Найти общее решение системы методом гаусса: Общее и частное решение системы линейных уравнений. Примеры решений

Общее и частное решение системы линейных уравнений. Примеры решений

Пример 1. Найти общее решение и какое–нибудь частное решение системы

• Решение
• Видео решение

Решение выполняем с помощью калькулятора. Выпишем расширенную и основную матрицы:

Пунктиром отделена основная матрица A. Сверху пишем неизвестные системы, имея в виду возможную перестановку слагаемых в уравнениях системы. Определяя ранг расширенной матрицы, одновременно найдем ранг и основной. В матрице B первый и второй столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один, поэтому перенесем, например, первый столбец за пунктирную черту с обратным знаком. Для системы это означает перенос членов с x₁ в правую часть уравнений.

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Работаем с первой строкой: умножим первую строку матрицы на (-3) и прибавим ко второй и третьей строкам по очереди. Затем первую строку умножим на (-2) и прибавим к четвертой.

Вторая и третья строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например вторую, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию второго уравнения системы, так как оно является следствием третьего.

Теперь работаем со второй строкой: умножим ее на (-1) и прибавим к третьей.

Минор, обведенный пунктиром, имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно

rangA = rangB = 3.
Минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x₂, x₃, x₄, значит, неизвестные x₂, x₃, x₄ – зависимые, а x₁, x₅ – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор (что соответствует пункту 4 приведенного выше алгоритма решения).

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид

Методом исключения неизвестных находим:
x₄=3-4x₅, x₃=3-4x₅-2x₄=3-4x₅-6+8x₅=-3+4x₅
x₂=x₃+2x₄-2+2x₁+3x₅ = -3+4x₅+6-8x₅-2+2x₁+3x₅ = 1+2x₁-x₅
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x₂, x₃, x₄ через свободные x₁ и x₅, то есть нашли общее решение:

Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Найдем два частных решения:

1) пусть x₁ = x₅ = 0, тогда x₂ = 1, x₃ = -3, x₄ = 3;
2) положим x₁ = 1, x₅ = -1, тогда x₂ = 4, x₃ = -7, x₄ = 7.
Таким образом, нашли два решения: (0,1,-3,3,0) – одно решение, (1,4,-7,7,-1) – другое решение.

Пример 2. Исследовать совместность, найти общее и одно частное решение системы

Решение

. Переставим первое и второе уравнения, чтобы иметь единицу в первом уравнении и запишем матрицу B.

Получим нули в четвертом столбце, оперируя первой строкой:

Теперь получим нули в третьем столбце с помощью второй строки:

Третья и четвертая строки пропорциональны, поэтому одну из них можно вычеркнуть, не меняя ранга:
Третью строку умножим на (–2) и прибавим к четвертой:

Видим, что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение:
-x₁=-3 → x₁=3; x₂=3-x₁ → x₂=0; x₃=1-2x₁ → x₃ =5.
x₄ = 10- 3x₁ – 3x₂ – 2x₃ = 11.

Пример 3. Исследовать систему на совместность и найти решение, если оно существует.

Решение. Составляем расширенную матрицу системы.

Переставляем первые два уравнения, чтобы в левом верхнем углу была 1:
Умножая первую строку на (-1), складываем ее с третьей:

Умножим вторую строку на (-2) и прибавим к третьей:

Система несовместна, так как в основной матрице получили строку, состоящую из нулей, которая вычеркивается при нахождении ранга, а в расширенной матрице последняя строка останется, то есть r

B > r_A.

Задание. Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее средствами матричного исчисления.
Решение

Пример. Доказать совместимость системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) методом Крамера. (ответ ввести в виде: x1,x2,x3)
Решение:doc:doc:xls
Ответ: 2,-1,3.

Пример. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность. Найти общее решение системы и одно частное решение.

Решение
Ответ:x₃ = – 1 + x₄ + x₅; x₂ = 1 – x₄; x₁ = 2 + x₄ – 3x₅

Задание. Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение. Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную и основную матрицы:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x1	x2	x3	x4	x5

Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x

1,x₂,x₃, значит, неизвестные x₁,x₂,x₃ – зависимые (базисные), а x₄,x₅ – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x1	x2	x3		x4	x5

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
27x₃ =
– x₂ + 13x₃ = – 1 + 3x₄ – 6x₅
2x₁ + 3x₂ – 3x₃ = 1 – 3x₄ + 2x₅
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x₁,x₂,x₃ через свободные x₄,x₅, то есть нашли общее решение:
x₃ = 0
x₂ = 1 – 3x₄ + 6x₅
x₁ = – 1 + 3x₄ – 8x₅
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.

Задание. Решить систему уравнений.
Ответ😡₂ = 2 – 1.67x₃ + 0.67x₄
x₁ = 5 – 3.67x₃ + 0.67x₄
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной

Пример. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.
Решение: Проверяем совместность системы с помощью теоремы Кронекера – Капелли. Согласно теореме Кронекера – Капелли, из того, что следует несовместность исходной системы.
Ответ: система не совместна.
Решение

Пример 3, Пример 4, Пример 5, Пример 6, Решение

Практическая работа № 7 по учебной дисциплине ЕН.01 Математика | Учебно-методический материал на тему:

Практическая работа № 7

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Задание к работе

1. Методом  Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

2. Установить, что система уравнений имеет единственное решение, и найти его с помощью обратной матрицы.

3. Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

4. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений.

Образец решения варианта.

1. Методом Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений

 .

Решение.

Решение системы находим по формулам Крамера

.

Вычислим определитель системы

.

Последовательно заменив в , первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов, получим соответственно

 ;

 ;

.

Ответ :

.

2. Дана система из трех уравнений с тремя неизвестными. Установить, что система уравнений имеет единственное решение и найти его с помощью обратной матрицы

.

Решение.

Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение (теорема Крамера).

Вычислим определитель данной системы :

,

следовательно, система имеет единственное решение.

Данную систему можно записать в матричной форме :

 , где  ,  ,   .

Так как  , то для матрицы  существует обратная матрица . Умножив матричное уравнение  слева на , получим  , откуда , или  .

Найдем обратную матрицу   по формуле

 ,

где  алгебраическое дополнение элемента  .

 ,

 ,

 .

 .

Тогда  

 .

Ответ :  .

3. Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений

 .

Решение.

Выпишем расширенную матрицу  данной системы и приведем ее к ступенчатому виду

.

Последовательно умножим первую строку на (–2) и прибавим ее ко второй строке, затем умножим на (–3) и прибавим к третьей строке, умножим на (–2) и прибавим к четвертой строке, получим

 .

Ко второй строке полученной матрицы прибавим третью строку, умноженную  на , затем во вновь полученной матрице умножим третью строку на , четвертую  – на (–1), затем последовательно умножим вторую строку на 2 и прибавим ее к третьей строке, умножим на 7 и прибавим к четвертой строке, получим

 .

Третью строку полученной матрицы умножим на , четвертую – на , затем третью строку умножим на (–1) и прибавим к четвертой строке, получим

.

Найденная матрица имеет треугольный вид; по этой матрице запишем систему уравнений, эквивалентную исходной системе,

 .

Последовательно находим неизвестные, начиная с последнего уравнения, ; подставим в третье уравнение найденное , вычислим  ,  ; затем из второго уравнения находим  ,  ; из первого уравнения получим  ,  .

Ответ : .

4. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений  .

Решение.

Элементарными преобразованиями строк приведем матрицу системы  к эквивалентной матрице , которой соответствует уравнение  , эквивалентное исходной системе. Таким образом, общее решение может быть записано в форме  , или  ,   . Решений бесчисленное множество – любая пара, связанная указанной зависимостью, обращает левые части уравнений данной системы в нуль. В системе  – число неизвестных и число уравнений.  , матрица системы, расширенная матрица системы. В силу теоремы Кронекера-Капелли система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного параметра  . Иногда общее решение удобнее использовать в форме

 .

Практическая работа № 7

Решение систем линейных алгебраических уравнений

1. Методом  Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

2. Установить, что система уравнений имеет единственное решение, и найти его с помощью обратной матрицы.

3. Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

4. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений

 Вариант 1

1.1          1.2

1.3   1.4    

Вариант 2

2.1             2.2

2.3     2.4    

Вариант 3

3.1      3.2  

        

3.3    3.4    

Практическая работа № 7

Решение систем линейных алгебраических уравнений

1. Методом  Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

2. Установить, что система уравнений имеет единственное решение, и найти его с помощью обратной матрицы.

3. Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

4. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений

Вариант 4

4.1         4.2

4.3    4.4  

Вариант 5

5.1  5.2          

5.3  5.4    

Вариант 6

6.1                  6.2

6.3   6.4  

Вариант 7

7.1          7.2  

        

7.3  7.4  7.5

Вариант 8

8.1       8.2

8.3   8.4   8.5

Вариант 9

9.1          9.2  

9.3  9.4    9.5  

Вариант 10

10.1         10.2

10.3    10.4   10.5

Вариант 11

11.1         11.2  

11.311.4 11.5

Вариант 12

12.1           12.2

12.3    12.4    12.5

Вариант 13

13.1          13.2  

13.3   13.4   13.5  

Вариант 14

14. 1  14.2

14.3    14.4   14.5  

Вариант 15

15.1            15.2  

15.3     15.4   15.5  

Вариант 16

16.1         16.2

16.3     16.4    16.5

Вариант 17

17.1          17.2  

        

17.3  17.4  17.5  

Вариант 18

18.1         18.2

18.3  18.4 18.5

Вариант 19

19.1          19.2  

19.3   19.4    19.5  

Вариант 20

20.1         20.2

20.3 20.4   20.5

Вариант 21

21.1         21.2  

        

21.3          21.4   21.5  

        Вариант 22

22.1         22.2

22.3    22.4     22.5

Вариант 23

23.1           23.2  

23.323.4 23.5 

Вариант 24

24.1          24.2

24.3   24.4     24.5

Вариант 25

25.1         25.2  

25.3     25.4   25.5  

Вариант 26

26.1         26.2

26.3   26.4   26.5

Вариант 27

27.1         27.2  

        

27.3          27.4  27. 5  

Вариант 28

28.1         28.2

28.3   28.4  28.5

Вариант 29

29.1          29. 2          

29.3          29.4  29.5  

Вариант 30

30.1           30.2

30.3   30.4    30.5  .

