Найти интегралы для чайников: как понять и решать неопределенные и определенные интегралы, правила и примеры - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

как понять и решать неопределенные и определенные интегралы, правила и примеры

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме.

Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

«Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

Константу можно выносить из-под знака интеграла:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

При любых точках a, b и с:

Как считать определенный интеграл? С помощью

формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

2 $$ Как видим, всё отлично совпало.

Появляется вопрос: как решать интегралы неопределенные и какой у них смысл? Решение таких интегралов – это нахождение первообразных функций. Этот процесс противоположный нахождению производной. Для того, чтобы найти первообразную можно использовать нашу помощь в решении задач по математике или же необходимо самостоятельно безошибочно вызубрить свойства интегралов и таблицу интегрирования простейших элементарных функций. Нахождение выглядит так $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text{где} F(x) $ – первообразная $ f(x), C = const $.

Для решения интеграла нужно интегрировать функцию $ f(x) $ по переменной. Если функция табличная, то записывается ответ в подходящем виде. Если же нет, то процесс сводится к получению табличной функции из функции $ f(x) $ путем хитрых математических преобразований. Для этого есть различные методы и свойства, которые рассмотрим далее.

Свойства интегралов

Вынос константы из под знака интеграла: $$ $$ $$ \int Cg(x) dx = C\int g(x) dx $$
Интеграл суммы/разности двух функций равен сумме/разности интегралов этих функций: $$ \int ( f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx $$
Изменение направления интегрирования: $$ \int _a ^b f(x) = -\int _b ^a f(x) dx $$
Разбиение отрезка интегрирования: $$ \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx $$ $$ c \in (a,b) $$

Итак, теперь составим алгоритм как решать интегралы для чайников?

Алгоритм вычисления интегралов

Узнаем определенный интеграл или нет.

Функция – Квадрат x

ctg(x)

Функция – Котангенс от x

arcctg(x)

Функция – Арккотангенс от x

arcctgh(x)

Функция – Гиперболический арккотангенс от x

tg(x)

Функция – Тангенс от x

tgh(x)

Функция – Тангенс гиперболический от x

cbrt(x)

Функция – кубический корень из x

gamma(x)

Гамма-функция

LambertW(x)

Функция Ламберта

x! или factorial(x)

Факториал от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа: вводить в виде 7. 3; – возведение в степень
x + 7: – сложение
x – 6: – вычитание
15/7: – дробь

Другие функции:

asec(x): Функция – арксеканс от x
acsc(x): Функция – арккосеканс от x
sec(x): Функция – секанс от x
csc(x): Функция – косеканс от x
floor(x): Функция – округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x): Функция – округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x): Функция – Знак x
erf(x): Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x): Функция Лапласа
asech(x): Функция – гиперболический арксеканс от x
csch(x): Функция – гиперболический косеканс от x
sech(x): Функция – гиперболический секанс от x
acsch(x): Функция – гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi: Число “Пи”, которое примерно равно ~3. 14159..
e: Число e – основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i: Комплексная единица
oo: Символ бесконечности – знак для бесконечности

2.1. Несобственные интегралы для «чайников»

Это «родственник» определённого интеграла. …Нормальное такое определение :). И сразу возникает вопрос: чем отличается несобственный интеграл от «собрата»? Он может отличаться пределами интегрирования:
– то есть, один или даже оба предела бесконечны, при этом подынтегральная функция непрерывна на промежутке интегрирования.

Такие интегралы получили название несобственные интегралы первого рода.

Кроме того, несобственный интеграл может быть «внешне похож» на определённый интеграл и иметь вид . Но есть один нюанс. Подынтегральная функция не определена в точке или . Или на обоих концах. Или даже во внутренних точках отрезка .

Это так называемые несобственные интегралы второго рода.

Что значит решить несобственный интеграл? В отличие от определённого интеграла, тут есть три варианта. Решить несобственный интеграл – это значит найти конечное число, либо получить бесконечность, либо выяснить, что несобственного интеграла не существует.

1) Если несобственный интеграл равен конечному числу, то говорят, что он сходится. Число может быть как положительным, так и отрицательным. Или нулём.

2) Если несобственный интеграл равен бесконечности (со знаком «плюс» или «минус»), то говорят, он расходится.

3) И в ряде случаев несобственного интеграла может вовсе не существовать. Даже если подынтегральная функция непрерывна на промежутке интегрирования! (вспоминаем, что определённый интеграл при этом условии существует всегда).

Как решить несобственный интеграл? С помощью той же формулы Ньютона-Лейбница. С некоторыми особенностями.

И здесь вы должны понимать и уметь решать несложные пределы функций.

В чём смысл несобственного интеграла? Геометрически – это тоже площадь (если интеграл существует). Но площадь своеобразная. И с этим своеобразием мы познакомимся прямо на следующей странице:

2.2. Несобственный интеграл первого рода

1.11. А если подынтегральная функция нечётная?

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Методы вычисления интегралов, формулы и примеры решений

Содержание:

1.

{\prime}(t) \cdot d t$

Определенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому если выполнена замена переменных, то обязательно надо вернуться к первоначальной переменной интегрирования.

Пример

Задание. Найти интеграл $\int \frac{d x}{3-5 x}$

Решение. Заменим знаменатель на переменную $t$ и приведем исходный интеграл к табличному.

$$\int \frac{d x}{3-5 x}\left\|\begin{array}{l} 3-5 x=t \\ -5 d x=d t \\ d x=-\frac{d t}{5} \end{array}\right\|=\int \frac{-\frac{d t}{5}}{t}=-\frac{1}{5} \int \frac{d t}{t}=$$

$=-\frac{1}{5} \ln |t|+C=-\frac{1}{5} \ln |3-5 x|+C$

Ответ. $\int \frac{d x}{3-5 x}=-\frac{1}{5} \ln |3-5 x|+C$

Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →

4. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле

$\int u d v=u v-\int v d u$

При нахождении функции $v$ по ее дифференциалу $d v$ можно брать любое значение постоянной интегрирования $C$, так как она в конечный результат не входит. Поэтому для удобства будем брать $C=0$ .

Использование формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда дифференцирование упрощает один из сомножителей, в то время как интегрирование не усложняет другой.

Пример

Задание. Найти интеграл $\int x \cos x d x$

Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям.

$$\int x \cos x d x\left\|\begin{array}{ll} u=x & v=\sin x \\ d u=d x & d v=\cos x d x \end{array}\right\|=x \sin x-\int \sin x d x=$$

$=x \sin x+\cos x+C$

Ответ. $\int x \cos x d x=x \sin x+\cos x+C$

Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →

Читать дальше: метод непосредственного интегрирования.

Задания на определенный интеграл. Интегралы – что это, как решать, примеры решений и объяснение для чайников. Правила вычисления интегралов для чайников

Данный калькулятор позволяет решить определенный интеграл онлайн. По сути, вычисление определенного интеграла

– это нахождение числа, которое равно площади под графиком функции. Для решения необходимо задать границы интегрирования и интегрируемую функцию. После интегрирования система найдет первообразную для заданной функции, вычислит её значения в точках границах интегрирования, найдет их разность, что и будет являться решением определенного интеграла. Чтобы решить неопределенный интеграл вам необходимо воспользоваться похожим онлайн калькулятором, который находится на нашем сайте по ссылке – Решить неопределенный интеграл .

