Найти производную х 1 х: Найти производную y’ = f'(x) = x+1/x (х плюс 1 делить на х)

Экстремумы функции онлайн

С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word. Если же задана функция f(x,y), следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных. Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция
• Оформление Word
• Также решают

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

y =

на отрезке [;]

Включать теорию

Правила ввода функций:

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Асимптоты функции

Уравнение касательной к графику функции

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Вычисление пределов

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Уравнение f’₀(x^*) = 0 – это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т. е. в точке x^* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x^с, в которых функция не возрастает и не убывает.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Пусть f₀(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x^* выполняется условие:

f’₀(x^*)

= 0
f”₀(x^*) > 0

то точка x^* является точкой локального (глобального) минимума функции.

Если в точке x^* выполняется условие:

f’₀(x^*) = 0
f”₀(x^*) < 0

то точка x^* – локальный (глобальный) максимум.

Пример №1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке [1; 3].
Решение.

Критическая точка одна x₁ = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку [1;3]. (Точка

x=0 не является критической, так как 0∉[1;3]).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)=⁵/₂, f(3)=3 ⁸/₈₁
Ответ: f_min=⁵/₂ при x=2; f_max=9 при x=1

Пример №2. С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x).
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x). Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=±^π/₃+2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x=

π/₃+2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=-^π/₃+2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3. Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0, то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x

0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Пример №4. Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
Решение. Обозначим x – первое слагаемое. Тогда (49-x) – второе слагаемое.
Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max
или
49x – x²

Наибольший объем цилиндра

Найти размеры цилиндра наибольшего объема, изготовленного из заготовки в форме шара радиуса R.
Решение:

Объем цилиндра равен: V = πr²H
где H = 2h,
Подставим эти значения в целевую функцию.

V → max
Найдем экстремум функции. Поскольку функция объема V(h) зависит только от одной переменной, то найдем производную с помощью сервиса Производная онлайн и приравняем ее к нулю.
dV/dh = 2πR² – 6πh²
dV/dh = 0
2πR² – 6πh² = 0 или R² = 3h²
Откуда


При высоте и радиусе основания размеры цилиндра будут наибольшими.

Mathway | Популярные задачи

1	Trovare la Derivata – d/dx	натуральный логарифм x
2	Вычислим интеграл	интеграл натурального логарифма x по x
3	Trovare la Derivata – d/dx	e^x
4	Вычислим интеграл	интеграл e^(2x) по x
5	Trovare la Derivata – d/dx	1/x
6	Trovare la Derivata – d/dx	x^2
7	Trovare la Derivata – d/dx	1/(x^2)
8	Trovare la Derivata – d/dx	sin(x)^2
9	Trovare la Derivata – d/dx	sec(x)
10	Вычислим интеграл	интеграл e^x по x
11	Вычислим интеграл	интеграл x^2 по x
12	Вычислим интеграл	интеграл квадратного корня из x по x
13	Trovare la Derivata – d/dx	cos(x)^2
14	Вычислим интеграл	интеграл 1/x по x
15	Вычислим интеграл	интеграл sin(x)^2 по x
16	Trovare la Derivata – d/dx	x^3
17	Trovare la Derivata – d/dx	sec(x)^2
18	Вычислим интеграл	интеграл cos(x)^2 по x
19	Вычислим интеграл	интеграл sec(x)^2 по x
20	Trovare la Derivata – d/dx	e^(x^2)
21	Вычислим интеграл	интеграл в пределах от 0 до 1 кубический корень из 1+7x по x
22	Trovare la Derivata – d/dx	sin(2x)
23	Trovare la Derivata – d/dx	tan(x)^2
24	Вычислим интеграл	интеграл 1/(x^2) по x
25	Trovare la Derivata – d/dx	2^x
26	График	натуральный логарифм a
27	Trovare la Derivata – d/dx	cos(2x)
28	Trovare la Derivata – d/dx	xe^x
29	Вычислим интеграл	интеграл 2x по x
30	Trovare la Derivata – d/dx	( натуральный логарифм от x)^2
31	Trovare la Derivata – d/dx	натуральный логарифм (x)^2
32	Trovare la Derivata – d/dx	3x^2
33	Вычислим интеграл	интеграл xe^(2x) по x
34	Trovare la Derivata – d/dx	2e^x
35	Trovare la Derivata – d/dx	натуральный логарифм 2x
36	Trovare la Derivata – d/dx	-sin(x)
37	Trovare la Derivata – d/dx	4x^2-x+5
38	Trovare la Derivata – d/dx	y=16 корень четвертой степени из 4x^4+4
39	Trovare la Derivata – d/dx	2x^2
40	Вычислим интеграл	интеграл e^(3x) по x
41	Вычислим интеграл	интеграл cos(2x) по x
42	Trovare la Derivata – d/dx	1/( квадратный корень из x)
43	Вычислим интеграл	интеграл e^(x^2) по x
44	Вычислить	e^infinity
45	Trovare la Derivata – d/dx	x/2
46	Trovare la Derivata – d/dx	-cos(x)
47	Trovare la Derivata – d/dx	sin(3x)
48	Trovare la Derivata – d/dx	1/(x^3)
49	Вычислим интеграл	интеграл tan(x)^2 по x
50	Вычислим интеграл	интеграл 1 по x
51	Trovare la Derivata – d/dx	x^x
52	Trovare la Derivata – d/dx	x натуральный логарифм от x
53	Trovare la Derivata – d/dx	x^4
54	Оценить предел	предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
55	Вычислим интеграл	интеграл x^2 натуральный логарифм x по x
56	Trovare la Derivata – d/dx	f(x) = square root of x
57	Trovare la Derivata – d/dx	x^2sin(x)
58	Вычислим интеграл	интеграл sin(2x) по x
59	Trovare la Derivata – d/dx	3e^x
60	Вычислим интеграл	интеграл xe^x по x
61	Trovare la Derivata – d/dx	y=x^2
62	Trovare la Derivata – d/dx	квадратный корень из x^2+1
63	Trovare la Derivata – d/dx	sin(x^2)
64	Вычислим интеграл	интеграл e^(-2x) по x
65	Вычислим интеграл	интеграл натурального логарифма квадратного корня из x по x
66	Trovare la Derivata – d/dx	e^2
67	Trovare la Derivata – d/dx	x^2+1
68	Вычислим интеграл	интеграл sin(x) по x
69	Trovare la Derivata – d/dx	arcsin(x)
70	Оценить предел	предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
71	Вычислим интеграл	интеграл e^(-x) по x
72	Trovare la Derivata – d/dx	x^5
73	Trovare la Derivata – d/dx	2/x
74	Trovare la Derivata – d/dx	натуральный логарифм 3x
75	Trovare la Derivata – d/dx	x^(1/2)
76	Trovare la Derivata – d/d@VAR	f(x) = square root of x
77	Trovare la Derivata – d/dx	cos(x^2)
78	Trovare la Derivata – d/dx	1/(x^5)
79	Trovare la Derivata – d/dx	кубический корень из x^2
80	Вычислим интеграл	интеграл cos(x) по x
81	Вычислим интеграл	интеграл e^(-x^2) по x
82	Trovare la Derivata – d/d@VAR	f(x)=x^3
83	Вычислим интеграл	интеграл 4x^2+7 в пределах от 0 до 10 по x
84	Вычислим интеграл	интеграл ( натуральный логарифм x)^2 по x
85	Trovare la Derivata – d/dx	логарифм x
86	Trovare la Derivata – d/dx	arctan(x)
87	Trovare la Derivata – d/dx	натуральный логарифм 5x
88	Trovare la Derivata – d/dx	5e^x
89	Trovare la Derivata – d/dx	cos(3x)
90	Вычислим интеграл	интеграл x^3 по x
91	Вычислим интеграл	интеграл x^2e^x по x
92	Trovare la Derivata – d/dx	16 корень четвертой степени из 4x^4+4
93	Trovare la Derivata – d/dx	x/(e^x)
94	Оценить предел	предел arctan(e^x), если x стремится к 3
95	Вычислим интеграл	интеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) по x
96	Trovare la Derivata – d/dx	3^x
97	Вычислим интеграл	интеграл xe^(x^2) по x
98	Trovare la Derivata – d/dx	2sin(x)
99	Вычислить	sec(0)^2
100	Trovare la Derivata – d/dx	натуральный логарифм x^2

Найти значение производной функции y=x/x^2+1 в точке x(0)=0 – Учеба и наука

Лучший ответ по мнению автора

Михаил Александров 14. 02.16 Лучший ответ по мнению автора

Елена Васильевна от 80 p. Читать ответы

✔Олеся / Математика от 100 p. Читать ответы

Андрей Андреевич от 70 p. Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Похожие вопросы

Данный пример использовался на экзамене upsc в декабре 2013 и лишь один человек смог решить его … 1,3,5,7,9,11,13,15 нужно взять 3 числа и только сложением получить 30.

Мастер даёт сеанс одновременной игры в шахматы на нескольких досках. К концу первых двух часов он выиграл 10 процентов всех партий, а 8 партий

Схема района, где живут Маша и Саша, выполнена в масштабе 1:1000. 2 – 2x – 3. Найдите: а)наименьшее значение функции; б) значения x, при которых значение функции равно 5; в) значение…

Пользуйтесь нашим приложением

Как найти производную?

Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в высших учебных заведениях. Невозможно полноценно исследовать функцию, построить ее график без взятия ее производной. Производную функции легко можно найти, зная основные правила дифференцирования, а также таблицу производных основных функций. Давайте разберемся, как найти производную функции.

Производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Понять это определение достаточно сложно, так как понятие предела в полной мере не изучается в школе. Но для того, чтобы находить производные различных функций, понимать определение не обязательно, оставим его специалистам математикам и перейдем сразу к нахождению производной.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. При дифференцировании функции мы будем получать новую функцию.

Для их обозначения будем использовать латинские буквы f, g и др.

Существует много всевозможных обозначений производных. Мы будем использовать штрих. Например запись g’ означает, что мы будем находить производную функции g.

Таблица производных

Для того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных.

1. С’=0
2. (sin x)’=cos x
3. (cos x)’= –sin x
4. (xⁿ)’=n x^n-1
5. (e^x)’=e^x
6. (ln x)’=1/x
7. (a^x)’=a^xln a
8. (log_ax)’=1/x ln a
9. (tg x)’=1/cos²x
10. (ctg x)’= – 1/sin²x
11. (arcsin x)’= 1/√(1-x²)
12. (arccos x)’= – 1/√(1-x²)
13. (arctg x)’= 1/(1+x²)
14. (arcctg x)’= – 1/(1+x²)

Пример 1.

Найдите производную функции y=500.

Мы видим, что это константа. По таблице производных известно, что производная константы, равна нулю (формула 1).

(500)’ = 0

Пример 2. Найдите производную функции y=x

¹⁰⁰.

Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3).

(x¹⁰⁰)’=100 x⁹⁹

Пример 3. Найдите производную функции y=5

^x

Это показательная функция, вычислим ее производную по формуле 4.

(5^x)’= 5^xln5

Пример 4. Найдите производную функции y= log

₄x

Производную логарифма найдем по формуле 7.

(log₄x)’=1/x ln 4

Правила дифференцирования

Давайте теперь разберемся, как находить производную функции, если ее нет в таблице. Большинство исследуемых функций, не являются элементарными, а представляют собой комбинации элементарных функций с помощью простейших операций (сложение, вычитание, умножение, деление, а также умножение на число). Для нахождения их производных необходимо знать правила дифференцирования. Далее буквами f и g обозначены функции, а С – константа.

1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак производной

(С f)’=С f’

Пример 5. Найдите производную функции y= 6*x

⁸

Выносим постоянный коэффициент 6 и дифференцируем только x⁴. Это степенная функция, производную которой находим по формуле 3 таблицы производных.

(6*x⁸)’ = 6*(x⁸)’=6*8*x⁷=48* x⁷

2. Производная суммы равна сумме производных

Тогда:

(f + g)’=f’ + g’

Пример 6. Найдите производную функции y= x

¹⁰⁰+sin x

Функция представляет собой сумму двух функций, производные которых мы можем найти по таблице. Так как (x¹⁰⁰)’=100 x⁹⁹ и (sin x)’=cos x. Производная суммы будет равна сумме данных производных:

(x¹⁰⁰+sin x)’= 100 x⁹⁹+cos x

3. Производная разности равна разности производных

(f – g)’=f’ – g’

Пример 7.

Найдите производную функции y= x¹⁰⁰ – cos x

Эта функция представляет собой разность двух функции, производные которых мы также можем найти по таблице. Тогда производная разности равна разности производных и не забудем поменять знак, так как (cos x)’= – sin x.

(x¹⁰⁰ – cos x)’= 100 x⁹⁹ + sin x

Пример 8. Найдите производную функции y=e

^x+tg x– x².

В этой функции есть и сумма и разность, найдем производные от каждого слагаемого:

(e^x)’=e^x, (tg x)’=1/cos²x, (x²)’=2 x. Тогда производная исходной функции равна:

(e^x+tg x– x²)’= e^x+1/cos²x –2 x

4. Производная произведения

(f * g)’=f’ * g + f * g’

Пример 9. Найдите производную функции y= cos x *e

^x

Для этого сначала найдем производного каждого множителя (cos x)’=–sin x и (e^x)’=e^x. Теперь подставим все в формулу произведения. Производную первой функции умножим на вторую и прибавим произведение первой функции на производную второй.

(cos x* e^x)’= e^xcos x – e^x*sin x

5. Производная частного

Тогда:

(f / g)’= f’ * g – f * g’/ g²

Пример 10. Найдите производную функции y= x

⁵⁰/sin x

Чтобы найти производную частного, сначала найдем производную числителя и знаменателя отдельно: (x⁵⁰)’=50 x⁴⁹ и (sin x)’= cos x. Подставив в формулу производной частного получим:

(x⁵⁰/sin x)’= 50x⁴⁹*sin x – x⁵⁰*cos x/sin²x

Производная сложной функции

Сложная функция – это функция, представленная композицией нескольких функций. Для нахождения производной сложной функции также существует правило:

(u (v))’=u'(v)*v’

Давайте разберемся как находить производную такой функции. Пусть y= u(v(x)) – сложная функция. Функцию u назовем внешней, а v – внутренней.

Например:

y=sin (x³) – сложная функция.

Тогда y=sin(t) – внешняя функция

t=x³ – внутренняя.

Давайте попробуем вычислить производную этой функции. По формуле необходимо перемножить производные внутренней и внешней функции.

(sin t)’=cos (t) – производная внешней функции (где t=x³)

(x³)’=3x² – производная внутренней функции

Тогда (sin (x³))’= cos (x³)* 3x²– производная сложной функции.

Алгебра: уроки, тесты, задания.

• Предметы

1. 1. Числовые выражения.

      Алгебраические выражения

   2. Математический язык

   3. Математические модели реальных ситуаций

   4. Линейное уравнение с одной переменной. Алгоритм решения

   5. Координатная прямая.

      Числовые промежутки

2. 1. Координатная плоскость. Координаты точки

   2. Линейное уравнение ax + by + c = 0. График линейного уравнения

   3. Линейная функция y = kx + m. График линейной функции

   4. Линейная функция y = kx, её свойства

   5. Взаимное расположение графиков линейных функций

3. 1. Понятие системы линейных уравнений с двумя переменными

   2. Решение систем линейных уравнений.

      Метод подстановки

   3. Решение систем линейных уравнений. Метод сложения

   4. Система линейных уравнений как математическая модель

4. 1. Понятие степени с натуральным показателем

   2. Часто используемые степени

   3. Базовые свойства степеней с натуральным показателем

   4. Умножение и деление степеней с одинаковыми натуральными показателями

   5. Понятие степени с нулевым показателем

5. 1. Понятие одночлена.

      Приведение одночлена к стандартному виду

   2. Сложение и вычитание подобных одночленов

   3. Произведение одночленов и возведение одночлена в степень

   4. Деление одночленов

6. 1. Понятие многочлена.

      Приведение многочлена к стандартному виду

   2. Как складывать и вычитать многочлены

   3. Как умножать многочлен на одночлен

   4. Как умножать многочлен на многочлен

   5. Применение формул сокращённого умножения

   6. Как делить многочлен на одночлен

7. 1. Понятие разложения многочленов на множители

   2. Разложение на множители.

      Вынесение общего множителя за скобки

   3. Разложение на множители. Способ группировки

   4. Разложение на множители. Использование формул сокращённого умножения

   5. Разложение на множители. Сочетание различных приёмов

   6. Применение разложения на множители для сокращения алгебраических дробей

   7. Понятие тождества

8. 1. Квадратичная функция y = x² и её график

   2. Решение уравнений графическим методом

   3. Запись функции в виде у = f(x)

9. 1. Digital-олимпиада

   2. Международная олимпиада ЯКласс

1. 1. Понятие алгебраической дроби

   2. Применение основного свойства алгебраической дроби

   3. Как складывать и вычитать алгебраические дроби с равными знаменателями

   4. Как складывать и вычитать алгебраические дроби с разными знаменателями

   5. Как умножать, делить и возводить в степень алгебраические дроби

   6. Упрощение рациональных выражений

   7. Решение рациональных уравнений

2. 1. Множества натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел

   2. Множество рациональных чисел

   3. Понятие квадратного корня

   4. Понятие иррационального числа

   5. Множество действительных чисел и её геометрическая модель

3. 1. Модуль действительного числа и его геометрический смысл

   2. Функция квадратного корня y = √x, её свойства и график

   3. Базовые свойства квадратных корней

   4. Преобразование иррациональных выражений

4. 1. Квадратичная функция y = ax² и её свойства.

      Парабола

   2. Функция y = k/x и её свойства. Гипербола

   3. Как построить график функции у = f(x + l)

   4. Как построить график функции у = f(x) + m

   5. Как построить график функции y = f(x + l) + m

   6. Квадратичная функция y = ax² + bx + c

   7. Решение квадратных уравнений с помощью графиков функций

5. 1. Какие бывают квадратные уравнения

   2. Способы решения квадратных уравнений

   3. Решение рационального уравнения, сводящегося к квадратному

   4. Использование рациональных уравнений для решения задач

   5. Упрощённая формула для решения квадратного уравнения

   6. Применение теоремы Виета

   7. Решение иррационального уравнения, сводящегося к квадратному

6. 1. Понятие числовых промежутков

   2. Свойства числовых неравенств.

      Свойства неравенств одинакового смысла

   3. Как решать линейное неравенство

   4. Методы решения квадратных неравенств

   5. Понятие монотонности функции. Исследование функций на монотонность

   6. Приближённые значения по недостатку (по избытку)

   7. Понятие степени с отрицательным целым показателем

   8. Стандартный вид положительного числа

7. 1. Digital-олимпиада

   2. Международная олимпиада ЯКласс

1. 1. Повторение способов решения линейных и квадратных неравенств

   2. Решение рациональных неравенств методом интервалов

   3. Множества и подмножества.

      Объединение и пересечение множеств

   4. Системы рациональных неравенств

2. 1. Понятие системы рациональных уравнений

   2. Методы решения систем рациональных уравнений

   3. Использование систем рациональных уравнений для решения задач

3. 1. Определение числовой функции и способы её задания

   2. Свойства основных функций

   3. Чётные и нечётные функции.

      Определение чётности и нечётности

   4. Степенная функция с натуральным показателем

   5. Степенная функция с отрицательным целым показателем

   6. Функция кубического корня

4. 1. Понятие числовой последовательности.

      Способы задания последовательностей

   2. Арифметическая прогрессия. Свойства арифметической прогрессии

   3. Геометрическая прогрессия. Свойства геометрической прогрессии

5. 1. Элементы комбинаторики.

      Комбинаторные задачи

   2. Элементы статистики. Методы обработки информации

   3. Элементы теории вероятности. Нахождение вероятности

   4. Относительная частота и статистическая вероятность события

6. 1. Международная олимпиада ЯКласс

1. 1. Натуральные числа.

      Повторение

   2. Рациональные числа. Повторение

   3. Иррациональные числа. Повторение

2. 1. Обратимая и обратная функции

   2. Понятие периодической функции (профильный)

3. 1. Числовая окружность на координатной плоскости

   2. Нахождение значений синуса и косинуса, тангенса и котангенса

   3. Числовой аргумент тригонометрических функций

   4. Угловой аргумент тригонометрических функций

   5. Свойства функции y = sin x и её график

   6. Свойства функции y = cos x и её график

   7. Периодичность тригонометрических функций, чётность, нечётность

   8. Гармонические колебания (профильный)

   9. Свойства функций y = tg x, y = ctg x и их графики

   10. Функции y = arcsin a, y = arccos a, y = arctg a, y = arcctg a (профильный)

4. 1. Арккосинус и решение уравнения cos х = a

   2. Арксинус и решение уравнения sin x = a

   3. Арктангенс и арккотангенс.

      Решение уравнений tg x = a, ctg x = a

   4. Методы, используемые для решения тригонометрических уравнений

5. 1. Формулы синуса суммы и разности, косинуса суммы и разности

   2. Тангенс суммы и разности

   3. Формулы приведения.

      Общее правило

   4. Формулы синуса, косинуса, тангенса двойного угла

   5. Формулы понижения степени, или формулы половинного угла (профильный)

   6. Формулы сумм тригонометрических функций

   7. Формулы произведений тригонометрических функций

   8. Метод введения вспомогательного угла (профильный)

6. 1. Числовые последовательности и их свойства

   2. Понятие предела числовой последовательности

   3. Как найти сумму бесконечной геометрической прогрессии

   4. Предел функции в точке.

      Предел функции на бесконечности

   5. Определение производной. Геометрический и физический смысл производной

   6. Вычисление производных. Правила дифференцирования

   7. Как получить уравнение касательной к графику функции

   8. Исследование функций на монотонность и экстремумы

   9. Исследование выпуклости и перегиба, построение графиков функции

   10. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших величин

1. 1. Понятие корня n-й степени из действительного числа

   2. Функция корня n-й степени

   3. Свойства корня n-й степени.

      Преобразование иррациональных выражений

   4. Способы упрощения выражений, содержащих радикалы

   5. Понятие степени с рациональным показателем, свойства степеней

   6. Свойства степенных функций и их графики

2. 1. Свойства показательной функции и её график

   2. Методы решения показательных уравнений

   3. Методы решения показательных неравенств

   4. Понятие логарифма.

      Основное логарифмическое тождество

   5. Свойства логарифмической функции и её график

   6. Базовые свойства логарифмов

   7. Методы решения логарифмических уравнений

   8. Методы решения логарифмических неравенств

   9. Переход к новому основанию логарифма

   10. Системы показательных и логарифмических уравнений

   11. Системы логарифмических и показательных неравенств

   12. Производная показательной и логарифмической функции

3. 1. Понятие первообразной

   2. Неопределённые и определённые интегралы.

      Методы интегрирования

   3. Вычисление площадей с помощью интегралов

4. 1. Правило суммы

   2. Правило произведения

   3. Перестановки.

      Перестановки без повторений

   4. Размещения. Размещения с повторениями

   5. Сочетания и их свойства

   6. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

5. 1. Какие бывают случайные события

   2. Комбинации событий.

      Противоположные события

   3. Вероятность события

   4. Сложение вероятностей

   5. Независимые события. Умножение вероятностей

   6. Статистическая вероятность

6. 1. Случайные величины

   2. Центральные тенденции

   3. Меры разброса

   4. Закон распределения вероятностей.

      Закон больших чисел

7. 1. Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности уравнений

   2. Общие методы решения уравнений

   3. Равносильность неравенств. Системы и совокупности неравенств

   4. Уравнения и неравенства с двумя переменными

   5. Общие методы решения систем уравнений

   6. Уравнения и неравенства с параметром

1. Коллекция интерактивных моделей

.

3+√(9-3x)

Похожие вопросы:

Алгебра, 26.02.2019, Dzjeihunqasanov

.(Некоторое число уменьшили на 15% ,а затем результат увеличили на 10%.после это…

60/5=12 км скорость велосипедиста 12*2=24 км до станции 24/60= 40 мин  …Подробнее

60/5=12 км скорость велосипедиста 12*2=24 км до станции 24/60= 40 мин  …

ответов: 4

Алгебра, 27.02.2019, Kristina8478

Из пункта m в пункт n, расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно…

1) 5-3=2 яблока осталось…Подробнее

1) 5-3=2 яблока осталось…

ответов: 4

Алгебра, 28.02.2019, helen15111983

.(Если в первый кошелёк добавить 100 рупий, то будет вдвое больше, чем во втором…

пусть имеем раствора величиной x, тогда поскольку оба раствора имеют одинаковое количество, то в первом растворе содержится соли 0,15x, а во втором – 0,3x. 2-17x+30=0 d=169 x=15 x…

ответов: 2

Алгебра, 28.02.2019, Алёна1570

.(Разом 2кг огірків і 4кг помідорів коштують 26грн, а 3кг огірків і 5кг помідорі…

1) 1³-1=0, 2³-1=7, 3³-1=26, 4³-1=63, 5³-1= т.е. a[n]=n³-1. 2) 3⁰-1=0, 3¹-1=2, 3²-1=8, 3³-1=26, 3⁴-1= т.е. a[n]=3ⁿ-1. 3) 2⁰=1, 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴= т.е. a[n]=2ⁿ….Подробнее

1) 1³-1=0, 2³-1=7, 3³-1=26, 4³-1=63, 5³-1= т.е. a[n]=n³-1. 2) 3⁰-1=0, 3¹-1=2, 3²-1=8, 3³-1=26, 3⁴-1= т.е. a[n]=3ⁿ-1. 3) 2⁰=1, 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴= т.е. a[n]=2ⁿ….

ответов: 3

Алгебра, 28.02.2019, vilnur345

.(Найдите координаты точек, в которых прямая mn, где m(2; 4) и n(5; -2),пересека…

чтобы выяснить, проходит ли прямая 5x-2y=1 через точку, надо подставить координаты этой точки вместо х и у и посмотреть будет ли равенство верным. f(5; 12) 5*5-2*12=25-24=1 – равен…Подробнее

чтобы выяснить, проходит ли прямая 5x-2y=1 через точку, надо подставить координаты этой точки вместо х и у и посмотреть будет ли равенство верным. f(5; 12) 5*5-2*12=25-24=1 – равен…

ответов: 3

Алгебра, 01.03.2019, вевпончд

Сумма двух чисел равна 46, а сумма их квадратов равна 1130 . найдите эти числа…

  {-4x=8   {5x-2y=6   {x=8: (-4) {5x-2y=6   {x=-2 {5(-2)-2y=6   {x=-2 {-10-2y=6   {x=-2 {-2y=6+10   {x=-2 {-2y=16   {x=-2 {y=16: (-2)…Подробнее

  {-4x=8   {5x-2y=6   {x=8: (-4) {5x-2y=6   {x=-2 {5(-2)-2y=6   {x=-2 {-10-2y=6   {x=-2 {-2y=6+10   {x=-2 {-2y=16   {x=-2 {y=16: (-2)…

ответов: 4

Алгебра, 01.03.2019, shastononelove2

Як змінится обєм куба, якщо його ребро збільшити удвічі?…

Х- г серной кислоты в у – г раствора было первоначально; х/у -% содержание вещества в растворе; х/у=0,3; х=0, х/(у+60)=0,1; решаем 0,3у=0,1(у+ 0,2у= у=30 – г раствора было пе…Подробнее

Х- г серной кислоты в у – г раствора было первоначально; х/у -% содержание вещества в растворе; х/у=0,3; х=0, х/(у+60)=0,1; решаем 0,3у=0,1(у+ 0,2у= у=30 – г раствора было пе. 2…

765,1 это 100% 7,651 это 1% 7,651×6=45,906p. 765,1-45,906=719,194 ответ: 719,194…Подробнее

765,1 это 100% 7,651 это 1% 7,651×6=45,906p. 765,1-45,906=719,194 ответ: 719,194…

ответов: 4

Алгебра, 01.03.2019, stasyaverh

4sin*690(градусов)-8cos(во 2ой)*210(градусов)+корень из 27 ctg660(градусов)…

1 a) sin58*cos13* – cos 58*sin13*=sin(58-13)=sin(45)=√2/2 b) cos pi/12 cos 7pi/12- sin pi/12sin 7pi/12=cos(pi/12+ 7pi/12)= =cos(8pi/12)=-1/2 2 a) cos(t-s) – sin t sin s=cost cos s+…Подробнее

1 a) sin58*cos13* – cos 58*sin13*=sin(58-13)=sin(45)=√2/2 b) cos pi/12 cos 7pi/12- sin pi/12sin 7pi/12=cos(pi/12+ 7pi/12)= =cos(8pi/12)=-1/2 2 a) cos(t-s) – sin t sin s=cost cos s+…

ответов: 2

Алгебра, 02.03.2019, КсенияВиленская

Тема сложение и вычитание одночленов ! первое число 1,5 раза больше второго. из…

пенал – п; ластик – л; карандаш – к; тетрадь – т; система: п+л=40;       (1)                 л+к=12;  . ..Подробнее

пенал – п; ластик – л; карандаш – к; тетрадь – т; система: п+л=40;       (1)                 л+к=12;  …

ответов: 3

Алгебра, 02.03.2019, Гавноед24

Решите уравнение: lg(x-5)+lg5=lg(3x-1)…

b14=q b13=b14/q=1…Подробнее

b14=q b13=b14/q=1…

ответов: 4

Мэтуэй | Популярные задачи

92) 9(3x) по отношению к x 92+1

1	Найти производную – d/dx	бревно натуральное х
2	Оценить интеграл	интеграл натурального логарифма x относительно x
3	Найти производную – d/dx
21	Оценить интеграл	интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22	Найти производную – d/dx	грех(2x)
23	Найти производную – d/dx
41	Оценить интеграл	интеграл от cos(2x) относительно x
42	Найти производную – d/dx	1/(корень квадратный из х)
43	Оценка интеграла 9бесконечность
45	Найти производную – d/dx	х/2
46	Найти производную – d/dx	-cos(x)
47	Найти производную – d/dx	грех(3x)
68	Оценить интеграл	интеграл от sin(x) по x
69	Найти производную – d/dx	угловой синус(х)
70	Оценить предел	ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85	Найти производную – d/dx	лог х
86	Найти производную – d/dx	арктан(х)
87	Найти производную – d/dx	бревно натуральное 5х92

Мэтуэй | Популярные задачи

92) 9(3x) по отношению к x 92+1

1	Найти производную – d/dx	бревно натуральное х
2	Оценить интеграл	интеграл натурального логарифма x относительно x
3
21	Оценить интеграл	интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22	Найти производную – d/dx	грех(2x)
23	Найти производную – d/dx
41	Оценить интеграл	интеграл от cos(2x) относительно x
42	Найти производную – d/dx	1/(корень квадратный из х)
43	Оценка интеграла 9бесконечность
45	Найти производную – d/dx	х/2
46	Найти производную – d/dx	-cos(x)
47	Найти производную – d/dx	грех(3x)
68	Оценить интеграл	интеграл от sin(x) по x
69	Найти производную – d/dx	угловой синус(х)
70	Оценить предел	ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85	Найти производную – d/dx	лог х
86	Найти производную – d/dx	арктан(х)
87	Найти производную – d/dx	бревно натуральное 5х92

Производная от y = x³.

Производная y = 1/x

Содержание | Главная

Производная. Урок 5, Раздел 2. Задачи

Назад к разделу 1

Производная f ( x ) = 2 x − 5

Уравнение касательной к кривой

Производная от f ( х ) = х ³

Задача 1.   Пусть f ( x ) = 2 x − 5,

а)  Запишите частное разности и упростите его.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите “Обновить” (“Reload”).
Сначала решай задачу сам!

ф ( x + ч ) − ж ( x )            ч	=	2( x + h ) − 5 − (2 x − 5)               h
	=	2 x + 2 ч – 5 – 2 x + 5              ч
	=	2 ч   ч
	=	2.

b) Оценить f ‘ ( x ) при x = 9 и при x = -9.

f ( x )	=		2
	=	2,

по теореме 4 урока 2.

Скорость изменения f ( x ) равна 2 для всех значений x . е ( х ) постоянна. Но это должно быть очевидно. y = 2 x  – 5 – это уравнение прямой линии, у которой 91 817 наклона 91 818 равно 2. (Тема 9 предварительного исчисления.) А значение наклона прямой линии – это скорость изменения 91 817 × 91 818. по отношению к x — столько единиц y на каждую единицу x .

Касательной к прямой линии нет, поскольку касательная по определению касается кривой только в одной точке.

г.

Пример. Уравнение касательной к кривой.

a)  Рассчитайте наклон линии, касательной к y = x ² в точке
a)  на кривой, где x = 4,

б)  Каково уравнение этой прямой?

Раствор.

а) Наклон касательной к кривой при x = 4 представляет собой значение
а) производная от x = 4. Производная от y = x ² равна 2 x . Следовательно, при
a) x = 4 наклон касательной равен 8.

б)  Уравнение прямой имеет следующий вид:

у = ах + б ,

, где a — наклон линии. Следовательно, поскольку a = 8, уравнение равно 9.1811 г.

у = 8 х + б .

Чтобы найти значение b , мы можем действовать так же, как в решении 1 задачи 1 из урока 34 алгебры. Поскольку x = 4 в функции y = x ² , то y = 16. пара координат (4, 16) решит это уравнение:

16	=	8 ·  4 + б
	=	32 + б .
Поэтому
б	=	−16.

Уравнение касательной

у = 8 х – 16,

г.

См. проблему 2f) ниже.

Проблема 2 .

a)  Вычислите производную от   f ( x ) = x ³ . Следуйте последовательности
а)   Задача 1.

a)   [Hint:  ( a + b ) ³ = a ³ + 3 a ² b + 3 a b ² + b ³ . Тема 25 предварительного исчисления.]

f ( x + ч ) − f ( x )        900 ч	=	( x + ч ) 3 − x 3          ч
	=	x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 − x 3                  h
	=	3 x 2 ч + 3 x ч 2 + ч 3            ч
	=	3 x 2 + 3 x ч + ч 2 .
f ‘ ( x )	=		(3 х 2 + 3 x ч + ч 2 )
	=	3 x 2 .

b)   Оценить наклон касательной к y = x ³ при x = 4,

Наклон при x равен 3 x ² . Следовательно, при x = 4 наклон равен 3 ·  16 = 48,

.

c) Оцените наклон касательной к y = x ³ при x = −2.

3 ·  (−2) ² = 3 ·  4 = 12.

d) Какова скорость изменения f ( x ) = x ³ при x = −1.

3 ·  (−1) ² = 3 ·  1 = 3.

При x = −1 функция увеличивается со скоростью 3 единицы y на единицу x .

e) Какова скорость изменения этой функции при x = 5,

3 ·  5 ² = 3 ·  25 = 75.

При x = 5 функция увеличивается со скоростью 75 единиц по и на единицу x .

f)   Уравнение касательной к y = x ³ при x = 5,

При x = 5 наклон касательной равен 75. Следовательно, уравнение касательной будет

у = 75 х + б .

Чтобы найти b , действуйте, как в примере выше.

г.

Когда x = 5, тогда y = x ³ = 125, так что пара (5, 125) решает это уравнение.

125 = 75 ·  5 + б .

Следовательно, б = -250. Уравнение касательной

у = 75 х – 250.

Задача 3.   Докажите:   Прямая, касающаяся y = x ² в точке ( a , a ² ), делит пополам расстояние a от начала координат.

Пусть x будет x точкой пересечения касательной. Затем мы должны доказать, что х = a /2.

Вертикальный катет этого прямоугольного треугольника равен a ² . Горизонтальный отрезок равен a − x . Следовательно, наклон этой линии равен

a 2     a − x

.

Но наклон этой линии равен 2 a , потому что производная от x ² равна 2 x . Следовательно,

a 2     a − x	=	2 и
a 2	=	2 и ( и − x )
и	=	2( а – х ) = 2 а – 2 х
2 x	=	2 a − a = a
x	=	и 2

Задача 4.

а)   Показать:

д   дх

1 х

= −

1  x 2

.

г   дх		1 х	=
			=

Чтобы увидеть, как было упрощено разностное частное, см. Урок 3 Предварительного исчисления, Задача 11c.

б) Какова скорость изменения функции при x = 4?

При x = 4, −

1  x 2

= −

1  16

. Функция убывает со скоростью

из

1  16

единицы размера и единицы размера x .

c) Какова скорость изменения функции при x = ¼?

В x = ¼,  –

1  x 2

= -16. Функция убывает на

скорость 16 единиц и на единицу x .

Посмотрите на график. Чем ближе к 0, тем больше скорость изменения. Чем дальше от 0, тем меньше скорость изменения.

г.

В каждой точке этого графика касательная имеет отрицательный наклон — производная всегда отрицательна. При движении слева направо значения этой функции всегда уменьшаются.

Получаем следующий результат:

г   дх

1 х

= −

1  x 2

.

То есть

г   дх

x −1  = − x −2 . Оставить комментарий Отменить ответ Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться. Меню Поиск: