Найдите интегралы: Интегралы. Пошаговый калькулятор

Содержание

Метод замены переменной в неопределённом интеграле

Во многих случаях подынтегральное выражение не позволяет сразу же найти интеграл по таблице. Тогда введение новой переменной интегрирования помогает свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

Вводится новая переменная, назовём её t. Например,

Далее dx определеяем как дифференциал по переменной t. После этого интеграл можно найти по таблице интегралов. Заменив обратно t на функцию от x, находим данный интеграл окончательно.

Прежде чем перейти к подробным решениям примеров, следует привести теорему, в которой обобщаются перечисленные выше действия.

Теорема.  Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке

Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула

                        (1)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределённом интеграле.

Метод замены переменной обычно применяется, когда подынтегральное выражение представляет собой независимую переменную, умноженную на многочлен от этой переменной, или на тригонометрическую функцию от этой переменной или на степенную функцию (в том числе корень) от этой переменной.

Надо полагать, вы уже держите перед собой домашние задания и готовы применять к ним приёмы по аналогии с теми, которые мы ниже рассмотрим. При этом не обойтись без преобразований выражений. Для этого потребуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Пример 1.  Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

Решение. Производим замену x − 1 = t; тогда x = t + 1. Отсюда dx = dt. По формуле (1)

Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.


Замечание. При замене переменной в неопределённом интеграле иногда более удобно задавать не х как функцию t, а, наоборот, задавать t как функцию от x.

Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет известные трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать

табличные интегралы.

Пример 2.  Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Решение. Положим . Отсюда
.
По формуле (1)

.

Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Если трудно уследить, куда в процессе решения примера 2 делись и , это признак того, что нужно повторить действия со степенями из элементарной (школьной) математики.

Пример 3.  Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Решение. Положим , откуда и .

Тогда , в свою очередь .

Заменяем переменную и получаем:

,

где степени при t складываются. Продолжаем преобразования и получаем:

Приводим дроби к общему знаменателю и возвращаемся к переменной x. Решаем и получаем ответ:

Пример 7.  Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Решение. Положим , откуда , , .

Тогда

(не забываем о правиле дифференцирования сложной функции).

Заменяем переменную и получаем:

.

Возвращаясь к переменной х, получаем ответ:

.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 8.  Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Решение. Положим , откуда , .

Заменяем переменную и получаем:

Подставляя вместо t его выражение через x получаем ответ:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Кому лишь смутно понятно или совсем не понятно, как преобразуются выражения в примере 5, пожалуйста, повторите из курса элементарной (школьной) математики действия с корнями, степенями и дробями!

И если вы ещё не открыли в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями, то сделайте это сейчас!

Пример 9.  Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Решение. Положим , тогда
.

Заменяем переменную и получаем:

Решение с переменной t получено с использованием формулы 21 из таблицы интегралов.

Подставляя вместо t его выражение через x получаем ответ:

.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Начало темы “Интеграл”

Продолжение темы “Интеграл”

Поделиться с друзьями

1. Найдите интегралы, применив теорему о независимости вида формулы интегрирования от характера переменной интегрирования. 2. Найдите интегралы, используя формулу интегрирования по частям.3. Найдите интегралы от рациональных дробей.

2014

Важно! При покупке готовой работы
сообщайте Администратору код работы:

033-10-14




Соглашение

* Готовая работа (дипломная, контрольная, курсовая, реферат, отчет по практике) – это выполненная ранее на заказ для другого студента и успешно защищенная работа. Как правило, в нее внесены все необходимые коррективы.
* В разделе “Готовые Работы” размещены только работы, сделанные нашими Авторами.
* Всем нашим Клиентам работы выдаются в электронном варианте.

* Работы, купленные в этом разделе, не дорабатываются и деньги за них не возвращаются.
* Работа продается целиком; отдельные задачи или главы из работы не вычленяются.

