Найти производную неявно заданной функции
Неявная функция — это функция у от аргумента x, заданная уравнением F(x;y)=0, не разрешенным относительно y.
Чтобы найти производную неявно заданной функции:
1. Находим производную по x от левой части уравнения F(x;y)=0, с учетом того, что у — функция от x;
2. Полученное выражение приравниваем к нулю и решаем как уравнение относительно y’, то есть выражаем y’ через y и x.
Примеры. Найти производную неявно заданной функции:
1) x³+xy²+y³=0.
1. Это — неявная функция. Находим производную по x левой части равенства с учетом того, что y — функция от x:
(x³+xy²+y³)’=3x²+x’·y²+(y²)’·x+3y²·y’=3x²+y²+2y·y’·x+3y²·y’
2. Полученное выражение приравниваем к нулю и из него находим y’:
3x²+y²+2y·y’·x+3y²·y’=0
3x²+y²+y'(2xy+3y²)=0
y'(2xy+3y²)=-3x²-y²
2) siny=xy
1.
(siny-xy)’=cosy-(x’·y+y’·x)=cosy-y-xy’.
2. Полученное выражение приравниваем к 0 и находим y’:
cosy-y-xy’=0
xy’=cosy-y
1. Приводим выражение к виду F(x;y)=0:
Теперь находим производную по x левой части (y=y(x)!):
2. Приравниваем получившееся выражение к нулю и решаем уравнение относительно y’:
Примеры для самопроверки. Найти производную неявно заданной функции:
1) xy²+x²y=5;
2) arctg(x+y)=y.
Показать решение
1) 1. xy²+x²y-5=0(xy²+x²y-5)’=x’·y²+(y²)’·x+(x²)’·y+y’·x²-0=y²+2yy’·x+2xy+x²y’=y'(2xy+x²)+y²+2xy.
2. y'(2xy+x²)+y²+2xy=0
y'(2xy+x²)=-y²-2xy
2) arctg(x+y)-y=0
Производная неявной функции онлайн
Неявная функция – это функция, например , заданная в виде уравнения:
F(x,y(x))=0
В качестве примера неявного задания функции, можно привести уравнение окружности:
x2+y2=a2,
уравнение декартового листа:
x3+y3=3∙a∙x∙y (a=const≠0),
и т.д. Все эти примеры можно записать в виде уравнения
F(x,y)=0:
уравнение окружности:
F(x,y)=x
В связи с тем, что для исследования любой функции (в том числе и заданной неявно) необходимо вычислять производную, задача нахождения производной функции заданной неявно возникает довольно часто. Так, как же найти
производную неявной функции? Исчерпывающий ответ на этот вопрос вы получите, воспользовавшись нашим онлайн калькулятором.
Для того, чтобы решить вашу задачу, для начала перепишите свою функцию в виде уравнения F(x,y)=0. Как это сделать, подробно описано выше (нужно просто перенести все слагаемые в левую часть уравнения, оставив справа ). Далее вам необходимо определиться, как у вас обозначается переменная и как обозначается функция, которая зависит от этой переменной. В приведенных выше примерах, – переменная, – функция, зависящая от .
Затем, вам необходимо ввести свое уравнение F(x,y) в наш онлайн калькулятор и получить решение вашей задачи.
Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производная функции, заданной неявно. Теорема. (Семинар 8)
Семинар 8. Производная сложной функции. Производная обратной функции.Производная функции, заданной неявно
Производная сложной функции
Теорема
)
Если y f ( z ), z ( xдифференцируемые
функции от своих аргументов, то
производная сложной функции y f [ ( x )]существует и равна производной данной
функции y по промежуточному аргументу z, умноженной на производную самого
промежуточного аргумента z по независимой переменной х
.
y x’ y z’ z x’
Производная обратной функции
Пусть y=f(x) – дифференцируемая функция от аргумента х в некотором интервале
y
Задача Зная производную y x’ lim x 0
функции y=f(x) найти производную
x
x
обратной функции x ( y )
x ‘y lim y 0
y
предполагая, что обратная функция существует и непрерывна в соответствующем
интервале.
Теорема
Для дифференцируемой функции с производной не равной нулю, производная
обратной функции равна обратной величине производной данной функции, то есть
x ‘y
1
y x’
Производная функции заданной неявно
Рассмотрим способы нахождения производных функций заданных неявно.
Пример. Найти 2производную
функции y(y>0), определенную уравнением (уравнение
y2
эллипса) 2 2 1 Разрешая это уравнение относительно y и, выбирая знак
a
b
плюс в силу начального условия получаем функцию в явном виде
y
b 2
b
x
a x 2 y’
a
a a2 x2
Однако в некоторых случаях уравнение элементарными средствами нельзя разрешить
относительно y и приходится рассматривать y как неявную функцию от x.
Существует другой способ нахождения производной.
Предполагая, что в уравнение подставлено вместо y явное выражение получим
тождество: x 2 y 2
причем y функция от x. Очевидно, если две функции
тождественно
a 2 равны
b 2 друг другу, то равны и их производные. Поэтому, взяв
производные от левой и правой частей тождества и применяя правило
дифференцирования сложной функции, получаем 2 x 2 y
b2 x
a2
Примеры с решениями
1. Найти производные сложных функций
b2
y’ 0 y’
a2 y
1) y (2 x 3 5) 4
Решение. Обозначим 2 x 3 5 u y u 4 По правилу дифференцирования сложной функции
имеем y’ (u 4 ) u’ (2 x 3 5) ‘x 4u 3 (6 x 2 ) 24 x 2 (2 x 3 5) 3
2) y tg ln x
Решение
3) y ln tg
Решение
y ‘ (tg ln x)’
1
1
cos 2 ln x x
x
2
x
1
1
1
1
(tg ( x / 2))’
( x / 2)’
2
2
tg ( x / 2)
2 sin( x / 2) cos( x / 2) sin x
tg ( x / 2) cos ( x / 2)
4) y ln( x x 2 1)
Решение
y’ (ln( x x 2 1))’
1
x x2 1
( x x 2 1) )’
1
x x2 1
(1
2x
2 x2 1
)
1
x x2 1
5) y e x arctgx ln 1 e 2 x
Решение
1
1
y ‘ (e x arctgx ln 1 e 2 x )’ (e x arctgx ln( 1 e 2 x )’ e x arctgx e x
2
1 x2
1 2e 2 x
1
ex
x
e (arctgx
)
2 1 e2x
1 x 2 1 e2x
x x2 1
x2 1
1
x2 1
6) y
sin x
1 sin x
ln
2
cos x
cos x
Решение.
y
sin x
1 sin x
sin x
ln
ln( 1 sin x) ln cos x
2
cos x
cos x
cos 2 x
cos x cos 2 x sin x 2 cos x( sin x)
cos x
sin x cos 2 x 2 sin 2 x cos 2 x sin 2 x sin x
y’
1 sin x cos x
cos x(1 sin x)
cos 4 x
cos 3 x
1 sin 2 x
1
2
3
cos x cos 3 x
cos x
2. Для функции y x 2 5x 3 найти
Решение x ‘ 1 x ‘ 1
y
y x’
y
x ‘y
2x 5
3. Найти производные для функций заданных неявно
1) x 3 y 3 3xy 0
Решение ( x 3 y 3 3xy)’ 0
3x 2 3 y 2 y ‘ 3 y 3xy’ 0 y ‘
2)e x e y 2 xy 1 0
y x2
y2 x
Решение (e x e y 2 xy 1)’ 0 e x e y y’ 2 xy ln 2( y xy’ ) 0
3) x y y x 0
y 2 xy ln 2 e x
e y x 2 xy ln 2
Решение
x y y x 0 x y y x y ln x x ln y ( y ln x)’ ( x ln y)’ y’ ln x y / x ln y ( xy’ ) / y
(ln x x / y ) y ‘ ln y y / x y ‘
ln y y / x
ln x x / y
Примеры для самостоятельного решения.
1.
Продифференцировать функции
1. y x ( x 3 x 1) 2. y 3 1 3. y 1 tg( x 1 ) 4.
1 x
5.
9.
2
x 3
y ln arctg 1 x 6. y ln sin
4
10.
y th(ln x)
1 x
y arctg
1 x
2
3
x
7.
y 2
x
y
8.
14
arcsin
2
y ln sin 3 arctge 3 x
2. Найти производную обратной функции
4
1. y 1 x 4 …Выразить.. dx ..через..х; через.. y 2. x y 3 4 y 1.Найти.. dx
dy
dy
1 x
3. Найти производные от функций y, заданных неявно
1. y 1 xe y 2. x sin y cos y cos 2 y 0 3. tg y 1 k tg x
2
1 k
x 2 2x
2
4. y x arctgy
найдите функцию, которая дает производную от y = x.
Эллисон М.
спросил • 11.07.18Я не знаю, с чего начать.
Артуро О.
ответил • 11.07.18
Опытный учитель физики для репетиторства по физике
Если вы имеете в виду
dy/dx = х,
, то правило мощности дает
у = ∫xdx = х 2 /2 + С
Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ быстро.
ИЛИ
Найдите онлайн-репетитора сейчасВыберите эксперта и познакомьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за необходимое время.
центов € £ ¥ ‰ µ · • § ¶ SS ‹ › « » < > ≤ ≥ – – ¯ ‾ ¤ ¦ ¨ ¡ ¿ ˆ ˜ ° – ± ÷ ⁄ × ƒ ∫ ∑ ∞ √ ∼ ≅ ≈ ≠ ≡ ∈ ∉ ∋ ∏ ∧ ∨ ¬ ∩ ∪ ∂ ∀ ∃ ∅ ∇ * ∝ ∠ ´ ¸ ª º † ‡ А А Â Ã Ä Å Æ Ç È Э Ê Ë Я Я Я Я Ð Ñ Ò Ó Ô Õ Ö Ø О Š Ù Ú Û Ü Ý Ÿ Þ à á â г ä å æ ç è э э ë я я я я ð ñ ò о ô х ö ø œ š ù ú û ü ý þ ÿ А В Γ Δ Е Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Р Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω α β γ дельта ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω ℵ ϖ ℜ ϒ ℘ ℑ ← ↑ → ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇒ ⇓ ⇔ ∴ ⊂ ⊃ ⊄ ⊆ ⊇ ⊕ ⊗ ⊥ ⋅ ⌈ ⌉ ⌊ ⌋ 〈 〉 ◊
Неявное дифференцирование
Нахождение производной, когда вы не можете найти у
Вы можете сначала прочитать Введение в производные и производные правила.
Неявное и явное
Функция может быть явной или неявной:
Явный : “y = некоторая функция x”. Когда мы знаем x, мы можем вычислить y напрямую.
Неявный : “некоторая функция y и x равна чему-то другому”. Знание x не ведет непосредственно к y.
Пример: Круг
| Явная форма | Неявная форма | |
| y = ± √ (r 2 − x 2 ) | x 2 + у 2 = г 2 | |
| В этой форме y выражается как функция x. | В этой форме функция выражается через y и x. |
График x 2 + y 2 = 3 2
Как выполнить неявное дифференцирование
- Дифференцировать по x
- Собрать все dy dx с одной стороны
- Решить для dy dx
Пример: х
2 + у 2 = г 2Дифференцировать по x:
D DX (X 2 ) + D DX (Y 2 ) = D DX (R 2 )
Решим каждое слагаемое:
Используйте цепное правило (поясняется ниже): d dx (y 2 ) = 2y dy dx
r 2 — константа, поэтому ее производная равна 0: d dx (r 2 ) = 0
Что дает нам:
2x + 2y dy dx = 0
Собрать все dy dx с одной стороны
y dy dx = −x
Решить для dy dx :
dy dx = −x y
Цепное правило с использованием
dy dxДавайте более подробно рассмотрим, как d dx (y 2 ) становится 2y dy dx
Цепное правило гласит:
du dx = du dy dy dx
Заменить в u = y 2 :
d dx (y 2 ) = d dy (y 2 ) dy dx
А потом:
d dx (y 2 ) = 2y dy dx
По сути, все, что мы сделали, это продифференцировали по y и умножили на
dy dxДругим распространенным обозначением является использование ’ для обозначения d dx
Цепное правило с использованием ’
Цепное правило также может быть записано с использованием обозначения:
f(g(x))’ = f’(g(x))g’(x)
g(x) — это наша функция «y», поэтому:
f(y)’ = f’(y)y’
f(y) = y 2 , поэтому f’(y) = 2y:
f(y)’ = 2yy’
или альтернативно: f(y)’ = 2y dy dx
Опять же, все, что мы сделали, это продифференцировали по y и умножили на
dy dxЯвный
Давайте также найдем производную, используя явную форму уравнения.
- Чтобы решить это явно, мы можем решить уравнение для y
- Затем дифференцировать
- Затем снова подставьте уравнение для y
Пример: х
2 + у 2 = г 2Вычесть x 2 с обеих сторон: y 2 = r 2 − x 2
Квадратный корень: y = ±√(r 2 − x 2 )
Давайте сделаем только положительное : y = √(r 2 − x 2 )
В виде степени: y = (r 2 − x 2 ) ½
Производная (Цепное правило) :y’ =½(r 2 − x 2 ) −½ (−2x)
Упростить: y’ = −x(r 2 − x 2 ) −½
Упростить еще: y’ = −x (r 2 − x 2 ) ½
Теперь, поскольку y = (r 2 − x 2 ) ½ : y’ = −x/y
Таким образом мы получаем тот же результат!
Вы можете сами попробовать взять производную от отрицательного члена.
Снова цепное правило!
Да, мы снова использовали цепное правило. Вот так (обратите внимание на разные буквы, но то же правило):
dy dx = dy df df dx
Замените в f = (r 2 − x 2 ):
D DX DX (F ½ ) = D DF (F ½ ) D DX (R 2 – x 2 )
Производные:
d dx (f ½ ) = ½(f −½ ) (−2x)
И подставить обратно f = (r 2 − x 2 ):
D DX (R 2 – x 2 ) ½ = ½ ((R 2 – x 2 ) -½ ) (-2x)
И мы упростили оттуда.
Использование производной
Итак, зачем находить производную y’ = −x/y ?
Ну, например, мы можем найти наклон касательной.
Пример: каков наклон окружности с центром в начале координат и радиусом 5 в точке (3, 4)?
Нет проблем, просто подставьте это в наше уравнение:
dy dx = −x/y
dy dx = −3/4
И в качестве бонуса уравнение для касательной:
у = -3/4 х + 25/4
Другой пример
Иногда неявный способ работает там, где явный способ сложен или невозможен.
Пример: 10x
4 − 18xy 2 + 10y 3 = 48Как найти у? Мы не должны!
- Сначала продифференцируем по x (используйте правило произведения для xy 2 термина).
- Затем переместите все элементы dy/dx в левую часть.
- Решить для dy/dx
Вот так:
Начните с: 10x 4 − 18xy 2 + 10y 3 = 48
Производное : 10 (4x 3 ) – 18 (x (2y dy dx ) + y 2 ) + 10 (3Y 2 DY DX ) = 0
(средний термин объясняется
в «Правилах продукта» ниже)
Упростить:40x 3 − 36xy dy dx − 18y 2 + 30y 2 dy dx 910 DY DX DX Слева: -36xy DY DX + 30Y 2 DY DX = -40X 3 + 1874 2 Упростить :(30y 2 −36xy) dy dx = 18y 2 − 40x 3 Упростить :3(5y 2 −6xy) dy dx = 9y 2 − 20x 3 И получаем: dy dx = 9y 2 − 20x 3 3(5y 2 − 6xy) Для среднего члена мы использовали правило произведения: (fg)’ = fg’ + f’g (xy 2 )’ = x(y 2 )’ + (x)’y 2 = x(2y dy dx ) + y 2 Потому что (y 2 )’ = 2y dy dx (мы вычислили это в предыдущем примере) О, и dx dx = 1, другими словами, x’ = 1 Неявное дифференцирование может помочь нам решить обратные функции. Общий шаблон: В качестве последнего шага мы можем попытаться еще упростить, заменив исходное уравнение. Пример поможет: Начните с:y = sin −1 (x) В неинверсном режиме: x = sin(y) Производная : d dx (x) = d dx sin(y) 1 = cos(y) dy dx Поместите dy dx слева: dy dx = 1 cos(y) Мы также можем сделать еще один шаг, используя тождество Пифагора: sin 2 у + cos 2 у = 1 cos y = √(1 − sin 2 y ) И, поскольку sin(y) = x (сверху!), мы получаем: cos y = √(1 − x 2 ) Что ведет к: dy dx = 1 √(1 − x 2 ) Начните с:y = √x Итак:у 2 = х Производное :2y dy dx = 1 Упростить: dy dx = 1 2y Поскольку у = √x: dy dx = 1 2√x Примечание: это тот же ответ, который мы получаем, используя правило степени: Начните с:y = √x В виде степени: y = x ½ Power Rule d dx x n = nx n−1 : dy dx = (½)x −½ Упростить: dy dx = 1 2√x 11312, 11313, 11314, 11315, 11316, 11317, 11318, 11319, 11320, 11321 Содержание | Дом Производная. Урок 5, раздел 2: задачи Вернуться к Разделу 1 Производная f ( x ) = 2 x – 5 Уравнение касательной к кривой Производная от f ( x ) = x 3 Проблема 1.Пусть f ( х ) = 2 х – 5, а) Напишите частное разности и упростите его. Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область. b) Оценить f ‘ ( x ) при x = 9 и при x = −9. по теореме 4 урока 2. Скорость изменения f ( x ) равна 2 для всех значений x . f ‘ ( x ) является константой. Но это должно быть очевидно. y = 2 x − 5 – это уравнение прямой линии, у которой наклона 90 046 равно 2. (Тема 9 предварительного исчисления.) А значение наклона прямой линии – это скорость изменения x . по отношению к x — столько единиц y на каждую единицу x . Касательной к прямой линии нет, поскольку касательная по определению касается кривой только в одной точке. Пример. Уравнение касательной к кривой. a) Рассчитайте наклон линии, касательной к y = x 2 в точке б) Каково уравнение этой прямой? Раствор. a) Наклон касательной к кривой при x = 4 является значением производной б) Уравнение прямой имеет следующий вид: у = ах + б , , где a — наклон линии.Следовательно, поскольку a = 8, уравнение равно у = 8 х + б . Чтобы найти значение b , мы можем действовать так же, как в решении 1 задачи 1 урока 34 алгебры. Поскольку x = 4 в функции y = x 2 , то y = 16.
пара координат (4, 16) решит это уравнение: Уравнение касательной у = 8 х – 16. См. проблему 2f) ниже. Проблема 2 . a) Вычислить производную от f ( x ) = x 3 .Следуйте последовательности а) [Подсказка: ( A + B ) 3 = A 3 + 3 A 2 B + 3 A B 2 + B 3 . Тема 25 предварительного исчисления.] b) Оцените наклон касательной к y = x 3 при x = 4. Наклон при разрешении x равен 3 x 2 . Следовательно, при x = 4 наклон равен 3 · 16 = 48, c) Оцените наклон касательной к y = x 3 при x = −2. 3 · (−2) 2 = 3 · 4 = 12. d) Какова скорость изменения f ( x ) = x 3 при x = −1. 3 · (−1) 2 = 3 · 1 = 3. При x = −1 функция увеличивается со скоростью 3 единицы y на единицу x . e) Какова скорость изменения этой функции при x = 5, 3 · 5 2 = 3 · 25 = 75. При x = 5 функция увеличивается со скоростью 75 единиц y на единицу x . f) Каково уравнение касательной к y = x 3 при x = 5, При x = 5 наклон касательной равен 75. Следовательно, уравнение касательной будет у = 75 х + б . Чтобы найти b , действуйте, как в примере выше. Когда x = 5, тогда y = x 3 = 125, так что пара (5, 125) решает это уравнение. 125 = 75 · 5 + б . Следовательно, б = -250. Уравнение касательной у = 75 х – 250. Задача 3. Докажите: прямая, касательная к y = x 2 в точке ( a , a 2 ), делит пополам расстояние a a . Пусть x будет x точкой пересечения касательной. Затем мы должны доказать, что х = а /2. Вертикальный катет этого прямоугольного треугольника равен a 2 . Горизонтальный отрезок равен a − x . Следовательно, наклон этой линии равен Но наклон этой линии равен 2 a , потому что производная от x 2 равна 2 x .Следовательно, Проблема 4. Чтобы увидеть, как было упрощено разностное частное, см. Урок 3 Предварительного исчисления, Задача 11c. б) Какова скорость изменения функции при x = 4? c) Какова скорость изменения функции при x = ¼? скорость 16 единиц y на единицу x . Посмотрите на график.Чем ближе к 0, тем больше скорость изменения. Чем дальше от 0, тем меньше скорость изменения. В каждой точке этого графика касательная имеет отрицательный наклон — производная всегда отрицательна. При движении слева направо значения этой функции всегда уменьшаются. Получим следующий результат, тогда: То есть Форма В дальнейшем мы будем использовать эту форму. Вернуться к Разделу 1 Следующий урок: Правила для производных Содержание | Дом Пожалуйста, сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался онлайн. Copyright © 2021 Лоуренс Спектор Вопросы или комментарии? Электронная почта: [email protected] Дифференцирование обеих частей по x с помощью суммы и степени
правил, получаем Тот же самый результат можно получить, решив для y так, что y = x 2 + 1, откуда dy/dx = 2x.В этом примере проще сначала решить для y
а потом дифференцировать, но так будет не всегда. Пример 1 Найдите наклон касательной к графику уравнения xy – x = 1 при
та точка на графике, первая координата которой равна 1 (т. е. соответствующая x
= 1). Раствор Мы должны найти dy/dx при x = 1. Предположим, что y является функцией x, y = y(x). В
отношение теперь xy(x) – x = 1. Следовательно, Решим это уравнение для dy/dx: Будьте осторожны! Применяя формулу (3), имейте в виду, что только значения
x и y, которые можно подставить в правую часть формулы (3), равны
те значения, которые удовлетворяют исходному условию 2x 2 + xy – 3y 2 = х.Например, мы могли бы заменить x = 1, y = 4, чтобы получить (dy/dx) = (1 – 4 –
2)/(1 – 12) = 5/1; однако (1, 2) не является точкой на графике 2x 2 + xy – 3y 2 = x, поэтому вычисление dy/dx в этой точке полностью
бессмысленно. Уравнение примера 2 может быть записано как – 3y 2 + xy + (2x 2 – x) = 0 и, следовательно, является квадратным уравнением относительно y (уравнение вида Ay 2 + By + C = o, где A = -3, B = x и C = 2x 2 – x).Следовательно, мы могли
используйте квадратичную формулу, чтобы решить это уравнение для y через x, получив Хотя мы можем найти y явно через x , результирующий
выражение довольно сложное, и все же лучше найти dy/dx
неявно, как в примере 2. Пример 3 Найдите dy/dx, если y 4 + xy = 10. Решение y через x в этой задаче затруднено, если вообще возможно.
Однако неявным дифференцированием получаем В следующем примере показано, как можно использовать неявные функции для
обосновать тот факт, что dx n /dx = nx n-1 i верно, когда n
рациональное число. Пример 4 Пусть f(x) = x 2/3 . Используйте неявное дифференцирование, чтобы
показать, что Так как f(x) = x 2/3 , мы получаем путем кубирования Дифференцировать правую часть уравнения. Применить постоянное кратное правило $$$\frac{d}{dx} \left(cf{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{ \left(x \right)}\right)$$$ с $$$c = 2$$$ и $$$f{\left(x \right)} = xy{\left(x \right)}$ $$: Применить правило произведения $$$\frac{d} {dx} \ влево (е {\ влево (х \ вправо)} г {\ влево (х \ вправо)} \ вправо) = \ гидроразрыва {d} {dx} \ влево (е {\ влево (х \ вправо) } \ right) g {\ left (x \ right)} + f {\ left (x \ right)} \ frac {d} {dx} \ left (g {\ left (x \ right)} \ right) $ $$ с $$$f{\left(x \right)} = x$$$ и $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$: Применить степенное правило $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\rig ht) = nx^{n – 1}$$$ с $$$n = 1$$$, другими словами, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$ $: Упрощение: Таким образом, $$$\frac{d}{dx} \left(2 xy{\left(x \right)}\right) = 2 \left (x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + y{\left(x \right)}\right)$$$. Правило продукта
Обратные функции
Пример: функция обратного синуса y = sin
−1 (x) Пример: производная квадратного корня √x
Резюме
Мэтуэй | Популярные проблемы
1 Найти производную – d/dx натуральное бревно х 2 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x 3 Найти производную – d/dx е^х 4 Оценить интеграл интеграл от e^(2x) по x 5 Найти производную – d/dx 1/х 6 Найти производную – d/dx х^2 7 Найти производную – d/dx 1/(х^2) 8 Найти производную – d/dx грех(х)^2 9 Найти производную – d/dx сек(х) 10 Оценить интеграл интеграл от e^x по x 11 Оценить интеграл интеграл от x^2 относительно x 12 Оценить интеграл интеграл квадратного корня из x относительно x 13 Найти производную – d/dx кос(х)^2 14 Оценить интеграл интеграл от 1/x относительно x 15 Оценить интеграл интеграл от sin(x)^2 по x 16 Найти производную – d/dx х^3 17 Найти производную – d/dx сек(х)^2 18 Оценить интеграл интеграл от cos(x)^2 по x 19 Оценить интеграл интеграл от sec(x)^2 по x 20 Найти производную – d/dx е^(х^2) 21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x 22 Найти производную – d/dx грех(2x) 23 Найти производную – d/dx загар(х)^2 24 Оценить интеграл интеграл от 1/(x^2) относительно x 25 Найти производную – d/dx 2^х 26 График натуральное бревно 27 Найти производную – d/dx cos(2x) 28 Найти производную – d/dx хе^х 29 Оценить интеграл интеграл 2х по отношению к х 30 Найти производную – d/dx (натуральный логарифм x)^2 31 Найти производную – d/dx натуральный логарифм (x)^2 32 Найти производную – d/dx 3x^2 33 Оценить интеграл интеграл от xe^(2x) по x 34 Найти производную – d/dx 2е^х 35 Найти производную – d/dx натуральное бревно 2x 36 Найти производную – d/dx -грех(х) 37 Найти производную – d/dx 4x^2-x+5 38 Найти производную – d/dx y=16 корень четвертой степени из 4x^4+4 39 Найти производную – d/dx 2x^2 40 Оценить интеграл интеграл от e^(3x) по x 41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) по x 42 Найти производную – d/dx 1/(корень квадратный из х) 43 Оценить интеграл интеграл от e^(x^2) по x 44 Оценить е^бесконечность 45 Найти производную – d/dx х/2 46 Найти производную – d/dx -cos(x) 47 Найти производную – d/dx грех(3x) 48 Найти производную – d/dx 1/(х^3) 49 Оценить интеграл интеграл от tan(x)^2 относительно x 50 Оценить интеграл интеграл от 1 по х 51 Найти производную – d/dx х^х 52 Найти производную – d/dx х натуральное бревно х 53 Найти производную – d/dx х^4 54 Оценить предел предел, когда x приближается к 3 из (3x-5)/(x-3) 55 Оценить интеграл интеграл x^2 натуральный логарифм x относительно x 56 Найти производную – d/dx f(x) = квадратный корень из x 57 Найти производную – d/dx х^2sin(x) 58 Оценить интеграл интеграл от sin(2x) по x 59 Найти производную – d/dx 3е^х 60 Оценить интеграл интеграл от xe^x по x 61 Найти производную – d/dx у=х^2 62 Найти производную – d/dx квадратный корень из x^2+1 63 Найти производную – d/dx грех(х^2) 64 Оценить интеграл интеграл от e^(-2x) по x 65 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма квадратного корня из х по отношению к х 66 Найти производную – d/dx е^2 67 Найти производную – d/dx х^2+1 68 Оценить интеграл интеграл от sin(x) по x 69 Найти производную – d/dx угловой синус(х) 70 Оценить предел предел, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 71 Оценить интеграл интеграл от e^(-x) по x 72 Найти производную – d/dx х^5 73 Найти производную – d/dx 2/х 74 Найти производную – d/dx натуральное бревно 3x 75 Найти производную – d/dx х^(1/2) 76 Найдите производную – d/d@VAR f(x) = квадратный корень из x 77 Найти производную – d/dx потому что (х^2) 78 Найти производную – d/dx 1/(х^5) 79 Найти производную – d/dx кубический корень из x^2 80 Оценить интеграл интеграл от cos(x) по x 81 Оценить интеграл интеграл от e^(-x^2) по x 82 Найдите производную – d/d@VAR е(х)=х^3 83 Оценить интеграл интеграл от 0 до 10 от 4x^2+7 относительно x 84 Оценить интеграл интеграл от (натуральный логарифм x)^2 по отношению к x 85 Найти производную – d/dx лог х 86 Найти производную – d/dx арктан(х) 87 Найти производную – d/dx натуральное бревно 5x 88 Найти производную – d/dx 5е^х 89 Найти производную – d/dx cos(3x) 90 Оценить интеграл интеграл от x^3 относительно x 91 Оценить интеграл интеграл от x^2e^x относительно x 92 Найти производную – d/dx 16 Корень четвертой степени из 4x^4+4 93 Найти производную – d/dx х/(е^х) 94 Оценить предел предел, когда x приближается к 3 из arctan(e^x) 95 Оценить интеграл интеграл от (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) по x 96 Найти производную – d/dx 3^х 97 Оценить интеграл интеграл от xe^(x^2) по x 98 Найти производную – d/dx 2sin(x) 99 Оценить сек(0)^2 100 Найти производную – d/dx натуральный логарифм x^2 Мэтуэй | Популярные проблемы
1 Найти производную – d/dx натуральное бревно х 2 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x 3 Найти производную – d/dx е^х 4 Оценить интеграл интеграл от e^(2x) по x 5 Найти производную – d/dx 1/х 6 Найти производную – d/dx х^2 7 Найти производную – d/dx 1/(х^2) 8 Найти производную – d/dx грех(х)^2 9 Найти производную – d/dx сек(х) 10 Оценить интеграл интеграл от e^x по x 11 Оценить интеграл интеграл от x^2 относительно x 12 Оценить интеграл интеграл квадратного корня из x относительно x 13 Найти производную – d/dx кос(х)^2 14 Оценить интеграл интеграл от 1/x относительно x 15 Оценить интеграл интеграл от sin(x)^2 по x 16 Найти производную – d/dx х^3 17 Найти производную – d/dx сек(х)^2 18 Оценить интеграл интеграл от cos(x)^2 по x 19 Оценить интеграл интеграл от sec(x)^2 по x 20 Найти производную – d/dx е^(х^2) 21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x 22 Найти производную – d/dx грех(2x) 23 Найти производную – d/dx загар(х)^2 24 Оценить интеграл интеграл от 1/(x^2) относительно x 25 Найти производную – d/dx 2^х 26 График натуральное бревно 27 Найти производную – d/dx cos(2x) 28 Найти производную – d/dx хе^х 29 Оценить интеграл интеграл 2х по отношению к х 30 Найти производную – d/dx (натуральный логарифм x)^2 31 Найти производную – d/dx натуральный логарифм (x)^2 32 Найти производную – d/dx 3x^2 33 Оценить интеграл интеграл от xe^(2x) по x 34 Найти производную – d/dx 2е^х 35 Найти производную – d/dx натуральное бревно 2x 36 Найти производную – d/dx -грех(х) 37 Найти производную – d/dx 4x^2-x+5 38 Найти производную – d/dx y=16 корень четвертой степени из 4x^4+4 39 Найти производную – d/dx 2x^2 40 Оценить интеграл интеграл от e^(3x) по x 41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) по x 42 Найти производную – d/dx 1/(корень квадратный из х) 43 Оценить интеграл интеграл от e^(x^2) по x 44 Оценить е^бесконечность 45 Найти производную – d/dx х/2 46 Найти производную – d/dx -cos(x) 47 Найти производную – d/dx грех(3x) 48 Найти производную – d/dx 1/(х^3) 49 Оценить интеграл интеграл от tan(x)^2 относительно x 50 Оценить интеграл интеграл от 1 по х 51 Найти производную – d/dx х^х 52 Найти производную – d/dx х натуральное бревно х 53 Найти производную – d/dx х^4 54 Оценить предел предел, когда x приближается к 3 из (3x-5)/(x-3) 55 Оценить интеграл интеграл x^2 натуральный логарифм x относительно x 56 Найти производную – d/dx f(x) = квадратный корень из x 57 Найти производную – d/dx х^2sin(x) 58 Оценить интеграл интеграл от sin(2x) по x 59 Найти производную – d/dx 3е^х 60 Оценить интеграл интеграл от xe^x по x 61 Найти производную – d/dx у=х^2 62 Найти производную – d/dx квадратный корень из x^2+1 63 Найти производную – d/dx грех(х^2) 64 Оценить интеграл интеграл от e^(-2x) по x 65 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма квадратного корня из х по отношению к х 66 Найти производную – d/dx е^2 67 Найти производную – d/dx х^2+1 68 Оценить интеграл интеграл от sin(x) по x 69 Найти производную – d/dx угловой синус(х) 70 Оценить предел предел, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 71 Оценить интеграл интеграл от e^(-x) по x 72 Найти производную – d/dx х^5 73 Найти производную – d/dx 2/х 74 Найти производную – d/dx натуральное бревно 3x 75 Найти производную – d/dx х^(1/2) 76 Найдите производную – d/d@VAR f(x) = квадратный корень из x 77 Найти производную – d/dx потому что (х^2) 78 Найти производную – d/dx 1/(х^5) 79 Найти производную – d/dx кубический корень из x^2 80 Оценить интеграл интеграл от cos(x) по x 81 Оценить интеграл интеграл от e^(-x^2) по x 82 Найдите производную – d/d@VAR е(х)=х^3 83 Оценить интеграл интеграл от 0 до 10 от 4x^2+7 относительно x 84 Оценить интеграл интеграл от (натуральный логарифм x)^2 по отношению к x 85 Найти производную – d/dx лог х 86 Найти производную – d/dx арктан(х) 87 Найти производную – d/dx натуральное бревно 5x 88 Найти производную – d/dx 5е^х 89 Найти производную – d/dx cos(3x) 90 Оценить интеграл интеграл от x^3 относительно x 91 Оценить интеграл интеграл от x^2e^x относительно x 92 Найти производную – d/dx 16 Корень четвертой степени из 4x^4+4 93 Найти производную – d/dx х/(е^х) 94 Оценить предел предел, когда x приближается к 3 из arctan(e^x) 95 Оценить интеграл интеграл от (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) по x 96 Найти производную – d/dx 3^х 97 Оценить интеграл интеграл от xe^(x^2) по x 98 Найти производную – d/dx 2sin(x) 99 Оценить сек(0)^2 100 Найти производную – d/dx натуральный логарифм x^2 Производная от y = x³.
Производная y = 1/x
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите “Обновить” (“Reload”).
Сначала решай задачу сам! f ( x + h ) − f ( x )
44444444 = 2( x + h ) − 5 − (2 x − 5)
h = 2 x + 2 ч − 5 − 2 x + 5
ч = 2 ч
ч = 2. 
е ( х ) = 2 = 2, 
a) на кривой, где x = 4,
a) при x = 4. . Следовательно, при
а) x = 4 наклон касательной равен 8. 16 = 8 · 4 + б = 32 + б . 
Поэтому б = −16.
а) Задача 1. f ( x + h ) − f ( x )
44444444 = ( x + ч ) 3 − x 3
ч = x x 3 + 3 x 2 H + 3 H 2 + H 3 – x 3
H = 3 x 2 H + 3 x H 2 + H 3 H
H = 3 x 2 + 3 x ч + ч 2 . 
f ‘ ( x ) = (3 x 2 + 3 x ч + ч 2 ) = 3 x 2 . 
а 2
а − x = 2 а а 2 = 2 a ( a − x ) и = 2( а – х ) = 2 а – 2 х 2 x = 2 а − а = а x = а
2
а) Показать: д
дх 1
х = − 1
x 2 . д
дх 1
х = = При x = 4, − 1
x 2 = − 1
16. Функция убывает со скоростью из 1
16 на единицу и на единицу x . 
В x = ¼, – 1
x 2 = -16. Функция убывает на д
дх 1
х = − 1
x 2 . д
дх x −1 = − x −2 . 
д
дх x n = n x n −1
Даже 1 доллар поможет. Найдите производную с помощью пошагового решения математических задач
Уравнение y = x 2 + 1 явно определяет y как функцию x, и
мы покажем это, написав y = f (x) = x 2 + 1.Если мы напишем уравнение
y = x 2 + 1 в виде y – x 2 – 1 = 0, то говорят, что y
неявно является функцией x.
В этом случае мы можем узнать, что это за функция
явно просто путем решения для y. Однако иногда нам приходится иметь дело с
уравнения, связывающие y с x, которые настолько сложны, что трудно или даже
невозможно решить для y через x. (Например, попробуйте найти инь
уравнение y y + xy = 10.) Если уравнение неявно определяет y как
функция x, есть способ найти dy/dx без предварительного нахождения y
как функция x, называемая неявным дифференцированием.
Мы будем использовать уравнение y – x 2 – 1 = 0, чтобы проиллюстрировать этот метод.
Вместо явного решения для y предположим, что можно было бы решить
для у через х; вызовите полученную функцию y(x) для простоты. В
уравнение теперь можно записать как
и по правилу расширенной мощности
Подставляя эти результаты в формулу (2), получаем
[f(x)] 3 = x 2 .
{3}{\left(x\right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(2xy{\left(x\right) )}\справа)$$$.{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)$$$.