Главная
Нахождение производной сложной: Производная сложной функции (u(v(x))’

Нахождение производной сложной: Производная сложной функции (u(v(x))’

Содержание

Нахождение производных сложных функций, экзаменационный тест

Математика \ Высшая математика

Страницы работы

10 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Скачать файл

Содержание работы

            ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ ТЕСТ (2 СЕМЕСТР)

1. 

 

Для каждой из данных функций укажите способ (правило) нахождения её производной y’(x).

1)  Логарифмическая производная (1,6)

2)  Производная функции заданной неявно (3,7)

3)  Производная сложной функции (4,5)

4)  Производная функции заданной параметрически (2)

2.   Дана функция , x>0.

Найти производную функции , где

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

 

верного ответа нет

3.  Найти производную функции             , где

1) 

2) 

3) 

4) 

Похожие материалы

Информация о работе

Скачать файл

Выбери свой ВУЗ

  • АлтГТУ 419
  • АлтГУ 113
  • АмПГУ 296
  • АГТУ 267
  • БИТТУ 794
  • БГТУ «Военмех» 1191
  • БГМУ 172
  • БГТУ 603
  • БГУ 155
  • БГУИР 391
  • БелГУТ 4908
  • БГЭУ 963
  • БНТУ 1070
  • БТЭУ ПК 689
  • БрГУ 179
  • ВНТУ 120
  • ВГУЭС 426
  • ВлГУ 645
  • ВМедА 611
  • ВолгГТУ 235
  • ВНУ им.
    Даля 166
  • ВЗФЭИ 245
  • ВятГСХА 101
  • ВятГГУ 139
  • ВятГУ 559
  • ГГДСК 171
  • ГомГМК 501
  • ГГМУ 1966
  • ГГТУ им. Сухого 4467
  • ГГУ им. Скорины 1590
  • ГМА им. Макарова 299
  • ДГПУ 159
  • ДальГАУ 279
  • ДВГГУ 134
  • ДВГМУ 408
  • ДВГТУ 936
  • ДВГУПС 305
  • ДВФУ 949
  • ДонГТУ 498
  • ДИТМ МНТУ 109
  • ИвГМА 488
  • ИГХТУ 131
  • ИжГТУ 145
  • КемГППК 171
  • КемГУ 508
  • КГМТУ 270
  • КировАТ 147
  • КГКСЭП 407
  • КГТА им. Дегтярева 174
  • КнАГТУ 2910
  • КрасГАУ 345
  • КрасГМУ 629
  • КГПУ им. Астафьева 133
  • КГТУ (СФУ) 567
  • КГТЭИ (СФУ) 112
  • КПК №2 177
  • КубГТУ 138
  • КубГУ 109
  • КузГПА 182
  • КузГТУ 789
  • МГТУ им. Носова 369
  • МГЭУ им. Сахарова 232
  • МГЭК 249
  • МГПУ 165
  • МАИ 144
  • МАДИ 151
  • МГИУ 1179
  • МГОУ 121
  • МГСУ 331
  • МГУ 273
  • МГУКИ 101
  • МГУПИ 225
  • МГУПС (МИИТ) 637
  • МГУТУ 122
  • МТУСИ 179
  • ХАИ 656
  • ТПУ 455
  • НИУ МЭИ 640
  • НМСУ «Горный» 1701
  • ХПИ 1534
  • НТУУ «КПИ» 213
  • НУК им. Макарова 543
  • НВ 1001
  • НГАВТ 362
  • НГАУ 411
  • НГАСУ 817
  • НГМУ 665
  • НГПУ 214
  • НГТУ 4610
  • НГУ 1993
  • НГУЭУ 499
  • НИИ 201
  • ОмГТУ 302
  • ОмГУПС 230
  • СПбПК №4 115
  • ПГУПС 2489
  • ПГПУ им. Короленко 296
  • ПНТУ им. Кондратюка 120
  • РАНХиГС 190
  • РОАТ МИИТ 608
  • РТА 245
  • РГГМУ 117
  • РГПУ им. Герцена 123
  • РГППУ 142
  • РГСУ 162
  • «МАТИ» — РГТУ 121
  • РГУНиГ 260
  • РЭУ им. Плеханова 123
  • РГАТУ им. Соловьёва 219
  • РязГМУ 125
  • РГРТУ 666
  • СамГТУ 131
  • СПбГАСУ 315
  • ИНЖЭКОН 328
  • СПбГИПСР 136
  • СПбГЛТУ им. Кирова 227
  • СПбГМТУ 143
  • СПбГПМУ 146
  • СПбГПУ 1599
  • СПбГТИ (ТУ) 293
  • СПбГТУРП 236
  • СПбГУ 578
  • ГУАП 524
  • СПбГУНиПТ 291
  • СПбГУПТД 438
  • СПбГУСЭ 226
  • СПбГУТ 194
  • СПГУТД 151
  • СПбГУЭФ 145
  • СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
  • ПИМаш 247
  • НИУ ИТМО 531
  • СГТУ им. Гагарина 114
  • СахГУ 278
  • СЗТУ 484
  • СибАГС 249
  • СибГАУ 462
  • СибГИУ 1654
  • СибГТУ 946
  • СГУПС 1473
  • СибГУТИ 2083
  • СибУПК 377
  • СФУ 2424
  • СНАУ 567
  • СумГУ 768
  • ТРТУ 149
  • ТОГУ 551
  • ТГЭУ 325
  • ТГУ (Томск) 276
  • ТГПУ 181
  • ТулГУ 553
  • УкрГАЖТ 234
  • УлГТУ 536
  • УИПКПРО 123
  • УрГПУ 195
  • УГТУ-УПИ 758
  • УГНТУ 570
  • УГТУ 134
  • ХГАЭП 138
  • ХГАФК 110
  • ХНАГХ 407
  • ХНУВД 512
  • ХНУ им. Каразина 305
  • ХНУРЭ 325
  • ХНЭУ 495
  • ЦПУ 157
  • ЧитГУ 220
  • ЮУрГУ 309
Полный список ВУЗов

Нахождение производных сложной и обратных тригонометрических функций | План-конспект занятия по алгебре (10, 11 класс):

Нахождение производных сложной и обратных тригонометрических функций

Цель работы: овладение методами вычисления производной сложной  и обратных тригонометрических функций.

Умение и навыки, которые должны приобрести студенты: самостоятельно вычислять производные сложных функций, осуществлять поиск информации с использованием компьютерной техники и Интернета

Формирование компетенций:.

Рекомендации по выполнению.

1.Разобрать решение примеров.

2.Выполнить задания тренажера, используя указания.

3.Оформить решение задач тренажера в тетради.