С условиями соглашения согласен (согласна)

Цена: 1500 р. Купить эту работу

Скачать методичку, по которой делалось это задание (0 кб)

Содержание

Интегральное исчисление
Файл «mu» ,   Вариант -16
ИЗД 1. Тема: «Неопределенный интеграл» стр.36
Стр.43 Методические указания к решению, Стр.46 Образец выполнения.
ИЗД 2. Тема: «Определённый интеграл» стр.79

Стр.84 Методические указания, Стр. 85 Образец выполнения
ИЗД 3. Тема: «Кратные интегралы» стр.118
Стр.124 Методические указания и образец выполнения
ИЗД 4. Тема: « Элементы векторного анализа» стр.152
Стр.157 Методические указания и образец выполнения

Вариант №16

 

Контрольная работа №1

 

1. Найдите интегралы, применив теорему о независимости вида формулы интегрирования от характера переменной интегрирования: см. методичку

2. Найдите интегралы, используя формулу интегрирования по частям:

2.1. см. методичку

 

3.

Найдите интегралы от рациональных дробей:

3.1.   

4. Найдите интегралы от тригонометрических функций:

5. Найдите интегралы от иррациональных функций:

6. Найдите интегралы, используя различные приёмы интегрирования:

Контрольная работа №2

 

1.     Вычислить определённые интегралы:

2. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций

 

 

3.     Вычислите длины дуг кривых, заданных уравнениями

4. Вычислите объёмы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной графиками функций , 

5.Исследуйте на сходимость несобственные интегралы

Контрольная работа №3

1.Измените порядок интегрирования в двойном интеграле:

2. Перейдите в двойном интеграле  к двукратному и расставьте пределы интегрирования, если область D ограничена линиями

3.  Вычислить двойной интеграл.

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

5.  Найдите массу пластинки, ограниченной линиями  , если плотность её в каждой точке равна 

6. Вычислить тройной интеграл.

7.Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

8. Найти массу тела, ограниченного поверхностями , если плотность его в каждой точке равна .

Контрольная работа №4

        1. Для векторного поля   найти rot a, diva и div(rot a).

2. Найти работу силы  , совершаемую при перемещении материальной точки массой m из точки O(0;1) в точку A(4;-1)по дуге параболы .

3. Вычислить циркуляцию векторного поля  вдоль контура

 в направлении,  соответствующем возрастанию параметра t,   .

4. Вычислить криволинейный интеграл

5.Вычислить с помощью формулы Грина интеграл.

6. Вычислить поток векторного поля a через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя), применив теорему Остроградского-Гаусса:

7.                Вычислить поверхностный интеграл , где S – часть плоскости z =-xy+2, лежащая в первом октанте.

 

 

 



Цена: 1500 р. Купить эту работу

Все темы готовых работ →

Другие готовые работы по теме «математические дисциплины»

Интеграл Эйлера — Пуассона. Подробно о способах вычисления / Хабр

В статье подробно, вплоть до самых мелочей, рассмотрены три способа взятия интеграла Эйлера-Пуассона. В одном из способов выводится вспомогательная формула редукции. Для нахождения некоторых сложных интегралов можно использовать формулы редукции, которые позволяют понизить степень подынтегрального выражения и вычислить соответствующие интегралы за конечное число шагов.

Данный интеграл берется от гауссовой функции:
Здесь есть очень интересный математический способ. Чтобы найти исходный интеграл, сначала ищут квадрат этого интеграла, а потом от результата берут корень. Почему? Да потому что так гораздо проще и безболезненно можно перейти в полярный координаты. Поэтому, рассмотрим квадрат Гауссового интеграла:

Мы видим, что у нас получается двойной интеграл от некоторой функции . В конце этого поверхностного интеграла стоит элемент площади в декартовой системе координат .
Теперь давайте переходить в полярную систему координат:

Тут нужно заметить, что r может изменяться в пределах от 0 до +∞, т.к. x изменялось в таких же пределах. А вот угол φ изменяется от 0 до π/2, что описывают область интегрирования в первой четверти декартовой системы координат. Подставляя в исходный, получим:

В силу симметричности интеграла и положительной области значений подынтегральной функции, можно заключить, что

Давайте поищем ещё какие-нибудь решения? Это ведь интересно! 🙂

Рассмотрим функцию
А теперь вспомним школьную математику и проведем простейшее исследование функции с помощью производных и пределов. Не то, чтобы мы здесь будем считать сложные пределы (ведь в школе их не проходят), а просто порассуждаем что будет с функцией, если её аргумент стремится к нулю или к бесконечности, таким образом прикинем асимптотическое поведение, что в математике всегда очень важно. Это похоже на качественную оценку того, что происходит.