Мы позволяем вычислить определенный интеграл онлайн быстро и надежно. Вы получите всегда верное решение. Причем для табличных интегралов ответ будет представляться в классическом виде, то есть выражаться через известные константы, такие как число “пи”, “экспонента” и т.д. Все вычисления полностью бесплатны и не требуют регистрации. Решая определенный интеграл у нас, вы избавите себя от трудоемких и сложных вычислений, либо решив интеграл самостоятельно – вы сможете проверить полученное вами решение.

Онлайн сервис на сайт позволяет находить решение определенного интеграла онлайн . Решение проводится автоматически на сервере и в течении нескольких секунд пользователю выдается результат. Все онлайн сервисы на сайте абсолютно бесплатны, а решение выдается в удобном и понятном виде. Также нашим преимуществом является, что мы предоставляем возможность пользователю ввести границы интегрирования, в том числе и пределы интегрирования: минус и плюс бесконечность. Таким образом, решить определенный интеграл становится просто, быстро и качественно. Важно, что сервер позволяет

вычислять определенные интегралы онлайн сложных функций, решение которых на иных онлайн-сервисах часто является невозможным ввиду несовершенства их систем. Мы предоставляем очень простой и интуитивно понятный механизм для ввода функций и возможность выбора переменной интегрирования, для чего вам не приходится переводить заданную в одной переменной функцию в другую, исключая связанные с этим ошибки и опечатки.

Также на странице даны ссылки на теоретические статьи и таблицы по решению определенных интегралов. Всё в совокупоности позволит вам вычислять определенный интеграл онлайн очень быстро и при желании найти и разобраться с теорией решения определенных интегралов. На http://сайт вы также можете переходить на другие сервисы: онлайн решение пределов, производных, суммы рядов. Перейти же на вкладку решения неопределенных интегралов онлайн совсем просто – ссылка находится в ряду среди полезных ссылок. Более того, сервис постоянно совершенствуется и развивается, и с каждым днем появляются всё новые и новые возможности и усовершенствования. Решайте определенные интегралы вместе с нами! Все онлайн сервисы доступны даже незарегистрировшимся пользователям и абсолютно бесплатны.

Решая определенный интеграл у нас вы можете проверить своё собственное решение или избавиться от излишних трудоемких вычислений и довериться высокотехнологичной автоматизированной машине. Вычисляемая на сервисе точность удовлетворит практически любые инженерные нормы. Часто для многих табличных определенных интегралов результат выдается в точном выражении (используя общеизвестные константы и неэлементарные функции).

В каждой главе будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие определённого интеграла и формула Ньютона-Лейбница

Определённым интегралом от непрерывной функции f (x ) на конечном отрезке [a , b ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F (b ) – F (a )).

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a , b ] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная функция для f (x ), то, согласно определению,

(38)

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница . Разность F (b ) – F (a ) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

(39)

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F (x ) и Ф(х ) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х ) = F (x ) + C . Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [a , b ] приращения всех первообразных функции f (x ) совпадают.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т. е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b , далее – значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) – F(a) . Полученное число и будет определённым интегралом. .

При a = b по определению принимается

Пример 1.

Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

(при С = 0), получим

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

Пример 2. Вычислить определённый интеграл

Решение. Используя формулу

Найти определённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Свойства определённого интеграла

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования , т.е.

(40)

Пусть F (x ) – первообразная для f (x ). Для f (t ) первообразной служит та же функция F (t ), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла , т.е.

(41)

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций , т.е.

(42)

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям , т.е. если

(43)

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак , т.е.

(44)

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его , т.е.

(45)

Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если

Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать , т.е.

(46)

Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

Пример 5. Вычислить определённый интеграл

Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим

Определённый интеграл с переменным верхним пределом

Пусть f (x ) – непрерывная на отрезке [a , b ] функция, а F (x ) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл

(47)

а через t обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х , которую обозначим через Ф (х ), т.е.

(48)

Докажем, что функция Ф (х ) является первообразной для f (x ) = f (t ). Действительно, дифференцируя Ф (х ), получим

так как F (x ) – первообразная для f (x ), а F (a ) – постояная величина.

Функция Ф (х ) – одна из бесконечного множества первообразных для f (x ), а именно та, которая при x = a обращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = a и воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

где, по определению, F (x ) – первообразная для f (x ). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной

то в соответствии с формулой (16) можно записать

В этом выражении

первообразная функция для

В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции , равна

Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция

принимает соответственно значения a и b , т.е.

Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F (b ) – F (a ) есть

Примеры вычисления неопределённых интегралов

Вычисление интеграла по таблице

Интегрирование подстановкой:

Примеры вычисления интегралов

Основная формула Ньютона – Лейбница

Вычисления подстановкой

Глава 4 Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х , искомую функции у и ее производные или дифференциалы.

Символически дифференцированное уравнение записывается так:

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным , если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом ) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением (или общим интегралом ) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общему решению дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:

а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

1. Найти общее решение уравнения

o Разделив переменные имеем

Интегрируя обе части полученного уравнения:

Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо C мы написали (1/2) lnC. Потенцируя последнее равенство получим

Это и есть общее решение данного уравнения.

Литература

В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование, «Популярные лекции по математике»,

Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.

В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»

Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1

В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1.

Никольский С. М. Глава 9. Определенный интеграл Римана // Курс математического анализа. – 1990. – Т. 1.

Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 6. Неопределенный интеграл // Основы математического анализа. – 1998. – Т. 1. – (Курс высшей математики и математической физики).

Демидович Б.П. Отдел 3. Неопределенный интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – 1990. – (Курс высшей математики и математической физики).

Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб.пособие-2-е изд.перераб. и доп. М.6Наука. 1989

Колягин Ю.М. Яковлев Г.Н. математика для техникумов. Алгебра и начала анализа 1 и 2 часть. Издательство «Наукка» М., 1981г.

Щипачев В.С. Задачи по высшей математике: Учеб. Пособие для вузов. Высш. Шк. 1997г.

Богомолов Н.В практические занятия по математике: учеб. Пособие для техникумов. Высш. Шк 1997г.

Изучаем понятие « интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.

Простой пример:

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

« Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

Константу можно выносить из-под знака интеграла:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

При любых точках a , b и с :

Примеры решения интегралов

Урок 25. применение интегралов для решения геометрических и физических задач – Алгебра и начала математического анализа – 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №25. Применение интегралов для решения геометрических и физических задач.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Знакомство с применением определенного интеграла в различных предметных областях

2) Знакомство с прикладными задачами, связанными с вычислением определенного интеграла в физике, экономике, геометрии.

3) Решение задач, с помощью определенных интегралов

путь, пройденный телом

Прирост численности популяции N(t) за промежуток времени от t₀ до T равен .

Объем тела вращения

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].

Отрезок [a;b] называют основанием этой криволинейной трапеции

формула Ньютона – Лейбница

путь, пройденный телом

Прирост численности популяции N(t) за промежуток времени от t₀ до T равен .

Объем тела вращения

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1 Найти объем тела вращения вокруг оси 0х , ограниченной прямыми у=0, х=0ю у= х², х=4.

Решение: Построим тело вращения, образованного вращением фигуры вокруг оси 0х

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

и формулой нахождения объемов тел вращения.

Далее подставляем значения в формулу и рассчитываем объем тела вращения.

Ответ 51,2 ед³

№2. Сила в 1 Н растягивает пружину на 3 см. Какую работу она при этом производит?

Решение.

Если F–сила, А – работа S– перемещение, то F = A’(S).

Обратимся к физике.

