Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя — Студопедия
Поделись с друзьями:
а) Если при вычислении предела получена неопределенность вида , то для ее раскрытия нужно и числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую, входящую в них степень аргумента:
так как
б)
В данном случае при и числитель, и знаменатель дроби обращаются в 0, то есть получается неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности избавимся от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, а также воспользуемся первым замечательным пределом:
Получим:
так как
и
в)
При получаем неопределенность вида , раскрыть которую можно воспользовавшись вторым замечательным пределом:
Выделяя структуру второго замечательного предела, получим:
2. Найти точки разрыва функции и указать их характер
Функция определена на всей числовой оси, т.е. ,
поэтому разрыв возможен только в точках и .
1) Пусть . Тогда:
Предел функции в точке слева равен бесконечности и, следовательно, точка является точкой разрыва второго рода.
2) Пусть . Тогда:
Односторонние пределы функции в точке конечны, но не равны. Следовательно, точка является точкой разрыва первого рода, а именно точкой скачка функции.
3. Полное исследование функции проводится по следующей схеме:
1) область определения, область значений функции;
2) четность, нечетность функции, периодичность;
3) асимптоты;
4) промежутки монотонности и точки экстремума;
5) промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;
6) точки пересечения графика функции с осями координат;
7) построение графика.
Например:
а) найти асимптоты графика функции .
Решение.
1) Функция не определена в точке . Найдем односторонние пределы функции в этой точке:
значит, прямая является вертикальной асимптотой.
2) Найдем
значит, функция имеет наклонную асимптоту , где
Таким образом, наклонной асимптотой графика функции является прямая .
б) Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции
Решение.
1) Найдем производную:
2) определим точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, решив уравнение :
При производная не существует.
Точки и разбивают числовую ось на интервалы , и .
3) Определим знак производной на полученных промежутках:
| Промежуток | |||
| Производная |
Таким образом, при функция убывает, а при − возрастает. Точка является точкой минимума функции. При этом минимальное значение функции равно
в) Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции
Решение.
1) Найдем производную второго порядка:
2) Найдем точки, в которых выполняется необходимое условие перегиба, решив уравнение
Точка разбивает числовую ось на два интервала: и .
3) Определим знак второй производной на полученных промежутках:
| Промежуток | . | |
| Производная второго порядка |
Таким образом, при график функции выпуклый вверх, а при − выпуклый вниз (вогнутый).
− точка перегиба, в которой значение функции равно
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя — Мегаобучалка
Математика
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
(с краткими методическими указаниями)
для студентов заочной формы обучения
специальности 23.02.01 «Организация перевозок и управление на транспорте (по видам)»
Артем
Общие рекомендации по изучению дисциплины
Предполагается, что главной формой обучения студента – заочника является самостоятельное изучение дисциплины.
· изучить теоретический материал по очередной теме;
· внимательно проанализировать примеры решения типовых задач графические иллюстрации к ним;
· решить соответствующую задачу из контрольной работы, возвращаясь, если необходимо, к теоретическому материалу.
Общие указания по выполнению и оформлению контрольной работы
При выполнении контрольных работ предлагаем руководствоваться следующими рекомендациями:
· Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради (в клетку), чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.
· На внешней обложке тетради должно быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, полный шифр, дата отсылки контрольной работы в колледж, домашний адрес студента. В конце работы следует проставить дату ее выполнения и расписаться.
· В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании.
Работы, содержащие не все задачи, а также задачи не своего варианта, не рецензируются.
· Решение задач следует располагать в порядке номеров указанных в заданиях, сохраняя номера задач.
· Перед решением каждой задачи надо полностью переписать ее условие.
· Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения.
· Решение задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами, выполненными аккуратно, с указанием осей координат и единиц масштаба. Объяснения к задачам должно соответствовать обозначениям, приведенным на чертеже.
· Контрольная работа должна выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа лишает студента возможности проверить степень своей подготовленности по теме. Если преподаватель установит несамостоятельное выполнение работы, то она не будет зачтена.
Если рецензент предлагает внести в решения задач те или иные исправления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует в короткий срок. В случае не зачета работы, вся работа должна быть выполнена заново.· Номер варианта соответствует первой букве фамилии, согласно ниже приведенной таблице.
| А, Ш, Ч | Б, Э, П | В, Я, Н | Г, У, О | Д, Р | Е, М, Ц | Ж, С | З, Х, Т | К, И Ю | Л, Ф Щ |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
1. а) ; б) ; в) ; г) .
2 .а) ; б) ; в) ; г) .
3. а) ; б) ; в) ; г) .
4. а) ; б) ; в) ; г) .
5. а) ; б) ; в) ; г) .
6. а) ; б) ; в) ; г) .
7. а) ; б) ; в) ; г) .
8. а) ; б) ; в) ; г) .
9. а) ; б) ; в) ; г) .
10. а) ; б) ; в) ; г) .
Как найти пределы без правила Лопиталя?
спросил
Изменено 4 года, 6 месяцев назад
Просмотрено 2к раз
$\begingroup$
Мой вопрос: как я могу оценить пределы без правила Лопиталя?
92}$$и вы увидите, что предела не существует.
$\begingroup$
Вы можете оценить пределы без правила Лопиталя, используя известные свойства пределов:
- $\lim_{x\to c}(f(x) + g(x)) = \lim_{x\to c}f (x)+\lim_{x\to c}g(x)$
- $\lim_{x\to c}(f(x)g(x)) = (\lim_{x\to c}f(x))\cdot (\lim_{x\to c} g(x) )$
- $\lim_{x\to c}(f(x)/g(x)) = (\lim_{x\to c}f(x))/ (\lim_{x\to c} g(x) )$
при условии, что все ограничения существуют (и знаменатель не равен $0$ в последнем).