Главная
Найти производную функции при данном значении аргумента: Найти производную функции при данном значении аргумента f(x)=(x+1)√x-1; x=5

Найти производную функции при данном значении аргумента: Найти производную функции при данном значении аргумента f(x)=(x+1)√x-1; x=5

Содержание

Найти производную функции при значении аргумента. Производная, основные определения и понятия

Производная функции одной переменной.

Введение.

Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».

Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.

В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.

Механический и геометрический смысл

производной.

Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа. Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.

Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.

Итак, производной функцииy=f(x) в точкеx0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента
при
.

Производную принято обозначать так:
.

Таким образом, по определению

Для обозначения производной употребляются также символы

.

Механический смысл производной.

Если s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки, то
есть скорость этой точки в момент времениt.

Геометрический смысл производной.

Если функция y=f(x) имеет производную в точке, то угловой коэффициент касательной к графику функции в точке
равен
.

Пример.

Найдите производную функции
в точке=2:

1) Дадим точке =2 приращение
. Заметим, что.

2) Найдем приращение функции в точке =2:

3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

Найдем предел отношения при

:

.

Таким образом,
.

§ 2. Производные от некоторых

простейших функций.

Студенту необходимо научиться вычислять производные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=.

Найдем производную функции у=х.

т.е. (x)′=1.

Найдем производную функции

Производная

Пусть
тогда

Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции
приn=1,2,3.

Следовательно,

. (1)

Эта формула справедлива для любых действительных n.

В частности, используя формулу (1), имеем:

;

.

Пример.

Найдите производную функции

.

.

Данная функция является частным случаем функции вида

при
.

Используя формулу (1), имеем

.

Производные функций y=sin x и y=cos x.

Пусть y=sinx.

Разделим на ∆x, получим

Переходя к пределу при ∆x→0, имеем

Пусть y=cosx .

Переходя к пределу при ∆x→0, получим

;
. (2)

§3. Основные правила дифференцирования.

Рассмотрим правила дифференцирования.

Теорема 1 . Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)”=u”+v”.(3)

Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).

Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=–=∆u+∆v.

Следовательно,

Итак, (u+v)”=u”+v”.

Теорема 2. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение.При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)”=u”v+uv”. (4)

Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.

Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Отсюда

Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь

Теорема 3 . Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.

Если
то
(5)

Теорема 4. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y”=0.

Теорема 5.

Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y”=Cu”(x).

Пример 1.

Найдите производную функции

.

Данная функция имеет вид
, гдеu=x,v=cosx. Применяя правило дифференцирования (4), находим

.

Пример 2.

Найдите производную функции

.

Применим формулу (5).

Здесь
;
.

Задачи.

Найдите производные следующих функций:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

  1. Значение производной в некоторой точке x 0 ,
  2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),
  3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Вычисление значения производной. Метод двух точек

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x 0 , и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

  1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными.
    Обозначим эти точки A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
  2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x 2 − x 1 и приращение функции Δy = y 2 − y 1 .
  3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

Вычисление точек максимума и минимума

Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм.

Для начала определимся с терминологией:

  1. Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≥ f(x).
  2. Точка x 0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

  1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
  2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x 0 известно, что f’(x 0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x 0) ≥ 0 или f’(x 0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
  3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

  1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
  2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

  1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т. е. f’(x) ≥ 0.
  2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

  1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
  2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
  3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l 2 = 5.

В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x) . Зафиксируем точку М(х 0 ; f (x 0)) . Придадим абсциссе х 0 приращение Δх . Мы получим новую абсциссу х 0 +Δх . Это абсцисса точки N , а ордината будет равна f (х 0 +Δх ). Изменение абсциссы повлекло за собой изменение ординаты. Это изменение называют приращение функции и обозначают Δy .

Δy=f (х 0 +Δх) — f (x 0). Через точки M и N проведем секущую MN , которая образует угол φ с положительным направлением оси Ох . Определим тангенс угла φ из прямоугольного треугольника MPN .

Пусть Δх стремится к нулю. Тогда секущая MN будет стремиться занять положение касательной МТ , а угол φ станет углом α . Значит, тангенс угла α есть предельное значение тангенса угла φ :

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох :

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое –4,01 .

Решение.

Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) – f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f “(х 0) = 1 .

Решение.

Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f “(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .

3. Вывести формулу производной функции y=x n .

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)” = nx n-1 .

Вот эти формулы.

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой “у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Учим вместе!

Страница 1 из 1 1

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.


Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Многие удивятся неожиданному расположению этой статьи в моём авторском курсе о производной функции одной переменной и её приложениях. Ведь как оно было ещё со школы: стандартный учебник в первую очередь даёт определение производной, её геометрический, механический смысл. Далее учащиеся находят производные функций по определению, и, собственно, только потом оттачивается техника дифференцирования с помощью таблицы производных .

Но с моей точки зрения, более прагматичен следующий подход: прежде всего, целесообразно ХОРОШО ПОНЯТЬ предел функции , и, в особенности, бесконечно малые величины . Дело в том, что определение производной базируется на понятии предела , которое слабо рассмотрено в школьном курсе. Именно поэтому значительная часть молодых потребителей гранита знаний плохо вникают в саму суть производной. Таким образом, если вы слабо ориентируетесь в дифференциальном исчислении либо мудрый мозг за долгие годы успешно избавился от оного багажа, пожалуйста, начните с пределов функций . Заодно освоите/вспомните их решение.

Тот же практический смысл подсказывает, что сначала выгодно научиться находить производные , в том числе производные сложных функций . Теория теорией, а дифференцировать, как говорится, хочется всегда. В этой связи лучше проработать перечисленные базовые уроки, а может и стать мастером дифференцирования , даже не осознавая сущности своих действий.

К материалам данной страницы рекомендую приступать после ознакомления со статьёй Простейшие задачи с производной , где, в частности рассмотрена задача о касательной к графику функции. Но можно и повременить. Дело в том, что многие приложения производной не требуют её понимания, и неудивительно, что теоретический урок появился достаточно поздно – когда мне потребовалось объяснять нахождение интервалов возрастания/убывания и экстремумов функции. Более того, он довольно долго находился в теме «Функции и графики », пока я всё-таки не решил поставить его раньше.

Поэтому, уважаемые чайники, не спешите поглощать суть производной, как голодные звери, ибо насыщение будет невкусным и неполным.

Понятие возрастания, убывания, максимума, минимума функции

Многие учебные пособия подводят к понятию производной с помощью каких-либо практических задач, и я тоже придумал интересный пример. Представьте, что нам предстоит путешествие в город, до которого можно добраться разными путями. Сразу откинем кривые петляющие дорожки, и будем рассматривать только прямые магистрали. Однако прямолинейные направления тоже бывают разными: до города можно добраться по ровному автобану. Или по холмистому шоссе – вверх-вниз, вверх-вниз. Другая дорога идёт только в гору, а ещё одна – всё время под уклон. Экстремалы выберут маршрут через ущелье с крутым обрывом и отвесным подъемом.

Но каковы бы ни были ваши предпочтения, желательно знать местность или, по меньшей мере, располагать её топографической картой. А если такая информация отсутствует? Ведь можно выбрать, например, ровный путь, да в результате наткнуться на горнолыжный спуск с весёлыми финнами. Не факт, что навигатор и даже спутниковый снимок дадут достоверные данные. Поэтому неплохо бы формализовать рельеф пути средствами математики.

Рассмотрим некоторую дорогу (вид сбоку):

На всякий случай напоминаю элементарный факт: путешествие происходит слева направо . Для простоты полагаем, что функция непрерывна на рассматриваемом участке.

Какие особенности у данного графика?

На интервалах функция возрастает , то есть каждое следующее её значение больше предыдущего. Грубо говоря, график идёт снизу вверх (забираемся на горку). А на интервале функция убывает – каждое следующее значение меньше предыдущего, и наш график идёт сверху вниз (спускаемся по склону).

Также обратим внимание на особые точки. В точке мы достигаем максимума , то есть существует такой участок пути, на котором значение будет самым большим (высоким). В точке же достигается минимум , и существует такая её окрестность, в которой значение самое маленькое (низкое).

Более строгую терминологию и определения рассмотрим на уроке об экстремумах функции , а пока изучим ещё одну важную особенность: на промежутках функция возрастает, но возрастает она с разной скоростью . И первое, что бросается в глаза – на интервале график взмывает вверх гораздо более круто , чем на интервале . Нельзя ли измерить крутизну дороги с помощью математического инструментария?

Скорость изменения функции

Идея состоит в следующем: возьмём некоторое значение (читается «дельта икс») , которое назовём приращением аргумента , и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути:

1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние , мы поднимаемся по склону на высоту (зелёная линия). Величина называется приращением функции , и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси – больше нуля). Составим отношение , которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что – это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то .

Внимание! Обозначение являются ЕДИНЫМ символом, то есть нельзя «отрывать» «дельту» от «икса» и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции.

Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит метров (зелёная линия) и: . Таким образом, на каждом метре этого участка дороги высота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение? =) Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции.

Примечание : числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно.

2) Теперь пройдём то же самое расстояние от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение (малиновая линия) относительно невелико, и отношение по сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, метров и скорость роста функции составляет . То есть, здесь на каждый метр пути приходится в среднем пол метра подъёма.

3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движение сверху вниз (в «противоход» направлению оси ), то итоговое приращение функции (высоты) будет отрицательным : метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции: , то есть за каждый метр пути этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке.