По закону Гука сила пропорциональна растяжению или сжатию пружины, т. е. F = kx, где k – коэффициент пропорциональности, х – величина растяжения или сжатия.

Используя данные задачи, найдите коэффициент k. Подставим данные в задаче величины в уравнение, выражающее закон Гука. Получим: .

Следовательно, сила, растягивающая нашу пружину, выразится следующим образом:.

Так как сила начинает действовать на пружину в состоянии покоя, то работа

Ответ: 0,015 Дж

№3. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Найдем силу давления воды (плотность воды 1000 кг/м³), наполняющей аквариум, на одну из его вертикальных стенок, размеры которой 0,4 м x 0,7 м.

Решение.

Выберем систему координат так, чтобы оси Оy и Оx соответственно содержали верхнее основание и боковую сторону вертикальной стенки аквариума. Для нахождения силы давления воды на стенку воспользуемся формулой

Р=

Стенка имеет форму прямоугольника, поэтому f(x)=0.7x, xϵ [0;0.4] Так как пределы интегрирования а=0 и b=0,4, то получим:

Ответ: 549 Н

№4 Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой . Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

Решение.

Физический смысл производной: если тело движется по закону S = S(t), то скорость тела в момент времени t₀ равна значению производной функции S(t) в этой точке, т. е. v = S’(t₀). Тогда обратное утверждение: если скорость движения тела задана уравнением v = v(t), то путь, пройденный телом от момента времени t = a до момента времени t = b равен . Подставим уравнение скорости в формулу и рассчитаем путь.

Ответ 150м

Введение в интеграцию

Интеграция – это способ добавления фрагментов для поиска целого.

Integration можно использовать для поиска областей, объемов, центральных точек и многих полезных вещей. Но проще всего начать с поиска области между функцией и осью x следующим образом:

Что это за площадь?

Ломтики

Мы можем вычислить функцию в нескольких точках, и сложить срезы шириной Δx вот так (но ответ будет не очень точным):

Мы можем сделать Δx намного меньше, а сложить много маленьких кусочков (ответ становится все лучше):

И когда срезы приближаются к нулю по ширине , ответ приближается к истинному ответу . Теперь мы пишем dx , что означает, что срезы Δx приближаются к нулю по ширине.

Это очень много!

Но складывать их не нужно, есть «ярлык», потому что …

… нахождение интеграла – это , обратный нахождения производной.

(Так что вам действительно следует знать о производных финансовых инструментах, прежде чем читать больше!)

Как здесь:

Пример: 2x

Интеграл от 2x равен x ²…

… потому что производная x ² равна 2x

(Подробнее о “+ C” позже.)

Этот простой пример можно подтвердить вычислением площади:

Площадь треугольника = 1 2 (основание) (высота) = 1 2 (x) (2x) = x ²

Иногда интеграция может быть такой простой!

Обозначение

Символ «Интеграл» – стильная буква «S»
(для «Сумма» – идея суммирования срезов):

После символа интеграла мы помещаем функцию, интеграл которой мы хотим найти (называемую интегралом),

, а затем закончите с dx , чтобы обозначить, что срезы идут в направлении x (и приближаются к нулю по ширине).

А вот как пишем ответ:

плюс C

Мы написали ответ как x ², но почему + C?

Это «Константа интеграции». Это из-за всех функций, производная которых равна 2x :

производная от x ² составляет 2x ,
и производная от x ² +4 также равна 2x ,
и производная x ² +99 также 2x ,
и так далее!

Поскольку производная константы равна нулю.

Итак, когда мы перевернем операцию (чтобы найти интеграл), мы знаем только 2x , но могла быть константа любого значения .

Итак, мы завершаем идею, просто написав + C в конце.

Практический пример: кран и резервуар

Давайте воспользуемся краном, чтобы наполнить бак.

Вход (до интегрирования) – расход от крана.

Мы можем интегрировать этот поток (сложить все маленькие кусочки воды), чтобы получить объема воды в резервуаре.

Представьте себе постоянный расход из 1:

При расходе 1 объем резервуара увеличивается на x . Это Интеграция !

Интеграл от 1 равен x

При скорости потока 1 литр в секунду объем увеличивается на 1 литр каждую секунду, поэтому будет увеличиваться на 10 литров через 10 секунд, 60 литров через 60 секунд и т. Д.

Скорость потока остается на уровне 1 , а объем увеличивается на x

И наоборот:

Если объем резервуара увеличивается на x , то расход должен быть 1.

Производная x равна 1

Это показывает, что интегралы и производные противоположны!

Теперь для увеличения расхода

Представьте, что поток начинается с 0 и постепенно увеличивается (возможно, двигатель медленно открывает кран):

По мере увеличения расхода резервуар наполняется все быстрее и быстрее:

Интеграция: при расходе 2x объем резервуара увеличивается на x ²
Производная: если объем резервуара увеличивается на x ² , то расход должен быть 2x

Мы можем записать это так:

Интеграл расхода 2x сообщает нам объем воды:		∫2x dx = x ² + C
Производная объема x ² + C возвращает нам скорость потока:		d dx (x ² + C) = 2x

И, привет, мы даже получили хорошее объяснение этого значения “C”… может быть, в баке уже есть вода!

Поток по-прежнему увеличивает объем на ту же величину
И увеличение объема может вернуть нам скорость потока.

Которая учит всегда помнить «+ C».

Прочие функции

Как мы интегрируем другие функции?

Если нам посчастливится найти функцию на стороне производной result , тогда (зная, что производные и интегралы противоположны), мы получим ответ.Но не забудьте добавить C.

Пример: что такое ∫cos (x) dx?

Из таблицы Rules of Derivatives мы видим, что производная sin (x) равна cos (x), поэтому:

∫cos (x) dx = sin (x) + C

Но многое из этого “обращения” уже сделано (см. Правила интеграции).

Пример: Что такое ∫x

³ dx?

В правилах интеграции есть «Правило власти», которое гласит:

∫x ⁿ dx = x ^{n + 1} n + 1 + C

Мы можем использовать это правило с n = 3:

∫x ³ dx = x ⁴ 4 + C

Знание того, как использовать эти правила, является ключом к успешной интеграции.

Так что изучайте правила и получайте много практики .

Изучите правила интеграции и практикуйтесь! Упражняться! Упражняться!
(для начала вам нужно задать несколько вопросов)

Определенные и неопределенные интегралы

До сих пор мы выполняли неопределенных интегралов .

Определенный интеграл имеет фактические значения для вычисления между ними (они помещаются внизу и вверху буквы “S”):


Неопределенный Интегральный		Определено Интегральное

Прочтите Определенные интегралы, чтобы узнать больше.

index-of.es/

 Название Размер
 Android / -
 Галерея искусств/                  -
 Атаки / -
 Переполнение буфера / -
 C ++ / -
 CSS / -
 Компьютер / -
 Конференции / -
 Растрескивание / -
 Криптография / -
 Базы данных / -
 Глубокая сеть / -
 Отказ в обслуживании/            -
 Электронные книги / -
 Перечисление / -
 Эксплойт / -
 Техники неудачной атаки / -
 Судебно-медицинская экспертиза / -
 Галерея / -
 HTML / -
 Взломать / -
 Взлом-веб-сервер / -
 Взлом беспроводных сетей / -
 Взлом / -
 Генератор хешей / -
 JS / -
 Ява/                         -
 Linux / -
 Отмыкание/                  -
 Журналы / -
 Вредоносное ПО / -
 Метасплоит / -
 Разное / -
 Разное / -
 Протоколы сетевой безопасности / -
 Сеть / -
 ОПЕРАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ/                           -
 Другое / -
 PHP / -
 Perl / -
 Программирование / -
 Python / -
 RSS / -
 Rdbms / -
 Разобрать механизм с целью понять, как это работает/          -
 Рубин/                         -
 Сканирование сетей / -
 Безопасность/                     -
 Захват сеанса / -
 Снифферы / -
 Социальная инженерия/           -
 Поддерживает / -
 Системный взлом / -
 Инструменты/                        -
 Учебники / -
 UTF8 / -
 Unix / -
 Вариос-2 / -
 Варианты / -
 Видео/                       -
 Вирусы / -
 Окна / -
 Беспроводная связь / -
 Xml / -
 z0ro-Репозиторий-2 / -
 z0ro-Репозиторий-3 / -

