расположены между собой, чтобы получить 5-значные числа.

      Число способов сделать это можно с помощью факториала.

      5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
      Следовательно, необходимое количество 5-значных чисел – 120.

   4. Пример 4: Какими способами восемь человек могут выстроиться в очередь слева направо для группового фото?
      Решение: Количество путей 8 человек в очереди
      = 8!
      = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
      = 40,320
      Таким образом, Восемь человек могут выстроиться в линию 40 320 способами.

   перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду

   Хотите заложить прочный фундамент в математике?

   Выйдите за рамки запоминания формул и поймите «почему» за ними.Испытайте Cuemath и приступайте к работе.

   Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

   ---

   Часто задаваемые вопросы по Factorial

   Какая связь между факториалом, перестановкой и комбинацией?

   Факториал – это функция, которая используется для поиска количества возможных способов, которыми можно расположить выбранное количество объектов между собой. Эта концепция факториала используется для поиска перестановок и комбинаций чисел и событий.

   Что такое факториал n + 1?

   Факториал

   n + 1 можно вычислить как (n + 1)! = (п + 1) п!

   Что такое факториал 10?

   10! можно рассчитать как 10! = 10 × 9! = 10 × 362 880 = 3 628 800.

   Что такое факториал числа?

   В математике факториал числа означает умножение положительного целого числа на каждое меньшее целое число. Итак, n! = N × (n-1) × (n-2) × (n-3) × ….. × 3 × 2 × 1.

   Для чего используются факториалы?

   Факториалы используются для нахождения количества паттернов, решения задач перестановки и комбинирования, определения вероятности событий и т. Д.

   Что такое факторный символ?

   Факториал представляет собой символ ‘! ‘.

   Что такое факторная запись?

   Факториальная запись – это расширенная форма факториала числа. Итак, 3! равно 3 × 2 × 1, 5! равно 5 × 4 × 3 × 2 × 1 и так далее.

   Обзор, формула, таблица и приложения

   Что такое факторный?

   Факториал (обозначаемый или представленный как n!) Для положительного числа или целого числа (обозначаемого n) – это произведение всех положительных чисел, предшествующих n (положительное целое число) или эквивалентных ему. Факториальную функцию можно найти в различных областях математики, включая алгебру, математический анализ и комбинаторику.

   Начиная с 1200-х годов, факториалы использовались для подсчета перестановок. Обозначение факториала (n!) Было введено в начале 1800-х годов французским математиком Кристианом Крампом.

   Факториал формулы можно увидеть ниже:

   Резюме
   • Факториал (обозначенный или представленный как n!) Для положительного числа или целого числа (обозначаемого n) является произведение всех положительных чисел, предшествующих n (положительное целое число) или эквивалентных ему.
   • В математике есть ряд последовательностей, сравнимых с факториалом. Они включают двойные факториалы, мультифакториалы, примориалы, суперфакториалы и гипер-факториалы.
   • Факториал 0 равен 1 (единице).

   Определение факториала

   Функция факториала определяется произведением всех положительных целых чисел до и / или равных n, то есть:

   n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙∙∙ ( n -2) ∙ ( n -1) ∙ n ,

   при просмотре значений или целых чисел, больших или равных 1.Тогда его можно записать как:

   Вышеприведенное уравнение записано в соответствии с обозначением произведения пи и приводит к повторяющейся зависимости, показанной ниже:

   n! = n ∙ (n – 1) !.

   Некоторые примеры обозначений можно увидеть ниже:

   • 4! = 4 ∙ 3!
   • 7! = 7 ∙ 6!
   • 80! = 80 ∙ 79 !, и т. Д.

   Факториальная таблица

   В таблице ниже представлен обзор факториалов для целых чисел от 0 до 10:

   Факториал 0 (ноль)

   It Широко известно, что факториал 0 равен 1 (единице).Его можно обозначить как:

   0! = 1

   Есть несколько причин для оправдания использования обозначений и определения, приведенных выше. Во-первых, определение дает возможность компактного выражения значительного числа формул, включая экспоненциальную функцию, и определение создает расширение рекуррентного отношения до 0.

   Кроме того, где n = 0, определение его Факториал (n!) включает в себя произведение без чисел, что означает, что он эквивалентен мультипликативному тождеству в более широком смысле.