Она ограничена сверху единицей на интервале (-∞;+∞) и нулем на интервале [-1;+∞).

Cделаем следующую замену переменных
И получим:

Ограничим в первом неравенстве изменение (0,1), а во втором — промежутком (0;+∞), возведём оба неравенства в степень n, так как неравенства с положительными членами можно возводить в любую положительную степень. Получим:

Давайте для наглядного доказательства неравенств построим графики при n = 1


Теперь попробуем проинтегрировать неравенства в пределах, которые указаны в соответствующих системах. И сразу объединим всё в одно неравенство:

Опять таки, если посмотреть на графики, то данное неравенство справедливо.

С учетом небольшой замены, легко увидеть, что:

Т.е. в том большом неравенстве в середине у нас интеграл Эйлера-Пуассона, а вот теперь нам нужно найти интегралы, которые стоят на границах данного неравенства.

Найдем интеграл от левой границы:

Для того, чтобы его посчитать и оценить, давайте сначала найдем интеграл общего вида. Сейчас я покажу вам как можно вывести формулу редукции ( в математике под такими формулами подразумевают понижения степени ) для данного интеграла.

Теперь если с помощью формулы редукции рассмотреть тот же интеграл, но с нашими пределами от 0 до π/2, то можно сделать некоторые упрощения:

Как мы видим, понижать можно до бесконечности (зависит от n). Однако, и тут есть одна тонкость. Формула изменяется в зависимости то того, является ли n четным числом или не является.

Для этого рассмотрим два случая.

Где n!! — двойной факториал. Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1, n], имеющих ту же чётность что и n

В силу того, что 2n+1 — нечетное число при любом значении n, получим для левой границы нашего неравенства:


Найдем интеграл от правой границы:

(здесь используем ту же формулу редукции, которую доказали ранее)

После того, как мы оценили левую и правую части неравенства, сделаем некоторые преобразования, чтобы оценить пределы левой и правой частей неравенства при условии, что n стремится к ∞:

Возведем обе части неравенства в квадрат:

Теперь сделаем небольшое лирическое отступление. В 1655 году Джон Валлис (английский математик, один из предшественников математического анализа.) предложил формулу для определения числа π. Дж. Валлис пришёл к ней, вычисляя площадь круга. Это произведение сходится крайне медленно, поэтому для практического вычисления числа π формула Валлиса мало пригодна. Но для оценки нашего выражения она отлично подходит 🙂

Теперь преобразуем наше неравенство так, чтобы мы могли увидеть где подставить формулу Валлиса:

Из формулы Валлиса следует, что и левое, и правое выражение стремятся к π/4 при n → ∞

В силу того, что функция exp[-x²] является четной, мы смело полагаем, что

Впервые одномерный гауссов интеграл вычислен в 1729 году Эйлером, затем Пуассон нашел простой приём его вычисления. В связи с этим он получил название интеграла Эйлера — Пуассона.

Давайте еще попробуем вычислить Гауссов интеграл. Его можно написать в разных видах. Ведь ничего не меняет изменение название переменной, по которой идет интегрирование.

Можно перейти от трехмерных декартовых к сферическим координатам и рассмотреть куб интеграла Гаусса.

Якобиан этого преобразования можно посчитать следующим образом:

Посчитаем интегралы последовательно, начиная с внутреннего.

Тогда в результате получим:

Интеграл Эйлера-Пуассона часто применяется в теории вероятностей.

Надеюсь, что для кого-нибудь статья будет полезной и поможет разобраться в некоторых математических приемах 🙂

Чему равен f (x)? – Magoosh Blog

Интеграция, наряду с дифференцированием, является одной из двух основных операций в исчислении. Если дифференциация – это инструмент, который позволяет нам исследовать темпы изменений, интеграл – это инструмент, который позволяет нам складывать бесконечно малые части целого.