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса — КиберПедия

Навигация: Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные Топ: Оснащения врачебно-сестринской бригады. История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации… Интересное: Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны… Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья. .. Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом… Дисциплины: Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 6Следующая ⇒ Цель: Формирование навыков решения СЛАУ методом Гаусса. Время выполнения:2 часа. Требования к выполнению практической работы: 1.Ответить на теоретические вопросы. 2.Оформить задания в тетради для практических работ. Теоретический материал Задачи, посвященные решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом исключения неизвестных для случая, когда система линейных алгебраических уравнений имеет бесконечное множество решений (совместная неопределенная система линейных алгебраических уравнений). При решении системы предлагается использовать одну из разновидностей метода исключения неизвестных – метод Жордана – Гаусса или метода полного исключения. В процессе решения система преобразуется в равносильные (эквивалентные) системы, то есть системы линейных алгебраических уравнений с тем же множеством решений. К элементарным преобразованиям, сохраняющим равносильность систем линейных алгебраических уравнений, относятся следующие преобразования: 1) смена мест уравнений системы линейных алгебраических уравнений; 2) отбрасывание одного из двух одинаковых уравнений системы линейных алгебраических уравнений; 3) умножение обеих частей какого-либо уравнения на число, отличное от нуля; 4) замена одного из уравнений системы линейных алгебраических уравнений уравнением, полученным его почленным сложением с другим уравнением системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода исключения состоит в том, что с помощью указанных элементарных преобразований, не нарушающих равносильности системы линейных алгебраических уравнений, выбранное неизвестное (ведущее) исключается из всех уравнений системы, кроме одного (ведущего уравнения). Метод осуществляется по шагам. На каждом шаге исключается только одно неизвестное. Шаги заканчиваются, когда ведущим побывают все уравнения системы (либо будет получено очевидное противоречие, говорящее об отсутствии решений системы линейных алгебраических уравнений). Пример Задание: Пользуясь методом исключения неизвестных, найти общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное: Решение: Система имеет размер (три уравнения, четыре неизвестных). На каждом шаге выбираем одно ведущее уравнение и в нем одно ведущее неизвестное. Ведущим каждое уравнение и каждое неизвестное могут быть только один раз. На следующем шаге их за ведущие брать нельзя. Шаг первый. Выберем в качестве ведущего уравнения первое, а в нем ведущее неизвестное , так как коэффициент при равен единице, что упрощает вычисления. Ведущее уравнение, то есть первое, оставляем без изменения. Исключим ведущее неизвестное из второго и третьего уравнений. Для этого нужно преобразовать эти уравнения к виду, когда коэффициенты при в них станут равными нулю. Умножим обе части ведущего уравнения на число 7, и почленно сложим со вторым уравнением. Аналогично, умножим обе части ведущего уравнения на «-8», и почленно сложим с третьим уравнением. В итоге получим систему, равносильную исходной системе: Теперь переменная содержится только в первом уравнении. Заметим также, что два последних уравнения станут одинаковыми, если в одном из них поменять знаки. Поэтому, отбросим одно из этих уравнений, например, третье. Шаг второй. Выберем в качестве ведущего второе (другое) уравнение. Так как в нем нет неизвестного с коэффициентом 1, то берем любое неизвестное, с коэффициентом, отличным от нуля, и делим обе части нового ведущего уравнения на этот коэффициент. Например, выберем во втором уравнении в качестве ведущего неизвестное , с коэффициентом «-5», и поделим обе части этого уравнения на «-5»: Чтобы исключить из первого уравнения, умножим обе части ведущего (второго) уравнения на 3 и почленно сложим с первым. Ведущее уравнение перепишем без изменения. Ведущая переменная содержится теперь только во втором (ведущем) уравнении. Так как все уравнения уже были ведущими (каждое на своем шаге), то преобразования закончены. Выразим из каждого уравнения то неизвестное, которое было в нем ведущим, и поэтому, не содержится в других уравнениях: . Получено общее решение данной системы. Переменные и , которые мы выразили, называются базисными. Остальные переменные и – называются свободными, они задаются произвольно (свободно) Общее решение системы линейных алгебраических уравненийпредставляет собой такую запись системы линейных алгебраических уравнений, когда часть ее переменных, называемых базисными, выражены через оставшиеся переменные, называемые свободными. Частные решения системы линейных алгебраических уравнений могут быть получены из общего решения. Для этого задаем произвольно свободные переменные и вычисляем базисные по общему решению. Например, пусть ; . Тогда . Таким образом, получено частное решение системы: . Придавая свободным переменным и другие значения, найдем, аналогичным образом, любое количество частных решений СЛАУ. Базисное решение СЛАУ, это такое частное решение, когда свободные переменные равны нулю, то есть ; , тогда . Получено базисное решение системы: . Проверка: Проверим правильность нахождения двух частных решений, из которых базисное, подстановкой в исходную систему. 1) Проверяем решение : таким образом, все уравнения СЛАУ выполняются. 2) Проверим решение : . Решение удовлетворяет всем уравнениям исходной СЛАУ. Ответ: – общее решение СЛАУ, – частное решение СЛАУ, – базисное решение СЛАУ. Задание для практической работы Пользуясь методом исключения неизвестных, найдите общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное. Для частного и базисного решений необходимо сделать проверку: . Контрольные вопросы: 1. Дайте определение эквивалентных (равносильных) систем линейных алгебраических уравнений. 2. Назовите элементарные преобразования, не нарушающие равносильности систем линейных алгебраических уравнений. 3. В чем состоит сущность метода Жордана – Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений? Как осуществляется этот метод? Когда он применим? 4. Что называется общим решение системы линейных алгебраических уравнений? 5. Какие переменные называются базисными, а какие свободными? 6. Как найти частное решение систем линейных алгебраических уравнений? Сколько частных решений имеет система линейных алгебраических уравнений? 7. Что называется базисным решением системы линейных алгебраических уравнений? Сколько базисных решений имеет система линейных алгебраических уравнений? Рекомендуемая литература: 1.1[с.7-10], 1.2[с.11-12], 2.1[с. 91-94]. Практическая работа №5 ⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒ Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций… Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)… Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого… Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции… 

