Найти решение дифференциального уравнения: Решение дифференциальных уравнений онлайн. Любые с подробным решением. - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Дифференциальные уравнения

Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения x у’-у = x ²е^x и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у₀ =0 при х₀=1.

Решение. Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно приводится к виду . Для этого поделим обе части этого уравнения на х. Получим . Общее решение этого уравнения будем искать в виде произведения двух функций .

Уравнение примет вид , или

. (*)

Решаем в следующем порядке.

1. Функцию v следует взять так, чтобы .

Решим это уравнение:

или v=х;

2. Найдем функцию u, для этого подставим в уравнение (*) вместо v=х.

Получим .

3. Общее решение исходного уравнения имеет следующий вид:

4. Для того чтобы найти частное решение, удовлетворявшее данным начальным условиям, нужно в общее решение подставить и . Получим 0=1(е+с), отсюда с =-е.

Итак, частное решение имеет вид .

Задача 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

и частное решение, удовлетворяющее начальному условию при .

Решение. Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение и решим его.

Тогда общее решение данного уравнения будет иметь вид

т.е.

Найдем частное решение, для этого найдем у’.

Подставим в общее решение и в его производную данные начальные условия. Получим систему двух уравнений с неизвестными .

или

Получим . Итак, частное решение имеет вид

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
написание лабораторных, рефератов и курсовых

выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания –

репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т. к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.
Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.
Выбрать платежную систему.
Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

38.4. Решение дифференциальных уравнений и их систем

Методы операционного исчисления применяются при интегрировании дифференциальных уравнений и их систем. С помощью этих методов интегрирование некоторых классов линейных дифференциальных уравнений сводится к решению алгебраических уравнений; из алгебраического уравнения находят изображение решения данного уравнения, после чего по изображению восстанавливают само решение.

Пусть требуется найти решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

(38.26)

Удовлетворяющее нулевым начальным данным

(38.27)

Предположим, что искомая функция, ее производные

И данная функцияЯвляются оригиналами. Обозначим изображения функций

ИСоответственно, черезИИли корочеИПользуясь

Ими и правилом дифференцирования оригинала (см. формулы (38.8)), находим

(38.28)

Поскольку, то на основании свойства линейности (см. формулу

(38.6)) получим уравнение в изображениях

(38.29)

Которое соответствует данному дифференциальному уравнению. Из уравнения (38.29) найдем изображениеИскомого решения

(38.30)

Найдя изображениеФункцииПолучим изображениеИ вопрос будет сведен к отысканию соответствующего оригинала, который является решением данного дифференциального уравнения и удовлетворяет нулевым начальным данным.

Таким образом, чтобы решить уравнение (38.26), необходимо знать, как по оригиналу найти изображение и по данному изображению – оригинал.

При интегрировании дифференциальных уравнений находит применение интеграл Дюамеля (см. формулу (38.20)). Пусть необходимо найти решение дифференциального уравнения (38. 26), удовлетворяющее условиям (38.27). Запишем дифференциальное уравнение с такой же левой частью и правой частью, равной единице:

(38.31)

Будем искать решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным нулевым данным:

(3832)

Обозначим изображение решенияЧерезПолучим уравнение в изображениях

(38.33)

Откуда

(38.34)

Из этого равенства и равенства (38.30) находим, что

Пользуясь интегралом Дюамеля, получаем

Или

Таким образом, когда известно решение уравнения (38.26) приУдовлетво

Ряющее нулевым начальным данным, то можно фазу найти в квадратурах решение этого уравнения для любой функцииПри тех же начальных данных.

Замечание 1. Если начальные данные не являются нулевыми, то изображения производных находятся с помощью формул (38.7). Например, если , тоИ т. д.

Замечание 2. Если за начальный момент взято значениеА не

То вводят новую переменнуюПо формулеТогда

При

С помощью операционного исчисления можно найти решения систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а в некоторых случаях

— решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Пример 38.21. Найти решение уравненияУдовлетворяющее

Условиям:

Обозначим черезИзображение функцииТогда

ПосколькуТо уравнение в изображениях имеет вид

Откуда

Принимая во внимание формулыПолучаем

Искомое решениеЛегко проверить, что эта функция удовлетворяет

Данному уравнению и нулевым начальным данным.

Пример 38.22. Найти решение уравненияУдовлетво

Ряющее условиям:

Изображение функцииОбозначим черезА изображения производных найдем с помощью формул (38.7):

, отедца

Так как (см. примеры 38.4 и 38.9)

ТоПолучено решение

Пример 38.23. Проинтегрировать уравнениеПри на

Чальных условиях:

Обозначим черезИзображение решенияА изображения производных

Найдем с помощью формул (38.7):

Поскольку(см. пример 38.4), то операторное уравнение

Принимает вид

Откуда

Для двух последних слагаемых имеем:

Что касается оригинала для первого слагаемого, то его найдем с помощью формулы(см. пример 38.9) и правила интегрирования ори

Гинала (см. формулу (38.9)) следующим образом:

Значит, искомое решение имеет вид или

Пр и м е р 38.24. Проинтегрировать уравнениеПри начальных

Данных

Найдем сначала решение уравненияПри нулевых начальных дан

Ных. Уравнение в изображениях имеет вид, откуда

На основании формулы (38.36) получаем

Пример 38.25. Найти решение уравнения, удовле

Творяющее условиям:

Операторное уравнение в заданном случае принимает вид

Откуда

Разлагая эту дробь на элементарные дроби, находим Следовательно, искомое решение определяется формулой

Пример 38.26. Найти решение задачи Коши:

В отличие от предыдущих примеров, здесь за начальный момент взято значениеА неВведем новую переменнуюОткуда. ОбозначимТогда уравнение и начальные данные принимают вид:

Найдем решение этого уравнения:

Поскольку

Возвращаясь к переменнойПолучаем решение исходной задачи Коши

Пр и м е р 38. 27. Найти решение уравненияУдовлетворяющее

Условиям

ПоложимТогда уравнение и начальные

Условия примут видСоставим оператор

Ное уравнение для этого дифференциального уравнения. Пусть

ТогдаОператорное

Уравнение и его решение запишутся так:

Переходя к оригиналам, получаемВозвращаясь к пере

Менной(заменивНа, найдем искомое решение исходной задачи Коши

Пр и м е р 38.28. Найдем решение системы дифференциальных уравнений

При начальных условиях

При обозначенияхСистема в изображениях принимает вид

Решение системы получим с помощью формул Крамера где— определитель системы,— определители, полученные из опреде

Лителей системы заменой коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами. Поскольку

То

Пр имер 38.29. Найти решение системы

При начальных условиях

Система в изображениях принимает вид

ИзображенияИОпределяем с помощью формул Крамера. Поскольку

То

Пример 38.30. Найти решение системы

При начальных данных

В изображениях система принимает вид

ИзображенияНаходим с помощью формул Крамера. Поскольку

Разлагая полученные дроби на элементарные, найдем, что

Принимая во внимание равенствоПолучаем искомое решение системы

< Предыдущая		Следующая >

Методические рекомендации для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений по теме “Дифференциальные уравнения”

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и её производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

F(x,y,y’)=0, F(x,y,y”)=0, F(x,y,y’,y”,.., y⁽ⁿ⁾)=0

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение

Примеры.

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, , подставляя y’ в уравнение, получим – тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y” – 5y’ +6y = 0. Функция – решение этого уравнения.

Действительно, .

Подставляя эти выражения в уравнение, получим: , – тождество.

А это и значит, что функция – есть решение этого дифференциального уравнения.

Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида ,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Примеры

1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде .

– общее решение дифференциального уравнения.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3² + 4²= C²; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x² +y² = 5².

Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решением этого уравнения является всякая функция вида , где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: , .

Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения .

Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши.

Решение уравнения y’ = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию, y(x₀) = y₀, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y’ = f(x,y) при условии y(x₀) = y₀,, означает найти интегральную кривую уравнения y’ = f(x,y) которая проходит через заданную точку M₀(x₀,y₀).

II. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) = 0.

В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.

Уравнение y’ = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , которая содержит одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является функция .

Действительно, заменив в данном уравнении, его значением, получим

то есть 3x=3x

Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения , получим откуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 – частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y’=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x) и g(y)– заданные функции.

Для тех y, для которых , уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению, в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения по x, получим G(y) = F(x) + C– общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций и f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Производную функции переписать через её дифференциалы
Разделить переменные.
Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.
Если заданы начальные условия, найти частное решение.

Пример 1

Решить уравнение y’ = xy

Решение. Производную функции y’ заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Ответ:

Пример 2

Найти частное решение уравнения

2yy’ = 1- 3x², если y₀ = 3 при x₀ = 1

Это—уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Отсюда

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Подставив начальные значения x₀ = 1, y₀ = 3 найдем С 9=1-1+C, т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет или

Пример 3

Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом

Решение. Согласно условию

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим:

Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Используя начальные условия, x = 2 и y = – 3 найдем C:

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’ = f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) – некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид: y’ = f(x)y

Если то уравнение y’ = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y задается формулой: где С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением является y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y’ = ky где k – некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y + g(x) задается формулой ,

т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения данного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения вида y’ = kx + b,

где k и b– некоторые числа и частным решением будет являться постоянная функция . Поэтому общее решение имеет вид .

Пример. Решить уравнение y’ + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y’ = -2y – 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .

Следовательно, где С – произвольная постоянная.

Ответ:

2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y’ = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv, где u и v – неизвестные функции от x. Этот метод решения называется методом Бернулли.

Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

y’ = f(x)y + g(x)

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y’ = u’v + uv’

3. Подставить y и y’ в данное уравнение: u’v + uv’ = f(x)uv + g(x) или u’v + uv’ + f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию

Это уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда . .

6. Подставить полученное значение v в уравнение (из п.4):

и найти функцию Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: , т.е. .

Пример 1

Найти частное решение уравнения y’ = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y’ = u’v + uv’

Подставляя y и y’ в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Найдем функцию v:

Подставим полученное значение v в уравнение Получим:

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Найдем функцию u = u(x,c) Найдем общее решение: Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0:

Ответ:

III. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y’,y”) = 0

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида , в которую входят две произвольные постоянные C₁ и C₂.

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего при некоторых значениях произвольных постоянных C₁ и C₂.

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y” + py’ +qy = 0, где pи q– постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y” + py’ +qy = 0.

2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y” через r², y’ через r, yчерез 1:r² + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант D = p² -4q и найти корни характеристического уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде , где C₁ и C₂ – произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет равные действительные корни . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде

в) D < 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет комплексные корни, Общее решение дифференциального уравнения выражается, в виде

Примеры.

1. Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение. Составим характеристическое уравнение

D>0,

Общее решение

Дифференцируя общее решение, получим

Составим систему из двух уравнений

Подставим вместо ,и заданные начальные условия:

Таким образом, искомым частным решением является функция

2. Найти частное решение уравнения

Решение

<0,

Общее решение

– частное решение.

IV. Практическая работа

Вариант 1

1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(1;2) и имеющей угловой коэффициент .

2. Найти частные решения дифференциальных уравнений:

а)

б)

в)

г)

Вариант 2

1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;1) и имеющей угловой коэффициент

2. Найти частные решения дифференциальных уравнений:

а)

б)

в)

г)

V. Ответы

Вариант 1	Вариант 2
1.	1.
2. а)	2. а)
б)	б)
в)	в)
г)	г)

Решение дифференциальных уравнен

Решение дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения это уравнения, в которых неизвестными являются не переменные (т. е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В противном случае говорят об уравнениях в частных производных. MathCAD предоставляет большие возможности для решения ОДУ и очень ограниченные для решения уравнений в частных производных.

Поскольку решение дифференциальных уравнений состоит в интегрировании, чтобы обеспечить однозначность решения, необходимо задавать дополнительные условия для определения постоянных интегрирования.

MathCAD решает ОДУ двух типов:

задачи Коши ОДУ с начальными условиями, в которых задаются значения функции и ее производных в начальной точке интервала интегрирования;
краевые задачи ОДУ с граничными условиями, где задаются значения функции и ее производных в начале и в конце интервала интегрирования.

Для численного интегрирования одного ОДУ (равно как и систем ОДУ) можно использовать вычислительный блок Given Odesolve (рис.5.1), впервые появившийся в версии MathCAD 2000 Pro, или применить встроенные функции, унаследованные от более ранних версий MathCAD.

Дифференциальное уравнение можно записать либо со штрихом, либо

с дифференциалом (поменяйте местами окрашенные уравнения). Для

набора штриха служат клавиши Ctrl+F7.

Given исходное уравнение

граничные значения

Рис. 5. 1 Использование функции Odesolve

MathCAD в состоянии решить только ОДУ, которые можно записать в стандартном виде, то есть решить алгебраически относительно производной высшего порядка и записать в виде y'(x)=f(x).

Differential Equations | Mathematica & Wolfram Language for Math Students—Fast Intro

Язык Wolfram позволяет решать обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных и уравнения с запаздыванием.

Функция DSolveValue возвращает решение дифференциального уравнения в общем виде:

(C[1] – константа интегрирования.)

In[1]:=

sol = DSolveValue[y'[x] + y[x] == x, y[x], x]

Out[1]=

Используем символ /.3, x[0] == y[0] == 1}, {x, y}, {t, 20}]

Out[1]=

Построим решения системы в виде параметрического графика:

In[2]:=

ParametricPlot[{xsol[t], ysol[t]}, {t, 0, 20}]

Out[2]=

Справочная информация: Дифференциальные уравнения »

Решение дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим решение неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, в которых правая часть содержит синус и косинус.

Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

Составим для однородного дифференциального уравнения характеристическое уравнение и решим его:

Корни k1 и k2 — действительные числа, причем k1≠k2, поэтому общее решение однородного дифференциального уравнения есть

Поскольку a±bi=0±1i=±i не является корнем характеристического уравнения, это — случай IIa.

то есть P и Q — многочлены нулевой степени. Значит, S и T — тоже многочлены нулевой степени, T=A, S=B,

Теперь находим первую и вторую производные от Y, подставляем получившиеся выражения в условие и ищем неопределенные коэффициенты A и B:

Теперь приравниваем коэффициенты при sin x и при cos x:

Умножив 1-е уравнение системы на 11, второе на 3 и сложив их, получаем: -130A=20. Отсюда A=-2/13. Подставив в 1-е уравнение полученное значение, находим B: B=(1-22/13)/3=-3/13. Таким образом, частное решение неоднородного уравнения есть

А значит, общее решение данного неоднородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами есть

Составляем и решаем характеристическое уравнение однородного ДУ:

k1 и k2- действительные числа, k1≠k2, поэтому общее решение ЛОДУ есть

a±bi=0±i=±i не является корнем характеристического уравнения, P(x)=0, Q(x)=2x, то есть максимальная из степеней P и Q — первая. Значит, S и T — многочлены 1-й степени. Поэтому частное решение ЛНДУ второго порядка в этом случае будем искать как

где A, B, C, D — неопределенные коэффициенты. Находит первую и вторую производные частного решения Y и подставляем их в условие.

