Найти производную в точке как: Ваш браузер не поддерживается - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Производная функции в точке в направлении вектора

Пример №1. Дана функция z=z(x,y), точка A(x₀,y₀) и вектор a. Найти:
1) grad z в точке A; 2) производную данной функции в точке A в направлении вектора a.
z=5x²*y+3xy²

Решение получаем, решая через калькулятор.
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:
grad(z)=(10xy+3y²)i+(5x²+6xy)j
Найдем градиент в точке А(1;1): grad(z)_A=(10·1·1+3·1²)i+(5·1²+6·1·1)j или grad(z)_A=13i+11j
Модуль grad(z):

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(6;-8).

Решение.
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(1;2).

Найти направление вектора – значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.
Если ∂z/∂a Пример №4. Дана функция . Найти:
1) gradu в точке A(5; 3; 0);
2) производную в точке

А в направлении вектора a=i-2j+k.
Решение.
1. .
Найдем частные производные функции u в точке А.
;;
, .
Тогда
2. Производную по направлению вектора a в точке А находим по формуле

Частные производные в точке А нами уже найдены.

Для того чтобы найти cos α, cos β, cos γ, найдем единичный вектор a₀ вектора a.
, где .

Отсюда

Пример №5. Даны функция z=f(x), точка

А(х0, у0) и вектор a. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора a.
Решение.
Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем градиент в точке А(1;1)

или

Модуль grad(z):

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(2;-5).

Найти направление вектора – значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Поскольку

∂z/∂a , то заданная функция в направлении вектора a убывает. {2}}=5$$ 
тогда направляющие косинусы:
$$cos( \alpha )=\frac{-3}{5};cos( \beta )=\frac{4}{5}$$
$$\frac{\partial z}{\partial a}=\frac{12}{5}$$

 
ссылка
 
 отвечен 21 Май '16 20:28
crazywolf
135●1●13 

  
 
 
 
 
 
 
 Ваш ответ
 
 

 

 
 
 
 Если вы не нашли ответ,  задайте вопрос. 
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
 Присоединяйтесь!
регистрация »

 отмечен:

 
 производная 
 ×369 

 задан 
19 Май '16 0:54
 
 показан
3102 раза
 
 обновлен
21 Май '16 20:28
Связанные вопросы
Отслеживать вопрос
по почте:
Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления
по RSS:

 Ответы
 
 Ответы и Комментарии
 Производная не существует в точке: 7 примеров 
 Производные >
 Производная не существует в точке 
 Производная в точке существует, когда существует предел в этой точке: 
 Следовательно, , если предел не существует не существует, то и производная не существует.  Это может произойти в двух случаях:
 
 
 Когда кривая не имеет касательной из-за разрыва или острого угла.
 Когда касательная имеет бесконечный наклон (т. е. имеется вертикальная точка перегиба).
 7 Примеры, когда производная не существует в точке 
 Существует  несколько конкретных ситуаций , которые приводят к тому, что кривая не имеет касательной линии или бесконечного наклона:
   Скачок график означает, что функция не непрерывна и, следовательно, не дифференцируема. Этот график прыгает в начале координат. Производная в этой точке не существует (x = 0).
  Отверстие в графике  : Отверстия (формально называемые устранимыми разрывами) представляют собой крошечные пробелы в графике. Одним из примеров возникновения дыры является случай, когда рациональная функция имеет значение x, которое при подстановке в функцию приводит к тому, что и числитель, и знаменатель равны 0. 
  Эта функция имеет дыру в точке x = 4.
  Неограниченное поведение  или бесконечный разрыв. Значения x становятся все больше и больше по мере того, как вы пытаетесь двигаться к рассматриваемой точке. Когда вы двигаетесь к точке x = 0 справа, значения y стремятся к бесконечности. 
  Острые точки  или точки возврата делают функцию недифференцируемой в этой точке. Острый угол, в данном случае при x = 0, означает, что производная в этой точке не существует. 
 Функция  не может быть определена  . Например, функция извлечения квадратного корня не определена для значений меньше нуля, поэтому производная не существует ни в одной точке меньше нуля.
  Функция может быть определена, но  производная равна бесконечности  в рассматриваемой точке (или ее вообще нет). Производные, равные бесконечности, довольно часто встречаются с рациональными функциями, а это означает, что в этой точке есть вертикальная касательная
  Колебательное поведение.  Некоторые функции ведут себя плохо и имеют осциллирующие разрывы вблизи определенных точек. Функция sin(1/x) имеет осциллирующий разрыв при x = 0,
.
 Запомни это! 6 случаев, когда производная не существует в исчислении!
  Посмотрите это видео на YouTube.
 Ссылки 
 Изображение отверстия, созданное с помощью Desmos.com.
  УКАЗЫВАЙТЕ ЭТО КАК:  
  Стефани Глен  . «Производная не существует в точке: 7 примеров» из  StatisticsHowTo.com  : Элементарная статистика для всех нас! https://www.statisticshowto.com/derivative-does-not-exist-at-a-point-7-examples/
 -------------------------------------------------- -------------------------
  Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом?  С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!
   Комментарии? Нужно опубликовать исправление?  Пожалуйста,   Свяжитесь с нами   .
 Вычислить производную функции в нескольких точках 
 Загрузка.
 БЕСПЛАТНЫЕ ОБРАЗОВАНИЯ РЕШЕНИЯ
 Calculus Videos
 Брюс освещает каждое доказательство
 Загрузки данных
 Наборы загрузки данных в форме электронной таблицы
 Графики.
 Предыдущий  Следующий
 Глава главы PCHAPTER 1CHAPTER 2HAPTER 3HAPTER 4HAPTER 5HAPTER 6HAPTER 7HAPTER 8HAPTER 9HAPTER 10HAPTER 11HAPTER 12 ГЛАВНА 13 Глаза Линия с наклоном m - часть AКасательная линия с наклоном m - часть BИспользуйте определение предела, чтобы найти наклоны графиков в точкахИспользуйте определение предела, чтобы найти производные функцийНайдите производную функции, используя определениеВычислить производную функции в нескольких точкахНедифференцируемость функции абсолютного значенияОписать связь между дифференцируемостью и непрерывностью
     
 MathArticles.