03. Пример решения Заданий из раздела №1
Задание 1. Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов . Вычислить определитель : а) разложив его по элементам I-ой строки; б) разложив его по элементам J-го столбца; в) получив предварительно нули в I-ой строки.
I = 1, J = 2
Решение: 1. Находим миноры к элементам :
Алгебраические дополнения элементов соответственно равны:
2. а). Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки:
Б) Вычислим определитель, разложив его по элементам второго столбца:
В) Вычисли определитель , Получив предварительно нули в первой строке. Используем свойство определителей: определитель Не ИЗмеНиТся, ЕСлИ ко всЕМ эЛеМентам кАКой-либо строки (столбца) прибавить СоотВЕтстВУющие эЛеМЕНтЫ другой строки (столбца), умноженНЫе на одно И то же произвольное число. Умножим третий столбец определителя на 3 и прибавим к первому, затем умножим на (-2) и прибавим ко второму.
В опрЕДЕЛитЕЛе трЕТьЕГо порядка получили нули в ПеРвом столбце по свойству тому же свойству определителей.
Задание 2.
Даны две матрицы A и B. Найти: а) AB; б) BA; в) ; г) .
Решение: а) Произведение АВ имеет смысл, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Находим матрицу С=АВ, элементы которой определяются по формуле . ИмеЕМ:
Б) Вычислим
ОчЕВидНО, что ;
В) Обратная матрица матрицы А имеет виД
,
Где – алгебраическое дополнение, -минор, т. е. определитель полученный из основного определителя вычёркивание i-строки, j-столбца.
,
Т. е. матрица A – Невырожденная, и, значит, существуЕТ матрица . Находим:
Тогда
;
Г) Проверка
;
Задание 3.
Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее а) по формулам Крамера б) методом Гаусса.
Решение: Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера – Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
Данной системы и ранг расширенной матрицы
Для этого умножим первую строку матрицы В на (-2) и сложим со второй, затем умножим первую строку на (-3) и сложим с третьей, поменяем местами второй и третий столбцы. Получим
.
Следовательно, (т. е. числу неизвестных). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.
А) По формулам Крамера
,
Где -главный определитель, который мы посчитаем, например, по правилу треугольника
,
Аналогично найдем
,
,
,
Находим: .
Из полученной системы находим .
Задание 4
Решить матричное уравнение
Пусть ,
решение матричного уравнения находим по формуле
Х=А -1В, где А -1 обратная матрица
– алгебраическое дополнение, где
– определитель, полученный из основного вычеркивание i-строки, j-столбца, – определитель матрицы.
Найдем обратную матрицу.
(-1)1+14=4
А12=(-1)1+23=-3
А21= (-1)2+12=-2
А22=(-1)2+21=1
DetA==1*4-2*3=4-6=-2
Итак,
Задание 5
Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трёх видов: . Необходимые характеристики указаны в таблице .
Вид сырья | Нормы расхода сырья на изготовление одного вида продукции, усл. ед. | Расход сырья за один день, усл. ед. | ||
Сапог | Кроссовок | Ботинок | ||
S1 S2 S3 | 5 2 3 | 3 2 | 4 1 2 | 2700 900 1600 |
Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.
Решение: Пусть ежедневно фабрика выпускает x1 – единиц продукции первого вида, x2 – единиц продукции второго вида, x3 – единиц продукции третьего вида. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему.
Решаем систему линейных уравнений любым способом. Решим данную систему, например, методом Гаусса. Составим матрицу из коэффициентов стоящих перед неизвестными и из свободных членов.
Обнуляем первый столбец, кроме первого элемента
1. Первую строчку оставляем без изменения
2. Вместо второй записываем сумму первой, умноженной на -2 и второй, умноженной на 5
3. Вместо третьей записываем сумму первой, умноженной на -3 и третьей, умноженной на 5
Аналогично обнуляем второй столбец под элементом второй строки второго столбца
˜˜
Вернемся к системе
Т. е. фабрика выпускает 200- единиц продукции первого вида, 300- единиц продукции второго вида и 200- единиц продукции третьего вида.
Задание 6.
Решить однородную систему линейных алгебраических
Уравнений.
Решение: Так как определитель системы
,
То система ИМЕЕт бЕСчисленное множество решений. Поскольку , , возьмем любые два уравнения системы (наПРИМЕР, ПЕрвое И второе) и найдем ее рЕШение. ИмЕеМ:
Так как определитель из коэффициентов при неизвестных и не равен нулю, то в качестве базисных нЕИзвестных ВОзьмЕМ и (хотя можно брать и другие пары нЕИзвЕСтных) И ПеРЕМЕСтим члЕНы с в правые частИ УравнЕНИЙ:
РЕШаЕМ пОСлЕдНюю систЕМу по формулам КрамЕРа :
Где
,
,
.
