Нахождения производной примеры: Как найти производную функции, примеры решения

«Нахождение производных функций»

Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым

Государственное бюджетное профессиональное образовательное

учреждение Республики Крым

“Симферопольский автотранспортный техникум”

Методическая разработка открытого занятия

по дисциплине: ЕН.01 Математика

тема: «Нахождение производных функций»

Разработчик: Пронина Е.А., преподаватель математики

Симферополь

2020

Тема занятия: Нахождение производных функций.

Цели занятия.

Дидактические:

– создание условий для применения знаний и умений в знакомой и новых учебных ситуациях.

Образовательные:

– расширить и углубить знания обучающихся о производной функции;

– закрепить навыки вычисления производных функции.

Развивающие:

– развивать умение применять полученные знания при решениипрактических задач;

– развивать мыслительную деятельность;

– развивать информационную компетенцию обучающихся;

– способствовать проявлению познавательной активности обучающихся.

Воспитательные:

– воспитывать культуру умственного труда, культуру речи;

– показать красоту и необычайность математики;

– воспитывать активность, самостоятельность, интерес к предмету.

Методические:

– апробировать групповой и игровой методы обучения, проблемный метод.

Формируемые личностные результаты:

– анализ производственной ситуации, быстрое принятие решений;

– выбор способов решения задач профессиональной деятельности, применительно к различным контекстам.

– использование информационных технологий в профессиональной деятельности;

– проявление доброжелательности к окружающим, деликатности, чувства такта и готовности оказать услугу каждому, кто в ней нуждается.

Тип занятия: урок комплексного применения знаний.

Вид занятия: повторение, обобщение, опрос и самостоятельная работа.

Технологии: развивающего обучения, технология дискуссионного обсуждения «Круглый стол», метод незаконченных предложений («Микрофон»), технология проблемного обучения «Ты – мне, я – тебе».

Оборудование:

1. Конспекты лекций.

2. Раздаточный материал (карточки с заданиями).

3. Карточки поощрительные.

4. Инструкционные карты.

5. Листы самооценки.

6. Литература:

Богомолов Н.В.Задачи по математике с решениями.: Учеб.пособие для средних проф.учеб.заведений.-М.: Высш.шк., 2006 г.

Григорьев, В.П. Элементы высшей математики: учебник для обучающихся СПО. – 10-е изд., стер,- М.: Издательский центр “Академия”, 2014. (В электронном формате).

Структура занятия.

1. Организационный момент (5 мин).

2. Целеполагание и мотивация (10 мин).

3. Актуализация знаний (20 мин).

4. Применение знаний (упражнения): (45 мин).

– в знакомой ситуации (типовые)

– в новой ситуации (проблемные)

5. Информация о домашнем задании (5 мин).

6. Рефлексия (подведение итогов) (5 мин).

Ход занятия.

1. Организационный момент (5 мин).

Преподаватель:

Продолжая изучать поведение и свойства функций, мы вновь встречаемся с производными функций.

1. Целеполагание и мотивация (10 мин).

Преподаватель:

Постарайтесь на сегодняшнем занятии достигнуть определенных целей:

– систематизировать понятия производной функции;

– научиться применять эти знания на практике, в том числе и через построение эскизов графиков;

– углубить навык вычисления производных на примерах.

1. Актуализация (20 мин).

а) Проверка домашнего задания:

– сверить ответы в домашних заданиях;

– ответить на вопросы обучающихся.

б) Работа в группах.

«Круглый стол»: коллективное обсуждение, сопоставление различных мнений и идей по вычислению производных функций

Обучающиеся делятся на 2 подгруппы и каждой предлагаются карточки с заданиями для совместного решения. Затем у доски происходит проверка выполненных заданий, начисляются баллы каждому обучающемуся группы.
Преподаватель одновременно с обучающимися задает вопросы и, наблюдая за дискуссией, оценивает активность обучающихся, их знание методов вычисления производных функции и аргументированность доводов. Затем подводит итог, аргументируя свои выводы.