Подробнее об интеграции

Лучше всего изучить интеграцию на примере. Представьте, что у нас есть неправильная форма, площадь которой мы хотим найти. Если мы разделим фигуру на правильные прямоугольники, мы сможем сложить площади всех прямоугольников и найти приблизительную площадь всей фигуры.

Если мы теперь возьмем эти прямоугольники и сделаем их все тоньше и тоньше, наше приближение к площади целого станет все более и более точным. В конце концов, когда прямоугольники стали бесконечно маленькими (а вместе с тем и их бесконечное количество), мы могли бы прекрасно найти площадь исходной формы. Это то, что позволяет нам делать инструмент интеграции. Поэтому он используется для поиска таких понятий, как смещение, площадь и объем.

Интеграция очень тесно связана с дифференцированием через Фундаментальную теорему исчисления.(Об этом скоро пойдет речь в отдельной статье). В простейшей форме операция интегрирования противоположна дифференцированию. Поэтому он впервые вводится в классы исчисления в форме первообразной.

Что такое первообразная?

Первообразная функции – это новая функция, производная которой возвращает нас к исходной функции. Например, если у нас есть функция f (x) = 3x 2 , первообразная будет F (x) = x 3 + c (где c – константа), потому что производная F (x) приносит вернемся к нашей исходной функции.Это также известно как неопределенный интеграл.

Обозначения для неопределенных интегралов следующие:

Например:

Мы должны заметить, что в конце нашей интеграции есть небольшой «dx». Это означает, что мы берем наш интеграл «по x». Это тот же самый dx, который мы видим в верхней части обозначения дифференцирования. Когда мы изучаем исчисление с несколькими переменными, это станет очень важным.

Мы также должны заметить c в конце F (x).Это представляет собой константу. Мы должны указать это здесь, потому что без внешней информации мы не знаем, что это за константа. Когда мы берем производную от F (x), неважно, что такое c, она исчезнет.

Наряду с неопределенным интегралом существует еще и определенный интеграл.

Что такое определенный интеграл?

Определенный интеграл в двух измерениях дает площадь, которая существует под кривой между двумя конечными точками.

Например, возьмем функцию f (x) = -x 2 +10 и конечные точки [-2, 2].Площадь под этой кривой можно найти с помощью неопределенного интеграла.

Integration – очень мощный инструмент, позволяющий решать широкий спектр задач. Вернитесь в ближайшее время, чтобы увидеть сообщения в нашем блоге о том, как определять различные интегралы, как использовать наш калькулятор для решения задач интеграции, а также о практических задачах интегралов AP.

Гарантированно повысьте свой результат по SAT или ACT. Начните 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh SAT Prep или 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh ACT Prep уже сегодня!

  • Захари – бывший инженер-механик, учитель физики, математики и информатики в средней школе.Он окончил Университет Макгилла в 2011 году и работал в автомобильной промышленности в Детройте, прежде чем перейти к образованию. Он преподает и занимается репетиторством в течение последних пяти лет, но вы также можете найти его за приключениями, чтением, скалолазанием и путешествиями, когда появляется такая возможность.

    Просмотреть все сообщения

Между прочим, Magoosh может помочь вам подготовиться к экзаменам SAT и ACT.Нажмите сюда, чтобы узнать больше!

Основная теорема исчисления – Использование FTC для оценки интегралов

Использование FTC для оценки интегралов

Если f является производной от F , то мы называем F первообразной от f .

Мы уже знаем, как находить первообразные – мы просто не сказали вам, как они называются. Это как когда ты понимаешь, что означают все неуловимые знаки в фильме М. Найт Шьямалана.Серьезно, как эй. Всякий раз, когда нам дают производную и мы «думаем задом наперед», чтобы найти возможную исходную функцию, мы находим первообразную.

Пример задачи

Пусть f ( x ) = 3 x 2 . Найдите первообразную f .

Ответ

Мы думаем задом наперед: от чего можно взять производную, чтобы получить 3 x 2 ? Эта производная выглядит так, как будто она произошла от правила мощности, поэтому исходная функция должна включать x 3 .Поскольку производная x 3 равна 3 x 2 , функция

F ( x ) = x 3

является производной f ( x ) = 3 x 2 .

Любая другая первообразная 3 x 2 будет иметь вид x 3 + C , где C – константа. Обычно мы берем C = 0.Для FTC не имеет значения, какое первообразное мы используем, поэтому мы можем использовать самый простой.

Эти упражнения должны быть в основном повторными, и они помогут вам вспомнить, как работает обратное мышление. Возможно, вы захотите сначала ознакомиться с правилами использования деривативов.

Чтобы проверить ответ для такого рода задач, возьмите производную от вашего ответа. Если вы возьмете производную от вашего ответа F и получите f , указанное в задаче, то F является первообразной f , и вы правильно решили задачу.Кругом золотые звезды.

Теперь, когда мы знаем, что такое первообразные, мы можем использовать их вместе с FTC для вычисления некоторых интегралов, которые мы не знали, как вычислять раньше. FTC говорит, что если f является непрерывным на [ a , b ] и является производной от F , то

Это означает, что если мы хотим знать, мы

1) находим первообразную F из f ,

2) оценить F в пределах интегрирования и

3) вычесть F ( b ) – F ( a ).

При вычислении определенных интегралов на практике вы можете использовать свой калькулятор для проверки ответов. Если вы не знаете, как использовать калькулятор для поиска интегралов, вы можете посмотреть руководство, поискать в Интернете, спросить друга или своего учителя. Но практикуется делать интегралы вручную , пока они не станут настолько простыми, что вы больше не будете возражать.

Вот несколько причин попрактиковаться в составлении интегралов вручную.

1) В какой-то момент вам, вероятно, придется пройти тест на интеграцию, не имея возможности иметь калькулятор.Кто-нибудь в среднесрочной перспективе?

2) Даже если у вас есть калькулятор, ваш учитель, вероятно, захочет увидеть шаги, которые вы предприняли, чтобы получить свой ответ.

3) Если вас попросят интегрировать что-то, в котором используются буквы вместо цифр, калькулятор не поможет (некоторые из более изящных калькуляторов помогут, но увидят первые два пункта).

4) Позже в исчислении вы начнете сталкиваться с проблемами, которые ожидают, что вы сначала найдете интеграл, а затем сделаете с ним другие вещи. Иногда бывает проще найти интеграл вручную, чем отвлечься, вводя интеграл в свой калькулятор.

Прежде чем просить вас найти слишком много определенных интегралов, мы должны поделиться красивой нотацией. Для сокращения

F ( b ) – F ( a ),

напишите

Это выражение читается как « F из x , оцененное от a до b . ”

Используя этот ярлык, наша работа по поиску будет выглядеть так:

Это хороший ярлык, потому что он избавляет нас от необходимости возиться с такими буквами, как f и F .Мы только что нашли первообразную

x 3

заключили ее в скобки

[ x 3 ]

нарисовали вертикальную линию справа

и написали пределы интеграция

Затем разверните ярлык

[(2) 3 ] – [(0) 3 ]

и упростите, чтобы получить ответ.

Помните, что когда мы расширяем ярлык, мы сначала используем верхний предел интеграции:

  • Интеграция с использованием писем

    Нет, мы не говорим о обычной почте.

    Если у нас есть константа вместо числа для предела интегрирования, мало что изменится. Мы применяем FTC и пишем константу вместо числа там, где это уместно.

    Пример задачи

    Если c – константа больше 0, найти.

    Ответ.

    Мы применяем FTC, как всегда, но используем c для верхнего предела интегрирования вместо числа.

    Теперь мы можем ответить на такие вопросы:

    Пример задачи

    Если, то что такое c ?

    Ответ.

    Мы только что вычислили, что

    Итак, если интеграл равен 2, это означает

    Решая, мы получаем

    c 3 = 6

    Когда есть константа в интегрировать, вы должны принять это во внимание при поиске первообразной. Если в подынтегральном выражении есть константа, эта константа также будет отображаться в первообразной.

    Предупреждение: когда в подынтегральном выражении есть константы, можно легко запутаться, когда придет время выйти за пределы интегрирования.Они подключаются к и или x ? Ответ заключается в том, что пределы интеграции включаются в переменную интеграции. В этом примере пределы интегрирования (1 и 5) вошли в переменную интегрирования x , а не в константу a .

    Будьте осторожны: Включите пределы интеграции в переменную интеграции. Если в подынтегральном выражении есть константы, оставьте их в покое. НЕ ограничивайте интеграцию никакими константами.

  • Порядок пределов интеграции

    Интегралы любят время от времени менять свою позицию. Серьезно, иногда они такие же плохие, как политики. Иногда вы думаете, что они остались, иногда вы думаете, что они правы, иногда верхний предел меньше нижнего предела …

    Когда мы первоначально заявили FTC, мы сказали, что если f постоянно на [ a , b ], затем

    , где F ‘= f .

    Мы все еще можем вычислять интегралы таким образом, если верхний предел интегрирования меньше нижнего предела.

    Предположим, что это так, поэтому b < a . По свойствам интегралов,

    Так как b < a мы можем использовать FTC, чтобы сказать

    Затем

    На практике это означает, что вы можете оценивать интегралы, не беспокоясь о том, какой предел интеграции больше . Однако подынтегральное выражение должно быть непрерывным на интервале между пределами интегрирования.

  • Почему выбор первообразной не имеет значения

    Некоторые говорят po-TAY-to, некоторые говорят po-TAH-to. Некоторые говорят “МАЙ-К”, некоторые – “МАЙ-К”. Некоторые предпочитают не включать константу при поиске первообразной. Некоторые включают константу. Вот почему не имеет значения, что мы делаем с константой.

    Пример задачи

    Найти.

    Самая простая первообразная 4 x 3 x 4 . Используя FTC с этой первообразной, мы получаем

    Теперь давайте попробуем FTC с другой первообразной.Как насчет x 4 + 3?

    Обратите внимание, как лишние “+ 3” компенсировали друг друга, и мы снова получили 15. Если бы мы использовали какую-нибудь другую первообразную 4 x 3 , то случилось бы то же самое.

    Мораль этой истории заключается в том, что при оценке определенного интеграла с помощью FTC, независимо от того, какую первообразную вы используете, вы должны каждый раз получать один и тот же ответ. Поскольку не имеет значения, какое первообразное вы используете, вы также можете использовать самый простой.

  • Средние значения

    Среднее значение функции f на интервале [ a , b ] представляет собой интеграл функции на этом интервале, деленный на длину интервала. Поскольку теперь мы знаем, как найти точные значения множества определенных интегралов, мы также можем найти множество точных средних значений. Какое среднее значение «пятерки» в классе математического анализа? Вы нам скажите.

    Пример задачи

    Найдите среднее значение f ( x ) = sin x на интервале.

    Ответ.

    Среднее значение f ( x ) = sin x на этом интервале составляет

    Поскольку мы знаем, как вычислить интеграл, мы знаем, как найти среднее значение. Сначала давайте упростим это перед интегралом:

    Теперь мы можем переписать среднее значение, чтобы оно было немного более аккуратным.

    Заманчиво уйти и вычислить интеграл в углу вашей статьи, а затем вернуться и умножить на в конце.К сожалению, это опасно. После разработки длинного интеграла очень легко забыть вернуться и сделать последний шаг. Не делай этого.

Уловки интеграции | Блестящая вики по математике и науке

Интегрирование по частям дает возможность напрямую изменить подынтегральное выражение, и, как и исследование обратных функций, это геометрическое выражение. Однако это утверждение о геометрии операторов исчисления, и любая его визуализация лежала бы в совершенно другом пространстве.Однако может применяться та же интуиция. Интеграция по частям – очень мощный инструмент, и многие проблемы на этой странице могут быть решены этим (и другими элементарными методами) без необходимости чего-либо более сложного.

