Найти общее решение ду: Дифференциальные уравнения онлайн

Уравнения, допускающие понижение порядка

Мы умеем решать уравнения первого порядка. Поэтому возникает естественное желание свести уравнение порядка выше первого к уравнению более низкого порядка. В некоторых случаях это удаётся сделать. Рассмотрим их.

1. Уравнения вида y(n)=f(x) решаются последовательным интегрированием n раз
, ,… .
Пример №1. Решить уравнение xy''=1. Можем записать , следовательно, y’=ln|x| + C₁и, интегрируя ещё раз, окончательно получаем y=∫ln|x| + C₁x + C₂

2. В уравнениях вида F(x,y(k),y(k+1),..,y(n))=0 (то есть не содержащих в явном виде неизвестной функции и некоторых её производных) порядок понижается с помощью замены переменной y^(k) = z(x). Тогда y^(k+1)=z'(x),…,y⁽ⁿ

) = z^(n–k)(x) и мы получаем уравнение F(x,z,z’,. .,z^(n–k)) порядка n-k. Его решением является функция z = φ(x,C₁,C₂,…,C_n) или, вспоминая, что такое z, получаем уравнение y^(n-k) = φ(x,C₁,C₂,…,C_n–k) рассмотренного в случае 1 типа.

Пример №2. Решить уравнение x2y'' = (y')2. Делаем замену y'=z(x). Тогда y''=z'(x). Подставляя в исходное уравнение, получаем x²z’=z². Разделяя переменные, получаем . Интегрируя, имеем , или, что тоже самое, . Последнее соотношение записывается в виде , откуда . Интегрируя, окончательно получаем

Пример №3. Решить уравнение x3y'' +x2y'=1 .Делаем замену переменных: y’=z; y”=z’
x³z’+x²z=1. Делаем замену переменных: z=u/x; z’=(u’x-u)/x²
x³(u’x-u)/x²+x²u/x=1 или u’x²-xu+xu=1 или u’x^2=1. Откуда: u’=1/x² или du/dx=1/x² или u = int(dx/x²) = -1/x+c₁
Поскольку z=u/x, то z = -1/x²+c₁/x. Поскольку y’=z, то dy/dx=-1/x²+c₁/x
y = int(c₁dx/x-dx/x²) =c₁ln(x) + 1/x + c₂. Ответ: y = c₁ln(x) + 1/x + c₂

3. Следующим уравнением, допускающим понижение порядка, является уравнение вида F(y,y',y'',…,y(n))=0, не содержащее в явном виде независимой переменной. Порядок уравнения понижается с помощью замены переменной y’=p(y), где p – новая искомая функция, зависящая от y. Тогда
= и так далее. По индукции имеем y⁽ⁿ⁾=φ(p,p’,..,p^(n-1)). Подставляя в исходное уравнение, понижаем его порядок на единицу.

Пример №4. Решить уравнение (y')2+2yy''=0. Делаем стандартную замену y’=p(y), тогда y″=p′·p. Подставляя в уравнение, получаем Разделяя переменные, при p≠0, имеем Интегрируя, получаем или, что то же самое, . Тогда или . Интегрируя последнее равенство, окончательно получаем При разделении переменных мы могли потерять решение y=C, которое получается при p=0, или, что то же самое, при y’=0, но оно содержится в полученном выше.

4. Иногда удаётся подметить особенность, позволяющую понизить порядок уравнения отличными от рассмотренных выше способами. Покажем это на примерах.

Замечания.
1. Если обе части уравнения yy'''=y′y″ разделить на yy″, то получим уравнение , которое можно переписать в виде (lny″)′=(lny)′. Из последнего соотношения следует, что lny″=lny+lnC, или, что то же самое, y″=Cy. Получилось уравнение на порядок ниже и рассмотренного ранее типа.
2. Аналогично для уравнения yy″=y′(y′+1) имеем , или (ln(y’+1))’ = (lny)’. Из последнего соотношения следует, что ln(y’+1) = lny + lnC₁, или y’=C₁y-1. Разделяя переменные и интегрируя, получаем, ln(C₁y-1) = C₁x+C₂

Решить уравнения, допускающие понижение порядка можно с помощью специального сервиса Дифференциальные уравнения онлайн.

3. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Интегралы и дифференциальные уравнения

ФН2

Интегралы и дифференциальные уравнения

Оценочные средства

Типовые задачи, используемые при формировании

вариантов текущего контроля

Модуль1. Интегралы

Контрольная работа №1 «Техника интегрирования»

Вычислить следующие неопределенные интегралы:

1. , 2., 3. ,

4. , 5. ,

6. , 7. , 8. .

Домашнее задание №1 «Приложения определенного интеграла.

Контроль по модулю №1 (РК №1) «Приложения определенного интеграла».

1. Доказать теорему Ньютона-Лейбница.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми , и осью Ох.

3. Найти площадь поверхности тела, ограниченного вращением вокруг оси Ox кривой

.

4. Исследовать на сходимость а) ; б) .

Модуль 2. Дифференциальные уравнения.

Контрольная работа №2 «Дифференциальные уравнения первого порядка»

Домашнее задание №2 “Дифференциальные уравнения высшего порядка”

1. Найти общее решение дифференциального уравнения.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям

4. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям

5. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, если известно одно частное решение соответствующего однородного уравнения

Рубежный контроль№2 “Дифференциальные уравнения высшего порядка”

4. Для системы дифференциальных уравнений ,

а) найти фундаментальную систему решений; б) найти общее решение.

Вопросы для подготовки к контролям по модулям и экзамену Модуль 1. Интегралы

1. Первообразная.Доказать теоремы о первообразных. Неопределенный

интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов, ее вывод.

2. Интегрирование подстановкой и по частям – вывод. Примеры. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций.

3. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших. Примеры. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование неправильных рациональных дробей.

4. Определенный интеграл, его механический и геометрический смысл, теорема существования. Доказать линейность определенного интеграла и вывести формулу для определенного интеграла от константы.

5. Доказать теоремы о переходе в неравенстве к интегралам, об оценке и о среднемдля определенного интеграла.

6. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Доказать теорему о производной интеграла с переменным верхним пределом. Вывести формулу Ньютона-Лейбница.

7. Вычисление определенного интеграла подстановкой и по частям (вывод). Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат (вывод), интегрирование периодических функций. Примеры.

8. Несобственные интегралы 1-го и2-го рода, доказать их свойства. Признаки сходимости. Примеры. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Доказать теорему о связи абсолютной сходимости и обычной. Примеры.

9.Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах (вывод).

10. Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения (вывод).

11. Вычисление длины дуги кривой и площади поверхности вращения (вывод).

Модуль 2 Дифференциальные уравнения

12. Дифференциальные уравнения(ДУ_1-го порядка). Частные и общее решения ДУ, интегральные кривые. Задача Коши и теорема существования и единственности ее решения. Особые точки и особые решения ДУ. Примеры.

13. Геометрическая интерпретация ДУ 1-го порядка. Поле направлений. Геометрическое решение ДУ 1-го порядка с помощью изоклин. Примеры.

14. Простейшие типы ДУ 1-го порядка (с разделяющимися переменными, однородные,линейные, Бернулли) и их решение. Примеры.

15. ДУ n-го порядка. Частные и общее решения. Задача Коши, ее геометрическая интерпретация при. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Краевая задача.

16. Понижение порядка некоторых типов ДУ высших порядков.

17. ЛинейныеДУ (ЛДУ) п-го порядка: однородные (ОЛДУ) и неоднородные. Теорема о существовании и единственности решения. Линейный дифференциальный оператор. Доказать свойства линейного дифференциального оператора и линейность пространства решений ОЛДУ.

18. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского (вронскиан). Доказать теорему о вронскиане системы линейно зависимых функций и теорему о вронскиане системы линейно независимых частных решений ОЛДУ.

19. Доказать теорему о размерности пространства решений ОЛДУ n-го порядка. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

20. Формула Остроградского-Лиувилля для ОЛДУ n-го порядка (вывод для ) и ее следствия.

21. Доказать теорему о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка и теорему о наложении частных решений.

22 ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение и построение общего решения по его корням (вывод для).

23. Нахождение частных решений неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

24. Метод вариации постоянных решения неоднородных ЛДУ n-го порядка (вывод для).

25. Нормальные системы ДУ. Задача Коши и теорема о существовании и единственности ее решения. Сведение ДУ n-го порядка к нормальной системе, примеры. Сведение нормальной системы к одному уравнению n-го порядка (вывод для), примеры.

26. Автономные системы ДУ. Фазовое пространство и фазовые траектории. Первые интегралы систем ДУ. Симметричная форма записи систем ДУ и ее применение к нахождению первых интегралов. Примеры.

27. Системы ЛДУ 1-го порядка, однородные и неоднородные. Матричная запись системы. Доказать линейность пространства решений системы ОЛДУ.

28. Вронскиан системы векторных функций и его свойства. Доказать теорему о размерности пространства решений системы ОЛДУ. Структура общего решения . Фундаментальная система решений.

29. Структура общего решения системы неоднородных ЛДУ. Метод вариации произвольных постоянных (вывод).

30. Системы ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод для случая вещественных различных корней).

Калькулятор общего решения

Онлайн-калькулятор общего решения — это калькулятор, позволяющий находить производные дифференциального уравнения.

Калькулятор общих решений — это фантастический инструмент, который ученые и математики используют для вывода дифференциальных уравнений. Калькулятор общего решения играет важную роль в решении сложных дифференциальных уравнений.

Что такое калькулятор общего решения?

Калькулятор общих решений — это онлайн-калькулятор, который помогает решать сложные дифференциальные уравнения.  

Калькулятору общих решений требуется один ввод — дифференциальное уравнение, которое вы вводите в калькулятор. Входное уравнение может быть дифференциальным уравнением первого или второго порядка. Калькулятор общего решения быстро вычисляет результаты и отображает их в отдельном окне.

Калькулятор общего решения отображает несколько различных результатов, таких как входные данные, графики уравнения, альтернативная форма , комплексные корни , полиномиальный дискриминант , производная , интеграл и глобальный минимум , если они доступны.

Как пользоваться калькулятором общего решения?

Вы можете использовать Калькулятор общего решения , введя дифференциальное уравнение в калькулятор и нажав кнопку «Отправить» на Калькулятор общего решения .

Пошаговые инструкции по использованию Калькулятора общих решений приведены ниже:

Шаг 1

Чтобы использовать Калькулятор общих решений , , вы должны сначала вставить дифференциальное уравнение в соответствующее поле.

Шаг 2

После того, как вы ввели дифференциальное уравнение в Калькулятор общего решения, просто нажмите кнопку «Отправить». General Solution Calculator выполнит расчеты и мгновенно отобразит результаты в новом окне.

Как работает общий калькулятор

Solution ?

A Калькулятор общего решения работает, беря дифференциальное уравнение в качестве входных данных, представленных как y = f(x), и вычисляя результаты дифференциального уравнения. Решение дифференциального уравнения дает нам представление о том, как изменяются величины и почему это изменение происходит.

Что такое дифференциальные уравнения?

Дифференциальное уравнение — это уравнение, содержащее производную неизвестной функции. Производные функции определяют, как быстро она изменяется в данной точке. Эти производные связаны с другими функциями с помощью дифференциального уравнения.

Основные приложения дифференциальных уравнений используются в биологии, физике, технике и многих других науках. Основная цель дифференциального уравнения состоит в том, чтобы изучить решения, которые удовлетворяют уравнениям и характеристикам решений.

Любое уравнение, имеющее хотя бы одну обыкновенную или частную производную неизвестной функции, называется дифференциальным уравнением . Предполагая, что скорость изменения функции x обратно пропорциональна y, мы можем записать ее как $\frac{dy}{dx} = \frac{k}{y}$.

Дифференциальное уравнение в математическом анализе представляет собой уравнение, которое включает производные зависимой переменной относительно независимой переменной . Производная есть не что иное, как представление скорость изменения .

Дифференциальное уравнение помогает представить взаимосвязь между изменяющейся величиной и изменением другой величины. Пусть y=f(x) — функция, где f — неизвестная функция, x — независимая переменная, f — зависимая переменная.

Что такое порядок дифференциальных уравнений?

