Главная
Нахождение интеграла: Неопределенный интеграл

Нахождение интеграла: Неопределенный интеграл

Математический анализ. Интегральное исчисление

Математический анализ. Интегральное исчисление
  

Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С., Мордкович А.Г. Математический анализ. Интегральное исчисление. М.: Просвещение, 1979, – 176 с.

Учебное пособие для студентов 2 курса физико-математических факультетов педагогических институтов.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
Глава I. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
2. Первообразная функция.
3. Определения неопределенного и определенного интегралов.
4. Таблица основных интегралов.
5. Свойства неопределенного интеграла.
6. Свойства определенного интеграла.
§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
2. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ
2. Замена переменной в определенном интеграле.
§ 4. МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2. Интегрирование правильных дробей.
3. Интегрирование неправильных дробей.
§ 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
§ 8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ТАБЛИЦ
Глава II. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА
§ 1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ЧИСЛО, РАЗДЕЛЯЮЩЕЕ ДВА ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВА
2. Определенный интеграл как разделяющее число.
3. Свойства нижних и верхних сумм Дарбу.
4. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции.
5. Интегрируемость монотонных функций.
6. Интегрируемость непрерывных функций.
§ 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ
2. Среднее значение функции.
3. Дифференцирование определенного интеграла по верхнему пределу.
4. Формула Ньютона—Лейбница.
§ 3. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
2. Интегрирование четных, нечетных и периодических функций.
3. Интегрирование неравенств.
§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2. Признаки сходимости несобственных интегралов 1-го рода.
3. Несобственные интегралы 2-го рода.
§ 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Глава III. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
§ 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР
2. Квадрируемые области.
3. Свойства площадей квадрируемых фигур.
4. Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах.
5. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями.
6. Площадь в полярных координатах.
§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ
2. Объем прямого цилиндрического тела.
3. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.
4. Принцип Кавальери.
5. Объем тела вращения.
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН ДУГ
2. Достаточное условие спрямляемости кривой.
3. Вывод формулы длины дуги регулярной кривой.

4. Частные случаи формулы длины кривой.
5. Необходимое и достаточное условие спрямляемости кривой.
§ 4. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
§ 5. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
2. Вычисление статических моментов и координат центров тяжести плоских фигур.
3. Теоремы Гульдина—Паппа.
4. Вычисление моментов инерции.
5. Другие приложения интегрального исчисления к физике.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
ОТВЕТЫ

Таблица интегралов: первообразная, неопределенный интеграл

Для быстрого интегрального исчисления нужно знать, как искать производные простой и сложной функции. Ведь нахождение интеграла и производных являются взаимно обратные операции. Для интегрирования потребуются: таблица интегралов полная и также формулы интегралов таблица основных свойств, таблица производных и интегралов.

У многих возникает сложность в изучении и понимании неопределенных интегралов. Если производные обладают всего лишь 5 правилами дифференцирования, четким алгоритм, таблицей производных, то при интегрировании совсем иначе. Используются десятки приемов и способов интегрирования. При неверном выборе способа интегрирования и различного метода интеграл вычислять можно долго, так как он представляет собой некий ребус.

Определение первообразной

Определение

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство  для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство (F(x)+C)׳=f(x). Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла

Определение

Совокупность функций первообразной для данной функции y=f(x), которая имеет место на некотором отрезке [a;b], называют неопределенным интегралом y=f(x).

Неопределенный интеграл имеет обозначение: \[\int f(x) d x=F(x)+C, c=\text { const }\].

Определение интегрирования

Определение

Операция нахождения интеграла называется интегрированием.

Дифференциал с интегральным выражением являются взаимно обратными действиями. У любой непрерывной на интервале функции есть какой-либо неопределенный интеграл.

Кратко о терминах и обозначениях:

Таблица интегралов:

Таблица производных не включает формулы, которые соответствуют формулам из 10,13,14 таблицы. Чтобы проверить справедливость формул, необходимо произвести дифференцирование над ними.

Формулы интегралов, полная таблица основных свойств:

Расшифровка свойств интегралов:

  1. Неопределенный интеграл при интегрировании функции является равным предоставляемой функции.
    {\prime}=\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x=\operatorname{ctg} x \]

    Производная получилось такая же, как и подынтегральная функция. Поэтому формула является верной.

    Вычислить интеграл:

    \[ \int(\cos (3 x+2)+5 x) d x \]

    Решение:

    Используем одно из основных свойств:

    \[ \int(\cos (3 x+2)+5 x) d x=\int(\cos (3 x+2)) d x+\int 5 x d x \]

    Используем свойство о вынесении множителя за интеграл:

    \[ \int(\cos (3 x+2)) d x+\int 5 x d x=\int(\cos (3 x+2)) d x+5 \int x d x \]

    С помощью таблицы:

    При вычислении воспользуемся 5 свойством:

    \[ \int(\cos (3 x+2)) d x=\frac{1}{3} \sin (3 x+2)+C_{1} \]

    Найдем ответ:

    При этом C1+C2 являются частями C. Если отдельно решается 2 и более интегралов, то к каждому члену ставится C с определенным индексом.

    Нет времени решать самому?

    Наши эксперты помогут!

    Контрольная

    | от 300 ₽ |

    Реферат

    | от 500 ₽ |

    Курсовая

    | от 1 000 ₽ |

    5.

    2: Определенный интеграл — Mathematics LibreTexts
    1. Последнее обновление
    2. Сохранить как PDF
  2. Идентификатор страницы
    13803
    • OpenStax
    • OpenStax
    9∗_i)Δx.\]

    Однако это определение имело ограничения. Мы требовали, чтобы \(f(x)\) было непрерывным и неотрицательным. К сожалению, реальные проблемы не всегда соответствуют этим ограничениям. В этом разделе мы рассмотрим, как применить понятие площади под кривой к более широкому набору функций посредством использования определенного интеграла.

    Определение и обозначения

    Определенный интеграл обобщает понятие площади под кривой. Мы снимаем требования непрерывности и неотрицательности \(f(x)\) и определяем определенный интеграл следующим образом.

    Определение 9∗_i)Δx,\]

    при условии существования предела. Если этот предел существует, то функция \(f(x)\) называется интегрируемой на [a,b] или является интегрируемой функцией.

    Символ интеграла в предыдущем определении должен показаться вам знакомым. Мы встречали похожие обозначения в главе о применении производных, где мы использовали неопределенный целочисленный символ (без a и b сверху и снизу) для обозначения первообразной. Хотя обозначения неопределенных интегралов могут выглядеть аналогично обозначениям определенных интегралов, они не совпадают. Определенный интеграл – это число. Неопределенный интеграл — это семейство функций. Позже в этой главе мы рассмотрим, как связаны эти понятия. Однако всегда следует уделять пристальное внимание обозначениям, чтобы мы знали, работаем ли мы с определенным интегралом или с неопределенным интегралом.

    Интегральная система обозначений восходит к концу семнадцатого века и является одним из вкладов Готфрида Вильгельма Лейбница , которого часто считают одним из первооткрывателей исчисления вместе с Исааком Ньютоном. Символ интегрирования ∫ представляет собой удлиненную букву S, что указывает на сигму или суммирование. В определенном интеграле выше и ниже символа суммы находятся границы интервала \([a,b].\) Числа a и b являются значениями x и называются

    пределами интегрирования ; в частности, a — это нижний предел, а b — верхний предел. Чтобы пояснить, мы используем предел слова двумя разными способами в контексте определенного интеграла. Во-первых, мы говорим о пределе суммы при \(n→∞.\). Во-вторых, границы области называются 9∗_i)∆x\) существует и единственна. Это приводит к следующей теореме, которую мы сформулируем без доказательства.

    Непрерывные функции интегрируемы

    Если \(f(x)\) непрерывна на \([a,b]\), то f интегрируема на \([a,b].\)

    Функции которые не непрерывны на \([a,b]\), все же могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов. Например, интегрируемы функции с конечным числом скачков на отрезке.

    Здесь также стоит отметить, что мы сохранили использование регулярного разбиения в суммах Римана. Это ограничение не является строго необходимым. Любое разбиение можно использовать для формирования суммы Римана. Однако, если для определения определенного интеграла используется нерегулярное разбиение, недостаточно принять предел, поскольку количество подынтервалов стремится к бесконечности. Вместо этого мы должны принять предел, поскольку ширина наибольшего подынтервала стремится к нулю. Это вводит немного более сложные обозначения в наши пределы и усложняет вычисления, не получая при этом особого дополнительного понимания, поэтому мы придерживаемся регулярных разбиений для сумм Римана. 92dx.\) Используйте аппроксимацию правой конечной точки для получения суммы Римана.

    Решение

    Сначала мы хотим установить сумму Римана. Исходя из пределов интегрирования, имеем \(a=0\) и \(b=2\). Для \(i=0,1,2,…,n\) пусть \(P={x_i}\) будет правильным разбиением \([0,2].\) Тогда

    \[Δx=\ dfrac{b−a}{n}=\dfrac{2}{n}.\]

    Поскольку мы используем аппроксимацию правой конечной точки для получения сумм Римана, для каждого i нам нужно вычислить значение функции в точке правый конец интервала \([x_{i−1},x_i]. \) Правый конец интервала равен \(x_i\), и, поскольку P является обычным разделом, 93_0(2x−1)dx\).

    Используйте аппроксимацию правой конечной точки для получения суммы Римана.

    Подсказка

    Используйте стратегию решения из примера \(\PageIndex{1}\).

    Ответить

    \(6\)

    Вычисление определенных интегралов

    Вычисление определенных интегралов таким способом может быть довольно утомительным из-за сложности вычислений. Далее в этой главе мы разработаем методы вычисления определенных интегралов без ограничения сумм Римана. Однако пока мы можем полагаться на тот факт, что определенные интегралы представляют площадь под кривой, и мы можем вычислить определенные интегралы, используя геометрические формулы для вычисления этой площади. Мы делаем это, чтобы подтвердить, что определенные интегралы действительно представляют площади, поэтому мы можем затем обсудить, что делать в случае, когда кривая функции опускается ниже оси x.

    Пример \(\PageIndex{2}\): использование геометрических формул для вычисления определенных интегралов 94_2(2x+3)dx\).

    Подсказка

    Построить график функции \(f(x)\) и вычислить площадь под функцией на интервале \([2,4].\)

    Ответить

    18 квадратных блоков

    Площадь и определенный интеграл

    Когда мы определили определенный интеграл, мы сняли требование неотрицательности \(f(x)\). Но как мы интерпретируем «площадь под кривой», когда \(f(x)\) отрицательно? 9∗_i)Δx=\]

    (Площадь прямоугольников над осью x) − (Площадь прямоугольников под осью x)

    Рисунок \(\PageIndex{2}\): Для функция, которая является частично отрицательной, сумма Римана представляет собой площадь прямоугольников над осью x за вычетом площади прямоугольников под осью x.

    Принимая предел как \(n→∞,\), сумма Римана приближается к площади между кривой над осью x и осью x за вычетом площади между кривой под осью x и x- оси, как показано на рисунке. Затем 9nf(c_i)Δx=A_1−A_2.\]

    Величина \(A_1−A_2\) называется чистой областью со знаком .

    Рисунок \(\PageIndex{3}\): В пределе определенный интеграл равен площади A1 минус площадь A2 или чистой площади со знаком.

    Обратите внимание, что чистая область со знаком может быть положительной, отрицательной или нулевой. Если площадь над осью x больше, чистая площадь со знаком положительна. Если площадь под осью x больше, чистая площадь со знаком отрицательна. Если площади выше и ниже оси x равны, чистая площадь со знаком равна нулю.

    Пример \(\PageIndex{3}\): нахождение чистой площади со знаком

    Найти чистую площадь со знаком между кривой функции \(f(x)=2x\) и осью x на интервале \ ([−3,3].\)

    Решение

    Функция создает прямую линию, образующую два треугольника: один из \(x=−3\) в \(x=0\), а другой из \(x=0\) до \(x=3\) (рисунок). Используя геометрическую формулу площади треугольника \(A=\dfrac{1}{2}bh\), площадь треугольника A1 над осью равна 93_{−3}2xdx=A_1−A_2=9−9=0. \)

    Рисунок \(\PageIndex{4}\): Площадь над кривой и под осью x равна область под кривой и над осью x.

    Анализ

    Если A1 — это площадь над осью x, а A2 — площадь под осью x, то чистая площадь равна \(A_1−A_2\). Поскольку площади двух треугольников равны, чистая площадь равна нулю.

    Упражнение \(\PageIndex{3}\)

    Найдите чистую площадь со знаком \(f(x)=x−2\) на интервале \([0,6]\), показанном на следующем рисунке. .

    Подсказка

    Используйте метод решения, описанный в примере \(\PageIndex{3}\).

    Ответить

    6

    Общая площадь

    Одним из применений определенного интеграла является нахождение смещения при заданной функции скорости. Если \(v(t)\) представляет собой скорость объекта как функцию времени, то площадь под кривой говорит нам, насколько далеко объект находится от своего исходного положения. Это очень важное применение определенного интеграла, и мы рассмотрим его более подробно далее в этой главе. А пока мы просто рассмотрим некоторые основы, чтобы понять, как это работает, изучая постоянные скорости. 92_075dt=150\).

    Рисунок \(\PageIndex{5}\): Площадь под кривой \(v(t)=75\) говорит нам, как далеко автомобиль находится от начальной точки в данный момент времени.

    В контексте перемещения чистая площадь со знаком позволяет учитывать направление. Если автомобиль движется прямо на север со скоростью 60 миль в час в течение 2 часов, он находится на 120 миль к северу от своего начального положения. Если затем автомобиль развернется и поедет на юг со скоростью 40 миль в час в течение 3 часов, он вернется в исходное положение (рисунок). Опять же, используя интегральное обозначение, мы имеем 95_2−40\,dt=120−120=0.\]

    В этом случае смещение равно нулю.

    Рисунок \(\PageIndex{6}\): Площадь над осью и площадь под осью равны, поэтому чистая площадь со знаком равна нулю.

    Предположим, мы хотим узнать, как далеко проезжает машина в целом, независимо от направления. В этом случае мы хотим знать площадь между кривой и осью x, независимо от того, находится ли эта площадь выше или ниже оси. Это называется 95_240dt=120+120=240.\]

    Формально объединяя эти идеи, мы формулируем следующие определения.

    Определение: чистая площадь со знаком

    Пусть \(f(x)\) – интегрируемая функция, определенная на интервале \([a,b]\). Пусть \(A_1\) представляет собой площадь между \(f(x)\) и осью x, лежащей над осью, а \(A_2\) представляет площадь между \(f(x)\) и x -ось, лежащая ниже оси. Затем чистая область со знаком между \(f(x)\) и осью x определяется как 9b_a|f(x)|dx=A_1+A_2.\]

    Пример \(\PageIndex{4}\): Нахождение общей площади

    Найти общую площадь между \(f(x)=x−2\ ) и ось x на интервале \([0,6].\)

    Решение

    Вычислить точку пересечения по оси x как \((2,0)\) (установить \(y=0,\ ) найти х). Чтобы найти общую площадь, возьмите площадь под осью x на подинтервале \([0,2]\) и добавьте ее к площади над осью x на подинтервале \([2,6]\) ( Фигура).

    96_0|(x−2)|dx=A_2+A_1.\)

    Тогда, используя формулу площади треугольника, получаем

    \(A_2=\dfrac{1}{2}bh=\dfrac {1}{2}⋅2⋅2=2\)

    \(A_1=\dfrac{1}{2}bh=\dfrac{1}{2}⋅4⋅4=8\).

    Общая площадь равна

    \(A_1+A_2=8+2=10\).

    Упражнение \(\PageIndex{4}\)

    Найдите общую площадь между функцией \(f(x)=2x\) и осью x на интервале \([−3,3].\)

    Подсказка

    Просмотрите стратегию решения в примере \(\PageIndex{4}\).

    Ответить

    \(18\)

    Свойства определенного интеграла

    Свойства неопределенных интегралов применимы и к определенным интегралам. Определенные интегралы также обладают свойствами, относящимися к пределам интегрирования. Эти свойства вместе с правилами интегрирования, которые мы рассмотрим позже в этой главе, помогают нам манипулировать выражениями для вычисления определенных интегралов.

    92_1f(x)dx.\)

    Подсказка

    Используйте стратегию решения из Примера \(\PageIndex{6}\) и правило о свойствах определенных интегралов.

    Ответить

    \(−7\)

    Сравнительные свойства интегралов

    Изображение иногда может рассказать о функции больше, чем результаты вычислений. Сравнение функций по их графикам, а также по их алгебраическим выражениям часто может дать новое представление о процессе интегрирования. Интуитивно можно сказать, что если функция \(f(x)\) выше другой функции \(g(x)\), то площадь между \(f(x)\) и осью x больше, чем площадь между \(g(x)\) и осью x. Это верно в зависимости от интервала, по которому производится сравнение. Свойства определенных интегралов действительны как \(ab\). Однако следующие свойства относятся только к случаю \(a≤b\) и используются, когда мы хотим сравнить размеры интегралов. 92}\) и \(g(x)=\sqrt{1+x}\) на интервале \([0,1]\).

    Решение

    График этих функций необходим для понимания того, как они сравниваются на интервале \([0,1].\) Первоначально при построении графика на графическом калькуляторе \(f(x)\) кажется выше \(g(x)\) всюду. Однако на интервале \([0,1]\) графики кажутся наложенными друг на друга. Нам нужно увеличить масштаб, чтобы увидеть, что на интервале \([0,1],g(x)\) выше \(f(x)\). Две функции пересекаются в точках \(x=0\) и \(x=1\) (рисунок). 91_0f(x)dx\) (рисунок). Тонкая, заштрихованная красным область показывает, насколько велика разница между этими двумя интегралами на интервале \([0,1].\)

    Рисунок \(\PageIndex{9}\): ( а) Из графика видно, что на интервале \([0,1],g(x)≥f(x),\), где равенство выполняется только на концах интервала. (b) Просмотр того же графика с большим увеличением показывает это более четко.

    Ключевые понятия

    • Определенный интеграл можно использовать для вычисления чистой площади со знаком, которая представляет собой площадь над осью x за вычетом площади под осью x. Чистая площадь со знаком может быть положительной, отрицательной или нулевой.
    • Составными частями определенного интеграла являются подынтегральная функция, переменная интегрирования и пределы интегрирования.
    • Непрерывные функции на отрезке интегрируемы. Функции, которые не являются непрерывными, могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов.
    • Свойства определенных интегралов можно использовать для вычисления интегралов.
    • Площадь под кривой многих функций можно рассчитать по геометрическим формулам. 9b_cf(x)dx\)

      Глоссарий

      определенный интеграл
      первичная операция исчисления; площадь между кривой и осью x на заданном интервале представляет собой определенный интеграл
      интегрируемая функция
      функция является интегрируемой, если существует предел, определяющий интеграл; другими словами, если предел сумм Римана, когда n стремится к бесконечности, существует
      подынтегральная функция
      функция справа от символа интегрирования; подынтегральная функция включает интегрируемую функцию
      пределы интегрирования
      эти значения появляются вверху и внизу знака интеграла и определяют интервал, по которому должна быть интегрирована функция
      чистая площадь со знаком
      область между функцией и осью x такая, что область ниже 9ось 0645 x вычитается из области над осью x ; результат такой же, как определенный интеграл функции
      общая площадь
      общая площадь между функцией и осью x рассчитывается путем сложения площади над осью x и площади под осью x ; результат такой же, как определенный интеграл от абсолютного значения функции
      переменная интегрирования
      указывает, по какой переменной вы интегрируете; если это x , то за функцией в подынтегральном выражении следует dx

      Авторы

      Эта страница под названием 5. 2: The Definite Integral распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax.

      1. Наверх
        • Была ли эта статья полезной?
        1. Тип изделия
          Раздел или Страница
          Автор
          ОпенСтакс
          Лицензия
          CC BY-NC-SA
          Версия лицензии
          4,0
          Показать страницу TOC
          да
          Включено
          да
        2. Теги
          1. среднее значение функции
          2. расчетный участок: да
          3. определенный интеграл
          4. интегрируемая функция
          5. подынтегральная функция
          6. чистая область со знаком
          7. общая площадь
          8. переменная интегрирования

        Как найти интеграл векторной функции — Криста Кинг Математика

        Вид интеграла вектор-функции

        Чтобы найти интеграл вектор-функции ???r(t)=r(t)_1\bold i+r(t)_2\bold j+r(t) _3\bold k???, мы просто заменяем каждый коэффициент его интегралом.

    Оставить комментарий