Найти первую производную функции онлайн: Дифференцирование функции, заданной неявно

Исследование функции с помощью производной и построение графиков функций

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

Тема. Исследование функции с помощью
производной и построение графиков
функций.
1.Возрастание и убывание функции.
2. Максимум и минимум функции.
3.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
4. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
5. Асимптоты графика функции и построение графика.
1.Возрастание и убывание функции.

Теорема 1. (достаточное условие возрастания функции)
Если производная дифференцируемой
функции положительна внутри
некоторого промежутка Х, то функция
возрастает на этом промежутке.
Теорема 2. (достаточное условие убывания функции)
Если производная дифференцируемой
функции отрицательна внутри
некоторого промежутка Х, то она
убывает на этом промежутке.
Если касательные к кривой на некотором
промежутке направлены под острыми
углами к оси х, то функция возрастает.
если они направлены под тупыми углами,
то функция убывает.
y
y
x
x
Найти интервалы монотонности
функции
y x 4x 3
2
Найдем производную этой функции:
y ( x 4x 3) 2x 4

2
Исследуем знак этой производной:
y 2 x 4 0 при
x 2
y 2 x 4 0
x 2
при
Следовательно, функция будет возрастать на
промежутке ( 2 ; )
Функция будет убывать на промежутке
( ; 2)
2. Максимум и минимум функции.
Точка х0 называется точкой максимума функции
f(x), если в некоторой окрестности точки х0
выполняется неравенство
f ( x) f ( x0 )
Точка х1 называется точкой минимума функции
f(x), если в некоторой окрестности точки х1
выполняется неравенство
f ( x) f ( x1 )
Значения функции в точках х0 и х1
называются соответственно
максимумом и минимумом функции.
Максимум и минимум функции называется
экстремумом функции.
y
y f (x)
x1 x2
x3
x
На одном промежутке функция может иметь несколько
экстремумов, причем может быть, что минимум в одной
точке больше максимума в другой.
Максимум или минимум функции на некотором
промежутке не являются в общем случае наибольшим и
наименьшим значением функции.
Если в некоторой точке х0 дифференцируемая функция f(x)
имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки
выполняется теорема Ферма и производная функции в
этой точке равна нулю:
f ( x0 ) 0
Однако, функция может иметь экстремум в точке, в
которой она не дифференцируема.
Например, функция
y x
имеет минимум в точке
x 0
но она в этой точке не дифференцируема.
Для того, чтобы функция y=f(x) имела
экстремум в точке х0 , необходимо, чтобы
ее производная в этой точке равнялась
нулю или не существовала.
Точки, в которых выполняется необходимое
условие экстремума, называются
критическими или стационарными.
Т.об., если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта
точка является критической.
Но критическая точка не обязательно является точкой
экстремума.
Найти критические точки и экстремумы
функций:
1
y x
2
Применим необходимое условие экстремума:
y ( x ) 2 x
y 2 x 0 при x 0
2
x 0
y 0
– критическая точка
y
x 0
y x
2
x
2
y x 1
3
Применим необходимое условие экстремума:
y ( x 1) 3x
2
y 3x 0 при x 0
3
x 0
y 1
2
– критическая точка
y
y x 1
3
y 1
x
Если при переходе через точку х0 производная
дифференцируемой функции y=f(x)меняет
знак с плюса на минус, то х0 есть точка
максимума, а если с минуса на плюс, то х0
есть точка минимума.
1
Найти производную функции
y f (x)
2
Найти критические точки функции, в
которых производная равна нулю или не
существует.
3
Исследовать знак производной слева и справа
от каждой критической точки.
4
Найти экстремум функции.
Исследовать функцию на экстремум:
y x( x 1)
3
Применим схему исследования функции на экстремум:
1
Находим производную функции:
y ( x( x 1) ) ( x 1) 3x ( x 1)
3
3
2
( x 1) ( x 1 3x) ( x 1) (4 x 1)
2
2
2
Находим критические точки:
( x 1) (4 x 1) 0
2
x1 1
1
x2
4
3
Исследуем знак производной слева и справа
от каждой критической точки:
y
y
1
4
1
В точке х=1 экстремума нет.

