Найти общие решения дифференциальных уравнений онлайн: Решение дифференциальных уравнений онлайн. Любые с подробным решением.

Линейные неоднородные ДУ второго порядка

Определение и формулы линейных неоднородных ДУ 2-ого порядка

Соответствующее ему однородное уравнение:

   

Решение дифференциальные уравнения второго порядка

Решение уравнения (2) ищется в виде:

   

После подстановки этого решения в уравнение (2) получаем алгебраическое уравнение

   

Это квадратное уравнение называется характеристическим уравнением, соответствующим однородному дифференциальному уравнению (2).

В результате решения характеристического уравнения, возможны следующие варианты:

1) корни характеристического уравнения – различные действительные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

   

2) корни характеристического уравнения – равные действительные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

   

3) корни характеристического уравнения – комплексно сопряженные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

   

Примеры решения задач

К уравнениям вида (1) чаще всего применяются два метода решения: метод вариации произвольных постоянных и метод неопределенных коэффициентов.

Метод вариации постоянных или метод Лагранжа

Если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (2), то общее решение неоднородного уравнения (1) можно найти, используя метод вариации произвольных постоянных.

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (1) имеет вид:

   

Далее варьируем произвольные постоянные, то есть считаем, что в указанном решении величины и – это не постоянные, а функции переменной x:

   

То есть решение неоднородного уравнения тогда ищется в виде:

   

Искомые функции и находятся из системы

   

Определитель этой системы

   

называется определителем Вронского.

Решая систему (5) относительно пока неизвестных функций и (а точнее относительно их производных и ), будем иметь:

   

Интегрируя последние равенства, получаем:

   

Подставляя полученные в результате функции в решение (4), будем иметь:

   

или, после упрощения

   

Метод неопределенных коэффициентов

Если правая часть неоднородного дифференциального уравнения (1) представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию (или комбинацию указанных функций):

   

   

то тогда решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.

В любом из случаев вид частного решения соответствует структуре правой части исходного неоднородного дифференциального уравнения.

1) Если правая часть уравнения (1) имеет вид (7), то частное решение ищем в виде:

   

где – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами и s=0 при , которое не является корнем характеристического многочлена, или s кратности , где — корень характеристического многочлена.

2) Если правая часть уравнения (1) имеет вид (8), то частное решение будем искать следующим образом:

   

Здесь – многочлены степени k с неопределенными коэффициентами и s=0 ( не является корнем характеристического многочлена), или s кратности — корень характеристического многочлена.

Неизвестные коэффициенты многочленов определяются подстановкой выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение (1).

Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений

Неоднородную систему дифуравнений обычно представляют в следующем виде:

В отличие от однородной системы, здесь в каждом уравнении добавляется некая функция, которая зависит от t.

Функции f(t) и g(t) могут быть как const, exp, так и sin, cos и т.д.

Пример.

Необходимо найти частное решение системы линейных дифуравнений
при начальных условиях x(0) = 6, y(0) = 5.

Итак, у нас есть линейная неоднородная система дифуравнений, где в качестве f(t) и g(t) выступают константы. Будем использовать метод исключения.

Выразим из первого уравнения системы:

Опять применим маркер * для выделения.

Обе части уравнения дифференцируем по t:

Производная const = 0, поэтому 3 исчезла.

Подставляем и во второе уравнение системы:

Избавимся от дробей, для чего обе части уравнения умножим на 5:

Проведем упрощения:

Итак, мы получили линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Этим и отличается наше решение от решения однородной системы уравнений.

Но иногда, отметим, в неоднородной системе может получиться и однородное уравнение.

Находим общее решение однородного уравнения

Для этого необходимо составить и решить характеристическое уравнение:

– мы нашли сопряженные комплексные корни, поэтому:

.

Теперь займемся поиском частного решения неоднородного уравнения вида .

Находим первую и вторую производную:

Подставляем в левую часть неоднородного уравнения:

Получаем:

Это частное решение можно с легкостью подобрать устно и можно просто записать: «Очевидно, что частное решение неоднородного уравнения: ».

В итоге:

Найдем функцию y(t).

Для этого найдем производную от найденной функции x(t):

Подставляем и в уравнение (*):

Получаем общее решение системы:

Теперь найдем частное решение, соответствующее начальным условиям x(0) = 6, y(0) = 5:

Получаем:

Ответ: частное решение:

Метод характеристического уравнения (метод Эйлера)

Этот метод используется крайне редко, но мы все-же рассмотрим его на примере.

Пример.

Дается линейная однородная система дифуравнений

Требуется отыскать общее решение системы уравнений методом Эйлера.

Составим определитель второго порядка:

Далее надо составить характеристическое уравнение, для чего из каждого числа, расположенного на главной диагонали, вычтем некий параметр k:

Раскроем определитель:

Получили квадратное уравнение. Найдем его корни:

В случае, когда характеристическое уравнение имеет 2 различных действительных корня, общее решение системы дифференциальных уравнений будет иметь вид:

Коэффициенты в показателях экспонент мы уже нашли, займемся поиском коэффициентов

Подставим корень в характеристическое уравнение:

Составим систему двух линейных уравнений из чисел определителя:

Из которой получаем:

Подберем наименьшее значение , при котором будет целым. Очевидней всего будет =5, тогда =7/5*5 = 7.

Подставим корень в характеристическое уравнение:

Составим систему двух линейных уравнений из чисел определителя:

Из которой получаем:

Подберем наименьшее значение , при котором будет целым. Очевидней всего будет .

Коэффициенты найдены, подставляем их в систему

Ответ: общее решение:

Chanel Allure (http://духи.рф/catalog/men/Chanel/Allure)
Есть много имен – женские имена русские (http://духи.рф/catalog/men/Chanel/Allure) поражают своей красотой и разнообразием.

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

Найти частные решения удовлетворяющие данным начальным условиям. Дифференциальные уравнения

Приложение

Решение дифференциальных уравнений онлайн на сайт для закреплеения студентами пройденного материала. И тренировки своих практических навыков. Дифференциальные уравнения онлайн. Дифуры онлайн, решение математики в режиме онлайн.

Пошаговое решение математических задач онлайн. Порядок, или степень дифференциального уравнения – наивысший порядок производных, входящих в него. Дифференциальные уравнения онлайн. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Дифференциальные уравнения онлайн. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные.