   Более того, определение нулевого факториала включает только одну перестановку нуля или отсутствия объектов. Наконец, определение также подтверждает ряд тождеств комбинаторики.

   Определения, которые следует учитывать в связи с нулевым факториалом

   • Комбинаторика : Область математики, в которой основное внимание уделяется счету.
   • Перестановка : В математике перестановка относится к расположению членов набора в линейном порядке или последовательности.
   • Отношение повторяемости : отношение повторяемости в математике относится к уравнению, которое рекурсивно определяет последовательность или обширный массив значений. Рекурсия означает определение чего-либо в терминах самого себя.

   Различные применения факторной функции

   Факториальную функцию можно найти в различных областях математики. Во-первых, это n ! различные способы упорядочить n определенных объектов в последовательность.Кроме того, факториалы могут использоваться для учета незнания или игнорирования порядка в формуле, выступая в качестве знаменателя.

   Факториалы также встречаются в алгебре через биномиальную теорему и в исчислении, где они встречаются в знаменателях формулы Тейлора. Кроме того, факториал можно найти в теориях вероятности и чисел, и их можно использовать для манипулирования выражениями.

   Другие последовательности, похожие на факториал

   В математике есть ряд последовательностей, сравнимых с факториалом.К ним относятся:

   • Двойные факториалы , которые используются для упрощения тригонометрических интегралов.
   • Многофакторные числа , которые можно обозначать несколькими восклицательными знаками.
   • Primorials , которые влекут за собой получение произведения простых чисел, которые меньше или равны n .
   • Супер-факториалы , которые определяются как произведение первых n факториалов.
   • Гиперфакториалы , которые являются результатом умножения ряда последовательных значений в диапазоне от 1 до n .

   Дополнительные ресурсы

   CFI является официальным поставщиком глобальной программы Business Intelligence & Data Analyst (BIDA) ® Стать сертифицированным бизнес-аналитиком и аналитиком данных (BIDA) ™ От Power BI до SQL и машинного обучения, CFI’s Business Intelligence Сертификация (BIDA) поможет вам овладеть своими аналитическими сверхспособностями. Программа сертификации, разработанная, чтобы помочь любому стать финансовым аналитиком мирового уровня. Для продолжения карьерного роста вам будут полезны следующие дополнительные ресурсы CFI:

   • Матрица корреляции Матрица корреляции Матрица корреляции – это просто таблица, в которой отображаются коэффициенты корреляции для различных переменных.Матрица отображает корреляцию между всеми возможными парами значений в таблице. Это мощный инструмент для обобщения большого набора данных, а также для выявления и визуализации закономерностей в данных.
   • Финансовая математика Финансовая математика Финансовая математика описывает применение математики и математического моделирования для решения финансовых проблем. иногда его называют
   • QuantsQuants Количественные аналитики (также называемые «квантами») – это профессионалы, специализирующиеся на проектировании, разработке и реализации алгоритмов и математических или статистических моделей, предназначенных для решения сложных финансовых проблем.В своей работе количественные аналитики применяют сочетание методов и знаний.
   • Стандартное распределение Распределение выборки Распределение выборки относится к распределению вероятностей статистики, полученной в результате выбора случайных выборок из данной совокупности.

   N (функция) – служба поддержки Office

   В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции N в Microsoft Excel.

   Описание

   Возвращает значение, преобразованное в число.

   Синтаксис

   N (стоимость)

   Аргументы функции N следующие:

   Если значение равно или относится к	N возвращает
   Номер	Это число
   Дата в одном из встроенных форматов даты, доступных в Microsoft Excel	Серийный номер этой даты
   ИСТИНА	1
   ЛОЖЬ	0
   Значение ошибки, например # DIV / 0!	Значение ошибки
   Все остальное	0

   Примечания

   • Обычно нет необходимости использовать функцию N в формуле, поскольку Excel автоматически преобразует значения по мере необходимости.Эта функция предназначена для совместимости с другими программами для работы с электронными таблицами.

   • Excel хранит даты как последовательные порядковые номера, чтобы их можно было использовать в расчетах. По умолчанию 1 января 1900 года имеет порядковый номер 1, а 1 января 2008 года – порядковый номер 39448, потому что это 39 448 дней после 1 января 1900 года.