x
4
Находим экстремум функции:
27
1
f min
256
4
3.Наибольшее и наименьшее значения функции на
отрезке.
Согласно теореме Вейерштрасса, если функция
непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает
на нем наибольшего и наименьшего значений.
Эти значения могут быть достигнуты на концах
отрезка или в точках экстремума.
1
Найти производную функции.
2
Найти критические точки, в которых
производная равна нулю или не существует.
3
Найти значения функции в критических
точках и на концах отрезка, и выбрать из
них наибольшее и наименьшее значения.
Найти наибольшее и наименьшее
значения функции
y ( x 2) e
2
на отрезке
0 ; 5
x
1
Находим производную функции:
y ( x 2) e
2
x
2( x 2) e
x
x
e ( x 2) ( x 4)
2
Находим критические точки:
x
y e ( x 2) ( x 4) 0
x1 2
x2 4
x
( x 2) e
2
3
Находим
значения
функций
в
критических точках и на концах
отрезка:
f (2) 0
4
f (4) 4
e
f наиб (0) 4
f (0) 4
9
f (5) 5
e
f наим (2) 0
Если функция непрерывна на интервале (а;в),
то она может не принимать на нем наибольшее
и наименьшее значения. В частности, если
дифференцируемая функция y=f(x) на интервале
(а;в) имеет лишь одну точку максимума (или
минимума), то наибольшее (или наименьшее)
значение функции совпадает с максимумом
(минимумом) этой функции.
4. Выпуклость
перегиба.
графика
функции.
Точки
Функция y=f(x) называется выпуклой вниз
(вогнутой) на промежутке Х, если для любых
х1, х2 из этого промежутка выполняется
неравенство:
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
f
2
2
y
y f (x)
f ( x1 ) f ( x2 )
2
x1 x2
f
2
x1
x1 x2
2
x2
x
Функция y=f(x) называется выпуклой вверх на
промежутке Х, если для любых х1, х2 из этого
промежутка выполняется неравенство:
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
f
2
2
y
x1 x2
f
2
y f (x)
f ( x1 ) f ( x2 )
2
x1
x1 x2
2
x2
x
Функция выпукла вверх (вниз) на
промежутке Х тогда и только тогда,
когда ее первая производная на этом
промежутке монотонно возрастает
(убывает).
Если вторая производная дифференцируемой
функции положительна (отрицательна)
на некотором промежутке Х, то функция
выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.
Точкой перегиба графика непрерывной функции
называется точка, разделяющая интервалы,
на которых функция выпукла вверх и вниз.
Точка перегиба – это точка экстремума первой
производной.
Вторая производная дифференцируемой
функции в точке перегиба х0 равна нулю:
f ( x0 ) 0
Если вторая производная
дифференцируемой функции в точке х0
меняет свой знак, то х0 – точка перегиба
ее графика.
1
Найти вторую производную функции.
2
Найти точки, в которых вторая
производная функции равна нулю или
не существует.
3
Исследовать знак второй производной
слева и справа от найденных точек
и сделать вывод об интервалах

выпуклости и точках перегиба.
4
Найти значения функции в точках
перегиба.
Найти интервалы выпуклости и
точки перегиба функции
y x ( x 1)
3
1
Находим вторую производную:
y x ( x 1)
3
( x 1)
3
3x ( x 1)
2
( x 1) ( x 1 3x) ( x 1) (4 x 1)
2
2
y ( x 1) (4x 1) 2( x 1) (4x 1) 4( x 1)
2
2
( x 1) 8x 2 4x 4 ( x 1) 12x 6
2
Находим точки, в которых вторая производная
обращается в нуль: y ( x 1) 12 x 6 0
1
x1
2
3
x2 1
Исследуем знак второй производной слева и
справа от каждой точки:
y
y
1
2
1
x
Точки х1, х2 являются точками перегиба.
Находим значения функции в точках перегиба:
4
1
1
f
16
2
f (1) 0
5. Асимптоты графика функции и построение графика
Асимптотой графика функции y=f(x)
называется прямая, такая что
расстояние от точки (x,f(x)) до этой
прямой стремиться к нулю при
неограниченном удалении точек графика
от начала координат.
y
y f (x)
x
y
y f (x)
x
y
y f (x)
x
Пусть функция y=f(x) определена в
некоторой окрестности точки х0
(исключая, может быть, саму эту
точку) и хотя бы один из пределов
функции при
x x0 0
или
x x0 0
(слева )
(справа )
равен бесконечности, т.е.
lim f ( x)
x x0 0
или
lim f ( x)
x x0 0
Тогда прямая х=х0 является
вертикальной асимптотой графика
функции y=f(x).
Очевидно, что прямая х=х0 не может быть
вертикальной асимптотой, если функция
непрерывна в точке х0, т.к. в этом случае
lim f ( x) f ( x0 )
x x0
Следовательно, вертикальные асимптоты х=х0
следует искать в точках разрыва функции
y=f(x) или на концах ее области определения
(a,b), если a и b – конечные числа.
Пусть функция y=f(x) определена при
достаточно больших х и существует
конечный предел функции
lim f ( x) b
x
Тогда прямая y=b является
горизонтальной асимптотой
графика функции y=f(x).
Пусть функция y=f(x) определена при
достаточно больших х и
существуют конечные пределы
f ( x)
lim
k
x
x
lim f ( x) k x b
x
Тогда прямая y=kx+b является
наклонной асимптотой графика
функции y=f(x).
Найти асимптоты графика функции
3
x
y 2
x 1
1
2
Функция
не
имеет
точек
разрыва,
следовательно вертикальных асимптот у нее
нет.
Найдем горизонтальные асимптоты:
3
x
lim 2
x
x 1
Предел равен бесконечности, следовательно
горизонтальных асимптот нет.
3
Найдем наклонные асимптоты:
f ( x)
x3
x2
lim
lim 2 : x lim 2
1
x
x
x
x
x 1
x 1
k 1
x3
lim f ( x) kx lim 2
x
x
x x 1
x x x
x
lim
lim
0
2
2
x
x
x 1
x 1
3
3
b 0
y x
Следовательно, прямая
является наклонной асимптотой.
Схема исследования функции и построение графика
1
Найти область определения функции.
2
Исследовать функцию на четность и
периодичность.
3
Найти вертикальные асимптоты.
4
Исследовать поведение функции на
бесконечности и найти горизонтальные
или наклонные асимптоты.
5
Найти экстремумы и интервалы
монотонности функции.
6
Найти интервалы выпуклости функции
и точки перегиба.
7
Найти точки пересечения графика с осями
координат и некоторые дополнительные
точки, уточняющие график.
Исследовать функцию и построить
ее график
1 x
y
2
1 x
2
Находим область определения функции.
Функция определена при всех значениях х,
кроме x 1
Следовательно, область определения функции
будет объединение интервалов:
1
( ; 1) ( 1;1) (1; )
2
Исследуем
функцию
периодичность:
на
четность
1 ( x) 1 x
f ( x)
f ( x)
2
2
1 ( x) 1 x
2
2
и
Функция является четной, следовательно ее
график будет симметричен относительно оси
ординат.
Функция не периодична.
3
Находим вертикальные асимптоты.
Вертикальные асимптоты могут быть в точках
разрыва функции х =1 и х = -1.
Сначала рассмотрим точку х =1.
Если хотя бы один из пределов при
x 1
слева и справа равен бесконечности, то прямая
х =1 является вертикальной асимптотой.
При
При
1 x2
lim
2
x 1 0 1 x
x 1
слева
x 1
1 x2
справа lim
2
x 1 0 1 x
Следовательно,
прямая
х=1
является
вертикальной асимптотой.
Аналогично можно проанализировать х=-1, но так
как
график
функции
симметричен
относительно оси ординат, то прямая х=-1
также будет вертикальной асимптотой.
4
Исследуем
поведение
функции
на
бесконечности и найдем горизонтальные и
наклонные асимптоты.
1 x2
1
lim
2
x 1 x
1 x2
1
lim
2
x 1 x
Следовательно, y=-1 – горизонтальная асимптота.
Т.к.
lim
x
f ( x)
1 x2
lim
2
x x (1 x )
x
то наклонных асимптот нет.
5
Найдем
интервалы
монотонности
и
экстремумы функции.
Для этого вычислим первую производную:
1 x 2 x(1 x 2 ) ( 2 x)(1 x 2 )
y
2
2 2
(1 x )
1 x
2
2 x 2 x3 2 x 2 x3
4x
2 2
(1 x )
(1 x 2 ) 2
Исследуем знак производной при переходе через эту
точку:
y
y
0
f min (0) 1
x
Интервалы монотонности функции:
( ; 1) ( 1;0)
Функция возрастает на: (0;1) (1; )
Функция убывает на:
6
Найдем интервалы выпуклости и точки
перегиба.
Для этого вычислим вторую производную:
2 2
2 2
4 x (4 x) (1 x ) 4 x (1 x )
y
2 2
2 4
(1 x )
(1 x )
4 (1 x 2 ) 2 4 x 2(1 x 2 ) ( 2 x) 4 4 x 2 16 x 2
2 4
2 3
(1 x )
(1 x )
4(1 3x 2 )
(1 x 2 )3
Точек, в которых вторая производная обращается
в ноль, нет. Поэтому точек перегиба у графика
нет.
Числитель всегда положителен, поэтому знак
второй
производной
будет
определяться
знаменателем.
y
y
1
0
x
Интервалы выпуклости функции:
Функция выпукла вниз на:
( 1 ; 1)
Функция выпукла вверх на: ( ; 1) (1; )
Найдем точки пересечения графика функции с
осями координат:
При x 0
1 0
y
1
1 0
(0,1) – точка пересечения с осью ординат.
7
Точек пересечения с осью абсцисс нет.
8 Строим график функции:
y
1 x2
y
2
1 x
1
1
1
1
x

English     Русский Правила

Дифференцирование таблично заданной функции

Об объекте

Интерполяция функции одной переменной

Решение нелинейных уравнений

Решение систем линейных уравнений

Дифференцирование таблично заданной функции

Реализация и примеры

Интегрирование функции одной переменной

Решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

Литература

Дифференцирование таблично заданной функции

Один из широко применяемых методов дифференцирования таблично заданной функции состоит в том, что по узловым (табличным) точкам строится интерполяционный многочлен, а затем вычисляется производная этого многочлена. Например, формулы численного дифференцирования могут быть получены их интерполяционного многочлена Лагранжа. Для многочлена второго порядка, построенного по трем точкам (x_i, y_i), i = 0, 1, 2,

легко получить производную

Если это выражение вычислить при x=x₀, то получим значение производной по правым разностям, при x=x₁ – по центральным разностям, а при x=x₂ – по левым разностям.
Для того чтобы получить более точные значения производной используют интерполяционные многочлены высоких порядков.
Расчетные формулы сильно упрощаются в случае, если шаг табулирования функции постоянен (x_i+1 – x_i = h = const).
В таблицах приведены наиболее часто используемые формулы вычисления первой и второй производных таблично заданной функции. Приводятся также значения погрешностей (главная часть) указанных формул.

Приближенные формулы дифференцирования правых разностей

Производные	Вторые разности	Третьи разности

Приближенные формулы дифференцирования центральных разностей

Производные	Третьи разности	Пятые разности

 Приближенные формулы дифференцирования левых разностей

Производные	Вторые разности	Третьи разности

 

« Previous | Next »

Исчисление I.

Форма графика, часть I

Онлайн-заметки Пола
Главная / Исчисление I / Применение производных / Форма графика, часть I

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 4.5. Форма графика, часть I

В предыдущем разделе мы видели, как использовать производную для определения абсолютного минимального и максимального значений функции. Однако есть гораздо больше информации о графике, который можно определить по первой производной функции. Мы начнем рассматривать эту информацию в этом разделе. Основная идея, которую мы рассмотрим в этом разделе, будет заключаться в определении всех относительных экстремумов функции.

Давайте начнем этот раздел с повторения знакомой темы из предыдущей главы. Предположим, что у нас есть функция \(f\left( x \right)\). Из нашей работы в предыдущей главе мы знаем, что первая производная \(f’\left( x \right)\) — это скорость изменения функции. Мы использовали эту идею, чтобы определить, где функция увеличивается, уменьшается или не изменяется.

Прежде чем рассмотреть эту идею, давайте сначала запишем математическое определение возрастания и убывания. Все мы знаем, как выглядит график возрастающей/убывающей функции, но иногда неплохо иметь и математическое определение. Вот.

Определение

1. Даны любые \({x_1}\) и \({x_2}\) из интервала \(I\) с \({x_1} < {x_2}\), если \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\), тогда \(f\left( x \right)\) равно увеличение на \(I\).
2. Даны любые \({x_1}\) и \({x_2}\) из интервала \(I\) с \({x_1} < {x_2}\), если \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\) тогда \(f\left( x \right)\) равно убыванию на \(I\).

Это определение фактически будет использоваться при доказательстве следующего факта в этом разделе.

Теперь вспомним, что в предыдущей главе мы постоянно использовали идею о том, что если производная функции в какой-то точке положительна, то функция в этой точке возрастает, а если производная в какой-то точке отрицательна, то функция убывает в эта точка. Мы также использовали тот факт, что если производная функции равна нулю в какой-то точке, то функция в этой точке не меняется. Мы использовали эти идеи для определения интервалов возрастания и убывания функции.

Следующий факт резюмирует то, что мы делали в предыдущей главе.

Факт

1. Если \(f’\left( x \right) > 0\) для каждого \(x\) на некотором интервале \(I\), то \(f\left( x \right)\ ) возрастает на интервале.
2. Если \(f’\left( x \right) < 0\) для каждого \(x\) на некотором интервале \(I\), то \(f\left( x \right)\) убывает на интервал.
3. Если \(f’\left( x \right) = 0\) для каждого \(x\) на некотором интервале \(I\), то \(f\left( x \right)\) постоянно на интервал.

Доказательство этого факта находится в разделе «Доказательства производных приложений» главы «Дополнительно».

Давайте рассмотрим пример. Этот пример имеет две цели. Во-первых, это напомнит нам о возрастающем/убывающем типе задач, которые мы решали в предыдущей главе. Во-вторых, и, возможно, что более важно, теперь в решение будут включены критические точки. Мы не знали о критических точках в предыдущей главе, но если вы вернетесь и посмотрите на эти примеры, то первым шагом почти в каждой задаче на возрастание/убывание будет нахождение критических точек функции, и поэтому процесс, который мы будем использовать в следующем примере должны быть знакомы. 92}\left( {x – 4} \right)\left( {x + 2} \right)\end{align*}\]

Обратите внимание, что когда мы разлагали производную на множители, мы сначала выносили на множители «-1», чтобы сделать остальную часть разложения немного проще.

Из факторизованной формы производной видно, что у нас есть три критические точки: \(x = – 2\), \(x = 0\) и \(x = 4\). Они нам понадобятся через некоторое время.

Теперь нам нужно определить, где производная положительна, а где отрицательна. Мы уже делали это несколько раз как в главе «Обзор», так и в предыдущей главе. Поскольку производная является многочленом, она непрерывна, и поэтому мы знаем, что единственный способ изменить ее знак — это сначала пройти через нуль.

Другими словами, единственное место, где производная может менять знак, находится в критических точках функции. Теперь у нас есть еще одно применение для критических точек. Итак, мы построим числовую линию, нарисуем критические точки и выберем контрольные точки из каждой области, чтобы увидеть, является ли производная положительной или отрицательной в каждой области.

Вот числовая прямая и контрольные точки для производной.

Убедитесь, что вы проверили свои точки в производной. Одна из наиболее распространенных ошибок здесь — вместо этого проверять точки в функции! Напомним, что мы знаем, что производная будет иметь один и тот же знак в каждой области. Единственное место, где производная может менять знак, — это критические точки, и мы отметили единственные критические точки на числовой прямой.

Итак, у нас получились следующие интервалы возрастания и убывания.

\[\begin{align*}{\mbox{Увеличение:}} & – 2 < x < 0{\mbox{и}}0 < x <4\\ {\mbox{Уменьшение:}} & - \infty < х < - 2 {\ mbox {и}} 4 < х < \ infty \ end {align *} \]

В этом примере мы использовали тот факт, что производная может менять знак только в критических точках. Также критическими точками для этой функции были те, для которых производная была равна нулю. Однако то же самое можно сказать и о критических точках, где производная не существует. Это приятно знать. Функция, в данном разделе производная, может менять знак там, где она равна нулю или не существует. В предыдущей главе все наши примеры этого типа имели только критические точки, в которых производная равнялась нулю. Теперь, когда мы знаем больше о критических точках, мы также увидим пример или два позже с критическими точками, где производная не существует. 92}}}\) например. Опять же, этого явно не существует при \(x = 0\) и но положителен по обе стороны от \(x = 0\).

Итак, повторюсь еще раз. Функции, независимо от того, являются ли они производными или нет, могут (но не обязательно) менять знак там, где они либо равны нулю, либо не существуют.

Теперь, когда у нас есть предыдущий пример «напоминания», давайте перейдем к новому материалу. Когда у нас есть интервалы возрастания и убывания функции, мы можем использовать эту информацию, чтобы получить набросок графика. Обратите внимание, что эскиз на этом этапе может быть не очень точным, когда речь идет о кривизне графика, но он, по крайней мере, будет иметь правильную основную форму. Чтобы получить правильную кривизну графика, нам понадобится информация из следующего раздела. 93} + 5\]

Показать решение

В этом примере не так уж много всего. Всякий раз, когда мы рисуем график, хорошо иметь несколько точек на графике, которые дают нам отправную точку. Итак, мы начнем с функции в критических точках. Это даст нам некоторые отправные точки, когда мы перейдем к наброску графика. Эти точки,

\[f\left( { – 2} \right) = – \frac{89}{3} = – 29.67\hspace{0.25in}f\left( 0 \right) = 5\hspace{0.5in}f\ влево( 4 \вправо) = \frac{1423}{3} = 474,33\]

После того, как эти точки нанесены на график, мы переходим к информации об увеличении и уменьшении и начинаем рисовать. Для справки здесь приведена информация о возрастании/убывании.

\[\begin{align*}{\mbox{Увеличение:}} & – 2 < x < 0{\mbox{и}}0 < x <4\\ {\mbox{Уменьшение:}} & - \infty < х < - 2 {\ mbox {и}} 4 < х < \ infty \ end {align *} \]

Обратите внимание, что мы только после эскиза графика. Как отмечалось до того, как мы начали этот пример, мы не сможем точно предсказать кривизну графика в этой точке. Однако даже без этой информации мы все равно сможем получить общее представление о том, как должен выглядеть график.

Чтобы получить этот набросок, мы начинаем с самого левого края графика и знаем, что график должен уменьшаться и будет продолжать уменьшаться, пока не дойдем до \(x = – 2\). В этот момент функция будет продолжать увеличиваться, пока не достигнет \(x = 4\). Однако обратите внимание, что во время возрастающей фазы ему нужно пройти через точку \(x = 0\), и в этой точке мы также знаем, что производная здесь равна нулю, поэтому график проходит через \(x = 0\) горизонтально. Наконец, как только мы достигаем \(x = 4\), график начинает и продолжает уменьшаться. Также обратите внимание, что, как и при \(x = 0\), график должен быть горизонтальным, когда он проходит через две другие критические точки.

Вот график функции. Мы, конечно, использовали графическую программу для создания этого графика, однако, за исключением некоторых потенциальных проблем с кривизной, если вы следовали информации о возрастании/убывании и сначала наносили все критические точки, у вас должно было быть что-то похожее на это.

Давайте воспользуемся наброском из этого примера, чтобы дать нам очень хороший тест для классификации критических точек как относительных максимумов, относительных минимумов или ни минимумов, ни максимумов.

Напомним из раздела «Минимальные и максимальные значения», что все относительные экстремумы функции берутся из списка критических точек. График в предыдущем примере имеет два относительных экстремума, и оба они находятся в критических точках, как мы и предсказывали в этом разделе. Также обратите внимание, что у нас есть критическая точка, которая не является относительным экстремумом (\(x = 0\)). Это нормально, поскольку нет причин думать, что все критические точки будут относительными экстремумами. Мы знаем только, что относительные экстремумы будут исходить из списка критических точек.

На наброске графика из предыдущего примера видно, что слева от \(x = – 2\) график убывающий, а справа от \(x = – 2\) график возрастает и \(x = – 2\) является относительным минимумом. Другими словами, график ведет себя вокруг минимума точно так, как он должен был бы быть для того, чтобы \(x = – 2\) было минимумом. То же самое можно сказать и об относительном максимуме при \(x = 4\) . График возрастает слева и убывает справа точно так, как и должно быть, чтобы \(x = 4\) было максимальным. Наконец, график возрастает по обе стороны от \(x = 0\), поэтому эта критическая точка не может быть минимумом или максимумом.

Эти идеи можно обобщить, чтобы получить хороший способ проверить, является ли критическая точка относительным минимумом, относительным максимумом или ни тем, ни другим. Если \(x = c\) является критической точкой и функция убывает слева от \(x = c\) и возрастает справа, то \(x = c\) должен быть относительным минимумом функции . Точно так же, если функция возрастает слева от \(x = c\) и убывает справа, тогда \(x = c\) должен быть относительным максимумом функции. Наконец, если функция возрастает с обеих сторон \(x = c\) или убывает с обеих сторон из \(x = c\), то \(x = c\) не может быть ни относительным минимумом, ни относительным максимумом.

Эти идеи можно обобщить в следующем тесте.

Первый тест производной

Предположим, что \(x = c\) является критической точкой \(f\left( x \right)\), тогда

1. Если \(f’\left( x \right) > 0\) слева от \(x = c\) и \(f’\left( x \right) < 0\) справа от \(x = c\), тогда \(x = c\) является относительным максимумом.
2. Если \(f’\left( x \right) < 0\) слева от \(x = c\) и \(f'\left( x \right) > 0\) справа от \( x = c\), то \(x = c\) является относительным минимумом.
3. Если \(f’\left( x \right)\) имеет одинаковый знак с обеих сторон \(x = c\), то \(x = c\) не является ни относительным максимумом, ни относительным минимумом.

Здесь важно отметить, что критерий первой производной классифицирует критические точки только как относительные, а не абсолютные экстремумы. Как мы помним из раздела «Поиск абсолютных экстремумов», абсолютные экстремумы — это наибольшее и наименьшее значения функции, которые могут даже не существовать или быть критическими точками, если они существуют.

Тест первой производной – это именно тест с использованием первой производной. Он никогда не использует значение функции, поэтому из теста нельзя сделать никаких выводов об относительном «размере» функции в критических точках (что необходимо для выявления абсолютных экстремумов) и даже не начать. чтобы учесть тот факт, что абсолютные экстремумы могут не возникать в критических точках.

Возьмем другой пример.

Пример 3 Найдите и классифицируйте все критические точки следующей функции. 2} – 4}}\] 9{\ гидроразрыва {2} {3}}}}} \ конец {выравнивание *} \]

Итак, похоже, здесь у нас будет четыре критических точки. Они есть,

\[\begin{align*}t & = \pm \,2 & \hspace{1.0in} & {\mbox{Производная здесь не существует}}{\mbox{.}}\\ t & = \ pm \sqrt {\frac{{12}}{5}} = \pm 1,549 & \hspace{1,0in} & {\mbox{Здесь производная равна нулю}}{\mbox{.}}\end{align* }\]

Нахождение интервалов возрастания и убывания также даст классификацию критических точек, так что давайте начнем с них. Вот числовая линия с нанесенными критическими точками и контрольными точками.

Итак, похоже, мы получили следующие интервалы возрастания и убывания.

\[\begin{align*}{\mbox{Увеличение:}} & – \infty < x < - 2,\,\,\, - 2 < x < - \ sqrt {\ frac {{12}} {5 }} ,\,\,\,\sqrt {\frac{12}{5}} < x < 2,\,\,\,\,\& \,\,\,2 < x <\infty \\ {\mbox{Уменьшение:}} & - \sqrt {\frac{{12}}{5}} < x <\sqrt {\frac{{12}}{5}} \end{align*}\]

Отсюда видно, что \(t = – 2\) и \(t = 2\) не являются ни относительным минимумом, ни относительным максимумом, поскольку функция возрастает с обеих сторон. С другой стороны, \(t = – \sqrt {\frac{12}{5}} \) является относительным максимумом, а \(t = \sqrt {\frac{12}{5}} \) является относительным минимум.

Для полноты картины приведен график функции. Обратите внимание, что этот график немного сложнее нарисовать, основываясь только на увеличении и уменьшении информации. Он представлен здесь только для справки, чтобы вы могли увидеть, как он выглядит.

В предыдущем примере две критические точки, в которых производная не существовала, оказались не относительными экстремумами. Ничего не читайте в этом. Они часто будут относительными экстремумами. Посмотрите Пример 5 в Абсолютных Экстремумах, чтобы увидеть пример одной из таких критических точек.

Давайте рассмотрим еще пару примеров.

Пример 4 Предположим, что высота дороги над уровнем моря задается следующей функцией. \[E\влево( x \вправо) = 500 + \cos \влево( {\frac{x}{4}} \right) + \sqrt 3 \sin \left({\frac{x}{4}} \верно)\]

где \(x\) в милях. Предположим, что если \(x\) положительное, мы находимся к востоку от начальной точки измерения, а если \(x\) отрицательное, мы находимся к западу от начальной точки измерения.

Если мы начнем в 25 милях к западу от начальной точки измерения и проедем до тех пор, пока не окажемся в 25 милях к востоку от начальной точки, сколько миль мы ехали вверх по склону?

Показать решение

Хорошо, это просто очень причудливый способ спросить, каковы интервалы возрастания и убывания для функции на интервале \(\left[ { – 25,25} \right]\). Итак, сначала нам нужна производная функции.

\[E’\left( x \right) = – \frac{1}{4}\sin\left({\frac{x}{4}} \right) + \frac{{\sqrt 3}}{ 4} \ cos \ влево ( {\ гидроразрыва {х} {4}} \ вправо) \]

Установка этого параметра равным нулю дает,

\[\begin{align*} – \frac{1}{4}\sin\left( {\frac{x}{4}} \right) + \frac{{\sqrt 3}}{4}\cos \left( {\frac{x}{4}} \right) & = 0\\ \tan \left({\frac{x}{4}} \right) & = \sqrt 3 \end{align*} \]

Решения для этого и, следовательно, критические точки,

\[\begin{array}{*{20}{c}}{\displaystyle \frac{x}{4} = 1,0472 + 2\pi n,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2 , \ldots}\\{\displaystyle \frac{x}{4} = 4,1888 + 2\pi n,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots}\end{array}\ hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4,1888 + 8\pi n,\,\,n = 0, \pm 1, \ pm 2, \ldots \,\,}\\{x = 16,7552 + 8\pi n,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots}\end{массив}\]

Я оставлю вам проверить, что критические точки, попадающие в нужный нам интервал, равны

. \[ – 20,9439,\,\,\, – 8,3775,\,\,\,4,1888,\,\,\,16,7552\]

Вот числовая линия с критическими точками и контрольными точками.

Итак, интервалы возрастания и убывания равны,

\[\begin{align*}{\mbox{Увеличение:}} & – 25 < x < - 20,9439, \,\,\, - 8,3775 < x < 4,1888 {\ mbox {и}} 16,7552 < x < 25 \\ {\ mbox {Уменьшение: }} & - 20,9439 < x < - 8,3775 {\ mbox {и} } 4,1888 < x < 16,7552 \end{align*}\]

Обратите внимание, что мы должны были закончить наши интервалы в -25 и 25, так как мы не сделали никакой работы за пределами этих точек, и поэтому мы не можем ничего сказать о функции за пределами интервала \(\left[ { – 25 ,25} \справа]\).

Из интервалов мы можем фактически ответить на вопрос. Мы ехали по склону во время интервалов увеличения, поэтому общее количество миль равно 9.0004

\[\begin{align*}{\mbox{Расстояние}} & = \left( { – 20,9439 – \left( { – 25} \right)} \right) + \left( {4. 1888 – \left( { – 8,3775} \right)} \right) + \left( {25 – 16,7552} \right)\\ & = 24,8652{\mbox{мили}}\end{align*}\]

Несмотря на то, что задача этого не требовала, мы также можем классифицировать критические точки, которые находятся в интервале \(\left[ { – 25,25} \right]\).

\[\begin{align*}{\mbox{Относительные максимумы: }} & – 20,92}\ln \влево( {3t} \вправо) + 6\]

Определите, уменьшается ли численность населения в первые два года.

Показать решение

Итак, снова мы действительно после интервалов и увеличения и уменьшения в интервале [0,2].

Мы нашли единственную критическую точку для этой функции в разделе «Критические точки»,

\[x = \frac{1}{{3\sqrt {\bf{e}}}} = 0,202\]

Здесь числовая линия для интервалов возрастания и убывания.

Итак, похоже, что население на короткое время уменьшится, а затем продолжит расти вечно.

Кроме того, хотя проблема и не требовала этого, мы видим, что единственная критическая точка является относительным минимумом.

В этом разделе мы увидели, как мы можем использовать первую производную функции, чтобы получить некоторую информацию о форме графика, и как мы можем использовать эту информацию в некоторых приложениях.

Использование первой производной для получения информации о том, возрастает или убывает функция, является очень важным применением производных и возникает достаточно регулярно во многих областях.

Калькулятор второй производной – С шагами

Войдите в функцию и выберите переменную. Нажмите кнопку Calculate , чтобы найти вторую производную с помощью калькулятора второй производной.

Калькулятор второй производной

Калькулятор второй производной – это онлайн-инструмент, который дважды выполняет дифференцирование функции. Он может найти как первую, так и вторую производную.

Кроме того, калькулятор второй производной дает полный процесс решения с пошаговым решением.

Как работает калькулятор второй производной?

Калькулятор теста второй производной — это простой в использовании инструмент. Выполните следующие шаги, чтобы найти вторую производную.

1. Войдите в функцию.
2. Выберите переменную.
3. Подтвердите отображаемую функцию в окне дисплея.
4. Нажмите рассчитать.

Чтобы понять процедуру дифференциации, щелкните значок «+» в результатах. Это даст пошаговое руководство. Вы также можете скачать копию подробного результата в формате PDF.

Что такое вторая производная?

Производная, полученная от одной и той же функции во второй раз, называется второй производной. Это то же самое, что и первая производная, за исключением обозначения.

Вторая производная представлена ​​двумя точками над переменной или двумя тире над f в обозначении f(x), например, f’’(x).

Графическое представление второй производной можно увидеть ниже.

Как найти вторую производную?

Для второй производной не существует отдельного процесса или формулы. Он такой же, как и первый. Вторая производная – это дифференцирование производной функции.

Давайте посмотрим на пример второй производной.

Пример 1:

Рассчитайте вторую производную для функции x = SINX + X ²

Решение:

Шата 1: .

f(x) = x ² + sinx

Шаг 2: Найдите первую производную.

f’(x) = d/dx [x ² + sinx]

f’(x) = d/dx [x ² ] + d/dx[sinx]

f’(x) = 2x + cosx

Шаг 3: Найдите вторую производную.

f”(x) = d/dx [2x + cosx]

f”(x) = d/dx [2x] + d/dx[cosx]

f”(x) = 2 – sinx

Пример 2:

Найдите вторую производную для a*(x ² +b) .