Найдите производную функцию: Дифференцирование функции, заданной неявно

Найти производную функцию у = f(x) с примерами решения и ответами

Содержание:

1. Примеры с решением
2. Логарифмическая производная
3. Геометрические приложения производной
4. Производная показательно-степенной функции
5. Производная функции, заданной параметрически
6. Производная неявной функции

Производная элементарной функции. Напомним, что элементарной называется функция , которую можно задать одним аналитическим выражением, составленным из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления) и операций взятия функции от функции (сложная функция), последовательно примененных конечное число раз.

На основании знания таблицы производных основных элементарных функций и правил дифференцирования можно взять производную от любой элементарной функции, какой бы сложной она не была. И эта производная также будет элементарной функцией.

Примеры с решением

Пример 15.3.

Найти производную функции

Решение:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Пример 14.1.

.

Решение:

Пример 14.2.

Решение:

Находить так производные — долго и сложно. Поэтому при практическом дифференцировании будем пользоваться формулами, полученными в лекциях. Решим так несколько примеров, на основе формулы (14.7) дифференцирования степени.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Исследование графика функции

Сумма ряда

Уравнение прямой

Уравнение прямой через две точки

Пример 14.

3.

Решение:

Пример 14.4.

Решение:

Пример 14.5. Решение:

Пример 14.6.

Решение:

Логарифмическая производная

Производная функции, заданной параметрически.

Производная неявной функции. Геометрические приложения производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Угол между двумя кривыми.

В этой лекции мы прежде всего рассмотрим некоторые дополнения к дифференцированию функций, а затем приложения понятия производной к геометрическим и физическим задачам.

Пусть дана некоторая дифференцируемая функция . Прологарифмируем обе части этого выражения:

А теперь продифференцируем его пo , помня, что :

откуда

Определение 16.1.

Операция, состоящая в последовательном применении к равенству сначала логарифмирования, а затем дифференцирования, называется логарифмическим дифференцированием, а производная, определяемая по формуле (16. 1) — логарифмической производной.

С помощью логарифмического дифференцирования мы легко можем вывести формулу (14.7), которая ранее была дана без вывода:

Из полученного уравнения находим:

Геометрические приложения производной

Они основаны на ее геометрическом смысле, установленном нами в лекции 14.

Получим на основании этого уравнение касательной к кривой в точке (рис. 97).

Уравнение любой прямой , проходящей через данную точку с заданным коэффициентом получено в лекции 3: . Для касательной к графику функции в точке как мы установили в лекции 14, угловой коэффициент . Тогда и уравнение искомой касательной будет:

Как известно, если прямые и перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением . Тогда если угловой коэффициент нормали в точке к графику функции обозначить , то он будет равен следовательно, уравнение нормали в точке к графику функции примет вид:

Определим теперь угол между двумя кривыми и в точке их пересечения (рис. 98). Очевидно, что этот угол равен углу между касательными и к кривым и , проведенным в точке их пересечения .

Очевидно, что . Откуда

Следовательно,

Пример 16.5.

Найти уравнения касательной и нормали к параболе в точке

Решение:

По (16.3) и (16.4) имеем уравнение искомой касательной :

и нормали N:

Пример 16.6.

Найти угол , под которым пересекаются параболы и . Решение:

Найдем точки пересечения кривых и . Для этого решим систему:

Таким образом, параболы пересекаются в двух точках: и (рис. 99)

По формуле (16.5) находим углы.

В точке :

В точке :

В первом случае угол получился отрицательным, так как кривая при расположена выше .

Производная показательно-степенной функции

Пусть и — дифференцируемые функции. Тогда функция называется показательно-степенной. Ее производная может быть найдена также с помощью логарифмического дифференцирования:

Пример 16.

1.

Найти производную функции

Решение:

Логарифмическое дифференцирование также удобно использовать, когда функция задается в виде произведения и частного нескольких степенных выражений.

Пример 16.2.

Найти производную функции

Решение:

Вычислить производную заданной функции, непосредственно как частного, оказалось бы значительно сложнее.

Производная функции, заданной параметрически

Параметрическое задание функции и примеры такого задания приводились нами в лекции 3. Напомним, что функция задается параметрически, если она определяется через параметр по закону:

Будем считать и дифференцируемыми функциями параметра и, следовательно, непрерывными. Отсюда следует, что если , то и .

Найдем

Таким образом, производная функции, заданной параметрически, определяется формулой:

Пример 16.3.

Найти производную функции

график которой называется циклоидой (рис. 27).

Решение:

По формуле (16.2):

Производная неявной функции

Напомним, что функция называется неявной, неявно-заданной, если она определяется выражением . В каждом конкретном случае, продифференцировав такое выражение по , считая у функцией , получим линейное уравнение для производной , из которого ее и определим.

Пример 16.4.

Найти производную функции, заданной неявно

Решение:

В нашем примере в другой точке пересечения при , расположена выше .

Пример 16.6.

Составьте уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .

Решение:

В точке находим значения функции и ее производной:

Подставим теперь , и в уравнения касательной (16.3) и нормали (16.4):

уравнение касательной:

уравнение нормали:

Пример 16.7.

Составьте уравнения касательной и нормали к кривой, заданной параметрическими уравнениями

в точке со значением параметра .

Решение:

В точке, где находим значения и производной:

Следовательно, уравнения искомых кривых будут:

уравнение касательной:

уравнение нормали:

Пример 16.8.

Найти угол пересечения кривых и на отрезке .

Решение:

Находим точку пересечения кривых:

По формуле 16.5:

№ 28.10 ГДЗ Алгебра 10-11 класс Мордкович. Помогите найти производную функции – Рамблер/класс

№ 28.10 ГДЗ Алгебра 10-11 класс Мордкович. Помогите найти производную функции – Рамблер/класс

Интересные вопросы

Школа

Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?

Новости

Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?

Школа

Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?

Школа

Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?

Новости

Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?

Вузы

Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания “Останкино”?

Найдите производную функции:
а) у = х² – 7х;                                 
б) у = √х – 9х² ;      
в) у = 7х² + 3х;                                      
г) у = √х – 5х².

ответы

Лови решение

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия  пользовательского соглашения

похожие темы

Юмор

Олимпиады

ЕГЭ

9 класс

похожие вопросы 5

Домашняя контрольная работа № 3 Вариант 2 10. При каких значениях р уравнение… Мордкович 8 класс алгебра

10. При каких значениях р уравнение  -х 2 + 6х – 2 = р:
а)    не имеет корней;
б)    имеет один корень; (Подробнее…)

ГДЗМордкович А.Г.Алгебра8 класс

Когда скорость изменения функции будет наибольшей или наименьшей? Алгебра 10-11 класс Колмогоров Упр 308

 Совсем я в точных науках не сильна) Кто поможет?) Найдите значения аргумента из промежутка [-2; 5], при которых скорость изменения (Подробнее. ..)

ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.Алгебра

Почему сейчас школьники такие агрессивные ?

Читали новость про 10 классника который растрелял ? как вы к этому относитесь 

Новости10 классБезопасность

ГДЗ Тема 21 Физика 7-9 класс А.В.Перышкин Задание №476 Изобразите силы, действующие на тело.

Привет всем! Нужен ваш совет, как отвечать…
Изобразите силы, действующие на тело, когда оно плавает на поверхности жидкости. (Подробнее…)

ГДЗФизикаПерышкин А.В.Школа7 класс

Какой был проходной балл в вузы в 2017 году?

Какой был средний балл ЕГЭ поступивших в российские вузы на бюджет в этом году? (Подробнее…)

Поступление11 классЕГЭНовости

Производная функция – Задача 3

Мы рассматриваем производную функцию. Вот еще одна функция. У меня f(x) равно -¼x³ плюс x² плюс ¼x минус 1. Я хочу найти способ грубо аппроксимировать производную этой функции f'(x).

Возможно, вы захотите сделать что-то подобное в случае, когда вы не знаете, как отличить функцию. Дифференцировать означает найти производную. Если вы не знаете, как на самом деле дифференцировать функцию, второй лучший способ — это аппроксимировать производную, и это то, что мы собираемся сделать сегодня.

Итак, начнем с определения производной. Теперь это предел, когда h приближается к 0 для f(x+h) минус f(x) по h. Аппроксимация производной означает приближение к этому пределу. Итак, что я собираюсь сделать, так это аппроксимировать это значением этого коэффициента разности.

Теперь я беру предел, когда h приближается к 0. Поэтому имеет смысл, что я могу аппроксимировать этот предел, используя значение разностного отношения, используя достаточно малое h, причем h очень маленькое. Так, например, допустим, что h — 1000-й. Итак, x плюс точка 001 минус f(x) над точкой 001. Это даст нам разумное приближение производной.

Теперь в части b я должен сделать именно это. Он просит меня построить график f и f’ на TI-84 и найти нули f’ с точностью до сотых. Итак, я собираюсь перейти к TI-84 и аппроксимировать эту производную на своем калькуляторе.

Смотрю на свой ТИ-84. Здесь я уже ввел f(x) как Y1. Итак, что я хочу ввести здесь как y2 в качестве моего приближения для производной. Теперь это не называется f(x) на моем калькуляторе. Он называется Y1. Итак, как мне ввести y1 вместо y2?

Хорошо, если вы зайдете в меню переменных, нажмите кнопку VARS. Затем перейдите в Y-VARS и нажмите Enter. У вас есть этот список переменных y. Так что я могу снова нажать Enter для y1. Я получаю у1. Итак, я хочу, чтобы Y1 от x плюс точка 001. Затем мне нужно вычесть Y1 от x.

Итак, я снова захожу в VARS направо. Позвольте мне вернуться к VARS, Y-VARS, а затем нажмите Enter. Я хочу Y1. Затем я хочу X, Y1(X). Я знаю, что это должно быть разделено на эту точку 001. Итак, позвольте мне пройти весь путь. Мне нужно использовать скобки здесь. Итак, во-вторых, вставьте скобки. Я иду до конца скобки, разделенной точкой 001.

Посмотрим, как это выглядит. График попаданий. Теперь это займет секунду, а затем нарисует это приближение для производной. Тогда вот оно. Это выглядит как парабола, открывающаяся вниз. Теперь помните, моя задача в части b требует от меня найти нули этой производной. Это означает, что производная пересекает ось x. Итак, давайте сначала найдем этот 0. Похоже, что это немного левее 0. Где-то между -1 и 0.

Так что ваш калькулятор может сделать это за вас. Вы можете просто нажать секунду, проследить и попасть в меню РАСЧЕТ. Это вторая запись, номер 2. Вам нужно ввести левую границу и правую границу. Теперь сначала вам нужно убедиться, что вы находитесь на правильной функции. Я не хочу находить нули Y1. Это моя изначальная функция. Я хочу найти нули Y2. Поэтому я должен использовать клавишу со стрелкой вверх или вниз для переключения функций.

Сейчас смотрю на Y2. Для нашей левой границы все, что мне нужно сделать, это переместить курсор немного влево. Итак, теперь я нахожусь слева от своего нуля и нажимаю Enter. Затем мне нужно навести курсор на правую правую границу. В основном он просит вас указать интервал для поиска. Теперь вы хотите, чтобы дать ему предположение. Итак, курсор действительно близок к фактическому нулю, мое значение отрицательной точки 12. Так что я просто запомню это.

Теперь я хочу поискать ноль здесь. Правый ноль. Итак, во-вторых, CALC, установите курсор на 0, нажмите Enter. Теперь я снова на неправильной функции. Я на Y1. Я хочу переключиться на Y2, поэтому использую стрелки вверх и вниз, и теперь я на Y2. Помните, я ищу этот 0 здесь. Похоже, что это между 2 и 3. Я мог бы использовать 2 в качестве левого вниз. Я действительно могу ввести это. 2, введите. Затем в качестве правой границы я мог бы использовать 3. Просто введите 3, введите. Похоже, что 0 составляет около 2,8, поэтому позвольте мне ввести это для предположения. там 2,79. Итак, это мой второй 0.

Теперь, когда у меня есть оба 0, позвольте мне вернуться к доске и закончить задачу. Я уже нарисовал f и f’. Я хочу найти нули. Ну, f'(x) равно 0, когда x был приблизительно равен отрицательной точке 12 или когда x был приблизительно равен 2,79. Это были два места, где парабола пересекала ось здесь и здесь. Вот как вы рисуете производную на своем калькуляторе.

Если вы на самом деле не знаете формулу производной, вы всегда можете использовать разностное частное и взять значение h, которое будет довольно маленьким. Это даст вам довольно хорошее приближение производной. Помните, что это в основном то, что вы делаете. Вы берете предел, когда h приближается к 0, поэтому, если вы используете достаточно маленькое значение h, вы получите хорошее приближение для своей производной.

Производные функций – Photomath

Исследуйте производные

Возможно, вы узнали о функциях некоторое время назад. Может быть, вы даже узнали и полюбили их! Если да, то вы знаете, что некоторые более простые функции (например, линейную функцию) можно легко изучить и изобразить в виде графика.

Но что мы делаем, когда нам нужно построить график более сложных функций?

Введите: Первые производные!

Поскольку производная представляет собой скорость изменения функции, вы можете определить, возрастает функция или уменьшается. (Кстати: если скорость изменения функции равна 0, то здесь функция не увеличивается и не уменьшается, поэтому у функции есть критические точки.)

Готовы заняться этим?

Что значит найти производную функции?

Производная функции — это скорость изменения функции по отношению к изменению переменной. Собственно, найти первую производную функции $$f(x_0)$$ означает определить наклон касательной к графику функции в точке $$x_0$$.

Чтобы упростить процесс дифференцирования, мы используем правила дифференцирования, а не определение производной. Их довольно много, так что взгляните и держите их под рукой, когда мы начнем:

Постоянное кратное свойство производных	$$\frac{d}{dx}\left(c\times f(x)\right)=c\times\frac{d}{dx}\left(f(x) \right)$$
Правило сумм для производных	$$\frac{d}{dx}\left(f(x) + g(x)\right)=\frac{d}{dx}\left( f(x) \right)+\frac{d }{dx}\left( g(x) \right)$$
Правило разности для производных	$$\frac{d}{dx}\left(f(x) – g(x)\right)=\frac{d}{dx}\left( f(x) \right)-\frac{d }{dx}\left( g(x) \right)$$
Правило произведения для производных	$$\frac{d}{dx}\left(f(x)\times g(x)\right)=\frac{d}{dx}\left( f(x) \right)\times g( x)+f(x)\times\frac{d}{dx}\left( g(x) \right) $$ 9{-1}\влево(х\вправо)\вправо)}$$

Почему первая производная так полезна?

Возможно, вы уже знаете, что функции могут быть очень важными, поскольку они могут представлять множество ситуаций из реальной жизни. Производные тесно связаны с функциями, а также имеют множество полезных применений!

Производные представляют скорость изменения, что означает, что скорость, ускорение и некоторые другие физические объекты могут быть рассчитаны с использованием производных. Сравнивая наклон касательных с функцией на определенном интервале, вы можете увидеть, увеличивается или уменьшается функция на этом интервале. Если вы найдете вторую производную функции, вы можете определить, является ли функция вогнутой (вверх или вниз) на интервале. 92}$$

Это было не так уж и плохо, правда? Теперь, когда мы рассмотрели несколько подробных примеров, давайте рассмотрим весь процесс в целом, чтобы вы могли научиться использовать его с любой проблемой :

Резюме исследования

1. Возьмите производную от обеих частей уравнения.
2. Используйте правила дифференцирования.
3. Найдите производную. 92-1)}$$

Если у вас проблемы с решением, это нормально! Отсканируйте проблему с помощью приложения Photomath, и мы проведем вас с другой стороны!

Вот краткий обзор того, что вы увидите:

00:00 / 00:00

Есть домашнее задание по математике?

Зайдите в приложение Photomath, чтобы мгновенно найти пошаговые решения всех ваших математических задач.