Дифференцирование функции y=f(kx+m) 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Тема: Производная
Урок: Дифференцирование функции y=f(kx+m)
1. Постановка задачи. Правило нахождения производной функции y=f(kx+m)
Дифференцирование функции
Физический смысл производной – это мгновенная скорость роста функции при данном значении аргумента. Мы изучили таблицу производных от функций, которые зависели от аргумента. Например, , , где и – функции, зависящие только от аргумента . Теперь вместо аргумента ставится аргумент . Например, найти производную или . Трудность заключается в том, что мы имеем дело со сложной функцией: функция зависит не от , а от функции от . В данном случае функция от – это линейная функция.
Без доказательства в учебнике принимается следующее правило:
.
Напомним, что
Всю таблицу производных и правила дифференцирования, которые мы знаем, усложняем наличием аргумента .
Научимся находить такие производные. Например,
.
Рассмотрим всю таблицу производных, но аргументом будет линейная функция от .
1.
2.
3.
4.
5. .
Запишем конкретный пример:
.
2. Производная тангенса
Пополним таблицу производных. Выведем производную , пользуясь соответствующими правилами. Знаем, что . Напомним, что
Тогда:
Итак, получили, что .
Теперь вместо можем поставить линейную функцию от , а именно
.
Получили еще одну формулу.
Примеры.
1) .
2) .
Итак, пользуясь правилом, которое мы изучаем, вывели дополнительную формулу для производной тангенса. Сделаем то же самое относительно котангенса.
3. Производная котангенса
Итак, вывели еще одну формулу . Таким образом, вывели производную котангенса также как и вывели производную тангенса от простого аргумента.
Тогда,
.
Пример.
Вычислить производную . Для начала запишем отдельно производную аргумента , а теперь запишем производную
4. Итог урока
На уроке изучены производные от функций, аргументом которых есть линейные функции. Для того чтобы найти производную , нужно взять производную от самой функции и умножить на коэффициент , то есть . Таблицу производных, дополнили производными тангенса и котангенса.
Список рекомендованной литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).
-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983
Дополнительные веб-ресурсы
1.
Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).
2. Портал Естественных Наук (Источник).
3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).
Сделай дома
№ 42.1; 42.2 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007)
Физический механический смысл производной. Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл. Пример вычисления производной
При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом
Тот
процесс, с помощью которого из данной
функции f(x) получают новую функцию f
” (x) ,
называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов:
1)
даем аргументу x приращение x и определяем соответствующее приращение
функции y
= f(x+ x)
-f(x) ;
2)
составляем отношение
3)
считая x постоянным, а x 0,
находим
,
который обозначаем черезf
” (x) ,
как бы подчеркивая тем самым, что
полученная функция зависит лишь от того
значения x ,
при котором мы переходим к
пределу.
, или
Заметим,
что если при некотором значении x ,
например при x=a ,
отношение
при x 0
не стремится к конечному пределу, то в
этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a )
не имеет производной или не дифференцируема
в точке x=a .
2. Геометрический смысл производной.
f(x)
Рассмотрим
произвольную прямую, проходящую через
точку графика функции – точку А(x 0 ,
f
(х 0))
и пересекающую график в некоторой точке
B(x;f(x)).
Такая прямая (АВ) называется секущей.
Из ∆АВС: АС = ∆x;
ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x
.
Так как АС || Ox, то ALO = BAC = β (как соответственные при параллельных). Но ALO – это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k – угловой коэффициент прямой АВ.
Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.
Если
перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве
tgβ
=∆y/∆x,
то получим
илиtg
=f
“(x 0),
так как
-угол
наклона касательной к положительному
направлению оси Ох
,
по определению производной. Но tg
= k – угловой коэффициент касательной,
значит, k = tg
= f
“(x 0).
Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:
Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x
3.
Физический смысл производной.Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.
Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0.
lim Vср (t) = (t 0) – мгновенная скорость в момент времени t 0 , ∆t → 0.
а lim = ∆x/∆t = x”(t 0) (по определению производной).
Итак, (t) =x”(t).
Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f (x
Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.
(t) = x”(t) – скорость,
a(f) = ”(t) – ускорение, или
Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:
φ = φ(t) – изменение угла от времени,
ω = φ”(t) – угловая скорость,
ε
= φ”(t)
– угловое ускорение, или ε
= φ”(t).
Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:
m = m(х) – масса,
x , l – длина стержня,
р = m”(х) – линейная плотность.
С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука
F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω 2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х”(t) + ω 2 x(t) = 0,
где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k – жесткость пружины (H/m).
Уравнение вида у” + ω 2 y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция
А – амплитуда колебаний, ω – циклическая частота,
φ 0 – начальная фаза.
Производная функции.
1. Определение производной, её геометрический смысл.
2.Производная сложной функции.
3. Производная обратной функции.
4. Производные высших порядков.
5. Параметрически заданные функции и неявно.
6. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.
Введение.
Источником дифференциального исчисления были два вопроса, выдвинутые запросами науки и техники в 17 веке.
2) Вопрос о нахождении (с помощью вычислений) касательной к кривой произвольно заданной.
Задачу проведения касательной к некоторым кривым решил ещё древнегреческий учёный Архимед (287-212 г.г. до н.э.), пользуясь методом вычерчивания.
Но только в 17 и 18 веках в связи с прогрессом естествознания и техники эти вопросы получили должное развитие.
Одним из важных вопросов при изучении любого физического явления обычно является вопрос о скорости, быстроте происходящего явления.
Скорость с которой движется самолёт или автомобиль, всегда служит важнейшим показателем его работы.
Первоначальная идея скорости ясна каждому. Однако для решения большинства практических задач этой общей идеи недостаточно. Необходимо иметь такое количественное определение этой величины, которую мы называем скоростью. Потребность в таком точном количественном определении исторически послужила одним из основных побудителей к созданию математического анализаю. Целый раздел математического анализа посвящен решению этой основной задачи и выводам из этого решения. К изучению этого раздела мы и переходим.
Определение производной, её геометрический смысл.
Пусть дана функция определённая в некотором интервале (а,в) и непрерывная в нём.
1. Дадим аргументу х приращение , тогда функция получит
приращение :
2. Составим отношение .
3. Переходя к пределу в при и, предполагая, что предел
существует, получим величину , которую называют
производной функции по аргументу х .
Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда →0.
Значение производной очевидно зависит от точки х , в которой оно найдено, поэтому производная функции есть в свою очередь некоторая функция от
По определению имеем
или (3)
Пример. Найти производную функции .
1. ;
Лекция: Понятие о производной функции, геометрический смысл производной
Понятие о производной функции
Рассмотрим некоторую функцию f(x), которая будет непрерывной на всем промежутке рассмотрения. На рассматриваемом промежутке выберем точку х 0 , а также величину функции в данной точке.
Итак, давайте рассмотрим график, на котором отметим нашу точку х 0 , а также точку (х 0 + ∆х). Напомним, что ∆х – это расстояние (разница) между двумя выбранными точками.
Так же стоит понимать, что каждому х соответствует собственное значение функции у.
Разница значений функции в точке х 0 и (х 0 + ∆х) называется приращением данной функции: ∆у = f(х 0 + ∆х) – f(х 0).
Давайте обратим внимание на дополнительную информацию, которая имеется на графике – это секущая, которая названа КL, а также треугольник, который она образует с интервалами KN и LN.
Угол, под которым находится секущая, называется её углом наклона и обозначается α. Легко можно определить, что градусная мера угла LKN так же равна α.
А теперь давайте вспомним соотношения в прямоугольном треугольнике tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.
То есть тангенс угла наклона секущей равен отношению приращения функции к приращению аргумента.
В свое время, производная – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента на бесконечно малых интервалах.
Производная определяет скорость, с которой происходит изменение функции на некотором участке.
Геометрический смысл производной
Если найти производную любой функции в некоторой точке, то можно определить угол, под которым будет находится касательная к графику в данной токе, относительно оси ОХ.
Обратите внимание на график – угол наклона касательно обозначается буквой φ и определяется коэффициентом k в уравнении прямой: y = kx + b.
То есть можно сделать вывод, что геометрическим смыслом производной является тангенс угла наклона касательной в некоторой точке функции.
Для выяснения геометрического значения производной рассмотрим график функции y = f(x). Возьмем произвольную точку М с координатами (x, y) и близкую к ней точку N (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Проведем ординаты $\overline{M_{1} M}$ и $\overline{N_{1} N}$, а из точки М — параллельную оси ОХ прямую.
Отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x} $ является тангенсом угла $\alpha $1, образованного секущей MN с положительным направлением оси ОХ. При стремлении $\Delta $х к нулю точка N будет приближаться к M, а предельным положением секущей MN станет касательная MT к кривой в точке M. Таким образом, производная f`(x) равна тангенсу угла $\alpha $, образованного касательной к кривой в точке M (х, y) с положительным направлением к оси ОХ — угловому коэффициенту касательной (рис.
1).
Рисунок 1. График функции
Вычисляя значения по формулам (1), важно не ошибиться в знаках, т.к. приращение может быть и отрицательным.
Точка N, лежащая на кривой, может стремиться к M с любой стороны. Так, если на рисунке 1, касательной придать противоположное направление, угол $\alpha $ изменится на величину $\pi $, что существенно повлияет на тангенс угла и соответственно угловой коэффициент.
Вывод
Следует вывод, что существование производной связано с существованием касательной к кривой y = f(x), а угловой коэффициент — tg $\alpha $ = f`(x) конечный. Поэтому касательная не должна быть параллельной оси OY, иначе $\alpha $ = $\pi $/2, а тангенс угла будет бесконечным.
В некоторых точках непрерывная кривая может не иметь касательной или иметь касательную параллельную оси OY (рис.2). Тогда в этих значениях функция не может иметь производную. Подобных точек может быть сколько угодно много на кривой функции.
Рисунок 2. Исключительные точки кривой
Рассмотрим рисунок 2.
Пусть $\Delta $x стремится к нулю со стороны отрицательных или положительных значений:
\[\Delta x\to -0\begin{array}{cc} {} & {\Delta x\to +0} \end{array}\]
Если в данном случае отношения (1) имеют конечный придел, он обозначается как:
В первом случае — производная слева, во втором — производная справа.
Существование предела говорит о равносильности и равенстве левой и правой производной:
Если же левая и правая производные неравны, то в данной точке существуют касательные не параллельные OY (точка М1, рис.2). В точках М2, М3 отношения (1) стремятся к бесконечности.
Для точек N лежащих слева от M2, $\Delta $x $
Справа от $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, но выражение также f(x + $\Delta $x) — f(x) $
Для точки $M_3$ слева $\Delta $x $$ 0 и f(x + $\Delta $x) — f(x) $>$ 0, т.е. выражения (1) и слева, и справа положительны и стремятся к +$\infty $ как при приближении $\Delta $x к -0, так и к +0.
Случай отсутствия производной в конкретных точках прямой (x = c) представлен на рисунке 3.
Рисунок 3. Отсутствие производных
Пример 1
На рисунке 4 изображен график функции и касательной к графику в точке с абсциссой $x_0$. Найти значение производной функции в абсциссе.
Решение. Производная в точке равна отношению~приращения функции к приращению аргумента. Выберем на касательной две точки с целочисленными координатами. Пусть, например, это будут точки F (-3,2) и C (-2.4).
python — функция, генерирующая производную f
спросил
Изменено 4 года, 11 месяцев назад
Просмотрено 1к раз
Я пытаюсь создать функцию, которая возвращает производную от f , функцию одной переменной.
Возвращаемое значение должно быть функцией, аппроксимирующей производную от f' используя коэффициент симметричной разности, так что возвращаемая функция будет вычислять (f(x+h) -f(x-h))/2h.
Функция должна начинаться так:
def производная(f, x):
, которая должна аппроксимировать производную функции f вокруг точки x. Кто-нибудь знает, какой тип кода я могу использовать для создания функции такого типа?
/Алекс
- python
- символьная математика
- производная
- исчисление
Для общей функции f(x) можно напрямую получить численное приближение к ее первой производной с помощью стандартного (второго порядка) приближения (f( х+h) – f(x-h)) /2h. Основная проблема состоит в том, чтобы выбрать h маленьким по сравнению со шкалой длины, на которой f(x) показывает неквадратичное изменение, но достаточно большим, чтобы избежать ошибок округления при вычитании близких значений f(x).
Однако, если вам нужен алгебраический метод дифференцирования вашей функции, тогда все сложнее. Простые случаи – это когда f (x), как известно, является многочленом, поэтому его можно представить вектором коэффициентов при степенях x.
В этом случае numpy.polyder() можно использовать для вычисления коэффициентов n-й производной.
Для более сложных функций вы можете посмотреть SymPy.
Оба параметра numpy.polyder() и SymPy требуют, чтобы вы представили свою функцию таким образом, чтобы он был специализирован для этих конкретных инструментов. Я не знаю ни одного метода, который мог бы взять обычную функцию Python и построить другую функцию, реализующую точная производная .
что вы хотите, чтобы функция возвращала? Если вам нужно значение производной в определенном x, вам, вероятно, потребуются три аргумента:
def производная(f, h, x):
возврат (f(x+h) - f(x-h))/2h
, если вы хотите получить функцию, которая вычисляет вышеуказанное для любого x, вы можете использовать:
def производная (f, h):
вернуть лямбда x: (f(x+h) - f(x-h))/2h
2
Лучше всего, вероятно, будет использовать SymPy, который, среди прочего, может выполнять символическую интеграцию и дифференциацию: 92):
по умолчанию f(x): возврат x ** 2
Далее, используя определение производной:
def производная(функция, x, точность = 20): # "По умолчанию" точность равна 20 и является необязательным аргументом.шаг = 1 / точность возврат (функция (x + шаг) - функция (x - шаг)) / (шаг * 2)
шаг = 1 / точность
возврат (функция (x + шаг) - функция (x - шаг)) / (шаг * 2)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Кстати, я думаю, что это опечатка:
def производная(f, h):
Так как вы аппроксимируете производную функции f вокруг точки x должно быть:
def производная(f, x):
Как показано в моем коде
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Производные шести триггерных функций — Криста Кинг Математика
Шесть тригонометрических функций и их производные
Мы узнали об основных правилах производных, включая цепное правило, и теперь хотим обратить внимание на производные конкретных видов функций.
В этом разделе мы рассмотрим производные тригонометрических функций, а позже мы рассмотрим производные экспоненциальных и логарифмических функций.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать больше.
Тригонометрические производные
Существует шесть основных тригонометрических функций, и мы должны знать производную каждой из них.
Когда мы различаем триггерную функцию, мы всегда должны применять цепное правило. Например, в ???y=\sin{x}???, ???\sin??? и ???х??? , а не , перемноженные вместе. Вместо ???x??? является аргументом функции синуса. Для нас это означает, что аргумент всегда является «внутренней функцией», поэтому при дифференцировании нам всегда нужно умножать на производную от аргумента.
Для этих шести основных триггерных функций аргумент равен ???x???, а производная ???x??? равно ???1???, поэтому применяя цепное правило и умножая на ???1??? не меняет значения производной.