«Нахождение производных функций»
Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым
Государственное бюджетное профессиональное образовательное
учреждение Республики Крым
“Симферопольский автотранспортный техникум”
Методическая разработка открытого занятия
по дисциплине: ЕН.01 Математика
тема: «Нахождение производных функций»
Разработчик: Пронина Е.А., преподаватель математики
Симферополь
2020
Тема занятия: Нахождение производных функций.
Цели занятия.
Дидактические:
– создание условий для применения знаний и умений в знакомой и новых учебных ситуациях.
Образовательные:
– расширить и углубить знания обучающихся о производной функции;
– закрепить навыки вычисления производных функции.
Развивающие:
– развивать умение применять полученные знания при решениипрактических задач;
– развивать мыслительную деятельность;
– развивать информационную компетенцию обучающихся;
– способствовать проявлению познавательной активности обучающихся.
Воспитательные:
– воспитывать культуру умственного труда, культуру речи;
– показать красоту и необычайность математики;
– воспитывать активность, самостоятельность, интерес к предмету.
Методические:
– апробировать групповой и игровой методы обучения, проблемный метод.
Формируемые личностные результаты:
– анализ производственной ситуации, быстрое принятие решений;
– выбор способов решения задач профессиональной деятельности, применительно к различным контекстам.
– использование информационных технологий в профессиональной деятельности;
– проявление доброжелательности к окружающим, деликатности, чувства такта и готовности оказать услугу каждому, кто в ней нуждается.
Тип занятия: урок комплексного применения знаний.
Вид занятия: повторение, обобщение, опрос и самостоятельная работа.
Технологии: развивающего обучения, технология дискуссионного обсуждения «Круглый стол», метод незаконченных предложений («Микрофон»), технология проблемного обучения «Ты – мне, я – тебе».
Оборудование:
Конспекты лекций.
Раздаточный материал (карточки с заданиями).
Карточки поощрительные.
Инструкционные карты.
Листы самооценки.
Литература:
Богомолов Н.В.Задачи по математике с решениями.: Учеб.пособие для средних проф.учеб.заведений.-М.: Высш.шк., 2006 г.
Григорьев, В.П. Элементы высшей математики: учебник для обучающихся СПО. – 10-е изд., стер,- М.: Издательский центр “Академия”, 2014. (В электронном формате).
Структура занятия.
1. Организационный момент (5 мин).
2. Целеполагание и мотивация (10 мин).
3. Актуализация знаний (20 мин).
4. Применение знаний (упражнения): (45 мин).
– в знакомой ситуации (типовые)
– в новой ситуации (проблемные)
5. Информация о домашнем задании (5 мин).
6. Рефлексия (подведение итогов) (5 мин).
Ход занятия.
Организационный момент (5 мин).
Преподаватель:
Продолжая изучать поведение и свойства функций, мы вновь встречаемся с производными функций.
Целеполагание и мотивация (10 мин).
Преподаватель:
Постарайтесь на сегодняшнем занятии достигнуть определенных целей:
– систематизировать понятия производной функции;
– научиться применять эти знания на практике, в том числе и через построение эскизов графиков;
– углубить навык вычисления производных на примерах.
Актуализация (20 мин).
а) Проверка домашнего задания:
– сверить ответы в домашних заданиях;
– ответить на вопросы обучающихся.
б) Работа в группах.
«Круглый стол»: коллективное обсуждение, сопоставление различных мнений и идей по вычислению производных функций
Обучающиеся делятся на 2 подгруппы и каждой предлагаются карточки с заданиями для совместного решения. Затем у доски происходит проверка выполненных заданий, начисляются баллы каждому обучающемуся группы.
Преподаватель одновременно с обучающимися задает вопросы и, наблюдая за дискуссией, оценивает активность обучающихся, их знание методов вычисления производных функции и аргументированность доводов. Затем подводит итог, аргументируя свои выводы.
в) Незаконченные предложения. («Микрофон»)
Вопросы:
1) Отображение, при котором каждому допустимому значению х соответствует единственное определенное значение у? (функция)
При этом x – … (независимая переменная или аргумент), а y – … (зависимая переменная или функция).
2) Область определения функции – это … (все значения независимой переменной x).
3) Аналитический способ задания функции… (это задание формулой).
4) Множество всех точек плоскости с координатами х и у = f(x) называют… (графиком функции).
5) Функции бывают: … (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая). Приведите примеры.
6) Производная функции – это …
7) Производная постоянной функции равна… (нулю).
8) Производная суммы функций равна… (сумме производных).
9) Производная разности функций равна… (произведению производных).
Применение знаний (упражнения) (45 мин)
Решение примеров под руководством преподавателя (работа у доски)
Рассмотрим примеры вычисления производных.
Пример 1.
Найти производную функции: .
Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас ..
Решаем: .
Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной: .
А теперь превращаем наш косинус по таблице:
.
Ну и результат желательно немного преобразовать – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок:
.
Ответ: .
Пример 2. Найти производную функции: .
Решаем. Как вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху:
.
Применяем второе правило(находим производную каждого слагаемого):
.
Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители (числа) выносим за знак производной:
.
Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно (чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение).
Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:
.
Ответ: .
Пример 3. Найти производную функции: .
Точно так же применяем второе правило (производная суммы равна сумме производных). Вычисляем производную от каждого слагаемого в отдельности.Числа выносим за знак производной.
Обращаю ваше внимание, что для дифференцирования все корни нужно представить в виде степени по известной формуле: , а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх по правилу: .
.
Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращениеи преобразуем результат:
Все степени вида желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель.
Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.
Таким образом, окончательно получаем:
.
Ответ: .
Пример 4. Найти производную функции: .
Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от x.
Сначала применяем наше правило, а затем превращаем функции по таблице производных:
.
Ответ: .
Пример 5. Найти производную функции: .
Для начала .
Далее замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной: .
Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь не нужны.
Вообще говоря, постоянные множители при нахождении производной можно и не выносить, но в этом случае они будут «путаться под ногами», что загромождает и затрудняет решение.
Применяем правило дифференцирования частного:
.
Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений.
Применяя первое и второе правило, вычисляем производные:
Штрихов больше нет, задание выполнено.
На практике обычно (но не всегда) ответ упрощают «школьными» методами:
Ответ: .
Пример 6. Найти производную функции: .
Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится.
Функция – это сложная функция, причем многочлен
является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.
После того, как мы разобрались с внутренней и внешней функциями, самое время применить правило дифференцирования сложной функции:
.
Ответ: .
Пример 7. Найдите производные функций:
1) ;
2) .
Решение. 1) Предположим, что , где . Тогда:
.
2) Предполагая, что , , , получим
.
– новой ситуации (проблемные)
«Ты – мне, я – тебе» (ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ)
Обучающиеся получают задание, которое необходимо решить в соответствии со своим порядковым номером N (номер по списку журнала).
Решение заданий с последующей проверкой.
Вычислить производные заданных функций:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) .
Вопросы для самоконтроля:
Дайте определение производной функции.
Перечислите правила нахождения производной функции.
Какие функции называются дифференцируемыми?
Какая функция называется сложной?
Как найти производную сложной функции?
Информация о домашнем задании (5 мин).
Изучить конспект;
Выполнить упражнения О.3 с.104, упр.65,71.
Рефлексия (подведение итогов) (5 мин)
Преподаватель предлагает заполнить листы самооценки до конца и сформулировать одну-две фразы о том, что вам понравилось на занятии, или что вам запомнилось больше всего, или чему вы научились, какой из поставленных целей добились.
Отметить «смайликом», который более всего соответствует их эмоциональному состоянию.
Лист самооценки
ФИО студента | Решение примеров | Количество карточек | + занятия | «Смайлик» настроения | Оценка препода- вателя | ||||||
1. | 2. | 3. | |||||||||
Отзыв о посещенном занятии по математике
преподавателя математики Прониной Екатерины Андреевны
Дата проведения: 13.
10.2020
Место проведения: ГБПОУ РК «САТТ»
Тема занятия: «Нахождение производных функций»
Занятие прошло на высоком методическом уровне. Цели были определены и доступны для обучающихся. Содержание занятия соответствовало уровню развития обучающихся. Все этапы занятия последовательны и логически связаны. Структура занятия соответствует данному типу занятия ( применению и закреплению знаний).
Обеспечивалась целостность и завершенность занятия. Соблюдался принцип систематичности и последовательности формирования знаний, умений, навыков. Использование на занятии наглядного материала способствовало развитию обучения, сознательности и активности обучающихся, их познавательной деятельности.
В течение занятия были использованы следующие методы обучения: дискуссия, актуализация ранее изученного материала, самостоятельная работа в виде практического задания, создавалась проблемная ситуация. Эти методы обучения обеспечивали поисковый и творческий характер познавательной деятельности обучающихся.
На каждом этапе занятия осуществлялась постановка учебных задач, сочетались разные формы работы на занятии: индивидуальная и коллективная. Осуществлялся контроль педагога, самоконтроль и самооценка результатов работы. Были подведены итоги занятия. Осуществлялось чередование разных видов деятельности обучающихся.
Занятие было организовано с использованием Технологии: развивающего обучения, технология дискуссионного обсуждения «Круглый стол», метод незаконченных предложений. («Микрофон»), технология проблемного обучения «Ты – мне, я – тебе». Был правильно определен объем учебного материала на занятии, умелое распределение времени, характер обучения был демократичным, объективным. На занятии царила доброжелательная атмосфера, и обучающиеся чувствовали себя достаточно свободно.
Речь педагога была грамотной, доступной, содержательной.
Обучающиеся были активны и организованны на разных этапах занятия, были доброжелательны к педагогу, показали умения творческого применения знаний, умений и навыков самостоятельно делать выводы.
Зам. директора по ВР _________________________И.А.Коркина
Методист___________________________________Т.А.Шарая
Нахождение производных функций
Нахождение производных функций
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1380
Таблица производных:
Таблица производных сложных функций
|
При использовании материала ссылка на сайт Конспекта.Нет обязательна! (0.045 сек.) |
Главная | О проекте | Полезные cсылки | Прислать материал | Контакты | Случайная страница |
Найти производные радикальных функций
Чтобы найти производную радикальной функции, сначала запишите знак радикала как показатель степени и найдите производную, используя цепное правило.
Пример:
f(x) = √x
f(x) = x 1/2
Найдите производную по x.
f'(x) = (1/2)x 1/2-1 (x’)
f'(x) = (1/2)x -1/2 (1)
= (1/2)(1/x 1/2 )
= (1/2)(1/√x)
= 1/(2√x)
Основываясь на приведенном выше примере, мы можем вывести формулу для производной радикальной функции.
Пусть f(x) = √z. Тогда производная f(x):
Найдите производную следующих радикальных функций по x:
Пример 1:
y = √(x + 2)
Решение:
y = √(x + 2) )
y’ = {1/[2√(x + 2)]}(x + 2)’
y’ = {1/[2√(x + 2)]}(1)
y ‘ = 1/[2√(x + 2)]
Пример 2:
y = √(2x – 1)
Решение:
y = √(2x – 2)
y’ = {1/[2√(2x – 1)]}(2x – 1)’
y’ = {1/[2√(2x – 1)]}(2)
y’ = 1/√(2x – 1)
)
Решение :
y = √(3x 2 + 5)
y’ = {1/[2√(3x 2 + 5)]}(3x 0 9 0 9 ’01 2 )
y’ = {1/[2√(3x 2 + 5)]}(6x)
= 3x/√(3x 2 + 5)
Пример 4:
y = √ (2x 4 + 2x – 1)
Решение:
y = √ (2x 4 + 2x – 1)
y ‘= {1/[2 √(2x 4 + 2x – 1)]}(2x 4 + 2x – 1)’
y’ = {1/[2√(2x 4 + 2x – 1)]}(8x 3 + 2)
= (4x 3 + 1)/(√2x 4 + 2x – 1)
Пример 5:
y = (x 3 + 2x) √
Решение:
у = (х 3 + 2x)√x
Поскольку два члена x перемножаются, мы должны использовать правило произведения, чтобы найти производную.
Пусть u = х 3 + 2х. u’ = 3x 2 + 2(1) = 3x 2 + 2 | Пусть v = v’ = 1/2 √x |
Правило произведения:
(uv)’ = uv’ + u’v
y’ = (x 3 + 2x)(1/2√x) + (3x 2 + 2)√x
= (x 3 /2√x /2√x /√x √ + 2 х) + 3x 2 √x + 2√x
= (1/2)x (3-1/2) + x (1 – 1/2) + 3x (0 9 2 + 1/2) + 2√x
= (1/2)x 5/2 + x 1/2 + 3x 5/2 + 2√x
= [ 1/2) + 3]x 5/2 + √x + 2√x
= (7/2)x 5/2 + 3√x
Пример 6 :
y = (√x + 2x)/x 2 – 1
Решение :
y = (√x 1 0 2 0/1 0 2 0/1 0 2 0/x + 90 2x) 0
В приведенной выше функции у нас есть переменная x как в числителе, так и в знаменателе.
Таким образом, мы должны использовать правило частного, чтобы найти производную
Пусть u = √x + 2x.
и’ = 1/2√x + 2(1)
= 1/2√x + 2
Пусть v = x 2 – 1.
v’ = 2x – 0
= 2x
= [(x 2 – 1)(1/2√x + 2) – (√x + 2x) (2x)]/(x 2 – 1) 2
ваши отзывы на [email protected]
Мы всегда ценим ваши отзывы.
©Все права защищены. onlinemath5all.com
Нахождение производной сложной функции
Задавать вопрос
спросил
Изменено 8 лет, 5 месяцев назад
Просмотрено 378 раз
$\begingroup$
У меня есть следующая функция, которую я хочу передать в алгоритм решения корня Ньютона-Рапсона (увеличение C++), поскольку аналитическое решение невозможно: $$f(p, k, n, Pr)=\left (\sum_{i = 0}^{\lfloor k \rfloor} \binom{n}{i}p^i(1 – p)^{n-i}\right)-Pr$$ $k, n, Pr$ являются известными значениями, которые необходимо подставить, и $p$ будет найдено путем определения того, для какого значения $p$ $f(p,k,n,Pr) = 0$.