$$f(x_0 + h) = f(x_0) + \color{#348FEA}{\left[D_{x_0} f \right]} (h) + \bar{\bar{o}} \left(\left| \left| h\right|\right|\right),$$
где $\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]}$ — дифференциал функции $f$: линейное отображение из мира $x$-ов в мир значений $f$. Грубо говоря, он превращает «малое приращение $h=\Delta x$» в «малое приращение $\Delta f$» («малые» в том смысле, что на о-малое можно плюнуть):
$$f(x_0 + h) – f(x_0)\approx\color{#348FEA}{\left[D_{x_0} f \right]} (h)$$
Отметим, что дифференциал зависит от точки $x_0$, в которой он берётся: $\color{#348FEA}{\left[D_{\color{red}{x_0}} f \right]} (h)$. Под $\vert\vert h\vert\vert$ подразумевается норма вектора $h$, например корень из суммы квадратов координат (обычная евклидова длина).
Давайте рассмотрим несколько примеров и заодно разберёмся, какой вид может принимать выражение $\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]} (h)$ в зависимости от формы $x$.
Можно заметить, что здесь, по аналогии с примерами, где $x$ — скаляр и где $x$ — вектор (и $f(x)$ — скалярная функция), получилось на самом деле скалярное произведение градиента функции $f$ по переменным $X_{ij}$ и приращения. Этот градиент мы записали для удобства в виде матрицы с теми же размерами, что матрица $X$.
В примерах выше нам дважды пришлось столкнуться с давним знакомцем из матанализа: градиентом скалярной функции (у нескалярных функций градиента не бывает). Напомним, что градиент $\color{#FFC100}{\nabla_{x_0} f}$ функции в точке $x_0$ состоит из частных производных этой функции по всем координатам аргумента. При этом его обычно упаковывают в ту же форму, что и сам аргумент: если $x$ — вектор-строка, то и градиент записывается вектор-строкой, а если $x$ — матрица, то и градиент тоже будет матрицей того же размера. Это важно, потому что для осуществления градиентного спуска мы должны уметь прибавлять градиент к точке, в которой он посчитан.
Как мы уже имели возможность убедиться, для градиента скалярной функции $f$ выполнено равенство
$$ \left[D_{x_0} f \right] (x-x_0) = \langle\color{#FFC100}{\nabla_{x_0} f}, x-x_0\rangle, $$
где скалярное произведение — это сумма попарных произведений соответствующих координат (да-да, самое обыкновенное).
Посмотрим теперь, как выглядит дифференцирование для функций, которые на выходе выдают не скаляр, а что-то более сложное.
Примеры конкретных форм $\big[D_{x_0} f\big] (h)$, где $f$ — это вектор или матрица$f(x) = \begin{pmatrix} f(x_1)\ \vdots\ f(x_m) \end{pmatrix}$, $x$ — вектор. Тогда
$$ f(x_0 + h) – f(x_0) = \begin{pmatrix} f(x_{01} + h_1) – f(x_{01})\ \vdots \ f(x_{0m} + h_m) – f(x_{0m}) \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} f'(x_{01}) h_1\ \vdots \ f'(x_{0m}) h_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f'(x_{01}) \ \vdots \ f'(x_{0m}) \end{pmatrix} \odot h. $$
В последнем выражении происходит покомпонентное умножение:
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]} (h) = f'(x_0) \odot h = h \odot f'(x_0)$$
$f(X) = XW$, где $X$ и $W$ — матрицы.
Тогда$$f(X_0 + H) – f(X_0) = (X_0 + H) W – X_0 W = H W,$$
то есть
$$\color{#348FEA}{\big[D_{X_0} f\big]} (H) = H W$$
$f(W) = XW$, где $X$ и $W$ — матрицы. Тогда
$$f(W_0 + H) – f(W_0) = X(W_0 + H) – XW_0 = X H,$$
то есть
$$\color{#348FEA}{\big[D_{W_0} f\big]} (H) = X H$$
$f(x) = (f_1(x),\ldots,f_K(x))$ — вектор-строка, $x = (x_1,\ldots,x_D)$ — вектор-строка. Тогда
$$ \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]}(h) = \left(\sum_j \left. \frac{\partial f_1}{\partial y_j} \right|_{y=x_0}h_j, \ldots, \sum_j \left. \frac{\partial f_K}{\partial y_j} \right|_{y=x_0}h_j \right) = \\ = h \cdot \begin{pmatrix} \left. \frac{\partial f_1}{\partial y_1} \right|_{y=x_0} & \ldots & \left. \frac{\partial f_k}{\partial y_1} \right|_{y=x_0} \\ \vdots & & \vdots \\ \left. \frac{\partial f_1}{\partial y_D} \right|_{y=x_0} & \ldots & \left.
Матрица, выписанная в предпоследней выкладке, — это знакомая вам из курса матанализа матрица Якоби.