Теперь подставляем:

Приравниваем коэффициенты при cos x, sin x, xsin x и xcos x:

Откуда C=0, A=-1, B=0, D=A=-1. Таким образом, в этом случае частное решение ЛНДУ второго порядка есть

Так как общее решение дифференциальных уравнений второго порядка есть сумма решений yo и Y, то

Примеры для самопроверки.

Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

Показать решение

k1 и k2 действительные числа,k1≠k2, поэтому

то есть a=0, b=4. a±bi=4i не является корнем характеристического уравнения, P(x)=-65, Q(x)=0, поэтому S и T — тоже многочлены нулевой степени. Значит, частное решение ЛНДУ второго порядка в данном случае ищем в виде

Подставляем в условие:

После упрощения получаем:

Приравниваем соответствующие коэффициенты:

Отсюда A=8B, B=1/4, A=2. Отсюда получаем частное решение данного ДУ второго порядка:

Значит, общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в этом случае есть

a=0, b=±1, a±bi — корень характеристического уравнения. P(x)=1, Q(x)=0. Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

Подставляем в условие найденные выражения для первой и второй производных:

Отсюда получаем, что

Следовательно, A=1/2, B=0. Таким образом, частное решение неоднородного ДУ здесь есть

соответственно, общее решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами —

Как найти решения дифференциальных уравнений

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса – изображению, ссылке, тексту и т. д. – относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему утверждению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении прав, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Решения дифференциальных уравнений серии

– Calculus Volume 3

Цели обучения

Используйте степенные ряды для решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка.

В разделе «Введение в степенные ряды» мы изучили, как функции могут быть представлены в виде степенных рядов. Мы также увидели, что мы можем найти серийные представления производных таких функций, почленно дифференцируя степенной ряд. Это дает и. В некоторых случаях эти представления степенного ряда можно использовать для поиска решений дифференциальных уравнений.

Имейте в виду, что в этом тексте эта тема рассматривается очень кратко. Большинство вводных учебников по дифференциальным уравнениям включают целую главу о решениях степенных рядов.В этом тексте есть только один раздел по теме, поэтому здесь не рассматриваются некоторые важные вопросы, особенно вопросы, связанные с существованием решений. В этом разделе были выбраны примеры и упражнения, для которых существуют силовые решения. Однако энергетические решения существуют не всегда. Тем из вас, кто интересуется более строгим подходом к этой теме, следует обратиться к тексту о дифференциальных уравнениях.

Решения дифференциальных уравнений серии

Найдите решение в виде степенного ряда для следующих дифференциальных уравнений.

Предположим (шаг 1). Затем, и (шаг 2). Мы хотим найти такие значения коэффициентов, чтобы

Мы хотим, чтобы индексы наших сумм совпадали, чтобы мы могли выразить их с помощью единственного суммирования. То есть мы хотим переписать первое суммирование так, чтобы оно начиналось с
. Чтобы повторно проиндексировать первый член, замените n на внутри суммы и измените нижний предел суммирования на. Мы получаем
.

Это дает

Поскольку разложения функций в степенной ряд уникальны, это уравнение может быть истинным, только если коэффициенты каждой степени x равны нулю.Итак, у нас есть

Это повторяющееся соотношение позволяет нам выразить каждый коэффициент через коэффициент двумя членами ранее. Это дает одно выражение для четных значений n и другое выражение для нечетных значений n . Посмотрев сначала на уравнения, содержащие четные значения n , мы видим, что

Таким образом, в общем случае, когда n четное, (шаг 5).
Для уравнений с нечетными значениями n , мы видим, что

Следовательно, как правило, когда n нечетное, (шаг 5 продолжение).
Собирая все вместе, получаем

Переиндексируя суммы для отдельного учета четных и нечетных значений n , мы получаем

Анализ части а.
Как и ожидалось для дифференциального уравнения второго порядка, это решение зависит от двух произвольных констант. Однако обратите внимание, что наше дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, но решение степенного ряда, похоже, не имеет привычного вида (содержащего экспоненциальные функции), который мы привыкли видеть.Более того, поскольку это общее решение этого уравнения, мы должны иметь возможность записать любое решение в этой форме, и неясно, может ли решение степенного ряда, которое мы только что нашли, действительно быть записано в этой форме.
К счастью, после написания представлений степенного ряда и некоторой алгебры мы обнаруживаем, что если мы выберем

то у нас и и

Итак, мы фактически нашли такое же общее решение. Обратите внимание, что этот выбор и не очевиден.Это тот случай, когда мы знаем, каким должен быть ответ, и по сути «перепроектировали» наш выбор коэффициентов.
Предположим (шаг 1). Затем, и (шаг 2). Мы хотим найти такие значения коэффициентов, чтобы

Взяв внешние факторы внутри суммирования, получим

Теперь, в первом суммировании, мы видим, что когда или член оценивается как ноль, поэтому мы можем добавить эти члены обратно в нашу сумму, чтобы получить

Точно так же в третьем члене мы видим, что, когда выражение оценивается как ноль, мы также можем добавить этот член обратно.У нас

Затем нам нужно только сдвинуть индексы во втором члене. Получаем

Таким образом, имеем

Глядя на коэффициенты при каждой степени x , мы видим, что постоянный член должен быть равен, а коэффициенты всех других степеней x должны быть равны нулю. Затем, сначала посмотрев на постоянный член,

Ибо у нас

Поскольку мы видим, что

и, следовательно,

Для четных значений n имеем

В общем (шаг 5).
Для нечетных значений n имеем

В общем (продолжение шага 5).
Собирая все вместе, получаем

Найдите решение в виде степенного ряда для следующих дифференциальных уравнений.

Подсказка

Следуйте стратегии решения проблем.

Мы завершаем этот раздел кратким введением в функции Бесселя.Полное рассмотрение функций Бесселя выходит далеко за рамки этого курса, но мы немного познакомимся с этой темой, чтобы увидеть, как серийные решения дифференциальных уравнений используются в реальных приложениях. Уравнение Бесселя порядка n имеет вид

Это уравнение возникает во многих физических приложениях, особенно в тех, которые связаны с цилиндрическими координатами, такими как вибрация круглой головки барабана и переходный нагрев или охлаждение цилиндра. В следующем примере мы находим решение уравнения Бесселя порядка 0 в виде степенного ряда.

Power Series Решение уравнения Бесселя

Найдите решение уравнения Бесселя порядка 0 в виде степенного ряда и нанесите его на график.

Убедитесь, что выражение, найденное на (Рисунок), является решением уравнения Бесселя порядка 0.

Подсказка

Разделите степенной ряд член за членом и подставьте его в дифференциальное уравнение.

Ключевые понятия

Представления функций степенным рядом иногда можно использовать для поиска решений дифференциальных уравнений.
Продифференцируйте степенной ряд по члену и подставьте в дифференциальное уравнение, чтобы найти отношения между коэффициентами степенного ряда.

Найдите решение в виде степенного ряда для следующих дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение – это уравнение Бесселя первого порядка.Используйте степенной ряд формы, чтобы найти решение.

Упражнения для повторения главы

Верно или неверно ? Обоснуйте свой ответ доказательством или контрпримером.

Если и являются обоими решениями, то также является решением.

Следующая система алгебраических уравнений имеет единственное решение:

является решением дифференциального уравнения второго порядка

Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, вам нужно одно начальное условие.

Классифицируйте дифференциальное уравнение. Определите порядок, является ли он линейным и, если линейный, является ли дифференциальное уравнение однородным или неоднородным. Если уравнение является однородным и линейным второго порядка, найдите характеристическое уравнение.

второго порядка, линейный, однородный,

нелинейная неоднородная первого порядка

Найдите общее решение для следующих проблем.

Для следующих проблем, если возможно, найдите решение проблемы начального значения.

Найдите решение краевой задачи для следующих задач.

Для следующей задачи составьте и решите дифференциальное уравнение.

Следующие задачи рассматривают «биения», которые возникают, когда вынуждающий член дифференциального уравнения вызывает «медленные» и «быстрые» амплитуды. Рассмотрим общее дифференциальное уравнение, управляющее незатухающим движением. Предположим, что

Найдите общее решение этого уравнения (подсказка : вызов ).

Предполагая, что система запускается из состояния покоя, покажите, что конкретное решение можно записать как

[T] Используя полученные ранее решения, нанесите решение системы на интервал. Найдите аналитически период быстрой и медленной амплитуд.

Для следующей задачи составьте и решите дифференциальные уравнения.

Точные дифференциальные уравнения

Определение точного уравнения

Дифференциальное уравнение типа

\ [P \ left ({x, y} \ right) dx + Q \ left ({x, y} \ right) dy = 0 \]

называется точным дифференциальным уравнением, если существует функция двух переменных \ (u \ left ({x, y} \ right) \) с непрерывными частными производными такая, что

\ [du \ left ({x, y} \ right) = P \ left ({x, y} \ right) dx + Q \ left ({x, y} \ right) dy.\]

Общее решение точного уравнения дается

\ [u \ left ({x, y} \ right) = C, \]

где \ (C \) – произвольная постоянная.

Тест на точность

Пусть функции \ (P \ left ({x, y} \ right) \) и \ (Q \ left ({x, y} \ right) \) имеют непрерывные частные производные в некоторой области \ (D. \) Дифференциальное уравнение \ (P \ left ({x, y} \ right) dx + Q \ left ({x, y} \ right) dy = 0 \) является точным уравнением тогда и только тогда, когда

\ [\ frac {{\ partial Q}} {{\ partial x}} = \ frac {{\ partial P}} {{\ partial y}}.\]

Алгоритм решения точного дифференциального уравнения

Сначала необходимо убедиться в точности дифференциального уравнения с помощью теста на точность:
\ [\ frac {{\ partial Q}} {{\ partial x}} = \ frac {{\ partial P}} {{\ partial y}}. \]
Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, определяющих функцию \ (u \ left ({x, y} \ right): \)
\ [\ left \ {\ begin {array} {l} \ frac {{\ partial u}} {{\ partial x}} = P \ left ({x, y} \ right) \\ \ frac {{\ partial u}} {{\ partial y}} = Q \ left ({x, y} \ right) \ end {array} \ right.. \]
Проинтегрируем первое уравнение по переменной \ (x. \) Вместо константы \ (C, \) запишем неизвестную функцию от \ (y: \)
\ [u \ left ({x, y} \ right) = \ int {P \ left ({x, y} \ right) dx} + \ varphi \ left (y \ right). \]
Дифференцируя по \ (y, \), подставляем функцию \ (u \ left ({x, y} \ right) \) во второе уравнение:
\ [\ frac {{\ partial u}} {{\ partial y}} = \ frac {\ partial} {{\ partial y}} \ left [{\ int {P \ left ({x, y} \ right) dx} + \ varphi \ left (y \ right)} \ right] = Q \ left ({x, y} \ right).\]
Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции \ ({\ varphi \ left (y \ right)}: \)
\ [\ varphi ‘\ left (y \ right) = Q \ left ({x, y} \ right) – \ frac {\ partial} {{\ partial y}} \ left ({\ int {P \ left ({x, y} \ right) dx}} \ right). \]
Интегрируя последнее выражение, мы находим функцию \ ({\ varphi \ left (y \ right)} \) и, следовательно, функцию \ (u \ left ({x, y} \ right): \)
\ [u \ left ({x, y} \ right) = \ int {P \ left ({x, y} \ right) dx} + \ varphi \ left (y \ right).\]
Общее решение точного дифференциального уравнения дается выражением
\ [u \ left ({x, y} \ right) = C. \]

Примечание:

На шаге \ (3, \) мы можем интегрировать второе уравнение по переменной \ (y \) вместо интегрирования первого уравнения по \ (x. \). После интегрирования нам нужно найти неизвестную функцию \ ({\ psi \ left (x \ right)}. \)

Решенные проблемы

Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.3} – 2y = C, \]

, где \ (C \) – произвольное действительное число.

См. Другие проблемы на странице 2.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Во многих реальных ситуациях моделирования дифференциальное уравнение для интересующей переменной зависит не только от первой производной, но и от более высоких. Естественно, что тогда дифференциальные уравнения более высокого порядка возникают на экзаменах по STEP и другим экзаменам по продвинутой математике. {\ lambda t} \).{rt} (A \ cos st + B \ sin st). \)

Итак, эти три формулы, которые мы получили, – это все, что нам действительно нужно запомнить! Для любого однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами мы просто переходим к вспомогательному уравнению, находим наше (\ lambda \), записываем подразумеваемое решение для \ (y \), а затем используем начальные условия, чтобы помочь нам найти константы, если требуется.

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Одно расширение к вышесказанному, которое мы должны решить, – это случай, когда RHS в нашем DE не равен нулю, т.е.2} + b \ frac {dy_p} {dt} + cy_p = f (t). \)
Может показаться, что мы сделали вещи бесконечно сложнее, но на самом деле это не так. Теперь должно быть ясно, что \ (y_c \) находится из однородного случая, который мы рассмотрели выше; так что все, что нам нужно, чтобы найти это наше вспомогательное уравнение. Для \ (y_p \) мы снова используем угадывание решения, но наше точное предположение зависит от f. {n-1} +… + Z \) \ (\ cos \ alpha t \) или \ (\ sin \ alpha t \) \ (P \ cos \ alpha t + Q \ sin \ alpha t \)
Чтобы найти константы, представленные в \ (y_p \) выше, нам просто нужно дважды дифференцировать и подставить в его дифференциальное уравнение. Наконец, вооружившись \ (y_c \) и \ (y_p \), у нас есть общее решение для \ (y \), и мы можем использовать начальные условия, чтобы найти константы в \ (y_c \), если нам потребуется.
Пример

Чтобы поместить все это в контекст, давайте сами рассмотрим особенно сложный случай.2- \ frac {4} {5} t + \ frac {58} {25}. \)
Сводка

Теперь вы увидели почти все, что вам может понадобиться, чтобы подготовиться к тому, чтобы самому приступить к выполнению нескольких вопросов по дифференциальному уравнению для экзаменов по STEP и другим экзаменам по продвинутой математике.
Математические методы экономической теории: 8.6 Дифференциальные уравнения второго порядка
8.6 Дифференциальные уравнения второго порядка
Общая форма
Определение
Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка – это обыкновенное дифференциальное уравнение, которое можно записать в виде
x дюймов ( т ) = F ( т , x ( т ), x ‘( т ))
для некоторой функции F трех переменных.
Уравнения вида
x дюймов ( t ) = F ( t , x ‘( t )) Уравнение вида
x дюймов ( т ) = F ( т , x ‘( т )),
в котором x ( t ) не появляется, можно свести к уравнению первого порядка, сделав замену z ( t ) = x ‘( t ).
Пример
Пусть u будет функцией одной переменной с интерпретацией, что u ( w ) – это полезность человека с богатством w . Функция ρ, определенная формулой
ρ ( w ) = – w u дюймов ( w ) / u ‘( w )
известна как показатель относительного неприятия риска Эрроу-Пратта . (Если ρ ( w ) для функции u превышает ρ ( w ) для функции v для всех w , то u отражает большую степень неприятия риска, чем v .)
Какие функции полезности обладают степенью неприятия риска, не зависящей от уровня благосостояния? То есть для каких функций полезности и у нас
a = – w u “( w ) / u ‘( w ) для всех w
для какого числа ?
Это уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, в котором отсутствует член u ( w ).(Переменная – w , а не t .) Определите z ( w ) = u ‘( w ). Тогда у нас есть
a = – w z ‘( w ) / z ( w )
или
z ‘( w ) / z ( w ) = – a / w ,
сепарабельное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Интегрирование обеих сторон дает
∫ ^w ( z ‘( r ) / z ( r )) d r = – a ∫ ^w r (1/9036 ) d r + C .
Делая замену y = z ( r ), так что d y = z ‘( r ) d r , получаем
∫ ^{z ( w )} (1/ y ) d y = – a ∫ ^w (1/ r ) d С ,
так что
ln z ( w ) = – a ln w + C
или
z ( w ) = C w ^{– a}.
Теперь z ( w ) = u ‘( w ), поэтому, чтобы получить u , нам нужно интегрировать:
u ( w ) =
C ln w + В , если , а = 1
C w ^{1- a} / (1- a ) + B , если a ≠ 1.
Мы заключаем, что функция полезности с постоянной степенью относительного неприятия риска, равной a , принимает такую форму.
Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение
Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами – это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, которое можно записать в виде
x дюймов ( t ) + a x ‘( t ) + b x ( t ) = f ( t )
для функции f одной переменной и чисел a и b .Уравнение является однородным, если f ( t ) = 0 для всех t .
Пусть x будет решением уравнения
x дюймов ( t ) + a x ‘( t ) + b x ( t ) = f ( t ),
которое мы впоследствии будем называть «исходным уравнением».
Предположим, что y также является решением этого уравнения, и определим z ( t ) = y ( t ) – x ( t ) для всех t .Тогда z “( t ) + a z ‘( t ) + b z ( t ) = [ y ” ( t ) + a л ‘( т ) + b y ( t )] – [ x дюймов ( t ) + a x ‘( t ) + b x ( t )] = f ( t ) – f ( t ) = 0. То есть z является решением однородного уравнения
x дюймов ( т ) + a x ‘( т ) + b x ( т ) = 0.
И наоборот, пусть z будет решением однородного уравнения, и определим y ( t ) = x ( t ) + z ( t ) для всех t . Тогда y – решение исходного уравнения.
Таким образом, мы получаем следующий результат.
Практическая важность этого результата состоит в том, что набор всех решений исходного уравнения может быть найден путем нахождения одного решения этого уравнения и добавления к нему общего решения однородного уравнения.То есть мы можем использовать следующую процедуру для решения исходного уравнения.
Процедура нахождения общего решения линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общее решение дифференциального уравнения
x дюймов ( t ) + a x ‘( t ) + b x ( t ) = f ( t )
можно найти следующим образом.
Найдите общее решение связанного однородного уравнения x “( t ) + a x ‘( t ) + b x ( t ) = 0.
Найдите единственное решение исходного уравнения x “( t ) + a x ‘( t ) + b x ( t ) = f ( т ).
Сложите вместе решения, найденные на шагах 1 и 2.
Теперь я объясню, как выполнить первые два шага, и проиллюстрирую шаг 3.
1. Найти общее решение однородного уравнения
Вы можете предположить, основываясь на решениях, которые мы нашли для уравнений первого порядка, что однородное уравнение имеет решение вида x ( t ) = A e ^{r t}.Посмотрим, так ли это. Если x ( t ) = A e ^{r t}, то x ‘( t ) = r A e r и x дюймов ( т ) = r ² A e ^{r t}, чтобы
x дюймов ( т ) + a x ‘( т ) + b x ( t ) = r ² A e ^{r t} + a r A e ^{r t} + b A e ^{r t}
= A e ^{r t} ( r ² + a r + b ).
Таким образом, чтобы x ( t ) было решением уравнения, нам нужно
r ² + a r + b = 0.
Это уравнение известно как характеристическое уравнение дифференциального уравнения. Если a ²> 4 b это уравнение имеет два различных действительных корня, если a ² = 4 b оно имеет единственный действительный корень, и если a ² b у него два сложных корня.
Предположим, что a ²> 4 b , так что характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, скажем, r и s . Мы показали, что и x ( t ) = A e ^{r t} и x ( t ) = B e ^{s t s t} для любых значений A и B являются решениями уравнения.Таким образом, также x ( t ) = A e ^{r t} + B e ^{s t} – это решение. Фактически можно показать, что каждые решений уравнения принимают эту форму.
Случаи, когда характеристическое уравнение имеет единственный действительный корень ( a ² = 4 b ) или комплексные корни ( a ² <4 b ), требуют немного другого анализа, со следующими выводами. .
Источник предложения
Рассмотрим однородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
x дюймов ( т ) + a x ‘( т ) + b x ( t ) = 0,
Общее решение этого уравнения зависит от характера корней характеристического уравнения r ² + a r + b = 0 следующим образом.
Отчетливые настоящие корни
Если a ²> 4 b , и в этом случае характеристическое уравнение имеет различные действительные корни, скажем, r и s , общее решение уравнения
A e ^{r t} + B e ^{s t}.
Один настоящий корень
Если a ² = 4 b , и в этом случае характеристическое уравнение имеет единственный корень, скажем, r , общее решение уравнения будет
( A + B т ) e ^{r т},
где r = – a /2 – корень.
Сложные корни
Если a ² <4 b , и в этом случае характеристическое уравнение имеет комплексные корни, общее решение уравнения имеет вид
( A cos (β t ) + B sin (β t )) e ^{α t},
где α = – a /2 и β = √ ( b – a ²/4). В качестве альтернативы это решение может быть выражено как
C e ^{α t} cos (β t + ω),
где отношения между константами C , ω, A и B равны A = C cos ω и B = – C sin ω.
Источник скрыть
Для доказательства см. Коддингтон (1961), теорема 1 на стр. 51 и теорема 5 на с. 58, и Бойс и ДиПрима (1969), стр. 106–116.
Вы можете спросить себя, как это возможно, что в решениях могут появиться тригонометрические функции (sin и cos). Ответ заключается в том, что
e ^{i x} = cos x + i sin x для всех x ,
где i – квадратный корень из −1.Подробнее см. Boyce and DiPrima (1969), стр. 106–116.
Пример
Рассмотрим дифференциальное уравнение
x дюймов ( т ) + x ‘( т ) – 2 x ( т ) = 0,
Характеристическое уравнение имеет вид
r ² + r – 2 = 0
так что корни равны 1 и −2. То есть корни настоящие и отчетливые. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения есть
x ( t ) = A e ^t + B e ^{−2 t}.
Пример
Рассмотрим дифференциальное уравнение
x дюймов ( т ) + 6 x ‘( т ) + 9 x ( т ) = 0,
Характеристическое уравнение имеет единственный действительный корень −3. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения есть
x ( t ) = ( A + B t ) e ^{−3 t}.
Пример
Рассмотрим уравнение
x дюймов ( т ) + 2 x ‘( т ) + 17 x ( т ) = 0.
Корни характеристического уравнения сложные. У нас есть a = 2 и b = 17, поэтому α = −1 и β = 4. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид
[ A cos (4 t ) + B sin (4 t )] e ^{– t}.
2. Найти решение неоднородного уравнения
Рассмотрим неоднородное уравнение
x дюймов ( t ) + a x ‘( t ) + b x ( t ) = f ( t ).
Если f ( t ) является константой, скажем c , то решение этого уравнения
x ( т ) =
c / b , если b ≠ 0
c t / a , если b = 0 и a ≠ 0
c t ²/2 , если a = b = 0.
Для других форм f хороший способ найти решение – это попробовать линейную комбинацию f ( t ) и его первую и вторую производные. Если, например, f ( t ) = 3 t – 6 t ², то f ‘( t ) = 3-12 t и f “( t ) = −12, поэтому вам следует попытаться найти значения A , B и C , такие что A + B t + C t ² – это решение.Или, если f ( t ) = 2sin t + cos t , то вы должны попробовать найти такие значения A и B , что f ( t ) = A sin t + B cos t является решением. Или, если f ( t ) = 2 e ^{B t} для некоторого значения B , то вы должны попытаться найти значение A , такое, что A e ^{B t} – это решение.
Пример
Рассмотрим дифференциальное уравнение
x дюймов ( т ) + x ‘( т ) – 2 x ( т ) = т ²,
Линейная комбинация функции в правой части и ее первой и второй производных равна C + D t + E t ². Чтобы эта функция была решением,
2 E + D + 2 E т -2 C -2 D т -2 E т ² = т
^{для всех 2} т .
Для выполнения этого условия (обратите внимание, что уравнение должно выполняться для всех t ), константа и коэффициент t слева должны быть равны нулю, а коэффициент t ² слева должно быть 1. То есть
2 E + D -2 C = 0
2 E -2 D = 0
−2 E = 1.
Единственное решение этих уравнений: E = -1/2, D = -1/2 и C = -3/4. Таким образом
x ( т ) = −3/4 – т /2 – т ²/2
является решением дифференциального уравнения.
3. Сложите решения, найденные на шагах 1 и 2
Этот шаг довольно тривиальный!
Пример
Рассмотрим уравнение из предыдущего примера, а именно
x дюймов ( т ) + x ‘( т ) – 2 x ( т ) = т ².
Выше мы видели, что общее решение связанного однородного уравнения есть
x ( t ) = A e ^t + B e ^{−2 t}.
и это
x ( т ) = −3/4 – т /2 – т ²/2
является решением исходного уравнения.
Таким образом, общее решение исходного уравнения
x ( т ) = A e ^t + B e ^{−2 t} – 3/4 – t / 2- ²/2.
Задачи начального значения второго порядка
Задача первого порядка с начальным значением состоит из обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка x ‘( t ) = F ( t , x ( t )) и «начального условия», которое задает значение x для одного значения t . Для уравнения второго порядка, когда требуется начальное условие такой формы, как правило, однозначное решение не определяется.Чтобы определить уникальное решение, обычно необходимо указать значение x для некоторого значения t и скорость изменения x при этом значении t . Соответственно, дадим следующее определение.
Определение
Задача второго порядка начальной стоимости состоит из обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
x дюймов ( т ) = F ( т , x ( т ), x ‘( т ))
и начальные условия
x ( t ₀) = x ₀ и x ‘( t ₀) = k ₀
где t ₀, x ₀ и k ₀ – числа.
Пример
Рассмотрим задачу начального значения второго порядка, в которой дифференциальным уравнением является уравнение из предыдущего примера, а именно
x дюймов ( т ) + x ‘( т ) – 2 x ( т ) = т ²,
и начальные условия
x (0) = 0 и x ‘(0) = 1.
Из предыдущего примера общее решение уравнения:
x ( т ) = A e ^t + B e ^{−2 т} – 3/4 – т /2 – 7 т 2 /2.
У нас есть
x (0) = A + B – 3/4
x футов (0) = A – 2 B – 1/2
так что для выполнения начальных условий нам потребуется
0 = A + B – 3/4
1 = A – 2 B – 1/2.
Единственное решение этих уравнений: A = 1, B = −1/4. Таким образом, решение начальной задачи равно
x ( т ) = e ^т – (1/4) e ^{−2 т} – 3/4 – т /2 – т ²/2.
Равновесие и стабильность
Понятия равновесия и устойчивости для начальной задачи второго порядка тесно связаны с соответствующими понятиями для начальной задачи первого порядка.
Определение
Если для некоторых начальных условий задача начального значения второго порядка имеет решение, которое является константой, значение константы является равновесным или стационарным состоянием соответствующего дифференциального уравнения. Если для всех начальных условий решение начального значения второго порядка задача сходится к равновесию соответствующего дифференциального уравнения, когда переменная t неограниченно увеличивается, тогда равновесие глобально устойчиво.
Рассмотрим однородное линейное уравнение второго порядка
x дюймов ( т ) + a x ‘( т ) + b x ( t ) = 0,
Если b ≠ 0, это уравнение имеет единственное состояние равновесия, а именно 0. (То есть единственная постоянная функция, которая является решением, равна 0 для всех t ). Чтобы изучить устойчивость этого равновесия, рассмотрите отдельно три возможных формы общего решения уравнения, как указано в предыдущем результате.
Характеристическое уравнение имеет два действительных корня
Если характеристическое уравнение имеет два действительных корня, r и s , общее решение уравнения будет A e ^{r t} + B e ^{s т}. Эта функция сходится к 0 для всех значений A и B , так что равновесие глобально устойчиво, если и только если r <0 и s <0.
Характеристическое уравнение имеет единственный действительный корень
Если характеристическое уравнение имеет единственный действительный корень, r , общее решение уравнения будет ( A + B t ) e ^{r t}. Эта функция сходится к 0 для всех значений A и B , так что равновесие глобально устойчиво, если и только если r <0. (Если r <0, то для любого значения k , t ^k e ^{r t} сходится к 0 при неограниченном увеличении t .)
Характеристическое уравнение имеет комплексные корни
Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, общее решение уравнения будет ( A cos (β t ) + B sin (β t )) e ^{α t}, где α = – a /2, β = √ ( b – a ²/4). Эта функция сходится к 0 для всех значений A и B , так что равновесие глобально устойчиво тогда и только тогда, когда α <0, или, что то же самое, a > 0.(Помните, что cos θ и sin θ лежат между +1 и -1 для всех значений θ.)
Теперь корни характеристического уравнения
r ² + a r + b = 0
по формуле корней квадратного уравнения
(- a ± √ ( a ²-4 b )) / 2.
Таким образом, если эти корни комплексные, то действительная часть каждого из них будет – a /2. Следовательно, условие устойчивости в случае комплексных корней состоит в том, что действительная часть каждого корня отрицательна.Поскольку действительная часть реального корня – это просто корень, условия в двух других случаях точно такие же. То есть независимо от природы корней равновесие глобально устойчиво тогда и только тогда, когда действительная часть каждого корня характеристического уравнения отрицательна.
Если b = 0, то любое число является равновесием. По предыдущему результату общее решение уравнения: A e ^{– a t} + B , если a ≠ 0 и A + B t if a = 0.В обоих случаях при отсутствии равновесия решения сходятся к равновесию для всех значений A и B .
Таким образом, равновесие линейного однородного уравнения второго порядка
x дюймов ( т ) + a x ‘( т ) + b x ( т ) = 0
глобально устойчиво тогда и только тогда, когда действительные части каждого корня характеристического уравнения
r ² + a r + b = 0
отрицательный.Если a ²> 4 b , то корни являются действительными, равными (- a ± √ ( a ²-4 b )) / 2. Они оба отрицательны тогда и только тогда, когда – a + √ ( a ²-4 b ) a > 0 и b > 0. Если a ² = 4 b , то b ≥ 0 (поскольку квадрат любого числа неотрицателен) и единственный корень равен – a /2, что отрицательно тогда и только тогда, когда a > 0, в этом случае b > 0.Наконец, если a ² b , то также b > 0 и действительная часть каждого корня – a /2, что является отрицательным тогда и только тогда, когда a > 0.
Таким образом, мы получаем следующий результат.
Теперь рассмотрим (неоднородное) линейное уравнение второго порядка
x дюймов ( т ) + a x ‘( т ) + b x ( t ) = c
где b ≠ 0 и c ≠ 0.Постоянная функция x ( t ) = c / b является решением этого уравнения, так что по нашей процедуре общее решение уравнения представляет собой сумму c / b и общее решение однородного уравнения
x дюймов ( т ) + a x ‘( т ) + b x ( t ) = 0,
Таким образом, равновесие (0) этого однородного уравнения глобально устойчиво тогда и только тогда, когда равновесие исходного уравнения глобально устойчиво.То есть имеем следующий результат.
Пример
Рассмотрим следующую макроэкономическую модель. Обозначим через Q совокупное предложение, p уровень цен и π ожидаемый уровень инфляции. Предположим, что совокупный спрос является линейной функцией p и π, равной a – b p + c π, где a > 0, b > 0 и c > 0. Условием равновесия является
Q ( t ) = a – b p ( t ) + c π ( t ).
Обозначим через Q * долгосрочный устойчивый уровень выпуска (константа) и предположим, что цены корректируются в соответствии с уравнением
p ‘( t ) = h ( Q ( t ) – Q *) + π ( t ),
где h > 0. Наконец, предположим, что ожидания адаптивны:
π ‘( t ) = k ( p ‘ ( t ) – π ( t ))
для некоторых k > 0.Устойчиво ли равновесие этой системы?
Один из способов ответить на этот вопрос – свести систему к одному дифференциальному уравнению второго порядка, дифференцируя уравнение для p ‘( t ), чтобы получить p “( t ), а затем подставив вместо π ‘( t ) и π ( t ). Получаем
p “( t ) – h ( k c – b ) p ‘( t ) + k h b t ) = k h ( a – Q *).
Учитывая k > 0, h > 0 и b > 0, мы имеем k h b > 0, поэтому из предыдущего предложения равновесие устойчиво тогда и только тогда, когда k c < b .
В частности, если c = 0 (т.е. ожидания игнорируются), то равновесие устойчиво. Однако, если ожидания принимаются во внимание и быстро реагируют на изменения в уровне инфляции ( k является большим), тогда равновесие может быть нестабильным.
Видео с вопросом: Нахождение частного решения дифференциального уравнения с учетом точки, через которую проходит решение
Стенограмма видео
Найдите решение дифференциального уравнения 12 d𝑦 на d𝑥 плюс в квадрате 𝑒 в степени, равной нулю, которое проходит через точку ноль, четыре.
Вопрос требует, чтобы мы нашли конкретное решение дифференциального уравнения 12 d𝑦 на d𝑥 плюс умноженный на квадрат 𝑒 в степени, равной нулю, которая проходит через точку ноль, четыре.Вычитая в квадрате в степени из обеих частей нашего уравнения, мы видим, что 12 d𝑦 на d𝑥 равно отрицательному 𝑦 в квадрате 𝑒 в степени. Затем мы можем разделить на 12 и увидеть, что это разделимое дифференциальное уравнение.
И напомним, что мы называем дифференциальное уравнение сепарабельным, если его первый порядок, и мы можем записать его в форме d𝑦 на d𝑥, равен произведению двух функций, одной из и одной из. Чтобы решить эти типы дифференциальных уравнений, мы хотим разделить 𝑦-переменную и 𝑥-переменную на противоположные стороны уравнения.
Итак, мы начнем с деления обеих частей нашего уравнения на нашу функцию в 𝑦; это 𝑦 в квадрате. Это дает нам единицу больше в квадрате d𝑦 на d𝑥 равно отрицательному в степени 𝑥, деленной на 12. И здесь стоит повторить, что d𝑦 на d𝑥 не является дробью. Однако, когда мы решаем разделимые дифференциальные уравнения, мы можем рассматривать это как дробь. Это дает нам эквивалентное утверждение: один над в квадрате d𝑦 равен отрицательному в степени 𝑥 над 12 d𝑥.Чтобы решить эту проблему, мы хотим интегрировать обе части нашего уравнения. И мы видим, что можем вычислить оба этих интеграла.
Используя наши законы экспонент, мы знаем, что единицу больше 𝑦 в квадрате – это то же самое, что сказать 𝑦 в степени отрицательных двух. Затем мы можем оценить этот интеграл, используя наше правило мощности для интегрирования. Мы прибавляем единицу к показателю, а затем делим на этот новый показатель. Добавление единицы к нашему показателю отрицательных двух дает нам отрицательную единицу. И затем делим на это отрицательное значение.Наконец, мы добавляем постоянную интегрирования, которую мы назовем единицей. И мы знаем, что интеграл в степени просто равен самому себе. Таким образом, интеграл от отрицательного в степени над 12 просто равен отрицательному 𝑒 в степени над 12 плюс константа интегрирования, которую мы назовем двумя.
Это можно упростить. Мы знаем, что деление на отрицательное – это то же самое, что умножение на отрицательное. И мы можем объединить константы интегрирования один и два в новую константу, которую мы назовем.Это дает нам отрицательное в степени отрицательного, равное отрицательному в степени над 12 плюс. Теперь мы помним, что вопрос требовал от нас найти конкретное решение нашего дифференциального уравнения, которое проходит через точку ноль, четыре. Это то же самое, что сказать, когда 𝑥 равно нулю, 𝑦 равно четырем. Мы можем использовать это, чтобы найти значение нашей постоянной.
Мы подставляем равно нулю и 𝑦 равно четырем в наше общее решение дифференциального уравнения.Это дает нам отрицательные четыре в степени отрицательной единицы минус 𝑒 в нулевую степень над 12 плюс 𝑐. Мы знаем, что в нулевой степени равно единице, а четыре в степени отрицательной единицы равны одной четверти. Таким образом, мы можем изменить это уравнение, чтобы получить отрицательную четверть плюс одна двенадцатая, равная 𝑐. И тогда мы можем вычислить это как отрицательную одну шестую. Таким образом, подставляя, равное отрицательной одной шестой в наше общее решение дифференциального уравнения, мы получаем конкретное решение, отрицательное 𝑦 в степени отрицательного равно отрицательному в степени больше 12 минус одна шестая. .
Мы могли бы оставить свой ответ вот так. Однако мы можем переставить его так, чтобы дать 𝑦 через 𝑥. Мы умножаем обе части нашего уравнения на отрицательную. Это дает нам обратную величину, равную 𝑒 в степени над 12 плюс одна шестая. Переписываем одну шестую; это два, разделенные на 12. Итак, мы можем сложить наши две дроби вместе. Это дает нам обратную величину 𝑦, равную 𝑒 в степени плюс два над 12.
Наконец, мы возьмем обратную величину обеих частей уравнения, чтобы увидеть, что конкретное решение дифференциального уравнения 12 d𝑦 на d𝑥 плюс в квадрате 𝑒 в степени равно нулю, который проходит через точку ноль, четыре, дается как 𝑦 равно 12, деленному на 𝑒 в степени плюс два.
Требуются как антидифференцировка, так и домен
Люди часто думают, что для нахождения решений дифференциальных уравнений нужно просто найти первообразную, а затем использовать начальное условие для оценки константы. Хотя это дает начало поиску решений проблем с начальным значением, необходимо также учитывать область вашего конечного результата. Иногда эти соображения очевидны, как в AB6 из экзамена AP 2000 г., решение которого приведено ниже. (1/3), является естественным условием для определения функции логарифма, поэтому он включает начальное значение и избегает сингулярности.
Однако поиск решений задач начального значения для разделимых дифференциальных уравнений не всегда должен быть таким простым, как мы видим в следующих четырех примерах.
Пример 2
В качестве первого такого примера рассмотрим задачу начального значения:
Все первообразные могут быть записаны как,
(1)
, и если C = 2, начальное условие выполнено. Однако, даже если эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению и задаче начального значения, она НЕ является решением этого дифференциального уравнения.Решение:
(2)
Причина этого в том, что обычное определение решения дифференциального уравнения – это определение дифференцируемой функции на открытом интервале, содержащем начальное значение x . Обратите внимание, что функция в (1) также определена для x > 0, в то время как наше решение должно быть непрерывным на открытом интервале, содержащем начальное значение x = -1. Таким образом, область нашего решения не может содержать x = 0 или положительные значения, но должна включать x = -1.Это требует, чтобы домен был открытым интервалом.
Пример 3
В качестве второго примера, где нам нужно быть осторожными, рассмотрим проблему начального значения:
Разделение переменных дает, а поиск первообразных дает y ³ = x + C .
(3)
Выбор C = 0 удовлетворяет начальному условию. Обычно нам нравится находить явные решения, поэтому решение для y ( x ) дает.
(4)
Мы замечаем, что эта функция не имеет производной при x = 0, поэтому мы должны добавить условие x > 0 к нашему уравнению в (4), чтобы оно включало x = 1 и было решением нашей исходной задачи начального значения. Таким образом, область для нашего решения в (4) равна. Если бы наше начальное условие было y (-1) = -1, нашим решением было бы (4) с доменом.
Пример 4
В качестве другого примера, где нам нужно ограничить область нашего решения, рассмотрим:
Если мы разделим переменные и найдем первообразные, мы получим arcsin ( y ) = x + C .
(5)
Выбор C = -1 позволяет удовлетворить начальное условие. Если мы найдем явное решение, решив для y , мы найдем y ( x ) = sin ( x – 1),
(6)
, и это представляет проблему. Из нашего исходного дифференциального уравнения и поля наклона на рисунке 1 ниже мы видим, что наше решение никогда не должно иметь отрицательного значения для своей производной, тогда как наше решение в (6) является колебательным.Проблема возникла, когда мы решили уравнение (5) для y ( x ). В (6) нам нужно ограничить область нашего решения интервалом длиной π , который включает наше начальное значение и на котором начальный синусоидальный граф увеличивается.
Таким образом, правильное решение нашей проблемы:
.
Обратите внимание, что этот домен также может быть записан как.
Пример 5
В качестве последнего примера, иллюстрирующего необходимость ограничения области определения первообразной, чтобы она была решением дифференциального уравнения, рассмотрим:
Разделение переменных и поиск первообразных дает,
(7)
, поэтому начальное условие выполняется, если C = -2.Решение (7) относительно y ( x ) дает.
(8)
Мы замечаем, что (8) справедливо для всех x , не равных 2, и что это решение будет иметь отрицательные наклоны для x > 2, в то время как наше исходное дифференциальное уравнение требует неотрицательных наклонов везде. (Взгляд на поле наклона на Рисунке 2 ниже также демонстрирует этот факт.)
Мы столкнулись с этой проблемой, когда возводили обе части (7) в квадрат, чтобы получить наше явное решение.Поскольку левая часть (7) всегда отрицательна, мы должны ограничить правую часть до x + C <0. Таким образом, нам нужно добавить условие x <2 к нашему решению в (8).
Обратите внимание, что мы не можем рассматривать x > 2 в любом случае, поскольку домен должен быть открытым интервалом, содержащим наше начальное значение x = 0, и не включать x = 2, где решение не определено. Этот пример показывает, что мы не можем продолжить решение через разрыв, даже если полученная функция формально удовлетворяет дифференциальному уравнению на другой стороне разрыва.
Заключение
Итак, что мы можем сделать из этих примеров?
Процесс получения явного решения из неявного решения может привести к неправильному решению нашей проблемы начального значения.
Могут быть значения x , когда производная явного решения не существует, даже если она формально удовлетворяет дифференциальному уравнению.
Чтобы избежать этих ошибок, мы всегда можем проверить, является ли явное решение таким, что:
Для всех частей области производная явного решения не противоречит исходному дифференциальному уравнению.(Сравнение поля наклона дифференциального уравнения с графиком явного решения покажет любые различия.)
Его производная существует для всех значений в своем домене.
Для получения дополнительной информации см. Разделы 1.1 и 2.4 книги Ломена и Лавлока, Дифференциальные уравнения: данные, модели и графика , Джон Уайли и сыновья, 1999.
Вклад Ларри Риддла, Бена Кляйна и Дэвида Брессуда в эту статью был очень признателен.
Дэвид Ломен преподавал математику в течение 45 лет и в настоящее время является заслуженным профессором Университета Аризоны. Он много лет работал читателем AP и консультантом по семинарам, а в настоящее время является членом комитета по развитию расчетов AP. Он является автором или соавтором 39 научных статей по прикладной математике, 17 учебных статей и 6 учебников (по алгебре, исчислению, дифференциальным уравнениям и линейной алгебре). Он также провел более трех десятков семинаров по обучению математическому анализу и обучению с использованием технологий и был председателем Национального консультативного комитета по системным проектам повышения квалификации в штате Монтана и Содружество Пуэрто-Рико.

x дюймов ( т ) + a x ‘( т ) + b x ( t )	=	r ² A e ^{r t} + a r A e ^{r t} + b A e ^{r t}
	=	A e ^{r t} ( r ² + a r + b ).

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Объединение сервисов в одну систему

Принцип работы

За счет чего будет развиваться сервис

Преимущества для заказчиков

Преимущества для решающих задания

Преимущества для владельца сервиса

Что необходимо для создания сервиса

38.4. Решение дифференциальных уравнений и их систем

Методические рекомендации для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений по теме “Дифференциальные уравнения”

Решение дифференциальных уравнен

Differential Equations | Mathematica & Wolfram Language for Math Students—Fast Intro

Решение дифференциальных уравнений второго порядка

Как найти решения дифференциальных уравнений

– Calculus Volume 3

Цели обучения

Ключевые понятия

Упражнения для повторения главы

Точные дифференциальные уравнения

Определение точного уравнения

Тест на точность

Алгоритм решения точного дифференциального уравнения

Примечание:

Решенные проблемы

Дифференциальные уравнения второго порядка

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Пример

Сводка

Математические методы экономической теории: 8.6 Дифференциальные уравнения второго порядка

8.6 Дифференциальные уравнения второго порядка

Общая форма

Уравнения вида

Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Найти общее решение однородного уравнения

2. Найти решение неоднородного уравнения

3. Сложите решения, найденные на шагах 1 и 2

Задачи начального значения второго порядка

Равновесие и стабильность

Видео с вопросом: Нахождение частного решения дифференциального уравнения с учетом точки, через которую проходит решение

Стенограмма видео

Требуются как антидифференцировка, так и домен

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Заключение

Оставить комментарий Отменить ответ