Отсюда находим, что Полагая , где K—Произвольный коэффициент пропорциональности (произвольная постоянная), получаем решение исходной сИСтЕМы: .
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Определитель матрицы
Для решения заданий в высшей математике периодически нужно находить определитель матрицы.
Встречается он не только в алгебре, но и в геометрии, математический анализ также может его содержать. Следовательно, нужно уметь находить определитель матрицы, так как это необходимо.
Что такое матрица – это таблица прямоугольной формы содержащая в себе различные выражения. Матрица может иметь n столбцов и m строк, ее называют как (m,n) – матрице.
Только квадратная матрица имеет определитель. Который больше всего встречается второго, третьего и четвертого порядка.
Следует запомнить что выражения (числа) стоят сами по себе, значит и вычитать ни чего не нужно, перестановку делать так же нельзя. Иногда можно поменять местами столбцы и строки парами. В результате это даст нам смену знака, но часто этого не требуется. Из чего следует, что в любом данном определителе, не нужно ни чего трогать или менять.
Разберемся в названиях обозначений:
– Определитель матрицы обозначается как {A}, реже встречается как D либо ?
– Вычисление определителя – то нахождение числа, которое обозначается знаком вопроса, подразумевая обычное число.
Для того чтобы найти данное неизвестное число определителя нужно знать правила, алгоритмы и формулы. Такие как:
1) Для вычисления определителя второго порядка, нужна формула
Разберем на примере:
2) Для вычисления определителя третьего порядка, существует 8 способов, разберем 2 самых простых.
Разберем на примере:
Таким образом числа зачеркнутые красным цветом вписываются с положительным знаком, а числа зачеркнутые синим цветом с отрицательным.
Разберем на примере:
Если сравнить оба варианта вычисления, видно что они практически одинаковы, но во втором варианте допущение ошибки сводится к нулю, так как представлены множители.
Затронем еще один способ нормального вычисления, так как он используется в большинстве случаев. Найти определитель можно путем раскрытия его в любом столбце либо строке. Вычисляется путем сложения произведений выражений данного столбца или строки на алгебраические дополнения.
Для наглядности разберем определитель по первой строке.
3) Для вычисления определителя четвертого порядка, нужно действовать так же как и при вычислении третьего порядка, просто таблица буде больше. Приведу пример и разложу на определитель третьего порядка, а потренироваться в решении вы сможете сами. В ответе должно получиться 18.
Это очень познавательно и интересно, главное быть внимательнее!
Калькулятор определяющей матрицы 2×2 3×3 4×4 NxN
Калькулятор определяющей матрицы 2×2
Загрузка.
..
(если это сообщение не исчезнет, попробуйте обновить эту страницу)
Калькулятор определителя матрицы 3×3
Загрузка…
(если это сообщение не исчезнет, попробуйте обновить эту страницу)
Калькулятор определителя Matrix 4×4
Загрузка…
(если это сообщение не исчезнет, попробуйте обновить эту страницу)
Калькулятор определителя матрицы NxN
Загрузка…
(если это сообщение не исчезнет, попробуйте обновить эту страницу)
См. также: Миноры матрицы — след матрицы — обратная матрица
Ответы на вопросы (FAQ)
Что такое определитель матрицы? (Определение)
Определитель матрицы — это значение, связанное с матрицей (или с определяющими ее векторами), это значение очень удобно в различных матричных вычислениях.
Как вычислить определитель матрицы?
Для квадратной матрицы 2×2 (порядок 2) вычисление:
$$ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad – bc $$
Пример: $$ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \times 4 – 2 \times 3 = -2 $$
Для матрицы большего размера, такой как порядок 3 (3×3), вычислите:
$$ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end {vmatrix} – b \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} \\ = aei-afh+ bfg-bdi+cdh-ceg $$
Вычисленные подматрицы называются минорами исходной матрицы.
Идея такая же для матриц большего размера:
Для порядка 4 определитель матрицы 4×4 :
$$ \begin{vmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} f & g & h \\ j & k & l \\ n & o & p \end{vmatrix} – b \begin{vmatrix} e & g & h \\ i & k & l \\ m & o & p \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} e & f & h \\ i & j & l \\ m & n & p \end{vmatrix} – d \begin{vmatrix} e & f & g \\ i & j & k \\ m & n & o \end{vmatrix} \\ = \\ a(fkp − flo − gjp + gln + hjo − hkn) − b(ekp − elo − gip + glm + hio − hkm) + c(ejp − eln − fip + flm + hin − hjm) − d( ejo – ekn – fio + fkm + gin – gjm) \\ = \\ afkp – aflo – agjp + agln + ahjo – ahkn – bekp + belo + bgip – bglm – bhio + bhkm + cejp – celn – cfip + cflm + chin − chjm − dejo + dekn + dfio − dfkm − dgin + dgjm $$
Как вычислить определитель неквадратной матрицы?
Определитель неквадратной матрицы не определен, она не существует по определению определителя.
По какой формуле вычисляется определитель матрицы порядка n?
Нет никакой другой формулы, кроме объяснения выше для общего случая матрицы порядка n.
Как вычислить определитель матрицы 1×1?
Для матрицы 1×1 определитель является единственным элементом матрицы.
Пример: $$ | 1 | = 1 $$
Что является определителем единичной матрицы?
Единичная матрица имеет определитель $ 1 $.
Пример: $$ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times 1 – 0 \times 0 $$
Пример: $$ \begin{vmatrix } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = ( 1 \times 1 \times 1) – (1 \times 0 \times 0) + (0 \times 0 \times 0) – (0 \times 0 \times 1) + (0 \times 0 \times 0) – (0 \times 1 \times 0) = 1 $$
Только член, соответствующий произведению диагонали, будет равен 1, а остальные члены будут нулевыми.
Какой определитель транспонированной матрицы?
Транспонированная матрица имеет тот же определитель, что и нетранспонированная матрица, и, следовательно, матрица имеет тот же определитель, что и ее собственная транспонированная матрица.
Как найти определитель матрицы по ее собственным значениям?
Определитель матрицы является произведением ее собственных значений (включая комплексные значения и потенциальную кратность).
Это свойство действительно для квадратной матрицы любого размера (2×2, 3×3, 4×4, 5×5 и т. д.)
Исходный код
dCode сохраняет право собственности на исходный код “Определитель матрицы”. За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Определитель матрицы», апплета или фрагмента (преобразователь, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или «Определитель Матрицы» (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т. д.) и все данные загрузка, сценарий или доступ к API для «Определителя матрицы» не являются общедоступными, то же самое для автономного использования на ПК, мобильных устройствах, планшетах, iPhone или в приложениях для Android!
Напоминание: dCode можно использовать бесплатно.
Cite dCode
Копирование и вставка страницы “Определитель матрицы” или любых его результатов разрешено, если вы цитируете dCode!
Бесплатный экспорт результатов в виде файла .csv или .txt осуществляется нажатием значка экспорта
Ссылка на источник (библиография):
Определитель матрицы на dCode.fr [онлайн-сайт], получено 2023-03 -12, https://www.dcode.fr/matrix-determinant
номер состояния матричного калькулятора
AlleBilderVideosBücherMapsNewshopping
suchoptionen
Condition Number Calculator
www.omnicalculator.com › math › condition-number
02.02.2023 · Состояние число условие калькулятор. Он поддерживает использование популярных матричных норм и может найти 2×2 или …
Калькулятор числа состояний матрицы – Math34.pro
math34.pro › matrix_condition_number
Бесплатный калькулятор числа условий матрицы.
… Тригонометрические тождества; Матрицы. Умножение · Степень · Определитель · Обратный · Ранг · Характеристический многочлен …
Калькулятор числа состояний – comnuan.com
comnuan.com › …
Онлайн-калькулятор матриц для числа состояний, числа состояний вещественной или комплексной матрицы.
Ähnliche Fragen
Как найти номер состояния матрицы?
Что такое число обусловленности матрицы R?
Что такое номер состояния матрицы в Matlab?
Вычисление числа обусловленности матрицы Math Stack Exchange
math.stackexchange.com › вопросы › вычисления-т…
Число обусловленности (в норме L2) представляет собой отношение максимального/минимального сингулярных значений. Это равно отношению максимума/минимума (абсолютное …
Определение состояния матрицы $A – Math Stack Exchange
Явное вычисление числа обусловленности квадратной матрицы
Дополнительная информация по math.stackexchange.
com
Номер условия для инверсии — MATLAB cond — MathWorks
www.mathworks.com › … › Линейная алгебра
Эта функция MATLAB возвращает число условия 2-нормы для инверсии, равное отношению наибольшего сингулярного значения A к наименьшему.
Вычисление или оценка числа обусловленности матрицы – R
stat.ethz.ch › R-devel › library › base › help › kappa
Число обусловленности обычной (квадратной) матрицы является произведением норма матрицы и норма ее обратной (или псевдообратной), …
Калькулятор матриц – Symbolab
www.symbolab.com › … › Матрицы и векторы
Бесплатный калькулятор матриц – шаг за шагом решайте матричные операции и функции. … В математике матрица представляет собой прямоугольный массив чисел, символов, …
Матрица Число условий и нормы матрицы – YouTube
www.youtube.com › смотреть
03.03.2017 · В этом видео мы определяем пару технических терминов, таких как «норма матрицы» и .