1.Разберите решение примеров:

Вычисление производных сложных функций осуществляется по правилу дифференцирования сложной функции:

 

 Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции –  и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто , а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:
Функция  – это сложная функция, причем многочлен  является вложенной функцией , а  – внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является вложенной, а какая – внешней.

После того, как   определены вложенная  и внешняя функции применяют правило дифференцирования сложной функции .

Вычислим производную:

Сначала находят производную внешней функции  , по формуле . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если  заменить сложным выражением, в данном случае:

При выполнении вычислений вложенная  функция  не изменилась.

По формуле  получаем:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Пример 2

Найти производную функции

Запишем

Определим  где  внешняя функция, а где вложенная. Для этого пробуем вычислить значение выражения  при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен  – и есть вложенная  функция. И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция.
По правилу дифференцирования сложной функции    , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. По формуле вычисляем производную:

 

Пример 3

Найти производную функции

Для того чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это вложенная функция, а возведение в степень – внешняя функция.По  правилу дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала , а для производной вложенной функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Пример 4

Найти производную функции

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение  подставив  значение . Если использовать для вычислений калькулятор, то сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение.

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой вложенной функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

По правилу  сначала нужно взять производную от внешней функции. Вычислим производную показательной функции: .Вместо  рассмотрим сложное выражение  , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции   следующий:

Теперь опять необходимо вычислить производную сложной функции взяв за вложенную функцию – арксинус, а за  внешнюю функцию – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени:

Далее находим по таблице производную арксинуса:

Пример 5

Найти производную функции

Сначала используем правило дифференцирования суммы , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу :

Далее дважды необходимо применить правило :

Согласно правилу , получаем:

 Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.

2.Выполните задания тренажера «Производная сложной функции»:

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) ,

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) ,

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

а) ,

б) .

в) ,

г) .

3.Оформить решение примеров в тетради.

4. По результатам решения тренажера выставляется оценка, которая учитывается при приеме дифференцированного зачета.

Шкала оценки образовательных достижений

Процент результативности

(правильных ответов)

Оценка уровня подготовки

Балл (оценка)

Вербальный аналог

90-100

5

отлично

80-89

4

хорошо

70-79

3

удовлетворительно

менее 70

2

неудовлетворительно

 

Нахождение производных

На прошлой лекции и семинаре мы нашли производные нескольких функций, пользуясь определением. Однако, как и в случае пределов, доказательства по определению — довольно трудоёмкое занятие. На этой лекции мы докажем несколько теорем, позволяющих вычислять производные функций, заданных формулами, с помощью достаточно простого алгоритма.

16.1Арифметика производных

16.1.1Производная суммы

Начнём с простого: производной суммы.

Теорема 1. Пусть функции f и g дифференцируемы в точке x0. Тогда функция h(x):=f(x)+g(x) дифференцируема в точке x0 и

h′(x0)=f′(x0)+g′(x0)

Доказательство. Воспользуемся определением производной:

h′(x0)=limΔx→0h(x0+Δx)−h(x0)Δx==limΔx→0(f(x0+Δx)+g(x0+Δ))−(f(x0)+g(x0))Δx=…

h′(x0)=limΔx→0h(x0+Δx)−h(x0)Δx==limΔx→01Δx((f(x0+Δx)+g(x0+Δ))−−(f(x0)+g(x0)))=…

Перегруппируем слагаемые в числителе и разобъём дробь на две:

…=limΔx→0(f(x0+Δx)−f(x0)Δx+g(x0+Δx)−g(x0)Δx)=…

…=limΔx→0(f(x0+Δx)−f(x0)Δx++g(x0+Δx)−g(x0)Δx)=…

По теореме о пределе суммы:

…=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx+limΔx→0g(x0+Δx)−g(x0)Δx==f′(x0)+g′(x0).

…=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx++limΔx→0g(x0+Δx)−g(x0)Δx==f′(x0)+g′(x0).

Пределы в левой части равенства существуют, поскольку f и g дифференцируемы в точке x0, и следовательно теорему о пределе суммы применять можно. Теорема доказана.∎

16.1.2Производная произведения

Тут получится немножко сложнее, но не сильно.

Теорема 2. Пусть функции f и g дифференцируемы в точке x0. Тогда функция h(x):=f(x)g(x) дифференцируема в точке x0 и

h′(x0)=f′(x0)g(x0)+f(x0)g′(x0).

Доказательство. Снова запишем определение производной:

h′(x0)=limΔx→0h(x0+Δx)−h(x0)Δx==limΔx→0f(x0+Δx)g(x0+Δx)−f(x0)g(x0)Δx=…(16.1)

h′(x0)==limΔx→0h(x0+Δx)−h(x0)Δx==limΔx→0(f(x0+Δx)g(x0+Δx)−−f(x0)g(x0))1Δx=…(16.1)

Аналогично теореме о пределе произведения, полезно нарисовать картинку 16.1 и представить разность произведений в виде суммы площадей двух прямоугольников.

Рис. 16.1: Разбиваем разность произведений в сумму двух произведений

f(x0+Δx)g(x0+Δx)−f(x0)g(x0)==(f(x0+Δx)−f(x0))g(x0+Δx)+f(x0)(g(x0+Δx)−g(x0)).

f(x0+Δx)g(x0+Δx)−f(x0)g(x0)==(f(x0+Δx)−f(x0))g(x0+Δx)++f(x0)(g(x0+Δx)−g(x0)).

Подставляя это в (16.1) и разбивая дробь в сумму двух дробей, получаем:

…=limΔx→0(g(x0+Δx)f(x0+Δx)−f(x0)Δx+f(x0)g(x0+Δx)−g(x0)Δx).

…=limΔx→0(g(x0+Δx)f(x0+Δx)−f(x0)Δx++f(x0)g(x0+Δx)−g(x0)Δx).

Каждая из двух дробей стремится к соответствующей производной, сомножитель f(x0) не зависит от Δx и стремится сам к себе, g(x0+Δx) стремится к g(x0), поскольку функция g непрерывна в точке x0, т.к. она дифференцируема в этой точке (см. теорему 1 из предыдущей главы). Пользуясь теоремами о пределах суммы и произведения, получаем искомое.∎

Пример 1. Найдём производную функции f(x)=x2sinx:

f′(x)=(x2sinx)′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.

f′(x)=(x2sinx)′=(x2)′sinx+x2(sinx)′==2xsinx+x2cosx.

16.2Производная частного

Теорема 3. Пусть функция g дифференцируема в точке x0 и g(x0)≠0. Тогда функция h(x):=1/g(x) дифференцируема в точке x0 и

h′(x0)=−g′(x0)g(x0)2.