Порядок дифференциального уравнения — это порядок, определяемый производной высшего порядка, которая появляется в уравнении. Рассмотрим следующие дифференциальные уравнения: 9{2}}) = 0 \]

Старшие производные в приведенных выше примерах дифференциальных уравнений относятся к первому, четвертому и третьему порядкам соответственно.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Первый пример демонстрирует дифференциальное уравнение первого порядка со степенью 1. Первый порядок включает все линейные уравнения, которые принимают форму производных. Он имеет только первую производную, как показывает уравнение $\frac{dy}{dx}$, где x и y – две переменные, а $\frac{dy}{dx} = f(x, y) = у’$. 9{2}} = f”(x) = y”$.

Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения?

Обыкновенное дифференциальное уравнение или ОДУ — это математическое уравнение только с одной независимой переменной и одной или несколькими ее производными.

В результате обычное дифференциальное уравнение представляется как связь между действительной зависимой переменной y и одной независимой переменной x вместе с некоторыми производными y относительно x.

Поскольку дифференциальное уравнение в приведенном ниже примере не содержит частных производных, оно является обыкновенным дифференциальным уравнением. 9{2}})+(\frac{dy}{dx})=3y\cos{x} \]

Существует два типа однородных и неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Что такое однородные дифференциальные уравнения?

Однородные дифференциальные уравнения — это дифференциальные уравнения, в которых все члены имеют одинаковую степень. Поскольку P(x,y) и Q(x,y) являются однородными функциями одной и той же степени, их можно в общем случае выразить как P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0,

Здесь некоторые примеры однородных уравнений: 9{2} + 2x = 0$ — пример неоднородного дифференциального уравнения.

Линейное дифференциальное уравнение является разновидностью неоднородного дифференциального уравнения и связано с линейным уравнением.

Что такое уравнения с частными производными?

Уравнение в частных производных , или УЧП, представляет собой уравнение, в котором используются только частные производные одной или нескольких функций двух или более независимых переменных. Следующие уравнения являются примерами дифференциальных уравнений в частных производных 9{2}} = 0 \]

Применение дифференциальных уравнений

Обычные дифференциальные уравнения используются в повседневной жизни для вычисления потока электричества , движения объекта вперед и назад, как маятник, и для иллюстрации принципов термодинамика .

В медицинской терминологии они также используются для графического мониторинга прогрессирования заболевания. Математические модели, связанные с ростом населения или радиоактивным распадом, можно описать с помощью дифференциальных уравнений. 9{2} + 3$. Ему нужно вычислить производную этого уравнения. Используя Калькулятор общего решения , найдите производную этого уравнения.

Решение

С помощью нашего калькулятора общих решений , мы можем легко найти производную для данного уравнения. Сначала мы добавляем уравнение в соответствующее поле калькулятора.

После ввода уравнения нажимаем кнопку «Отправить». Калькулятор общего решения быстро вычисляет уравнение и отображает результаты в новом окне. 9{2}  + 3x \]

Чтобы продолжить свои исследования, ученый должен определить производную уравнения. Найдите производную приведенного уравнения.

Решение

Мы можем решить уравнение, используя Калькулятор общего решения . Сначала мы вводим полученное уравнение в калькулятор.

После того, как мы введем уравнение в Калькулятор общего решения, нам всем нужно нажать кнопку «Отправить». Калькулятор мгновенно отобразит результаты в новом окне. 9{2}  + 3x \right \} = -\frac{13}{27} \ at \ x = -\frac{1}{3} \]

Все изображения/графики созданы с использованием GeoGebra

Последовательность Калькулятор формул

<Список математических калькуляторов> Расчет длины дуги

 

обыкновенных дифференциальных уравнений. Найдите общее решение по одному решению

спросил 10 лет, 1 месяц назад

Изменено 10 лет, 1 месяц назад 9{2x}$. Найдите общее решение.

Я думал о том, чтобы найти характеристическое уравнение и решить его, но я чувствую, что может быть более простой способ приблизиться к этому. Любая помощь?

Спасибо!

• обыкновенные дифференциальные уравнения

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Полагаю, это домашнее задание, так что давайте просто вспомним общую теорию.