   Пример

   Скопируйте данные примера из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel.Чтобы формулы отображали результаты, выберите их, нажмите F2, а затем нажмите Enter. При необходимости вы можете настроить ширину столбца, чтобы увидеть все данные.

   Данные
   7
   Четный
   ИСТИНА
   17.04.2011
   Формула	Описание	Результат
   = N (A2)	Поскольку A2 содержит число, возвращается число.	7
   = N (A3)	Поскольку A3 содержит текст, возвращается 0.	0
   = N (A4)	Поскольку A4 является логическим значением ИСТИНА, возвращается 1.	1
   = N (A5)	Поскольку A5 – это дата, возвращается серийный номер даты (зависит от используемой системы дат).	40650
   = N (“7”)	Поскольку «7» – это текст, возвращается 0.	0

   Чистая приведенная стоимость (NPV) Определение

   Что такое чистая приведенная стоимость (ЧПС)?

   Чистая приведенная стоимость (NPV) – это разница между текущей стоимостью денежных поступлений и текущей стоимостью оттока денежных средств за период времени. NPV используется при составлении бюджета капиталовложений и инвестиционном планировании для анализа прибыльности планируемых инвестиций или проектов.

   NPV – это результат вычислений, используемых для определения сегодняшней стоимости будущего потока платежей. Он учитывает временную стоимость денег и может использоваться для сравнения аналогичных инвестиционных альтернатив. NPV основывается на ставке дисконтирования, которая может быть получена из стоимости капитала, необходимого для осуществления инвестиций, и следует избегать любых проектов или инвестиций с отрицательной NPV. Одним из важных недостатков анализа NPV является то, что он делает предположения о будущих событиях, которые могут быть ненадежными.

   Ключевые выводы

   • Чистая приведенная стоимость, или NPV, используется для расчета текущей общей стоимости будущего потока платежей.
   • Если NPV проекта или инвестиции положительна, это означает, что дисконтированная приведенная стоимость всех будущих денежных потоков, связанных с этим проектом или инвестицией, будет положительной и, следовательно, привлекательной.
   • Для расчета NPV необходимо оценить будущие денежные потоки для каждого периода и определить правильную ставку дисконтирования.

   Понимание чистой приведенной стоимости

   Общие сведения о чистой приведенной стоимости

   NPV рассчитывает оценить прибыльность данной инвестиции на основе того, что доллар в будущем не будет стоить столько же, сколько доллар сегодня. Деньги теряют ценность со временем из-за инфляции. Однако доллар сегодня можно инвестировать и получить прибыль, в результате чего его будущая стоимость, возможно, будет выше, чем доллар, полученный в тот же момент в будущем. NPV направлена ​​на определение приведенной стоимости будущих денежных потоков инвестиций сверх первоначальной стоимости инвестиции.Элемент ставки дисконтирования формулы NPV дисконтирует будущие денежные потоки до текущей стоимости. Если вычитание первоначальной стоимости инвестиции из суммы денежных потоков в настоящее время положительно, то вложение оправдано.

   Например, инвестор может получить 100 долларов сегодня или через год. Большинство инвесторов не захотели бы откладывать получение 100 долларов сегодня. Однако что, если бы инвестор мог выбрать получение 100 долларов сегодня или 105 долларов через год? Ставка доходности 5% для ожидания в течение одного года может быть полезной для инвестора, если другая инвестиция не может принести доход более 5% за тот же период.

   Если бы инвестор знал, что он может заработать 8% от относительно безопасных инвестиций в течение следующего года, он бы предпочел получить 100 долларов сегодня, а не 105 долларов в год, с 5% -ной нормой прибыли. В этом случае ставкой дисконтирования будет 8%.

   Положительный и отрицательный NPV

   Положительное значение NPV указывает на то, что прогнозируемая прибыль от проекта или инвестиций – в текущих долларах – превышает ожидаемые затраты, также в текущих долларах. Предполагается, что инвестиции с положительной NPV будут прибыльными.