Доказательство этой теоремы несложно провести пользуясь определением, аналогично двум предыдущим теоремам. Оставляем это в качестве полезного упражнения.

Теорема 4. Пусть функции f и g дифференцируемы в точке x0 и g(x0)≠0. Тогда функция h(x):=f(x)/g(x) дифференцируема в точке x0 и

h′(x0)=f′(x0)g(x0)−g′(x0)f(x0)g(x0)2.

Эту теорему легко вывести из теоремы о производной произведения и теоремы 3. Тоже оставляем в качестве упражнения.

16.3Производная сложной функции

16.3.1Картинка и формулировка

Чтобы сформулировать теорему о производной сложной функции полезно нарисовать картинку и обсудить ещё один способ думать о производной. Пусть функция f дифференцируема в точке x0, а функция g дифференцируема в точке f(x0). Рассмотрим их композицию — функцию h(x):=g(f(x)). Будем использовать переменные x, y и z: функция f отображает x в y, функция g отображает y в z, а функция h — x в z, см. рис. 16.2. Рассмотрим маленький отрезок I:=[x0,x0+Δx] на оси x. Под действием функции f он отображается в отрезок f(I)=[f(x0),f(x0+Δx)] на оси y. Производная f′(x0) показывает, во сколько раз отрезок f(I) больше отрезка I при маленьких Δx. Иными словами, f′(x0) показывает, во сколько раз маленькие отрезки с одним из концов в точке x0 растягиваются под действием f.

Рис. 16.2: Действие композиции на маленький отрезок

Проследим за тем, что происходит с отрезком I под действием отображения h. Сначала на I действует отображение f и он превращается в f(I), растягиваясь примерно в f′(x0) раз. Затем на отрезок f(I) действует отображения g и он превращается в отрезок g(f(I)). Во сколько раз отрезок g(f(I)) больше отрезка f(I)? Во столько, во сколько раз отображение g растягивает маленькие отрезки, один конец которых совпадает с точкой f(x0). Чтобы найти это число нам нужно вычислить значение производной функции g в точке f(x0), то есть g′(f(x0)).

Во сколько раз отрезок g(f(I)) больше отрезка I? Мы сначала растянули отрезок I в f′(x0) раз, а потом ещё в g′(f(x0)). Значит, в итоге он растянулся в f′(x0)g′(f(x0)) раз. Это и есть значение прозводной функции h в точке x0.

Эти рассуждения не претендуют на аккуратность — аккуратное доказательство будет ниже. Но теперь мы можем сформулировать теорему о производной сложной функции, и получающаяся в ней формула не будет казаться взявшейся с потолка.

Теорема 5. Пусть функция f дифференцируема в точке x0, а функция g дифференцируема в точке f(x0). Тогда функция h(x):=g(f(x)) дифференцируема в точке x0 и

h′(x0)=g′(f(x0))f′(x0).

16.3.2Аккуратные оценки

Доказательство. Обозначим y0:=f(x0). Определим следующие функции: Δf(Δx):=f(x0+Δx)−f(x0),Δg(Δy):=g(y0+Δy)−g(y0). Тогда

f′(x0)=limΔx→0Δf(Δx)Δx,g′(y0)=limΔy→0Δg(Δy)Δy,

f′(x0)=limΔx→0Δf(Δx)Δx,g′(y0)=limΔy→0Δg(Δy)Δy,

и

h′(x0)=limΔx→0Δg(Δf(Δx))Δx. (16.2)

Последнее равенство мгновенно следует из картинки (см. рис. 16.3), но формально доказывается так. Заметим, что

y0+Δf(Δx)=y0+f(x0+Δx)−f(x0)=f(x0+Δx).

y0+Δf(Δx)=y0+f(x0+Δx)−f(x0)==f(x0+Δx).

Таким образом,

Δg(Δf(Δx))=g(y0+Δf(Δx))−g(y0)=g(f(x0+Δx))−g(f(x0)).

Δg(Δf(Δx))=g(y0+Δf(Δx))−g(y0)==g(f(x0+Δx))−g(f(x0)).

и правая часть (16.2) превращается в определение производной h′(x0).

Рис. 16.3: Функции Δf и Δg

Первая попытка. Естественный первый шаг состоит в том, чтобы представить отношение

Δg(Δf(Δx))Δx

в виде произведения двух отношений:

Δg(Δf(Δx))Δf(Δx)⋅Δf(Δx)Δx(16.3)

Дальше мы могли бы перейти к пределу при Δx→0 и получить искомое произведение производных. Однако, тут нас поджидает проблема: значение выражения (16.3) определено не всегда. Может так случиться, что отображение f переведёт x0+Δx в ту же точку, что и x0, то есть отрезок I схлопнется в точку. В этом случае Δf(Δx)=0 и делить на него нельзя. Что же делать?

Новые функции. Давайте рассмотрим такую функцию:

G(Δy):=Δg(Δy)Δy.(16.4)

Она определена в некоторой проколотой окрестности нуля. По определению производной функции g,

limΔy→0G(Δy)=g′(y0).

Теперь рассмотрим новую функцию:

~G(Δy)={G(Δy),Δy≠0,g′(y0),Δy=0.

Иными словами, мы доопределили функцию G(Δy) в нуле значением g′(y0). Функция ~G непрерывна в точке 0 — мы её ровно так доопредили, чтобы предел функции в этой точке был равен её значению.

Докажем, что для всех Δx из некоторой проколотой окрестности нуля выполняется равенство

Δg(Δf(Δx))Δx=~G(Δf(Δx))Δf(Δx)Δx.(16.5)

Δg(Δf(Δx))Δx==~G(Δf(Δx))Δf(Δx)Δx.(16.5)

Рассмотрим два случая:

  1. Пусть Δf(Δx)≠0. Тогда

    ~G(Δf(Δx))=G(Δf(Δx))=Δg(Δf(Δx))Δf(Δx).

    ~G(Δf(Δx))=G(Δf(Δx))==Δg(Δf(Δx))Δf(Δx).

    В этом случае правая часть (16.5) совпадает с (16.3) и в нём можно сократить на Δf(Δx) и равенство выполняется.
  2. Пусть теперь Δf(Δx)=0. Тогда левая часть (16.5) равна нулю (поскольку функцию Δg в нуле принимает значение 0), равно как и правая часть, и значит равенство снова выполняется.

Предел сложной функции. Перейдём теперь в равенстве (16.5) к пределу при Δx→0. Имеем:

limΔx→0Δg(Δf(Δx))Δx=limΔx→0~G(Δf(Δx))⋅Δf(Δx)Δx.

limΔx→0Δg(Δf(Δx))Δx==limΔx→0~G(Δf(Δx))⋅Δf(Δx)Δx.

Второй сомножитель стремится к f′(x0). Для нахождения предела первого сомножителя воспользуемся теоремой о пределе сложной функции. Предел внутренней функции Δf при Δx→0 равен нулю. (Действительно, функция f непрерывна в точке x0, поскольку дифференцируема в этой точке, и значит limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)=0.) Внешняя функция ~G непрерывна в нуле по построению. Значит,

limΔx→0~G(Δf(Δx))=~G(limΔx→0Δf(Δx))=~G(0)=g′(y0)=g′(f(x0)).

limΔx→0~G(Δf(Δx))=~G(limΔx→0Δf(Δx))==~G(0)=g′(y0)==g′(f(x0)).

Таким образом, по теореме о пределе произведения,

h′(x0)=limΔx→0Δg(Δf(Δx))Δx=g′(f(x0))f′(x0)

и теорема доказана.∎

Пример 2. Найдём производную функции h(x)=sin(x3). Внутренняя функция f(x)=x3. Внешняя функция g(y)=siny. Их производные: f′(x)=3×2, g′(y)=cosy. Тогда

(sin(x3))′=g′(f(x))f′(x)=g′(x3)3×2=cos(x3)⋅3×2=3x2cosx3.

(sin(x3))′=g′(f(x))f′(x)=g′(x3)3×2==cos(x3)⋅3×2=3x2cosx3.

16.4Заключение

Мы доказали основные теоремы, позволяющие находить производные любых функций, заданных формулами, если известны производные их элементарных составных частей. Например, сколь бы сложной ни была формула, если в ней участвуют только арифметические операции, экспоненты и тригонометрические функции, мы можем посчитать её производную. Когда производная найдена, она позволяет ответить на множество вопросов про поведение функции — в частности, найти её экстремумы и промежутки монотонности. Подробнее о связи свойств производной со свойствами самой функции — на следующей лекции.

← Предыдущая глава Следующая глава →

Дифференцирование комплексных экспонент

Дифференцирование комплексных экспонент
Далее: Об этом документе… Up: Комплексные числа: их полярность Предыдущий: Общая комплексная экспонента Мы можем дифференцировать сложные функции реального параметр так же, как мы делаем реальные функции.
Если w ( t ) = f ( t ) + иг ( т ), с f и g действительные функции, то w ‘( t ) = f ‘( t ) + ig ‘( t ).
Например, если , тогда .
Основные производные правила все еще работают.
  • Рассмотрим комплексную функцию , где b — действительная константа.
    Если мы продифференцируем эту функцию, получим:



    Это уравнение экспоненциального “рост” с мнимой константой “роста” иб .
  • В более общем смысле рассмотрим функцию .
    Здесь z = a + ib и a и b — вещественные константы. Если продифференцировать эту функцию, то получим:

    G ‘( t ) = ae at e ibt + ibe at e ibt = e at ( aF ( t ) + ibF ( t ))


    = ( A + IB ) E AT E IBT = ( A + IB ) G ( T ).


    Таким образом, функция G ( t ) подчиняется дифференциальному уравнению:

    G ‘( t ) = ( а + иб ) Г ( т ).


    Это уравнение экспоненциального «рост» с комплексной константой «роста» a + ib .
    Итак, мы доказали соотношение:

  • Далее по правилу произведения имеем:

    Так e zt e – zt = A является константой.
    Положив т = 0, получим А = 1, поэтому .
    В конкретный e zt никогда не равен нулю.
  • Теперь напишем e zt = u ( t ) + iv ( t ), где u и v равны реальные функции.
    Тогда имеем:

    u ‘ + iv ‘ = ze zt = ( a + ib )( u + 901) = а.е. – б.в. + i ( ав. + ав. ).


    Таким образом, мы получаем пару реальных уравнений:

    u ” – au ‘ = au ‘ – bv ‘ – a ( au – bv )


    = au ‘ – b ( av + bu ) – a ( au – bv ) = а. е. ‘ – ( а 2 + б 2 )( u ),


    u ” – 2 au ‘ + ( a 2 + b 2 ) u = 0,


    Аналогично имеем:

    V ” – 2 AV ‘ + ( A 2 + B 2 ) V = AV ‘ + BU ‘ – 2 AV ‘ + ( A 2 + б 2 ) в


    = B ( AU – BV ) – A ( AV + BU ) + ( A 2 + B 2 ) V = 0,

    .
    Таким образом, и действительная, и мнимая части e zt являются решениями реальное дифференциальное уравнение второй степени:

    у ” – 2 ау ‘ + ( а 2 + б 2 ) у = 0.


    Написано в терминах z , это:

    Мы можем проверить непосредственно, что y = Ae zt подчиняется этому уравнению, для A любая комплексная константа.
    Если y = Ae zt , тогда у ‘ = азэ зт и г ” = Az 2 e zt , значит получаем:



    Этому же уравнению подчиняется комплексное сопряжение Ae zt и то складывая решение и его комплексно-сопряженное, получаем действительное решение уравнения:

    И наоборот, мы можем показать, что это общее решение, если z не реально.
    Предположим, что y удовлетворяет: .
    Поставить y ‘ – zy = w .
    Затем:

    Так а также , для некоторых постоянный Б .
    Так .
    Поставить y = e zt x , для некоторой функции x .
    Тогда .
    Так .
    Теперь есть два случая:
    • Если , поэтому z = a реально.
      Тогда дифференциальное уравнение имеет вид у ” – 2 ау ‘ + a 2 y = 0 и уравнение для x сводится к x ‘ = B , поэтому x = Bt + A , для некоторой константы и .
      Тогда y = e at ( A + Bt ) является общим решением.
    • Если , так z = a + ib , где a и b действительные и .
      Тогда уравнение для x сводится к x ‘ = -2 ibCe -2 ibt , куда .
      Интеграция дает: , где C — константа.
      Умножая на е zt , получаем:

    Наконец, чтобы и были реальными, нам нужно .
    Мы показали, что общее действительное решение уравнения у ” – 2 у ‘ + ( а 2 + б 2 ) у = 0 есть , куда z = a + ib .
  • Как это использовать на практике?
    Мы не занимаемся всей этой чепухой.
    Вместо этого мы ищем экспоненциальные решения данного дифференциала уравнение.
    Пример: у ” + 4 у = 0.
    Если y = e zt , тогда у ‘ = зе зт , y ” = z 2 e zt , y ” + 4 y = ( z 2 + 4) е зт .
    Тогда y ” + 4 y = 0, при условии z 2 + 4 = 0, поэтому .
    Таким образом, основные решения .
    Тогда общее действительное решение:



  • Общее простое гармоническое движение.
    Дифференциальное уравнение для гармонического движения:

    Если , то решение линейное: y = At + B , для констант А и В .
    Теперь предположим, что .
    Если мы ищем показательную раствор, ставим y = e zt .
    Тогда y ‘ = ze zt , y ” = z 2 e zt , , при условии .
    Тогда у нас есть основные решения и общее решение может быть написано:



  • Уравнение гиперболического движения.
    Типичный пример:

    у ” – 9 у = 0.