Общее решение системы линейных уравнений методом исключения Гаусса

  Исследование  Математика

Этот онлайн-калькулятор решает систему линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса. Он дает результат независимо от того, есть ли у вас уникальное решение, бесконечное количество решений или нет решения. Он также выводит результат в формате с плавающей запятой и дроби.

На сайте уже есть один калькулятор, решающий СЛАУ (систему линейных алгебраических уравнений) методом исключения Гаусса-Жордана (также известного как исключение Гаусса) – исключения Гаусса. Он даже показывает решение шаг за шагом.

Однако у него есть некоторые недостатки, которые решит новый калькулятор из этой статьи:

• предыдущий калькулятор дает решение в формате с плавающей запятой, тогда как во многих задачниках ответ обычно дается в виде дроби.
• предыдущий калькулятор только определяет факт наличия бесконечного числа решений, но не дает общего решения.
• предыдущий калькулятор работает только в том случае, когда количество уравнений равно количеству неизвестных, и поэтому не может решать недоопределенные (количество неизвестных больше количества уравнений) и переопределенные системы (количество неизвестных равно меньше, чем количество уравнений).

Что касается второго и третьего пунктов, то универсальность метода исключения Гаусса–Жордана делает его пригодным для систем линейных уравнений с любым количеством уравнений и неизвестных.

Описание самого метода исключения Гаусса можно посмотреть по ссылке выше, а под калькулятором мы смотрим разные системы линейных уравнений: с одним решением, с бесконечным числом решений, без решения и с недоопределенными и сверхдетерминированные системы.

Калькулятор находит единственное решение, если оно существует, или общее решение, если существует бесконечное число решений. Приведенные ниже данные по умолчанию являются примером системы с бесконечным числом решений:

Метод Гаусса для системы линейных уравнений с любым количеством переменных.

1 2 -3 5 1 1 3 -13 22 -1 3 5 1 -2 5 2 3 4 -7 4

Матрица уравнений

Количество решений

 

Коэффициенты решения

 

Файл очень большой. Во время загрузки и создания может происходить замедление работы браузера.

1. Система линейных уравнений, имеющая единственное решение

Пример: система линейных уравнений:

После приведения матрицы к трапецеидальному виду методом Гаусса получаем:

С помощью обратной подстановки находим единственное решение:

Система непротиворечива и определена.

2. Система линейных уравнений, имеющая бесконечное число решений

Пример: система линейных уравнений:

После приведения матрицы к трапецеидальному виду методом Гаусса получаем:

В итоге получаем систему:

Последние два уравнения верны для любых значений переменных:

поэтому их можно отбросить.

Чтобы найти решения оставшихся двух уравнений, x1 и x2 должны быть выражены через x3 и x4.

При этом сами x3 и x4 могут принимать любые значения

Полученная система недоопределена. Формулы:

для произвольных x3 и x4 описывают бесконечное множество решений этой системы.

3. Система линейных уравнений, не имеющая решений

Пример: система линейных уравнений:

После приведения матрицы к трапецеидальному виду методом Гаусса получаем:

Полученная система несовместна, так как последнее уравнение:

не может удовлетворяться никакими значениями неизвестных.

Эта система несовместна, то есть не имеет решения.

4. Переопределенная система линейных уравнений (количество неизвестных меньше числа уравнений)

Пример: система линейных уравнений:

Приведя матрицу к трапецеидальному виду методом Гаусса, получим

Как видите, в этом случае «лишнее» уравнение можно просто отбросить и задача сводится к случаям 1 или 2. Также в результате преобразований можно получить те же уравнения, «лишнее» из которых тоже можно отбросить — и опять задача сводится к случаям 1 или 2.

5. Недоопределенная система линейных уравнений (количество неизвестных больше числа уравнений)

Пример: система линейных уравнений:

Приведя матрицу к трапецеидальному виду методом Гаусса, получим :

Полученная эквивалентная система имеет вид:

Как видите, в ней нет уравнений, дающих единичные значения для х3 и х4, что эквивалентно уравнениям:

, которые можно отбросить .