В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных. Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Дифференциальные уравнения онлайн. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных – произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными. Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привёл к установлению класса специальных функций – часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Дифференциальные уравнения онлайн. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и т.д.. Множество перечисляемых чисел исследовать можно. Лучший ответ на поставленную задачу. Как найти в первом приближении исходящий вектор к области сходимости про Дифференциальные уравнения без выяснения найденного верхнего предела. Выбор очевиден для возрастания математических функций. Есть прогрессивный метод над уровнем исследования. Выровнять по начальному условию задачи решение дифференциальных поможет найти однозначное выбранное значение. Может быть так, что сможет неизвестную определить сразу. Как в предыдущем примере на указание решения для математической задачи, линейные дифференциальные уравнения есть ответ на поставленную конкретно задачу в указанные сроки. Локально не определено поддержание процедуры исследования. Будет так, что пример найдется для каждого студента и решение дифференциальных уравнений определит назначенный на ответственного исполнителя как минимум из двух значений. Взять на некотором отрезке функцию общего значения и предупредить по которой оси будет разрыв. Изучив дифференциальные уравнения онлайн, возможно однозначно показать на сколько важен результат, если таковой предусмотрен из начальных условий. Вырезать область из определения функции – это невозможно, так как локально нет определения по задаче. Будучи найденным из системы уравнений, ответ содержит в себе переменную, исчисляемую в общем смысле, но решить дифференциальное уравнение онлайн естественно получится без этого действия по определению сказанного условия. Рядом с промежутком отрезка видно как решение дифференциальных уравнений онлайн способно продвинуть результат исследований в положительную сторону на момент среза знаний у студентов. Лучшее не всегда получается путем общего принятого подхода к делу. На уровне двукратного увеличения можно с пользой просмотреть все необходимые линейные дифференциальные уравнения в естественном представлении, но возможность подсчитать числовое значение приведет к улучшению знаний. По любой методике в математике есть дифференциальные уравнения, которые представлены в различных по своей сути выражениях, такие как однородные или сложные. Проведя общий анализ исследования функции, станет ясно, что решение дифференциальных как множество возможностей представляет собой явную погрешность в значениях. Истинна в ней заключается в пространстве над линий абсцисс. Где-то в области определения сложной функции в некоторой точке её определения линейные дифференциальные уравнения смогут представить ответ в аналитическом виде. то есть в общем виде как суть. Не поменяется ничего при замене переменной. Однако нужно с особым интересом вглядываться в ответ. Меняет по сути калькулятор отношение в итоге, то есть как решение дифференциальных уравнений пропорционально глобальному значению обозначается в пределах искомого решения. В ряде случаев предупреждение о массовой ошибке неизбежно. Дифференциальные уравнения онлайн реализуют общее представление о задаче, но в итоге нужно как можно скорее предусмотреть положительные стороны векторного произведения. В математике не редки случаи заблуждения в теории чисел. Однозначно нужна будет проверка. Естественно лучше предоставить это право профессионалам в своем деле и решить дифференциальное уравнение онлайн помогут именно они, так как их опыт колоссальный и положительный. Разница на поверхностях фигур и площадь такова, что не решение дифференциальных уравнений онлайн позволит видеть, а множество не пересекаемых объектов таково, что линия параллельна оси. В итоге можно получить в два раза больше значений. Будучи не в явном виде, наше представление о правильности формально записи предусматривает линейные дифференциальные уравнения как в области просмотра, так и в отношении преднамеренного завышения качества результата. Несколько раз выходит в обзор решаемое на коллегии обсуждение на тему, интересную всем студентам. На протяжении всего изучения полного курса лекций, мы заострим наше пристальное внимание на дифференциальные уравнения и связные с ними области изучения науки, если тем самым не противоречить истине. Многих этапов можно избежать в начале пути. Если решение дифференциальных по-прежнему является принципиально чем-то новым для студентов, то старое вовсе не забывается, а прогрессирует в будущее с высокой скоростью развития. Изначально условия по задаче в математике расходятся, но это обозначено в абзаце справа. По истечению времени заданного по определению не исключены возможности пропорционального зависимого исхода на различных плоскостях движения вектора. Исправляется такой простой случай также как описываются линейные дифференциальные уравнения на калькуляторе в общем виде, так будет быстрее и взаимозачет расчетов не приведет к ошибочному мнению. Лишь пять названных по теории случаев могут раздвигать грани происходящего. Вручную рассчитать значение в цифрах поможет наше решение дифференциальных уравнений уже на первых этапах разложения функционального пространства. В нужных местах необходимо точку соприкосновения четырех линий представить в общем значении. Но если придется задачу вытеснить, то приравнять сложность будет просто. Исходных данных достаточно для оформления прилежащего катета и дифференциальные уравнения онлайн выглядят выровненными по левому краю и поверхность односторонняя направлена к ротору вектора. Выше верхнего предела возможны числовые значения сверх обозначенного условия. Принимать во внимание математическую формулу и решить дифференциальное уравнение онлайн за счет трех неизвестных в общем значении пропорции возможно. Локальный метод расчета признан действительным. Система координат прямоугольная в относительном движении плоскости. Общее решение дифференциальных уравнений онлайн позволяет однозначно сделать вывод в пользу расчетной прогонки сквозь матричные определения на всей прямой, расположенной выше графика заданной в явном виде функции. Решение насквозь проглядывается, если приложить вектор движения к точке соприкосновения трех полушарий. Цилиндр получается путем вращения прямоугольника вокруг стороны и линейные дифференциальные уравнения смогут показать направление движения точки по заданным выражениям её закона движения. Исходные данные верные и задача в математике взаимозаменяема при одном несложном условии. Однако в силу обстоятельств, в виду сложности постановочной подзадачи, дифференциальные уравнения упрощают процесс калькулировано числовых пространств на уровне трехмерного пространства. Легко доказать обратное, но этого возможно избежать, как в приведенном примере. В высшей математике предусмотрены следующие моменты: когда задача приводится к упрощенному виду, на неё следует распространить как можно большее усилие со стороны студентов. Взачет попадают наложенные друг на друга линии. Про решение дифференциальных по-прежнему возобновляет преимущество сказанного метода на кривой линии. Если распознать вначале не то, что нужно, то математическая формула составит новое значение выражения. Цель – оптимальный подход к решению поставленных профессором задания. Не стоит полагать, что линейные дифференциальные уравнения в упрощенном виде превзойдут ожидаемый результат. На конечно составленной поверхности разместим три вектора. ортогональные друг другу. Вычислим произведение. Проведем сложение большего числа символов и распишем из полученного выражения все переменные функции. Есть пропорция. Несколько действий, предшествующих окончанию вычисления, однозначного ответа на решение дифференциальных уравнений дадут не сразу, а только по истечению отведенного времени по оси ординат. Слева от точки разрыва, заданной в неявном виде от функции, проведем ось, ортогональную лучшему возрастающему вектору и дифференциальные уравнения онлайн расположим вдоль наименьшего граничного значения нижней грани математического объекта. Лишний аргумент присоединим в области разрыва функции. Правее от точек расположения кривой линии решить дифференциальное уравнение онлайн помогут написанные нами формулы приведения к общему знаменателю. Единственно верным подходом примем тот, что прольет свет на нерешенные задачи из теории в практику, в общем случае однозначно. Линии по направлению координат заданных точек ни разу не сомкнули крайнее положение квадрата, однако решение дифференциальных уравнений онлайн поможет в изучении математики и студентам, и нам, и просто начинающим людям в этой области. Речь идет о возможности подстановки аргумента значения во все значимые под линии одного поля. В принципе, как и следовало ожидать, наши линейные дифференциальные уравнения есть нечто обособленное в единое понятие приведенного смысла. В помощь студентам один из лучших среди аналогичных сервисов калькулятор. Пройдите все курсы и выберите оптимальный правильный для себя.

