Что такое производная сложной функции?
Оглавление
Время чтения: 3 минуты
415
Перед тем как говорить о производной сложной функции давайте сначала определимся, что собой представляет сложная функция. Как вы увидите чуть позже, не всякую функцию кажущуюся сложной можно действительно так назвать.
Определение + примеры
Сложной функцией называют функцию, аргумент которой тоже является функцией.
Обозначается сложная функция как f(g(x)). Иногда наружные скобки являются квадратными f[g(x)]. g(x) – аргумент f(g(x)), иногда его называют внутренней функцией.
Уровень вложенности может быть абсолютно любым
y = f (g1 (g2 (g3 (. . . (g n (x)))))).
y=sin (x+1) есть сложная функция т. к. её можно представить в виде двух функций, вложенных одна в другую y = sin(u) и u = x + 1.
y=cos (7x³ -4x²) тоже сложная. Внутренней в ней является: u = 7x³ — 4x².
y = 7x³ — 4x² является простой. Аргументом здесь будет только x.
\end{aligned}\]
Отсюда легко вывести алгоритм или правило нахождения производной сложной функции
Сначала в сложной функции нужно выделить простые. Затем найти их производные, после этого составить произведение из найденных производных. Оно и будет тем, что нам нужно.
Задачи 1 — 5
Найдите производную y = sin3x.
Решение: Запишем в выражение в виде y = (sinx)3. Отсюда ясно, что g = sin(x). Эту производную найти очень легко. Она следующая (sin(x))’ = cos(x).
Производная внутреннего выражения будет (g3)’ = 3u3-1= 3u2.
Из всего этого получаем
y’ = (sinx3)’ = (u3)’
Далее нужно лишь воспользоваться приведённой выше формулой, показывающей, как найти производную сложной функции
В результате получим
y’= (u3)’*u’ = 3u3-1(sinx)’= 3u2cosx = 3sin2xcosx
Ответ: y’ = 3sin2xcosx
Найти производную y = ln(ax2 + c)
Решение: Находим внутреннюю функцию.
Очевидно, что здесь она g = ax2 + c
Производная y’ = (ln(g))’ = 1/g
Производная g’ = a*2x
Из этого по формулам, приведённым выше мы будем иметь
y’ = (1/(ax
Ответ: y’ = (1/(ax2 + c))*u’ = 2ax/(ax2 + c).
Найти y’ = exp(-x2)
Решение: Внутренней здесь будет g = -x2
y’ = (exp(u))’ = exp(-x2)
Производная –x2 = -2x
Из этого имеем
y’ = (exp(-x2))’= exp(-x2)*(-2x) = -2x*exp(-x2)
Ответ: y’ = -2x*exp(-x2).
Как видите, ничего трудного здесь нет, но требуется быть очень внимательным.
Теперь рассмотрим задачу, где вложено не одно, а несколько выражений.
Найти y’=cos³(3x-12)
Решение: Главное правильно выделить все внутренние составляющие указанного выражения.
Первым очевидно будет g1 = 3x – 12
Вторым будет g2 = cos(g1) = cos(3x – 12)
Сначала найдём производную g1.
Она равняется (g1)’ = (3x-12)’ = 3
Затем находим (g2)’ = (cos(u1))’ = — sin(3x-12)
Далее ищем производную внешней функции. Она равна
(cos(3x — 12)3)’ = 3cos2(3x -12)
В результате вычислений получаем
y’ = (3cos2(3x -12))*( — sin(3x-12))*3 = -9cos2(3x -12))*(sin(3x-12))
Не всегда следует сразу выделять вложенные составляющие выражения, производных которого нам нужно найти.
Чему равна y’ = (3/sin2x) + (cos2x/3)
Решение: Выражение представляет собой сумму двух производных, которые следует найти по отдельности и после этого сложить.
Сначала находим (3/sin2x)’, затем (cos2x/3)’. Решением нашей задачи будет их сумма.
В выражении (3/sin2x) вынесем общий множитель за скобки и уже после этого станем искать производную
3*(sin-2x)’ = 3*(-2)sin-3x * (sinx)’ = -6sin-3x * cosx = -(6cosx)/(sin3x)
Далее находим тоже самое делаем со вторым слагаемым.
Не забывайте также, что иногда перед поиском производных выражение можно упростить с помощью различных тригонометрических либо логарифмических преобразований. На сложных функциях это часто приводит к нужному результату, а иногда и вовсе позволяет сразу привести их к простому виду.
Оценить статью (77 оценок):
Поделиться
Краткий курс высшей математики
Краткий курс высшей математики
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГЛАВА I. МЕТОД КООРДИНАТ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 2. Геометрическое изображение действительных чисел. Координаты точки на прямой 3. Абсолютная величина действительного числа 4. Расстояние между двумя точками на прямой § 2. КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Расстояние между двумя точками на плоскости 3. Деление отрезка в данном отношении 4. Координаты точки в пространстве 5. Расстояние между двумя точками в пространстве § 3. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ОСЯМИ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 2. Полярные координаты 3. Зависимость между декартовыми и полярными координатами § 4. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ 2. Понятие функции 3. График функции 5. Основные элементарные функции и их графики 6. Сложные функции. Элементарные функции 7. Целые и дробно-рациональные функции 8.  Функции четные и нечетные. Периодические функции§ 5. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ 2. Нахождение уравнения линии по ее геометрическим свойствам § 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 2. Поворот осей координат ГЛАВА II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. ПРЯМАЯ 2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 3. Уравнение прямой, параллельной оси ординат 4. Общее уравнение прямой и его частные случаи 5. Точка пересечения прямых. Построение прямой по ее уравнению 7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении 8. Пучок прямых 9. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 10. Расстояние от точки до прямой § 2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Окружность 3. Эллипс 4. Гипербола 5. Парабола 6. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как конические сечения 7. Упрощение уравнения кривой второго порядка. График квадратного трехчлена 8.  Уравнение равносторонней гиперболы, асимптоты которой приняты за оси координат10. Преобразование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением координат ГЛАВА III. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ § 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 2. Определитель третьего порядка 3. Понятие об определителях высших порядков § 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными 3. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными 4. Однородная система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными § 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 2. Линейные операции над векторами 4. Проекция вектора на ось и составляются вектора по оси 6. Направляющие косинусы вектора 7. Условие коллинеарности двух векторов 8. Скалярное произведение 9. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов 10.  Косинус угла между двумя векторами11. Векторное произведение 12. Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых векторов 13. Смешанное произведение трех векторов 14. Геометрический смысл смешанного произведения 15. Условие компланарности трех векторов 2. Равенство матриц. Действия над матрицами 3. Обратная матрица 4. Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени § 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 2. Преобразование координат 3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду 4. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка ГЛАВА IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. ПЛОСКОСТЬ 2. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку 3. Общее уравнение плоскости и его частные случаи 4. Построение плоскости по ее уравнению 5. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей 6.  Точка пересечения трех плоскостей§ 2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Общие уравнения прямой 3. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой 4. Канонические уравнения прямой 5. Уравнения прямой, проходящей через две точки 6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых § 3. Прямая и плоскость в пространстве 2. Точка пересечения прямой с плоскостью 3. Расстояние от точки до плоскости 4. Пучок плоскостей § 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Цилиндрические поверхности 3. Конические поверхности 4. Поверхность вращения 6. Гиперболоиды 7. Параболоиды ГЛАВА V. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ § 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 2. Предел функции при х -> -оо 3. Предел функции при х->х0 4. Бесконечно малые функции. Ограниченные функции 5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями 6. Основные теоремы о пределах 7. Предел функции при x -> 0 8. Последовательность.  Число e9. Натуральные логарифмы 10. Сравнение бесконечно малых функций § 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 2. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций 3. Свойства функций, непрерывных на сегменте 4. Понятие об обратной функции 5. Обратные тригонометрические функции 6. Показательная и логарифмическая функции 7. Понятие о гиперболических функциях ГЛАВА VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1. Приращение аргумента и приращение функции 2. Определение непрерывности функции с помощью понятии приращения аргумента и приращения функции 3. Задачи, приводящие к понятию производной 4. Определение производной и ее механический смысл 5. Дифференцируемость функции 6. Геометрический смысл производной 7. Производные некоторых основных элементарных функций 8. Основные правила дифференцирования 9. Производная обратной функции 10. Производные обратных тригонометрических функций 11. Производная сложной функции § 12.  Производные гиперболических функций13. Производная степенной функции с любым показателем 14. Сводная таблица формул дифференцирования 15. Неявные функции и их дифференцирование 16. Уравнения касательной а нормали к кривой 17. Графическое дифференцирование § 2. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 1. Нахождение производных высших порядков 2. Механический смысл второй производной § 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 2. Производная как отношение дифференциалов 3. Дифференциал суммы, произведения и частного функций 4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала 5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 6. Дифференциалы высших порядков § 4. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ, И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 2. Дифференцирование функций, заданных параметрически § 5. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 2. Векторная функция скалярного аргумента и ее производная 3. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой 4.  Механический смысл первой и второй производных векторной функции скалярного аргумента§ 6. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 2. Теорема Ролля 3. Теорема Лагранжа 4. Правило Лопиталя § 7. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ 2. Максимум и минимум функции 3. Достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной 4. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции 5. Применение теории максимума и минимума к решению задач 6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба 7. Асимптоты графика функции 8. Общая схема исследования функции и построение ее графика § 8. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 2. Уточнение найденных значений корней методом хорд и касательных § 9. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА ГЛАВА VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 2. Геометрический смысл неопределенного интеграла 3. Таблица основных интегралов 4.  Основные свойства неопределенного интеграла§ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 2. Интегрирование методом замены переменной 3. Интегрирование по частям § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Рациональные дроби. Выделение правильной рациональной дроби 3. Интегрирование простейших рациональных дробей 4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби 5. Метод неопределенных коэффициентов 6. Интегрирование рациональных дробей § 4. Интегрирование тригонометрических функций 2. Рациональные функции двух переменных 3. Интегралы вида § 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Интеграл вида 3. Интегралы видов 4. Интегралы вида § 6. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ИНТЕГРАЛЫ, НЕ БЕРУЩИЕСЯ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 2. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях ГЛАВА VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОПРЕДЕЛЕННОМУ ИНТЕГРАЛУ 2. Задача о работе переменной силы § 2.  ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ2. Свойства определенного интеграла 3. Производная интеграла по переменной верхней границе 4. Формула Ньютона—Лейбница 5. Замена переменной в определенном интеграле 6. Интегрирование по частям в определенном интеграле § 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 2. Вычисление площади в полярных координатах 3. Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям 4. Объем тела вращения 5. Длина дуги кривой 6. Дифференциал дуги 7. Площадь поверхности вращения 8. Общие замечания о решении задач методом интегральных сумм § 4. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 2. Вычисление кривизны 3. Радиус кривизны. Круг кривизны. Центр кривизны 4. Эволюта и эвольвента § 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2. Интегралы от разрывных функций 3. Признаки сходимости несобственных интегралов § 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 2. Метод трапеций 3. Метод параболических трапеций (метод Симпсона) ГЛАВА IX.  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ§ 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. График функции двух переменных 3. Функции трех и большего числа переменных § 2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Точки разрыва 2. Непрерывность функции нескольких переменных 3. Понятие области 4. Точки разрыва 5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области § 3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных 3. Частные производные высших порядков § 4. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Полный дифференциал функции 3. Приложение полного дифференциала к приближенным вычислениям § 5. Дифференцирование сложных и неявных функций 2. Инвариантность формы полного дифференциала 3. Дифференцирование неявных функций § 6. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ 2. Производная по направлению 3. Градиент 4. Касательная плоскость а нормаль к поверхности 5.  Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных§ 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных ГЛАВА X. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 2. Двойной интеграл. Теорема существования 3. Свойства двойного интеграла 4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах 6. Приложения двойного интеграла § 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 2. Тройной интеграл и его свойства 3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах 5. Приложения тройного интеграла § 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 2. Задача о работе. Криволинейный интеграл 3. Вычисление криволинейного интеграла 4. Формула Остроградского — Грина 5. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования 6. Отыскание первообразной по полному дифференциалу 7.  Криволинейный интеграл по длине дугиГЛАВА XI. РЯДЫ § 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 2. Геометрическая прогрессия 3. Простейшие свойства числовых рядов 4. Необходимый признак сходимости ряда 5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов 6. Знакопеременные ряды 7. Остаток ряда и его оценка § 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 2. Правильно сходящиеся функциональные ряды и их свойства § 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 2. Свойства степенных рядов 3. Ряды по степеням разности х-а 4. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора 5. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена § 4. ПРИЛОЖЕНИЕ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ 2. Приближенное вычисление интегралов § 5. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 2. Числовые ряды с комплексными членами 3. Степенные ряды в комплексной области § 6. РЯДЫ ФУРЬЕ 2. Ряд Фурье 3. Сходимость ряда Фурье 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций 5.  Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2lГЛАВА XII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 2. Дифференциальные уравнения первого порядка 3. Уравнения с разделяющимися переменными 4. Однородные уравнения 5. Линейные уравнения 6. Уравнение в полных дифференциалах 7. Особые решения 8. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка 3. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков § 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка 3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка 4. Метод вариации произвольных постоянных § 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 3.  Приложение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к изучению механических и электрических колебаний§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 2. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами § 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ § 7. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА ПРИЛОЖЕНИЕ 2. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ |
исчисление – Производные по комплексному числу и сопряженные
Для существования обычной комплексной производной df(z)/dz должны выполняться уравнения Коши-Римана.
———————————————————
Мы можем эвристически вывести уравнения Коши-Римана на основе цепного правила. Предполагая, что f'(z) существует, мы имеем:
f'(z) = f'(x)x'(z)+f'(y)y'(z).
Поскольку x=(z+z*)/2 и y=-i(z-z*)/2, мы можем сделать выводы x'(z) и y'(z):
f'(z) = 1/2[f'(x)(1+z*')-if'(y)(1-z*')] (1)
Относительно терма z*’, из определения комплексной производной имеем:
z*' = limdz->0 [(z+dz)*-z*]/dz
= limdz->0 dz*/dz
= limdz->0 (dx-idy)/(dx+idy).
Если dy=0, это 1. Если dx=0, это -1. Если dx=dy, то это -i. Если dx=-dy, это i. Следовательно, это несуществующее предельное значение, поскольку оно зависит от пути, который проходит dz, чтобы приблизиться к 0. 1) выше. Часть, которая включает z*’, это:
1/2[f'(x)+if'(y)]z*'
Требуя, чтобы он был равен нулю, мы получаем:
f'(x)=-if'(y).
Это уравнения Коши-Римана в комплексной форме.
Если подставить f(z)=u(x,y)+iv(x,y), где u и v — действительная и мнимая части f(z), соответственно, получим:
u'( х)+iv'(x)=v'(y)-iu'(y).
Полагая действительную и мнимую части с обеих сторон равными друг другу, мы получаем уравнения Коши-Римана, которые должны выполняться, чтобы f(z) была дифференцируемой в точке z:
и'(х)=v'(у), и'(у)=-v'(х).
Если предположить, что они выполняются, (1) сводится к:
f'(z)=1/2[f'(x)-if'(y)], (2)
что они и написали.
———————————————————
Неэвристический способ вывода уравнений Коши-Римана, а также уравнения (2):
Снова предположим, что f'(z) существует.
Начнем с определения комплексной производной:
f'(z) = lim dz->0 [f(z+dz)-f(z)]/dz,
, где dz=dx+idy.
Этот предел существует только в том случае, если он не зависит от того, каким образом dz стремится к нулю.
Сначала пусть dx=0, и вычислите производную. Тогда пусть вместо этого dy=0 и повторите расчет. Наконец, вставьте f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Тогда мы получаем:
f'(z) = u'(x)+iv'(x) (3)
и
f'(z) = -iu'(y)+v'(y). (4)
Когда мы приравниваем действительную и мнимую части, мы получаем уравнения Коши-Римана. Наш результат состоит в том, что если f(z) дифференцируема в точке z, то они должны выполняться. Мы также показали, что если f'(z) существует, то четыре частные производные в (3) и (4) должны существовать.
Предполагая, что f'(z) существует, и записывая f'(z)=1/2[f'(z)+f'(z)], из (3) и (4) мы имеем:
f'(z) = 1/2[u'(x)+iv'(x)-iu'(y)+v'(y)]
= 1/2[и'(х)+iv'(х)-i(и'(у)+iv'(у))]
= 1/2[f'(x)-if'(y)].
Мы показали, что если предположить, что f'(z) существует, то будут удовлетворены уравнения Коши-Римана и (2) будет выполнено.
———————————————————
Можно показать, что если две вещественнозначные непрерывные функции u(x,y) и v(x,y) имеют непрерывные частные производные первого порядка, удовлетворяющие уравнениям Коши-Римана в некоторой области D, то комплексная функция f(z)=u+iv является аналитической (определенной и дифференцируемой) в D. 92 равно z*, а производная Виртингера от z* равна нулю.
Исчисление Виртингера описано здесь:
https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/0471439002.app1
Почему сложные функции имеют производные?
Комплексную производную следует рассматривать не как представление «градиента» как такового, а скорее как набор инструкций для аппроксимации функции вблизи точки, в которой она дифференцируема.