    Помещать р = у ‘ + 3 у .
    Тогда у нас есть р ‘ = у ” + 3 y ‘ = 9 y + 3 y ‘ = 3 ( y ‘ + 3 y ) = 3 p .
    Так p = 6 Ae 3 t , где A — константа.
    Так y ‘ + 3 y = 6 Ae 3 t .
    Поставить z = уе 3 т .
    Тогда имеем:

    z ‘ = y ‘ е 3 t + y (3 e 3 t = e 3 t5 ( Y ‘ + 3 Y ) = E 3 T (6 A E 3 T ) = 6 AE 6 T ,




    y = e -3 t ( Ae 6 t + B ) = Ae 3 t + Be -3 т .


  • Мы доказали, что общее решение гиперболического уравнение:

    у ” – 9 у = 0,


    является:

    y = Ae 3 t + Be -3 т ,


    где A и B — константы.
    Число 9 здесь особой роли не играет.
  • Рассмотрим общее уравнение гиперболического движения:

    Помещать .
    Тогда у нас есть .
    Так , где A — константа.
    Так .
    Поставить .
    Тогда имеем:







  • Мы доказали, что общее решение гиперболического уравнение:

    является:

    где А и B — константы.
    Обратите внимание, что, поставив y = e zt в уравнении получаем:

    Это дает решения, .
    Сочетание этих решений с произвольными константами дает такое же решение, как и раньше.
  • Затухание движения.
    Рассмотрим уравнение:

    у ” + 2 на ‘ + cy = 0.


    Здесь мы предполагаем, что b и c являются константами. Ищем экспоненциальное решение y = e zt .
    Тогда y ‘ = ze zt и y ” = z 2 e zt , что дает:

    0 = Y ” + 2 по ‘ + CY = E ZT ( Z 2 + 2 BZ + C ).


    Так .
    Задача естественным образом делится на три случая:
    • б 2 = в .
      Тогда единственным экспоненциальным решением является e – bt .
      Мы рассмотрели этот случай при анализе комплексных экспонент.
      Общее решение y = e – bt ( A + Bt ), с A и B постоянный.
    • б 2 – в > 0; тогда мы ставим .
      Экспоненциальные решения и общее решение может быть написано:

      y = e – bt ( Ae dt + Be – dt), 9007 1 dt
      где A и B — константы.

    • б 2 – в < 0; тогда мы ставим .
      Экспоненциальные решения и общий реальное решение можно записать:

      где A и B — действительные константы и .
  • Первый интеграл: гармонический случай.
    Рассмотрим гармоническое уравнение:

    Мы отметили решение:

    Если мы вычислим y и сравним его квадрат с квадратом y , мы найдем следующие формулы:







    = А 2 + Б 2 .


    Итак, для этих решений мы видим, что является постоянный.
    Итак, пусть теперь y будет любым решением и рассмотреть количество .
    Имеем по цепному правилу: .
    Итак, H всегда постоянно.
    Так как он явно положительный, если только у = у ‘ = 0, мы можем написать для некоторой константы C :

    Это уравнение называется первым интегралом для исходного дифференциала уравнение.
    Тогда имеем:





    Мы можем решить этот интеграл подстановкой:
    Положим , так а также .
    Тогда имеем:







    У нас есть еще одно доказательство того, что наши исходные решения дают общее решение гармонического уравнения!
  • Первый интеграл: гиперболический случай.
    Рассмотрим гармоническое уравнение:

    Мы отметили решение:

    Если мы вычислим y и сравним его квадрат с квадратом y , мы найдем следующие формулы:





    Итак, для этих решений мы видим, что постоянно.
    Итак, пусть теперь y будет любым решением и рассмотреть количество .
    Имеем по цепному правилу: .
    Итак, H всегда постоянно.
    Уравнение , с константой H называется первый интеграл для исходное дифференциальное уравнение.

Далее: Об этом документе… Up: Комплексные числа: их полярность Предыдущий: Общая комплексная экспонента
Джордж Эй Джей Спарлинг
23 февраля 2001 г.

1.9 Вычисление комплексной переменной

Содержимое
  • §1.9(i) Комплексные числа
  • §1.9(ii) Непрерывность, наборы точек и дифференцирование
  • §1.9(iii) Интеграция
  • §1.9(iv) Конформное отображение
  • §1.9(v) Бесконечные последовательности и серии
  • §1.9(vi) Серия Power
  • §1.9(vii) Инверсия пределов

§1.9(i) Комплексные числа

1.9.1 z=x+i⁢y,
х,уеℝ,

такие, что i2=-1.

Действительные и мнимые части

1.9.2 ℜ⁡z = х,
ℑ⁡z =г.

Заполярное представительство

1.9.3 х =r⁢cos⁡θ,
и =r⁢sin⁡θ,

где

1. 9.4 г=(х2+у2)1/2,

и когда z≠0,

1.9.5 θ=ω,π-ω,-π+ω или -ω,

в зависимости от того, как z лежит в 1-м, 2-м, 3-м или 4-м квадрантах. Здесь

1.9.6 ω=arctan⁡(|y/x|)∈[0,12⁢π].

Модуль и Фаза

1.9.7 |з| = г,
ф.⁡z =θ+2⁢n⁢π,
n∈ℤ.

Основная стоимость ph⁡z соответствует n=0, то есть -π≤ph⁡z≤π. Это однозначно на ℂ∖{0}, за исключением интервала (-∞,0), где оно разрывно и двузначно. Если не указано иное в противном случае эти основные значения предполагаются повсюду. ДЛМФ. (Однако, если мы требуют, чтобы главное значение было однозначным, тогда мы можем ограничить -π

1.9.8 |ℜ⁡z| ≤|z|,
|ℑ⁡z| ≤|z|,
1.9.9 z=r⁢ei⁢θ,

где

1.9.10 ei⁢θ=cos⁡θ+i⁢sin⁡θ;

см. §4.14.

Комплексное сопряжение

1.9.11 з¯ =x-i⁢y,
1.9.12 |з¯| =|г|,
1.9.13 фаз⁡z¯ =-ф⁡з.

Арифметические операции

Если z1=x1+i⁢y1, z2=x2+i⁢y2, то

1.9.14 z1±z2=x1±x2+i⁢(y1±y2),
1.9.15 z1⁢z2=x1⁢x2-y1⁢y2+i⁢(x1⁢y2+x2⁢y1),
1.9.16 z1z2=z1⁢z¯2|z2|2=x1⁢x2+y1⁢y2+i⁢(x2⁢y1-x1⁢y2)x22+y22,

при условии, что z2≠0. Также

1.9.17 |z1⁢z2|=|z1|⁢|z2|,
1.9.18 ф⁡(z1⁢z2)=ф⁡z1+ph⁡z2,
1.9.19 |z1z2|=|z1||z2|,
1. 9.20 ф⁡z1z2=ф⁡z1-ф⁡z2.

Уравнения (1.9.18) и (1.9.20) справедливы для общего значения фаз, но не обязательно для главных значений.

Пауэрс

1.9.21 zn=(xn-(n2)⁢xn-2⁢y2+(n4)⁢xn-4⁢y4-⋯)+i⁢((n1)⁢xn-1⁢y-(n3)⁢xn-3⁢y3+ ⋯),
n=1,2,….

Теорема Де Муавра

1.9.22 cos⁡n⁢θ+i⁢sin⁡n⁢θ=(cos⁡θ+i⁢sin⁡θ)n,
n∈ℤ.

Неравенство треугольника

1.9.23 ||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.

§1.9(ii) Непрерывность, наборы точек и дифференцирование 91 205

Преемственность

Функция f⁡(z) является непрерывной в точке z0, если limz→z0⁡f⁡(z)=f⁡(z0). То есть при любом положительном числе ϵ, каким бы малым оно ни было, мы можем найти положительное число δ такое, что |f⁡(z)-f⁡(z0)|<ϵ для всех z в открытом круге |z-z0|<δ.

Функция двух комплексных переменных f⁡(z,w) является непрерывной в (z0,w0), если lim(z,w)→(z0,w0)⁡f⁡(z,w)=f⁡(z0,w0); сравнивать (1.5.1) и (1.5.2).

Наборы наконечников в ℂ

окрестность точки z0 есть круг |z-z0|<δ. Ан открытое множество в ℂ – это множество, в котором каждая точка имеет окрестность что содержится в наборе.

Точка z0 является предельной точкой ( предельной точкой или точка накопления ) набора точек S в ℂ (или ℂ∪∞), если в каждой окрестности z0 есть точка S отличное от z0. (z0 может принадлежать или не принадлежать S.) Как следствие, каждая окрестность предельной точки S содержит бесконечное число точки С. Кроме того, объединение S и его предельных точек есть закрытие С.

Домен D, скажем, является открытым множеством в ℂ, состоящим из связанных , то есть любые две точки можно соединить ломаной (конечной цепочкой прямолинейные отрезки), лежащие в множестве. Любая точка, окрестности которой всегда содержать членов и не членов D является граничной точкой области D. Когда ее граничные точки добавляются, область называется закрытый , но если не указано иное, предполагается, что домен открыт.

Регион является открытым доменом вместе с отсутствием, некоторыми или всеми его граничные точки. Точки области, не являющиеся граничными точками, называются внутренних точек .

Функция f⁡(z) непрерывна в области R, если для каждой точки z0 в R и для любого заданного числа ϵ (> 0) мы можем найти окрестность z0 такое, что |f⁡(z)-f⁡(z0)|<ϵ для всех точек z в пересечение микрорайона с р.

Дифференциация

Функция f⁡(z) равна дифференцируемый в точке z, если выполняется следующее предел существует:

1.9.24 f′⁡(z)=dfdz=limh→0⁡f⁡(z+h)-f⁡(z)h.

Дифференцируемость автоматически подразумевает непрерывность.

Уравнения Коши–Римана

Если f′⁡(z) существует в точке z=x+i⁢y и f⁡(z)=u⁡(x,y)+i⁢v⁡(x,y), то

1.9.25 ∂⁡у∂⁡х =∂⁡v∂⁡у,
∂⁡у∂⁡у =-∂⁡v∂⁡x

в (х, у).

И наоборот, если в данной точке (x,y) частные производные ∂⁡u/∂⁡x, ∂⁡u/∂⁡y, ∂⁡v/∂⁡x и ∂⁡v/∂⁡y существуют, непрерывны и удовлетворяют (1.9.25), то f⁡(z) дифференцируемый при z=x+i⁢y.

Аналитичность

Говорят, что функция f⁡(z) является аналитической ( голоморфной ) в z=z0, если оно дифференцируемо в окрестности z0.

Функция f⁡(z) является аналитической в ​​области D, если она аналитическая в каждой точке D. Функция, аналитическая в каждой точке ℂ считается целых .

Если функция f⁡(z) аналитична в открытой области D, то каждая ее производная f′⁡(z), f′′⁡(z), … существует и является аналитическим в D.

Гармонические функции

Если f⁡(z)=u⁡(x,y)+i⁢v⁡(x,y) аналитична в открытой области D, то u и v являются гармоника в D, то есть

1.9.26 ∂2⁡u∂⁡x2+∂2⁡u∂⁡y2=∂2⁡v∂⁡x2+∂2⁡v∂⁡y2=0,

или в полярной форме ((1.9.3)) u и v удовлетворяют

1.9.27 ∂2⁡u∂⁡r2+1r⁢∂⁡u∂⁡r+1r2⁢∂2⁡u∂⁡θ2=0

во всех точках д.

§1.9(iii) Интеграция

Дуга C задается формулой z⁡(t)=x⁡(t)+i⁢y⁡(t), a≤t≤b, где x и y непрерывно дифференцируемы. Если x⁡(t) и y⁡(t) непрерывны, а x′⁡(t) и y′⁡(t) кусочно-непрерывны, то z⁡(t) определяет контур .

Контур является простым , если он не содержит кратных точек, то есть для каждая пара различных значений t1,t2 t, z⁡(t1)≠z⁡(t2). А простой замкнутый контур является простым контуром, за исключением того, что z⁡(a)=z⁡(b).

Далее,

1.9.28 ∫Cf⁡(z)⁢dz=∫abf⁡(z⁡(t))⁢(x′⁡(t)+i⁢y′⁡(t))⁢dt,

для контура C и f⁡(z⁡(t)) непрерывной, a≤t≤b. Если f⁡(z⁡(t0))=∞, a≤t0≤b, то интеграл определяется аналогично бесконечные интегралы в §1.4(v). Аналогично, когда a=-∞ или б=+∞.

Теорема о кривой Жордана

Любой простой замкнутый контур C делит ℂ на две открытые области, которые имеют C в качестве общей границы. Одна из этих областей ограничена и называется внутренний домен C; другой неограничен и называется внешний домен C.

Теорема Коши

Если f⁡(z) непрерывна внутри и на простом замкнутом контуре C и аналитическая внутри C, то

1.9.29 ∫Cf⁡(z)⁢dz=0.

Интегральная формула Коши

Если f⁡(z) непрерывна внутри и на простом замкнутом контуре C и аналитическая внутри C, а если z0 — точка внутри C, то

1. 9.30 f⁡(z0)=12⁢π⁢i⁢∫Cf⁡(z)z-z0⁢dz,

и

1.9.31 f(n)⁡(z0)=n!2⁢π⁢i⁢∫Cf⁡(z)(z-z0)n+1⁢dz,
n=1,2,3,…,

при условии, что в обоих случаях C описан в положительном вращательном (против часовой стрелки) смысл.

Теорема Лиувилля

Любая ограниченная целая функция является константой.

Номер обмотки

Если C замкнутый контур и z0∉C, то

1.9.32 12⁢π⁢i⁢∫C1z-z0⁢dz=𝒩⁡(C,z0),

где 𝒩⁡(C,z0) — целое число, называемое номер обмотки С по отношению к z0 . Если C прост и ориентирован в положительную сторону в смысле вращения, то 𝒩⁡(C,z0) равно 1 или 0 в зависимости от того, z0 находится внутри или снаружи C.

Свойство среднего значения

Для гармоники u⁡(z),

1.9.33 u⁡(z)=12⁢π⁢∫02⁢πu⁡(z+r⁢ei⁢ϕ)⁢dϕ.

Интеграл Пуассона

Если h⁡(w) непрерывно на |w|=R, то при z=r⁢ei⁢θ

1.9.34 u⁡(r⁢ei⁢θ)=12⁢π⁢∫02⁢π(R2-r2)⁢h⁡(R⁢ei⁢ϕ)⁢dϕR2-2⁢R⁢r⁢cos⁡(ϕ-θ) +r2

является гармоникой по |z|

§1.9(iv) Конформное отображение

Удлиненный сложный самолет , ℂ∪{∞}, состоит из точек комплексной плоскости ℂ вместе с идеальной точкой ∞, называемой точкой в бесконечность . Система из открытых дисков вокруг бесконечности дано

1.9.35 Sr={z∣|z|>1/r}∪{∞},
0

Каждый Sr является районом ∞. Также,

1.9.36 ∞±z=z±∞=∞,
1.9.37 ∞⋅z=z⋅∞=∞,
г≠0,
1.9.38 г/∞=0,
1.9.39 г/0=∞,
г≠0.

Функция f⁡(z) является аналитической в ​​ ∞, если g⁡(z)=f⁡(1/z) является аналитической при z=0, и мы полагаем f′⁡(∞)=g′⁡(0).

Конформное преобразование

Предположим, что f⁡(z) аналитична в области D и C1,C2 — две дуги в D проходящей через z0. Пусть C1′,C2′ — образы C1 и C2 при отображение w=f⁡(z). угол между C1 и C2 при z0 — угол между касательными к двум дугам в точке z0, т. е. разность углов со знаком, которые касательные составляют с положительной направление реальной оси. Если f′⁡(z0)≠0, то угол между C1 а C2 равен углу между C1′ и C2′ как по модулю, так и по смысл. Тогда мы говорим, что отображение w=f⁡(z) является конформным (с сохранением угла) в точке z0.

Линейное преобразование f⁡(z)=a⁢z+b, a≠0, имеет f′⁡(z)=a и w=f⁡(z) отображает ℂ конформно на ℂ.

Билинейное преобразование

1.9.40 ш=f⁡(z)=a⁢z+bc⁢z+d,
а⁢d-b⁢c≠0, c≠0.
1.9.41 ф⁡(-д/с) =∞,
ф⁡(∞) =а/с.
1.9.42 f′⁡(z)=a⁢d-b⁢c(c⁢z+d)2,
z≠-d/c.
1.9.43 f′⁡(∞)=b⁢c-a⁢dc2.
1.9.44 z=d⁢w-b-c⁢w+a.

Преобразование (1.9.40) является взаимно однозначным конформным отображением ℂ∪{∞} на себя.

Кросс-коэффициент z1,z2,z3,z4∈ℂ∪{∞} определяется равенством

1.9.45 (z1-z2)⁢(z3-z4)(z1-z4)⁢(z3-z2),

или его предельная форма и инвариантна относительно билинейных преобразований.

Другие названия билинейного преобразования дробно-линейные. преобразование , гомографическое преобразование и Мёбиуса трансформация .

§1.9(v) Бесконечные последовательности и серии

Последовательность {zn} сходится к z, если limn→∞⁡zn=z. Для zn=xn+i⁢yn последовательность {zn} сходится тогда и только тогда, когда последовательности {xn} и {yn} отдельно сходятся. Ряд ∑n=0∞zn сходится если последовательность sn=∑k=0nzk сходится. Серия расходится если sn не сходится. Ряд сходится абсолютно , если ∑n=0∞|zn| сходится. Серия ∑n=0∞zn сходится (расходится) абсолютно, когда limn→∞⁡|zn|1/n<1 (>1), или когда limn→∞⁡|zn+1/zn|<1 (>1). Абсолютно сходящиеся ряды также сходятся.

Пусть {fn⁡(z)} — последовательность функций, определенных на множестве S. Это последовательность сходится поточечно функции f⁡(z), если

1.9.46 f⁡(z)=limn→∞⁡fn⁡(z)

для каждого z∈S. Последовательность сходится равномерно на S, если для каждого ϵ>0 существует целое число N, не зависящее от z, такой, что

1.9.47 |fn⁡(z)-f⁡(z)|<ϵ

для всех z∈S и n≥N.

Серия А ∑n=0∞fn⁡(z) сходится равномерно на S, если последовательность sn⁡(z)=∑k=0nfk⁡(z) сходится равномерно на S.

М-тест Вейерштрасса

Предположим, {Mn} — последовательность действительных чисел, такая что ∑n=0∞Mn сходится и |fn⁡(z)|≤Mn для всех z∈S и все n≥0. Тогда ряд ∑n=0∞fn⁡(z) сходится равномерно на с.

Дважды бесконечный ряд ∑n=-∞∞fn⁡(z) сходится (равномерно) на S тогда и только тогда, когда каждый из ряд ∑n=0∞fn⁡(z) и ∑n=1∞f-n⁡(z) сходится (равномерно) на С.

§1.9(vi) Power Series

Для ряда ∑n=0∞an⁢(z-z0)n существует число R, 0≤R≤∞, такое, что ряд сходится для всех z из |z-z0|R. Окружность |z-z0|=R называется круг схождения ряда, а R — радиус сходимости . Внутри круга сумма ряда является аналитической функцией f⁡(z). Для г в |z-z0|≤ρ (

1.9.48 ан=f(n)⁡(z0)n!,

и

1. 9.49 R=lim infn→∞⁡|an|-1/n.

Обратное этому результату см. в §1.10(i).

Операции

Когда ∑an⁢zn и ∑bn⁢zn сходятся

1.9.50 ∑n=0∞(an±bn)⁢zn=∑n=0∞an⁢zn±∑n=0∞bn⁢zn,

и

1.9.51 (∑n=0∞an⁢zn)⁢(∑n=0∞bn⁢zn)=∑n=0∞cn⁢zn,

где

1.9.52 сп=∑k=0nak⁢bn-k.

Далее пусть

1.9.53 f⁡(z)=a0+a1⁢z+a2⁢z2+⋯,
а0≠0.

Тогда разложения (1.9.54), (1.9.57) и (1.9.60) справедливы для всех достаточно малых |z|.

1.9.54 1f⁡(z)=b0+b1⁢z+b2⁢z2+⋯,

где

1.9.55 б0 = 1/а0,
б1 =-а1/а02,
б2 =(a12-a0⁢a2)/a03,
1.9.56 bn=-(a1⁢bn-1+a2⁢bn-2+⋯+an⁢b0)/a0,
n≥1.

При а0=1,

1.9.57 пер⁡f⁡(z)=q1⁢z+q2⁢z2+q3⁢z3+⋯,

(основная стоимость), где

1.9.58 кв1 =а1,
кв2 =(2⁢a2-a12)/2,
кв3 =(3⁢a3-3⁢a1⁢a2+a13)/3,

и

1. 9.59 qn=(n⁢an-(n-1)⁢a1⁢qn-1-(n-2)⁢a2⁢qn-2-⋯-an-1⁢q1)/n,
n≥2.

Также

1.9.60 (f⁡(z))ν=p0+p1⁢z+p2⁢z2+⋯,

(главное значение), где ν∈ℂ,

1.9.61 р0 = 1,
стр.1 = ν⁢a1,
п2 =ν⁢((ν-1)⁢a12+2⁢a2)/2,

и

1.9.62 pn=((ν-n+1)⁢a1⁢pn-1+(2⁢ν-n+2)⁢a2⁢pn-2+⋯+((n-1)⁢ν-1)⁢an- 1⁢p1+n⁢ν⁢an)/n,
n≥1.

Для определения главных значений ln⁡f⁡(z) и (f⁡(z))ν см. §§4.2(i) и 4.2(iv).

Наконец, степенной ряд можно дифференцировать сколько угодно раз в пределах его круг схождения:

1. 9.63 f(m)⁡(z)=∑n=0∞(n+1)m⁢an+m⁢(z-z0)n,
|z-z0|

§1.9(vii) Инверсия пределов

Двойные последовательности и серии

Набор комплексных чисел {zm,n}, где m и n принимают все положительные целочисленные значения называются двойной последовательностью . сходится к z если для каждого ϵ>0 существует целое число N такое, что

1,9,64 |zm,n-z|<ϵ

для всех m,n≥N. Предположим, что {zm,n} сходится к z и повторяющееся пределы

1.9.65 лимм→∞⁡(лимн→∞⁡zm,n),
limn→∞⁡(limm→∞⁡zm,n)

есть. Тогда оба повторяющихся предела равны z.

A двойной ряд является пределом двойной последовательности

1. 9.66 zp,q=∑m=0p∑n=0qζm,n.

Если предел существует, то двойной ряд равен сходится ; иначе это расходится с . Двойной ряд абсолютно сходится , если он сходится при замене ζm,n на |ζm,n|.

Если двойной ряд абсолютно сходится, то он также сходится и его сумма дается любой из повторяющихся сумм

1.9.67 ∑m=0∞(∑n=0∞ζm,n),
∑n=0∞(∑m=0∞ζm,n).

Посрочная интеграция

Предположим, что ряд ∑n=0∞fn⁡(z), где fn⁡(z) непрерывен, сходится равномерно на каждом компакте области D, т. е. каждое замкнутое и ограниченное множество в D. Тогда

1.9.68 ∫C∑n=0∞fn⁡(z)⁢dz=∑n=0∞∫Cfn⁡(z)⁢dz

для любого конечного контура C в D.

Теорема о мажорируемой сходимости

Пусть (a,b) — конечный или бесконечный интервал и f0⁡(t),f1⁡(t),… вещественные или комплексные непрерывные функции, t∈(a,b). Предполагать ∑n=0∞fn⁡(t) сходится равномерно на любом компактном интервале в (a,b), и выполняется хотя бы одно из следующих двух условий:

1.9.69 ∫ab∑n=0∞|fn⁡(t)|⁢dt<∞,
1.9.70 ∑n=0∞∫ab|fn⁡(t)|⁢dt<∞.

Затем

1.9.71 ∫ab∑n=0∞fn⁡(t)⁢dt=∑n=0∞∫abfn⁡(t)⁢dt.

cv.complex переменные – Bicomplex Conjugate Derivate

9{\dagger}$ с помощью промежуточной формулы, основанной на каком-то ином понятии, чем комплексное сопряжение? Я бы хотел, чтобы скалярное произведение было определено для основных четырех кортежей, поскольку можно было бы тривиально утверждать, что $\langle1, 0, 0, 0\rangle \cdot Z = x$.

Существующие мысли: Понятие комплексной квазиконформности определяется следующим образом.

$\mu$ — комплексная мера Лебега с.т. $\sup\{\mu(x)\}<1$. $$ \frac{\partial f}{\partial\overline z}=\mu(z)\frac{\partial f}{\partial z}. $$

$\mu$-квазиконформность может быть обеспечена, если $\frac{\partial f}{\partial\bar z}<\frac{\partial f}{\partial z}$ в строгом смысле. Тогда существование меры $\mu$ гарантируется, так как не подтверждается утверждение о непрерывности. Вышеприведенное оправдывается с помощью оператора $\frac\partial{\partial\overline z}=\frac{1}{2}\left(\frac\partial{\partial x}+i\frac\partial{\partial y }\right)$, $x=\frac{z+\overline z}2$ и $y=\frac{z-\overline z}{2i}$. По правилу многомерной цепочки мы определяем $\frac{\partial f}{\partial\overline z}$ следующим образом: $$ \ frac {\ partial f} {\ partial \ overline z} = \ frac {\ partial f} {\ partial x} \ frac {\ partial x} {\ partial \ overline z} + \ frac {\ partial f} { \ partial y} \ frac {\ partial y} {\ partial \ overline z} = \ frac {1} {2} \ left (\ frac {\ partial f} {\ partial x} + i \ frac {\ partial f }{\partial y}\right)=\frac{1}{2}\left(u_x+i v_x+i u_y-v_y\right).

Оставить комментарий