Найти частные производные | Онлайн калькулятор
Данный онлайн калькулятор предназначен для решения частных производных первого и второго порядков.
Частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Следовательно, частные производные находятся так же, как и производные функций одной переменной. Частная производная это обобщенное понятие производной, когда в функции содержится несколько переменных.
Калькулятор поможет найти частные производные функции онлайн.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.
Основные функции
модуль x: abs(x)
|
4), {x,6}.Select rating12345
Рейтинг: 3.7 (Голосов 3)
Сообщить об ошибке
Вам помог этот калькулятор?
Предложения и пожелания пишите на [email protected]
Поделитесь этим калькулятором на форуме или в сети!
Это помогает делать новые калькуляторы.
НЕТ
Смотрите также
| Производные функции | Математический анализ | Решение интегралов | Решение неравенств | Решение уравнений |
| Решение функций | Решение комплексных чисел | Графические построения | Решение логарифмов | Решение прогрессии |
Калькулятор производных – Калькулятор дифференцирования
Введите функцию и переменную, чтобы найти производную с помощью калькулятора производных.
Enter function 🛈
Load Example
⌨Wrt: 🛈 xyzuvtwθ
No.
of derivatives (n): 🛈
This will be calculated:
$${\frac{d}{dx}[sin(x)]}$$
ADVERTISEMENT
ADVERTISEMENT
Table of Contents:
- Производная – Определение
- Как рассчитать производную?
- Производные правила – формулы
Give Us Feedback
✎
✉
Калькулятор дифференцирования – это онлайн-инструмент исчисления, который находит производную заданной функции. Он может выполнять явную дифференциацию одним щелчком мыши. Если вы ищете неявное дифференцирование, воспользуйтесь нашим калькулятором неявного дифференцирования.
Самое главное, что этот дифференциальный калькулятор показывает пошаговый расчет вместе с подробным ответом.
Производная – Определение
Пусть f (x) – функция, область определения которой содержит открытый интервал в некоторой точке x 0 . Функция f (x) называется дифференцируемой в точке x 0 , а производная функции f (x) в точке x 0 определяется выражением:
Другими словами, производная измеряет чувствительность к изменению значения функции по отношению к изменению ее аргумента.
Функция, обратная производной, известна как первообразная.
Как рассчитать производную?
Чтобы дифференцировать функцию, давайте вычислим производную 1 / x, чтобы понять основную идею вывода.
Поскольку 1 / x = x -1
Мы будем использовать правило продукта (см. Правила ниже).
d / dx ( x -1 ) = -1 (x -2 ) = – 1 / x 2
Пример:
Найти производную от (x + 7) 2 .
Решение:
Шаг 1: Нанесите символ деривации.
Шаг 2: Примените правило мощности.
Некоторым функциям требуется вторая производная для завершения процесса дифференцирования.
x (экспоненциальная)
- Производные логарифма
Исчисление III. Частные производные высшего порядка
Онлайн-заметки Пола
Главная
/
Исчисление III
/
Частные производные
/ Частные производные высшего порядка
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Мобильное уведомление
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 13.4: Частные производные высшего порядка
Точно так же, как у нас были производные более высокого порядка с функциями одной переменной, мы также будем иметь производные более высокого порядка от функций более чем одной переменной. Однако на этот раз у нас будет больше вариантов, поскольку у нас есть более одной переменной.
Рассмотрим случай функции двух переменных \(f\left( {x,y} \right)\), так как обе частные производные первого порядка также являются функциями \(x\) и \(y\ ) мы могли бы, в свою очередь, дифференцировать каждый по \(x\) или \(y\). Это означает, что для случая функции двух переменных всего будет четыре возможных производных второго порядка. Вот они и обозначения, которые мы будем использовать для их обозначения. 92}}}\end{выравнивание*}\]
Частные производные второго и третьего порядка часто называют смешанными частными производными, поскольку мы берем производные по более чем одной переменной. Обратите также внимание, что порядок, в котором мы берем производные, определяется обозначениями для каждого из них.
Если мы используем обозначение подписки,
Обратите внимание, что мы удалили \(\left( {x,y} \right)\) из производных. Это довольно стандартно, и с этого момента мы будем делать это большую часть времени. Мы также будем отбрасывать его для производных первого порядка в большинстве случаев.
Теперь заметим, что в данном случае \({f_{xy}} = {f_{yx}}\). Это не случайно. Если функция «достаточно хороша», так будет всегда. Итак, что такое «достаточно приятно»? Нам говорит следующая теорема.
Теорема Клеро
Предположим, что \(f\) определено на круге \(D\), содержащем точку \(\left( {a,b} \right)\). Если функции \({f_{xy}}\) и \({f_{yx}}\) непрерывны на этом диске, то
\[{f_{xy}}\left( {a,b} \right) = {f_{yx}}\left( {a,b} \right)\]
Теперь не слишком увлекайтесь дисками и тем фактом, что мы привели теорему для конкретного пункта.