=

6.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

При решении различных задач математики и физики, биологии и медицины довольно часто не удается сразу установить функциональную зависимость в виде формулы, связывающей переменные величины, которые описывают исследуемый процесс. Обычно приходится использовать уравнения, содержащие, кроме независимой переменной и неизвестной функции, еще и ее производные.

Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные различных порядков, называется дифференциальным.

Неизвестную функцию обычно обозначают y(x) или просто y, а ее производные – y” , y” и т. д.

Возможны и другие обозначения, например: если y = x(t), то x”(t), x””(t) – ее производные, а t – независимая переменная.

Определение. Если функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения:

или

Функции F и f могут не содержать некоторых аргументов, но для того, чтобы уравнения были дифференциальными, существенно наличие производной.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.

Например, x 2 y” – y = 0, y” + sinx = 0 – уравнения первого порядка, а y” + 2 y” + 5 y = x – уравнение второго порядка.

При решении дифференциальных уравнений используется операция интегрирования, что связано с появлением произвольной постоянной. Если действие интегрирования применяется n раз, то, очевидно, и в решении будет содержаться n произвольных постоянных.

6.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка определяется выражением

Уравнение может не содержать в явном виде x и y, но обязательно содержит у”.

Если уравнение можно записать в виде

то получим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка (6.3) (или (6.4)) является множество решений, где С – произвольная постоянная.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Придавая произвольной постоянной С различные значения, можно получить частные решения. На плоскости xOy общее решение представляет собой семейство интегральных кривых, соответствующих каждому частному решению.

Если задать точку A (x 0 , y 0), через которую должна проходить интегральная кривая, то, как правило, из множества функций можно выделить одну – частное решение.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется его решение, не содержащее произвольных постоянных.

Еслиявляется общим решением, тогда из условия

можно найти постоянную С. Условиеназывают начальным условием.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения (6.3) или (6.4), удовлетворяющего начальному условиюпри называется задачей Коши. Всегда ли эта задача имеет решение? Ответ содержит следующая теорема.

Теорема Коши (теорема существования и единственности решения). Пусть в дифференциальном уравнении y” = f (x, y) функция f (x, y) и ее

частная производная определены и непрерывны в некоторой

области D, содержащей точкуТогда в области D существует

единственное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условиюпри

Теорема Коши утверждает, что при определенных условиях существует единственная интегральная кривая y = f (x), проходящая через точкуТочки, в которых не выполняются условия теоремы

Коши, называются особыми. В этих точках терпит разрыв f (x, y) или.

Через особую точку проходит либо несколько интегральных кривых, либо ни одной.

Определение. Если решение (6.3), (6.4) найдено в виде f (x, y, C) = 0, не разрешенным относительно у, то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Теорема Коши только гарантирует, что решение существует. Поскольку единого метода нахождения решения нет, мы будем рассматривать только некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемые в квадратурах.

Определение. Дифференциальное уравнение называется интегрируемым в квадратурах, если отыскание его решения сводится к интегрированию функций.

6.2.1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными,

Правая часть уравнения (6.5) представляет собой произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной.

Например, уравнениеявляется уравнением с разделяющи-

мися переменными
а уравнение

нельзя представить в виде (6.5).

Учитывая, что, перепишем (6.5) в виде

Из этого уравнения получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными, в котором при дифференциалах стоят функции, зависящие лишь от соответствующей переменной:

Интегрируя почленно, имеем

где C = C 2 – C 1 – произвольная постоянная. Выражение (6.6) представляет собой общий интеграл уравнения (6.5).

Разделив обе части уравнения (6.5) на,, мы можем потерять те решения, при которых,Действительно, еслипри

тоочевидно, является решением уравнения (6.5).

Пример 1. Найти решение уравненияудовлетворяющее

условию: y = 6 при x = 2 (y (2) = 6).

Решение. Заменим у” натогда. Умножим обе части на

dx, так как при дальнейшем интегрировании нельзя оставлять dx в знаменателе:

а затем, разделив обе части наполучим уравнение,

которое можно проинтегрировать. Интегрируем:

Тогда; потенцируя, получим y = C . (x + 1) – об-

щее решение.

По начальным данным определяем произвольную постоянную, подставив их в общее решение

Окончательно получаем y = 2(x + 1) – частное решение. Рассмотрим еще несколько примеров решения уравнений с разделяющимися переменными.

Пример 2. Найти решение уравнения

Решение. Учитывая, что, получим.