Исчисление I – неопределенные интегралы

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, разговариваете по мобильному телефону). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 5-1: Неопределенные интегралы

В последних двух главах нам была задана функция \ (f \ left (x \ right) \), и мы спросили, какова производная этой функции.2} – 9x + c, \, \, \ hspace {0.25in} c {\ mbox {является константой}} \]

даст \ (f \ left (x \ right) \) при дифференцировании.

В последнем примере было два момента. Первым делом нужно было заставить вас задуматься о том, как решать эти задачи. Сначала важно помнить, что мы просто спрашиваем, что мы дифференцировали, чтобы получить данную функцию.

Другой момент – признать, что на самом деле существует бесконечное количество функций, которые мы могли бы использовать, и все они будут отличаться константой.

Теперь, когда мы разобрались с примером, давайте избавимся от некоторых определений и терминологии.

Определения

Для данной функции \ (f \ left (x \ right) \), антипроизводная от \ (f \ left (x \ right) \) – это любая функция \ (F \ left (x \ right) \) такой, что

\ [F ‘\ left (x \ right) = f \ left (x \ right) \]

Если \ (F \ left (x \ right) \) – любая антипроизводная от \ (f \ left (x \ right) \), то самая общая антипроизводная от \ (f \ left (x \ right) \) называется неопределенным интегралом и обозначается

\ [\ int {{е \ влево (х \ вправо) \, dx}} = F \ влево (х \ вправо) + с, \ hspace {0.25in} \, \, \, \, c {\ mbox {любая константа}} \]

В этом определении \ (\ int {{}} \) называется интегральным символом , \ (f \ left (x \ right) \) называется подынтегральным выражением , \ (x \) называется Переменная интегрирования и «\ (c \)» называется константой интегрирования . 4} + 3x – 9 \, dx}} \] Показать решение

Поскольку на самом деле это запрос на самую общую антипроизводную, нам просто нужно повторно использовать окончательный ответ из первого примера.2} – 9x + c \]

Теперь сделаем пару предупреждений. Одна из наиболее распространенных ошибок, которые студенты делают с интегралами (как неопределенными, так и определенными), – это опускать dx в конце интеграла. Это обязательно! Думайте о знаке интеграла и dx как о скобках. Вы уже знаете и, вероятно, вполне довольны мыслью о том, что каждый раз, когда вы открываете скобку, вы должны закрывать ее. При использовании интегралов воспринимайте знак интеграла как «открытую скобку», а dx – как «закрывающую скобку».5} + c + 3x – 9 \ end {align *} \]

Вы интегрируете только то, что находится между знаком интеграла и dx . Каждый из приведенных выше интегралов заканчивается в разных местах, поэтому мы получаем разные ответы, потому что каждый раз мы интегрируем разное количество членов. Во втором интеграле «-9» находится за пределами интеграла, поэтому его оставляют отдельно и не интегрируют. Точно так же в третьем интеграле «\ (3x – 9 \)» находится вне интеграла и поэтому остается в покое.

Знание, какие члены нужно интегрировать, – не единственная причина для записи \ (dx \) вниз.В разделе «Правило замены» мы фактически будем работать с \ (dx \) в задаче, и если у нас нет привычки записывать его, о нем легко забыть, и тогда мы получим неправильный ответ на этот этап.

Мораль заключается в том, чтобы убедиться и вставить \ (dx \)! На данном этапе это может показаться глупым поступком, но это просто необходимо, хотя бы по той причине, что знать, где заканчивается интеграл.

Кстати, обозначение \ (dx \) должно показаться вам немного знакомым.Мы видели такие вещи пару разделов назад. Мы назвали \ (dx \) дифференциалом в этом разделе, и да, это именно то, что он есть. \ (Dx \), завершающий интеграл, – не что иное, как дифференциал. 2} – 9w + c \ end {align *} \]

Изменение переменной интегрирования в интеграле просто изменяет переменную в ответе.Однако важно отметить, что при изменении переменной интегрирования в интеграле мы также изменили дифференциал (\ (dx \), \ (dt \) или \ (dw \)), чтобы он соответствовал новой переменной. Это более важно, чем мы могли бы сейчас представить.

Другое использование дифференциала в конце интеграла – сказать нам, по какой переменной мы интегрируем. На данном этапе это может показаться неважным, поскольку большинство интегралов, с которыми мы собираемся здесь работать, будут включать только одну переменную.Однако, если вы находитесь на пути к получению степени, который приведет вас к исчислению с несколькими переменными, это будет очень важно на этом этапе, поскольку в задаче будет более одной переменной. Вам нужно выработать привычку записывать правильный дифференциал в конце интеграла, чтобы, когда это станет важным в этих классах, вы уже будете иметь привычку записывать его.

Чтобы понять, почему это важно, взгляните на следующие два интеграла.

\ [\ int {{2x \, dx}} \ hspace {1.2} + c \]

Второй интеграл тоже довольно прост, но нам нужно быть осторожными. dx сообщает нам, что мы интегрируем \ (x \) ’s. Это означает, что мы интегрируем только те \ (x \), которые находятся в подынтегральном выражении, а все другие переменные в подынтегральном выражении считаются константами. Тогда второй интеграл равен

. \ [\ int {{2t \, dx}} = 2tx + c \]

Таким образом, может показаться глупым всегда использовать dx , но это очень важная нотация, которая может привести к получению неправильного ответа, если мы не введем его.

Теперь есть несколько важных свойств интегралов, на которые мы должны обратить внимание.

Свойства неопределенного интеграла

\ (\ displaystyle \ int {{k \, f \ left (x \ right) \, dx}} = k \ int {{f \ left (x \ right) \, dx}} \) где \ ( k \) – любое число. Итак, мы можем выделить мультипликативные константы из неопределенных интегралов.
См. Раздел «Доказательство различных интегральных формул» в главе «Дополнительно», чтобы увидеть доказательство этого свойства.
\ (\ displaystyle \ int {{- f \ left (x \ right) \, dx}} = – \ int {{f \ left (x \ right) \, dx}} \). Это действительно первое свойство с \ (k = – 1 \), поэтому доказательства этого свойства не приводятся.
\ (\ Displaystyle \ int {{е \ влево (х \ вправо) \ пм г \ влево (х \ вправо) \, dx}} = \ int {{е \ влево (х \ вправо) \, dx}} \ pm \ int {{g \ left (x \ right) \, dx}} \). Другими словами, интеграл от суммы или разности функций – это сумма или разность отдельных интегралов.Это правило можно распространить на любое количество функций.
См. Раздел «Доказательство различных интегральных формул» в главе «Дополнительно», чтобы увидеть доказательство этого свойства.

