Расчётное задание (10 дифференциальных уравнений)
Расчётное задание
Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Решение
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: .
Интегрируем:
Посчитаем интегралы отдельно:
Тогда: или
Ответ:
Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Решение
Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.
Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид
Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:
Из введенной подстановки следует, что . Следовательно, или – общее решение данного уравнения.
Ответ:
Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Решение
Это уравнение вида – линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Ответ:
Задача 4. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение
– уравнение Бернулли.
Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где U и V две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве V одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию V во второе уравнение . Получим откуда
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию И:
Возвращаясь к функции У, получим
Ответ:
Задача 5. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение
Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .
Отсюда – линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: ,
Замена где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Ответ:
Задача 6. Найти частное решение дифференциального уравнения.
, ,
Решение
Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем , где – новая неизвестная функция.
Тогда по формуле для производной сложной функции имеем:
Получим уравнение первого порядка относительно :
Разделим переменные и проинтегрируем ,
Тогда или
Выполним обратную подстановку;
Используем условия , тогда .
Тогда уравнение запишется в виде
Разделим переменные и проинтегрируем , ,
Получим
Используем условие , тогда .
Окончательно получим:
Ответ:
Задача 7. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
Корни характеристического уравнения:
Так как его корни действительные и кратные отсутствуют, общее решение однородного уравнения имеет вид .
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
, тогда
, .
Подставим в исходное
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х и одинаковых функциях в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение
Общее решение неоднородного примет вид:
Ответ:
Задача 8. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение
Решим соответствующее однородное уравнение
Составим характеристическое уравнение Его корни
Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид .
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
, тогда
, .
Подставим в исходное
,
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение
Общее решение неоднородного примет вид:
Ответ:
Задача 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 1 = 0
Корни характеристического уравнения: r1 = – i, r2 = i
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Для поиска частного решения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого решим систему:
Тогда окончательно
Ответ:
Задача 10. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.
Решение
Метод исключения неизвестных.
Продифференцируем по t первое уравнение
Исключая с помощью второго уравнения и с помощью первого уравнения системы, получим
, ,
Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение. Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .
Подставляя х в первое уравнение, находим общее решение для у
Ответ:
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Дифференциальные уравнения – общий интеграл, начальные условия, задача Коши.
Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн
- Дифференциальное уравнения – основные определения
- Примеры решения задач
- Методы решения различных видов дифференциальных уравнений
- Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
- Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
- Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- Системы дифференциальных уравнений
Краткая теория
Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную
, искомую функцию
и ее
производные. Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то
дифференциальное уравнение называется обыкновенным.
Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Следовательно, общий вид дифференциального уравнения n-го порядка следующий:
(*)
причем в частных случаях в это уравнение могут и не входить и отдельные производные, ниже чем . Например, уравнения
имеет соответственно первый и второй порядок.
Всякая функция , которая, будучи подставлена в дифференциальное уравнение, обращает его в тождество, называется решением дифференциального уравнения.
Интеграл
(**)
дифференциального уравнения
(*), содержащий n независимых произвольных постоянных
и
эквивалентный (в данной области) уравнению (*), называется общим интегралом дифференциального уравнения (в соответствующей
области). Придавая в соотношении (**) постоянным
определенные
значения, получаем частный интеграл уравнения (*).
Если для искомого частного решения дифференциального уравнения
заданы начальные условия (задача Коши)
и известно общее решение уравнения
то произвольные постоянные определяются, если это возможно, из системы уравнений:
Решение многих научных и технических задач приводит к интегрированию дифференциальных уравнений. В этих задачах требуется установить зависимость между переменными величинами некоторого физического, химического или другого процесса, найти уравнение линии или поверхности и т. п.
При решении таких задач можно руководствоваться следующим:
- Необходимо сначала составить дифференциальное
уравнение из условия задачи.Определить тип полученного уравнения и
выбрать метод решения.Найти общее решение уравнения.Получить частное решение, удовлетворяющее
данным начальным условиям.
В случае необходимости вычислить значения
вспомогательных параметров (коэффициент пропорциональности и др.).Если это требуется, найти численные значения
искомых величин.Составление дифференциального уравнения по условию научной или технической задачи состоит в определении математической зависимости между переменными величинами и их приращениями, в нахождении выражения для производной. В некоторых случаях приращения целесообразно сразу заменить соответствующими дифференциалами. При составлении дифференциальных уравнений используются соответственно геометрический или механический смысл производной; кроме того, в зависимости от условия задачи применяются соответствующие законы физики, механики, химии и других наук.
Задача 1
Проверить, что функция
является решением дифференциального уравнения
Решение
Имеем:
и следовательно:
Ответ: заданная функция является решение заданного дифференциального уравнения.
Задача 2
Найти кривую семейства
для которой
Решение
Имеем:
Получаем:
Искомое уравнение кривой:
Ответ:
Задача 3
Найти линию, у которой отрезок нормали в любой ее точке, заключенный между осями координат, делится пополам в этой точке. Составить уравнение такой линии, проходящей через точку
Решение
Пусть – произвольная точка искомой линии
Уравнение нормали к линии . В точке :
Обозначим через и точки пересечения нормали с координатными осями. Положив в этом уравнении найдем – абсциссу точки .
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь – свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
При из того же уравнения найдем ординату точки
Поскольку – середина отрезка , то
Каждое из этих уравнений приводится к уравнению
Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки искомой линии, поэтому:
Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получаем общий интеграл:
Общий интеграл определяет множество гипербол. Найдем ту линию, которая проходит через точку
или
Ответ:
обыкновенных дифференциальных уравнений – Чтобы найти общий интеграл квазилинейного УЧП
Задавать вопрос
спросил
Изменено 5 лет, 8 месяцев назад
Просмотрено 2к раз
92}{г}$ $$\frac{x}{yz}=c_2$$ Общее решение УЧП: $$F\left(\left(\frac{x}{yz}\right)\:,\:\left(\frac{z}{y}-\frac{2}{z}\right)\right )=0$$ что является ожидаемым уравнением.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
реальный анализ – Общий интеграл дифференциального уравнения
спросил
Изменено 4 года, 9 месяцев назад
Просмотрено 300 раз
$\begingroup$ 92}$$ определено для всех $y\ne\pm1$, и его первообразная может быть выражена как
$$\frac12(\log|y+1|-\log|y-1|)=\log\sqrt {\left|\frac{y+1}{y-1}\right|}.