Проинтегрировав обе части уравнения, будем иметь

откуда

Пример 3. Найти решение уравненияРешение. Делим обе части уравнения на те сомножители, которые зависят от переменной, не совпадающей с переменной под знаком дифференциала, т. е. наи интегрируем. Тогда получим

и, наконец,

Пример 4. Найти решение уравнения

Решение. Зная, чтополучим. Разде-

лим переменные. Тогда

Интегрируя, получим

Замечание. В примерах 1 и 2 искомая функция y выражена явно (общее решение). В примерах 3 и 4 – неявно (общий интеграл). В дальнейшем форма решения оговариваться не будет.

Пример 5. Найти решение уравненияРешение.

Пример 6. Найти решение уравнения, удовлетворяющее

условию y(e) = 1.

Решение. Запишем уравнение в виде

Умножая обе части уравнения на dx и на, получим

Интегрируя обе части уравнения (интеграл в правой части берется по частям), получим

Но по условию y = 1 при x = e . Тогда

Подставим найденные значения С в общее решение:

Полученное выражение называется частным решением дифференциального уравнения.

6.2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде

Приведем алгоритм решения однородного уравнения.

1.Вместо y введем новую функциюТогдаи, следовательно,

2. В терминах функции u уравнение (6.7) принимает вид

т. е. замена сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

3.Решая уравнение (6.8), находим сначала u, а затем y = ux.

Пример 1. Решить уравнениеРешение. Запишем уравнение в виде

Производим подстановку:
Тогда

Заменим

Умножим на dx: Разделим на x и натогда

Проинтегрировав обе части уравнения по соответствующим переменным, будем иметь

или, возвращаясь к старым переменным, окончательно получим

Пример 2. Решить уравнениеРешение. Пустьтогда

Поделим обе части уравнения на x 2: Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

Переходя к старым переменным, придем к окончательному результату:

Пример 3. Найти решение уравнения при условии

Решение. Выполняя стандартную заменуполучаем

или

или

Значит, частное решение имеет видПример 4. Найти решение уравнения

Решение.

Пример 5. Найти решение уравнения Решение.

Самостоятельная работа

Найти решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными (1-9).

Найти решение однородных дифференциальных уравнений (9-18).

6.2.3. Некоторые приложения дифференциальных уравнений первого порядка

Задача о радиоактивном распаде

Скорость распада Ra (радия) в каждый момент времени пропорциональна его наличной массе. Найти закон радиоактивного распада Ra, если известно, что в начальный момент имелосьRa и период полураспада Ra равен 1590 лет.

Решение. Пусть в моментмасса Ra составляет x = x(t) г, причем Тогда скорость распада Ra равна

По условию задачи

где k

Разделяя в последнем уравнении переменные и интегрируя, получим

откуда

Для определения C используем начальное условие: при.

Тогдаи, значит,

Коэффициент пропорциональности k определяем из дополнительного условия:

Имеем

Отсюдаи искомая формула

Задача о скорости размножения бактерий

Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. В начальный момент имелось 100 бактерий. В течение 3 ч их число удвоилось. Найти зависимость количества бактерий от времени. Во сколько раз увеличится количество бактерий в течение 9 ч?

Решение. Пусть x – количество бактерий в момент t. Тогда, согласно условию,

где k – коэффициент пропорциональности.

ОтсюдаИз условия известно, что. Значит,

Из дополнительного условия. Тогда

Искомая функция:

Значит, при t = 9 x = 800, т. е. в течение 9 ч количество бактерий увеличилось в 8 раз.

Задача об увеличении количества фермента

В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента пропорциональна его начальному количеству x. Первоначальное количество фермента a в течение часа удвоилось. Найти зависимость

x(t).

Решение. По условию дифференциальное уравнение процесса имеет вид

отсюда

Но. Значит, C = a и тогда

Известно также, что

Следовательно,

6.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

6.3.1. Основные понятия

Определение. Дифференциальным уравнением второго порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую и вторую производные.

В частных случаях в уравнении могут отсутствовать x, у или у”. Однако уравнение второго порядка обязательно должно содержать у”. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде:

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно второй производной:

Как и в случае уравнения первого порядка, для уравнения второго порядка могут существовать общее и частное решения. Общее решение имеет вид:

Нахождение частного решения

при начальных условиях- заданные

числа) называется задачей Коши. Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую у = у (x), проходящую через заданную точкуи имеющую в этой точке касательнуюкоторая об-

разует с положительным направлением оси Ox заданный уголт. е. (рис. 6.1). Задача Коши имеет единственное решение, если правая часть уравнения (6.10),непре-

рывна и имеет непрерывные частные производные по у, у” в некоторой окрестности начальной точки

Для нахождения постоянных входящих в частное решение, надо разрешить систему

Рис. 6.1. Интегральная кривая

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка, т.е. уравнение

и установим некоторые свойства его решений.

Свойство 1
Если является решением линейного однородного уравнения, то C , где C – произвольная постоянная, является решением того же уравнения.
Доказательство.
Подставляя в левую часть рассматриваемого уравнения C , получим: ,
но , т.к. является решением исходного уравнения.
Следовательно,

и справедливость указанного свойства доказана.

Свойство 2
Сумма двух решений линейного однородного уравнения является решением того же уравнения.
Доказательство.
Пусть и являются решениями рассматриваемого уравнения, тогда
и .
Подставляя теперь + в рассматриваемое уравнение будем иметь:
, т.е. + есть решение исходного уравнения.
Из доказанных свойств следует, что, зная два частных решения и линейного однородного уравнения второго порядка, мы можем получить решение , зависящее от двух произвольных постоянных, т.е. от такого количества постоянных, какое должно содержать общее решение уравнение второго порядка. Но будет ли это решение общим, т.е. можно ли путем выбора произвольных постоянных и удовлетворить произвольно заданным начальным условиям?
При ответе на этот вопрос будет использовано понятие линейной независимости функций, которую можно определить следующим образом.

Две функции и называются линейно независимыми на некотором интервале, если их отношение на этом интервале не является постоянным, т.е. если
.
В противном случае функции называются линейно зависимыми .
Иными словами, две функции и называются линейно зависимыми на некотором интервале, если на всем интервале.

Примеры

1. Функции y 1 = e x и y 2 = e – x линейно независимы при всех значениях x , т.к.
.
2. Функции y 1 = e x и y 2 = 5 e x линейно зависимы, т.к.
.

Теорема 1.

Если функции и линейно зависимы на некотором интервале, то определитель , называемый определителем Вронского данных функций, тождественно равен нулю на этом интервале.

Доказательство.

Если
,
где , то и .
Следовательно,
.
Теорема доказана.

Замечание.
Определитель Вронского, фигурирующий в рассмотренной теореме, обычно обозначается буквой W или символами .
Если функции и являются решениями линейного однородного уравнения второго порядка, то для них справедлива следующая обратная и притом более сильная теорема.

Теорема 2.

Если определитель Вронского, составленный для решений и линейного однородного уравнения второго порядка, обращается в ноль хотя бы в одной точке, то эти решения линейно зависимы.

Доказательство.

Пусть определитель Вронского обращается в ноль в точке , т.е. =0,
и пусть и .
Рассмотрим линейную однородную систему

относительно неизвестных и .
Определитель этой системы совпадает со значением определителя Вронского при
x= , т. е. совпадает с , и, следовательно, равен нулю. Поэтому система имеет ненулевое решение и ( и не равны нулю). Используя эти значения и , рассмотрим функцию . Эта функция является решением того же уравнения, что и функции и . Кроме того, эта функция удовлетворяет нулевым начальным условиям: , т.к. и .
С другой стороны, очевидно, что решением уравнения , удовлетворяющим нулевым начальным условиям, является функция y =0.
В силу единственности решения, имеем: . Откуда следует, что
,
т.е. функции и линейно зависимы. Теорема доказана.

Следствия.

1. Если определитель Вронского, фигурирующий в теоремах, равен нулю при каком-нибудь значении x= , то он равен нулю при любом значении x из рассматриваемого интервала.

2. Если решения и линейно независимы, то определитель Вронского не обращается в ноль ни в одной точке рассматриваемого интервала.

3. Если определитель Вронского отличен от нуля хотя бы в одной точке, то решения и линейно независимы.

Теорема 3.

Если и – два линейно независимых решения однородного уравнения второго порядка , то функция , где и – произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Доказательство.

Как известно, функция является решением рассматриваемого уравнения при любых значениях и . Докажем теперь, что каковы бы ни были начальные условия
и ,
можно так подобрать значения произвольных постоянных и , чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло заданным начальным условиям.
Подставляя начальные условия в равенства, получим систему уравнений
.
Из этой системы можно определить и , т.к. определитель этой системы

есть определитель Вронского при x= и, следовательно, не равен нулю (в силу линейной независимости решений и ).

; .

Частное решение при полученных значениях и удовлетворяет заданным начальным условиям. Таким образом, теорема доказана.

Примеры

Пример 1.

Общим решением уравнения является решение .
Действительно,
.

Следовательно, функции sinx и cosx линейно независимы. В этом можно убедиться, рассмотрев отношение этих функций:

Пример 2.

Решение y = C 1 e x + C 2 e – x уравнения является общим, т.к. .

Пример 3.

Уравнение , коэффициенты которого и
непрерывны на любом интервале, не содержащем точки x = 0, допускает частные решения

(легко проверить подстановкой). Следовательно, его общее решение имеет вид:
.

Замечание

Мы установили, что общее решение линейного однородного уравнения второго порядка можно получить зная два каких-либо линейно независимых частных решения этого уравнения. Однако, не существует общих методов для нахождения таких частных решений в конечном виде для уравнений с переменными коэффициентами. Для уравнений с постоянными коэффициентами такой метод существует и будет рассмотрен нами позднее.

На сегодняшний день одним из важнейших навыков для любого специалиста является умение решать дифференциальные уравнения. Решение дифференциальных уравнений – без этого не обходится ни одна прикладная задача, будь это расчет какого-либо физического параметра или моделирование изменений в результате принятой макроэкономической политики. Эти уравнения также важны для ряда других наук, таких как химия, биология, медицина и т.д. Ниже мы приведем пример использования дифференциальных уравнений в экономике, но перед этим кратко расскажем об основных типах уравнений.

Дифференциальные уравнения – простейшие виды

Мудрецы говорили, что законы нашей вселенной написаны на математическом языке. Конечно, в алгебре есть много примеров различных уравнений, но это, большей частью, учебные примеры, неприменимые на практике. По-настоящему интересная математика начинается, когда мы хотим описать процессы, протекающие в реальной жизни. Но как отразить фактор времени, которому подчиняются реальные процессы – инфляция, выработка продукции или демографические показатели?

Вспомним одно важное определение из курса математики, касающееся производной функции. Производная является скоростью изменения функции, следовательно, она может помочь нам отразить фактор времени в уравнении.

То есть, мы составляем уравнение с функцией, которая описывает интересующий нас показатель и добавляем в уравнение производную этой функции. Это и есть дифференциальное уравнение. А теперь перейдем к простейшим типам дифференциальных уравнений для чайников .

Простейшее дифференциальное уравнение имеет вид $y’(x)=f(x)$, где $f(x)$ – некоторая функция, а $y’(x)$ – производная или скорость изменения искомой функции. Оно решается обычным интегрированием: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Второй простейший тип называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Такое уравнение выглядит следующим образом $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Видно, что зависимая переменная $y$ также входит в состав конструируемой функции. Уравнение решается очень просто – нужно “разделить переменные”, то есть привести его к виду $y’(x)/g(y)=f(x)$ или $dy/g(y)=f(x)dx$. Остается проинтегрировать обе части $$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$$ – это и есть решение дифференциального уравнения разделяющегося типа.

Последний простой тип – это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид $y’+p(x)y=q(x)$. Здесь $p(x)$ и $q(x)$ – некоторые функции, а $y=y(x)$ – искомая функция. Для решения такого уравнения применяют уже специальные методы (метод Лагранжа вариации произвольной постоянной, метод подстановки Бернулли).

Есть более сложные виды уравнений – уравнения второго, третьего и вообще произвольного порядка, однородные и неоднородные уравнения, а также системы дифференциальных уравнений. Для их решения нужна предварительная подготовка и опыт решения более простых задач.

Большое значение для физики и, что неожиданно, финансов имеют так называемые дифференциальные уравнения в частных производных. Это значит, что искомая функция зависит от нескольких переменных одновременно. Например, уравнение Блека-Шоулса из области финансового инжиниринга описывает стоимость опциона (вид ценной бумаги) в зависимости от его доходности, размера выплат, а также сроков начала и конца выплат. Решение дифференциального уравнения в частных производных довольно сложное, обычно нужно использовать специальные программы, такие как Matlab или Maple.