Таким образом, этот случай сводится к случаю 2 с бесконечным множеством решений, которые описываются следующими формулами:

URL скопирован в буфер обмена

Аналогичные калькуляторы

• • Исключение Гаусса с дробями
• • Решение неоднородная система линейных уравнений с использованием обратной матрицы
• • Исключение Гаусса
• • Решение системы 3-х линейных уравнений
• • Правило Крамера
• • Математический раздел ( 298 calculators )

  fractions Gauss Gaussian Method linear equation system Math system of linear equations underdetermined system

  PLANETCALC, The General Solution of a System of Linear Equations using Gaussian elimination

 Тимур  2022-10-06 12:28:47

7.3 – Метод исключения

7.3 – Метод исключения

7.3 – Метод исключения

Нажмите здесь, если вам нужны инструкции по использованию Algebra Coach провести метод исключения.

В этом разделе мы объясняем метод исключения. Этот метод использует тот факт, что решение уравнения не изменится, если мы

• умножьте обе части уравнения на один и тот же коэффициент.
• вычесть равные количества из обеих частей уравнения.

Это означает, что мы можем взять одно уравнение и вычесть из него кратное другому. уравнения из него, не меняя решения уравнений.

Метод исключения использует этот факт для решения системы линейных уравнений. Предположим, мы начинаем с системы из n уравнений с n неизвестными. Выберите первое уравнение и вычтите подходящие кратные ему из другого n  − 1 уравнения. В каждом случае выбирается кратность так что вычитание отменяет или устраняет та же самая переменная , скажем, x . В результате n  − 1 уравнений содержат только n  − 1 неизвестно ( x больше не отображается).

Мы повторяем этот процесс исключения, пока не получим 1 уравнение в 1 неизвестном, которая затем легко решается.

Последним шагом является обратная замена решения, уже полученного для 1 неизвестных в предыдущие уравнения, чтобы найти значения всех остальных неизвестных.

---

Пример: Решите эту систему уравнений методом исключения:

Решение: Возьмем дважды первое уравнение, а именно:

2 х + 2 y = 8

и вычесть его из второго уравнения, вот так:

Результатом является одно уравнение в одном неизвестном, y . Другое неизвестное, x , было устранено. Решение этого уравнения дает г = 0,4.

Осталось найти х . Если мы подставим y = 0,4 в любое из исходных уравнений получаем х = 3,6. Таким образом, решение:

{ х = 3,6, у = 0,4}.

(Обратите внимание, что мы могли бы вместо этого найти x без обратной подстановки, если бы мы вычли 3 раза первое уравнение из второго уравнения, так как это исключает y . )

---

Расширенная матрица

Мы объяснили суть исключения. Для больших систем нам нужен систематическая процедура, чтобы не запутаться. Двумя такими процедурами являются исключение Гаусса и исключение Гаусса-Жордана.

Прежде чем мы опишем их, мы введем некоторые сокращения. Система уравнений типа:

будет представлен прямоугольным массивом чисел, называемым расширенная матрица :

Определения:

• Отдельные числа в матрице называются элементами .
• Столбцы идут вниз по матрице. например столбец 4 ^th содержит элементы 80, 7 и 22.
• Ряды пересекаются. Строка 3 ^rd содержит 3, −1, 2 и 22. Обратите внимание, что количество столбцов в расширенной матрице всегда на 1 больше. чем количество строк.
• Диагональ — это набор элементов, который начинается сверху слева углу матрицы и проходит по диагонали вниз и вправо. Диагональ вышеуказанной матрицы состоит из чисел 4, 1 и 2.
• Любые числа в позиции D называются по диагонали , любой в позиции a выше диагонали , и любой в позиции б — это ниже диагонали .

Имейте в виду следующее:

• i -я строка расширенной матрицы представляет i -е уравнение.
• j -ая колонка (слева от вертикальной черты) содержит коэффициенты j -й переменной или неизвестной.
• Вертикальная линия представляет знаки равенства.
• Столбец справа от вертикальной линии представляет правую часть уравнений.

---

Элементарные операции со строками

Мы видели, что решение системы уравнений не изменится, если мы:

• разделить обе части уравнения на константу или
• вычесть кратное одному уравнению из другого уравнения.

Эти же операции можно применить к строкам расширенной матрицы, поскольку каждая строка представляет собой уравнение. Тогда их называют Элементарные операции со строками .

Элементарные операции с строками (E.R.O.): E.R.O.#1: Выбрать строку расширенной матрицы и разделить (каждый элемент) строки константой. E.R.O.#2: Выберите любую строку расширенной матрицы и вычтите кратно любой другой строке из него (поэлементно). Э.Р.О.#3: Иногда полезно поменять местами две строки. Это допустимая операция, потому что порядок уравнений несущественный. Вы можете применять эти E.R.O. к расширенной матрице так часто, как захотите. без изменения решения уравнений, представленных матрицей.

Пример: Этот пример показывает, как мы применяем E. R.O.#1 и обозначения мы используем, чтобы указать на это. Разделим первый ряд дополненной матрица слева на 2, чтобы создать новую расширенную матрицу справа:

Примечание:   ← ÷ на 2   означает « разделить строку указанный 2 для создания новой матрицы ».