Тогда
Простые примеры и свойства матричного дифференцирования
Производная константы. Пусть $f(x) = a$. Тогда
$$f(x_0 + h) – f(x_0) = 0,$$
то есть $\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]}$ — это нулевое отображение. А если $f$ — скалярная функция, то и $\color{#FFC100}{\nabla_{x_0} f} = 0.$
Производная линейного отображения. Пусть $f(x)$ — линейное отображение. Тогда
$$f(x_0 + h) – f(x_0) = f(x_0) + f(h) – f(x_0) = f(h)$$
Поскольку справа линейное отображение, то по определению оно и является дифференциалом $\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]}$. Мы уже видели примеры таких ситуаций выше, когда рассматривали отображения умножения на матрицу слева или справа.
Линейность производной. Пусть $f(x) = \lambda u(x) + \mu v(x)$, где $\lambda, \mu$ — скаляры, а $u, v$ — некоторые отображения, тогда
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]} = \lambda \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]} + \mu \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} v\big]}$$
$$f(x_0 + h) – f(x_0) = (\lambda u(x_0 + h) + \mu v(x_0 + h)) – (\lambda u(x_0) + \mu v(x_0)) =$$
$$ = \lambda(u(x_0 + h) – u(x_0)) + \mu(v(x_0 + h) – v(x_0)) \approx $$
$$\approx \lambda \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]}(h) + \mu \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} v\big]}(h)$$
Производная произведения. Пусть $f(x) = u(x) v(x)$, где $u, v$ — некоторые отображения, тогда
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]} = \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]} \cdot v(x_0) + u(x_0) \cdot \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} v\big]}$$
Обозначим для краткости $x = x_0 + h$. Тогда
$$u(x)v(x) – u(x_0)v(x_0) = u(x)v(x) – u(x_0)v(x) + u(x_0)v(x) – u(x_0)v(x_0) =$$
$$ (u(x) – u(x_0))v(x) + u(x_0)(v(x) – v(x_0))\approx $$
$$\approx \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]}(h) \cdot v(x) + u(x_0)\cdot \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} v\big]}(h)$$
И всё бы хорошо, да в первом слагаемом $v(x)$ вместо $v(x_0)$. Придётся разложить ещё разок:
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]}(h) \cdot v(x) \approx $$
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]}(h) \cdot \left(v(x_0) + \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} v\big]}(h) + o(\vert\vert h\vert\vert)\right) =$$
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]}(h) \cdot v(x_0) + \bar{\bar{o}}\left(\vert\vert h\vert\vert\right)$$
Это же правило сработает и для скалярного произведения:
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} \langle u, v\rangle\big]} = \langle\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]}, v\rangle + \langle u, \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} v\big]}\rangle$$
В этом нетрудно убедиться, повторив доказательство или заметив, что в доказательстве мы пользовались лишь дистрибутивностью (= билинейностью) умножения.
Производная сложной функции. Пусть $f(x) = u(v(x))$. Тогда
$$f(x_0 + h) – f(x_0) = u(v(x_0 + h)) – u(v(x_0)) \approx $$
$$\approx\left[D_{v(x_0)} u \right] (v(x_0 + h) – v(x_0)) \approx \left[D_{v(x_0)} u \right] \left( \left[D_{x_0} v\right] (h)\right)$$
Здесь $D_{v(x_0)} u$ — дифференциал $u$ в точке $v(x_0)$, а $\left[D_{v(x_0)} u \right]\left(\ldots\right)$ — это применение отображения $\left[D_{v(x_0)} u \right]$ к тому, что в скобках. Итого получаем:
$$\left[D_{x_0} \color{#5002A7}{u} \circ \color{#4CB9C0}{v} \right](h) = \color{#5002A7}{\left[D_{v(x_0)} u \right]} \left( \color{#4CB9C0}{\left[D_{x_0} v\right]} (h)\right)$$
Важный частный случай:
$$\left[D_{x_0} \color{#5002A7}{L} \circ \color{#4CB9C0}{v} \right](h) = \color{#5002A7}{L} \left( \color{#4CB9C0}{\left[D_{x_0} v\right]} (h)\right)$$
Простые примеры вычисления производной
Вычислим дифференциал и градиент функции $f(x) = \langle a, x\rangle$, где $x$ — вектор-столбец, $a$ — постоянный вектор.
Вычислить производную можно непосредственно:
$$f(x_0 + h) – f(x_0) = \langle a, x_0 + h\rangle – \langle a, x_0\rangle = \langle a, h\rangle$$
Но можно и воспользоваться формулой дифференциала произведения:
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} \langle a, x\rangle\big]} (h) = $$
$$ =\langle\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} a\big]}(h), x\rangle + \langle a, \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} x\big]}(h)\rangle$$
$$= \langle 0, x\rangle + \langle a, h\rangle = \langle a, h\rangle$$
Сразу видно, что градиент функции равен $a$.
Вычислим производную и градиент $f(x) = \langle Ax, x\rangle$, где $x$ — вектор-столбец, $A$ — постоянная матрица.
Попробуйте вычислить сами, прежде чем смотреть решение.Снова воспользуемся формулой дифференциала произведения:
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} \langle Ax, x\rangle\big]}(h) = $$
$$ = \langle\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} Ax\big]}(h), x_0\rangle + \langle Ax_0, \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} x\big]}(h)\rangle$$
$$= \langle Ah, x_0\rangle + \langle Ax_0, h\rangle$$
Чтобы найти градиент, нам надо это выражение представить в виде $\langle ?, h\rangle$.
