Найти неопределенный интеграл: Интегрирование простейших иррациональностей

Найти неопределённый интеграл – определение и пример решения

Содержание:

 

1. Основные свойства неопределенного интеграла
2. Таблица основных неопределенных интегралов

Определение: Совокупность всех первообразных функций для данной функции на интервале называется и неопределенным интегралом от функции (на этом интервале:) и обозначается, символом

В этом обозначении знак называется знаком интеграла. выражение — подынтегральным выражением, а сама функция — подынтегральной функцией.

Если — одна из первообразных функций для функции на интервале то, в силу следствия из теоремы 6.1,

где — любая постоянная.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Подчеркнем, что если первообразная (а стало быть, и неопределенный интеграл) для функции на интервале существует, то подынтегральное выражение в формуле (6.

1) представляет собой дифференциал любой из этих первообразных. В самом деле, пусть — любая из первообразных для функции на интервале . т.е. для всех из интервала Тогда

Примеры с решением

Примeр 1.

на интервале ибо функция является одной

из первообразных для функции на указанном интервале.

Примeр 2.

на всей бесконечной прямой ибо функция является одной из первообразных для функции на бесконечной прямой.

В этой главе мы не будем заниматься вопросом о существовании первообразных (или неопределенных интегралов) для широких классов функций. Здесь мы лишь отметим, что в § 7 гл. 10 будет доказано, что для всякой функции непрерывной на интервале существует на этом, интервале первообразная функция, (и неопределенный интеграл).

Операцию нахождения первообразной или неопределенного интеграла (от функции принято называть интегрированием (функции ).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Интегралы для чайников

Таблица интегралов

Производная натурального логарифма

Основные свойства неопределенного интеграла

Прежде всего отметим два свойства, непосредственно вытекающие из определения неопределенного интеграла:

• Свойство 1 означает, что знаки и взаимно сокращаются в случае, если знак дифференциала стоит перед знаком интеграла.
• Свойство 2 означает, что знаки и взаимно сокращаются и в случае, если знак интеграла стоит перед знаком дифференциала, но в этом случае к следует добавить произвольную постоянную

Для установления свойства 1 достаточно взять дифференциал от обеих частей формулы (6.2) и учесть, что

Для установления свойства 2 достаточно в левой части (6.2) воспользоваться равенством

Следующие два свойства обычно называют линейными свойствами интеграла:

Подчеркнем, что равенство в формулах 3° и 4° имеет условный характер: его следует понимать как равенство правой и левой частей с точностью до произвольного постоянного слагаемого (это понятно, поскольку каждый из интегралов, фигурирующих в формулах 3° и 4°, определен с точностью до произвольного постоянного слагаемого).

Поскольку две первообразные для одной и той же функции могут отличаться лишь на постоянную, то для доказательства свойства 3° достаточно доказать, что если — первообразная для a — первообразная для то функция является первообразной для функции Это последнее непосредственно вытекает из того, что производная (алгебраической) суммы функций равна сумме производных этих функций, т.

е. Аналогично доказывается свойство 4°. В этом случае используется равенство

Таблица основных неопределенных интегралов

Мы получили таблицу производных простейших элементарных функций (см. § 8 гл. 5), представляющую собой вычислительный аппарат дифференциального исчисления. Каждая формула этой таблицы, устанавливающая, что та или иная функция имеет производную, равную приводит нас, в силу определения неопределенного интеграла, к соответствующей формуле интегрального исчисления

Таким путем мы приходим к следующей таблице основных-неопределенных интегралов:

К этим формулам можно присоединить и соответствующие формулы для гиперболических функций:

Сделаем замечания в отношении формул 4, 12 и 13. Формула 4 справедлива для любого интервала, тте содержащего значения

В самом деле, если то из формулы заключаем, что а если то из формулы

заключаем что Тем самым формула 4 оправдана для любого

Формулы 12 и 13 занимают исключительное положение в пашей таблице, ибо эти формулы не имеют аналогов среди формул таблицы производных.

Однако для проверки формул 12 и 13 достаточно убедиться в том, что производные выражений, стоящих в правых частях этих формул, совпадают с соответствующими подынтегральными функциями.

Наша ближайшая цель — дополнить таблицу неопределенных интегралов основными приемами и методами интегрирования. Но прежде чем приступить к реализации этой цели, сделаем одно важное замечание.

Производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную функцию. Иными словами, мы установили, что операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций.

Отметим сразу же, что с операцией интегрирования дело обстоит иначе. Можно доказать, что интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Примерами таких интегралов могут служить следующие:

Каждый из указанных интегралов представляет собой функцию, не являющуюся элементарной. Указанные функции не

только реально существуютно и играют большую роль в различных вопросах физики. Так, например, интеграл 1, называемый интегралом Пуассона пли интегралом ошибок, широко используется в статистической физике, в теории теплопроводности и диффузии, интегралы 2 и 3, называемые интегралами

Френеля, широко применяются в оптике. Часто встречаются в приложениях и интегралы 4-G, первый из которых называется интегральным логарифмом, а последние два — интегральными косинусом и синусом.

Для всех перечисленных новых функций (интеграла Пуассона. интегралов Френеля, интегрального логарифма, синуса и косинуса) составлены таблицы и графики.

Ввиду важности для приложений, эти функции изучены с такой же полнотой, как и простейшие элементарные функции. Вообще следует подчеркнуть условность понятия простейшей элементарной функции.

1°. Вычислить Для вычисления этого интеграла следует сделать простейшую подстановку В результате этой замены получим

Вычислить: Этот интеграл вычисляется посредством замены При этом получим

3°. Вычислить Легко видеть, что этот интеграл вычисляется путем замены В самом деле, при этом и Для вычисления этого интеграла удобна замена В самом деле, при такой замене

5°. Вычислить . Конечно, этот интеграл можно свести к сумме трех тысяч табличных интегралов, расписывая подынтегральную функцию по формуле бинома Ньютона. Несравненно проще сделать замену в результате которой мы получим

6°. Вычислить Чтобы усмотреть ту замену, посредством которой может быть взят этот интеграл, перепишем его в виде

После этого понятно, что следует положить В результате получим

7. Вычислить Удобна замена При этом

Вычислить: Для вычисления этого интеграла оказывается удобной тригонометрическая подстановка

В результате этой подстановки интеграл принимает вид

9. Вычислить Здесь оказывается удобной подстановка При этом

10°. Вычислить. для вычисления этого интеграла оказывается удобной замена Мы получим

3. Вычислим интеграл Полагая и используя формулу (6.9), получим

2. Вычислим далее интеграл Полагая и используя формулу (6.9), будем иметь

3°. Вычислим интеграл Сначала применим формулу (6. 9), полагая Получим Для вычисления последнего интеграла еще раз применим формулу (6.9), полагая на этот раз Получим

Таким образом, интеграл вычислен нами посредством двукратного интегрирования по частям. Легко понять, что интеграл (где — любое целое положительное число) может быть вычислен по аналогичной схеме посредством –кратного интегрирования по частям.

4°. Вычислим теперь интеграл Сначала применим формулу (6.9), полагая

Получим

Для вычисления последнего интеграла еще раз применим формулу (6.9), полагая на этот раз Получим

Таким образом, посредством двукратного интегрирования по частям мы получили для интеграла уравнение первого порядка (6.11). Из этого уравнения находим

Практика, показывает, что большая часть интегралов, берущихся посредством интегрирования по частям, может быть разбита на. следующие три группы:

1) К первой группе относятся интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: (см. рассмотренные выше примеры 1° и 2°). Для вычисления интегралов первой группы следует применить формулу (6.9), полагая в ней равной одной из указанных выше функций [).

2) Ко второй группе относятся интегралы вида

где — некоторые постоянные, — любое целое положительное число (см. выше, пример 3°). Интегралы второй группы берутся путем кратного применения формулы интегрирования по частям (6.9), причем в качестве всякий раз следует брать в соответствующей степени. После каждого интегрирования по частям эта степень будет понижаться на единицу.

3) К третьей группе относятся интегралы вида (см. рассмотренный выше пример 4°). Обозначая любой из интегралов этой группы через и производя двукратное интегрирование по частям, мы составим для уравнение первого порядка.

Конечно, указанные три группы не исчерпывают всех без исключения интегралов, берущихся посредством интегрирования по частям. Приведем примеры интегралов, не входящих ни в одну из перечисленных трех групп, но вычислимых при помощи формулы (6. 9).

Вычислить интегралл Этот интеграл не входит ни в одну из упомянутых трех групп. Тем тте менее, применяя

формулу (6.9) и полагая в ней получим

Как найти неопределенный интеграл?

Это чужой компьютер Забыли пароль?

1. Главная
2. Образование
3. ВУЗы, Колледжи, Техникумы
4. Закрытый вопрос

1. ВУЗы, Колледжи, Техникумы
2. Закрытый вопрос

• Бизнес, Финансы
• Города и Страны
• Досуг, Развлечения
• Животные, Растения
• Здоровье, Красота, Медицина
• Знакомства, Любовь, Отношения
• Искусство и Культура
• Компьютеры, Интернет, Связь
• Кулинария, Рецепты
• Лингвистика
• Наука и Техника
• Образование
• ВУЗы, Колледжи, Техникумы
• Детские сады
• Домашние задания
• Дополнительное образование
• Образование за рубежом
• Прочее образование
• Школы
• Общество, Политика, СМИ
• Отдельная Категория
• Прочее
• Путешествия, Туризм
• Работа, Карьера
• Семья, Дом, Дети
• Спорт
• Стиль, Мода, Звезды
• Товары и Услуги
• Транспорт
• Философия, Психология
• Фотография, Видеосъемка
• Юридическая консультация

Юмор

Закрыт 12 лет

Rookie

Ученик (105)

интеграл от x умножить на e в степени x

#интеграл

Мы платим до 300 руб за каждую тысячу уникальных поисковых переходов на Ваш вопрос или ответ Подробнее

ЛУЧШИЙ ОТВЕТ ИЗ 2

12 лет

Личный кабинет удален

Наставник (45596)

Вы можете заказать решение контрольной работы по адресу

По частям. 2+1))dx

вычислить неопределенный интеграл

Помогите решить неопр. интегралы, как всегда на самом простом застреваю

Интеграл от x*arctg2x – как решить?