---

Пример: Этот пример показывает, как мы применяем E.R.O.#2 и обозначения мы используем, чтобы указать на это. В расширенной матрице слева мы будем возьмите вторую строку и из нее вычтите 3 раза первую строку, чтобы получить новая расширенная матрица справа:

Примечание:   ← Ч  ₂ − 3 ·  R  ₁ означает « возьмите строку, на которую указывает (строка 2), и вычтите 3 раза строку 1 из это для создания новой строки 2. ”

---

Пример: Этот пример показывает, как мы применяем E.R.O.#3 и обозначение мы используем, чтобы указать на это. В расширенной матрице слева мы поменяем местами строки 1 и 2, чтобы получить новая расширенная матрица справа:

Примечание:   R  ₁ ↔ R  ₂ означает « поменять местами строки 1 и 2. »

---

Исключение Гаусса

Процедура исключения Гаусса представляет собой определенную последовательность операций E.R.O. который преобразует расширенную матрицу в форму Гаусса (также известная как форма эшелона строк ) Эта форма характеризуется единицами по диагонали и нулями под диагональю. и любые числа выше диагонали. Вот пример:

Эта расширенная матрица представляет система уравнений:

Решается обратной заменой. Подставив z = 3 в второе уравнение дает y = 5. Тогда подставляя оба z = 3 и y = 5 в первом уравнении дает x = 7.

Алгоритм исключения Гаусса Мы преобразуем один столбец за раз в эшелонированную (или гауссовую) форму. Преобразуемый в данный момент столбец называется поворотная колонна . Мы действуем систематически, позволяя сводной колонке быть первым столбцом, затем вторым столбцом и т. д. до последнего столбца перед вертикальной линией расширенной матрицы. Для каждого сводного столбца мы делаем следующие два шага, прежде чем перейти к следующему сводному столбцу: Мы находим диагональный элемент в опорной колонке. Этот элемент называется стержнем . Строка, содержащая опорную точку, называется поворотный ряд . Мы делим каждый элемент в сводной строке на pivot (т. е. мы используем E.R.O. #1), чтобы получить новую сводную строку с 1 в поворотное положение. Мы получаем 0 в каждой позиции ниже опорной позиции на вычитание подходящего множителя сводной строки из каждого из ряды ниже него (т. е. с помощью E.R.O. #2). Когда все столбцы слева от вертикальной линии были преобразованы с помощью Процедура исключения Гаусса расширенная матрица будет иметь форму Гаусса и затем мы решаем систему обратной подстановкой.

Пример: Используйте Исключение Гаусса для решения системы уравнений:

Решение: Выполните следующую последовательность E. R.O. на расширенной матрице:

Установите опорный столбец в столбец 1. Получите 1 в диагональной позиции (красный):

Затем установите 0 ниже опорной точки (выделено красным):

Теперь пусть сводная колонка = вторая колонка.

Сначала получите 1 в диагональной позиции:

Далее получаем 0 в позиции ниже точки разворота:

Теперь пусть сводная колонка = третья колонка. Получите 1 в диагональной позиции:

Эта матрица, которая теперь находится в форме Гаусса, представляет эту систему 3 уравнения:

Решается обратной заменой. Подставив z = 3 во второй Уравнение получаем y = 5. И подставляя z = 3 и y = 5 в первое уравнение мы получаем x = 7. Таким образом, решение:

{ x = 7, y = 5, z = 3}.

---

Исключение Гаусса-Джордана

Процедура исключения Гаусса-Жордана – это немного другая последовательность E.R.O., которые преобразуют расширенную матрицу в форму Gauss-Jordan (также известный как уменьшенная форма эшелона ряда ). Эта форма характеризуется единицами по диагонали, 0 над и под диагональю слева от вертикальной линии, и любые числа справа от вертикальной линии. Вот пример:

Эта расширенная матрица представляет собой систему уравнений:

Эта система уже решена: х = 7, y = 5, z = 3. Обратная замена не требуется. Однако для производства Форма Гаусса-Жордана как форма Гаусса.

Алгоритм исключения Гаусса-Жордана Мы преобразовываем по одному столбцу за раз в уменьшенную ступенчатую (или Гаусса-Жордана) форму. Преобразуемый в данный момент столбец называется поворотная колонна . Мы действуем систематически, позволяя сводной колонке быть первым столбцом, затем вторым столбцом и т. д. до последнего столбца перед вертикальной линией расширенной матрицы. Для каждого сводного столбца мы делаем следующие два шага, прежде чем перейти к следующему сводному столбцу: Мы находим диагональный элемент в опорной колонке. Этот элемент называется стержнем . Строка, содержащая опорную точку, называется поворотный ряд . Мы делим каждый элемент в сводной строке на pivot (т. е. мы используем E.R.O. #1), чтобы получить новую сводную строку с 1 в поворотное положение. Мы получаем 0 в каждой позиции выше и ниже опорной позиции на вычитание подходящего множителя сводной строки из каждого из ряды выше и ниже него (т. е. с помощью E.R.O. #2). Когда все столбцы слева от вертикальной линии будут преобразованы, расширенная матрица будет иметь форму Гаусса-Жордана, и мы сможем считать решение из правого столбца.

Обратите внимание, что единственное отличие от процедуры Гаусса состоит в том, что на втором шаге мы получаем 0s выше диагонали , а также ниже диагонали. Важно получить все эти 0, прежде чем переходить к следующему сводному столбцу.

---

Пример: Используйте метод исключения Гаусса-Жордана для решения системы уравнений:

Решение: Выполните эту последовательность E.R.O. на расширенной матрице. Установите опорный столбец на столбец 1. Получите 1 в диагональной позиции. (красным) с помощью E.R.O. № 1:

Затем, используя E.R.O., получите 0 ниже опорной точки (красного цвета). № 2:

Теперь пусть сводная колонка = вторая колонка. Во-первых, получить 1 в диагональной позиции с помощью E.R.O. № 1:

Затем получите 0 в позициях выше и ниже точки разворота (обозначены красным), используя E.R.O. № 2:

Теперь пусть сводная колонка = третья колонка. Получите 1 в диагональной позиции, используя E.R.O. № 1:

Затем, используя E.R.O., получите 0 в позициях над точкой разворота (красный). № 2:

Эта матрица, которая теперь находится в форме Гаусса-Жордана или сокращенной ступенчатой ​​форме строки, представляет решение:

{ х = 49, y = -18, z = 8}.

---

Резервные и несовместимые системы

Если количество уравнений больше числа неизвестных, то системы гарантированно либо избыточны, или непоследовательный. Но если количество уравнений равно или меньше числа неизвестных, то вы, как правило, не распознавать систему как избыточную или противоречивую до самого конца расчета. Особенно это актуально, если система большая.

Если вы решаете систему уравнений методом подстановки и система избыточна, то вы получите окончательное уравнение, в котором говорится 0 = 0. Или, если система противоречива, то вы получите ту, которая утверждает противоречие вроде 0 = 5. Нечто подобное происходит при использовании исключения Гаусса или Гаусса-Жордана. Если система избыточна, то по окончании процедуры исключения, когда у вас есть расширенная матрица в форме Гаусса или Гаусса-Жордана, последняя строка расширенной матрицы будет:

Эта последняя строка представляет собой уравнение 0 = 0, бесполезную информацию.

Если система несовместима, то последняя строка расширенной матрицы будет выглядеть примерно так:

Последняя строка представляет уравнение 0 = 5, противоречие. Попробуйте выполнить упражнения, которые содержат примеры избыточные и противоречивые системы уравнений.

---

Пример: Используйте исключение Гаусса, чтобы преобразовать эту систему уравнений в эшелонированную форму строк и интерпретировать результат:

Решение: Выполните эту последовательность E. R.O. на расширенной матрице. Установите опорный столбец на столбец 1. В опорной позиции уже есть 1, поэтому продолжайте получать 0 в двух позициях ниже опорной:

Теперь установите сводную колонку на вторую колонку. Во-первых, получите 1 в диагональной позиции:

Далее получаем 0 в позиции ниже точки разворота:

Теперь установите сводную колонку в третью колонку. Первое, что нужно сделать, это получить 1 в диагональной позиции, но сделать это невозможно. На самом деле эта матрица уже имеет форму эшелона строк и представляет собой:

Эту систему уравнений нельзя решить обратной подстановкой, потому что у нас нет значения для z . Последнее уравнение просто утверждает, что 0=0. Единственного решения нет, потому что z может принимать любое значение.

Причина этой проблемы в том, что если у нас есть 3 неизвестных, то нам нужно 3 части информацию (уравнения) о них для их решения. Математики говорят, что уравнения должны быть линейно независимыми . В избыточной системе часть информации просто дублирует другую информацию. В этом примере небольшой эксперимент показывает, что третье уравнение — это всего лишь удвоенное второе уравнение минус первое уравнение.

В общем, расширенная матрица, представленная в виде эшелона строк и содержащая одну или несколько строк нулей внизу матрицы, указывает на избыточную систему уравнений.

---

Пример: Используйте метод исключения Гаусса, чтобы представить эту систему уравнений в форме эшелона строк и интерпретировать результат:

Решение: Выполните эту последовательность E.R.O. на расширенной матрице. Установите опорный столбец на столбец 1. В опорной позиции уже есть 1, поэтому продолжайте получать 0 ниже опорной:

Теперь установите сводную колонку на вторую колонку. В опорной позиции уже есть 1, поэтому продолжайте получать 0 ниже опорной точки:

Теперь установите сводную колонку в третью колонку. Первое, что нужно сделать, это получить 1 в диагональной позиции, но сделать это невозможно. На самом деле эта матрица уже имеет форму эшелона строк и представляет собой:

Эта система уравнений несовместна и не имеет решения. Последнее уравнение утверждает противоречие, а именно 0 = −50.

В общем, расширенная матрица, представленная в виде эшелона строк и содержащая одну или несколько нижних строк, состоящих из нулей слева от вертикальной линии и ненулевого числа справа, указывает на несогласованную систему уравнения без решения.

---

Уравнений меньше, чем неизвестных

Если количество уравнений в системе меньше числа неизвестных, то вы достигнете точки в Гауссе или Гаусс-Жордан процедура, в которой вы не можете преобразовать сводную столбец, потому что у вас закончились сводные строки. Вот пример:

В третьем столбце нет сводной строки и нет сводной строки, поэтому вам нужно остановиться. Эта расширенная матрица представляет эту систему уравнений:

Во второй форме мы видим, что если значение задано для х , то х и и могут быть выражены через него. Следующая матрица показывает, что предоставление значения для z , скажем, z = 5, означает наличие еще одной строки:

Попробуйте выполнить упражнения, которые содержат примеры систем с меньшим количеством уравнений. чем неизвестные.

---

Упражнения тренера по алгебре

---

Если вы нашли эту страницу в веб-поиске, вы не увидите
Оглавление в рамке слева.
Щелкните здесь, чтобы отобразить его.

Системы уравнений – исключение Гаусса

исключение Гаусса. Звучит ужасно, и именно поэтому большинство людей убегают в другую сторону, когда видят, что это приближается. Не нам. Мы классные такие. Мы научим вас тому, что это всего лишь небольшое расширение метода исключения для решения систем уравнений (из Алгебры 1 и Алгебры 2), но с несколькими дополнительными приемами, называемыми операциями со строками.

Знакомство с методом исключения Гаусса даст вам возможность решать многовариантные (многомерные) системы. Если вам нравится вызов, вас ждет угощение. Угощение по Гауссу, то есть.

Мы изучали пересечение двух линий в двумерной плоскости. Знаете ли вы, что уравнение, которое выглядит так:

x + y + z = 3

… не является прямой. Это птица. Это супермен. Хорошо, это на самом деле самолет. Подумайте о трехмерном пространстве. Оглянитесь вокруг того места, где вы сидите. Вспомните геометрию, когда мы узнали, что три точки определяют число 9.0424 самолет . Выберите три точки в пространстве перед вашим лицом. Каждая из этих точек в пространстве перед вашим лицом имеет координаты x , y и z . Теперь представьте, что вы кладете лист бумаги прямо поверх этих трех точек. Уравнение выше фактически определяет плоскость в пространстве.

Посмотрите на плоскость, которая была определена в трехмерном уравнении выше:

Можете ли вы изобразить три плоскости, пересекающиеся в трехмерном пространстве? Можете ли вы представить край куба, где сходятся три плоскости? Пересечение трех плоскостей обычно представляет собой точку с цифрой 9.0689 x , y , z координата в формате ( x, y, z ).

Иногда нет решения три. Это происходит, если там плоскости являются параллельными плоскостями. Иногда существуют бесконечные решения, если три плоскости являются одной и той же плоскостью.

Решение уравнений с более чем двумя переменными называется многомерной системой уравнений . Постарайтесь помнить, что все, что мы пытаемся найти, — это координата, по которой эти уравнения пересекаются.

Sample Problem

Solve this system of equations by the substitution method:

x – 4 y + z = 14
6 y – z = -10
4 z = -8

Обратите внимание, что первое уравнение имеет x , y и z , второе уравнение имеет y и z , а последнее уравнение имеет z . Это треугольная форма, и ее очень легко решить для пересечения. Начинайте снизу и работайте вверх! Решите на z , подставьте это во второе уравнение и найдите y , а затем тот же процесс для x в первом уравнении.

4 z = 8
z = -2

6 y + 2 = -10
6 y = -12
y = -2

x – 4(- 2) + (-2) = 14
х + 8 – 2 = 14
х + 6 = 14
х = 8

Наша точка трех пересекающихся плоскостей находится в (8, -2, – 2) который является решением нашей многомерной системы уравнений.

Основная цель этого раздела — научиться решать системы с тремя переменными с помощью метода, называемого методом исключения Гаусса. Помните, как началась наша последняя проблема? Он начался в треугольной форме . Наша цель в методе исключения Гаусса состоит в том, чтобы привести уравнения к треугольной форме, чтобы мы могли легко решать их с помощью подстановки.

Кстати, вы можете поблагодарить красавца выше, Карла Фридриха Гаусса, также известного как «Принц математиков». это не было , что давным-давно (начало 1800-х годов), когда он разработал этот замечательный метод решения систем уравнений с несколькими переменными.

Пример задачи

Решите эту систему уравнений с помощью исключения Гаусса.

x + Y – Z = 5
2 x + 3 Y – 3 Z = 9
5 x + 4 4 9 Z =
5 x + 4 4 + 4 4 + 4 + 4 9 Z =
5 x 9 Z =
5 x Z = 5 – 3 Z = 5 – 3

Наша цель – получить систему уравнений в треугольной форме. В методе исключения Гаусса мы можем умножить любое уравнение на число и добавить его к другому уравнению, сохраняя при этом набор уравнений. Итак, нашим первым шагом здесь будет умножение Ряд 1 на -2 и добавьте его к Ряд 2 , как показано ниже:

Отдельно умножим Ряд 1 на -5 и добавим его к Ряд 3 .

Now let’s rewrite our set of equations:

x + y – z = 5
y – z = -1
– y + 3 z = 3

Если мы теперь добавим наш Ряд 2 и наш Ряд 3 , y переменные будут отменены.

Finally, let’s write our system of equations in triangular form:

x + y – z = 5
y – z = – 1
z = 1

Решая это снизу вверх, мы заменим z = 1 в Row 2 , что даст нам значение y = 0, и, наконец, оба этих значения в Row 1 , что даст x = 6.