Почти в каждом примере этого класса, если две смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они будут равны. 92}\partial y}}\end{align*}\]
Заметьте также, что для обоих из них мы дифференцируем один раз по \(y\) и дважды по \(x\). Существует также другая частная производная третьего порядка, в которой мы можем сделать это, \({f_{x\,x\,y}}\). Существует расширение теоремы Клеро, которое говорит, что если все три из них непрерывны, то все они должны быть равны,
\[{f_{x\,x\,y}} = {f_{x\,y\,x}} = {f_{y\,x\,x}}\]
До сих пор мы рассматривали только функции двух переменных, но все, что мы сделали до этого момента, будет работать независимо от количества переменных, которые у нас есть в функции, и есть естественные расширения теоремы Клеро. также во всех этих случаях. Например,
\[{f_{x\,z}}\left( {x,y,z} \right) = {f_{z\,x}}\left( {x,y,z} \right)\]
при условии, что обе производные непрерывны.
В общем случае мы можем распространить теорему Клеро на любую функцию и смешанные частные производные. Единственное требование состоит в том, чтобы в каждой производной мы дифференцирули по каждой переменной одинаковое число раз. Иными словами, при выполнении условия непрерывности следующее будет равно
\[{f_{s\,s\,r\,t\,s\,r\,r}} = {f_{t\,r\,s\,r\,s\,s\,r} }\]
, потому что в каждом случае мы дифференцируем по \(t\) один раз, \(s\) трижды и \(r\) трижды.
Давайте рассмотрим пару примеров с производными более высокого порядка (во всяком случае, более высокого порядка, чем два) и функциями более чем двух переменных.
Пример 3 Найдите указанную производную для каждой из следующих функций.
- 9009{ху}}\]
Как найти максимальное и минимальное значение функции
Следующие шаги были бы полезны, чтобы найти максимальное и минимальное значение функции, используя первую и вторую производные.
Шаг 1:
Пусть f(x) — функция. Найдите первую производную от f(x), которая равна f'(x).
Шаг 2 :
Приравняйте первую производную f'(x) к нулю и найдите x, которые называются критическими числами.
Шаг 3 :
Найдите вторую производную f(x), которая равна f”(x).
Шаг 4:
Подставьте критические числа, найденные на шаге 2, во вторую производную f”(x).
Шаг 5:
Если f”(x) < 0 для некоторого значения x, скажем, x = a, то функция f(x) максимальна при x = a.
Если f”(x) > 0 для некоторого значения x, скажем, x = b, тогда функция f(x) минимальна при x = b.
Шаг 6:
Чтобы получить максимальное и минимальное значения функции, подставьте x = a и x = b в f(x).
Минимальное значение = f(b)
Пример 1:
Определить максимальное значение функции:
f(x) = 4x – x
5 6 +3
Решение:
Найдите первую производную f(x).
f'(x) = 4(1) – 2x + 0
= 4 – 2x
Приравняем первую производную к нулю, то есть f'(x) = 0.
4 – 2x = 0
2(2 – х) = 0
2 – х = 0
x = 2
Найдите вторую производную f(x).
f'(x) = 4 – 2x
f”(x) = 0 – 2(1)
f”(x) = -2
Подставить критическое число x = 2 в f”(x) .
f”(2) = -2 < 0
Итак, f(x) максимальна при x = 2.
Чтобы найти максимальное значение, подставьте x = 2 в f(x).
f(2) = 4(2) – 2 2 + 3
= 8 – 4 + 3
= 11 – 4
= 7
Следовательно, максимальное значение функции ) составляет 7,
Обоснование :
Мы можем обосновать наш ответ, построив график функции f(x).
f(x) = 4x – x 2 + 3
Данная функция является уравнением параболы. Замените f(x) на y.
y = -x 2 + 4 x + 3
Запишите приведенное выше уравнение параболы в вершинной форме.
y = -(x 2 – 4 x – 3)
y = -[x 2 – 2(x)(2) + 2 2 – 2 2 0 – 0 4 9 0 0 4] = -[(х – 2) 2 – 4 – 3]
y = -[(x – 2) 2 – 7]
y = -(x – 2) 2 + 7
Приведенное выше уравнение имеет форму y = а(х – h) 2 + k.
a = -1
Вершина (h, k) = (2, 7)
Поскольку ‘a’ отрицательно, парабола раскрывается вниз. Итак, у нас есть только максимальное значение y, то есть координата y в вершине, равная 7.
Ответ обоснован.
Пример 2:
Определить максимальное и минимальное значения функции:
f(x) = 2x 3 + 3x 2 – 36x + 1
Решение:
Найдите первую производную f(x).
f'(x) = 2(3x 2 ) + 3(2x) – 36(1) + 0 f'(x) = 0,
6x 2 + 6x – 36 = 0
Разделите обе части на 6.
x 2 + x – 6 = 0
Разложите на множители и решите.