2 Нахождение пределов по определению
Пример 1. Доказать, что
Доказательство. Возьмем произвольное сколь угодно малое и определим номер такой, чтобы выполнялось неравенство
За возьмем целую часть . Итак, для произвольного найдется номер , что для всех будет выполняться неравенство , следовательно, число 4 является пределом последовательности.
Пример 2. Доказать, что .
Доказательство. Воспользуемся тем, что при рассмотрении предела функции в точке x=1 ее аргумент не принимает значения, равное 1. Имеем
при
Возьмем любое . Тогда:
, если и Отсюда видно, что если взять , то для всех , удовлетворяющих неравенству при , выполняется требуемое неравенство:
Это означает, что
3 Неопределенность
Неопределенности такого вида возникают при вычислении пределов типа: , если
При этом возможны частные случаи:
Числитель и знаменатель дроби – многочлены.
Для вычисления предела необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на множитель, порождающий нуль.
Пример 3. Найти
Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:
2) Числитель или знаменатель дроби, или оба содержат иррациональность. Для решения примера необходимо освободиться от иррациональности, умножив числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, сократить дробь на множитель, порождающий нуль.
Пример 4. Найти
Решение. При числитель и знаменатель стремятся к нулю. Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю по формуле разности кубов. Тогда
получим: =
3) Выражение
содержит тригонометрические функции.
Для решения примера необходимо путем
тригонометрических и алгебраических
преобразований свести его к первому
замечательному пределу.
Пример 5.
Решение. Подстановкой предельного значения убедимся, что имеем неопределенность . Применяем тригонометрическую формулу , преобразуем полученное выражение, сводим к первому замечательному пределу.
Пример 6. Найти
Решение. Сделаем замену , т.е. Ясно, что при
Поэтому
4 Неопределенность вида
1) Числитель и знаменатель дроби при – полиномы.
Для раскрытия неопределенности целесообразно числитель и знаменатель разделить на степень с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу.
Пример 7. Найти
Решение.
2) Пример
8.
Найти
Решение. Поделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень n (выбираем из двух вариантов и ), т.е на
Тогда
5 Неопределенность вида
Для раскрытия этой неопределенности необходимо путем преобразования исходного выражения получить неопределенность вида или , т.е свести к предыдущим случаям 3,4
Пример 9. Найти
Решение.
6 Неопределенность вида
Этот случай нахождения предела функции можно привести к случаю или
путем преобразования функции к виду дроби.
Пример 10. Найти
Решение. Рассматривая данную функцию как дробную со знаменателем, равным единице, избавимся от иррациональности в числителе и затем разделим числитель и знаменатель на x:
7 Неопределенность вида
Неопределенности такого вида появляются при решении примеров вида:
,
где
, или
,
где
,
.
Преобразуя выражения, сводим их ко второму замечательному пределу.
Пример 11. Найти
Решение. Полагая , получим когда , и
,
, так как
8 Комбинированные случаи
Для этих наиболее сложных случаев раскрытия неопределенностей общих рекомендаций нет. В каждом примере свой подход к решению. При достаточно хороших навыках в решении пяти предыдущих случаях, можно воспользоваться, приведенными выше рекомендациями.
Пример 12.
Решение.
Имеем неопределенность вида . Это отчетливо видно, если с помощью свойств логарифма представить предел в виде:
=
На основании непрерывности логарифмической функции перейдем к пределу под символом логарифма, т.е
Примеры решения пределами с ответами
Простое объяснение принципов решения пределов 10 наглядных примеров.
В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.
Алгоритм решения пределов
Теорема
Пределом называется значение функции, вычисленное в точке к которой стремиться независимый аргумент.
Свойства пределов
Если
то
Если
то
Если
то
Нужна помощь в написании работы?
Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Цена работы
Примеры решений пределов
Пример 1
Задача
Найти предел:
Решение
Заменим в выражении аргумент его предельным значением:
Ответ
Пример 2
Задача
Найти предел:
Решение
Заменим в выражении аргумент его предельным значением:
Ответ
Пример 3
Задача
Найти предел:
Решение
Заменим в выражении аргумент его предельным значением:
Ответ
Пример 4
Задача
Найти предел:
Решение
Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента.
Вычисляем передел:
Ответ
Пример 5
Задача
Найти предел:
Решение
Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение в
Вычисляем предел:
Ответ
Пример 6
Задача
Найти предел:
Решение
Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение в
Вычисляем предел:
Ответ
Пример 7
Задача
Найти предел:
Решение
В данном примере знаменатель обращается в нуль при предельном значении аргумента
Преобразуем выражение
Ответ
Пример 8
Задача
Найти предел:
Решение
При числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль.
Разделим числитель и знаменатель дроби
на
В итоге получим:
Ответ
Пример 9
Задача
Найти предел:
Решение
При знаменатель дроби обращается в нуль, поэтому вычислить непосредственно предел нельзя.
Рассмотрим обратную дробь
и её предел при
Т.к.
, то при функция является бесконечно малой, поэтому при является бесконечно большой, а
Ответ
Пример 10
Задача
Найти предел:
Решение
Разделим числитель и знаменатель дроби на – высшую степень , встречающуюся в дроби
При поэтому
Ответ
Средняя оценка 3.
1 / 5. Количество оценок: 58
Поставьте вашу оценку
Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!
Позвольте нам стать лучше!
Расскажите, как нам стать лучше?
56070
Закажите помощь с работой
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Полезно
Непрерывность и пределы: оценка пределов
В этом тексте мы просто познакомим вас с несколькими простыми методами оценки пределы и показать вам несколько примеров. Более формальные способы нахождения пределов останется для вычислений.
Предел функции при определенном значении x не зависит от значения
функция для этого x . Таким образом, одним из методов оценки предела является оценка
функция для многих x – значения очень близки к желаемому х . Например, f ( х ) = 3 х . Что такое f ( x )? Найдем значения f при некотором x – значения около 4.
f (3,99) = 11,97, f (3,9999) = 11,9997, f (4,01) = 12,03, и f (4,997). 0001) = 12,0003. Отсюда можно с уверенностью сказать, что по мере приближения x 4, f ( x ) приближается к 12. То есть, f ( х ) = 12.
Техника вычисления функции для множества значений х вблизи искомого
значение довольно утомительно. Для определенных функций работает гораздо более простая техника:
прямая замена. В приведенной выше задаче мы могли бы просто вычислить f (4) = 12 и получить предел одним вычислением. Поскольку предел при данном значении x не зависит от значения функции при этом x -значение, прямое
замена – это ярлык, который не всегда работает. Часто функция является
неопределенный в желаемом x – значение, а в некоторых функциях значение f ( a )≠ f ( x ). Таким образом, прямая замена является методом, который следует
пробовал с большинством функций (потому что это так быстро и легко сделать), но всегда
дважды проверенный.
Он имеет тенденцию работать для пределов многочленов и
тригонометрические функции, но менее надежен для функций, которые не определены
при определенных значениях x .
Другой простой метод нахождения предела включает в себя прямую замену, но требует большего творчества. Если делается попытка прямой замены, но функция не определено для данного значения x , алгебраические методы упрощения можно использовать для поиска выражения функции, для которого значение определяется функция при желаемом разрешении x . Тогда прямая замена может быть используется для нахождения предела. Такие алгебраические методы включают факторинг и рационализация знаменателя, чтобы назвать несколько. Однако функция манипулируется так что прямая замена может работать, ответ все равно должен быть проверен либо глядя на график функции, либо оценивая функцию для х – значения рядом с желаемым значением. Теперь мы рассмотрим несколько примеров ограничений.
Что ? Цифра %: f ( x ) =
Непосредственной подстановкой и проверкой по графику = – .
