Найти производную функции примеры с решением: Как найти производную функции, примеры решения

Дифференциация (математика): определение, примеры и формула

Дифференциация — это метод нахождения скоростей изменения, т. е. градиентов функций. Результат дифференцирования функции называется производной этой функции.

Процесс дифференциации

Процесс дифференциации представлен . Это эквивалентно «изменению у, деленному на изменение х». Переменные x и y можно заменить любой другой буквой.

Некоторые альтернативные обозначения производных содержат апостроф ‘. Дифференцирование функции y «относительно x» (что означает, что x — это значение в нижней части дроби) приводит к производной y ‘. Если функция представлена ​​в виде f(x), то ее производная может быть представлена ​​в виде f'(x).

Давайте кратко рассмотрим, как найти градиент прямолинейного графика:

Пример градиента прямолинейного графика, Heale – StudySmarter Originals

Однако, если мы посмотрим на квадратичный график, это не так. не ясно, как найти его градиент. Это связано с тем, что она меняется в разных точках графика по мере того, как линия изгибается, становясь более или менее крутой.

Один из возможных методов, который мы могли бы использовать, — провести касательную в заданной точке и найти ее уравнение. Однако это дало бы нам градиент только в этой точке — что, если бы мы захотели найти общее выражение для градиента любой точки на графике?

Мы используем дифференцирование, чтобы найти функцию градиента графика. Метод очень прост — вам нужно:

Поэтому, как правило, при дифференцировании ваш результат равен .

Как отличить многочлен?

Допустим, у нас есть следующий график, и мы хотим найти градиент в точке .

Чтобы продифференцировать функцию, мы берем каждую степень x и выполняем над ней описанные выше шаги – уменьшаем степень на 1 и умножаем на старую степень.

2 не является степенью x, поэтому мы не можем применить здесь наш обычный метод.

Чтобы понять, как его различать, нам нужно взглянуть на представление дифференцирования. Напомним, что это означает «изменение y, деленное на изменение x».

Поскольку 2 является константой, изменения x и y не влияют на ее значение, и наоборот. Фактически это означает, что для градиента не имеет значения, какое значение имеет значение — оно важно только в контексте исходной функции. По этой причине производная константы определяется как 0,

Теперь, когда мы нашли производную каждого члена нашей функции, мы можем создать функцию для градиента в любой заданной точке:

Следовательно, чтобы найти градиент в точке, где , подставьте это значение в наше новое уравнение:

Что такое отличие от первых принципов?

Дифференциация из первых принципов говорит нам о концепции дифференциации.

Давайте рассмотрим эту кривую, которая является частью графика, который мы хотели бы дифференцировать. Мы выбрали две точки вдоль нее, (x, f (x)) и (x + h, f (x + h)), и мы хотели бы найти градиент в точке (x, f (x)):

Мы знаем, что для нахождения градиента между этими точками мы находим изменение y, деленное на изменение x:

Чем ближе мы перемещаем эти две точки вместе, тем точнее наша оценка градиента в (x, f (х)) будет. По мере того, как h становится все ближе и ближе к 0, оценка будет все лучше и лучше. Мы можем записать это как формулу:

Мы знаем производную is , но мы можем доказать это, подставив ее в формулу:

Наконец, нам нужно рассмотреть, что происходит на пределе, когда h приближается к 0: h исчезает, и мы просто остаемся с нашим ответом 2x.

Что дифференциация может рассказать нам о графах?

Дифференциация может многое рассказать нам о природе графиков и их поворотных точках. Они также известны как критические точки , поскольку это точки, где градиент равен нулю. В этом случае есть три возможности:

Когда график квадратичный, очевидно, является ли критическая точка максимальной или минимальной, поскольку она только одна, и все, что вам нужно сделать, это рассмотреть форму графика (используя коэффициент члена). Однако когда критических точек несколько, все не так однозначно.

Чтобы определить природу критической точки для кубических графов, необходимо проверить градиенты по обе стороны от нее.

Рассмотрим локальный максимум:

Мы видим, что первая часть графика увеличивается на в соответствии с направлением графика, затем после критической точки она начинает уменьшаться.

Если бы мы нашли градиент возрастающей части графика, то он был бы положительным, а убывающей – отрицательным. В итоге:

увеличение

критическая точка

уменьшение

Давайте посмотрим на определение природы критической точки.

Мы уже знаем, что критическая точка этого графика будет минимальной, потому что имеет положительный коэффициент. Однако мы докажем это с помощью дифференцирования.

Во-первых, нам нужно дифференцировать функцию;

Теперь нам нужно найти координаты критической точки, значение x, где производная функции равна нулю. Мы можем сделать это, решив уравнение, так как мы знаем, что градиент равен нулю в этой точке.

Теперь мы можем создать простую таблицу и подставить значения x с обеих сторон:

Поскольку градиент слева уменьшается, а градиент справа увеличивается, мы показали что точка поворота минимальна.

Если бы градиент слева увеличивался, а градиент справа уменьшался, точка поворота была бы максимальной.

Наконец, если они оба возрастают или оба убывают , это должна быть стационарная точка.

Что вторая производная может сказать нам о графиках?

Другая возможность определить, является ли критическая точка максимальной, минимальной или стационарной точкой, заключается в использовании второй производной, поскольку вторая производная графика говорит вам о его кривизне.

• Положительная кривизна означает, что кривая графика изгибается влево, если рассматривать вдоль оси x (минимум) .

• Отрицательная кривизна означает, что график изгибается вправо (максимум) .

• Если вторая производная функции равна нулю в определенной точке, кривизна равна нулю, а график в этой точке прямой (стационарная точка) .

В нашем примере:

Это означает, что кривизна положительна в любом месте графика, а критическая точка является максимальной.

Какие существуют правила дифференцирования?

Некоторые правила дифференцирования, которые помогут вам найти производные более сложных функций:

• Правило произведения

• Правило частных

• Цепное правило

3

Правило произведения

Правило произведения можно использовать для нахождения производной двух функций, умноженных вместе. Формула такова;

Если y = uv

Где u — функция f(x), v — функция g(x), а f'(x), g'(x) — их производные u’ и v’.

Дифференцируем функцию

В этом примере мы могли бы раскрыть скобки и найти производную обычным способом, однако часто использование правила произведения быстрее и менее подвержено ошибкам.

Чтобы использовать правило произведения для этой функции, нам нужно разрешить и .

Затем нам нужно дифференцировать их по отдельности:

Наконец, мы подставляем эти значения в формулу произведения: друг другом. Формула:

Где u — функция f (x), v — функция g (x), а f'(x), g’ (x) — их производные u’ и v’.

Дифференцируем функцию

Пусть u будет числителем, а v знаменателем, т.е. и , затем продифференцируем их по отдельности, как и раньше, чтобы получить и .

Наконец, нам нужно подставить эти значения в формулу:

Цепное правило

Цепное правило можно использовать для нахождения производной функции от функции. Формула такова;

Дифференцируем функцию

Позволим , затем подставим это в основное уравнение так, что . Затем мы дифференцируем их обоих по отдельности, таким образом находя и ;

Наконец, мы перемножаем их вместе, чтобы получить , и подставляем u обратно, чтобы получить .

Параметрическое дифференцирование

Иногда нам нужно дифференцировать функции, в которых x и y обе являются третьей переменной. В этих ситуациях нам нужно использовать параметрическое дифференцирование.

Мы можем использовать цепное правило, чтобы дифференцировать по x и y:

Мы могли бы преобразовать уравнение, содержащее x, в терминах t. Приведенное выше уравнение можно было бы также записать в следующем виде, чтобы упростить его дифференцирование:

Давайте сначала попробуем переставить и умножить наши результаты:

Теперь давайте попробуем второй метод, чтобы убедиться, что мы получаем тот же ответ. Все, что нам нужно сделать, это продифференцировать каждое уравнение отдельно по t, а затем разделить на: функции, которые обычно выглядят как Однако, что, если мы хотим дифференцировать уравнение ?

Чтобы решить эту проблему, нам нужно использовать метод неявного дифференцирования. Мы можем подойти к каждой части уравнения отдельно и написать:

Мы знаем, как различать две части. Первый этап дифференцирования части y состоит в том, чтобы дифференцировать ее как обычно, но оставить ;

Теперь нам нужно преобразовать уравнение в термины:

Дифференциация – ключевые выводы

• Дифференциация – это метод нахождения скорости изменения, т.е. градиентов функций.

• Результат вычисления дифференцирования называется производной функции.

• Процесс дифференциации представлен .

• Чтобы дифференцировать многочлен:
• Производная константы определяется как 0.
• Дифференцирование из первых принципов использует формулу0005

• Правило коэффициента составляет

• Правило цепи составляет

• Параметрическая дифференциация. Деребная дифференциация

9033

Использование. Использование. Статистики 9033

Использование дифференциации. В целом. СЛАДИВАЯ СТАВИЛЬНОЙ СТАТИВАЛИНГИВАРИЙСИВОРИВАРИЙСИВОРИВАРИЙСИВОЙ ДЕЛИВИЙС. Как


1. Список общих производных:
   • Постоянные функции (например, y = 1, y = 44)
   • Производная X
   • Производная от 2x
   • Производная от 3x
     • ТИ-89 Пример
   • Производные e и e ^x
   • пер (натуральное бревно)
   • Грех 3x
2. Общие производные правила



Производная sin

³ x

Производная sin ³ x is 3sin ² x cos x.
Существует два основных способа получения производной: либо с помощью определения предела (длинный путь), либо с помощью упрощенного метода, называемого общим степенным правилом. Существуют короткие пути, так что вы можете пропустить длинный путь поиска производной: определение предела. Общая форма степенного правила помогает дифференцировать функции вида [u(x)]

n ], например sin3x, который можно переписать как [sin x] ³ , который имеет внутреннюю функцию «sin x» и внешнюю функцию x ³ . Общая форма степенного правила:
Если y-u ⁿ , то y = nu ^{n – 1} *u’, где «u» — внутренняя функция.

Пример задачи : Найдите производную Sin3x

Шаг 1: Перепишите уравнение так, чтобы оно представляло собой степенную функцию:
sin ³ x = [sin x] ³

Шаг 2: Найдите производную для «внутренней» части функции , sin x. Согласно общим правилам дифференцирования производная от sin x равна cos x:
f’ sin x = cos x

Шаг 3: Перепишите функцию по общему степенному правилу. Другими словами, запишите общее правило мощности, заменив его в вашей функции, где это уместно. Последняя половина общего правила мощности — это производная внутренней функции, которую вы разработали на шаге 2: 9. 0080 f- = 3[sin x] ^3-1 [cos x] = 3[sin x] ² [cos x]

Шаг 4: Перепишите, используя алгебру :
3[sin x] ² [cos x] = 3sin ² x cos x

Вот и все!

Совет: Исчисление использует много алгебры и тригонометрии. Если ваши навыки алгебры слабы, этот курс, вероятно, станет трудным. Вместо того, чтобы сосредотачиваться на запоминании правил дифференцирования, сосредоточьтесь на улучшении своих навыков алгебры. Возможность взглянуть на функцию и увидеть, какое правило может применяться, если вы манипулируете уравнением (например, зная, что квадратный корень можно переписать как «в степени 1/2»), является ключом к вычислению производных.

Наверх.

Это список наиболее распространенных производных (те, которые вы обычно найдете в приложении к учебнику).
Степень х

с = 0

х = 1

x n = n x (n-1)

 

Таблица экспоненциальных/логарифмических производных b ^x = b ^x ln(b) ln(x) = 1/x

 

Тригонометрический

sin x = cos x	csc x = -csc x детская кроватка x
cos x = – sin x	сек х = сек х тангенс х
тангенс x = сек 2 x	детская кроватка x = – csc 2 x

 

Обратный тригонометрический

arcsin x =	1 / (√ (1- х 2 ))
arccsc х =	-1 / (|х| √ (х 2 – 1))
arccos х =	-1 / (√ (1- х 2 ))
угловых секунд х =	1 / (|х| √ (х 2 ) – 1)
арктангенс х =	1 / (1 + х 2 )
арккот х =	(-1 / 1 +x 2 )

 

Гиперболические функции




sin x = cosh x	csch x = – cth x csch x
ш х = ш х	сек х = – танх х сек х
тангенс x = 1 – тангенс 2 x	слой x = 1 – слой 2 x

Выше приведен список наиболее распространенных деривативов, которые вы найдете в таблице деривативов. Если вы не нашли здесь производную, которая вам нужна, возможно, искомая производная не является универсальной производной (т. е. вам действительно нужно вычислить производную с нуля). Если это так, и вам нужно найти производную, выполните поиск на этом сайте или попробуйте онлайн-калькулятор, подобный этому, от Wolfram Alpha.

Наверх.

Посмотрите видео или прочитайте ниже:


Производная от x

Посмотрите это видео на YouTube.

Видео не видно? Кликните сюда.

Производная от x = 1. Точно так же производная от -x = 1.

Почему производная от x равна всего 1 ?

Определение производной – это наклон касательной в любой точке графика. Функция y = x является постоянной функцией. Она имеет положительный наклон ровно 1 во всех точках графика, поэтому производная для всей функции определяется как 1.




График -x показывает, что это убывающая функция с отрицательным наклоном ровно -1 во всех точках:

График y=-x (красная линия) и производной, -1 (зеленая линия) .


Если вы вложите в голову идею о том, что производная — это просто наклон касательной, это сделает поиск многих общих производных чрезвычайно простым. Если бы все производные в исчислении были такими простыми!

Как насчет других функций с константами?

Производная любой другой функции с некоторым значением x, умноженная на константу, является просто константой. Например:

• Производная от 12х равна 12,
• Производная от 10 000x равна 10 000.

Вы можете применить это правило к любому x значению, умноженному на константу, включая π (см. производную пи), e (число Эйлера), десятичные числа, дроби и другие константы.

Наверх.

Посмотрите видео или прочитайте ниже:


Производное от 2x

Посмотрите это видео на YouTube.

Видео не видно? Кликните сюда.

Формула

Производная любого значения x, умноженная на константу, является самой константой.
В виде формулы это: [cx]′ = c
Другими словами, это означает, что если у вас есть значение x, умноженное на , любая константа , производная (обозначается символом ′, которая называется «простая запись “) — это просто константа.

Например, производная от 2x равна 2, или производная от 100 x равна 100. Вы можете применить это правило к любому значению x, умноженному на константу, включая:

• пи,
• е,
• десятичных знака,
• дроби.

Правило можно легко расширить, чтобы найти производную от 3x (что равно 3), производную от 4x (что равно 4) …∞. Просто отбросьте «х», и у вас есть производная.

Почему производная от 2x просто «2»?

Производная — это касательная в точке. Другими словами, найдите наклон в точке, и вы получите производную. Наклон линии 2x равен 2, независимо от того, какую точку вы выберете, чтобы найти наклон. Следовательно, производная всей функции равна 2.

График y = 2x (красная линия) и производной 2x (зеленая линия).

Совет : На всякий случай, если вам нужно освежить в памяти формулу наклона: изменение y / изменение x. Вы можете использовать эту формулу, чтобы получить среднее значение наклона в двух точках; поскольку наклон для линейного графика (например, 2x) постоянен, нахождение наклона между двумя точками также даст вам производную от 2x.

Наверх.

Посмотрите видео или прочитайте ниже:


Производная от 3x

Посмотрите это видео на YouTube.

Видео не видно? Кликните сюда.

Производная от 3x равна 3.

Производная от любое x, умноженное на константу, есть просто константа. Например:

• Производная от 99x равна 99,
.
• Производная от 101x равна 101.

Почему производная от 3x равна 3?

Производная — это касательная в точке. Другими словами, для таких прямолинейных функций все, что вам нужно сделать, это найти наклон в определенной точке, и это значение является производной.

Вы можете найти наклон линии между двумя точками, используя формулу наклона:

Наклон = изменение y / изменение x.

Как вы, вероятно, можете сделать вывод из формулы, невозможно найти наклон в точке … потому что нет никаких изменений! В исчислении, если вы хотите найти наклон в точке, вы просто выбираете пару точек, равных 9.0423 очень близко к точке, для которой вы хотите найти уклон. Насколько близко достаточно близко? Обычно это вопрос личного мнения, но пока вы находитесь «в этом районе» (другими словами, пока вы достаточно близко), вы должны быть «достаточно близко».

Например, если вы хотите найти производную от 3x (это просто наклон), вы можете выбрать точку x = 3, чтобы найти производную. Чтобы использовать формулу наклона, вам нужно две точки, поэтому вы можете выбрать x = 2 и x = 4 (что составляет 1 единицу по обе стороны от 3). Линейная функция имеет постоянный наклон, поэтому на самом деле не имеет значения, какие точки вы выбираете: функция имеет одну и ту же постоянную производную.

Наклон линии 3x равен 3, независимо от того, какие точки вы выберете, чтобы найти наклон. Следовательно, производная от 3x в точках от x = 2 до x = 4 является производной всей функции.

Функция 3x имеет постоянный наклон 3.


Пример задачи: Найдите производную f(x) = 3x на TI 89.

Шаг 1: Нажмите кнопку F3.

Шаг 2: Выберите «1: d(дифференцировать». Вы можете либо использовать клавишу со стрелкой вниз или введите число, чтобы выбрать его.

Шаг 3: Нажмите ENTER. Калькулятор заполнит командную строку на главном экране d(

Шаг 4: Введите имя функции, а затем запятую. Например, если ваша функция 3x, введите «3x». Синтаксис теперь будет выглядеть так:





Шаг 5: Введите X. Это сообщает калькулятору, что вы проводите дифференцирование по отношению к X.

Шаг 6: Введите символ закрывающей скобки. 0080




Шаг 7: Нажмите ENTER. Решение показано в правой части экрана.


Производная от 3x равна 3.

Предупреждение : буква d для производной не совпадает с буквой D на вашей клавиатуре. Другими словами, вы не можете просто ввести «d(» на главном экране. Вам нужно нажать клавишу F3 (вы также можете найти ее в каталоге, но зачем делать это так долго?).

Наверх

Содержимое:

1. Производное e
2. Производное e ^x

Производная e

Производная e равна 0.

Почему?

Потому что производная любой постоянной функции равна 0.

Число Эйлера (e), иногда называемое константой Непера, не является переменной, как x или y. Это константа, как π. Его значение составляет примерно 2,718.

На этом графике показана постоянная функция y = e (красный) и y = e ^x (зеленый):

Если вы посмотрите на график e, вы увидите, что наклон равен нулю для всех точек на линии; Горизонтальная линия всегда имеет нулевой наклон. Следовательно, производная всегда равна нулю для постоянных функций (таких как e), которые на графике образуют горизонтальную линию.

Наверх.

Производная от e ^x равна e ^x .

Почему?
Это необычная функция, потому что является собственной производной. Другими словами, наклон такой же, как выход функции (значение y) для всех точек на графике. Чтобы было понятнее, попробуйте построить график функции и найти наклон в определенных точках.


На изображении выше показано, что производная (т. е. наклон касательной) в точке (0, 1) равна 1. Давайте представим, что вы начали строить график своей производной. Для этой единственной точки вашей функции (0, 1) первая точка вашей производной функции будет лежать на линии функции y = 1. Эта точка показана на красной линии ниже:
Наклон равен 1 в точке (0, 1).

Пока у нас есть только одна точка на нашей производной. Нам нужно еще несколько, чтобы начать рисовать производную функцию. Далее, давайте посмотрим на наклон для x = 1:





Производная функций e с использованием цепного правила

Производная e ^x на самом деле является частным случаем несколько более сложного правила, называемого цепным правилом. Вы используете правило, когда степень е является функцией х, а не только переменной х сама по себе.

Когда e в сочетании с другой функцией. Например, вас могут попросить найти производную функции e, которая выглядит следующим образом: e ^5x или x ^{2x 2} . Для этих функций необходимо использовать цепное правило.

Далее: Цепное правило.

Наверх.

Общие производные: ссылки

Рон Ларсон, Брюс Х. Эдвардс. Исчисление. Cengage Learning, 16 января 2009 г. Получено 12 июня 2019 г. с: https://books.google.com/books?id=Xn9.rXyPSrzAC
Правила исчисления – функции одной переменной.