   Инвестиция с отрицательной NPV приведет к чистому убытку. Эта концепция является основой правила чистой приведенной стоимости, согласно которому следует рассматривать только инвестиции с положительными значениями NPV. t} \\ & \ textbf {где:} \\ & R_t = \ text {Чистый приток денежных средств- отток за один период} t \\ & i = \ text {Ставка дисконтирования или доход, который может быть получен в} \\ & \ text {альтернативных инвестициях} \\ & t = \ text {Количество периодов таймера} \\ \ end { выровнен} NPV = t = 1∑n (1 + i) tRt, где: Rt = чистый приток-отток денежных средств в течение одного периода ti = ставка дисконтирования или доход, который может быть получен за счет альтернативных инвестиций st = количество периодов таймера

   Если вы не знакомы с обозначением суммирования, вот более простой способ запомнить концепцию NPV:

   ЧПС знак равно TVECF – TVIC куда: TVECF знак равно Сегодняшняя стоимость ожидаемых денежных потоков TVIC знак равно Сегодняшняя стоимость вложенных денежных средств \ begin {align} & \ textit {NPV} = \ text {TVECF} – \ text {TVIC} \\ & \ textbf {где:} \\ & \ text {TVECF} = \ text {Сегодняшняя сумма ожидаемых денежных средств потоки} \\ & \ text {TVIC} = \ text {Сегодняшняя стоимость вложенных денежных средств} \\ \ end {выровнено} NPV = TVECF − TVIC, где: TVECF = сегодняшняя стоимость ожидаемых денежных потоков TVIC = сегодняшняя стоимость инвестированных денежных средств.

   Как рассчитать чистую приведенную стоимость

   Деньги в настоящем стоят больше, чем такая же сумма в будущем, из-за инфляции и доходов от альтернативных инвестиций, которые можно было бы сделать в промежуточный период.Другими словами, доллар, заработанный в будущем, не будет стоить столько же, сколько доллар, заработанный в настоящем. Элемент ставки дисконтирования формулы NPV позволяет учесть это.

   Например, предположим, что инвестор может выбрать платеж в размере 100 долларов сегодня или через год. Рациональный инвестор не захочет откладывать платеж. Однако что, если бы инвестор мог выбрать получение 100 долларов сегодня или 105 долларов в год? Если плательщик был надежным, то эти дополнительные 5% могли стоить ожидания, но только в том случае, если не было ничего другого, что инвесторы могли бы сделать со 100 долларами, которые принесут более 5%.

   Инвестор может подождать год, чтобы заработать дополнительные 5%, но это может быть приемлемо не для всех инвесторов. В этом случае 5% – это ставка дисконтирования, которая будет варьироваться в зависимости от инвестора. Если бы инвестор знал, что он может заработать 8% от относительно безопасного вложения в течение следующего года, он не захотел бы откладывать выплату 5%. В этом случае ставка дисконтирования инвестора составляет 8%.

   Компания может определить ставку дисконтирования, используя ожидаемую доходность других проектов с аналогичным уровнем риска или стоимость заимствования денег, необходимых для финансирования проекта.Например, компания может избежать проекта, который, как ожидается, будет приносить 10% в год, если финансирование проекта стоит 12%, или альтернативный проект, как ожидается, будет приносить 14% в год.

   Представьте, что компания может инвестировать в оборудование, которое будет стоить 1 000 000 долларов и будет приносить 25 000 долларов дохода в месяц в течение пяти лет. Компания имеет доступный капитал для приобретения оборудования и может в качестве альтернативы инвестировать его в фондовый рынок с ожидаемой доходностью 8% в год. Менеджеры считают, что покупка оборудования или инвестирование в фондовый рынок – аналогичные риски.

   NPV можно рассчитать с помощью таблиц, электронных таблиц (например, Excel) или финансовых калькуляторов.

   Шаг 1: ЧПС первоначальных инвестиций

   Поскольку оборудование оплачивается авансом, это первый денежный поток, включенный в расчет. Нет необходимости учитывать затраченное время, поэтому не нужно сбрасывать со счетов сегодняшний отток в размере 1 000 000 долларов.