в) Незаконченные предложения. («Микрофон»)

Вопросы:

1) Отображение, при котором каждому допустимому значению х соответствует единственное определенное значение у? (функция)

При этом x – … (независимая переменная или аргумент), а y – … (зависимая переменная или функция).

2) Область определения функции – это … (все значения независимой переменной x).

3) Аналитический способ задания функции… (это задание формулой).

4) Множество всех точек плоскости с координатами х и у = f(x) называют… (графиком функции).

5) Функции бывают: … (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая). Приведите примеры.

6) Производная функции – это …

7) Производная постоянной функции равна… (нулю).

8) Производная суммы функций равна… (сумме производных).

9) Производная разности функций равна… (произведению производных).

1. Применение знаний (упражнения) (45 мин)

Решение примеров под руководством преподавателя (работа у доски)

Рассмотрим примеры вычисления производных.

Пример 1. Найти производную функции:   .

Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас  ..

Решаем: .

Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной: .

А теперь превращаем наш косинус по таблице:

.

Ну и результат желательно немного преобразовать – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок:

.

Ответ: .

Пример 2. Найти производную функции:  .

Решаем. Как вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху:

.

Применяем второе правило(находим производную каждого слагаемого):

.

Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители (числа) выносим за знак производной:

.

Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно (чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение).

Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:

.

Ответ: .

Пример 3. Найти производную функции: .

Точно так же применяем второе правило (производная суммы равна сумме производных). Вычисляем производную от каждого слагаемого в отдельности.Числа выносим за знак производной.

Обращаю ваше внимание, что для дифференцирования все корни нужно представить в виде степени  по известной формуле: , а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх по правилу: .

.

Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращениеи преобразуем результат:

Все степени вида   желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.

Таким образом, окончательно получаем:

.

Ответ: .

Пример 4. Найти производную функции: . 

Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от x. 
Сначала применяем наше правило, а затем превращаем функции по таблице производных:

.

Ответ: .

Пример 5. Найти производную функции:  .

Для начала .

Далее замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной: .

Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь не нужны. 
Вообще говоря, постоянные множители при нахождении производной можно и не выносить, но в этом случае они будут «путаться под ногами», что загромождает и затрудняет решение.

Применяем правило дифференцирования частного:

.

Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений. Применяя первое и второе правило, вычисляем производные:

Штрихов больше нет, задание выполнено.

На практике обычно (но не всегда) ответ упрощают «школьными» методами:

Ответ: .

Пример 6. Найти производную функции: .

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение  , поэтому найти производную сразу по таблице не получится.

Функция   – это сложная функция, причем многочлен

 является внутренней функцией (вложением), а   – внешней функцией.

После того, как  мы разобрались с внутренней и внешней функциями, самое время применить правило дифференцирования сложной функции: 

. 

Ответ: .

Пример 7. Найдите производные функций:

1) ;

2) .

Решение. 1) Предположим, что , где . Тогда:

.

2) Предполагая, что , , , получим

.

– новой ситуации (проблемные)

«Ты – мне, я – тебе» (ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ)

Обучающиеся получают задание, которое необходимо решить в соответствии со своим порядковым номером N (номер по списку журнала).

Решение заданий с последующей проверкой.

Вычислить производные заданных функций:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение производной функции.

2. Перечислите правила нахождения производной функции.

3. Какие функции называются дифференцируемыми?

4. Какая функция называется сложной?

5. Как найти производную сложной функции?

1. Информация о домашнем задании (5 мин).

• Изучить конспект;

• Выполнить упражнения О.3 с.104, упр.65,71.

1. Рефлексия (подведение итогов) (5 мин)

Преподаватель предлагает заполнить листы самооценки до конца и сформулировать одну-две фразы о том, что вам понравилось на занятии, или что вам запомнилось больше всего, или чему вы научились, какой из поставленных целей добились. Отметить «смайликом», который более всего соответствует их эмоциональному состоянию.

Лист самооценки

ФИО студента	Решение примеров				Количество карточек		+ занятия		«Смайлик» настроения		Оценка препода- вателя
	1.	2.	3.