Что ? Цифра %: f ( x ) = Прямая замена не работает, потому что f не определено при x = 1. делим знаменатель на ( x + 1)( x – 1), хотя член ( x – 1) отменяет сверху и снизу, и нам остается вычислять . При прямой подстановке предел равен .
Рассмотрим функцию f ( x ) = xforx < 0, f ( x ) = x + 1 forx ≥ 0. Что такое f ( x ), что такое f ( x ) и что такое f ( x )? Рисунок %: f ( x ) = x для x < 0, f ( x ) = x + 1 для x 90 006 ≥ 0 Односторонний предел слева равен 0. Это мы можем сказать как из прямого замены и изучая график. Используя те же приемы, находим односторонний предел справа равен 1. По правилам несуществующего предела f ( x ) не существует, потому что f ( x )≠ f ( x ).
Рассмотрим функцию f ( x ) = xforall x ≠3, f ( x ) = 2 forx = 3.
Что такое ф ( х )? Число %: f ( x ) = x для всех x ≠3, f ( x ) = 2 для x = 3 Прямая замена дает предел в 2, но более тщательная проверка
график и значения, окружающие x = 3 показывают, что на самом деле предел f при x = 3 равно 3. Это яркий пример того, как значение функции при x не влияет на предел этой функции при разрешении x .
Аналитическая оценка пределов | Калькулятор Медик
Блок 8
День 1
День 2
День 3
День 4
День 5
День 6
День 7
День 8
День 9
День 10
День 11
День 12
День 13
День 14
День 15
День 16
Все разделы
Цели обучения
Соединить множители и нули рациональных функций с дырками и вертикальными асимптотами
Использование пределов для описания поведения функций в дырах и асимптотах
Краткий план урока
Первый опыт
На этом уроке учащиеся узнают, как оценивать пределы рациональных функций, определяя расположение отверстий и вертикальных асимптот.
Студенты борются с идеей получения «0/0» при использовании прямой замены. Наблюдая за тем, как учащиеся работают над вопросом 3а, спросите их, что означает 0/0. Когда они ответят, поиграйте в адвоката дьявола: «Я думал, что 0 разделить на что-либо равно нулю. И разве то, что делится на 0, не всегда неопределенно? И разве ничто, делимое само на себя, не равно 1? Так какой же это? Неопределенный? 0? 1? Что-то другое?” В этом вся идея неопределенной формы — она не всегда имеет одинаковое значение в каждой ситуации.
Мы надеемся, что на этом уроке активизируются воспоминания учащихся о наших уроках по рациональным функциям из Блока 2! Продолжайте предлагать учащимся объяснить, почему на графике есть отверстие в точке x=2 и вертикальная асимптота x=-1. В конечном счете, мы хотим, чтобы учащиеся могли сказать больше, чем просто «множитель появляется в числителе и знаменателе» и «множитель появляется только в знаменателе». Это, конечно, полезная отправная точка, но она не раскрывает всей истории.
Формализуйте позже
Этот урок основан на идеях модуля 2 о рациональном функционировании. Хотя учащиеся уже должны знать, как идентифицировать отверстия и вертикальные асимптоты путем факторизации числителя и знаменателя, требуется время, чтобы построить концептуальное понимание разницы между отверстиями и вертикальными асимптотами и того, как это связано с факторами функции числителя и знаменателя.
При разборе вопроса 3b мы хотели бы сказать, что значение предела говорит нам, что должно было бы произойти при x=2, если бы не было дыры. Это восходит к идее о том, что предел является предполагаемым значением. Это также помогает объяснить, почему «упрощенная форма» в 5a идентична исходной функции, ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ того, что она определена при x=2, и, таким образом, мы можем видеть, каким должно быть значение y (также известное как значение y функции). дыра).
Убедитесь, что учащиеся знают, что «0/0» не является значением ограничения! Это просто индикатор того, что предел не определен при текущей стратегии прямого замещения, и необходимо будет найти другую стратегию.