Найти производную онлайн в точке: Значение производной в точке. Онлайн калькулятор с примерами - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Дифференцирование обратной функции – презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Математика. Лекция 11.

Дифференцирование.

2. Дифференцирование обратной функции.

Теорема. Пусть функция
y f ( x ) возрастает (или убывает) в некоторой окрестности
x g ( y ). Если в точке x0
и имеет непрерывную обратную функцию
функция y f ( x ) имеет производную y x f ( x0 ) 0, то обратная функция имеет
точки
x0
производную в соответствующей точке y0 f ( x0 ), причем
1
1
x y g ( y 0 )
или x y
.

f ( x0 )
yx
Производная функции y arctgx.
Функция y arctgx, определенная на бесконечной прямой x , является
обратной для функции x tgy, определенной на интервале y . Из формулы
2
2
следует, что
1
1
1
1
y x ( arctgx)
2
2
x y (tgy) 1 sin y cos y
2
2
cos y
cos y
1
1
2
2
.
tg y 1 x 1
1
Итак, ( arctgx)
.
2
1 x

3. Производная функции, заданной параметрически.

Теорема. Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана
параметрическими уравнениями:
x t ,
t ( a , b ),
y
t
,
где t – вспомогательная переменная, называемая параметром. Пусть функции t и
(t ) имеют производные в некоторой точке t ( a , b ) : yt t , xt t 0. Кроме
того, функция x (t ) в окрестности точки t имеет обратную функцию t g ( x ).
Тогда определенная параметрическими уравнениями функция y=f(x) также имеет
производную в точке x t , причем
y’
y’ x t .

x’ t

4. Производная функции, заданной параметрически.

Пример . Найти производную функции, заданной параметрически:
x t 3 5t ,
.
2
y t t 2.
Решение. Имеем: x’t 3t 2 5,
Следовательно, производная равна:
y’t 2t 1.
y’ x
y’t
2t 1
2
.
x’ t 3t 5

5. Производные высших порядков

Если функция f(x) в каждой точке некоторого промежутка имеет производную, то
эта производная f ‘(x) является новой функцией на данном промежутке. Если функция
f ‘(x) тоже имеет производную, то её производная называется второй производной
или производной второго порядка и обозначается y” или f”(x). Таким образом, по
определению:
f ″(x) = (f ‘(x) )’.
Производная от производной второго порядка, если она существует, называется
третьей производной или производной третьего порядка и обозначается y”‘ (или f'”(x)):
f ″′(x) = (f ″(x))’.
Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от
производной (n – 1) порядка:
f(n)(x) = (f(n-1)(x))’.

Начиная с производной четвёртого порядка, производные обозначают римскими
цифрами или числами в скобках (yIV или y(4) – производная четвёртого порядка).

6. Механический смысл второй производной.

Пусть закон движения материальной точки по некоторой прямой линии имеет вид
S = S(t). Известно , что первая производная S'(t) равна скорости точки в данный момент
времени t:
v(t) = S'(t).
По определению второй производной S”(t) = v'(t), а v'(t) – скорость изменения v(t)
в момент t. Как известно из механики, величина v′(t) является ускорением α в момент
времени t. Итак, вторая производная S”(t) от пути по времени есть ускорение
прямолинейного движения точки:
α(t) = S”(t).
1
Например, если S = gt 2 (g – постоянное ускорение свободного падения), то
2
скорость
v(t) = S'(t) = gt, а ускорение α (t) = v'(t) = S”(t) = g.

7. Правило Лопиталя.

Теорема.
Пусть для функций f(x) и φ(х) выполнены следующие условия:
а) они определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х0 за
исключением, быть может, самой точки х0 , причем φ(х) ≠ 0 и φ'(х) ≠ 0 в указанной
окрестности;
б) функции f(x) и φ(х) при х→х0 совместно стремятся к 0 или ∞ :
lim f ( x) lim ( x) 0
x x0
или
x x0
f ( x ) lim ( x ) ;
lim
x x
x x
0
0
в) существует (конечный или бесконечный) предел отношения производных:
f ( x )
.

lim
(
x
)
x x0
Тогда существует и предел отношения функций, равный пределу отношения
производных:
f ( x)
f ( x )
.
lim
lim
x x0 ( x )
x x0 ( x )
1. Правило Лопиталя справедливо и при х→∞ (при соответствующих условиях).
2. Правило Лопиталя можно применять несколько раз.

8. Правило Лопиталя.

Пример . Найти
x sin x
lim
x 0
3
.
x
x sin x 0
( x sin x )
1 cos x 0
lim
lim
3
2
0 lim ( x 3 )
x
3
x
0
x 0
x 0
x 0
Решение.
(1 cos x )
sin x 0
(sin x )
cos x 1
lim
.
lim
lim
lim
2
6
6
(3 x )
0 x 0 (6 x )
x 0
x 0 6 x
x 0
ln x
Пример . Найти lim
.
x
x
Решение.
ln x
(ln x )
1
0.
lim
lim
lim ( x )
x
x
x
x
x
Пример . Найти
lim
x
x2
.
ex
Решение.
lim
x
( x 2 )
2x
=
lim
lim =
e x x (e x ) x e x
(2 x )
2
= lim x lim x 0.

x ( e )
x e
x2

9. Дифференциал функции.

Определение.
Функция y = f(x), имеющая конечную производную в точке
дифференцируемой в точке x.
Пусть функция
y = f(x) имеет в точке x производную
f ‘(x) = lim
x 0
x, называется
y
. Тогда по
x
теореме о связи предела и бесконечно малой, имеем:
y
f ‘(x) + α, где lim α = 0.
x 0
x
Умножив обе части последнего равенства на Δx, получим приращение функции Δy в виде:
Δy = f ‘(x)∙Δx + α∙Δx.
Определение. Дифференциалом функции y = f(x) в точке x называется главная
часть её приращения, равная произведению производной функции на приращение
аргумента. Дифференциал обозначается
dy = f ‘(x) ∙Δx.

10. Дифференциал функции.

Найдём дифференциал независимой переменной x, т.е. дифференциал функции y = x:
dy = dx = (x)’∙Δx = Δx.
Таким образом, dx = Δx.
Поэтому дифференциал функции равен произведению производной функции на
дифференциал независимой переменной:
dy = f ‘(x)dx.

dy
f ‘ ( x ).
Из формулы следует равенство
dx
dy
можно рассматривать как отношение
Теперь обозначение производной
dx
дифференциалов dy и dx.
Пример 1. Найти дифференциал функции y = tg3x.
Решение. По формуле находим:
3dx
1
.
=
∙3dx
dy = (tg3x)’dx =
2
2
cos 3x
cos 3x

11. Геометрический смысл дифференциала функции.

Дифференциал
функции y = f(x) в точке
x равен приращению
ординаты касательной к
графику функции в
точке M(x, f(x)), когда
аргумент x получит
приращение Δx.

12. Основные свойства дифференциалов.

Свойство 1. Дифференциал постоянной равен нулю:
dc = 0.
Действительно:
dc = c’dx = 0∙dx = 0.
Свойство 2. Постоянное число можно выносить за знак дифференциала:
d(cu) = cdu.
Действительно:
d(cu) = (cu)’dx = c∙u’dx = cdu.
Свойство 3. Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме
дифференциалов:
d(u + v) = du + dv.

Действительно,
d(u + v) = (u + v)’dx = u’dx + v’dx = du + dv.

13. Основные свойства дифференциалов.

Свойство 4. Дифференциал произведения дифференцируемых функций находится
по формуле:
d(uv) = udv + vdu.
Свойство 5. Дифференциал частного дифференцируемых функций находится по
формуле:
u vdu udv
d
( v 0).
2
v
v
Свойство 6. Инвариантность формы дифференциала.
Рассмотрим дифференцируемые функции
u = u(x),
y = f(u). Тогда
дифференциал сложной функции y = f(u(x)) находится по формуле:
dy = f ‘(u)du.
Если сравним последнюю формулу с определением дифференциала, то
получим, что дифференциал имеет неизменную (инвариантную) форму относительно
аргумента.
Действительно, по формуле производной сложной функции имеем:
dy = (f(u(x)))’dx = f ‘(u) ∙u'(x)dx = f ‘(u)du,
т.к. du = u'(x)dx.
Таблица дифференциалов основных элементарных функций.
1. d x a ax a 1dx .
2. d ( a x ) a x ln a dx, d (e x ) e x dx.

1
dx
dx, d (ln x ) .
x ln a
x
4. d (sin x ) cos xdx.
5. d (cos x ) sin xdx.
dx
6. d (tgx)
.
2
cos x
dx
7. d (ctgx) 2 .
sin x
dx
8. d (arcsin x )
при x 1.
2
1 x
dx
9. d (arccos x )
при x 1.
2
1 x
dx
10. d (arctgx)
.
2
1 x
dx
11. d (arcctgx )
.
2
1 x
3. d (log a x )

15. Применение дифференциала в приближенных вычислениях значений функции.

Перейдем к применению дифференциала в приближенных вычислениях
значений функции.
Пусть известно значение функции
и её производной в точке .
Покажем, как найти значение функции в точке х, близкой к
.
.
Рассмотрим приращение функции
при малых приращениях аргумента
:
y dy y ‘ dx y ‘ x
Так как
откуда
, то
,
.
Пример. Вычислим приближенно 1,0003 с помощью дифференциала.
Для этого используем функцию y x . Найдем значение этой функции
при x 1,0003 .

Ближайшее к нему значение, для которого точно известно
значение функции – это x0 1 , значение функции y0 1 1 .
Найдем производную функции, чтобы применить приближенную формулу.
y ‘
1
2 x
, значение производной y ‘ (1)
1
2
В результате 1,0003 1 (1,0003 – 1) 1
0,0003
1,00015 .
2
1
2 1
1
.
2

English Русский Правила

Найти производную второго порядка | Онлайн калькулятор

Все калькуляторы

Учеба и наука

Математика

/ Найти производную второго порядка

Данный онлайн калькулятор позволяет находить производную функции второго порядка.
Производная служит обобщенным понятием скорости изменения функции. Производная f’(x) функции f(x) в точке x – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. x

: Log[a, x]

: Log[x]

: cos[x] или Cos[x]

: sin[x] или Sin[x]

: tan[x] или Tan[x]

: cot[x] или Cot[x]

: sec[x] или Sec[x]

: csc[x] или Csc[x]

: ArcCos[x]

: ArcSin[x]

: ArcTan[x]

: ArcCot[x]

: ArcSec[x]

: ArcCsc[x]

: cosh[x] или Cosh[x]

: sinh[x] или Sinh[x]

: tanh[x] или Tanh[x]

: coth[x] или Coth[x]

: sech[x] или Sech[x]

: csch[x] или Csch[е]

: ArcCosh[x]

: ArcSinh[x]

: ArcTanh[x]

: ArcCoth[x]

: ArcSech[x]

: ArcCsch[x]

[19.67] =19: integral part of (19.67) – выделяет целую часть числа (integerPart)

Производные

Для того, чтобы найти производную функции нужно написать в строке: f[x], x. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: f[x], {x, n}. В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции напишите в окне гаджета: f[x, y, z,…,t], j, где — интересующая Вас переменная. 4), {x,6}.

Select rating12345

Нет голосов

Сообщить об ошибке

Вам помог этот калькулятор?

Предложения и пожелания пишите на

[email protected]

Поделитесь этим калькулятором на форуме или в сети!

Это помогает делать новые калькуляторы.

НЕТ

Смотрите также

Производные функции	Математический анализ	Решение интегралов	Решение неравенств	Решение уравнений
Решение функций	Решение комплексных чисел	Графические построения	Решение логарифмов	Решение прогрессии

Калькулятор производных с шагами | Калькулятор дифференцирования

Определение калькулятора производных с шагами

В исчислении есть два основных понятия, т. е. интегрирование и дифференцирование. Дифференциация обратна интегрированию. Как и интеграция, расчет деривативов носит технический характер и требует надлежащего внимания и внимания.

Калькулятор производных представляет собой онлайн-инструмент, который обеспечивает полное решение дифференцирования. Калькулятор дифференцирования помогает кому-то вычислять производные во время выполнения с помощью нескольких щелчков мыши.

Калькулятор дифференциации предоставляет полезные результаты в виде шагов, которые помогают пользователям и особенно учащимся подробно изучить эту концепцию.

Для вычисления производных по x и y используйте калькулятор неявного дифференцирования с шагами.

Формулы, используемые калькулятором производных

Калькулятор производных обратных функций использует приведенную ниже формулу для нахождения производных функции. Формула производной:

$$ \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{Δx \to 0} \frac{f(x+Δx) – f(x)}{Δx} $$ 92 x $$

Связанный: Нажмите на исчисление, если хотите изучить различные способы нахождения производной функции.

Производные правила, используемые Калькулятором дифференцирования

С помощью производной мы можем найти наклон функции в любой заданной точке. Правила дифференцирования используются для вычисления производной функции. Наиболее важные правила дифференцирования:

Производная константы:
Постоянное множественное правило:

Здесь c = реальное число

Правило суммы и разности:

$$ \frac{d}{dx} (f(x) \pm g(x)) = \frac{d}{dx}f(x) \pm \frac{d}{dx}g(x) $$

Правило продукта:

или

Вы также можете использовать калькулятор производных правил произведения для обучения и практики. 92} $$

Также найдите калькулятор производной частного правила для более точных вычислений.

Этот веб-сайт предоставляет полное решение для дифференцирования и всех расчетов, связанных с деривативами. Найдите калькулятор частичной дифференцировки и калькулятор производной по направлению на этом веб-сайте, чтобы еще больше укрепить свои представления о дифференцировании.

Как работает калькулятор производных?

Калькулятор производных с шагами — это онлайн-инструмент, который использует формулы и правила производных для вычисления точных результатов. Калькулятор дифференциации позволяет пользователям вводить данные в виде уравнения.

Калькулятор дифференцирования затем решает это уравнение, используя другие правила производных или формулы. Если вы хотите продолжить расчет, используйте калькулятор второй производной с шагами.

Кроме того, если вы хотите рассчитать его выше, на этом сайте есть другое решение для вас. Вы можете использовать калькулятор третьей производной с шагами на этой платформе, чтобы получить точные результаты.

Как найти калькулятор производных?

Онлайн-калькулятор производных найти несложно. Вы можете либо ввести полный URL-адрес этого калькулятора дифференциации в своей поисковой системе, либо выполнить поиск в Google по его названию. Вы можете выполнить поиск в Google с помощью «калькулятора производной» или «калькулятора обратной производной», и вы найдете наш новейший и точный онлайн-инструмент.

Связанный: На этой платформе вы также можете найти аппроксимацию касательной с помощью калькулятора линеаризации. Вы также можете получить большую помощь от бесплатного онлайн-калькулятора производных цепного правила.

Как использовать калькулятор производных с шагами?

Наш калькулятор дифференциации очень прост в использовании, так как вам необходимо следовать приведенной ниже процедуре:

Напишите свое уравнение в первом поле ввода или загрузите любое уравнение, нажав на кнопку.
Выберите переменную, которую вы хотите дифференцировать.
Выберите, сколько раз вы хотите различать.
Нажмите кнопку «РАССЧИТАТЬ».

Сразу после нажатия на кнопку расчета наш калькулятор дифференцирования решит ваше уравнение и предоставит подробные результаты. Эти результаты помогут вам понять и изучить концепцию, практикуясь во время выполнения.

Для закрепления расчетов относительно нормальной линии уравнения, вам нужно попробовать калькулятор уравнения нормальной линии, предлагаемый этим веб-сайтом.

Связанные калькуляторы

Существует множество других калькуляторов, связанных с дифференциальным калькулятором, которые вы можете использовать на этом веб-сайте бесплатно. Эти инструменты:

Калькулятор производной в точке
Калькулятор n-й производной
Калькулятор крайних точек
Калькулятор уклона криволинейной линии
Калькулятор производных графиков

Часто задаваемые вопросы

Как дифференцировать функцию f(x)=5,4x+2,4?

Данная функция:

$$ f(x) \;=\; 5,4x+2,4 $$

Дифференциация с обеих сторон по «х»

$$f'(x) \;=\; д/дх(5,4х+2,4)$$

У нас есть,

$$ f'(x) \;=\; д/дх(5,4х)+д/дх(2,4) $$ $$ f'(x) \;=\; 5.

4(1)+0 \;=\; 5,4 $$

Таким образом, мы можем различать эту простую функцию вручную. Кроме того, мы также можем использовать дифференциальный калькулятор функций для онлайн-расчетов.

Как вычислить производную функции?

Чтобы вычислить производную функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Помните, что производная – это вычисление скорости изменения функции.
Применить производную к функции по независимой переменной, входящей в функцию.
Упростите функцию, чтобы получить точное значение производной.

Та же процедура использовалась калькулятором производных для расчета скорости изменения функции в режиме онлайн. 9⁡2x $$

Производная от cos ² x является производной тригнометрической функции, которая несколько сложна для студентов, которые не могут запомнить тригнометрические тождества. Для таких студентов решатель производных является отличным инструментом для вычисления производной тригонометрической функции.

Как отличить e

^x ?

Поскольку производная экспоненциальной функции с основанием “e” равна e ^x , дифференцирование e в степени x эквивалентно самому e в степени x. Математически это записывается как d/dx (e ^х) = е ^х.

Это может оцениваться в дифференцирующем решателе для перекрестной проверки ответа и его шагов онлайн.

Алан Уокер

Последнее обновление 21 ноября, 2022

Я математик, технарь и автор контента. Я люблю решать шаблоны различных математических запросов и писать так, чтобы все могли понять. Математика и технология сделали свое дело, и теперь пришло время извлечь из этого пользу.

Калькулятор производных с шагами | Дифференциальный калькулятор