   • Определите количество периодов (t): Ожидается, что оборудование будет генерировать ежемесячный денежный поток и прослужит пять лет, что означает, что в расчет будет включено 60 денежных потоков и 60 периодов.{\ frac {1} {12}}) – 1 = 0,64 \% Периодическая ставка = ((1 + 0,08) 121) -1 = 0,64%

     Шаг 2: NPV будущих денежных потоков

     Предположим, что ежемесячные денежные потоки зарабатываются в конце месяца, а первый платеж поступает ровно через месяц после покупки оборудования. {60} \ frac {25 000_ {60}} {(1 + 0.{60}} NPV = – 1 000 000 долларов США + ∑t = 160 (1 + 0,0064) 6025 00060

     Эту формулу можно упростить до следующего расчета:

     N п V знак равно – $ 1 , 000 , 000 + $ 1 , 242 , 322,82 знак равно $ 242 , 322,82 NPV = – \ 1 000 000 + \ 1 242 322,82 долл. США = \ 242 322,82 долл. США NPV = – 1 000 000 долларов США + 1 242 322,82 доллара США = 242 322,82 доллара США

     В этом случае ЧПС положительна; оборудование следует покупать. Если приведенная стоимость этих денежных потоков была отрицательной, потому что ставка дисконтирования была больше, или чистые денежные потоки были меньше, инвестиций следовало бы избежать.

     Недостатки чистой приведенной стоимости и альтернативы

     Оценка прибыльности инвестиций с помощью NPV в значительной степени зависит от предположений и оценок, поэтому может быть существенное место для ошибок. Предполагаемые факторы включают инвестиционные затраты, ставку дисконтирования и прогнозируемую доходность. Для реализации проекта часто могут потребоваться непредвиденные расходы или могут потребоваться дополнительные расходы в конце проекта.

     Срок окупаемости или «метод окупаемости» – более простая альтернатива NPV.Метод окупаемости рассчитывает, сколько времени потребуется для возврата первоначальных инвестиций. Недостатком является то, что этот метод не учитывает временную стоимость денег. По этой причине сроки окупаемости, рассчитанные для более длительных вложений, имеют больший потенциал неточности.

     Более того, срок окупаемости строго ограничен временем, необходимым для возврата первоначальных инвестиционных затрат. Не исключено, что рентабельность инвестиций может резко измениться.Сравнение с использованием сроков окупаемости не учитывает долгосрочную прибыльность альтернативных инвестиций.

     Чистая приведенная стоимость к внутренней норме прибыли (IRR)

     Внутренняя норма доходности (IRR) очень похожа на NPV, за исключением того, что ставка дисконтирования – это ставка, которая снижает NPV инвестиции до нуля. Этот метод используется для сравнения проектов с разной продолжительностью жизни или размером необходимого капитала.

     Например, IRR можно использовать для сравнения ожидаемой прибыльности трехлетнего проекта, требующего инвестиций в размере 50 000 долларов США, с доходностью 10-летнего проекта, требующего инвестиций в размере 200 000 долларов США.Несмотря на то, что IRR полезен, обычно считается, что он уступает NPV, поскольку делает слишком много предположений о риске реинвестирования и распределении капитала.

     Часто задаваемые вопросы

     Что означает чистая приведенная стоимость?

     Чистая приведенная стоимость (NPV) – это финансовая метрика, которая направлена ​​на определение общей стоимости потенциальной инвестиционной возможности. Идея NPV состоит в том, чтобы спрогнозировать все будущие поступления и оттоки денежных средств, связанных с инвестициями, дисконтировать все эти будущие потоки денежных средств к настоящему времени и затем сложить их вместе.Полученное число после сложения всех положительных и отрицательных денежных потоков представляет собой чистую приведенную стоимость инвестиции. Положительное значение NPV означает, что после учета временной стоимости денег вы заработаете деньги, если продолжите инвестирование.

     В чем разница между NPV и IRR?

     NPV и IRR – это тесно связанные концепции, поскольку IRR инвестиции – это ставка дисконтирования, при которой NPV будет равна нулю. Другой способ думать об этом заключается в том, что NPV и IRR пытаются ответить на два отдельных, но связанных вопроса.Для NPV возникает вопрос: «Какую общую сумму я заработаю, если продолжу эти инвестиции, с учетом временной стоимости денег?» Для IRR возникает вопрос: «Если я продолжу эти инвестиции, какой будет эквивалентная годовая норма прибыли, которую я получу?»

     Что такое хороший NPV?

     Теоретически NPV считается «хорошим», если оно больше нуля. В конце концов, расчет NPV уже принимает во внимание такие факторы, как стоимость капитала инвестора, альтернативные издержки и толерантность к риску через ставку дисконтирования.Также учитываются будущие денежные потоки проекта, а также временная стоимость денег. Следовательно, даже чистая приведенная стоимость в 1 доллар теоретически должна считаться «хорошей». Однако на практике многие инвесторы будут настаивать на определенных пороговых значениях NPV, таких как 10 000 долларов США или выше, чтобы обеспечить себе дополнительный запас прочности.

     Почему будущие денежные потоки дисконтируются?

     NPV использует дисконтированные денежные потоки, обусловленные временной стоимостью денег (TMV). Временная стоимость денег – это концепция, согласно которой деньги, которые у вас есть сейчас, стоят больше, чем такая же сумма в будущем, из-за их потенциальной доходности за счет инвестиций и других факторов, таких как инфляционные ожидания.Ставка, используемая для учета времени, или ставка дисконтирования, будет зависеть от типа проведенного анализа. Отдельные лица должны использовать альтернативные издержки использования своих денег в другом месте в качестве подходящей ставки дисконтирования – проще говоря, это норма прибыли, которую инвестор может заработать на рынке на вложения сопоставимого размера и риска. Бизнес может использовать ставку дисконтирования, основанную на альтернативных издержках, но может также захотеть использовать средневзвешенную стоимость капитала (WACC), или они могут использовать историческую среднюю доходность актива или проекта, аналогичного анализируемому.он же

     Сумма первых n членов серии

     Сумма членов последовательности называется ряд .

     Если последовательность является арифметика или геометрический есть формулы для нахождения суммы первых п термины, обозначенные S п , без фактического добавления всех терминов.

     (Обратите внимание, что последовательность не может быть ни арифметической, ни геометрической, и в этом случае вам нужно будет добавить с помощью грубой силы или какой-либо другой стратегии.)

     Сумма членов арифметической последовательности (арифметической последовательности)

     Чтобы найти сумму первых п члены арифметической последовательности используют формулу,
     S п знак равно п ( а 1 + а 2 ) 2 ,
     где п это количество терминов, а 1 это первый член и а п это последний срок.

     Пример 1:

     Найдите сумму первых 20 члены арифметического ряда, если а 1 знак равно 5 и а 20 знак равно 62 .

     S 20 знак равно 20 ( 5 + 62 ) 2 S 20 знак равно 670

     Пример 2:

     Найдите сумму первых 40 члены арифметической последовательности
     2 , 5 , 8 , 11 , 14 , ⋯

     Сначала найдите 40 ^th срок:

     а 40 знак равно а 1 + ( п – 1 ) d знак равно 2 + 39 ( 3 ) знак равно 119

     Затем найдите сумму:

     S п знак равно п ( а 1 + а п ) 2 S 40 знак равно 40 ( 2 + 119 ) 2 знак равно 2420

     Пример 3:

     Найдите сумму:

     ∑ k знак равно 1 50 ( 3 k + 2 )

     Первая находка а 1 и а 50 :

     а 1 знак равно 3 ( 1 ) + 2 знак равно 5 а 20 знак равно 3 ( 50 ) + 2 знак равно 152

     Затем найдите сумму:

     S k знак равно k ( а 1 + а k ) 2 S 50 знак равно 50 ( 5 + 152 ) 2 знак равно 3925

     Сумма членов геометрической последовательности (геометрического ряда)

     Чтобы найти сумму первых п термины геометрической последовательности используют формулу,
     S п знак равно а 1 ( 1 – р п ) 1 – р , р ≠ 1 ,
     где п это количество терминов, а 1 это первый член и р это обычное отношение .

     Пример 4:

     Найдите сумму первых 8 члены геометрического ряда, если а 1 знак равно 1 и р знак равно 2 .

     S 8 знак равно 1 ( 1 – 2 8 ) 1 – 2 знак равно 255

     Пример 5:

     Найти S 10 геометрического ряда 24 + 12 + 6 + ⋯ .

     Сначала найдите р .

     р знак равно р 2 р 1 знак равно 12 24 знак равно 1 2

     Теперь найдите сумму:

     S 10 знак равно 24 ( 1 – ( 1 2 ) 10 ) 1 – 1 2 знак равно 3069 64

     Пример 6:

     Оценивать.

     ∑ п знак равно 1 10 3 ( – 2 ) п – 1

     (Вы находите S 10 для сериала 3 – 6 + 12 – 24 + ⋯ , обыкновенное отношение которого – 2 .)

