Лучший ответ по мнению автора | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
10.19
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
| Похожие вопросы |
В чем сходства и различия, между:
1.
5
Даны три треугольника: PRS, P1R1S1, P2R2S2. Известно, что Р – середина отрезка P1Р2, R – середина отрезка R1R2, S – середина отрезка S1S2, М – точка пересечения медиан треугольника PRS, М1 – точка пер
Решено
Упростить
Решено
Подать в виде произведения cosa + cos7a + 2cos3a
Пользуйтесь нашим приложением
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕВВЕДЕНИЕ Вопросы для самопроверки Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. 2. Линейные уравнения первого порядка. 3. Однородные уравнения. 4. Уравнения в полных дифференциалах. 5. Определение типа дифференциального уравнения. Вопросы для самопроверки § 2. РЕШЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2. Составление дифференциального уравнения по условию физической задачи. 3.  4. Дифференциальное уравнение семейства кривых. Ортогональные траектории. 5. Решение задач с помощью интегральных уравнений. Упражнения § 3. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 1. Понижение порядка дифференциального уравнения. 2. Системы дифференциальных уравнений. Вопросы для самопроверки Глава II. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Поле направлений. 2. Поле направлений и дифференциальные уравнения. Вопросы для самопроверки § 2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 1. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения у’ = f(x,y). 3. Дифференциальные уравнения и степенные ряды. 4. Приближенное решение дифференциальных уравнений. Вопросы для самопроверки § 3. ОБЩЕЕ, ЧАСТНОЕ И ОСОБОЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1.  Общее и частное решения дифференциального уравнения.2. Особые точки и особые решения дифференциального уравнения у’ = f(x, у). 3. Огибающая семейства плоских кривых. 4. Уравнение Клеро. Вопросы для самопроверки Глава III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 2. Теорема существования и единственности решения линейных дифференциальных уравнений высшего порядка и систем линейных дифференциальных уравнений. 3. Линейные дифференциальные операторы и их свойства. 4. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения. 5. Определитель Вронского. 6. Составление уравнения по фундаментальной системе решений. 7. Формула Остроградского. 8. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка. 9. Метод вариации произвольных постоянных. Вопросы для самопроверки § 2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ  Алгебра дифференциальных операторов.2. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. 3. Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (специальный случай). 4. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (случай резонанса). 5. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (специальные случаи, окончание). Вопросы для самопроверки § 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС 1. Колебания под действием упругой силы пружины. 2. Колебательный контур. Вопросы для самопроверки § 4. НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 2. Вывод уравнения колебаний струны. 3. Решение уравнения колебаний струны методом Даламбера. |
Нахождение частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений
Задавать вопрос
спросил
Изменено 7 лет, 8 месяцев назад
Просмотрено 2к раз
$\begingroup$ 9{-t}\влево[ \начать{массив}{с} 1\\ 2 \конец{массив} \right] : k_1, k_2 ∈ R\}$$
Теперь мне нужно найти частное решение.
Так как $\left[
\начать{массив}{с}
2\\
1
\конец{массив}
\right]$ является частным решением однородного уравнения. Я не могу использовать метод неопределенных коэффициентов, верно? Если да, то как я могу найти конкретное решение?
- обыкновенные дифференциальные уравнения
- системы уравнений
$\endgroup$
$\begingroup$
Особое решение не $\слева[ \начать{массив}{с} 2\\ 1 \конец{массив}\право]$ но это $\слева[ \начать{массив}{с} 2\\ 3 \конец{массив}\право]$ . Метод неопределенных коэффициентов продолжает использоваться.
Частное решение неоднородного уравнения ищется в виде:
$$\слева[
\начать{массив}{с}
Икс\\
у
\end{массив}\right]=\left[
\начать{массив}{с}
2\\
3
\end{массив}\right]a\:t+
\левый[
\начать{массив}{с}
б\\
с
\конец{массив}\справа]
$$
Верните его в систему ОДУ и определите коэффициенты.
(Я получил $a=-3$, $b=0$, $c=2$, нужно проверить)
Дополнительные пояснения см. на http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_undetermined_coefficients и в примере [2].
В качестве альтернативы можно использовать метод “вариации коэффициентов”, но он должен быть более трудоемким. В этом методе нужно заменить $k_1$ и $k_2$ на $f(t)$ и $g(t)$ соответственно и решить систему относительно $f(t)$ и $g(t)$.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
если умножить первое на $2$ и вычесть из второго, то получится $$2x’ – y’ = -3$$ мы можем удовлетворить это, выбрав $$x = at+b, y = (2a+3)t +b $$, где $a, b$ будут зафиксированы позже. попробуем удовлетворить $$x’ = 3x – 2y -2 \to a = 3(at+b) -2[(2a+3)t + b]-2=-t(a+6)+b \ тег 1$$, мы выберем $$a = b = -6 $$, чтобы сделать $(1)$ тождеством.
поэтому частным решением является $$x = -6(t+1), \, y = -3(3t+2) $$
$\endgroup$
Метод вариации параметров
Эта страница посвящена дифференциальным уравнениям второго порядка такого типа:
d 2 y dx 2 + P(x) dy dx + Q(x)y = f(x)
, где P(x), Q(x) и f(x) — функции от x.
Сначала прочтите Введение в дифференциальные уравнения второго порядка, там показано, как решить более простой «однородный» случай, когда f(x)=0
Два метода
Существует два основных метода решения уравнений типа 9.0003
d 2 y dx 2 + P(x) dy dx + Q(x)y = f (х)
Неопределенные коэффициенты, которые работают только тогда, когда f(x) является полиномом, экспонентой, синусом, косинусом или их линейной комбинацией.
Изменение параметров (которое мы узнаем здесь), которое работает с широким спектром функций, но немного неудобно в использовании.
Изменение параметров
Для простоты рассмотрим только корпус:
d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = f(x)
где p и q — константы, а f(x) — ненулевая функция от x.Можно найти полное решение такого уравнения комбинируя два типа раствора:
- Общее решение однородное уравнение d 2 y dx 2 + p dy dx + кд = 0
- Частные растворы неоднородное уравнение d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = ф(х)
Обратите внимание, что f(x) может быть отдельной функцией или суммой двух или более
функции.
Как только мы нашли общее решение и все частные решения, то окончательное полное решение находится путем сложения всех решения вместе.
Этот метод основан на интеграции.
Проблема с этим методом заключается в том, что, хотя он может дать решение, в некоторых случаях решение приходится оставлять в виде интеграла.
Начните с общего решения
В разделе «Введение в дифференциальные уравнения второго порядка» мы научимся находить общее решение.
В основном мы берем уравнение
d 2 y dx 2 + p dy дх + кв = 0
и привести его к «характеристическому уравнению»:
г 2 + пр + кв = 0
Квадратное уравнение, имеющее три возможных типа решения в зависимости от дискриминанта p 2 − 4q . Когда p 2 − 4q равно
положительный получаем два действительных корня, и решение
y = Ae r 1 x + Be r 2 x
ноль получаем один действительный корень, а решение
у = Ae rx + Bxe rx
отрицательное получаем два комплексных корня r 1 = v + wi и r 2 = v − wi , и решение
y = e vx ( Ccos(wx) + iDsin(wx))
Фундаментальные решения уравнения
Во всех трех вышеприведенных случаях “у” состоит из двух частей:
- y = AE R 1 x + BE R 2 x изготовлен из y 1 = AE R 1 x = R 1 x и 9999209 29208 и 999999208 и 9999999209 29208 и 9999 29208 и 9999 29208 и 9999 2 и 9999 2 .
r 2 x - Y = AE RX + BXE RX изготовлен из Y 1 = AE RX и Y 2 = BXE RX 900399008 2 = BXE RX 9003
669
2 - y = e vx ( Ccos(wx) + iDsin(wx)) состоит из y 1 = e vx Ccos(wx) и y 2 = e vx iDsin(wx)
y 1 и y 2 известны как фундаментальные решения уравнения
And y 1 и y 2 считаются линейно равными независимым , потому что ни одна из функций не является постоянным кратным другой.
Вронскиан
Когда у 1 и у 2 два основных решения однородного уравнения
d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = 0
, то вронскиан W(y 1 , y 2 ) является определителем матрицы
Так
Вт(у 1 , у 2 ) = у 1 у 2 ‘ − у 2 у 1 ‘
Вронскиан назван в честь польского математика и
философ Юзеф Хене-Вронский (1776−1853).
Поскольку y 1 и y 2 линейно независимы, значение вронскиана не может быть равно нулю.
Особое решение
Используя вронскиан, теперь мы можем найти частное решение дифференциального уравнения
d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = f(x)
по формуле:
y p (x) = −y 1 (x)∫ y 2 (x)f(x) W(y 1 , y 2 ) 9×209 ) 9x + y 2 (x)∫ y 1 (x)f(x) W(y 1 , y 2 ) dx
Пример 1: решить
d 2 y dx 2 − 3 dy dx + 2y = e 3x1. Найдите общее решение D 2 Y DX 2 – 3 DY DX + 2Y = 0
Характерное уравнение: R 2 – 3R + 2 = 0
Фактор: R 2 – 3R + 2 = 0 0003
.
1)(r − 2) = 0
r = 1 или 2
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения равно y = Ae x + Be 2x
Таким образом, в этом случае фундаментальные решения и их производные составляют:
y 1 (x) = e x
y 1 ‘(x) = E x
Y 2 (x) = E 2x
Y 2 ‘ (x) = 2E 2x
9009 2. Находка Вронскиан:
W(y 1 , y 2 ) = y 1 y 2 ‘ – Y 2 Y 1 ‘= 2E 3X – E 3x = E 3x
3. Найдите конкретное решение, используя формулу:
Y P (x) = –
y P 9020 (x) =. у 1 (x)∫ y 2 (x)f(x) W(y 1 , y 2 ) dx + y 2 (x) ∫ Y 1 (x) F (x) W (Y 1 , Y 2 ) DX
4.
Первые мы решаем интеграл:
∫ y 2 (x)f(x) W(y 1 , y 2 ) dx
= ∫ e 2x e 3x e 3x dx
= ∫e 2x dx
= 1 2e 2x
So:
−y 1 (x)∫ y 2 (x)f(x) W(y 1 , у 2 ) дх = -(e x )( 1 2e 2x ) = – 1 2E 3x
, а также:
∫ Y 1 (x) F (x) W (Y 1 , Y 2 ) .
. . , Y 2 ) W (Y 1 , Y 2 ). = ∫ e x e 3x e 3x dx= ∫e x dx
= e x
So:
y 2 (x)∫ y 1 (x)f(x) W(y 1 , у 2 ) дх = (E 2x ) (E x ) = E 3x
Наконец:
y P (x) = −y 1 (x) ∫ Y 2 (x) ∫ Y 2 (x).
)f(x) W(y 1 , y 2 ) dx
+ у 2 (x) ∫ Y 1 (x) F (x) W (Y 1 , Y 2 ) DX
= – 1 2E 3X 9003 + E 1 2E 3X + E 3X + E 3X 3X 3X 3X 3X 3X 3X 3X 3X 3X 3X 3X 3X 3X 3X
== 1 2E 3X
и полное решение дифференциального уравнения D 2 Y DX 2 – 3 DY DA 3 DY DX + 2S IS IS IS .
y = Ae x + Be 2x + 1 2e 3x
Это выглядит так (примеры значений A и B):
Пример 2: Решение
D 2 y DX 2 – Y = 2x 2 – x – 3 1.
Найдите общий раствор D 2 y 66669 9 9 9 9 9 9 9 4. . 2
Характеристическое уравнение: r 2 − 1 = 0
Коэффициент: (r − 1)(r + 1) = 0
r = 1 или −1
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид у = Ае x +Be −x
Таким образом, в этом случае фундаментальные решения и их производные: x
Y 2 (x) = E −x
Y 2 ‘(x) = −e −x
2. Найдите Wronskian:
W (Y . 1 , у 2 ) = у 1 у 2 ‘ − у 2 у 1 ‘ = -e x e -x – e x e -x = -2y 1 (x)∫ y 2 (x)f(x) W(y 1 , y 2 ) dx + y 2 (x) ∫ Y 1 (x) F (x) W (Y 1 , Y 2 ) DX
4.
Solve The Integralls:
каждый
4. Соглас. интегралов можно получить с помощью интеграции по частям дважды:
∫ y 2 (x)f(x) W(y 1 , y 2 ) dx
= ∫ e −x (2x 2 −x−3) −2 dx
= − 1 2 ∫(2x 2 −x−3)e −x dx
= − 1 2[ −(2x 3 −9 −x0−3)e + ∫(4x−1)e −x dx ]
= − 1 2[ −(2x 2 −x−3)e −x − (4x − 1)e −x + ∫4e −x дх ]
= − 1 2[ −(2x 2 −x−3)e −x − (4x − 1)e −x − 4e −x ]
= e −x 2 [2x 2 – x – 3 + 4x −1 + 4]
= E −x 2 [2x 2 + 3x]
SO:
–y 1. (x)∫ y 2 (x)f(x) W(y 1 , y 2 ) dx = (−e x )[ e −x 2( 2x 2 + 3x)] = – 1 2 (2x 2 + 3x)
и этот:
∫ y 1 (x) F (x) Вт (Y 1 , у 2 ) дх
= ∫ e x (2x 2 −x−3) −2 dx
= − 1 2 ∫(2x 2 −x−3)e × dx
= − 1 2[ (2x 2 −9 −x06 ∫06 ∫06)e 4x−1)e x dx ]
= – 1 2[ (2x 2 -x-3)e x – (4x – 1)e x + ∫4e x dx ]
= – 1 2 [(2x 2 −x – 3) E x – (4x – 1) E x + 4e x ]
= – E x
= – E x 9003
= – E x= – E x ]
= – E x ] 2 [2x 2 – x – 3 – 4x + 1 + 4] = -E x 2 [2x 2 – 5x + 2]
SO:
Y 2 9077 ( х)∫ у 1 (x)f(x) W(y 1 , y 2 ) dx = (e − x )[ − e x 2( 2x 2 – 5x + 2 ) ] = – 1 2( 2x 2 – 5x + 2)
Наконец:
y P (x) = −y 1 (x) ∫ y 2 (x) f (x) 65.
W(у 1 , у 2 ) дх
+ у 2 (х)∫ у 1 (х)f(х) W(у 1 , Y 2 ) DX
= – 1 2 (2x 2 + 3x) – 1 2 (2x 2 – 5x + 2)
= – 1 2 (4x 4x + 2)
= – 1 2 (4x + 2)
= – 1 2 (4x + 2)
= – 1 – 2 − 2x + 2 )
= −2x 2 + x − 1
and the complete solution of the differential equation d 2 y dx 2 − y = 2x 2 − x − 3 равно
y = Ae x + Be −x − 2x 2 + x − 1
(Это тот же ответ, который мы получили в Примере 1 на странице Метод неопределенных коэффициентов.)
Example 3: Solve
d 2 y dx 2 − 6 dy dx + 9y = 1 x 1.
Find the general solution of d 2 y dx 2 − 6 dy dx + 9y = 0
Уравнение характеристики: r 2 − 6r + 9 = 0
Множитель: (r − 3)(r − 3) = 0
r = 3
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид y = Ae 3x + Bxe 3x
и поэтому в этом случае фундаментальные решения и их производные:
Y 1 (x) = E 3x
y 1 ‘(x) = 3E 3x
y ‘ (x) = 3e 3x
y 2 (x) = xe 3x
y 2 ‘(x) = (3x + 1)e 3x
2. Найдите вронскиан:
W(y 1 , y 2 ) = y 1 y 2 ‘ − у 2 у 1 ‘ = (3x + 1)e 3x e 3x – 3xe 3x E 3x = E 6x
3.
Найдите конкретное решение, используя формулу:
y P (x) = −y 1 (x) ∫ y 2 2 2 2 908 2 2 908 2 2 908 2. (x)f(x) W(y 1 , y 2 ) дх + y 2 (x) ∫ Y 1 (x) F (x) W (Y 1 , Y 2 ) DX
4. Solve The Integrals:
∫ ∫
4. Solve. y 2 (x)f(x) W(y 1 , y 2 ) dx
= ∫ (xe 3x )x -1 e 6x dx (Примечание: 1 x = x 2 -1)
= ∫e −3x dx
= − 1 3E −3x
SO:
−y 1 (x) ∫ Y 2 (x) F (x) W (Y 1 , Y 2 ) W (Y 1 , y 2 68) W (Y 1 , Y 2
дх
= -(e 3x )(- 1 3e -3x )
= 1 3и это:
∫ Y 1 (x) F (x) W (Y 1 , Y 2 ) DX
= ∫ e 3x x −1 e 6x дх
= ∫e -3x x -1 dx
Это нельзя проинтегрировать, так что это пример, где ответ оставить в виде интеграла.
Итак:
y 2 (x)∫ y 1 (x)f(x) W(y 1 , y 2 )
Наконец:
y p (x) = −y 1 (x)∫ y 2 (x)f(x) W(y 1 , y 2 ) 90 + Y 2 (x) ∫ Y 1 (x) F (x) W (Y 1 , Y 2 ) DX
= 1 3 + XE 3X
= 1 3 + XE 3X 9003
= 1 3 + XE 3X= 1 3 + XE 3X
e −3x x −1 dx
Таким образом, полное решение дифференциального уравнения0068 + 9y = 1 x is
y = Ae 3x + Bxe 3x + 1 3 + xe 3x ∫e −3x x −1 dx
Пример 4 (более сложный пример): решить
d 2 y dx 2 − 6 dy dx + 13y = 195cos(4x)В этом примере используется следующая тригонометрическая тождества
sin 2 (θ) + cos 2 (θ) = 1
sin(θ ± φ) = sin(θ)cos(φ) ± cos(θ)sin(φ)
cos(θ ± φ) = cos(θ)cos (φ) sin(θ)sin(φ)
sin(θ)cos(φ) = 1 2 [sin(θ
+ φ) + sin(θ − φ)]
cos(θ)cos(φ) = 1 2 [cos(θ
– φ) + cos (θ + φ)]
1.
Найдите общее решение D 2 Y DX 2 – 6 DY DX + 13Y = 0 = 0
Уравнение характеристики: r 2 − 6r + 13 = 0
Используйте квадратное уравнение формула
х = −b ± √(b 2 − 4ac) 2a
с a = 1, b = −6 и c = 13
Итак:
r = −(−6) ± √[(−6) 2 − 4(1) (13)] 2(1)
= 6 ± √[36−52] 2
= 6 ± √[−16] 2
= 6 ± 4i 2
= 3 ± 2i
Итак, α = 3 и β = 2
⇒ y = e 3x [Acos(2x) + iBsin(2x)]
Таким образом, в этом случае мы имеем:
y 1 (x) = e 3x cos(2x)
y 1 ‘(x) = e 3x 2x) − 2sin(2x)]
y 2 (x) = e 3x sin(2x)
y 2 ‘(x) = e 3x [3x 2sin(2x) + )]
2.
Найдите вронскиан:
W(y 1 , y 2 ) = y 1 y 2 ‘ − y 2 y 1 ‘
= e 6x cos(2x)[3sin(2x) + 2cos(2×0)6 − 90 2cos(2×0)6 − 90 2x)[3cos(2x) − 2sin(2x)]
= e 6x [3cos(2x)sin(2x) +2cos 2 (2x) − 3sin(2x)cos(2x) + 2sin 2 (2x)]
=2e 6x
3. Найдите частное решение по формуле:0209 (x)f(x) W(y 1 , y 2 ) dx
+ y 2 (x) ∫ Y 1 (x) F (x) W (Y 1 , Y 2 ) DX
4. Solve The Integrals:
∫ ∫
4. Solve. y 2 (x)f(x) W(y 1 , y 2 ) dx
= ∫ e 3x sin(2x)[195cos(4x)] 2e 6x dx
= 195 2 ∫e −3x sin(2x)cos(4x)dx
= 195 4 ∫e −3x [sin(6x)
− sin(2x)]dx .
.. (1)
В этом случае интегрировать пока не будем по причинам, которые стать понятным в одно мгновение.
Другой интеграл:
∫ Y 1 (x) F (x) W (Y 1 , Y 2 ) DX
= ∫ E 3X COS. )[195cos(4x)] 2e 6x dx
= 195 2 ∫e −3x cos(2x)cos(4x)dx
= 195 4 ∫e −3x [ + cos(2x)]dx … (2)
Из уравнений (1) и (2) видно, что существует четыре очень похожих
integrations that we need to perform:
I 1 = ∫e −3x sin(6x)dx
I 2 = ∫e −3x sin(2x)dx
I 3 = ∫e −3x cos(6x)dx
I 4 = ∫e −3x cos(2x)dx
Каждый из них можно получить, дважды используя Интегрирование по частям, но есть способ проще:
I 1 = ∫e −3x sin(6x)dx = − 1 6 e −3x cos(6x) − 3 6 ∫e −3x cos(6x)dx = − 1 6 e −3x cos(6x) − 1 2 I 3
⇒ 2 I 1 + I 3 = − 1 3e 2 −63x cos
.
.. (3)
I 2 = ∫e −3x sin(2x)dx = − 1 2 e −3x cos(2x) − 3 2∫e −3x cos(2x)dx = − 1 2e −3x cos(2x) − 3 2 I 4
⇒ 2 I 2 + 3 I 4 = − e −3x cos(2x) … (4)
I 3 = ∫e −3x cos(6x)dx
= 1 6 e −3x sin(6x)
+ 3 6 ∫e −3x sin(6x)dx
= 1 6 e −3x sin(6x)
+ 1 2 I 1
⇒ 2 I 3 − I 1 = 1 3e −3x sin(6x)
… (5)
I 4 = ∫e −3x cos(2x)dx
= 1 2 e −3x sin(2x)
+ 3 2∫e −3x sin(2x)dx
= 1 2e −3x sin(2x) + 3 2 I 2
⇒ 2 I −4
3 I 2 = e −3x sin(2x)
.
.. (6)
Решить уравнения (3) и (5) одновременно: … (3)
2 I 3 − I 1 = 1 3e −3x sin(6x) … (5)
Умножьте уравнение (5) на 2 и сложите их (слагаемое I 1 нейтрализует):
⇒ 5 I 3 = − 1 3e −3x cos(6x) + 2 3e −3x sin(6x)
= 1 3e (6x) − cos(6x)]
⇒ I 3 = 1 15e −3x [2sin(6x) − cos(6x)]
Умножить уравнение (3) на 2 и вычесть (слагаемое I 3 нейтрализует):
⇒ 5 I 1 = − 2 3e −3x cos(6x) − 1 3e −3x sin(6x)
= − 1 3e −3x [2cos(6x) + sin(6x)]
⇒ I 1 = − 1 15e −3x [2cos(6x) + sin(6x)]
Решить уравнения (4) и (6) одновременно: .
(4)
2 I 4 − 3 I 2 = e −3x sin(2x) … (6)
Умножьте уравнение (4) на 3 и уравнение (6) на 2 и добавьте (слагаемое I 2 нейтрализует ):
⇒ 13 I 4 = − 3e −3x cos(2x) + 2e −3x sin(2x)
=e −3x [2sin(2x) − 3 cos(2x)]
⇒ I 4 = 1 13e −3x [2sin(2x) − 3cos(2x)]
Умножьте уравнение (4) на 2 и уравнение (6) на 3 и вычтите (слагаемое I 4 нейтрализует):
⇒ 13 I 2 = − 2e −3x cos(2x) − 3e −3x sin(2x)
=− e −3x [2cos(2x) + 3 sin(2x)]
⇒ I 2 = − 1 13e −3x [2cos(2x) + 3sin(2x)]
Подставить в (1) и (2):
∫ Y 2 (x) F (x) W (Y 1 , Y 2 ) DX
= 195 4∫E –3x [SIN).
− sin(2x)]dx … (1)
= 195 4[ − 1 15e −3x [2cos(6x) + sin(6x)] − [− 1 13e −3x [2cos(2x) + 3sin(2x)]]]
= e −3x 4[−13(2cos(6x)+sin(6x))+15(2 cos(2x)+3sin(2x))]
∫ Y 1 (x) F (x) W (Y 1 , Y 2 ) DX
= 195 4 ∫E –3X + cos(2x)]dx … (2)
= 195 4[ 1 15e −3x [2sin(6x) − cos(6x)] + 1 13e −3x [2sin(2x) − 3cos(2x)]]
= e −3x 4[13(2sin(6x) − cos(6x)) + 15(2sin(2x) − 3cos(2x))]
Итак, y p (x) = −y 1 (x)∫ y 2 (x)f(x) W(y 1 , y 2 ) dx + y 2 (x) ∫ Y 1 (x) F (x) W (Y 1 , Y 2 ) DX
= – E 3X COS (2X)
= – E 3X COS (2X) 9 = – E 3X COS (2X) .