Найти производную x y: Mathway | Популярные задачи - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

{3}}$

Больше примеров решений Решение производных онлайн

Читать дальше: производная функции, заданной параметрически.

Содержание

Неявное дифференцирование – Примеры | Неявная производная

Неявное дифференцирование — это процесс нахождения производной неявной функции. т. е. этот процесс используется для нахождения неявной производной. Есть два типа функций: явная функция и неявная функция. Явная функция имеет вид y = f(x) с зависимой переменной «y» на одной из сторон уравнения. Но не обязательно всегда иметь «y» на одной стороне уравнения. Например, рассмотрим следующие функции:

х ² + у = 2
ху + грех (ху) = 0

В первом случае, хотя ‘y’ не является одной из сторон уравнения, мы все же можем решить его, записав его как y = 2 – x ², и это явная функция. Но во втором случае мы не можем легко решить уравнение для «y», и этот тип функции называется неявной функцией, и на этой странице мы увидим, как найти производную неявной функции, используя процесс неявного дифференцирования.

1.	Что такое неявное дифференцирование?
2.	Неявная производная
3.	Неявное дифференцирование и цепное правило
4.	Как сделать неявное дифференцирование?
5.	Неявное дифференцирование обратных тригонометрических функций
6.	Часто задаваемые вопросы о неявном дифференцировании

Что такое неявное дифференцирование?

Неявное дифференцирование — это процесс дифференцирования неявной функции. Неявная функция — это функция, которая может быть выражена как f(x, y) = 0, т. е. ее нельзя легко решить для ‘y’ (или ее нельзя легко представить в виде y = f(x ). Рассмотрим пример нахождения dy/dx по заданной функции xy = 5. Найдем dy/dx двумя способами: (i) решая относительно y (ii) не решая относительно y.

Метод – 1:
ху = 5
у = 5/х
у = 5x ^-1
Дифференцируя обе стороны по x:
dy/dx = 5(-1x ^-2) = -5/x ²
Метод – 2:
ху = 5
Дифференцируя обе стороны по x:
д/дх (ху) = д/дх(5)
Используя правило произведения слева,
х d/dx(y) + y d/dx(x) = d/dx(5)
х (dy/dx) + у (1) = 0
х(dy/dx) = -y
dy/dx = -y/x
Из xy = 5 мы можем написать y = 5/x.
dy/dx = -(5/x)/x = -5/x ²

В методе -1 мы преобразовали неявную функцию в явную и нашли производную, используя степенное правило. Но в методе 2 мы дифференцировали обе части по x, рассматривая y как функцию от x, и этот тип дифференцирования называется неявным дифференцированием. Но для некоторых функций, таких как xy + sin (xy) = 0, запись в виде явной функции (Метод – 1) невозможна. В таких случаях только неявное дифференцирование (метод – 2) является способом нахождения производной.

Неявная производная

Производная, найденная с помощью процесса неявного дифференцирования, называется неявной производной. Например, производная dy/dx, найденная в методе 2 (в приведенном выше примере), сначала была dy/dx = -y/x и называется неявной производной. Это потому, что мы продифференцировали неявную функцию xy = 5 напрямую, не решая ее для y. Неявная производная обычно выражается как по x, так и по y.

Неявное дифференцирование и цепное правило

Цепное правило дифференцирования играет важную роль при нахождении производной неявной функции. Цепное правило гласит: d/dx (f(g(x)) = (f’ (g(x)) · g'(x). Всякий раз, когда мы сталкиваемся с производной членов y по x, цепное правило приходит в сцену и из-за цепного правила мы умножаем фактическую производную (по формулам производных) на dy/dx. Вот пример.

Вот еще примеры, чтобы понять цепное правило в неявном дифференцировании.0003

d/dx (y ² ) = 2y dy/dx
d/dx (sin y) = cos y dy/dx
d/dx (ln y) = 1/y · dy/dx
d/dx (tan ^-1 y) = 1/(1 + y ² ) · dy/dx

Другими словами, везде, где y дифференцируется, также пишите dy/dx.

Предлагается повторять эти примеры снова и снова, так как они очень полезны при неявном дифференцировании.

Как сделать неявное дифференцирование?

В процессе неявного дифференцирования мы не можем начать непосредственно с dy/dx, так как неявная функция имеет вид не y = f(x), а f(x, y) = 0. Примечание. что мы должны знать производные правила, такие как правило мощности, правило произведения, правило частного, правило цепи и т. д., прежде чем изучать процесс неявного дифференцирования. Вот блок-схема шагов для выполнения неявного дифференцирования.

Теперь эти шаги объясняются на примере, где мы собираемся найти неявную производную dy/dx, если функция y + sin y = sin x.

Формула неявного дифференцирования

Мы рассмотрели шаги для выполнения неявного дифференцирования. Сталкивались ли мы с какой-либо конкретной формулой на этом пути? Нет!! Не существует конкретной формулы для неявного дифференцирования, вместо этого мы выполняем шаги, описанные в блок-схеме выше, чтобы найти неявную производную.

Неявное дифференцирование обратных тригонометрических функций

Процесс неявного дифференцирования полезен при нахождении производных обратных триггерных функций. Найдем производную от y = tan ^-1 x с использованием неявного дифференцирования. Из определения arctan y = tan ^-1 x ⇒ tan y = x. Дифференцируя обе части этого уравнения по x,

сек ² y × dy/dx = 1 (поскольку производная тангенса x равна sec ² x)

dy/dx = 1/сек ² y

dy/dx = 1 / (1 + tan ² y) (по одному из тригонометрических тождеств)

dy/dx = 1 / (1 + x ² ) (поскольку tan y = x)

Таким образом, процесс неявного дифференцирования можно использовать для нахождения производных любой обратной функции.

Важные замечания по неявному дифференцированию:

Неявное дифференцирование — это процесс нахождения dy/dx, когда функция имеет вид f(x, y) = 0,
Чтобы найти неявную производную dy/dx, просто продифференцируйте обе части и найдите dy/dx. Но в этом процессе пишите dy/dx везде, где мы дифференцируем y.
Все производные формулы и приемы следует использовать и в процессе неявного дифференцирования.

☛ Связанные темы:

Калькулятор производных
Расчетный калькулятор
Калькулятор второй производной
Дифференциация

Часто задаваемые вопросы о неявном дифференцировании

Что такое определение неявного дифференцирования в исчислении?

Неявное дифференцирование — это процесс дифференцирования неявной функции, имеющей вид f(x, y) = 0, и нахождения dy/dx. Чтобы найти неявную производную,

Продифференцировать обе части f(x, y) = 0 по x
Применение обычных формул производных для дифференцирования членов x
Применение обычных формул производной для дифференцирования членов по оси y с умножением производной на dy/dx
Решите полученное уравнение для dy/dx (выделив dy/dx).

Как найти неявную производную?

Чтобы найти неявную производную уравнения, например, скажем, x ² + sin(y) = 0:

Возьмем производную по x с обеих сторон.
Тогда мы получаем d/dx(x ²) + d/dx (sin y) = 0,
Умножать на dy/dx везде, где мы что-то дифференцируем с помощью y.
2x + cos y dy/dx = 0,
Решите для dy/dx.
cos y dy/dx = -2x
dy/dx = -2x/cos y

Как выполнить неявное дифференцирование с помощью триггерных функций?

Когда мы выполняем неявное дифференцирование тригонометрических функций, просто применяем нормальные тригонометрические производные, такие как d/dx(sin x) = cos x, d/dx(cos x) = – sin x и т. д., а затем применяем цепное правило . Это означает, что мы должны умножить реальную производную на производную внутренней функции. Например, d/dx (sin y ² ) = cos y ² d/dx (y ² ) = 2y cos y ² dy/dx.

Что такое неявные правила дифференциации?

При нахождении неявной производной мы просто дифференцируем уравнение относительно x и y с обеих сторон относительно x, используем dy/dx также всякий раз, когда мы дифференцируем что-то с y, и решаем полученное уравнение относительно dy/dx.

Что такое неявное значение дифференциации?

Смысл неявного дифференцирования, как следует из его названия, заключается в процессе дифференцирования неявной функции f(x, y) = 0 и нахождения производной dy/dx. Чтобы узнать, как сделать неявное дифференцирование, нажмите здесь.

Как найти вторую неявную производную?

Если задана неявная функция f(x, y) = 0, используйте процесс неявного дифференцирования, чтобы найти первую производную dy/dx (или) y’. Затем мы дифференцируем первую производную y’ по x с обеих сторон, чтобы найти вторую неявную производную. В этом процессе нам, возможно, придется также использовать ответ y’.

Что такое неявная формула дифференцирования?

Специальной формулы для неявного дифференцирования не существует. Вместо этого мы просто дифференцируем функцию с обеих сторон, не игнорируя цепное правило, и решая полученное уравнение для dy/dx. Везде, где мы дифференцируем что-то с y, просто умножайте производную также на dy/dx.

Неявное дифференцирование

Неявное дифференцирование

Неявные и явные функции

Явный функция представляет собой функцию, выраженную как y = f(x), например

у = 2x ³ + 5

y определено неявно если и x, и y встречаются на той же стороне уравнения, например,

х ² + у ² = 4

мы можем думать о y как о функции x и напишите:

x ² + у(х) ² = 4

Неявный дифференциация

Чтобы найти dy/dx, действуем следующим образом. следует:

Возьмите d/dx с обеих сторон уравнение, не забывая умножать на y ‘каждое раз вы видите термин y.
Найдите у’

Пример

Неявное нахождение dy/dx для окружности

x ² + у ² = 4

Раствор

д/дх(х ² + y ² ) = d/dx (4)

или
2x + 2уу’ = 0
Решая y, получаем
        2yy’ = -2x
        y’ = -2x/2y
        y’ = -x/y

Пример:

Найдите y’ в (2,2), если

xy + x/y = 5

Решение:

(xy)’ + (x/y)’ = (5)’

Используя правило произведения и правило отношения, мы имеем
у – ху’
ху’ + у + = 0
у ²
Теперь подключаем x = 2 и y = 2,
2y’ + 2 + (2 – 2г’)/4 = 0 Умножьте обе части на 4
8у + 8 + 2 – 2у = 0
6 лет = -10
у’ = -5/3

Упражнения:

Пусть
3x ² – y ³ ^{= 4x + y ² Найти dy/dx}
Найти dy/dx в (-1,1) если
x + y = x ³ + y ³
Найти dy/dx, если
x ² + 3xy + y ² = 1
Найдите y”, если
x ² – у ² = 4

Приложение