Пример применения дифференциального уравнения в экономике

Приведем, как и было обещано, простой пример решения дифференциального уравнения. Вначале поставим задачу.

Для некоторой фирмы функция маржинальной выручки от продажи своей продукции имеет вид $MR=10-0,2q$. Здесь $MR$ – маржинальная выручка фирмы, а $q$ – объем продукции. Нужно найти общую выручку.

Как видно из задачи, это прикладной пример из микроэкономики. 2$. Задача решена.

Другие примеры по разным типам ДУ собраны на странице:

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все “игреки”, а в другой – “иксы”:

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему “Как решать дифференциальные уравнения”:

{п-2}. \nonumber\]

В некоторых случаях эти представления степенных рядов можно использовать для нахождения решений дифференциальных уравнений.

В этом разделе были выбраны примеры и упражнения, для которых существуют силовые решения. Однако не всегда существуют силовые решения. Тем из вас, кто заинтересован в более тщательном рассмотрении этой темы, следует просмотреть раздел дифференциальных уравнений в LibreTexts.

Пример \(\PageIndex{1}\): ряд решений дифференциальных уравнений

Найдите решение степенного ряда для следующих дифференциальных уравнений. n &=0 \tag{шаг 4}.\end{align*}\]

Поскольку разложения функций в ряды по степеням уникальны, это уравнение может быть верным, только если коэффициенты каждой степени \(x\) равны нулю. Итак, у нас есть

\[(n+2)(n+1)a_{n+2}−a_n=0 \text{ для }n=0,1,2,…. \номер\]

Это рекуррентное соотношение позволяет нам выразить каждый коэффициент \(a_n\) через коэффициент двумя членами ранее. Это дает одно выражение для четных значений \(n\) и другое выражение для нечетных значений \(n\).Глядя сначала на уравнения, включающие четные значения \(n\), мы видим, что

\[\begin{align*}a_2 &= \dfrac{a_0}{2} \\[5pt] a_4 &= \dfrac{a_2}{4⋅3} = \dfrac{a_0}{4!}\\ [5pt] a_6 &= \dfrac{a_4}{6⋅5} =\dfrac{a_0}{6!} \\ &\qquad ⋮ \end{align*}\]

Таким образом, вообще говоря, когда \(n\) четно,

\[a_n=\dfrac{a_0}{n!}. \тег{шаг 5}\]

Для уравнений с нечетными значениями \(n,\) мы видим, что

\[\begin{align*}a_3 &=\dfrac{a_1}{3⋅2}=\dfrac{a_1}{3!} \\[5pt] a_5 &= \dfrac{a_3}{5⋅4} =\dfrac{a_1}{5!} \\[5pt] a_7 &= \dfrac{a_5}{7⋅6}=\dfrac{a_1}{7!} \\ &\qquad ⋮ \end{align*} \]

Следовательно, вообще говоря, когда \(n\) нечетно,

\[a_n=\dfrac{a_1}{n!}. n &=−4 \end{align*}\]

Глядя на коэффициенты каждой степени \(x\), мы видим, что постоянный член должен быть равен \(−4\), а коэффициенты всех других степеней \(x\) должны быть равны нулю. Затем, глядя сначала на постоянный член,

\[\begin{выровнено}4a_0−2a_2 &=-4 \\ a_2 &=2a_0+2 \end{выровнено} \tag{шаг 3} \]

Для \(n≥1\) имеем

\[\begin{align*}(n+4)(n+1)a_n−(n+2)(n+1)a_{n+2} &= 0 \\[4pt] (n+1) [(n+4)a_n−(n+2)a_{n+2}] &=0.\конец{выравнивание*}\]

Поскольку \(n≥1, \; n+1≠0,\), мы видим, что

\[(n+4)a_n−(n+2)a_{n+2}=0 \не число\]

и, следовательно,

\[a_{n+2}=\dfrac{n+4}{n+2}a_n. \номер\]

Для четных значений \(n\) имеем

\[\begin{align*} a_4 &=\dfrac{6}{4}(2a_0+2)=3a_0+3 \\ a_6 &= \dfrac{8}{6}(3a_0+3)=4a_0+ 4 \\[4pt] &\qquad ⋮ \end{align*}\]

Вообще,

\[a_{2k}=(k+1)(a_0+1). \тег{шаг 5} \]

Для нечетных значений \(n,\) имеем

\[\begin{align*}a_3 &=\dfrac{5}{3}a_1 \\[4pt] a_5 &= \dfrac{7}{5}a_3=\dfrac{7}{3}a_1 \\ [4pt] a_7 &=\dfrac{9}{7}a_5=\dfrac{9}{3} a_1=3a_1 \\[4pt] &\qquad ⋮ \end{align*}\]

Вообще,

\[a_{2k+1}=\dfrac{2k+3}{3}a_1. {2к+1}. \тег{шаг 6}\]

Неявные дифференциальные уравнения

Определение и методы решения

Уравнение типа

\[F\влево({х,у,у’}\вправо) = 0,\]

, где \(F\) — непрерывная функция, называется неявным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если это уравнение можно решить относительно \(y’,\), мы получим одно или несколько явных дифференциальных уравнений типа

\[y’ = f\left( {x,y} \right),\]

, которые можно решить методами, описанными в других разделах.

Далее предположим, что дифференциальное уравнение не может быть решено в явном виде, поэтому следует использовать другие методы. Основным приемом решения неявного дифференциального уравнения является метод введения параметра. Ниже мы покажем, как этот метод работает, чтобы найти общее решение для некоторых наиболее важных частных случаев неявных дифференциальных уравнений.

Здесь заметим, что общее решение может не охватывать все возможные решения дифференциального уравнения. Помимо общего решения, дифференциальное уравнение может иметь и так называемые сингулярные решения.

Мы рассмотрим это более подробно на странице Сингулярные решения дифференциальных уравнений.

Случай \(1.\) Неявное дифференциальное уравнение типа \(x = f\left( {y,y’} \right).\)

В этом случае переменная \(х\) выражается явно через \(у\) и производную \(у’).\) Введем параметр \(р = у’ = \frac{{dy} }{{dx}}.\) Продифференцируем уравнение \(x = f\left( {y,y’} \right)\) по \(y.\) Получается:

\[\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{d}{{dy}}\left[ {f\left( {y,p} \right)} \right] = \frac{ {\partial f}}{{\partial y}} + \frac{{\partial f}}{{\partial p}}\frac{{dp}}{{dy}}.\]

Поскольку \(\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{1}{p},\) последнее выражение можно записать следующим образом:

\[\frac{1}{p} = \frac{{\partial f}}{{\partial y}} + \frac{{\partial f}}{{\partial p}}\frac{{dp }}{{dy}}.\]

Получаем явное дифференциальное уравнение, общее решение которого дается функцией

\[г\влево( {у,р,С} \вправо) = 0,\]

, где \(C\) — константа.

Таким образом, общее решение исходного неявного дифференциального уравнения определяется в параметрической форме системой двух алгебраических уравнений:

\[\left\{ \begin{массив}{l} г\влево({у,р,С}\вправо) = 0\\ х = f\влево({у,р}\вправо) \конец{массив} \право..\]

Если параметр \(p\) можно исключить из системы, общее решение дается в явном виде \(x = f\left( {y,C} \right).\)

Случай \(2.\) Неявное дифференциальное уравнение типа \(y = f\left( {x,y’} \right).\)

Здесь мы рассматриваем аналогичный случай, когда переменная \(y\) является явной функцией \(x\) и \(y’).\) Введем параметр \(p = y’ = \frac{{dy} }{{dx}}\) и продифференцируем уравнение \(y = f\left( {x,y’} \right)\) по \(x.\) В результате имеем:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( {x,p} \right)} \right] = \frac{ {\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial f}}{{\partial p}}\frac{{dp}}{{dx}}\;\; \text{или}\;\;p = \frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial f}}{{\partial p}}\frac{{dp} {{dx}}. \]

Решая последнее дифференциальное уравнение, получаем алгебраическое уравнение \(g\left( {x,p,C} \right) = 0.\) Вместе с исходным уравнением они образуют следующую систему уравнений:

\[\left\{ \begin{массив}{l} г\влево({х,р,С}\вправо) = 0\\ у = f\влево({х,р}\вправо) \end{массив} \right.,\]

, которое является общим решением данного дифференциального уравнения в параметрической форме. В некоторых случаях, когда параметр \(p\) можно исключить из системы, общее решение можно записать в явном виде \(y = f\left( {x,C} \right).\)

Случай \(3.\) Неявное дифференциальное уравнение типа \(x = f\left( {y’} \right).\)

Здесь дифференциальное уравнение не содержит переменной \(y.\) Используя параметр \(p = y’ = \frac{{dy}}{{dx}},\), легко построить общее решение уравнения уравнение. Как \(dy = pdx\) и

\[dx = d\left[ {f\left( p \right)} \right] = \frac{{df}}{{dp}}dp,\]

, то выполняется следующее соотношение:

\[dy = p\frac{{df}}{{dp}}dp. \]

Интегрирование последнего уравнения дает общее решение в параметрической форме:

\[\left\{ \begin{массив}{l} y = \int {p\frac{{df}}{{dp}}dp} + C\\ х = f\влево( р \вправо) \конец{массив} \право..\]

Случай \(4.\) Неявное дифференциальное уравнение типа \(y = f\left( {y’} \right).\)

Уравнение такого типа не содержит переменной \(x\) и решается аналогично. Используя параметр \(p = y’ = \frac{{dy}}{{dx}},\), мы можем написать \(dx = \frac{{dy}}{p}.\) Тогда из уравнения следует, что

\[dx = \frac{{dy}}{p} = \frac{1}{p}\frac{{df}}{{dp}}dp.\]

Интегрирование последнего выражения дает общее решение исходного неявного уравнения в параметрической форме:

\[\left\{ \begin{массив}{l} х знак равно \ int {\ гидроразрыва {1} {p} \ гидроразрыва {{df}} {{dp}} dp} \\ y = f\влево( p \вправо) \конец{массив} \право..\]

См. решенные проблемы на стр. 2.

Общие и частные решения

Общие и частные решения

       

Здесь мы научимся находить общее решение дифференциального уравнения, и использовать это общее решение, чтобы найти частное решение. Мы будем также применим это к задачам ускорения, в которых мы используем ускорение и начальные условия объекта, чтобы найти положение функция.

Пример 1. Поиск частного решения

       Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию:

       Сначала нужно найти общее решение. Для этого нам нужно интегрировать обе стороны, чтобы найти y:

Это дает нам общее решение.Чтобы найти конкретное решение, нам нужно применить начальные условия, заданные для нас (y = 4, x = 0) и решить для C:

       После того, как мы решим для C, мы получим частное решение.

Пример 2. Поиск частного решения

       Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию:

       Сначала нам нужно проинтегрировать обе части, что дает нам общее решение:

2

2 Теперь мы применяем начальные условия (x = 1, y = 4) и находим C, который мы используем для создания нашего частного решения:

Пример 3. Поиск частного решения уравнение, удовлетворяющее заданному начальному условию:

       Сначала находим общее решение, интегрируя обе части:

Теперь, когда у нас есть общее решение, мы можем применить начальные условия и найти частное решение:

Скорость и ускорение

       Здесь мы будем применять конкретные решения, чтобы найти функции скорости и положения по ускорению объекта.

Пример 4: Функция поиска позиции

Найдите функцию положения движущейся частицы с заданным ускорением, начальным положением и начальной скоростью:

У нас есть функция ускорения, начальная скорость 10 и начальное положение 5, и ищут функция положения. Мы знаем, что интеграл ускорения равен скорость, так что давайте начнем с этого:

Теперь мы имеем общее решение скорости функция.Чтобы получить частное решение, нам нужна начальная скорость. Поскольку это начальная скорость, это скорость в момент времени t = 0; поэтому наше начальное условие v = 10, t = 0:

       Теперь, когда у нас есть частное решение скорости, мы можем интегрировать его, чтобы найти положение:

Теперь мы можем применить наши начальные условия к этому общее решение, чтобы получить частное решение, которое является положением функцию, которую мы хотим. Как и раньше, x ₀ — это начальная позиция
, что означает, что время t = 0, а x = 5:

       Это функция положения частицы.

Пример 5: Функция поиска позиции

Найдите функцию положения движущейся частицы с заданным ускорением, начальным положением и начальной скоростью:

У нас есть уравнение для ускорения, начальное скорость 7 и начальное положение 0.Первый шаг — найти частное решение скорости частицы:

Теперь мы можем использовать функцию скорости, чтобы найти функция положения. Помните, нам нужно будет найти конкретное решение функции положения, а не только общее решение:

Пример 6. Применение дифференциального уравнения

Здесь мы будем использовать пример из реальной жизни, чтобы применить то, что мы только что узнали.

Мяч бросают прямо вниз с начальной со скоростью 20 футов/с с вершины здания высотой 300 футов.Пренебрегая трением воздуха, доу через какое время мяч достигнет земли и с какой скоростью он попал?

       Чтобы решить эту проблему, нам нужно положить в терминах, которые мы можем понять. Единицы даны в футах и футов/секунду; ускорение свободного падения в этих единицах равно -32 фут/с ² .

       Мы знаем, что мяч был брошен вниз с начальной скоростью (t = 0) 20 футов/с; поскольку он идет вниз, скорость будет отрицательной (v ₀ = -10).

Наконец, здание достигает 300 футов в высоту, и мяч брошен сверху. Поскольку мяч начинается с места вверх от уровня земли, начальное положение будет положительным 300 (x ₀ = 300). Подставим все это в уравнение, аналогичное предыдущим примерам:

Теперь мы получаем где-то! Вопрос задает о мяче, когда он падает на землю. Чтобы быть в состоянии выяснить информация о том, когда он упадет на землю, нам нужно знать, который час хиты.Уравнение, связывающее положение со временем, есть положение функция, которую мы уже знаем, как получить из предыдущих примеров:

Теперь, когда у нас есть функция положения, мы можем начните вычислять время, за которое мяч коснется земли, и скорость, с которой он попадает. Для каждого из этих уравнений необходимо знать время; например, если мы подставим 2 вместо t в функцию скорости, это даст нам скорость в момент t = 2, или 2 секунды после броска мяча.Нам нужно знать, который час мяч падает на землю; для этого нам нужно задать позицию функцию, равную 0, и решить для t. Мяч стартовал в 300 футах от земли, и мы использовали 300 в качестве исходное положение. Если мы установим нашу позицию равной 0, это скажет нам когда мяч коснется земли:

       Мы получаем два значения для t: -5 и 3,75. Мы можем выбросить -5, так как у нас не может быть отрицательного ценность для времени. Следовательно, время, за которое мяч достигнет земля 3.75 секунд. Чтобы найти скорость в момент удара мяча о земли, мы просто подставляем 3,75 вместо t в наше уравнение скорости и решим:

       Скорость мяча при ударе о землю составляет -140 фут/с

Пример 7. Применение дифференциального уравнения

Тормоза автомобиля включаются, когда он движется со скоростью 60 км/ч, обеспечивая постоянное замедление 12 м/с ² . Какое расстояние проезжает автомобиль до остановки и сколько времени это занимает?

      Хорошо, давайте разберемся.Мы знаем, что ускорение равно -12 м/с ² . Начальная скорость 60 км/ч; это нужно будет преобразовать в м/с (у нас не может быть проблем с разными единицами измерения):

       Начальная скорость автомобиля составляет 16,7 м/с. Мы также можем назвать начальное положение x = 0, так как это когда автомобиль начинает замедляться. Собираем все вместе:

Мы знаем, что нам понадобится функция положения в в какой-то момент, так как нам нужно выяснить, какое расстояние проедет машина до подходит к остановке, так что давайте уберем это с дороги:

Теперь нам нужно выяснить, в какое время машина подходит к остановке.Мы не знаем, в каком положении будет машина. этой точке, но мы знаем, что скорость будет равна 0. Чтобы узнать когда скорость равна 0, нам нужно установить скорость равной 0 и решить:

Автомобиль останавливается через 1,4 секунды после подачи тормоза. Какое расстояние он проходит до остановки? Нам нужно подставить t = 1,4 к функции положения, чтобы узнать:

       Автомобиль проезжает 11,6 метра до остановки

Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка

Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка

В целом мало что известно о нелинейных дифференциальных уравнениях второго порядка.

,

но два случая заслуживают обсуждения:

(1)

Уравнения с и отсутствует

Пусть v = y ‘.Тогда новое уравнение, которому удовлетворяет v , имеет вид

Это дифференциальное уравнение первого порядка. Как только найдено v , его интегрирование дает функцию y .

Пример 1: Найдите решение

Решение: Поскольку y отсутствует, установите v = y ‘. Тогда мы имеют

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его разрешение дает

Поскольку v (1) = 1, получаем . Следовательно, у нас есть

Поскольку y ‘= v , после интегрирования мы получаем следующее уравнение

Условие y (1) = 2 дает . Таким образом, у нас есть

Обратите внимание, что это решение определено для x > 0.

(2)

Уравнения с x отсутствуют

Пусть v = y ‘.С

мы получили

Это снова дифференциальное уравнение первого порядка. Как только v найдено то мы можем получить и через

который является разделимое уравнение. Остерегайтесь решений констант.

Пример 2: Найдите общее решение уравнения

Решение: Поскольку переменная x отсутствует, установите v = y ‘.Приведенные выше формулы приводят к

это первый заказ сепарабельное дифференциальное уравнение. Его разрешение дает

Поскольку , мы получаем y ‘ = 0 или

Поскольку это сепарабельное дифференциальное уравнение первого порядка, после разрешения получаем

,

где C и две константы. Все решения нашей исходное уравнение

Заметим, что особое внимание следует уделить постоянным решениям при решении любого сепарабельного уравнения.Это может быть источником ошибок…

[Дифференциальные уравнения] [Первый приказ DE] [Второй Орден DE] [Геометрия] [Алгебра] [Тригонометрия] [Исчисление] [Комплексные переменные] [Матричная алгебра] Домашняя страница S.O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Мохамед Амин Хамси

Copyright 1999-2022 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Математика Медикс, ООО.- П.О. Box 12395 – Эль-Пасо, Техас 79913 – США
пользователей онлайн за последний час

.