А как лучше колбаску в оливье порезать-с логарифмами или с интегралами?

Как люди придумали интегралы, как им это пришло в голову? “

5дх

Подписаться І 1

Подробнее

Отчет

2 ответа от опытных наставников

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Итан С. ответил 08.05.20

Репетитор

Новое в Византе

Смотрите таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

Помните, что в определенном смысле мы можем думать об интеграции как об обратной стороне дифференцирования. Точно так же, как вопрос о делении 6 ÷ 2 спрашивает: «Произведение какого числа и 2 равно 6?» такой интеграл, как ∫8x dx, спрашивает: «Какая дифференцированная функция дает нам функцию 8x?».

Возможно, вы помните правило дифференцирования, называемое «степенным правилом», которое говорит нам, как поступать с функциями возведения переменной в степень. Производная dy/dx от y = x ² , например, равно 2x, и вообще, дифференцирование функции y = x ⁿ по n дает нам производную dy/dx = nx ^n-1 . Умножаем переменную на ее мощность и уменьшаем ее мощность на единицу. Мы также можем проследить этот процесс в обратном порядке: чтобы найти функцию, которую нужно дифференцировать, чтобы получить 2x, мы знаем, что мощность функции должна быть на единицу выше, что в данном случае равно 1 + 1 = 2. Мы можем разделить 2x на 2. и увеличим его мощность, чтобы получить функцию x ² , восстанавливая нашу первоначальную функцию.

Еще одна важная деталь: мы должны иметь в виду, что мы теряем информацию при дифференцировании. Поскольку все производные связаны со скоростью изменения функций, мы игнорируем любые константы, добавленные в конец функции. y = x ² , y = x ² + 3 и y = x ² – 42 имеют одну и ту же производную: dy/dx = 2x. Когда мы интегрируем функцию 2x, мы учитываем эту неоднозначность, добавляя константу в конец, так что ∫2x dx = x ² + гр. Иногда вы увидите, что это называется константой интегрирования .

Вместе с «правилом обратной мощности» интеграл степенной функции

Применение этого правила к нашим выражениям дает нам:

∫8x dx = (8x ² )/2 + c = 4x ² + c

∫x ^{3 6 x} 0d0036/6 + с

Голосовать за 0 голос против

Подробнее

Отчет

Патрик Б. ответил 08.05.20

Репетитор

4. 7 (31)

Репетитор/учитель математики и информатики

Смотрите таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов 96+с

Голосовать за 0 голос против

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.

Задайте вопрос бесплатно

Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и встретьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.

Алгоритм

– Как вычислить неопределенный интеграл программно

спросил 12 лет, 4 месяца назад

Изменено 12 лет, 4 месяца назад

Просмотрено 13 тысяч раз

Помню, я решал множество бесконечных задач интеграции. Существуют определенные стандартные методы их решения, но тем не менее есть задачи, для решения которых требуется комбинация подходов. Но как мы можем достичь решения программно.

Например, взгляните на приложение онлайн-интегратора Mathematica. Итак, как нам подойти к написанию такой программы, которая принимает функцию в качестве аргумента и возвращает неопределенный интеграл функции.

PS. Можно предположить, что входная функция непрерывна (т. е. не является, например, sin(x)/x).

• алгоритм
• математика

6

У вас есть алгоритм Риша, который неразрешим (поскольку вы должны решить, равны ли два выражения, сродни вездесущей проблеме остановки), и его очень долго реализовывать.

Если вы увлекаетесь сложными вещами, решение обыкновенного дифференциального уравнения на самом деле не сложнее (а вычисление неопределенного интеграла эквивалентно решению y’ = f(x)). Существует дифференциальная теория Галуа, которая имитирует теорию Галуа для полиномиальных уравнений (но с группами Ли симметрий решений вместо конечных групп перестановок корней). На этом основан алгоритм Риша.

1

Вы держите набор основных форм известных вам интегралов (полиномы, элементарные тригонометрические функции и т.д.) и используете их на форме ввода. Это выполнимо, если вам не нужна большая общность: например, очень легко написать программу, интегрирующую многочлены.

Если вы хотите сделать это в наиболее общем случае, вам придется проделать большую часть работы, которую выполняют системы компьютерной алгебры. Для некоторых людей это работа всей жизни, например. если вы посмотрите на «алгоритм» Риша, размещенный в других ответах, или на символическую интеграцию, вы увидите, что есть целые многотомные книги («Мануэль Бронштейн, Symbolic Integration Volume I : Springer”), которые были написаны по этой теме, и очень немногие существующие системы компьютерной алгебры реализуют ее в максимальной степени.