2,$$что, конечно, меньше нуля для любой ненулевой $H$.
2,$$Как определить, дал ли калькулятор правильный ответ при вычислении производной функции?
Исчисление
Ту Б.
спросил 17.11.20Мне было приказано использовать мой калькулятор для нахождения производных следующих функций:
а) найти f'(pi/25) для f(x)=sin(200x)
b) найти f'(pi/25) для f(x) = |sin(200x)|
c) найти f'(pi/25) для f(x) = sin|200x|
d) найти f'(pi/25) для f(x) = sin(200|x|)
Мои рассчитанные ответы:
a) 198.6693308
b) -3.9E-10
c) 198.6693308
d) 198.6693308
как это доказать/сказать.
Подписаться І 1
Подробнее
Отчет
2 ответа от опытных наставников
Лучший Новейшие Самый старыйАвтор: Лучшие новыеСамые старые
Дэниел Б.
ответил 18.11.20
Репетитор
4.9 (123)
Специалист по информатике на пенсии, преподает математику и физику
Об этом репетиторе ›
Об этом репетиторе ›
Во-первых, 200π/25 = 8π, поэтому в случаях c) и d) можно убрать знаки модуля, что делает их идентичными случаю a).
Для случая а)
f'(x) = 200cos(200x), поэтому f'(π/25) = 200 для случаев a), c), d)
Для случая b), f(x) ) меняет полярность в точке x = π/25.
Под этим я подразумеваю, что когда близко к π/25, для x <π/25 sin(200x) отрицательно, а для x >π/25 sin(200x) положительно.
Поэтому |sin(200x)| была бы дифференцируемой при x = π/25, только если бы производная sin(200x) была равна 0.
Но поскольку производная равна 200, |sin(200x)| не дифференцируема при x = π/25.
Похоже, калькулятор пытался дать вам 0.
Голосовать за 0 голос против
Подробнее
Отчет
Лале Х. ответил 18.11.20
Репетитор
5,0 (137)
Я могу помочь вам с “как” и “почему” математики
Смотрите таких репетиторов
Смотрите таких репетиторов
Все ответы неверны. Ответы на A, C и D должны быть 200, но ответ на B действительно неверен, так как производная в точке pi/25 не определена. Вы можете найти все ответы без калькулятора, используя цепное правило и Dx |x|=x/|x|. Или для B просто постройте график sin(200x) и превратите его в абсолютное значение sin(200x), отразив отрицательные части по оси x. Вы увидите, что функция в B не будет иметь производной в целых числах, кратных пи/200.
Голосовать за 0 голос против
Подробнее
Отчет
Все еще ищете помощи? Получите правильный ответ, быстро.
Задайте вопрос бесплатно
Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.
ИЛИ
Найдите онлайн-репетитора сейчас
Выберите эксперта и встретьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.
калькулятор логарифмического дифференцирования – Googlesuche
AlleBilderVideosShoppingMapsNewsBücher
suchoptionen
Калькулятор логарифмического дифференцирования и решатель – SnapXam
www.snapxam.com › калькуляторы › логарифмический дифференциальный…
Получите подробные решения ваших математических задач с помощью нашего пошагового калькулятора логарифмического дифференцирования.
Практикуйте свои математические навыки и учитесь шаг за шагом с …
Примеры исчисления | производные | Используйте логарифмическое дифференцирование, чтобы найти производную
Используйте логарифмическое дифференцирование, чтобы найти производную.
Калькулятор логарифмического дифференцирования – eMathHelp
www.emathhelp.net › калькуляторы › исчисление-1 › логарифм…
Онлайн-калькулятор вычисляет производную любой функции с помощью логарифмического дифференцирования с указанием шагов.
Калькулятор производных • С шагами!
www.derivative-calculator.net
Решайте производные с помощью этого бесплатного онлайн-калькулятора. Пошаговое решение и графики прилагаются!
Переменная дифференцирования: ax_____abcdfghjklmnopqrstuvwxyz
Сколько раз дифференцировать?: 1 2 3 4 5
Калькулятор логарифмического дифференцирования
www.easycalculation.com взяв логарифмическую производную.
Калькулятор производных – Symbolab
www.symbolab.com › Step-by-Step › Исчисление
Бесплатный калькулятор производных – дифференцирование функций со всеми шагами. Введите любую производную функции, чтобы получить решение, шаги и график.
Ähnliche Fragen
Как вычислить логарифмическое дифференцирование?
Чем отличается журнал 2?
Калькулятор логарифмических уравнений – Symbolab
www.symbolab.com › … › Алгебра › Уравнения
Приравняйте аргументы, решите уравнение и проверьте свой ответ. Что такое логарифмическое уравнение? Логарифмическое уравнение — это уравнение, которое включает …
Калькулятор производной логарифмической функции | Обучение математике
kfm.plainfacemillionaireclubnft.com
Калькулятор производной логарифмической функции. Логарифмическое дифференцирование — это метод, используемый для дифференцирования функций с использованием логарифмической функции.