Обратите внимание, что когда мы работали с первым примером выше, мы использовали первое и третье свойство в обсуждении. Мы интегрировали каждый термин индивидуально, вернули все константы, а затем снова собрали все вместе с соответствующим знаком.

В приведенных выше свойствах не указаны интегралы от произведений и частных.Причина этого проста. Как и в случае с производными финансовыми инструментами, каждое из следующих действий НЕ будет работать.

\ [\ int {{f \ left (x \ right) g \ left (x \ right) \, dx}} \ ne \ int {{f \ left (x \ right) dx}} \ int {{g \ left (x \ right) \, dx}} \ hspace {0.75in} \ int {{\ frac {{f \ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}} \, dx }} \ ne \ frac {{\ int {{f \ left (x \ right) \, dx}}}} {{\ int {{g \ left (x \ right) \, dx}}}} \]

Что касается деривативов, у нас было правило продукта и правило частного, чтобы иметь дело с этими случаями. Однако с интегралами таких правил нет.Когда мы сталкиваемся с произведением и частным в интеграле, у нас будет множество способов справиться с этим в зависимости от того, что такое подынтегральное выражение. 4} + 3x – 9 \), что было \ (f \ left (x \ right) \)? Показать решение

К этому моменту в этом разделе это простой вопрос.2} – 9x + c \]

В этом разделе мы продолжали вычислять один и тот же неопределенный интеграл во всех наших примерах. Целью этого раздела было не делать неопределенные интегралы, а вместо этого познакомить нас с обозначениями и некоторыми основными идеями и свойствами неопределенных интегралов. Следующая пара разделов посвящена фактическому вычислению неопределенных интегралов.

Интеграция | Физика для идиотов

Представьте, что у вас есть график.И на нем есть какая-то кривая или линия, или что-то еще. Допустим, вам просто для удовольствия нужно найти область между кривой и осью x графика. Если у вас есть прямая линия, это относительно легко, у вас будет либо прямоугольная область, либо треугольная область, либо их комбинация. Но что, если у вас есть кривая, и это действительно зловещая кривая? Ну вы пользуетесь интеграцией.

Теперь, если вы не знаете точное уравнение кривой, линии или чего-то еще, вы не можете использовать интегрирование.Черт, если вы не знаете точное уравнение линии, я не могу придумать ничего, что вы можете сделать.

Сначала вам нужно выбрать ось для интеграции. Вы хотите найти область под кривой (ось x) или рядом с кривой (ось y). Далее вам нужно выбрать лимиты. Где находится ваш район? 5 и 7? -21 и 2,4? 0 и ∞? Когда у вас есть свои пределы и выбранная ось, вы можете красиво и аккуратно изложить все это в интегральной форме, чтобы она выглядела примерно так:

(1)

a и b – это ваши пределы, размер вашей области, между какими цифрами она находится.Теперь предположим, что вы решили интегрировать какое-то ужасное уравнение, чтобы найти его площадь. И вы решили работать с осью x между 0 и 7, например,

График, который мы будем интегрировать, чтобы найти площадь под кривой.

Интеграция в основном разбивает ее на множество маленьких кусочков и складывает их, например. одним из маленьких кусочков графика будет

Теперь «площадь» этого бита равна всего 12. Вы просто предполагаете, что он имеет такую маленькую ширину, что это не имеет значения, и просто подсчитываете высоту.Так что вы делаете это все время. Чем тоньше ваши линии, тем лучше ваш результат, поэтому у вас также будет

и все остальные между двумя вашими пределами (в данном случае 0 и 7). Интеграция сделает это за вас. Он учитывает бесконечное количество полосок с нулевой шириной и позволяет рассчитать общую площадь. Итак, вернемся к интегралу (уравнение 1)

(2)

Фигурный бит перед интегралом похож на растянутую букву s и в основном означает «сумму», потому что вы складываете все маленькие биты.Бит .d x в интеграле нужен только для того, чтобы показать вам, что вы складываете все биты по оси x. d «что-то» в математике почти всегда означает «небольшое изменение в чем-то».

Итак, между большим s с вашими пределами и битом .d x в конце у вас есть f ( x ). Возможно, вы не знакомы с этими обозначениями, поэтому я объясню. f ( x ) это просто некоторая функция от x. f ( x ) просто означает, что здесь вы помещаете свою функцию x, будь то sin ( x ), x ² +23 или что-то еще, просто что-то, где изменяется x.Если у вас было y = x ³ + 3x + 4, тогда ваше f ( x ) будет всего лишь x ³ +3 x +4, это ваша функция.

Поскольку я уже ввел его и могу просто использовать копирование и вставку, давайте интегрируем y = x ³ +3 x +4 между 5 и 9. Это может пойти совершенно неправильно, но теперь я решил придерживаться.

Итак, сначала давайте запишем его в правильной форме, например,

(3)

Теперь интегрирующая часть…

Именно в этот момент я понял, что застрял.Не существует набора правил для всей интеграции, вы должны делать разные вещи в зависимости от того, какое уравнение у вас есть. Некоторые уравнения хорошо интегрируются, некоторые – нет, для некоторых нужно использовать несколько правил. Что я сделаю, так это начну с элементарного и перейду к тяжелому.

Хорошо, вернемся к уравнению, которое у нас было раньше, y = x ³ +3 x +4 между 5 и 9. Таким образом, вы помещаете его в стандартную форму для интегралов и получаете

(4)

Теперь интегрировать.Все, что вы делаете для интеграции, – это определенная операция на всех необходимых условиях. В этом случае у нас есть .d x в конце, поэтому его интересовали x , поэтому мы должны выполнить эту специальную операцию для всех условий, которые включают x . Первое и, возможно, самое фундаментальное и основное правило интеграции –

(5)

Каждый раз, когда у вас x в простой числовой степени, вы просто следуете приведенному здесь правилу. Просто добавьте 1 к степени, а затем разделите все на новую степень, так что x ² станет x ³/3 и x ^57.8 становится x ^58,8 / 58,8. Если термин не содержит термин x , скажем, например 8, тогда вы просто говорите, что это 8 x ⁰, поскольку x ⁰ равно 1, поэтому, когда вы интегрируете 8, вы получаете 8 x . Итак, в примере

(6)

Однако это просто стандартный интеграл, он похож на формулу для площади, поэтому, чтобы на самом деле найти площадь, мы должны сделать это, как это

(7)

Чтобы окончательно решить бит справа в квадратных скобках с пределами, вы просто устанавливаете верхний предел для x , а затем убираете из него значение, когда нижний предел равен x , например,

(8)

Таким образом, площадь под графиком y = x ³ +3 x +4 между 5 и 9 составляет всего 1584

Для дроби, где единственным знаменателем является степень x, вы можете использовать метод, позволяющий рассматривать ее, как мы делали в разделе «Простые полномочия».Метод заключается в использовании следующего отношения

Если вы просматривали эту страницу и не смогли найти правило для своей функции, возможно, его нет. У некоторых уравнений нет хороших правил, а иногда их нужно несколько. В Википедии есть фантастический ресурс, который может помочь вам с некоторыми из более сложных уравнений, вы можете найти его ЗДЕСЬ! ( Конечно, мы надеемся, что вы нашли здесь ответ)

Неопределенный интеграл и основные правила интеграции

Первообразные и неопределенный интеграл

Пусть функция \ (f \ left (x \ right) \) определена на некотором интервале \ (I.\ prime \ left (x \ right) = f \ left (x \ right).} \]

В этом определении \ (\ int {} \) называется интегральным символом, \ (f \ left (x \ right) \) называется подынтегральным выражением, \ (x \) называется переменной интегрирования, \ (dx \) называется дифференциалом переменной \ (x, \), а \ (C \) называется постоянной интегрирования.

