Главная
Найти предел последовательности онлайн: Правило Лопиталя онлайн

Найти предел последовательности онлайн: Правило Лопиталя онлайн

Содержание

Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком

Предел числовой последовательности

 

Числовая последовательность – частный случай функции, которая задана на множестве натуральных чисел. Некоторые числовые последовательности сходятся, то есть имеют предел, тогда пишут  либо по-иному: когда , это означает, что при достаточно больших  , .

 

Более точно, если у нас есть предел и его  – окрестность (рис. 1), то начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в -окрестности точки .

Рис. 1.Члены последовательности находятся в -окрестности точки

 

Определение предела числовой последовательности

 

 

Пример 1

 

Последовательность . Предел этой последовательности , это означает, что при достаточно больших , все  находятся вблизи от нуля. Может ли быть здесь два предела? Докажем, что если последовательность имеет предел, то он только один.

Вот последовательность  и два предела (рис. 2).

Рис. 2.Последовательность  и два предела

Что значит ? Это означает, что найдется такая малая окрестность точки , что начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в этой -окрестности.

А что значит ? Это означает, что начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в -окрестности точки . Но возможно ли это? Между  и  есть некое расстояние (рис. 3).

Рис. 3. Расстояние между  и

Выберем , -окрестности не пересекаются. Начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в ε-окрестности одной точки и второй точки, но эти ε-окрестности не пересекаются. Таким образом, если у последовательности есть предел, то он один.

Определение: число  называется пределом последовательности , если в любой заранее выбранной -окрестности точки , , содержатся все члены последовательности начиная с некоторого номера (рис. 4).

Рис. 4.

Число  может быть очень малым. Сходящиеся последовательности – те последовательности, которые имеют предел.

 

Свойства сходящейся числовой последовательности

 

 

Если последовательность сходится, то:

 

  1. только к одному пределу;
  2. она ограничена.

Как узнать, что последовательности сходятся? Для некоторых последовательностей это можно сделать. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

 

Теорема Вейерштрасса

 

 

 

Рис. 5. Иллюстрация к теореме Вейерштрасса

Последовательность возрастает. Число точек не ограничено, последовательность ограничена числом . Значит, к числу  либо к любому другому числу все точки последовательности сгущаются. Это наглядно показывает, что монотонность и ограниченность – два свойства, которые являются достаточными для того, чтобы последовательность имела предел. В этом смысл теоремы Вейерштрасса (рис. 5).

 

Теорема для вычисления пределов конкретных последовательностей

 

 

Даны две последовательности и ,  и . Последовательности сходящиеся.

 

  1.  – новая последовательность, ее предел . Предел суммы последовательностей, равен сумме пределов этих последовательностей.
  2. . Этот предел равен произведению , то есть произведению этих пределов.
  3. . Предел этой последовательности, то есть предел частного равен , где .

, где  постоянный множитель, который можно вынести за знак предела.

 

Примеры с использованием теоремы вычисления

 

 

Пример 1

 

, мы знаем, что , отсюда .

Пример 2

Найти предел последовательности .

Последовательность, сходящаяся, имеет предел, равный 1.

 

Задача на геометрическую прогрессию

 

 

Перейдем к следующей задаче.

 

Найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия обозначается следующим образом: .

Второй член геометрической прогрессии , где – знаменатель прогрессии, третий член  и т. д.

 – определение геометрической прогрессии, членов у этой прогрессии бесчисленное множество.

Прогрессия называется убывающей, если знаменатель по модулю меньше единицы: .

Рассмотрим последовательность частичных сумм.

.

Если есть конечная геометрическая прогрессия, то сумма членов вычисляется по этой формуле. Необходимо знать первый член, знаменатель и число членов.

Бесконечная убывающая прогрессия

Если последовательность  стремится к некоторому числу, то это число и будет называться суммой бесконечной геометрической убывающей прогрессии, если это число есть, то это сумма  то есть это сумма бесконечного числа слагаемых.

, чтобы доказать это, предварительно обсудим следующее утверждение: , если .

Пусть , тогда , ,  и т.д. Понятно, что с ростом  дробь уменьшается, естественно предположить, что . Тогда становится понятно, что последовательность  убывает, ограничена снизу и имеет предел, равный нулю.

.

 

Утверждение «Сумма бесконечной геометрической прогрессии»

 

 

Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

 

Если знаменатель  геометрической прогрессии  удовлетворяет неравенству , то сумма  прогрессии вычисляется по формуле: .

Докажем эту формулу.

Доказательство: вспомним, что  – это предел последовательности частичных сумм. Постоянный множитель  от  не зависит. От  зависит . Постоянный множитель можем вынести за знак предела. Получаем предел разности, что в свою очередь является разностью пределов: .

Формула доказана.

 

Задача на сумму геометрической прогрессии

 

 

Пример

 

Найти сумму геометрической прогресси:.

 ; .

Значит, имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию:  .

Ответ: .

Обсудим задачу.

, значит, . Рассмотрим следующую геометрическую модель. Имеем отрезок  длиной в единицу (рис. 6). первое слагаемое, уже половина отрезка, второе слагаемое  это половина оставшегося отрезка, третье слагаемое половина оставшегося отрезка и т.д.

Рис. 6.Отрезок

 

Апории Зенона

 

 

В заключении вспомним и упростим апории Зенона, согласно которой, как он доказывал, Ахиллес никогда не догонит черепаху. Мы остановим черепаху и докажем, что Ахиллес или другой бегун никогда не поравняется с черепахой. Необходимо найти ошибку в рассуждениях.

 

Рис. 7. Бегун и черепаха

В точке  – бегун, в точке  – черепаха, расстояние , скорость бегуна . Пробегая половину пути, бегун затратит время, теперь он находится в точке (рис. 7).

Рис. 8. Положение бегуна и черепахи после преодоления половины пути

Далее ему нужно затратить время, чтобы пройти половину пути (рис. 8). И все равно черепаха впереди, а бегун сзади. Бегун проходит еще часть пути, затратив время, и достигает точки . Но черепаха  впереди, а бегун сзади.

Рис. 9. Положение бегуна в точке  и положение черепахи

И все равно черепаха впереди, а бегун сзади. Между ними расстояние. Чтобы пройти расстояние и попасть в точку , нужно затратить время (рис. 10). Но черепаха опять впереди, а бегун сзади. И так далее. Доказали, что никто и никогда не поравняется с черепахой.

Рис. 10. Положение бегуна в точке  и положение черепахи

Вывод

Мы сформулировали определение числовой последовательности, рассмотрели предел числовой последовательности, а также сумму бесконечной геометрической прогрессии, привели примеры задач на предел числовой последовательности.

 

Список литературы

  1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
  2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
  3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
  4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. -М.: Просвещение, 1997.
  5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
  6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
  7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
  8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

 

Рекомендованное домашнее задание

  1. Найти четвертый член геометрической прогрессии, если , .
  2. Определить знаменатель  и сумму геометрической прогрессии если , .
  3. Найти сумму геометрической прогрессии , если .

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет:

  1. Интернет-портал 5klass.net (Источник).
  2. Интернет-портал Mathematics-repetition.com (Источник).
  3. Интернет-портал Mathematics-tests.com (Источник).

 

DMCA (Copyright) Complaint to Google :: Notices :: Lumen

sender
Group-IB
on behalf of ООО «ИBИ.РУ»
[Private] RU Sent on COUNTRY: RU 🇷🇺
recipient
Google LLC
[Private] Mountain View, CA, 94043, US
submitter
Google LLC
Google officially changed from Google Inc. to Google LLC in 2017, and as of August, 2022, all Google submissions are marked as from Google, LLC.”/>
principal
ООО «ИBИ.РУ»

Other Entities:

  • Principal
Notice Type:
DMCA
  1. Copyright claim 1

    Kind of Work: Unspecified

    Description movie “Harry Potter and the Order of the Phoenix / Гарри Поттер и Орден Феникса” (2007)

    Original URLs:

    1. www.kinopoisk.ru – 1 URL

    Allegedly Infringing URLs:

    1. kino-opa.fun – 2 URLs
    2. m.lordfilm.serial-2022.com – 2 URLs
    3. garri-potter.net – 2 URLs
    4. ru10. zagonka.cam – 1 URL
    5. rezka.vet – 1 URL
    6. epkino.me – 1 URL
    7. kino-ep.cam – 1 URL
    8. filmlord0.net – 1 URL
    9. ru2.kinotik.cam – 1 URL
    10. lordfilm-7.fun – 1 URL
    11. m8.zorgfilms.art – 1 URL
    12. s1.zorgfilm.net – 1 URL
    13. gidonline.pl – 1 URL
    14. garri-potter.com – 1 URL
    15. dostfilms.co – 1 URL
    16. lord-2022b.lordfilm7.link – 1 URL
    17. m.lord-film.ws – 1 URL
    18. www.inoriginal.online – 1 URL

    Click here to request access and see full URLs.

  2. Copyright claim 2

    Kind of Work: Unspecified

    Description series “Supernatural / Сверхъестественное”

    Original URLs:

    1. www.kinopoisk.ru – 1 URL

    Allegedly Infringing URLs:

    1. lovseries. online – 2 URLs
    2. lordserials.com – 2 URLs
    3. kino-opa.fun – 2 URLs
    4. readmanga.live – 2 URLs
    5. lutikhd.net – 2 URLs
    6. zetflixe.online – 2 URLs
    7. lordserials.life – 2 URLs
    8. www.dashserial.online – 1 URL
    9. m.lordfilm.serial-2022.com – 1 URL
    10. continentalfilm.net – 1 URL
    11. sverhestestvennoe.club – 1 URL
    12. bigserials.top – 1 URL
    13. lord-2022b.lordfilm7.link – 1 URL
    14. www.inoriginal.online – 1 URL
    15. kinotik.biz – 1 URL
    16. lordz.site – 1 URL
    17. timehd.org – 1 URL
    18. hdstudio.org – 1 URL
    19. lordserials.cfd – 1 URL
    20. lord-serial.ru – 1 URL
    21. x13.kinoxa.cc – 1 URL
    22. moekino.net – 1 URL
    23. kinogo.cx – 1 URL
    24. kinokrad. cc – 1 URL
    25. lordfilm-dark.guru – 1 URL
    26. filmix.ac – 1 URL
    27. m.serial-top.com – 1 URL
    28. zetflix-online.com – 1 URL
    29. lavaseria.online – 1 URL
    30. kingserial.net – 1 URL
    31. myserial.org – 1 URL
    32. allserial.org – 1 URL
    33. ww2.new-rutor.org – 1 URL
    34. desu.me – 1 URL
    35. 12nov.zetfliks.net – 1 URL
    36. f.baskino-hd.ru – 1 URL
    37. anime-online.su – 1 URL

    Click here to request access and see full URLs.

  3. Copyright claim 3

    Kind of Work: Unspecified

    Description movie “Eternal Sunshine of the Spotless Mind / Вечное сияние чистого разума” (2004)

    Original URLs:

    1. www.kinopoisk.ru – 1 URL

    Allegedly Infringing URLs:

    1. ru3. xn--80aoabjth6a.com – 1 URL
    2. ru4.holtfilm.net – 1 URL
    3. magtorr.club – 1 URL

    Click here to request access and see full URLs.

  4. Copyright claim 4

    Kind of Work: Unspecified

    Description series “Gravity Falls / Гравити Фолз” (2012)

    Original URLs:

    1. www.kinopoisk.ru – 1 URL

    Allegedly Infringing URLs:

    1. anime-online.su – 2 URLs
    2. m7.zorgfilms.art – 1 URL
    3. kinovod431.cc – 1 URL
    4. serialhd.pro – 1 URL
    5. bigserials.top – 1 URL
    6. smot.run – 1 URL
    7. www.inoriginal.online – 1 URL
    8. allserial.org – 1 URL
    9. zetserialone.online – 1 URL
    10. hd.alfakino.net – 1 URL

    Click here to request access and see full URLs.

  5. Copyright claim 5

    Kind of Work: Unspecified

    Description movie “Inglourious Basterds / Бесславные ублюдки” (2009)

    Original URLs:

    1. www.kinopoisk.ru – 1 URL

    Allegedly Infringing URLs:

    1. online-kino-top.ru – 1 URL
    2. ru6.baskino.one – 1 URL
    3. ru4.xn--80aikhbrhr.cam – 1 URL

    Click here to request access and see full URLs.

  6. Copyright claim 6

    Kind of Work: Unspecified

    Description movie “In Time / Время” (2011)

    Original URLs:

    1. www.kinopoisk.ru – 1 URL

    Allegedly Infringing URLs:

    1. kinogo.zone – 3 URLs
    2. filmix. ac – 1 URL
    3. www.baskino1.cam – 1 URL
    4. m4.bxfilm.co – 1 URL
    5. mk8.moekino.net – 1 URL
    6. www.vinixmultv.net – 1 URL
    7. kinogo.biz – 1 URL
    8. rezka.ag – 1 URL
    9. hdrezka.re – 1 URL

    Click here to request access and see full URLs.

  7. Copyright claim 7

    Kind of Work: Unspecified

    Description movie “The Mask / Маска” (1994)

    Original URLs:

    1. www.kinopoisk.ru – 1 URL

    Allegedly Infringing URLs:

    1. kinogo.pw – 1 URL
    2. kinotochka.co – 1 URL
    3. gigtvkino.com – 1 URL

    Click here to request access and see full URLs.

  8. Copyright claim 8

    Kind of Work: Unspecified

    Description movie “The Devil Wears Prada / Дьявол носит Prada” (2006)

    Original URLs:

    1. www. kinopoisk.ru – 1 URL

    Allegedly Infringing URLs:

    1. film-2022d.lordfilm7.link – 1 URL
    2. mk4.kino-ok2.net – 1 URL
    3. ru.tevas.cam – 1 URL
    4. lord-z057.lordfilm0.org – 1 URL
    5. www.delightenglish.ru – 1 URL

    Click here to request access and see full URLs.

  9. Copyright claim 9

    Kind of Work: Unspecified

    Description movie “Charlie and the Chocolate Factory / Чарли и шоколадная фабрика” (2005)

    Original URLs:

    1. www.kinopoisk.ru – 1 URL

    Allegedly Infringing URLs:

    1. fullsee.link – 2 URLs
    2. ru.lordfilm-smotret.one – 1 URL
    3. ru1.kinotaz.net – 1 URL
    4. www.inoriginal.online – 1 URL

    Click here to request access and see full URLs.

  10. Copyright claim 10

    Kind of Work: Unspecified

    Description movie “Ice Age / Ледниковый период” (2002)

    Original URLs:

    1. www.kinopoisk.ru – 1 URL

    Allegedly Infringing URLs:

    1. z01.uzor.su – 1 URL
    2. p.kinogo-filmov.net – 1 URL
    3. kinogo.zone – 1 URL
    4. www.vinixmultv.net – 1 URL

    Click here to request access and see full URLs.

Jurisdictions
RU
Topics
DMCA Notices, Copyright
Tags

Калькулятор предела последовательности | Найдите предел последовательности с заданным n-м термином

Воспользуйтесь калькулятором предела последовательности, приведенным здесь, чтобы очень легко решить ваши сложные проблемы. Просто укажите входные данные и нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы получить требуемый результат. Этот удобный инструмент Калькулятор предела последовательности прост в использовании и предоставляет шаги для легкого понимания темы.

Калькулятор предела последовательности: Нахождение предела последовательности не так просто и легко для всех. Он может состоять из сложных математических операций, которые могут отнять ваше время и энергию. Итак, вот лучшее решение для вашей проблемы, бесплатный онлайн-калькулятор предела последовательности, который быстро дает точные решения для ваших проблем.

Предел — это точка или значение, максимально близкое к желаемому значению последовательности, функции или суммы ряда, к которому можно постепенно приближаться.

Каков предел последовательности?

Предел — это точка или значение, максимально близкое к желаемому значению последовательности, функции или суммы ряда, к которому можно постепенно приближаться. Те последовательности, которые следуют этому шаблону, называются «конвергентными», тогда как те, которые не следуют этому шаблону, называются «дивергентными».

Если вам интересно узнать о концепции последовательностей, оставайтесь на этой странице. Кроме того, посетите sequencecalculators.com, чтобы найти несколько калькуляторов, а также получить длинные ручные решения для очень быстрого решения последовательностей.

Как найти предел последовательности?

Оценка предела означает поиск ответа или окончательного значения. Таким образом, существует несколько различных методов оценки пределов последовательности.

  1. Замена

Здесь вы просто вводите значение. и вычислить ответ.

  1. Факторинг

Здесь упростите числитель и знаменатель и рассчитайте ответ.

  1. Сопряжение

Здесь вам нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное, чтобы упростить уравнение и вычислить ответ.

  1. Рациональные функции.

Здесь функция представляет собой отношение двух многочленов, а предельное значение равно нулю или бесконечности. Найдя степень функции, мы можем вычислить ответ.

  1. Правила Больницы

Здесь, используя это правило, мы можем вычислить ответы на функции, дающие неопределенные ответы другими методами.

  1. Формальный метод

Здесь мы можем вычислить ответ, приблизив переменную x к некоторому значению (скажем, a).

Решенный пример нахождения пределов последовательности с шагами

Пример: Определить предел заданной последовательности.

Решение:

Решение данной последовательности,

Итак, предел данной последовательности равен 11/12.

1. Является ли предел последовательности уникальным?

В математике теорема для последовательностей утверждает, что если последовательность действительных чисел {an}n∈N имеет предел, то этот предел уникален.

2. Каждая ли последовательность имеет предельную точку?

Да, каждая последовательность имеет хотя бы одну предельную точку. Верхний предел и нижний предел являются примерами предельных точек последовательности.

3. Что означает уникальный лимит?

Согласно теореме единственности пределов: если предел существует в (в смысле существования как конечное действительное число), то он уникален.

исчисление – Как рассчитать предел последовательности

Задавать вопрос

спросил

Изменено 2 года, 4 месяца назад 92} $$ Я пытаюсь упростить уравнение, например разделить $\,\sqrt[\Large n]{\, n\,}\,$, но не могу получить больше. Я нарисовал график непрерывной функции, который показывает, что значение стремится к $0,4$.

Оставить комментарий