     S п знак равно а 1 ( 1 – р п ) 1 – р S 10 знак равно 3 [ 1 – ( – 2 ) 10 ] 1 – ( – 2 ) знак равно 3 ( 1 – 1024 ) 3 знак равно – 1023

     Смотрите также: сигма-обозначение ряда

     Уравнение

     N – обзор

     2 МЕТОДОЛОГИЯ

     Чтобы исследовать, существует ли на опционных рынках предвзятость фаворита и долгосрочного прогноза, необходимо преобразовать цены опционов в коэффициенты.В уравнении Блэка-Шоулза (1973) N ( d ₂ ) – это форвардная цена цифрового опциона, по которому выплачивается 1 доллар, если F > X . Это (нейтральные к риску) шансы, с которыми инвесторы могут делать ставки на это событие. Для опциона пут цифровой, который платит 1 доллар, если X < F , равен N (- d ₂ ). Как и в случае с исследованиями гонок, нужно собрать большую выборку независимых событий, определить шансы наступления определенных событий, вложить фиксированную сумму в каждую ставку (скажем, 1 доллар) и изучить апостериорную выплату этой ставки.Пул ставок с одинаковыми коэффициентами необходимо объединить и рассчитать среднюю выплату. Наши данные представляют собой общедоступные расчетные цены фьючерсных контрактов и всех опционов колл и пут на рынках индексов S&P 500 и FTSE 100 в те даты, когда до истечения опционов оставалось ровно один или три месяца. ⁵ Период анализа составлял 17,5 лет с марта 1985 г. по сентябрь 2002 г. и дал 69 независимых ежеквартальных наблюдений для фьючерсов на S&P 500 и FTSE 100. ⁶ Фьючерсы на S&P 500 начали торговаться 21 апреля 1982 г., а торги пут и колл на S&P 500 начались 28 января 1983 г. В первые годы был небольшой объем и мало страйков. Таким образом, наш набор данных охватывает огромное количество опционов, торгуемых на S&P 500. Для ежемесячных наблюдений (серийные опционы) было 187 независимых наблюдений для фьючерсов S&P 500 и 124 наблюдения для рынков опционов на индекс FTSE 100. Данные были получены с Чикагской товарной биржи для фьючерсов и опционов на S&P 500.Эти опционные контракты представляют собой фьючерсные опционы американского типа. Данные для фьючерсов и опционов FTSE 100 были получены из LIFFE для опционов европейского стиля на фьючерсы с 1992 по 2002 год и от Гордона Геммилла для опционов американского стиля на фьючерсы до 1992 года. Данные по процентным ставкам были получены от британских банкиров. Ассоциация (LIBOR в долларах США или британских фунтах).

     Месячные и квартальные данные использовались вместо ежедневных, чтобы гарантировать независимость наблюдений и окончательных результатов.Мы определили все даты истечения срока для всех доступных опционов за период выборки. В этот день мы записали уровни расчетов по фьючерсному контракту (ближайший к истечению фьючерсного контракта и, возможно, индекс наличности, если эта дата совпала с одновременным истечением фьючерсного и опционного контракта), а также все доступные цены опционов на этом контракте. ближайший фьючерсный контракт, до истечения которого оставался один или три месяца.

     Учитывая, что использовались расчетные цены, не было необходимости проводить стандартные процедуры фильтрации, такие как арбитраж «бабочка»; см. Jackwerth and Rubinstein (1996).Тем не менее, мы удалили все опционы с ценой ниже 0,05 (поскольку для совершения сделки цена предложения должна быть не менее 0,05). За 17 лет квартальных данных в нашем анализе было 69 квартальных наблюдений со средним числом доступных страйков 39,1 на наблюдение для опционов на S&P 500 и 30,8 страйков для опционов на FTSE 100. Для месячных экспираций среднее число страйков, доступных для опционов S&P 500, составляло 39,0 и 28,6 для FTSE 100.

     Первым шагом является вычисление меры вероятности выигрыша опционов (аналогично шансам в скачках).Поскольку опционы являются американскими, приближение Барона-Адези и Уэйли (1987) использовалось для восстановления подразумеваемых волатильностей, которые затем были заменены в формулу Блэка (1976) для расчета вероятностей псевдоевропейских опционов [ N ( d ₂ ) и N (- d ₂ )]. Для опционов европейского стиля на FTSE 100 напрямую использовалась подразумеваемая волатильность Черного (1976 г.). ⁷ На всех рынках подразумеваемая волатильность для каждого опциона использовалась для расчета шансов.Для более последовательного сравнения со ставками на скачки, надбавка за опционы была выражена в форвардном стоимостном выражении. Используя формулу Блэка (1976)

     (1a) Cfv = FNd1 − XNd2

     (1b) Pfv = XN − d1 − FN − d2.

     Где

     d1 = InFX + 12σ2T − tσT − t

     Поскольку мы наблюдаем только текущие цены опционов C _pv и P _pv , мы преобразуем их в результаты в уравнениях (1a) и (1b) путем умножения наблюдаемых цен на erT − t (где r – это ставка LIBOR, интерполированная между смежными стандартными сроками погашения по данным British Bankers Assocation на дату наблюдения, t и T ). – срок годности).

     Терминальные выплаты опционов равны

     (2) CT = MAXFT-X, 0 иPT = MAXX-FT, 0,

     соответственно. Мы вычисляем родственники богатства отношений этих значений к первоначальной форвардной стоимости опционов: в отсутствие премии за риск ожидается, что они будут в среднем равны единице.

     Важным вопросом при их усреднении является то, как следует взвешивать относительное богатство по каждому опциону. В нашей выборке данных количество доступных страйков увеличивается со временем. Таким образом, мы потеряли бы эффективность, если бы мы взвешивали все опционы одинаково, поскольку это соответствовало бы инвестированию возрастающих сумм с течением времени, когда для данного дня доходность опционов при разных страйках не является независимой.Поэтому наш первый принцип состоит в том, чтобы взвешивать каждый ежемесячный или квартальный период одинаково, инвестируя фиксированную сумму денег (например, 1 доллар США) в каждую дату.

     Для достижения той же суммы инвестиций для альтернативных опционных контрактов количество приобретенных опционов равно

     (3) QC = 1 доллар / CfvandQp = 1 доллар / Pfv,

     соответственно для всех колл и пут. Уравнение (3) предполагает, что для опционов с более высокой ценой (например, в деньгах) покупаемое количество будет небольшим, а для опционов с более низкой ценой (например,г., вне денег), количество приобретаемых опций будет большим. Мы интерпретируем опционы при деньгах как фавориты, а опционы без денег как длинные.

     В отличие от скачек (нейтральные к риску) вероятности выигрыша на рынках опционов выражаются не в виде шансов, а в непрерывном диапазоне вероятностей от 0% до 100% (и в случайных точках). В скачках, хотя ставки выражаются в виде шансов, такие ставки фактически представляют собой непрерывный диапазон вероятностей для всех ставок между отдельными категориями (и округляются в меньшую сторону).Например, ставки 9/5 охватывают все диапазоны от 1,80 до 1,99 до 1, а ставки 5/2 охватывают все ставки от 2,00 до 2,49 до 1.

     Для определения относительного ожидаемого богатства при фиксированных уровнях «шансов» [ N ( d ₂ ) или N (- d ₂ )], мы используем интерполяцию для оценки применяемой цены страйка и опциона. В пределах диапазона «шансов», который существует в данный день, ⁸ , мы линейно интерполируем подразумеваемую волатильность между соседними страйками.При такой оценке каждого относительного богатства мы формируем простое среднее значение родственников богатства за неперекрывающиеся периоды и, следовательно, можем легко выполнить тесты значимости. ⁹

     Стандартные критерии значимости (такие как односторонний критерий t ) могут быть неадекватными, если распределение выборки не является нормальным. Распределение доходности опционов за период удержания имеет тенденцию к весьма положительному перекосу, особенно для опционов без денег, и когда премия за риск по базовому активу увеличивается (для колл) или уменьшается (для пут) (цель) вероятность упражнения.Поэтому необходима осторожность при проверке значимости среднего богатства относительно любой данной нулевой гипотезы. Чтобы решить эту проблему, мы провели моделирование методом Монте-Карло, чтобы получить распределение реализованных родственников среднего богатства для выборок подходящего размера (60 для квартальных и 160 для месячных горизонтов). ¹⁰ Эти симуляции были выполнены с использованием предположений Блэка-Шоулза, с премией за риск и без нее, а также в течение одного и трех месяцев до истечения срока. Полученные таким образом доверительные интервалы заметно отличались от тестовых интервалов t , которые были бы применимы для нормального (или почти нормального) распределения.