Неопределенный интеграл некоторых общих функций

Интегрирование – это обратный процесс дифференцирования, поэтому таблица основных интегралов следует из таблицы производных. 2} xdx} = – \ text {coth} \, x + C \) \ (\ int {\ text {sech} \, x \ tanh xdx} = – \ text {sech} \, x + C \) \ (\ int {\ text {csch} \, x \ coth xdx} = – \ text {csch} \, x + C \) \ (\ int {\ tanh xdx} = \ ln \ cosh x + C \)

Свойства неопределенного интеграла

Если \ (a \) – некоторая константа, то \ [\ cssId {element11} {\ int {af \ left (x \ right) dx}} = \ cssId {element12} {a \ int {f \ left (x \ right) dx},} \] я.е. постоянный коэффициент можно вынести за знак интеграла.
Для функций \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right), \) \ [\ cssId {element13} {\ int {\ left [{f \ left (x \ right) \ pm g \ left (x \ right)} \ right] dx}} = \ cssId {element14} {\ int { f \ left (x \ right) dx}} \ pm \ cssId {element15} {\ int {g \ left (x \ right) dx},} \] т.е. неопределенный интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.

Вычисление интегралов с использованием линейных свойств неопределенных интегралов и таблицы основных интегралов называется прямым интегрированием. 3}}}} {3} + 2 \ sqrt x + C.2}}} {2} + C.} \]

Учебное пособие по базовой интеграции

с рабочими примерами – iGCSE & A Level

Базовая интеграция

В этом руководстве вы узнаете:

Что такое интеграция.
Его отношение к дифференциации.
Почему процесс, обратный дифференциации, становится интеграцией.
Как набор специальных вопросов поможет вам освоить тему

Интеграция – это обратное дифференцирование.Другими словами, если вы обращаете вспять процесс дифференциации, вы просто занимаетесь интеграцией. Следующий пример показывает это:
y = x ² => dy / dx = 2x
Итак, ∫ (dy / dx) dx = ∫ 2x dx = x ²
∫ и dx идут рука об руку и указывают на интеграцию функции с соответствующим x. Таким же образом ∫ s dt и указывают интегрирование s относительно dt. Результат интегрирования называется интегралом .

Теперь рассмотрим следующие три примера:
y = x ² => dy / dx = 2x
y = x ² + 3 => dy / dx = 2x
y = x ² – 5 => dy / dx = 2x
Итак, при интеграции возникает проблема:
Мы не уверены в точном решении ∫ 2x dx; это может быть любой из трех указанных выше: y = x ² или y = x ² + 3 или y = x ² – 5
Чтобы иметь дело с неопределенностью , мы обозначим базовое интегрирование следующим образом: ∫ (dy / dx) dx = y + c, где c – произвольная постоянная.
Итак, что касается приведенного выше примера,
∫ 2x dx = x ² + c, где c может быть 0, 3 или -5
c показывает неопределенность; он может принимать любое значение, которое не определено на момент интеграции. Поэтому результат называется неопределенным интегралом .

Формула для интегрирования: ∫ x

ⁿ dx = x ^{n + 1} / n + 1 + c

Например, 1

∫x dx = x ^{1 + 1}/1 + 1 + c
= х ²/2 + с

E.г.2

∫x ² dx = x ^{2 + 1}/2 + 1 + c
= х ³/3 + с

Например, 3

∫a dx = ∫a (1) dx
= a ∫ x ⁰ dx
= a x ^{0 + 1}/0 + 1 + c
= топор + с

Например, 4

∫ x ^1/2 dx
= х ^{(1/2 + 1)} / (1/2 + 1) + с
= х ^3/2/3/2 + с
= 2x ^3/2/3 + c

E.г.5

∫ (x + 2) ² dx
∫ (x ² + 4x + 4) dx
= x ³/3 + 4x ²/2 + 4x + c
= x ³/3 + 2x ² + 4x + c

Например, 6

∫ (х + 2) / √x dx
∫ (x / √x + 2 / √x) dx
∫ (x ^1/2 + 2x ^-1/2 dx
= x ^3/2/3/2 + 2x ^1/2/1/2 + c
= 2x ^3/2/3 + 4x ^1/2 + c

Определенный интеграл

Общее интегрирование дает нам константу для обозначения неопределенности числового значения, которое может быть добавлено или исключено из результата.В определенном интеграле нет места для постоянной, так как интегрирование выполняется между определенным диапазоном переменной.

_a ∫ ^b f ‘(x) dx = [f (x) + c] _a ^b
= (е (б) + в) – (е (а) + в)
= f (б) – f (а)
Константа исчезает; это определенный интеграл .

Например, 1

₂ ∫ ⁴ 3x ² dx
= [3x ³/3] ₂ ⁴
= [x ³] ₂ ⁴
= 4 ³ – 2 ³
= 64–8
= 56

E.г.2

₀ ∫ ² (x + 1) ² dx
₀ ∫ ² (x ² + 2x + 1) dx
= [x ³/3 + 2x ²/2 + x] ₀ ²
= [2 ³/3 + 2 ² + 2] – [0 ³/3 + 0 ² + 0]
= [8/3 + 4 + 2] – [0]
= 8,6

Нахождение площади под кривой

Площадь между кривой и осью x является определенным интегралом функции кривой в заданном диапазоне значений x.

Площадь =

_a ∫ ^b f (x) dx

Например, 1

Найдите под кривой, f (x) = x ², для -1

Площадь = _-1 ∫ ² x ² dx
= [x ³/3] _-1 ²
= [2 ³/3] – [-1 ³/3]
= 8/3 – -1/3
= 3

Например, 2

Найдите под кривой, f (x) = x (x – 2) (x + 2), для -1

Площадь = _-1 ∫ ¹ x (x – 2) (x + 2) dx
Площадь = _-1 ∫ ¹ x ³ – 4x dx
= [x ⁴/4 – 4x ²/2] _-1 ¹
= [x ⁴/4 – 2x ²] _-1 ¹
= [1 ⁴/4 – (2) 1 ² – (-1) ⁴/4 – (2) (- 1) ²]
= 0
Ответ определенно неправильный, потому что между кривой и осью абсцисс явно есть область.
Чтобы избежать ошибки, мы должны интегрировать его в две части: от x = -1 до x = 0 и от x = 0 до x = 1.

Площадь левой части = _-1 ∫ ⁰ x (x – 2) (x + 2) dx
Площадь левой части = _-1 ∫ ⁰ x ³ – 4x dx
= [x ⁴/4 – 4x ²/2] _-1 ⁰
= [x ⁴/4 – 2x ²] _-1 ⁰
= [0 ⁴/4 – (2) 0 ² – (-1) ⁴/4 – (2) (- 1) ²]
= 7/4
= 1.75
Площадь правой части = ₀ ∫ ¹ x (x – 2) (x + 2) dx
Площадь правой части = ₀ ∫ ¹ x ³ – 4x dx
= [x ⁴/4 – 4x ²/2] ₀ ¹
= [x ⁴/4 – 2x ²] ₀ ¹
= [1 ⁴/4 – (2) 1 ² – (0) ⁴/4 – (2) (0) ²]
= -7/4
= -1.75
Поскольку площадь не может быть отрицательной, действительное значение равно 1,75.
Итак, общая площадь под кривой = 2 X 1,75 = 3,5

Площадь под кривой – интерактивный

В следующем апплете площадь под кривой y = x ² – 2x + 1 вычисляется для области, охватываемой a ≤ x ≤ b. Вы можете изменить положение ползунков, чтобы изменить a и b, чтобы увидеть это.

Область между линией и кривой – интерактивный

E.г

Найдите площадь синей области между кривой y = x (x – 2) и линией y = x.

Прежде всего, давайте найдем точку пересечения кривой и прямой.
В точке пересечения,
х (х-2) = х
х ² – 2x -x = 0
х ² – 3x = 0
х (х – 3) = 0
х = 0 или х = 3
Область ниже оси x – синяя область = ₀ ∫ ² x ² – 2x dx
= [x ³/3 – x ²] ₀ ²
= 4/3

Площадь под линией между x = 0 и x = 3 = ₀ ∫ ³ x dx
= [x ²/2] ₀ ³
= 9/2
Площадь под кривой между x = 2 и x = 3 = ₂ ³ ∫ x ² – 2x dx
= [x ³/3 – x ²] ₂ ³
= 4/3
Итак, площадь заштрихованной синим области = 9/2 – 4/3 + 4/3 = 4.5

В следующем апплете область между линией и кривой может быть вычислена для 0 ≤ x ≤ 2, в которой они пересекаются.

Площадь прямоугольника

Уравнение линии: y = a
Итак, площадь под линией, образующей прямоугольник, = ₀ ^b ∫ a dx
Площадь = [ax] ₀ ^b
Площадь = ab Площадь = длина X ширина

Площадь треугольника

Уравнение линии: y = mx, где m – градиент.
Итак, площадь под линией, образующей треугольник, = ₀ ^b ∫ mx dx
Площадь = [mx ²/2] ₀ ^b
Площадь = mb ²/2 – m ⁰/2
Площадь = mb ²/2
Поскольку m, градиент, = h / b
Площадь = h / b * b ²/2
Площадь = 1/2 ч * б
Площадь = 1/2 * высота * основание

Ad: Автор этого сайта предлагает полностью интерактивный учебник по дифференциации

Площадь трапеции

Уравнение линии: y = mx + a, где m – градиент, а a – точка пересечения с y.
Площадь под линией трапеции = ₀ ^h ∫mx + a dx
= [mx ²/2 + ax] ₀ ^h
= mh ²/2 + ah
= (mh ² + 2ah) / 2
= h / 2 [mh + 2a]
= h / 2 [(b-a) / h * h + 2a]
= h / 2 [b – a + 2a]
= h / 2 [b + a]
Площадь = высота / 2 [сумма двух параллельных сторон]

Теперь, когда вы прочитали это руководство, вы найдете также следующие очень полезными:

исчисление: интегралы

Теперь мы начинаем обсуждение интегралов, которое является второй темой в исчислении.Интегралы – это интересный способ сложить значение функции, чтобы получить «целое». или сумма его значений за некоторый интервал. Обычно интегральное исчисление преподается как отдельный курс после дифференциального исчисления. но это разделение не обязательно и может даже привести к обратным результатам.

Производная $ f ‘(x) $ измеряет изменение в $ f (x) $, т. Е. производная измеряет различия в $ f $ для небольшого изменения $ \ epsilon $ входная переменная $ x $: \ [ \ text {производная} \ \ propto \ \ f (x + \ epsilon) -f (x).\] С другой стороны, интегралы измеряют сумму значений $ f $ между $ a $ и $ b $ с регулярными интервалами $ \ epsilon $: \ [ \ текст {интеграл} \ propto \ \ \ f (a) + f (a + \ epsilon) + f (a + 2 \ epsilon) + \ ldots + f (b-2 \ epsilon) + f (b- \ epsilon). \] Лучший способ понять интеграцию – представить ее как обратная операция дифференцирования: сложение всех изменений в функции дает вам значение функции.

В исчислении I мы узнали, как взять функцию $ f (x) $ и найти ее производную $ f ‘(x) $.В интегральном исчислении нам будет дана функция $ f (x) $, и мы будем попросить найти его интеграл на различных интервалах.

Определения

Вот некоторые концепции, с которыми вы уже должны быть знакомы:

\ [ f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \]

, что означает, что $ f $ принимает в качестве входных данных некоторое число (обычно мы называем это число $ x $).
  и он производит в качестве вывода другое число $ f (x) $ (иногда мы также указываем псевдоним для вывода $ y = f (x) $).* $ \ lim _ {\ epsilon \ to 0} $: пределы являются математически строгими
  так сказать об очень малых числах.
* $ f '(x) $: производная от $ f (x) $ - это скорость изменения $ f $ при $ x $:
  \ [
f '(x) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ frac {f (x + \ epsilon) \ - \ f (x)} {\ epsilon}.
  \]
  Производная также является функцией вида
  \ [
     f ': \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}.
  \]
  Функция $ f '(x) $ представляет // наклон //
  функция $ f (x) $ в точке $ (x, f (x)) $.

NOINDENT Это новые концепции:

$ x_i = a $: где начинается интеграл, т.е.b f (x) dx = F (b) – F (a) = A (a, b). \] Знак $ \ int $ является мнемоникой // суммы //. Действительно, интеграл – это не что иное, как “сумма” $ f (x) $ для всех значений $ x $ между $ a $ и $ b $: \ [ A (a, b) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ left [\ epsilon f (a) + \ epsilon f (a + \ epsilon) + \ ldots + \ epsilon f (b-2 \ epsilon) + \ эпсилон f (b- \ epsilon) \ right], \] где мы представляем всю площадь, разбитую на тонкие прямоугольные полосы шириной $ \ epsilon $ и высотой $ f (x) $. x \! f ‘(t) \ dt = F (x).x f (t) dt \ right] = \ frac {d} {dx} \ left [F (x) – F (0) \ right] = f (x). \]
Формулы
Сумма Римана
Сумма Римана – хороший способ определить интеграл из первых принципов. Мы разделим область под кривой на множество маленьких полосок, высота которых меняется в зависимости от $ f (x) $. Чтобы получить общую площадь, мы суммируем – все площади прямоугольников. Мы обсудим суммы Римана в следующем разделе, но сначала мы смотрим на свойства интегралов.б е (х) \; dx. \]
Для некоторых функций можно найти антипроизводную функцию $ F (\ tau) $, который описывает «текущий итог» площади под кривой, начиная с некоторого произвольный левый конец и до конца до $ t = \ tau $. Мы можем вычислить площадь под $ f (t) $ между $ a $ и $ b $. посмотрев на изменение в $ F (\ tau) $ между $ a $ и $ b $. \ [ A (a, b) = F (b) – F (a). \]
Мы можем проиллюстрировать логику приведенной выше формулы графически: Площадь $ A (a, b) $ равна «текущей сумме» до тех пор, пока $ x = b $ минус промежуточная сумма до тех пор, пока $ x = a $.{b} f (x) \ dx = – A (a, b). \] Во всех выражениях, включающих интегралы, если вы хотите чтобы поменять границы интеграции, вам нужно добавить знак минус перед интегралом.
Площадь также может оказаться отрицательной, если мы интегрируем отрицательная функция от $ a $ до $ b $. В общем, если $ f (x) $ в некоторых местах выше оси $ x $, эти будет положительным вкладом в общую площадь под кривой, и места, где $ f (x) $ ниже оси $ x $, будут считаться отрицательными вклады в общую площадь $ A (a, b) $.c f (x) \; dx = А (а, в). \]
Линейность
Интеграция – это линейная операция: \ [ \ int [\ alpha f (x) + \ beta g (x)] \; dx знак равно \ альфа \ int f (x) \; dx + \ бета \ int g (x) \; dx, \] для произвольных констант $ \ alpha, \ beta $.
Напомним, что это было верно для дифференциации: \ [ [\ альфа f (x) + \ beta g (x)] ‘ знак равно \ альфа f ‘(х) + \ beta g ‘(х), \] поэтому мы можем сказать, что операции исчисления в целом – это линейных операций, операций.
Интеграл как функция
До сих пор мы рассматривали только определенные интегралы, для которых пределы интегрирования были константами $ x_i = a $ и $ x_f = b $, и поэтому интеграл был числом $ A (a, b) $.
В более общем смысле, у нас может быть один (или несколько) пределов интегрирования переменных. Например, мы можем иметь $ x_i = a $ и $ x_f = x $. Напомним, что площадь под кривой $ f (x) $ по определению равна вычисляется как разность антипроизводной функции $ F (x) $ оценивается в пределах: \ [ А (х_i, х_f) = А (а, х) = F (х) – F (а). \]
Выражение $ A (a, x) $ немного вводит в заблуждение в качестве имени функции, поскольку он выглядит как $ a $ и $ x $ – это переменная , когда на самом деле $ a $ – постоянный параметр, и только $ x $ – это переменная.х f (t) \; dt = F (x) – F (a). \]
Два наблюдения. Во-первых, обратите внимание, что $ A_a (x) $ и $ F (x) $ отличаются только константой, поэтому на самом деле антипроизводная – это интеграл с точностью до константы что обычно не важно. Во-вторых, обратите внимание, что поскольку переменная $ x $ появляется в верхний предел выражения, мне пришлось использовать фиктивную переменную $ t $ внутри интеграла. Если мы не используем другую переменную, мы можем спутать текущую переменную внутри интеграла с предел интеграции.x f (t) dt \ right] = \ frac {d} {dx} \ left [F (x) – F (0) \ right] = f (x). \]
Мы можем думать об обратных операторах $ \ frac {d} {dt} $ и $ \ int \ cdot dt $ символически на том же основании, что и другие математические операции, о которых вы знаете. Обычные методы решения уравнений могут затем применяться для решения уравнений, включающих производные. Например, предположим, что вы хотите найти $ f (t) $ в уравнении \ [ \ frac {d} {dt} \; f (t) = 100. \] Чтобы добраться до $ f (t) $, мы должны отменить операцию $ \ frac {d} {dt} $.Применяем операцию интегрирования к обеим частям уравнения: \ [ \ int \ left (\ frac {d} {dt} \; f (t) \ right) dt = f (t) = \ int 100 \; dt = 100t + C. \] Решение уравнения $ f ‘(t) = 100 $: $ f (t) = 100t + C $, где $ C $ называется постоянной интегрирования .
Дайте мне немного из этого
Хорошо, хватит теории. Сделаем несколько антипроизводных. Но как делать антипроизводные? На самом деле, дело в названии. Производные и анти. Что бы ни делала производная, интеграл должен делать противоположное.4 + С. \] Каждый раз, когда вы интегрируетесь, вы всегда получаете ответ с точностью до произвольной аддитивной константы $ C $, который всегда будет отображаться в ваших ответах.
Давайте посмотрим еще на несколько примеров:
\ [ \ int \ cos \ theta \ d \ theta = \ sin \ theta + C, \]
```
, поскольку $ \ frac {d} {d \ theta} \ sin \ theta = \ cos \ theta $,
 и аналогично интеграл для $ \ sin \ theta $ равен:
 \ [
 \ int \ sin \ theta \ d \ theta = - \ cos \ theta + C,
 \]
 поскольку $ \ frac {d} {d \ theta} \ cos \ theta = - \ sin \ theta $.{-1} = \ frac {1} {x} $ - это
 \ [
 \ int \ frac {1} {x} \ dx = \ ln x + C,
 \]
 поскольку $ \ frac {d} {dx} \ ln x = \ frac {1} {x} $. \ pi \ nl
 & = [- \ cos \ pi + C] - [- \ cos (0) + C] \ nl
 & = \ соз (0) - \ соз \ пи \ \ = \ \ 1 - (-1) = 2.\ end {align}
\]
 Константа $ C $ не появляется в ответе,
потому что он находится как в верхнем, так и в нижнем пределах.
 Что дальше 
 Если интеграция - это не что иное, как обратная дифференциация
и вы уже знаете дифференцирование наизнанку из дифференциального исчисления,
вам может быть интересно, что вы собираетесь делать в течение всего семестра
интегрального исчисления.
Для всех намерений и целей, если вы понимаете концептуальную
материал в этом разделе, то вы поймете интегральное исчисление.2 (х) \ dx
знак равно
T_1 - T_2
= \ frac {\ pi} {2} - 0 = \ frac {\ pi} {2}.
\]
 Вы понимаете, как интеграция может быстро стать сложной?
Вам нужно изучить всевозможные уловки для решения интегралов.
Я научу тебя всем необходимым трюкам, но чтобы стать
вы не можете просто читать: вы должны отработать  техник.
Обещай мне, что будешь практиковаться! Как мой ученик, я не ожидаю меньшего
чем полный набор вопросов, с которыми вы столкнетесь на выпускном экзамене. 
```

как понять и решать неопределенные и определенные интегралы, правила и примеры

Изучаем понятие «интеграл»

Неопределенный интеграл

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Свойства определенного интеграла

Примеры решения интегралов

Свойства интегралов

2.1. Несобственные интегралы для «чайников»

Методы вычисления интегралов, формулы и примеры решений

1.

4. Интегрирование по частям

Задания на определенный интеграл. Интегралы – что это, как решать, примеры решений и объяснение для чайников. Правила вычисления интегралов для чайников

Понятие определённого интеграла и формула Ньютона-Лейбница

Найти определённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Свойства определённого интеграла

Определённый интеграл с переменным верхним пределом

Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

Изучаем понятие « интеграл»

Неопределенный интеграл

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Свойства определенного интеграла

Примеры решения интегралов

Урок 25. применение интегралов для решения геометрических и физических задач – Алгебра и начала математического анализа – 11 класс

Введение в интеграцию

Ломтики

Это очень много!

Пример: 2x

Обозначение

плюс C

Практический пример: кран и резервуар

Теперь для увеличения расхода

Прочие функции

Пример: что такое ∫cos (x) dx?

Пример: Что такое ∫x

Определенные и неопределенные интегралы

index-of.es/

Исчисление I – неопределенные интегралы

Раздел 5-1: Неопределенные интегралы

Определения

Свойства неопределенного интеграла

Интеграция | Физика для идиотов

Неопределенный интеграл и основные правила интеграции

Первообразные и неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл некоторых общих функций

Свойства неопределенного интеграла

с рабочими примерами – iGCSE & A Level

Базовая интеграция

Формула для интегрирования: ∫ x

Определенный интеграл

Нахождение площади под кривой

Площадь =

Площадь под кривой – интерактивный

Область между линией и кривой – интерактивный

Площадь прямоугольника

Площадь треугольника

Площадь трапеции

исчисление: интегралы

Определения

Формулы

Сумма Римана

Линейность

Интеграл как функция

Дайте мне немного из этого

Что дальше

Оставить комментарий Отменить ответ