Главная
Найдите производную: Дифференцирование функции, заданной неявно

Найдите производную: Дифференцирование функции, заданной неявно

Дифференцирование функции, заданной параметрически

Примеры решенийРанг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса Найти производную Найти интегралРешение СЛАУ методом Крамера Диф уравнения онлайнОпределитель матрицы Точки разрыва функции

Зависимость функции y от аргумента x может осуществляться через посредство третьей переменной t, называемой параметром:
В этом случае говорят, что функция y от x задана параметрически. Параметрическое задание функции удобно тем, что оно дает общую запись для прямой и обратной функций.
Предположим, что на некотором промежутке функции x=φ(t) и y=ψ(t) имеют производные, причем φ’(t)≠0. Кроме того, для x=φ(t) существует обратная функция x-1 = t(x) (производная обратной функции равна обратной величине производной прямой функции).
(2/3)

см. также Производная от неявной функции

Пример 1. Найти производную функции y по x, заданной параметрически:
Решение.

.

Запишем функцию y’x в параметрической форме:
В случае параметрического задания функции первую производную вычисляли по формуле:

(*)

и записывали y’x тоже в параметрической форме:
К ней снова применим формулу (*) (при условии, что производные второго порядка существуют):

.

Результат тоже записываем в параметрической форме и берем третью производную и т.д. Так можно получить производную от
y по x любого порядка.

Пример 2. Найти y’’xx функции
Решение. Найдем y’x по формуле (*): .
Производную y’x запишем в параметрической форме
К этой функции снова применим формулу (*):

.

Пример 3. Для функции найти y’’’xxx.
Решение. тогда и

.

Получаем

Еще раз применяем формулу (*):

.

Если требуется получить зависимость y’’’xxx от x, то выражаем x из соотношения x=e–t и подставляем в y’’’xxx.
Для функций, заданных неявно, производные высших порядков можно находить тем же способом, что и первую производную, так как производная любого порядка сама является функцией, заданной неявно, если ее не разрешать относительно производной предыдущего порядка.
Пример 7. Найти производную первого и второго порядка функции, заданной параметрически:
.
Решение.
;
.
Далее будем искать y’’xx по формуле
.
Отсюда

.

Производную второго порядка также можно было найти по формуле
.

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Частные производные онлайн

Примеры решенийНайти производную Найти интеграл Пределы онлайн Экстремумы функцииИнтервалы возрастания функции Точки перегиба Диф уравнения онлайн Асимптоты функцииГрадиент функции

Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке A(x0,y0) называется предел отношения частного приращения по x функции в точке A к приращению ∆x при стремлении ∆x к нулю.
Частные производные функции z(x,y) находятся по следующим формулам:
Вторые частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:

Смешанные частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:

Назначение сервиса.

(2/3)

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:

  1. Точки разрыва функции

  2. Производная функции:
  3. Найти градиент функции gradu(M0) и du/dl(M0)
  4. Экстремум функции двух переменных
  5. Вычисление интегралов
Частные производные используются, например, при нахождении полного дифференциала и экстремумов функции. Ели одному из аргументов функции z = f(x,y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: Δxz=f(x+Δx,y)-f(x,y) – это частное приращение функции
z по аргументу x; Δyz=f(x,y+Δy)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу у.
Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:
– это частная производная функции z по аргументу x;
– это частная производная функции z по аргументу у.
Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.

Пример 1. z=2x5+3x2y+y2–4x+5y-1

Пример 2. Найти частные производные функции z = f(x;y) в точке A(x0;y0).

Находим частные производные:


Найдем частные производные в точке А(1;1)


Находим вторые частные производные:


Найдем смешанные частные производные:

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.

Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Как найти производную векторной функции — Криста Кинг Математика

Сосредоточьтесь на коэффициентах, чтобы найти производную вектор-функции

Чтобы найти производную вектор-функции, нам просто нужно найти производные коэффициентов, когда вектор-функция имеет вид

???r(t )=r(t)_1\жирный i+r(t)_2\жирный j+r(t)_3\жирный k???

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

С векторной функцией в этой форме производная равна

???r'(t)=r'(t)_1\bold i+r'(t)_2\bold j+r'(t)_3\ смелый к???

Если вектор-функция имеет вид

???r(t)=\left\langle{r(t)_1,r(t)_2,r(t)_3}\right\rangle???

мы можем просто прикрепить каждый из номеров направления к ???\жирный i???, ???\жирный j??? и ???\жирный k??? преобразовать его в форму

???r(t)=r(t)_1\жирный i+r(t)_2\жирный j+r(t)_3\жирный k???

и потом взять производные от коэффициентов. В качестве альтернативы, мы можем просто взять производные каждого числа направления, оставив функцию в ее первоначальном виде. Обязательно дайте ответ, соответствующий форме исходной векторной функции. Другими словами,

Учитывая???r(t)=r(t)_1\bold i+r(t)_2\bold j+r(t)_3\bold k???, ответ должен быть ? ??r'(t)=r'(t)_1\жирный i+r'(t)_2\жирный j+r'(t)_3\жирный k???

Учитывая ???r(t)=\left\langle{r(t)_1,r(t)_2,r(t)_3}\right\rangle???, ответ должен быть ???r (t)=\left\langle{r'(t)_1,r'(t)_2,r'(t)_3}\right\rangle???

Как найти производную векторной функции

Пройти курс

Хотите узнать больше об исчислении 3? У меня есть пошаговый курс для этого.

🙂

Еще один пошаговый пример, как взять производную вектор-функции

Пример

Найти производную вектор-функции. 93\cos{(4t)}}\rangle???

Получить доступ к полному курсу Calculus 3

Learn mathКриста Кинг

математика, выучить онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 3, исчисление iii, вычисление 3, вычисление iii, векторное исчисление, векторные функции, производная векторной функции, производная векторной функции, производные векторов, векторных производных

0 лайков

Расчет производных – Matheno.com | Матено.com 9x$] [Триггерные производные] [Правило произведения] [Частное правило] [Правило цепочки]

Обновление: По состоянию на октябрь 2022 г. у нас есть гораздо более полных материалов, которые помогут вам узнать и попрактиковаться в вычислении производных. Пожалуйста, посетите нашу главу «Вычисление производных», чтобы получить этот материал для себя. Все это бесплатно и предназначено для того, чтобы помочь вам преуспеть в вашем курсе.

Если вам сейчас просто нужно попрактиковаться в вычислении производных задач, предыдущие ученики сочли нижеприведенную информацию очень полезной. А если у вас есть вопросы, задавайте их на нашем форуме! 92\right) + \dfrac{d}{dx}(\cos x) = \, …$

Правило произведения для производных

\begin{align*}
\dfrac{d}{dx}(fg)& = \left(\dfrac{d}{dx}f \right)g + f\left(\dfrac{d}{dx}g \right)\\[8px]
&= \Big[\text{ (производное 1-го) } \times \text{ (2-го) }\Big] + \Big[\text{ (1-го) } \times \text{ (производного 2-го)}\Big]
\end{align *}

IV. Частное правило для производных

\begin{align*}
\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f}{g} \right) &= \dfrac{\left(\dfrac{d}{dx }f \right)g – f\left(\dfrac{d}{dx}g \right)}{g^2} \\[8px]
&=\dfrac{{\Big[\text{(производная числителя) } \times \text{ (знаменатель)}\Big] – \Big[\text{ (числитель) } \times \text{ (производная знаменатель)}}\Big]}{\text{все разделить на [знаменатель в квадрате]}}
\end{align*}

Многие студенты помнят правило частного, думая о числителе как о «привет», демонинаторе как «ло», производное как «д», а затем пение

«ло д-привет минус привет д-ло над ло-ло»

[свернуть]


Чтобы получить доступ к большему количеству проблем и решений, включая AP- создавайте вопросы с несколькими вариантами ответов, бесплатно войдите в свою учетную запись Google, Apple или Facebook или создайте специальный Matheno за 60 секунд. Вы также сможете отметить задачи 9{46}.$

Два конкретных случая, которые вы быстро запомните:
$$\dfrac{d}{dx}\text{(константа)} = 0$$
$$\dfrac{d}{dx}( x) = 1$$

Задача дифференцирования по степенному правилу #1


Дифференцировать $f(x) = 2\pi$.

Нажмите, чтобы просмотреть решение исчисления


$2\pi$ — это просто число: это константа. И производная любой константы равна 0:
\[ \begin{align*}
\dfrac{d}{dx}(2\pi) &= \dfrac{d}{dx}(\text{constant}) \ \[8px]
&= 0 \quad \cmark 9{x+1} \quad \cmark
\end{align*} \]
Обратите внимание, что последние две строки полностью эквивалентны. Любой правильный ответ.

[свернуть]


Чтобы получить доступ к другим проблемам и решениям, включая вопросы с несколькими вариантами ответов в стиле AP, бесплатно войдите в свою учетную запись Google, Apple или Facebook или создайте специальный Matheno за 60 секунд. Вы также сможете отмечать задачи , которые вы хотите обязательно просмотреть перед экзаменами. Просто используйте область входа в систему в нижней части этого экрана. 92 x
\end{align*}} \]
Обратите внимание, что перед производными кофункций: косинуса, косеканса и котангенса стоит отрицательный знак.

Запустить задачу дифференцирования #1


Дифференцировать $f(x) = \sin x – \cos x$.

Нажмите, чтобы просмотреть расчетное решение


Напомним из таблицы, что $\dfrac{d}{dx}(\sin x) = \cos x,$ и $\dfrac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x.$
\[ \begin{align*}
\dfrac{d}{dx} \left(\sin x – \cos x \right) &= \dfrac{d}{dx}(\ sin x) – \dfrac{d}{dx}(\cos x) \\[8px] 92 x \quad \cmark
\end{align*} \]

[свернуть]


IV. Правило продукта


\[\bbox[yellow,5px]{
\begin{align*}
\dfrac{d}{dx}(fg)&= \left(\dfrac{d}{dx}f \right )g + f\left(\dfrac{d}{dx}g \right)\\[8px]
&= [{\small\text{(производное первого)} \times\text{(второе) }}]\, + \,[{\small \text{ (1-й) } \times \text{ (производный от 2-го)}}]
\end{align*}}\]

Дифференциация правила продукта Проблема №1


Дифференцировать $f(x) = x\sin x. $

Щелкните, чтобы посмотреть расчетное решение


Поскольку функция является произведением двух отдельных функций, $x$ и $\sin x$, мы должны использовать Правило продукта. Напомним, что $\dfrac{d}{dx}x = 1,$ и что $\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x.$
\[ \begin{align*}
\dfrac{d }{dx} \left( x\sin x\right)&= \left(\dfrac{d}{dx}x\right)\sin x + x \left( \dfrac{d}{dx}\sin x \right) \\[8px]
&= (1)\sin x + x \,(\cos x) \\[8px]
&= \sin x + x\cos x \quad \cmark 92} \\[8px]
&=\dfrac{{[{\small \text{(производная числителя) } \times \text{ (знаменатель)}]}\\ \quad – \, [{\ small \text{ (числитель) } \times \text{ (производная от знаменателя)}}]}}{{\small \text{все разделить на [знаменатель в квадрате]}}}
\end{align* }}\]
Многие учащиеся запоминают правило частных, представляя числитель как «привет», демонинатор как «ло», производную как «д», а затем напевая

«ло д-при минус привет д-ло». 2 x$$ 92} \quad \cmark
\end{align*} \]

[свернуть]




VI. Цепное правило


Цепное правило — большая тема, поэтому у нас есть отдельная страница для задач, требующих цепного правила.


Нужно использовать производную, чтобы найти уравнение касательной (или уравнение нормальной линии)? У нас есть отдельная страница на эту тему здесь.

У вас есть вопрос, предложение или пункт, который вы хотели бы, чтобы мы включили? Пожалуйста, дайте нам знать на нашем форуме!


Хотите получить доступ к всем нашим задачам и решениям исчисления? Войдите бесплатно с помощью своей учетной записи Google, Facebook или Apple или с помощью специальной учетной записи Matheno (которую вы можете создать за 60 секунд). Затем посетите наш главный экран исчисления.

Оставить комментарий