Теперь зададимся вопросом: какое значение «измерительного эталона» лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровом мы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством отношения .

Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение , тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы следующие факты:

– Для любой точки подъемов можно подобрать значение (пусть и очень малое), которое умещается в границах того или иного подъёма. А это значит, что соответствующее приращение высоты будет гарантированно положительным, и неравенство корректно укажет рост функции в каждой точке этих интервалов.

– Аналогично, для любой точки склона существует значение , которое полностью уместится на этом склоне. Следовательно, соответствующее приращение высоты однозначно отрицательно, и неравенство корректно покажет убыль функции в каждой точке данного интервала.

– Особо интересен случай, когда скорость изменения функции равна нулю: . Во-первых, нулевое приращение высоты () – признак ровного пути. А во-вторых, есть другие любопытные ситуации, примеры которых вы видите на рисунке. Представьте, что судьба завела нас на самую вершину холма с парящими орлами или дно оврага с квакающими лягушками. Если сделать небольшой шажок в любую сторону, то изменение высоты будет ничтожно мало, и можно сказать, что скорость изменения функции фактически нулевая. В точках наблюдается именно такая картина.

Таким образом, мы подобрались к удивительной возможности идеально точно охарактеризовать скорость изменения функции. Ведь математический анализ позволяет устремить приращение аргумента к нулю: , то есть сделать его бесконечно малым .

По итогу возникает ещё один закономерный вопрос: можно ли для дороги и её графика найти другую функцию , которая сообщала бы нам обо всех ровных участках, подъёмах, спусках, вершинах, низинах, а также о скорости роста/убывания в каждой точке пути?

Что такое производная? Определение производной.
Геометрический смысл производной и дифференциала

Пожалуйста, прочитайте вдумчиво и не слишком быстро – материал прост и доступен каждому! Ничего страшного, если местами что-то покажется не очень понятным, к статье всегда можно вернуться позже. Скажу больше, теорию полезно проштудировать несколько раз, чтобы качественно уяснить все моменты (совет особенно актуален для студентов-«технарей», у которых высшая математика играет значительную роль в учебном процессе).

Естественно, и в самом определении производной в точке заменим на :

К чему мы пришли? А пришли мы к тому, что для функции по закону ставится в соответствие другая функция , которая называется производной функцией (или просто производной) .

Производная характеризует скорость изменения функции . Каким образом? Мысль идёт красной нитью с самого начала статьи. Рассмотрим некоторую точку области определения функции . Пусть функция дифференцируема в данной точке. Тогда:

1) Если , то функция возрастает в точке . И, очевидно, существует интервал (пусть даже очень малый), содержащий точку , на котором функция растёт, и её график идёт «снизу вверх».

2) Если , то функция убывает в точке . И существует интервал, содержащий точку , на котором функция убывает (график идёт «сверху вниз»).

3) Если , то бесконечно близко около точки функция сохраняет свою скорость постоянной. Так бывает, как отмечалось, у функции-константы и в критических точках функции , в частности в точках минимума и максимума .

Немного семантики. Что в широком смысле обозначает глагол «дифференцировать»? Дифференцировать – это значит выделить какой-либо признак. Дифференцируя функцию , мы «выделяем» скорость её изменения в виде производной функции . А что, кстати, понимается под словом «производная»? Функция произошла от функции .

Термины весьма удачно истолковывает механический смысл производной :
Рассмотрим закон изменения координаты тела , зависящий от времени , и функцию скорости движения данного тела . Функция характеризует скорость изменения координаты тела, поэтому является первой производной функции по времени: . Если бы в природе не существовало понятия «движение тела», то не существовало бы и производного понятия «скорость тела».

Ускорение тела – это скорость изменения скорости, поэтому: . Если бы в природе не существовало исходных понятий «движение тела» и «скорость движения тела», то не существовало бы и производного понятия «ускорение тела».

Найти производные функций при данном значении аргумента. Бесплатный доступ к контрольной работе

Найти производные функций при данном значении аргумента.doc

Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам, а также промокод на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.

Условие

Найти производные функций при данном значении аргумента: fx=x+1∙x+1

Решение

Fx=x+1∙x+1 f’x=1∙x+1+x+1∙12x+1=x+1+12x+1=32x+1 f’5=325+1=326=332

Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы

и получи доступ ко всей экосистеме Автор24

Больше контрольных работ по высшей математике:

Все Контрольные работы по высшей математике

Закажи контрольную работу

Наш проект является банком работ по всем школьным и студенческим предметам. Если вы не хотите тратить время на написание работ по ненужным предметам или ищете шаблон для своей работы — он есть у нас.

Не нашел ответ на свой вопрос?

Опиши, с чем тебе нужна помощь. Эксперты Автор24 бесплатно ответят тебе в течение часа

Выбери предметАвиационная и ракетно-космическая техникаАвтоматизация технологических процессовАвтоматика и управлениеАгрохимия и агропочвоведениеАктерское мастерствоАнализ хозяйственной деятельностиАнглийский языкАнтикризисное управлениеАрхеологияАрхитектура и строительствоАстрономияБазы данныхБанковское делоБезопасность жизнедеятельностиБиблиотечно-информационная деятельностьБизнес-планированиеБиологияБиотехнологияБухгалтерский учет и аудитВетеринарияВнешнеэкономическая деятельностьВодные биоресурсы и аквакультураВоенное делоВоспроизводство и переработка лесных ресурсовВысшая математикаГеографияГеодезияГеологияГеометрияГидравликаГидрометеорологияГостиничное делоГосударственное и муниципальное управлениеДеловой этикетДеньгиДетали машинДизайнДокументоведение и архивоведениеЕстествознаниеЖелезнодорожный транспортЖурналистикаЗемлеустройство и кадастрИздательское делоИнвестицииИнженерные сети и оборудованиеИнновационный менеджментИнформатикаИнформационная безопасностьИнформационные технологииИскусствоИсторияКартография и геоинформатикаКитайский языкКонфликтологияКраеведениеКредитКриминалистикаКулинарияКультурологияЛитератураЛогикаЛогистикаМаркетингМатериаловедениеМашиностроениеМедицинаМеждународные отношенияМеждународные рынкиМенеджментМенеджмент организацииМеталлургияМетрологияМеханикаМикро-, макроэкономикаМикропроцессорная техникаМорская техникаМузыкаНалогиНаноинженерияНачертательная геометрияНемецкий языкНефтегазовое делоОрганизационное развитиеПарикмахерское искусствоПедагогикаПожарная безопасностьПолиграфияПолитологияПочвоведениеПраво и юриспруденцияПриборостроение и оптотехникаПриродообустройство и водопользованиеПрограммированиеПроизводственный маркетинг и менеджментПромышленный маркетинг и менеджментПроцессы и аппаратыПсихологияРабота на компьютереРадиофизикаРежиссураРеклама и PRРелигияРусский языкРынок ценных бумагСадоводствоСварка и сварочное производствоСвязи с общественностьюСельское и рыбное хозяйствоСервисСопротивление материаловСоциальная работаСоциологияСтандартизацияСтатистикаСтрановедениеСтратегический менеджментСтрахованиеТаможенное делоТеатроведениеТекстильная промышленностьТелевидениеТеоретическая механикаТеория вероятностейТеория игрТеория машин и механизмовТеория управленияТеплоэнергетика и теплотехникаТехнологические машины и оборудованиеТехнология продовольственных продуктов и товаровТовароведениеТорговое делоТранспортные средстваТуризмУправление качествомУправление персоналомУправление проектамиФармацияФизикаФизическая культураФилософияФинансовый менеджментФинансыФранцузский языкХимияХирургияХолодильная техникаЦенообразование и оценка бизнесаЧертежиЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭкономика предприятияЭкономика трудаЭкономическая теорияЭкономический анализЭлектроника, электротехника, радиотехникаЭнергетическое машиностроениеЭтикаЯдерная энергетика и теплофизикаЯдерные физика и технологииЯзыки (переводы)Языкознание и филологияEVIEWSSPSSSTATAДругое

Прикрепить файл

Твой вопрос отправлен

Скоро мы пришлем ответ экпертов Автор24 тебе на почту

Помощь эксперта

Нужна помощь по теме или написание схожей работы? Свяжись напрямую с автором и обсуди заказ.

5

OlgaMath94

Высшая математика 315 заказов

Отправить письмо схожим авторам, которые сейчас на сайте

Регистрация прошла успешно!

Теперь вам доступен полный фрагмент работы, а также открыт доступ ко всем сервисам
экосистемы

Введи почту

Зарегистрируйся через почту и получи неограниченный доступ к материалам. Это бесплатно.

Читать тексты на сайте можно без ограничений. Однако для копирования и использования работ нужно зарегистрироваться в экосистеме Автор24. Это бесплатно.

Помогите решить Вычислить производную f´(x) при данном значении аргум.

.. – Учеба и наука

Ответы

Михаил Александров
13. 12.16

Ответ понравился автору вопроса

Андрей Андреевич

от 70 p.
Читать ответы

Eleonora Gabrielyan

от 0 p.
Читать ответы

Галина Владимировна

от 50 p.
Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Похожие вопросы

Через 2 года мой братишка будет в 2 раза старше, чем 2 года назад, а я через 3 года буду в 3 раза старше, чем 3 года назад. Сколько лет брату и сколько мне сейчас?

даны неразвернутый угол и отрезок…

Сколько существует таких натуральных чисел AA, что среди чисел AA, A+15A+15 и A+30A+30 ровно два четырехзначных?

Для кроликов заготовили 1400 кг корнеплодов и 1250 кг картошки. 2 – 2x – 3. Найдите: а)наименьшее значение функции; б) значения x, при которых значение функции равно 5; в) значение…

Пользуйтесь нашим приложением

Определение производной функции

Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь

КАТЕГОРИИ:

Археология
Биология
Генетика
География
Информатика
История
Логика
Маркетинг
Математика
Менеджмент
Механика
Педагогика
Религия
Социология
Технологии
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву



Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 7Следующая ⇒

Определение. Производной функции у = f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции ∆у в точке х0 к приращению аргумента ∆х, когда последний стремится к нулю.

Таким образом, если у = f(x) – функция от х, то производная f’(x) этой функции при данном значении х определяется равенством

f’(x) = .

Пример. Исходя из определения, найти производную функции у = в точке х = 4.

Решение.

Найдем приращение функции: ∆у = .

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

= .

Считая х фиксированным числом, найдем предел данного отношения когда ∆х стремится к нулю:

у’ = = = = = = = = = .

Тогда у’(4) = = .

Ответ: у’(4) = .

 

Производные основных элементарных функций

Формулы дифференцирования основных элементарных функций сведены в таблицу:

I. у = с; у’ = 0; II. у = хп; у’ =пхп-1; III. у = ах; у’ = ахln a; III¢. у = ех; у‘ =ех; IV. у = loga х; у ‘ = ; IV¢. у = ln x; у ‘= ; V. у = sin х; у’ = cos x; VI. y = cos x; у’ = – sin x; VII. y = tg x; у’ = ; VIII. у = ctg x; у’ = – ;  
IX. y = arcsin x; у’ = ; X. у = arccos х; у’ = – ; XI. у = arctg x; у’ = ; XII. у = arcсtg x; у’ = – .

Производная суммы, произведения и частного

Пусть U и V – две функции, определенные на одном и том же промежутке. Тогда производная суммы этих функций равна сумме их производных, если они существуют, т.е.


(U+ V)’ = U‘ + V‘.

Эта формула справедлива для любого конечного числа слагаемых:

(U1 + U2 + U3 +…+ Uk)’ = U’1 + U’2 + U’3 +…+ U’k.

Если производные функций U и V существуют, то производная их произведения вычисляется по формуле:

(U·V)’ = U‘·V + U·V‘.

Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(k f(x))’ = k f‘(x).

Если функции U и V имеют в точке х производные и V ≠ 0, то в этой точке существует производная их частного , которая вычисляется по формуле:

.

Частные случаи:

; ; (х ≠ 0).

 

Пример. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производную функции у = .

Решение.

 

у‘ = = = = = = .

Ответ: у‘ = .

 

Производная сложной функции

Пусть у = f(u) и u = φ(x). Тогда у есть сложная функция x: у = f [φ(x)], а переменная u – промежуточный аргумент.

В этом случае нахождение производной у’х осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

Теорема.Если функция u = φ(x) имеет производную u‘х в точке х, а функция у = f(u) имеет производную у’и в соответствующей точке и, то сложная функция у = f [φ(x)] в данной точке х имеет производную у’х, которая находится по следующей формуле:

у’х = у’и· u‘х .

Иными словами: производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента.

Пример. Найти производную функции у = .

Решение.

Дана сложная функция у = , и = 2х + х2.

Применяя теорему, получаем:

у‘ = ( )’ = ·(2х + х2)’ = ·(2 + 2х) = = = .

Ответ: у‘ = .

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒



Читайте также:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США



Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; просмотров: 485; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь – 161.97.168.212 (0.008 с.)

Алгоритм нахождения производной сложной функции

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

1. Выделить внешнюю функцию. Поскольку внешняя функция – это последняя операция, которая выполняется при вычислении значения функции, следует выписать последовательность, в которой происходит вычисление значения функции, и обозначить аргумент последней операции буквой U: После введения новой переменной должна получиться функция, имеющаяся в таблице производных.

2. Выписать производную сложной функции как произведение производной внешней функции на производную ее аргумента.

3. Вернуться к исходному аргументу. При необходимости, повторить проделанные операции.

Пример. Найти производную функции:

a)

► Выделим внешнюю функцию : x → x2→ x2+ 1 → ;

б) у=sin(2x+1)

y’=cos(2x+1)(2x+1)’= 2cos(2x+1) ◄

Частная производная функции в точке по переменной

– производная функции одной переменной при фиксированных значениях других переменных, правила вычисления частной производной и свойства те же;

– она характеризует скорость изменения ФНП в направлении данной координатной оси при фиксированных значениях других координат.

Значение частной производной функции в точке по переменной показывает, на сколько примерно изменится значение функции, если значение аргумента увеличится на единицу, а значения других аргументов не изменятся (это верно, если можно считать приращение аргумента достаточно малым).

ГрадиентФНП в точке – вектор, координаты которого равны частным производным функции в этой точке

Свойства градиента

· Градиент указывает направление и величину максимальной скорости возрастания функции в точке

· Градиент функции в точке перпендикулярен (ортогонален) поверхности уровня, проходящей через данную точку.

· Если приращения аргумента достаточно малы, функция возрастает (убывает) только в тех направлениях, которые составляют острый (тупой) угол с градиентом

· Функция практически не меняется для приращений, ортогональных градиенту.

Производственная функция (ПФ) задаетфункциональную зависимость между количеством используемых в производстве ресурсов и объемом выпускаемой продукции.

ПФ типа Кобба – Дугласа
где Q – объем производства, , ,
K – капитал, L – рабочая сила, a, b – коэффициенты эффективности ресурсов.

Пример 5. ПФ небольшого цеха, изготавливающего рамы для картин, имеет вид:

где x1 – отработанные человеко-часы,

x2 – отработанные машино-часы,

q – число изготовленных рам,

– план производства по затратам ресурсов.

► Вычислим первый и второй предельный продукты (предельную отдачу первого и второго ресурса) для плана – это частные производные ПФ:

Экономический смысл частных производных ПФ

Предельный продукт первого ресурса при данном плане равен 3/4, это означает, что при увеличении затрат первого ресурса на единицу и неизменных затратах второго выпуск продукции увеличится примерно на 3/4 ед.

Построим изокванту – уровень производственной функции. Изоквантой называется множество планов производства, дающих одинаковый объем выпускаемой продукции.

Затраты первого и второго ресурсов для всех планов производства, обеспечивающих выпуск 96 единиц продукции, связаны уравнением:

Отсюда

Графиком полученной функции в пространстве ресурсов является изокванта, соответствующая выпуску 96 единиц продукции. ◄

Рис.15. Изокванта ПФ типа Кобба-Дугласа

 

Задачи оптимизации

 

Рассмотрим функцию n переменных . Аргумент функции F(x) может принимать значения из множества . Функция F(x) называется целевой функцией, X – допустимым множеством (ОДР-область допустимых решений), – допустимой точкой (вектором), – оптимизируемыми переменными.

Задачи, в которых требуется найти все точки глобального минимума (максимума) либо показать, что их не существует, записываются в виде

(1)

(2)

задача нахождения и точек глобального максимума, и точек глобального минимума:

. (3)

Задачи 1–3 называются задачами математического программирования (ЗМП).

Решения задач 1 и 2 называются оптимальными решениями и обозначаются соответственно

, ,

причем запись часто опускается. Числа , являются наименьшим и наибольшим значением целевой функции на допустимом множестве Х и обозначаются , .

ЗМП решена, если

1) найдено ее решение, либо

2) показано, что решения не существует.

Возможны следующие случаи отсутствия решения ЗМП:

a) Æ (ОДР пуста),

b) неограничена на X (сверху ¾ для задачи снизу ¾ для задачи ),

c) точная верхняя (для задачи ) или нижняя (для задачи ) грань множества значений , не достигается на X. Например: не существует наименьшего .

Математическая теория дает признаки только локального экстремума, в основном все методы нацелены на отыскание локального экстремума.



⇐ Предыдущая12

Читайте также:

404 Cтраница не найдена

Размер:

AAA

Изображения Вкл. Выкл.

Обычная версия сайта

К сожалению запрашиваемая страница не найдена.

Но вы можете воспользоваться поиском или картой сайта ниже

  • Университет
    • История университета
    • Анонсы
    • Объявления
    • Медиа
      • Представителям СМИ
      • Газета “Технолог”
      • О нас пишут
    • Ректорат
    • Структура
      • Филиал
      • Политехнический колледж
      • Медицинский институт
        • Лечебный факультет
        • Педиатрический факультет
        • Фармацевтический факультет
        • Стоматологический факультет
        • Факультет послевузовского профессионального образования
      • Факультеты
      • Кафедры
    • Ученый совет
    • Дополнительное профессиональное образование
    • Бережливый вуз – МГТУ
      • Новости
      • Объявления
      • Лист проблем
      • Лист предложений (Кайдзен)
      • Реализуемые проекты
      • Архив проектов
      • Фабрика процессов
      • Рабочая группа “Бережливый вуз-МГТУ”
    • Вакансии
    • Профсоюз
    • Противодействие терроризму и экстремизму
    • Противодействие коррупции
    • WorldSkills в МГТУ
    • Научная библиотека МГТУ
    • Реквизиты и контакты
    • Документы, регламентирующие образовательную деятельность
  • Абитуриентам
    • Подача документов онлайн
    • Абитуриенту 2022
    • Экран приёма 2022
    • Иностранным абитуриентам
      • Международная деятельность
      • Общие сведения
      • Кафедры
      • Новости
      • Центр Международного образования
      • Академическая мобильность и международное сотрудничество
        • Академическая мобильность и фонды
        • Индивидуальная мобильность студентов и аспирантов
        • Как стать участником программ академической мобильности
    • Дни открытых дверей в МГТУ
    • Подготовительные курсы
      • Подготовительное отделение
      • Курсы для выпускников СПО
      • Курсы подготовки к сдаче ОГЭ и ЕГЭ
      • Онлайн-курсы для подготовки к экзаменам
      • Подготовка школьников к участию в олимпиадах
    • Малая технологическая академия
      • Профильный класс
      • Индивидуальный проект
      • Кружковое движение юных технологов
      • Олимпиады, конкурсы, фестивали
    • Архив
    • Веб-консультации для абитуриентов
    • Олимпиады для школьников
      • Отборочный этап
      • Заключительный этап
      • Итоги олимпиад
    • Профориентационная работа
    • Стоимость обучения
  • Студентам
    • Студенческая жизнь
      • Стипендии
      • Организация НИРС в МГТУ
      • Студенческое научное общество
      • Студенческие научные мероприятия
      • Конкурсы
      • Команда Enactus МГТУ
      • Академическая мобильность и международное сотрудничество
    • Образовательные программы
    • Подготовка кадров высшей квалификации
      • Аспирантура
      • Ординатура
    • Расписание занятий
    • Расписание звонков
    • Онлайн-сервисы
    • Социальная поддержка студентов
    • Общежития
    • Трудоустройство обучающихся и выпускников
      • Информация о Центре
        • Цели и задачи центра
        • Контактная информация
        • Положение о центре
      • Договоры о сотрудничестве с организациями, предприятиями
      • Партнеры
      • Работодателям
        • Размещение вакансий
        • Ярмарки Вакансий
      • Студентам и выпускникам
        • Вакансии
        • Стажировки
        • Карьерные мероприятия
      • Карьерные сайты

        Сегодня Современный Государственный Университет – это один из самых крупных многопрофильных вузов Поволжья, обеспечивающий формирование интеллектуального потенциала и способствующий социально-экономическому развитию региона.

        • HeadHunter
        • Работа в России
        • Факультетус
      • Карьерные возможности для лиц с инвалидностью и ОВЗ
      • Трудоустройство иностранных студентов
    • Обеспеченность ПО
    • Инклюзивное образование
      • Условия обучения лиц с ограниченными возможностями
      • Доступная среда
    • Ассоциация выпускников МГТУ
    • Перевод из другого вуза
    • Вакантные места для перевода
  • Наука и инновации
    • Научная инфраструктура
      • Проректор по научной работе и инновационному развитию
      • Научно-технический совет
      • Управление научной деятельностью
      • Управление аспирантуры и докторантуры
      • Точка кипения МГТУ
        • О Точке кипения МГТУ
        • Руководитель и сотрудники
        • Документы
        • Контакты
      • Центр коллективного пользования
      • Центр народной дипломатии и межкультурных коммуникаций
      • Студенческое научное общество
    • Новости
    • Научные издания
      • Научный журнал «Новые технологии»
      • Научный журнал «Вестник МГТУ»
      • Научный журнал «Актуальные вопросы науки и образования»
    • Публикационная активность
    • Конкурсы, гранты
    • Научные направления и результаты научно-исследовательской деятельности
      • Основные научные направления университета
      • Отчет о научно-исследовательской деятельности в университете
      • Результативность научных исследований и разработок МГТУ
      • Финансируемые научно-исследовательские работы
      • Объекты интеллектуальной собственности МГТУ
      • Результативность научной деятельности организаций, подведомственных Минобрнауки России (Анкеты по референтным группам)
    • Студенческое научное общество
    • Инновационная инфраструктура
      • Федеральная инновационная площадка
      • Проблемные научно-исследовательские лаборатории
        • Научно-исследовательская лаборатория «Совершенствование системы управления региональной экономикой»
        • Научно-исследовательская лаборатория проблем развития региональной экономики
        • Научно-исследовательская лаборатория организации и технологии защиты информации
        • Научно-исследовательская лаборатория функциональной диагностики (НИЛФД) лечебного факультета медицинского института ФГБОУ ВПО «МГТУ»
        • Научно-исследовательская лаборатория «Инновационных проектов и нанотехнологий»
      • Научно-техническая и опытно-экспериментальная база
      • Центр коллективного пользования
    • Конференции
      • Международная научно-практическая конференция «Актуальные вопросы науки и образования»
      • VI Международная научно-практическая онлайн-конференция
  • Международная деятельность
    • Иностранным студентам
    • Международные партнеры
    • Академические обмены, иностранные преподаватели
      • Академическая мобильность и фонды
      • Индивидуальная мобильность студентов и аспирантов
      • Как стать участником программ академической мобильности
      • Объявления
    • Факультет международного образования
  • Сведения об образовательной организации

Цепное правило – Подход к исчислению

Подход

к

C A L C U L U S

Содержание | Дом

7

Производная функции от функции

Цепное правило

Доказательство цепного правила

Производная функции от функции

Пусть

f ( x ) = x 5  и   г ( x ) = x 2 0 + 03.

Если теперь мы допустим, что g ( x ) будет аргументом f , то f будет функцией g .

f ( г ( x )) = ( x 2 + 1) 5 .

(Тема 3 предварительного расчета.)

Какая производная от f ( г ( x ))?

Во-первых, обратите внимание, что

  d f ( x )  
   dx 		   = 5 x 4 .

То есть:  Производная от f по аргументу (который в данном случае равен x ) равна 5-кратной четвертой степени аргумента.

Это означает, что если g — или любая переменная — является аргументом   f , применяется та же форма :

  d f ( г )  
   dg 		   = 5 г 4 .
  д ж ( ч )  
   дх 		   = 5 ч 4 .
  д ф ( в )  
   дв 		   = 5 v 4 .

Другими словами, мы действительно можем взять производную функции от аргумента только по этому аргументу.

Следовательно, поскольку г = x 2 + 1,

  d f ( г )  
   dg 		   = 5 г 4  = 5( x 2 + 1) 4 .

Далее, производная от г равна 2 x . То, что называется цепным правилом, утверждает следующее:

df ( г ( x )) 
   dx 		 =   дф ( г ) 
   дг 		·   dg ( x )
  dx

“Если f является функцией г и г являются функцией x ,

, то производная от f по отношению к x
равна производной от f ( г ) по отношению к г
, умноженная на производную от г () по отношению к () до x . ”

Следовательно, по цепному правилу производная от

( х 2 + 1) 5

это

5( x 2 + 1) 4 ·  2 x .

Примечание:  In  ( x 2 + 1) 5 ,   x 2 + 1  является «внутри» пятой степени, то есть «снаружи». Возьмем производную снаружи внутрь. Когда мы берем внешнюю производную, мы не меняем того, что внутри. Затем мы умножаем на производную того, что внутри.

Чтобы решить, какая функция является внешней, решите, какую из них вам придется оценивать последней .

Для оценки

( х 2 + 1) 5 ,

, вам сначала нужно будет оценить x 2 + 1. Затем вы возьмете его 5-ю степень. Следовательно, 5-я сила находится снаружи. Вот почему мы сначала возьмем эту производную.

Когда мы пишем f ( г ( x )),   f вне г . Сначала возьмем производную от f по отношению к g .

Пример 1.     f ( x ) =  . Какова его производная?

Решение . Это имеет вид f ( g ( x )). Какая функция f , то есть что снаружи, а что г , что внутри?

г равно x 4 − 2, потому что это находится внутри функции квадратного корня, которая равна f . Производная квадратного корня приведена в примере к уроку 6.  Для любой аргумент г функции извлечения квадратного корня,

Здесь г равно x 4 − 2. Следовательно, поскольку производная от x 4 − 2 равно 4 x 3 ,

д
дх 		= ½ ( x 4 – 2) −½ · 4 x 3 = 2 x 3 ( x 2 3 ).

Пример 2.   Какова производная от   y = sin 3 х ?

Решение . Это третья степень греха x . Чтобы решить, какая функция находится снаружи, как бы вы ее оценили?

Сначала вы должны вычислить sin x , а затем взять его третью степень. sin x находится внутри третьей степени, то есть снаружи.

Теперь производная третьей степени — от г 3 — равна 3 г 2 . Таким образом, принимая на данный момент, что производная sin x  – это cos  x  (Урок 12), производная от sin 3 x — снаружи внутрь — это

3 sin 2 x ·  cos x .

Пример 3.   Что является производным от       1    
x 3 + 1		  ?
   Решение . x 3 + 1 находится внутри функции   1
х 		 =  x −1 ,

, производная которого равна − x −2  ; (Задача 4, Урок 4). Итак, у нас есть

    1    
x 3 + 1		 = ( х 3 + 1) −1 .

Следовательно, его производная

−( x 3 + 1) −2 ·  3 x 2

Пример 4.   Предположим, что y является функцией x . х = х ( х ). Примените цепное правило к

  д  
дх 		  г 2 .
   Решение .   dy 2
 dx 		  =     2
·     дх
дх 		  =   2 у дх  
дх 		.

y , которую мы предполагаем как функцию x , находится внутри функции y 2 . Производная y 2 по отношению к y равна 2 y . Что касается производной от

   y по отношению к x , указываем как дх  
дх 		. (См. Урок 5.)

Задача 1.   Вычислить производную от ( x 2 −3 x + 5) 9 .

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите “Обновить” (“Reload”).
Сначала решай проблему сам!

9( х 2 −3 х + 5) 8 (2 х − 3)

Задача 2.   Вычислить производную от ( x 4  − 3 x 2 + 4) 2/3 .

2/3( x 4 − 3 x 2 + 4) −1/3 (4 x 3 − 6 x )

Задача 3.    Вычислить производную sin 5 x .

5 sin 4 x cos x

Задача 4.   Вычислить производную от sin x 5 .

Внутренняя функция равна x 5 — вы должны оценить это в последнюю очередь. Внешняя функция — sin x . (это синус x 5 .) Следовательно, производная равна

cos x 5 ·  5 x 4 .

Задача 5.   Вычислить производную от sin(1 + 2).

cos (1 + 2) x -1/2 .

Задача 6.   Вычислить производную от  

¼(sin x ) −3/4 , потому что x .

Пример 5. Более двух функций. Цепное правило может быть расширено до более чем двух функций. Например, пусть

f ( x ) = .

Внешней функцией является квадратный корень. Внутри это (1 + 2 степень). А внутри это sin x .

Следовательно, производная равна

.
½(1 + sin 2 x ) −1/2 · 2 sin x ·  cos

x x

 =  sin x cos x
.
Задача 7.   Вычислить производную от  

(Сравните пример 3)

· 4 2 x 99994 · 2 + 5)
– [SIN ( x 2 + 5)] −2 · COS ( x 2 + 5) · 2 x 9999494 4. · 4 2 x 9  =  — 2 x cos ( x 2 + 5)
sin 2 ( x 2 + 5)   
Задача 8.    Вычислить производную от  

Задача 9. Предположим, что y является функцией x , и примените цепное правило, чтобы выразить каждую производную относительно x .

  а)      д  
дх 		  г 3 = 3 г 2   дх
дх
  б)      д  
дх 		  грех у = потому что у   дх
дх
  в)      д  
дх 		  = ½ г −½  дх
дх

Доказательство цепного правила

Чтобы доказать цепное правило, вернемся к основам. Пусть f  будет функцией g , что, в свою очередь, является функцией x , так что у нас есть f ( g ( x )). Тогда, когда значение г изменится на величину Δ г , значение f изменится на величину Δ f . У нас будет отношение

Δ f  
Δ г 		.

Опять же, поскольку г является функцией x , то при изменении x на величину Δ x , г изменится на величину Δ г . У нас будет соотношение

Δ г  
Δ x 		.

Но изменение x влияет на f , потому что оно зависит от g . У нас будет

Δ f  
Δ x 		. Это будет произведение этих отношений:

Δ f  
Δ x 		 =   Δ f  
Δ г 		·   Δ г  
Δ x 		.

Возьмем теперь предел, когда Δ x приближается к 0. Тогда изменение g ( x ) — Δ g — также будет стремиться к 0. Следовательно, с предел a произведение равно произведению пределов (Урок 2), а по определению производной:

дф  
дх 		 =   дф  
дг 		·   дг  
дх

Это цепное правило.

Следующий урок: Правило частных

Содержание | Дом

Пожалуйста, сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался онлайн.
Даже 1 доллар поможет.

Copyright © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Электронная почта: [email protected]


Как рассчитать и построить производную функции с помощью Python-Matplotlib?

Посмотреть обсуждение

Улучшить статью

Сохранить статью

  • Уровень сложности: Средний
  • Последнее обновление: 24 фев, 2021

  • Читать
  • Обсудить

    • Посмотреть обсуждение

    Улучшить статью

    Сохранить статью

    В этой статье мы построим производную функции, используя matplotlib и python. Для этого мы используем некоторые модули в Python, а именно:

    • Matplotlib: Matplotlib — один из самых популярных пакетов Python, используемых для визуализации данных. Это кроссплатформенная библиотека для создания 2D-графиков из данных в массивах.
    • NumPy: Это библиотека python, которая используется для работы с массивами, также поддерживает большие многомерные массивы и матрицы, также имеет несколько математических функций.
    • SciPy: В Python есть библиотека SciPy, которая используется для математических, научных и инженерных расчетов. Эта библиотека зависит от NumPy и предоставляет различные числовые операции.

    Чтобы сначала построить производную функции, мы должны ее вычислить. В библиотеке scipy.misc есть функция , производная () , которая принимает один аргумент как функцию, а другой — переменную, по которой мы будем различать функцию. Итак, мы создадим метод с именем function(), который будет возвращать исходную функцию, и второй метод с именем deriv(), который будет возвращать производную от этой функции.

    После этого вычисления производной входной функции мы будем использовать функцию NumPy linspace() , которая устанавливает диапазон оси x. Функция plot() будет использоваться для построения графика функции, а также производной этой функции.

    Подход:

    • Импортируйте необходимые модули.
    • Определить методы для функции и ее производной
    • Использовать функцию NumPy linspace для создания интервала по оси X.
    • График функции и ее производной
    • Изменить пределы оси с помощью функции gca()
    • Начертить текст с помощью функции text()

    Пример 1: (производное кубического) 

    В этом примере мы зададим функцию f(x) =2x 3 +x+3 в качестве входных данных, затем вычислить производную и построить график функции и ее производной.

    Python3

    импорт matplotlib.pyplot as plt

    из scipy.misc import derivative

    import numpy as np

       

    def function(x):

         return 2 * x * x * x + x + 3

       

    def deriv(x):

         return derivative(function, x)

       

    y = np. linspace( - 6 , 6 )

     

    plt.plot(y, function(y), color = 'purple' , label = 'Function' )

       

    plt.plot(y, deriv(y), color = 'green' , label = 'Derivative' )

       

    plt.legend(loc = 'upper left' )

    plt.grid( True )

    Output:

    Example 2: (Derivative of Poly degree polynomial )

    В этом примере мы зададим функцию f(x)=x 4 +x 2 +5 в качестве входных данных, затем вычислим производную и построим график функции и ее производной.

    Python3

    import matplotlib.pyplot as plt

    from scipy.misc import derivative

    import numpy as np

       

    def function(x):

         return x * x * x * x + x * x + 5

    DEF . 1411    

    y = np.linspace( - 15 , 15 )

       

    plt.plot(y, function(y), Color = 'Red' , метка = 'Функция' )

    1411 13

    . зеленый' , этикетка = 'Derivative' )

       

    plt.legend(loc = 'upper left' )

    plt. grid( True )

    Выход:

    Пример 3: (Производная квадратика с форматированием по тексту)

    В этом примере мы будем построить деривативное значение f (x) = 4x 9003

    .0032 +х+1. Кроме того, мы будем использовать форматирование с помощью функции gca() , которая изменит пределы оси так, чтобы обе оси x, y пересекались в начале координат. Функция text() , которая входит в состав библиотеки matplotlib, отображает текст на графике и принимает аргумент в виде координат (x, y). Мы также сделаем некоторое форматирование.

    Python3

    импорт matplotlib.pyplot as plt

    из scipy.misc import derivative

    import numpy as np

       

    def function(x):

         return 4 * x * * 2 + x + 1

       

    def deriv(x):

         return derivative(function, x)

       

    y = np. linspace( - 6 , 6 )

    PLT.PLOT (Y, функция (Y), Color = 'Brown' , MABLEL = 'Функция' 912) = 'Функция' 912) = ') = '.1411 plt.plot(y, deriv(y), color = 'blue' , label = 'Derivative' )

       

    plt.gca() .spines [ 'слева' ] .set_position ( 'Zero' ,)

    PLT.GCAS (). SPINES

    PLT. GCA (). SPINES

    PLT.GCA (). 'ноль' ,)

    plt.legend(loc = 'upper left' )

       

    plt.text( 5.0 , 1.0 , r "$f'(x)=8x+1 $" , horizontalalignment = 'center',

              fontsize = 18 , color = 'blue' )

       

    92+x+1$' , horizontalalignment = 'center' ,

              fontsize = 18 , color = 'brown' )

    plt. grid( True )

    Вывод: 1101109 940032

    Анализ данных с помощью SciPy

    Рекомендуемые статьи

    Страница :

    Деловой расчет

    Мы использовали производные, чтобы найти максимумы и минимумы некоторых функций, заданных уравнениями, но очень маловероятно, что кто-то просто протянет вам функцию и попросит найти ее экстремальные значения. Более типично, кто-то опишет проблему и попросит вашей помощи в увеличении или уменьшении чего-то: Какой самый большой объем посылки, которую примет почта? ; Как быстрее всего добраться отсюда туда? ; или Какой самый дешевый способ выполнить ту или иную задачу? В этом разделе мы обсудим, как найти эти экстремальные значения с помощью исчисления.

    Макс./мин. приложения

    Пример

    Управляющий садовым магазином хочет построить прямоугольное ограждение площадью 600 квадратных футов на парковке магазина, чтобы выставить некоторое оборудование. Три стороны ограждения будут построены из красного дерева по цене 7 долларов за погонный фут. Четвертая сторона будет построена из цементных блоков по цене 14 долларов за погонный фут. Найдите размеры самого дешевого такого ограждения.

    Процесс нахождения максимума или минимума называется оптимизацией. Функция, которую мы оптимизируем, называется целевой функцией (или целевым уравнением ). Целевую функцию можно узнать по ее близости к est слов (самый большой, наименьший, самый высокий, самый дальний, самый, …). Посмотрите на пример садового магазина; функция затрат является целевой функцией.

    Во многих случаях в задаче присутствуют две (или более) переменные. Опять же, в примере с садовым магазином длина и ширина ограждения неизвестны. Если есть уравнение, связывающее переменные, мы можем решить для одной из них через другие и записать целевую функцию как функцию только одной переменной. Уравнения, связывающие переменные таким образом, называются уравнения связи . Уравнения ограничений всегда являются уравнениями, поэтому они будут иметь знаки равенства. Для садового магазина фиксированная площадь относится к длине и ширине ограждения. Это даст нам наше уравнение ограничения.

    Техника задачи «Макс-Мин»
    1. Переведите английское условие задачи строка за строкой в ​​картинку (если применимо) и в математику. Часто это самый трудный шаг!

    2. Определите целевую функцию. Найдите слова, указывающие на наибольшее или наименьшее значение.

      1. Если у вас есть две или более переменных, найдите уравнение ограничения. Подумайте об английском значении слова , ограничение и помните, что уравнение ограничения будет иметь знак равенства.
      2. Решите уравнение ограничения для одной переменной и подставьте в целевую функцию. Теперь у вас есть уравнение одной переменной.
    3. Используйте вычисления, чтобы найти оптимальные значения. (Возьмите производную, найдите критические точки, протестируйте. Не забудьте проверить конечные точки!)
    4. Посмотрите на вопрос, чтобы убедиться, что вы ответили на заданный вопрос. Переведите свой числовой ответ обратно на английский язык.

    Вот ссылка на примеры, использованные в видео в этом разделе: Примеры прикладной оптимизации.

    Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5

    Пример 1

    Управляющий садовым магазином хочет построить прямоугольное ограждение площадью 600 квадратных футов на стоянке магазина, чтобы выставить на нем некоторое оборудование. Три стороны ограждения будут построены из красного дерева по цене 7 долларов за погонный фут. Четвертая сторона будет построена из цементных блоков по цене 14 долларов за погонный фут. Найдите размеры самого дешевого такого ограждения.

    Сначала переведите построчно в математику и картинку:

    Текст Перевод

    Управляющий садовым магазином хочет построить прямоугольное ограждение площадью 600 квадратных футов на стоянке магазина, чтобы выставить на нем некоторое оборудование.

    Три стороны загона будут построены из ограждений из красного дерева по цене 7 долларов США за погонный фут . Четвертая сторона будет построена из цементных блоков по цене 14 долларов за погонный фут .

    Найдите размеры самого дешевого такого ограждения.

    Пусть \(x\) и \(y\) - размеры ограждения, где \(y\) - длина стороны, сделанной из блоков. Тогда: \[\text{Площадь} = A = xy = 600.\]

    \(2x + y\) стоит 7 долларов за фут, \(y\) стоит 14 долларов за фут, поэтому \[\text{Cost} = C = 7(2x + y) + 14y = 14x + 21y.\]

    Найдите \(x\) и \(y\) так, чтобы \(C\) было минимальным.

    Целевая функция — это функция стоимости, и мы хотим ее минимизировать. Однако в его нынешнем виде у него есть две переменные, поэтому нам нужно использовать уравнение ограничений. Уравнение ограничения представляет собой фиксированную площадь \(A = xy = 600\). Решите \(A\) для \(x\), чтобы получить \( x=\frac{600}{y} \), а затем подставьте в \(C\): \[C=14\left(\frac{ 600}{y}\right)+21y=\frac{8400}{y}+21y. \]

    Теперь у нас есть функция только одной переменной, поэтому мы можем найти минимум с помощью исчисления. 93} \gt 0,\] так что это локальный минимум.

    Поскольку это единственная критическая точка в домене, она должна быть глобальным минимумом. Возвращаясь к нашей функции ограничения, мы можем найти, что когда \(y = 20\), \(x = 30\). Размеры корпуса, которые минимизируют стоимость, составляют 20 футов на 30 футов.

    Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5

    Пытаясь максимизировать свои доходы, предприятия также сталкиваются с ограничением потребительского спроса. В то время как бизнес хотел бы видеть много продуктов по очень высокой цене, обычно спрос снижается по мере роста цены на товары. В простых случаях мы можем построить эту кривую спроса, чтобы максимизировать доход.

    Пример 2

    Концертный промоутер обнаружил, что если она продает билеты по 50 долларов каждый, она может продать 1200 билетов, но на каждые 5 долларов, которые она поднимает цену, приходит на 50 человек меньше. По какой цене она должна продавать билеты, чтобы максимизировать свой доход?

    Мы пытаемся максимизировать доход и знаем, что \( R=pq \), где \(p\) - цена билета, а \(q\) - количество проданных билетов.

    Задача предоставляет информацию о соотношении спроса между ценой и количеством – по мере роста цены спрос уменьшается. Нам нужно найти формулу этой зависимости. Для исследования посчитаем, что будет с посещаемостью, если мы поднимем цену:

    Цена, \(р\) 50 55 60 65
    Количество, \(q\) 1200 1150 1100 1050

    Вы можете признать это линейной зависимостью. Мы можем найти наклон отношения, используя две точки: \[m=\frac{1150-1200}{55-50}=\frac{-50}{5}=-10.\]

    Вы можете заметить, что второй шаг в этом расчете напрямую соответствует постановке задачи: посещаемость падает на 50 человек на каждые 5 долларов повышения цены. 2.\]

    Теперь мы можем найти максимум этой функции, найдя критические числа. \(R'=1700-20p\), поэтому \(R'=0\) при \(p = 85\).

    Используя критерий второй производной, \(R''=-20 \lt 0 \) (для любого значения \( p \)), таким образом, критическое число является локальным максимумом. Поскольку это единственное критическое число, мы также можем заключить, что это глобальный максимум.

    Промоутер сможет максимизировать доход, взимая 85 долларов за билет. По этой цене она продаст \( q=1700-10(85)=850 \) билетов, получив доход в размере 72 250 долларов.

    Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5

    Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5

    Предельный доход = предельные затраты

    Возможно, вы уже слышали, что прибыль максимизируется, когда предельные издержки и предельный доход равны. Теперь вы понимаете, почему люди так говорят! (Хотя это и не совсем так.)

    Пример 3

    Предположим, мы хотим максимизировать прибыль.

    Теперь мы знаем, что делать – найти функцию прибыли, найти ее критические точки, протестировать их и т.д.

    Но помните, что Прибыль = Доход – Затраты. Таким образом, «прибыль» = «выручка» — «затраты». То есть производная функции прибыли равна \(MR - MC\).

    Теперь найдем критические точки – это будут те, где Profit' = 0 или не определено. Прибыль' = 0, когда \(MR - MC = 0\), или когда \(MR = MC\).

    Прибыль имеет критические точки, когда предельный доход и предельные затраты равны.

    Во всех случаях, которые мы увидим в этом классе, Profit будет вести себя очень хорошо, и нам не придется беспокоиться о поиске критических точек, где Profit' не определен. Но помните, что не все критические точки являются локальными максимумами! Места, где \(MR = MC\) могут представлять локальный максимум, локальный минимум или ни то, ни другое.

    Пример 4

    Компания продает \(q\) устройств для намотки ленты в год по цене \(\$p\) за устройство для намотки ленты. Функция спроса на ленточные намоточные машины определяется выражением: \(p=300-0,02q\). Изготовление намотки ленты стоит 30 долларов за штуку, плюс фиксированные затраты в размере 9 долларов.2+270q-9000\]

    Теперь у нас есть два варианта. Мы можем найти критические точки Прибыли, взяв производную \(P(q)\) напрямую, или мы можем найти \(MR\) и \(MC\) и приравнять их. (Естественно, в любом случае мы получим один и тот же ответ.)

    На этот раз используем \(MR = MC\). \[ \begin{выравнивание*} МР=& 300-0,04q\\ МС=& 30\\ 300-0,04q=&30\\ 270=& 0,04q\\ д=& 6750 \end{выравнивание*} \]

    Единственная критическая точка находится в \(q = 6750\). Теперь нам нужно убедиться, что это локальный максимум, а не локальный минимум. В этом случае мы будем смотреть на график \(P(q)\) - это парабола, открывающаяся вниз, так что это должен быть локальный максимум. И поскольку это единственная критическая точка, она также должна быть глобальным максимумом.

    Максимальная прибыль достигается при продаже 6750 устройств для намотки ленты.

    Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5

    Средняя стоимость = предельная стоимость

    Средние издержки минимизируются, когда средние издержки = предельным издержкам — еще одна поговорка, которая не совсем верна; в этом случае правильное утверждение:

    Средняя стоимость имеет критические точки, когда средняя стоимость и предельная стоимость равны.

    Давайте рассмотрим здесь геометрический аргумент. Помните, что средняя стоимость — это наклон диагональной линии, линии от начала координат до точки на кривой общих затрат. Если вы переместите свою прозрачную пластиковую линейку, вы увидите (и почувствуете), что наклон диагональной линии наименьший, когда диагональная линия только касается кривой затрат — когда диагональная линия на самом деле является касательной — когда средняя стоимость равна предельным издержкам.

    Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5

    Численные методы дифференцирования в Python

     

    Мы наблюдаем интенсивное использование численных методов в различных современных областях науки и техники.

    Почему? Широкий спектр прикладных задач может быть решен с помощью методов расчета, основанных на математических принципах с использованием цифровых величин, в отличие от аналитических и символьных методов.

    Например, при решении инженерных задач относительно часто используется вычисление производной функции.

    В науке о данных все так же. Часто входные значения функций указываются в виде пары аргумент-значение, что в больших массивах данных может потребовать значительных объемов данных для обработки. К счастью, многие проблемы гораздо проще решить, если использовать производную функции, что помогает в различных областях, таких как экономика, обработка изображений, маркетинговый анализ и т. д.

    Вычисление производных часто используется при анализе данных. Например, при нахождении оптимума значений функций. Вычисление производной также используется для градиентных методов при обучении нейронных сетей.

    В этом посте мы рассмотрим, как можно вычислить значение производной с помощью численных методов в Python.

    Принцип численного дифференцирования

    Численное дифференцирование основано на аппроксимации функции, производная которой берется интерполяционным полиномом. Все основные формулы для численного дифференцирования можно получить с помощью первого интерполяционного многочлена Ньютона.

    Общая формула для расчета производной:

    Здесь коэффициенты aj и b зависят от степени n используемого интерполяционного полинома, т. е. от требуемой точности. Коэффициенты до 5-го порядка можно представить в виде таблицы:

    Формулу численного дифференцирования функции в точке легко получить, подставив нужные значения коэффициентов.

    Например, метод Эйлера, простейший численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, будет выглядеть так

    Графически метод Эйлера можно представить следующим образом: Затем зададим значение функции в виде пар x, y с шагом 0,01 для диапазона x от 0 до 4.

    Мы собираемся использовать производную scipy для вычисления первой производной функции. Пожалуйста, не пишите свой собственный код для вычисления производной функции, пока не узнаете, зачем он вам нужен. Scipy обеспечивает быструю реализацию численных методов, предварительно скомпилирован и протестирован во многих случаях использования.

     импорт numpy
импортировать matplotlib.pyplot как plt

защита f(x):
вернуть х * х

х = numpy.arange (0,4,0,01)
у = е (х)

plt.figure(figsize=(10,5))
plt.plot (х, у, 'б')
plt.grid (ось = 'оба')
plt.show()

    Теперь возьмем функцию из библиотеки scipy.misc и вычислим значение производной в точке x = 1. Установим шаг вывода метода равным 0,001.

    Чтобы получить дополнительную информацию о scipy.misc.derivative, обратитесь к этому руководству. Он позволяет вычислять производную первого порядка, производную второго порядка и так далее. Он принимает функции в качестве входных данных, и эта функция может быть представлена ​​как функция Python. Также можно указать параметр «spacing» dx, который даст вам возможность установить шаг производных интервалов.

     # https://docs.scipy.org/doc/scipy-0.18.0/reference/generated/scipy.misc.derivative.html
#
из производного импорта scipy.misc

d = производная (f, 1,0, dx=1e-3)

печать (г)

1.9999999999998352

    Кроме того, вы можете использовать библиотеку numpy для вычисления всех значений производных в диапазоне x = 0..4 с шагом 0,01, как мы установили во входной функции. Затем вы можете использовать метод np.gradient.

     импортировать numpy как np

dy = np.градиент (y)
dx = np.градиент (х)

д = дх/дх
г

массив([0,01, 0,02, 0,04, 0,06, 0,08, 0,1, 0,12, 0,14, 0,16, 0,18, 0,2,
0,22, 0,24, 0,26, 0,28, 0,3, 0,32, 0,34, 0,36, 0,38, 0,4, 0,42,
0,44, 0,46, 0,48, 0,5, 0,52, 0,54, 0,56, 0,58, 0,6, 0,62, 0,64,
. ..
7,26, 7,28, 7,3, 7,32, 7,34, 7,36, 7,38, 7,4, 7,42, 7,44, 7,46,
7,48, 7,5, 7,52, 7,54, 7,56, 7,58, 7,6, 7,62, 7,64, 7,66, 7,68,
7,7, 7,72, 7,74, 7,76, 7,78, 7,8, 7,82, 7,84, 7,86, 7,88, 7,9,
7,92, 7,94, 7,96, 7,97])

    Вы также можете использовать эту опцию, чтобы получить немного более точный результат, чем предыдущая опция.

     импортировать numpy как np

np.градиент (у, х)

массив([0,01, 0,02, 0,04, 0,06, 0,08, 0,1, 0,12, 0,14, 0,16, 0,18, 0,2,
0,22, 0,24, 0,26, 0,28, 0,3, 0,32, 0,34, 0,36, 0,38, 0,4, 0,42,
0,44, 0,46, 0,48, 0,5, 0,52, 0,54, 0,56, 0,58, 0,6, 0,62, 0,64,
...
7,26, 7,28, 7,3, 7,32, 7,34, 7,36, 7,38, 7,4, 7,42, 7,44, 7,46,
7,48, 7,5, 7,52, 7,54, 7,56, 7,58, 7,6, 7,62, 7,64, 7,66, 7,68,
7,7, 7,72, 7,74, 7,76, 7,78, 7,8, 7,82, 7,84, 7,86, 7,88, 7,9,
7.92, 7.94, 7.96, 7.98, 7.99])

    Если посмотреть на график производной функции, то получится следующий вид.

    Оценка погрешности с помощью аналитической формы дифференциала

    Оценку погрешности для вычисления числового значения производной можно выполнить, вычислив формулу для производной аналитическим способом и подставив значение в нужной точке.

    Например, для функции, которую мы рассматриваем в этом примере, можно аналитически вычислить формулу следующим образом:

    y = x2

    y ' = 2 x

    Тогда в точке x = 4 вы получите значение производной 8. Численные методы из предыдущего дали результаты 7,97 и 7,99, что связано с аппроксимацией производная.

    Расчетное значение с использованием вышеуказанных методов может отличаться примерно на 0,01. В чем причина этого несоответствия?

    Во-первых, вам нужно выбрать правильное значение выборки для функции. Чем меньше шаг, тем точнее будет вычисленное значение.

    Во-вторых, необходимо выбрать порядок функции интегрирования, аналогичный степени полинома дифференцируемой функции.

    Также необходимо учитывать область абсолютной устойчивости для данных методов численного дифференцирования. Например, обратный и прямой методы Эйлера могут показывать разные области устойчивости, т. е. необходимо иметь небольшой шаг дифференцирования. Дополнительную информацию можно найти здесь.

    Помимо scipy-дифференциации, вы также можете использовать аналитическую дифференциацию в Python. Пакет SymPy позволяет выполнять расчеты аналитической формы производной. В некоторых случаях вам нужно иметь аналитическую формулу для производной функции, чтобы получить более точные результаты. Символьные формы расчета могут быть медленными для некоторых функций, но в процессе исследования бывают случаи, когда аналитические формы дают преимущество по сравнению с численными методами.

    Заключение    

    Быстро развивающаяся область науки о данных и машинного обучения требует полевых специалистов, владеющих алгоритмами и вычислительными методами.

    Python — отличный союзник при решении подобных задач благодаря развитой сети библиотек и фреймворков.

    В этом процессе необходимо знание основных численных методов. Специалисты Svitla Systems обладают глубокими знаниями в этой области и имеют большой практический опыт решения задач в области науки о данных и машинного обучения.

    Закажите квалифицированную помощь и разработку проекта в Svitla Systems, где вы всегда получите квалифицированные услуги и качественную продукцию.

    производная функция - RDocumentation

    Описание

    Вычисление производных простых выражений, символьно и алгоритмически.

    Применение 

     D (выражение, имя)
 производное(выражение, …)
deriv3(expr, …) 
     # Метод S3 по умолчанию
производное (expr, namevec, function.arg = NULL, tag = ".expr",
       гессиан = ЛОЖЬ, …)
 # Метод S3 для формулы
производное (expr, namevec, function.arg = NULL, tag = ".expr",
       гессиан = ЛОЖЬ, …) 
     
     # Метод S3 по умолчанию
deriv3(expr, namevec, function.arg = NULL, tag = ".expr",
       гессиан = ИСТИНА, …)
# Метод S3 для формулы
deriv3(expr, namevec, function.arg = NULL, tag = ".expr",
       hessian = TRUE, …)

    Аргументы

    expr

    a выражение или вызов или (кроме D ) формула без левых частей.

    name,namevec

    вектор символов, дающий имена переменных (только один для D() ), по которым производные будут вычислено.

    function.arg

    если указано и не NULL , символ вектор аргументов для возврата функции или функции (с пустым body) или TRUE , последнее указывает, что функция с должны использоваться имена аргументов namevec .

    тег

    символ; префикс, который будет использоваться для локально созданного переменные в результате.

    гессен

    логическое значение, указывающее, являются ли вторые производные должны быть рассчитаны и включены в возвращаемое значение.

    …

    аргументы для передачи в методы или из них.

    Значение

    D возвращает вызов и поэтому может быть легко повторен для высших производных.

    deriv и deriv3 обычно возвращают выражение объект, оценка которого возвращает функцию значения с "градиентом" атрибут, содержащий градиент матрица. Если гессиан равно TRUE , оценка также возвращает атрибут "hessian" , содержащий массив Hessian.

    Если function.arg не NULL , производное и deriv3 возвращает функцию с этими аргументами, а не выражение.

    Детали

    D создан по образцу своего тезки S для приема простых символьных производные.

    производная — это универсальная функция со значением по умолчанию и формула метод. Он возвращает вызов для вычисление выражения и его (частных) производных, одновременно. Он использует так называемые алгоритмических производных . Если function.arg — это функция, ее аргументы могут иметь значения по умолчанию. значения, см. пример f x ниже.

    В настоящее время deriv.formula просто вызывает deriv. default 9 и однопеременная функции exp , log , sin , cos , tan , ш , ш , кв , пнорм , днорм , асин , акос , атан , гамма , лгамма , дигамма и тригамма , а также псигамма за одну или два аргумента (но производные только по отношению к первому). (Обратите внимание, что рассматривается только стандартное нормальное распределение.)

    Начиная с R 3.4.0, функции одной переменной log1p , expm1 , log2 , log10 , cospi , sinpi , tanpi , факториал и lfactorial также поддерживаются.

    Ссылки

    Гриванк, А. и Корлисс, Г. Ф. (1991) Автоматическое дифференцирование алгоритмов: теория, реализация, и заявка . Заседания SIAM, Филадельфия. 92 * журнал(10))))) # }

    Запустите приведенный выше код в браузере с помощью DataCamp Workspace

    CS 381K: символическое дифференцирование

    CS 381K: символическое дифференцирование

    Срок: 24 сентября 2007 г.

    Введение

    Программа символьного дифференцирования находит производную заданного формула относительно указанной переменной, производящая новую формулу как его выход. В общем, программы символьной математики манипулируют формулы для создания новых формул, а не для выполнения числовых расчеты по формулам. В некотором смысле символическая манипуляция программы более мощные: формула дает ответы на класс проблем, в то время как числовой ответ относится только к одной проблеме.

    Символическая дифференциация является хорошим упражнением в программировании на Лиспе, потому что это легко сделать и использует уникальные возможности Lisp. Символьное дифференцирование — простая задача в Лиспе, потому что ее можно решить. решается с помощью стратегии "разделяй и властвуй" (также называемой проблема уменьшения поиска ):

    1. Если проблема, которую нужно решить, несложная, решите ее сразу.
    2. Если проблема, которую нужно решить, сложная,
      1. Разбейте проблему на более мелкие подзадач .
      2. Используйте сам решатель задач, рекурсивно, для решения подзадач.
      3. Объедините решения подзадач, чтобы получить решение для большая проблема.
    Символическая дифференциация гарантированно решается этой стратегией. потому что:
    1. Решения подзадач гарантированно обеспечивают решение большая проблема.
    2. Подзадачи всегда меньше (менее сложны), чем исходные проблема; это гарантирует, что процесс решения завершится.
    3. Подзадачи независимы; то есть решение одного подзадача не может мешать решению другой подзадачи.
    Для этого упражнения напишите функцию с именем deriv с аргументы form (формула для дифференцирования) и var (переменная, по которой берется производная). форма записывается в нотации Лиспа, то есть математическая операция записывается как список Лиспа с именем функции первым и аргументами следующий. Предположим, что обычные операторы Лиспа (+ - * /) используются, а также математические функции (sqrt, log, exp, sin, cos и tan). эксп поднимает его первый аргумент в указанной степени по второму его аргументу. Для простоты будем считать, что все бинарные алгебраические операторы имеют ровно два аргумента.

    Применяются следующие правила дифференциального исчисления; используемые обозначения d/dx[form] где x — переменная, по которой производная берется и форма представляет собой формулу, производная которой требуется.

    1. d/dx[c] = 0 , где c — числовая константа.
    2. д/дх[х] = 1
    3. d/dx[v] = 0 , где v — переменная, отличная от x.
    4. d/dx[u + v] = d/dx[u] + d/dx[v]
    5. d/dx[u - v] = d/dx[u] - d/dx[v]
    6. d/dx[-v] = - d/dx[v]
    7. d/dx[u * v] = u * d/dx[v] + v * d/dx[u]
    8. d/dx[u / v] = (v * d/dx[u] - u * d/dx[v]) / v 2
    9. d/dx[u c ] = c * u (с - 1) * d/dx[u] , где с постоянно. (Мы рассмотрим только этот случай. Лисповская функция (expt x n ) возводит x в степень n .)
    10. d/dx[sqrt(u)] = (1/2) * d/dx[u] / sqrt(u)
    11. d/dx[log(u)] = (d/dx[u]) / u
    12. d/dx[exp(u)] = exp(u) * d/dx[u]
    13. d/dx[sin(u)] = cos(u) * d/dx[u]
    14. d/dx[cos(u)] = - sin(u) * d/dx[u]
    15. d/dx[tan(u)] = (1 + tan(u) 2 ) * d/dx[u]
    Напишите свои функции таким образом, чтобы основная функция, производная, решает легкие случаи напрямую; для каждого более сложного случая выводим должен определить, что такое оператор, и вызвать соответствующую функцию взять производную формулы, включающей этот оператор. (Это может быть удобно, чтобы одна функция обрабатывала несколько операторов, чьи производные аналогичны.)

    Протестируйте свою программу на следующих контрольных примерах, а также на других, которые вы макияж, мириться. В этих примерах производная берется по Икс. Функция expt используется для «возведения в степень».

    1. х
    2. 3
    3. г
    4. х+7
    5. х*5
    6. 5*х
    7. х 3 + 2*х 2 - 4*х + 3
    8. кв.(х 2 + 2)
    9. лог((1 + х) 3 )

    Стоимость производных

    Напишите функцию deriv-val с аргументами form, var, и вал, который будет принимать производную формы по var и вернуть числовое значение производной, когда var имеет значение знач. Будем считать, что любые переменные, кроме var имеют значения, присвоенные им вне вызова deriv-val. Проверьте свою функцию на приведенных выше примерах со значением 7 для x. Примечание: deriv-val — это очень короткая функция .

    Символьное упрощение

    Значения, возвращаемые функцией deriv, могут быть математически правильными, но не очень полезно, если они содержат постороннюю алгебру. Очевидно, что кроме программы deriv нам понадобится символический упроститель которые могут упростить результат, используя известные математические тождества. В общем, алгебраические упрощения могут быть очень сложными. Однако это легко чтобы поймать некоторые распространенные случаи в момент генерации.
    Упрощение программами
    Запишите функции s+, s-, sminus, s* и с/ для упрощения выражения, главный оператор которых +, -, унарный -, *, и / соответственно. Каждая из этих функций будет иметь два аргументы, левые и правые (левая и правая части). Если никакое упрощение не может быть выполнено, каждая функция будет возвращаться как ее значение списка (op lhs rhs), где op — это оператор, связанный с функция упрощения. В некоторых случаях можно использовать более простую форму. быть возвращены. Например, если левая и правая стороны равны оба номера, операция может быть выполнена сразу (это позвонил постоянное складывание ). Вы также можете использовать математические такие тождества, как x+0=x, x*0=0, x*1=x и т. д. Сделайте свою производную функции используют функции упрощения при построении своих ответов.

    Обратите внимание, что часто проще всего тестировать функции Lisp по отдельности на небольшие тестовые случаи, прежде чем тестировать их как часть более крупной системы. Например, для s+ можно использовать следующие тестовые случаи:

    1. (с+ 2 3) = 5
    2. (с+ 'а'б) = (+ А В)
    3. (с+ 'х 0) = Х
    4. (с+ '(- х) 'х) = 0
    Последний приведенный выше пример предполагает, что действительно хороший упро требуется для покрытия большого количества случаев. Может ли работа по написанию упрощения когда-нибудь закончить? То есть можно ли написать упрощитель, который будет упростить любую арифметическую формулу до простейшей формы? Сдать абзац, посвященный этому вопросу.
    Упрощение по шаблонам
    Такие программы, как s+, являются процедурным представлением знания. Иногда лучше иметь декларативный представление знаний в виде набора правил или преобразований; это может быть лучше, потому что можно делать другие вещи с декларативное знание (например, обосновать вывод, перечислив правила используется), тогда как процедурные знания обычно не подходят для самоанализ.

    Упрощение может быть сделано процедурно (путем расширения таких программ, как как s+ для обработки большего количества случаев), путем сопоставления с образцом (представляющего преобразования упрощения как шаблоны), или и то, и другое. процедурный вариант более эффективен для простых шаблонов, таких как (+ x 0), которые часто генерируются. Для более крупных шаблонов процедурный подход может привести к большому и подверженному ошибкам коду; подход на основе сопоставления с образцом наверное лучше для этих. Файл patmatch.lsp содержит несколько простых функций сопоставления с образцом и преобразования. Изучите эти функции и попробуйте использовать шаблоны для упрощения вывода. вашей производной функции.

    Посмотрите на вывод вашей производной функции, чтобы убедиться, что она можно упростить для получения лучшего результата. Используйте программы и/или шаблоны для улучшения качества вывода; качество продукции будет критерием оценки.

    Упрощение само по себе

    Функции упрощения, написанные для этого назначения, выполняют символические упрощение в момент генерации формул, т. е. перед формулы действительно построены. В приложении вроде символическое дифференцирование, где порождается много бесполезной алгебры, это имеет смысл выбрасывать бесполезные предметы как можно раньше, а не чем генерировать большие формулы, а затем урезать их.

    Оставить комментарий