Отзыв о посещенном занятии по математике

преподавателя математики Прониной Екатерины Андреевны

Дата проведения: 13. 10.2020

Место проведения: ГБПОУ РК «САТТ»

Тема занятия: «Нахождение производных функций»

Занятие прошло на высоком методическом уровне. Цели были определены и доступны для обучающихся. Содержание занятия соответствовало уровню развития обучающихся. Все этапы занятия последовательны и логически связаны. Структура занятия соответствует данному типу занятия ( применению и закреплению знаний).

Обеспечивалась целостность и завершенность занятия. Соблюдался принцип систематичности и последовательности формирования знаний, умений, навыков. Использование на занятии наглядного материала способствовало развитию обучения, сознательности и активности обучающихся, их познавательной деятельности.

В течение занятия были использованы следующие методы обучения: дискуссия, актуализация ранее изученного материала, самостоятельная работа в виде практического задания, создавалась проблемная ситуация. Эти методы обучения обеспечивали поисковый и творческий характер познавательной деятельности обучающихся.

На каждом этапе занятия осуществлялась постановка учебных задач, сочетались разные формы работы на занятии: индивидуальная и коллективная. Осуществлялся контроль педагога, самоконтроль и самооценка результатов работы. Были подведены итоги занятия. Осуществлялось чередование разных видов деятельности обучающихся.

Занятие было организовано с использованием Технологии: развивающего обучения, технология дискуссионного обсуждения «Круглый стол», метод незаконченных предложений. («Микрофон»), технология проблемного обучения «Ты – мне, я – тебе». Был правильно определен объем учебного материала на занятии, умелое распределение времени, характер обучения был демократичным, объективным. На занятии царила доброжелательная атмосфера, и обучающиеся чувствовали себя достаточно свободно.

Речь педагога была грамотной, доступной, содержательной.

Обучающиеся были активны и организованны на разных этапах занятия, были доброжелательны к педагогу, показали умения творческого применения знаний, умений и навыков самостоятельно делать выводы.

Зам. директора по ВР _________________________И.А.Коркина

Методист___________________________________Т.А.Шарая

примеры решения задач с примерами

Определение производной

Предположим, что имеется некая функция y = f(x). Определим начальное значение  и полученное значение x из области, в которой определена заданная функция. Проанализируем эти значения.

Определение 1

Разность  представляет собой приращение аргумента в начальной точке  и имеет обозначение в виде 

Заметим, что в данном случае обозначение  является единым и не определяется, как произведение, то есть:

Записанная ранее функция принимает в начальной точке  значение, равное . Если задать аргументу x приращение , то результатом станет значение функции в другой точке .

Определение 2

Приращением функции y = f(x) в некой начальной точке , которое определено приращением аргумента , является следующая величина:

Определение 3

Производная  от функции y = f(x) представляет собой предел отношения  приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего при его существовании к нулевому значению . Определение можно записать в виде уравнения:

Условием наличия у функции y = f(x) производной на некотором интервале (a;b) является существование производной  в любой точке рассматриваемого интервала.

Наглядно представить понятие производной можно с помощью графика:

Источник: ru.wikipedia.org

Определение 4

Правая производная  функции y = f(x) в заданной точке x является величиной, определенной, как:

Определение 5

Левая производная  функции y = f(x) в заданной точке x является величиной, определенной, как:

Данные формулировки допустимы только при существовании рассматриваемых пределов.

Производная на графике функции. Геометрический смысл производной

Проанализировать производную с геометрической точки зрения можно с помощью графика функции. Построим координатную плоскость и отметим на ней какую-то абсциссу . Затем необходимо определить соответствующую ей ординату .

В окрестности точки  следует отметить какую-то точку x и построить секущую, пересекающую данные точки. На графике такая секущая обозначена первой светло-серой линией . Удаленность точек друг от друга, то есть , стремится к нулевому значению.

Таким образом, реализован переход секущей в касательную, что показано на графике с помощью темнеющих линий . Тангенс угла  наклона полученной касательной обозначает производную в точке .

Источник: ru.wikipedia.org

Рассмотрим понятие тангенса угла наклона касательной прямой. В том случае, когда некая функция  обладает конечной производной в точке , в окрестности  такую функцию допустимо приблизить линейной функцией:

В этом случае функция  играет роль касательной к f в некой точке . Число  называют угловым коэффициентом, или угловым коэффициентом касательной. Другим обозначением этого числа является тангенс угла наклона касательной прямой.

Проанализируем понятие скорости изменения функции. Предположим, что закон прямолинейного движения описан следующим соотношением:

В таком случае, мгновенная скорость движения в определенный момент  выражается так:

У полученной функции аналогично имеется производная, которую можно записать в виде:

Выразить мгновенное ускорение в определенный момент времени  можно с помощью следующей функции:

В действительности, производная функции y = f(x) в некой точке  определяет скорость, с которой изменяется функция в точке , то есть скорость, с которой реализован процесс, обозначенный соотношением:

y = f(x).

Алгоритм нахождения производной функции

Запишем порядок действия для определения производной некоторой функции y = f(x):

1. Обозначить фиксированное значение x, вычислить.
2. Определить, чему равно приращение аргумента , а также значение приращения функции .
3. Вычислить приращение функции .
4. Записать отношение: .
5. Найти значение производной функции: .S

Дифференцирование функции

Теорема 1

Обязательными и достаточными условиями существования в некой точке x производной  является наличие в рассматриваемой точке у функции y = f(x) правой и левой производных, а также взаимное равенство данных производных:

Наличие у функции y = f(x) в некой точке x производной, являющейся бесконечной, допустимо, когда в рассматриваемой точке:

Теорема 2

При наличии у функции y = f(x) конечной производной в некой точке  рассматриваемая функция является непрерывной в данной точке.

Заметим, что обратное утверждение для записанной выше теоремы не во всех случаях является справедливым. Таким образом, когда функция y = f(x) не прерывается в рассматриваемой точке , наличие производной в данной точке не является обязательным.

Определение 6

Функция y = f(x) является дифференцируемой в некой точке x при возможности записи приращения функции, которое соответствует приращению аргумента, в виде следующего соотношения:

Здесь A обозначает число, которое не связано с , значение  является бесконечно малой функцией при , то есть:

Теорема 3

Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции y = f(x) в некой точке x является наличие у функции y = f(x) в заданной точке конечной производной.

Можно сделать вывод о равносильности таких понятий, как дифференцируемость рассматриваемой функции y = f(x) в определенной точке x и существование конечной производной в данной точке. В связи с этим, определение производной можно обозначить, как дифференцирование рассматриваемой функции.

Допустим, что имеется пара функций:

Пусть данные функции дифференцируются в какой-то точке x, то есть у заданных функций имеется производная в определенной точке. Принимая во внимание записанные условия, сформулируем несколько полезных правил для поиска производных:

Правило 1

Производная  произведения константы c и какой-то функции  вычисляется как результат умножения данной константы и производной от рассматриваемой функции, то есть в данном случае константу переносят за знак производной:

Правило 2

Производная суммы или разности нескольких функций вычисляется как сумма или разность производных от каждой из данных функций:

Записанные правила допустимо обобщить в понятие единого свойства линейности:

 

Правило 3

Производная произведения пары функций вычисляется как результат сложения произведений производной одной функции на другую функцию, и одной функции на производную другой функции:

Правило 4

Производная частного пары функций вычисляется как результат деления разности произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя и квадрата начального знаменателя, то есть:

Примеры решения задач

Задача 1

Требуется определить, чему равно приращение аргумента  в заданной точке  при условии, что:

Решение

Согласно определению приращения, запишем следующее соотношение:

Ответ: .

Задача 2

Имеется некая функция . Необходимо вычислить, чему равно приращение функции в процессе перехода из некой точки  в точку .

Решение

Исходя из определения приращения, запишем следующее равенство:

Вычислим значения для функции, которые она принимает в точках  и :

В таком случае, приращение составит:

Ответ: .

Задача 3

Требуется вычислить производную функции  в некоторой точке  с помощью понятия производной.

Решение

Исходя из понятия, производную можно определить таким образом:

Путем подстановки значения из условия для точки  получим:

Определим, чему равна функция в заданных точках:

Путем подстановки значений, которые получены ранее, запишем выражение для производной:

Данный предел обладает неопределенностью в виде:

Эту неопределенность можно раскрыть с помощью умножения числителя и знаменателя дроби, которая расположена под знаком предела, на сопряженное выражение  к числителю. В итоге получим:

Воспользуемся формулой разности квадратов, чтобы преобразовать числитель:

Ответ: 

Задача 4

Нужно определить значение левой и правой производных  в некоторой точке 

Решение

Определим левую производную:

Исходя из того, что , получим, что  представляет собой малую величину со знаком минус. В таком случае, согласно определению модуля:

Таким образом:

Аналогичным образом вычислим правую производную:

Ответ: 

Задача 5

Данная функция, производную которой требуется вычислить:

Решение

Выполним вычисления:

Допустимо исключить константу 2 из-под знака производной:

            

Определить производную от  можно в виде производной от степенной функции с помощью уравнения:

В результате:

Ответ: 

Задача 6

Дана функция, производную которой требуется определить:

Решение

Выполним дифференцирование рассматриваемой функции:

Воспользуемся уже знакомым правилом, согласно которому производная суммы пары функций вычисляется как результат сложения производных от каждой из этих функций:

Производную первого слагаемого можно определить в виде производной степенной функции. Вычислять производную второго слагаемого следует последовательно, перемещая константу за знак производной и используя свойство, согласно которому производная независимой переменной равна единице:

Ответ: .

Задача 7

Дана функция, производную которой требуется найти:

Решение

Вычислим производную:

Заметим наличие под знаком производной произведения пары функций:

В таком случае, по правилу дифференцирования произведения получим:

Ответ: .

Задача 8

Дана функция, производную которой нужно вычислить:

Решение:

Вычислим производную:

В результате требуется определить, чему равна производная отношения пары функций:

Получим, что:

Воспользуемся правилом производной суммы или разности:

Ответ: .

Задания для самостоятельной работы

Задача 9

Дана функция, производную которой необходимо вычислить:

Решение

Воспользуемся правилом нахождения производной суммы или разности функций:

Запишем правило для производной в случае степенной функции:

Применительно к этой задаче, получим:

Заметим, что производная от константы имеет нулевое значение.

Ответ: .

Задача 10

Дана функция, производную которой требуется определить:

Решение

Воспользуемся правилом для вычисления производной разности:

С помощью таблицы интегрирования определим, что:

Зная, что аргумент натурального логарифма не равен x, выполним умножение на производную аргумента:

Преобразуем выражение:

Ответ: .

Задача 11

Дана функция, производную которой требуется вычислить:

Решение

Найдем производную произведения пары функций с помощью метода, уже известного из теории:

Производная первой функции равна:

Производная второй функции равна:

Выполним вычисления:

Ответ: .

Задача 12

Дана функция, производную которой необходимо найти:

Решение

Введем обозначения:

Воспользуемся таблицей производных ключевых элементарных функций, получим:

Выполним вычисления:

Избавимся от множителя  в числителе путем вынесения его за скобки:

Ответ: 

Задача 13

Дана функция, производную которой требуется определить:

Решение

Рассматриваемую функцию называют сложной. В связи с этим, нужно вычислять производную поэтапно, начиная с внешней, заканчивая внутренней функцией, с параллельным перемножением:

Так как аргумент sin не равен x, это тоже сложная функция:

По определению котангенса:

Преобразуем выражение производной:

Ответ: .

Нахождение производной функции

Все материалы по математике для старших классов

8 Диагностические тесты 613 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 Следующая →

Справка по математике для средней школы » Исчисление I — Производные » Производные » Поиск производных » Общие производные и правила » Нахождение производной функции

Какая первая производная ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти первую производную для этой задачи, мы можем использовать степенное правило. Правило степени гласит, что мы уменьшаем показатель степени каждой из переменных на единицу и умножаем на этот исходный показатель степени.

Помните, что все в нулевой степени равно единице.

Сообщить об ошибке

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Эту проблему лучше всего решить с помощью правила мощности. Для каждой переменной умножьте на показатель степени и уменьшите показатель степени на единицу:

Рассматривайте так, поскольку все в нулевой степени равно единице.

Помните, все, что умножается на ноль, равно нулю.

Сообщить об ошибке

Укажите среднюю скорость изменения функции  на интервале  .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Средняя скорость изменения  на интервале  составляет

Замена:

Сообщить об ошибке

Какая производная от ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту проблему, мы можем использовать правило мощности. Это означает, что мы уменьшаем показатель степени переменной на единицу и умножаем переменную на исходный показатель степени.

Помните, что все в нулевой степени равно единице.

Сообщить об ошибке

Что является производным от ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту проблему, мы можем использовать правило мощности. Это означает, что мы уменьшаем показатель степени переменной на единицу и умножаем переменную на исходный показатель степени.

Мы будем рассматривать  как , так как все в нулевой степени равно единице.

Это означает, что эта задача будет выглядеть следующим образом:

Обратите внимание, что любое произведение на ноль равно нулю.

Помните, что все в нулевой степени равно единице.

Сообщить об ошибке

Что является производным от ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту проблему, мы можем использовать правило мощности. Это означает, что мы уменьшаем показатель степени переменной на единицу и умножаем переменную на исходный показатель степени.

Мы будем рассматривать  как , так как все в нулевой степени равно единице.

Обратите внимание, что любое число, умноженное на ноль, равно нулю.

Сообщить об ошибке

Что является производным от ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы получить , мы можем использовать правило мощности.

Поскольку показатель степени равен as, мы уменьшаем показатель степени на единицу, а затем умножаем коэффициент на этот исходный показатель:

Все, что есть в силе.

Сообщить об ошибке

Возможные ответы:

Правильный ответ:

90 005

Объяснение:

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правило степени. Чтобы использовать правило степени, мы уменьшаем показатель степени переменной и умножаем на этот показатель.

Мы будем считать, что все в нулевой степени равно единице.

Обратите внимание, что, поскольку любое произведение, умноженное на ноль, равно нулю.

Сообщить об ошибке

Что является производным от ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правило степени. Чтобы использовать правило степени, мы уменьшаем показатель степени переменной и умножаем на этот показатель.

Мы будем считать, что все в нулевой степени равно единице.

Обратите внимание, что, поскольку любое произведение, умноженное на ноль, равно нулю.

Остается .

Упрощение.

Как было сказано ранее, все, что в нулевой степени равно единице, остается:

Сообщить об ошибке

Что такое производная от ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правило степени. Чтобы использовать правило степени, мы уменьшаем показатель степени переменной и умножаем на этот показатель.

Мы будем рассматривать  как , так как все в нулевой степени равно единице.

Обратите внимание, что, поскольку любое произведение, умноженное на ноль, равно нулю.

Как уже упоминалось ранее, все в нулевой степени равно единице.

Отчет о ошибке

← Предыдущий 1 2 Следующий →

Уведомление об авторском праве

Все ресурсы по математике средней школы

8 Диагностические тесты 613 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции 92 и пусть A(x,y) — любая точка на кривой, тогда вы можете взять точку B (x + D x, y + D y), где значения D x и D y чрезвычайно малы. (D означает дельта.) Изучите кривую и концепцию наклона, чтобы найти наклон AB.

Ниже вы увидите, что наклон кривой m представлен выражением 2x. Подставив x, мы можем найти наклон в любой конкретной точке.

Нахождение наклона кривой

Нахождение производной по пределу изменения наклона

Производная функции y= f(x) является пределом функции при D x -> 0 и записывается как:

Lim Dy/ Dx = lim [ f(x + Dx) – f(x) ]/( x + Dx – x )

D x->0 Dx ->0

Чтобы понять концепцию предела и решения предела, когда x приближается к 0, вы можете попрактиковаться в примерах в статье How to Solve Calculus Ограничение проблем.

Приведенный выше метод нахождения производной по определению называется дельта-процессом.

Этот метод можно использовать для нахождения производной следующего:

1. f(x) = 3x + 2

m = 3

2. f(x) = 3×2 – 2x + 1

m = 6x – 2

3. f(x) = -x2 – 5x + 1

m = -2x – 5

Примеры нахождения производной с помощью дельта-процесса

Примеры нахождения производной с помощью степенного правила

90 004 Как найти производную, используя степенное правило

Дельта-процесс можно свести к короткой методике, называемой степенным правилом:

Если y = xn , то y’ = nxn-1

Примечание. Существуют другие обозначения для производной функции по x:

y’

f'(x)

DxY

Dy /dx

D f(x)/dx

Примеры нахождения производной по степенному правилу:

1. y = 7×4

y’ = 28×3

2. f(x) = 8/x5

f(x) = 8 x -5

f'(x) = -40 x -6

3. y = 3×2 -6x + px

y’ = 6x -6 + p

4. y = √x + 1/√x

y = x1/2 + x-1/2

y’ = ½ x-1/2 – ½ x-3/2

Примеры нахождения производной Использование правила произведения

Как найти производную с помощью правила произведения

Пусть f(x) и g(x) представляют 2 функции:

D[ f(x) g(x) ] /dx= f(x) ) d[g(x)]/dx + g(x) d[f(x)]/dx

Или выразить иначе: (f * g )’ = f * g’ + g * f’

Примеры нахождения производной по правилу произведения:

1. f (x) = 3×2 (√x – x )

f'(x) = (3×2)(1/2 x-1/2- 1) + (√x – x )( 6x)

2. f (x) = (4 – x2) ( 1/ х + х)

f'(х) = (4 – х2) (-х-2 + 1) + (1/х + х) (-2х)

3. у = (3х2) (1 – х ) (7×3 – x)

y’ = (3×2) (1 – x) (21×2 – 1) + (7×3 – x) [( 3×2)(-1) + (1 – x)(6x)]

Нахождение производной с использованием правил для производных

В исчислении используется несколько правил для нахождения производной. В этой статье приведены примеры использования правила степени и правила произведения. Постоянное правило, частное правило и цепное правило также будут использоваться для решения производных задач.

Большинство задач в исчислении используют основные правила для производных, а не весь дельта-процесс для решения производных. Применение правильного правила к задаче исчисления — это навык, который учащиеся развивают, отрабатывая примеры с использованием всех производных правил. Ознакомьтесь с основными правилами исчисления производных здесь.

Практика в поиске производных

Чтобы попрактиковаться в нескольких примерах поиска производной с использованием правил степени, произведения, частного и цепочки, загрузите примеры задач и решений в разделе Примеры поиска производной с помощью правил исчисления. Эти практические примеры помогут учащимся грамотно использовать и применять каждое правило для нахождения производной.

Как только эти 4 правила будут поняты, изучающий исчисление может перейти к расширению своих знаний, изучая концепцию интеграции. Для большей практики как в дифференциации, так и в интеграции, учащиеся могут загрузить приложение Calculus для своего iphone, чтобы помочь с дополнительными примерами и практическими тестами. В статье The Best Iphone Math Apps описывается это приложение Calculus AB Review.

Понимание и применение концепции производных включает решение многих примеров. Когда эти примеры затем применяются к таким проблемам, как проблемы с ускорением, учащиеся могут использовать свои основные навыки решения проблем в практических приложениях. Эта практика о том, как найти производную, поможет студентам, изучающим исчисление, уверенно решать проблемы.

Весь контент, включая изображения, принадлежит автору.

Этот пост является частью серии: Решение предельных и производных задач исчисления

В этой серии показано, как решать несколько типов предельных задач исчисления. Решаются частные случаи пределов и описываются соответствующие графы. В этом руководстве дается понятное решение задач исчисления с пределом и производными.