Интегрирование по частям утверждает, что для любых дифференцируемых функций u (x) u (x) u (x) и v (x) v (x) v (x) имеет место следующая эквивалентность:

∫u (x) v ′ (x) dx = u (x) v (x) −∫v (x) u ′ (x) dx. \ int u (x) v ‘(x) \, dx = u (x) v (x) – \ int v (x) u’ (x) \, dx. ∫u (x) v ′ (x) dx = u (x) v (x) −∫v (x) u ′ (x) dx.{n + 1} \ right) \, dx \\ & = \ frac {m} {n + 1} B (m-1, \, n + 1). \ end {align} B (m, n) = ∫01 xm (1 − x) ndx = 0 − n + 1m ∫01 xm − 1⋅ (- (1 − x) n + 1) dx = n + 1m B (m − 1, n + 1). Таким образом, B (m, n) = mn + 1⋅m − 1n + 2 ⋯ 1n + mB (0, n + m) = m! n! (m + n + 1) !. B (m, \, n) = \ frac {m} {n + 1} \ cdot \ frac {m-1} {n + 2} \ cdots \ frac {1} { п + т} В (0, п + т) = \ гидроразрыва {м! n!} {(m + n + 1)!}. B (m, n) = n + 1m ⋅n + 2m − 1 ⋯ n + m1 B (0, n + m) = (m + n +1)! М! П!. □ _ \ квадрат □

Узнайте больше о бета-функции (с правильно смещенными индексами) здесь.

Отправьте свой ответ

∫01 (1 − x2) 9×9 dx \ int_0 ^ 1 \ left (1-x ^ 2 \ right) ^ 9 x ^ 9 \, dx ∫01 (1 − x2) 9x9dx

Пусть III обозначает значение интеграла выше.{-1}? I-1?

Определенные интегралы

Определенные интегралы

Определенные интегралы

Предположим, вам нужно рассчитать скорость теплового потока через окно. Поток зависит от многих факторов. Окно – одно из них. Как делать вы нашли эту область?

Для прямоугольной вдовы вы просто умножаете ширину окна на высота окна.
Напишем это в несколько неудобной форме.
Пусть ось x будет горизонтальной осью, а ось y – вертикальной осью.
Пусть левый угол окна равен x 1 , а правый угол – x 2 .
Ширина окна ∆x = x 2 – x 1 .
Пусть высота окна y = f (x) = h.
Тогда площадь окна будет A = f (x) ∆x = h (x 2 – x 1 ).

Теперь предположим, что окно не прямоугольное, а имеет параболическую форму. Основание окна по-прежнему простирается от x 1 до x 2 . Но для высоты y имеем

y = f (x) = (4h / ∆x 2 ) [- x 2 + (2x 1 + ∆x) x – x 1 (x 1 + ∆x)].

Это уравнение параболы, которая пересекает ось x в точке x 1 и x 1 + ∆x и имеет высоту h.

Как определить площадь этого окна?
Давайте найдем приблизительную площадь, разделив область между x 1 и x 2 на N равных интервалов ∆x i , i = от 1 до N.
Если N достаточно велико и, следовательно, ∆x i достаточно мало, площадь окно над j-м интервалом ∆x j очень близко к области прямоугольник f (x j ) ∆x j .
Затем мы можем найти площадь вдовы, суммируя площади всех маленьких прямоугольников.

A = ∑ 1 N f (x i ) ∆x i .

Сумма по всем i, от 1 до N.

Мы можем сделать это, например, с помощью электронной таблицы.Чем меньше мы делаем ∆x i , тем ближе наша расчетная площадь приближается к истинная площадь окна. Полагая ∆x i -> 0, преобразуем сумму в определенный интеграл .
Обозначение: lim ∆xi -> 0 x1 x2 f (x i ) ∆x i = ∫ x1 x2 f (x) dx. Здесь dx обозначает бесконечно малый интервал.

Определенный интеграл представляет собой площадь под кривой. f (x) от некоторой начальной позиции x i до некоторой конечной позиции x f .

Области выше оси x являются положительными, а области ниже оси x – отрицательными.

Электронная таблица (или другие компьютерные программы) может использоваться для оценки определенного интеграл численно , преобразовав его в сумму по большому количеству очень небольшие интервалы. Вычисление определенного интеграла аналитически (если возможно) – более быстрый способ поиск области под кривой.


Для многих общих функций f (x) вы можете найти формулу ∫f (x) dx в таблице интегралы или онлайн.
Например, если f (x) = c * x n , где c – константа, а n – любое число, не равно -1, то

∫f (x) dx = ∫c * x n dx = F (x) = c * x n + 1 / (n + 1).

Определенный интеграл ∫ x1 x2 f (x) dx определяется как оценка F (x) в пределах интегрирования.
x1 x2 f (x) dx = F (x) | x1 x2 = F (x 2 ) – F ( х 1 ).
Например ∫ x1 x2 c * x n dx = c * x 2 n + 1 / (n + 1) – c * x 1 n + 1 / (n + 1).


Определение площади нашего окна с помощью

f (x) = (4h / ∆x 2 ) [- x 2 + (2x 1 + ∆x) x – x 1 (x 1 + ∆x)],

интегрируем f (x) от x 1 до x 2 = x 1 + ∆x.

∫f (x) dx = (4h / ∆x 2 ) [- ∫x 2 dx + (2x 1 + ∆x) ∫x 1 dx – x 1 (x 1 + ∆x) ∫x 0 dx]
= – (4h / ∆x 2 ) [- x 2 /3 + (2x 1 + ∆x) x 2 /2 – x 1 (x 1 + ∆x) x 1 /1] = F (x)
x1 x2 f (x) dx = F (x 2 ) – F (x 1 ).

Обратите внимание, что вы можете вынести константы за скобки для упрощения записи.

Упростим и выберем x 1 = 0, x 2 = 1 и h = 1. ∆x = 1.
Тогда f (x) = 4 [-x 2 + x], ∫f (x) dx = 4 [-∫x 2 dx + ∫xdx] = 4 [-x 3 /3 + x 2 /2] = F (x)
F (x 2 ) – F (x 1 ) = 4 [-1/3 + 1/2] = 2/3.
Сравните это с результатом численного интегрирования с использованием электронная таблица.


В этом семестре мы встретим только несколько интегралов.
Однажды вы можете встретить

  • ∫x n dx = x n + 1 / (n + 1) n -1,
  • ∫x -1 dx = ln (x),
  • ∫e -ax dx = e -ax / a,
  • ∫sin (x) dx = -cos (x),
  • ∫cos (x) dx = sin (x).

Ресурсы:
Калькулятор определенного интеграла
Онлайн-калькулятор интеграла Wolfram

Интеграция

: площадь и кривые

Интеграция и функция площади

Площадь между графиком функции y = f (x) а ось x, начиная с x = 0, называется функцией площади A (x)

Пример

Найдите площадь под графиком y = 2x между x = 2 и x = 4

Область между 2 и 4 можно описать как область между x = 0 и x = 4 минус область между x = 0 и x = 2 у = 2x

Определенные интегралы

Площадь графика y = f (x) между x = a и x = b равно

Пример

Найдите заштрихованную область как определенный интеграл.

Площадь между кривой и осью Y

Иногда необходимо найти область между функцией и ось ординат.

Это дается как

Не всегда можно выразить функцию y = f (x) через x = f (y).

Также может быть проще вычислить

и вычтите это как составную площадь.

Основная теорема исчисления

Примеры

Оценить

Оценить

Найдите положительное значение z: –

Области, ограниченные графиком и осью абсцисс.

При вычислении площади, заключенной между графиком и осью абсцисс: –

  • Всегда рисовать эскиз
  • Рассчитать площади выше и ниже оси x по отдельности
  • Пропустить отрицательные знаки и добавить.

Пример Вычислите площадь, заключенную на графике y = x + 2 и ось x для -6 ​​≤ x ≤1

График отсекает ось абсцисс в точке (-2, 0)

Площадь ниже оси x =

Площадь над осью абсцисс =

Область между двумя графиками

Область между двумя графиками можно найти путем вычитания область между нижним графиком и осью x от область между верхним графиком и осью абсцисс.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *