Неопределенность в математике: Неопределённость (математика) | это... Что такое Неопределённость (математика)? - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Типы неопределенностей (Лекция №3)

ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Функция не определена при x=0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке.

Однако, можно найти предел этой функции при х→0.

Приведем доказательство записанной формулы. Рассмотрим окружность радиуса 1 и предположим, что угол α, выраженный в радианах, заключен в пределах 0 < α < π/2. (Так как четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α > 0.) Из рисунка видно, что

S_ΔOAC <S_сект._OAC <S_ΔOBC.

Так как указанные площади соответственно равны

S_ΔOAC=0,5∙OC∙OA∙sinα=0,5sinα,S_сект._OAC=0,5∙OC²∙α=0,5α,S_ΔOBC

=0,5∙OC∙BC=0,5tgα.

Следовательно,

sin α < α < tg α.

Разделим все члены неравенства на sin α > 0:

Но . Поэтому на основании теоремы 4 о пределах заключаем, что .

Выведенная формула и называется первым замечательным пределом.

Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности . Заметим, что полученную формулу не следует путать с пределами .

Примеры.

ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1

∞ и выглядит следующим образом

Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу).

Примеры.

СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть при

x→a функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда будем пользоваться следующими определениями.

Если , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка, чем g(x) (относительно g(x)).
Если , то функции f(x) и g(x) называются бесконечно малыми одногопорядка.
Если , то f(x) называется бесконечно малой k-го порядка относительноg(x).

Если , то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. В этом случае обе функции стремятся к нулю примерно с одинаковой скоростью. Эквивалентные бесконечно малые будем обозначать

f ≈ g.

Примеры.

Пусть f(x)=x²,g(x)=5x. Функции являются бесконечно малыми при x→0. Найдем . Следовательно, f(x) – бесконечно малая высшего порядка относительно g(x).
Пусть f(x)=x²–4,g(x)=x²–5x+6 – бесконечно малые при x→2.
.

Поэтому f(x) и g(x) одного порядка.
f(x)= tg2x,g(x) = 2x – бесконечно малые при х→0.
.

Следовательно, f ≈ g.
– бесконечно малые при n→∞.
– этот предел не существует. Поэтому говорят, что функции f и g не сравнимы.

При вычислении пределов полезно помнить о следующем свойстве эквивалентных бесконечно малых функций.

Теорема. Пусть f и g – бесконечно малые функции при х→а. Если и f ≈ f₁, g ≈ g₁, то , т.е. если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится, если каждую из бесконечно малых заменить эквивалентной бесконечно малой.

Доказательство. Имеем . Тогда

что и требовалось доказать.

Докажите самостоятельно эквивалентность следующих бесконечно малых функций при

x→0: sinx ≈ x,tgx ≈ x,arcsinx ≈ x,arctgx ≈ x,1–cosx ≈ x²∕2,log_a(1+x) ≈ x/lna,ln (1+x) ≈ x,(1+x)^m–1 ≈ mx,a^x–1 ≈ xlna,e^x–1 ≈ x.

Примеры.

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

Представление о непрерывности функции интуитивно связано у нас с тем, что её графиком является плавная, нигде не прерывающаяся линия. При рассмотрении графика такой функции y = f(x) мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют близкие значения функции: если независимая переменная приближается к точке x₀, то значение функции y = f(x) неограниченно приближается к значению функции в точкеx₀, т. е. к f(x₀).

Дадим строгое определение непрерывности функции. Итак, пусть имеем функцию y = f(x).

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она определена в этой точке и в некоторой окрестности содержащей x₀ и

(1)

Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна в точкеx₀, если выполнены 3 условия:

она определена в точке x₀ и в некоторой её окрестности;
имеет предел при x → x₀;
этот предел равен значению функции в точке x₀.

Формулу (1) можно записать в виде , т.к. . Это означает, что для того, чтобы найти предел непрерывной функции при x → x₀, достаточно в выражение функции подставить вместо аргумента xего значение x₀.

Пример: Докажем, что функция y = 3x² непрерывна в произвольной точке x₀. Для этого найдем .

Если функция y=f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (a; b), где

a < b, то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.

Непрерывные функции обладают следующими свойствами.

Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀, то их сумма φ(x) = f(x) + g(x) также есть непрерывная функция в точке x₀.

Доказательство. Так как функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀, то исходя из определения можно написать . Тогда на основании свойств пределов будем иметь

Эта теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Следующие две теоремы докажите самостоятельно аналогично теореме 1.

Теорема 2. Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная.

Теорема 3. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль.

Если функцию можно представить в виде y = f(u), где u = φ(x), т.е. если функция зависит от переменной через промежуточный аргумент u, то называется сложной функцией переменной x.

Примеры:

y = sinx³. Здесь u = x³, y = sin u

.
y = e^{tg x}, u = tg x, y = e^u.

Таким образом, под термином сложная функция следует понимать не какое – либо очень сложное выражение, а функцию, которая зависит от аргумента x через несколько промежуточных функций.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Если функция u = φ(x) непрерывна в точкеx₀ и принимает в этой точке значение u₀ = φ(x₀), а функция f(u) непрерывна в точке u₀, то сложная функция y = f(φ(x)) непрерывна в точке x₀.

Используя эти теоремы можно доказать следующий результат.

Теорема 5. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Заметим, что если функция y = f(x) непрерывна в точке x₀ и её значение в этой точке отлично от 0, f(x₀) ≠ 0, то значения функции f(x) в некоторой окрестности точки x₀имеют тот же знак, что и f(x₀), т.е. если f(x₀) > 0, то найдётся такое δ > 0, что на интервале(x₀– δ;x₀+ δ) f(x) > 0 (в этой окрестности значения функции f(x) очень мало отличаются от своего предела).

ТОЧКИ РАЗРЫВА И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Если рассмотреть график функции в окрестности точки x= 0 (см. рис. справа), то ясно видно, что он как бы “разрывается” на отдельные кривые. Аналогично можно рассмотреть функцию, изображенную на рисунке слева в окрестности точки 2. Говорят, что во всех указанных точках соответствующие функции становятся разрывными.

Точка называется точкой разрыва функции y = f(x), если она принадлежит области определения функции или её границе и не является точкой непрерывности.

В этом случае говорят, что при x= x₀ функция разрывна. Это может произойти, если в точке x₀ функция не определена или не существует предел , или если предел существует, но .

Примеры.

Рассмотрим функцию:

Эта функция определена во всех точках отрезка [0, 4] и её значение при x = 3 равно 0. Однако, в точке x = 3 функция имеет разрыв, т.к. она не имеет предела при x = 3:

Следует отметить, что f(x) непрерывна во всех остальных точках отрезка [0, 4]. При этом в точке x = 0 она непрерывна справа, а в точке x = 4 – слева, т. к.

.
Как уже отмечалось, функция разрывна при x = 0. Действительно, при x = 0 функция не определена: .
Функция разрывна при x = 0. Действительно, . При x = 0 функция не определена.
Функция определена для всех значений x, кроме x = 0. В этой точке она имеет разрыв, т.к. предел не существует (рисунок см. в лекции 1).
Точки разрыва функции можно разбить на два типа.

Точка разрыва x₀ функции f(x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют оба односторонних конечных предела и , но они не равны между собой или не равны значению функции в точке x₀, т.е. f(x₀). Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.

Примеры: В первом примере точка х=3 является точкой разрыва первого рода. В примерах 2 – 4 все точки разрыва являются точками разрыва второго рода.
Для функции, изображённой на рисунке точка x = 2 является точкой разрыва первого рода.
Функция не определена в точке x = 0. Эта точка является точкой разрыва 1-го рода, т.к. в ней существуют пределы справа и слева.

Движение в неопределенность . Сервисный компас

~~~

Когда слепой жучок ползёт по плоскости шара, он не замечает,

что путь, который он проделывает, искривлён.

Мне удалось это заметить

(Альберт Эйнштейн).

~~~

Неопределенность, неизвестность – вот, что больше всего пугает человека. Неизвестность будущего, неизвестность, что находится за чертой смерти, неопределенность отношений, неопределенность своих же собственных желаний и целей…

Мы интуитивно понимаем неопределенность как некоторую неизвестность, незнание, непонимание. В слове неопределенность, неявно присутствует время. Я не знаю точно, что произойдет через секунду, через минуту, час, день… Ключевое в этом «Я не знаю» – слово «Я». Неопределенность субъективна по природе. Вспомним один из диалогов, сделавший книгу “Мастер и Маргарита” настольной книгой миллионов:

–…мне хотелось бы спросить вас, что вы будете делать сегодня вечером, если это не секрет?

– Секрета нет. Сейчас я зайду к себе на Садовую, а потом в десять часов вечера в МАССОЛИТе состоится заседание, и я буду на нем председательствовать.

– Нет, этого быть никак не может, – твердо возразил иностранец.

– Это почему?

– Потому, – ответил иностранец и прищуренными глазами поглядел в небо, где, предчувствуя вечернюю прохладу, бесшумно чертили черные птицы, – что Аннушка уже купила подсолнечное масло, и не только купила, но даже разлила. Так что заседание не состоится.

Давайте и мы с вами вместе проведем простой эксперимент. На столе лежит яблоко, которое я собираюсь взять правой рукой. Знает ли яблоко, что с ним произойдет через секунду? Нет. Оно пребывает в неопределенности, а может и наоборот, определенно думает, что на плоской поверхности его состояние очень устойчиво. Знаю ли я, что с ним произойдет? Да! Я возьму его. Только вдумайтесь! Мое намерение – это посыл из будущего этому яблоку, о котором оно сейчас и не догадывается. В некотором смысле, мое намерение для яблока – это время! Это – будущее, происходящее уже сейчас! Мысленно поставьте себя на место этого яблока… А теперь можете всем рассказывать, что ваша судьба находится только в ваших руках. Вопрос в другом. Чье намерение сильнее? Ваше или тех, кто своими намерениями манипулирует вами? А еще более тонкий вопрос – кто манипулирует вами?

Наиболее формально к понятию неопределенности подошли математика и квантовая физика. В математике неопределенность является порождением понятий ноль и бесконечность. Очень интересные и, пожалуй, самые важные величины, которые детям почему-то дают ближе к старшим классам, а до этого прячут правду за запретом “На ноль делить нельзя”. А кто сказал, что на ноль делить нельзя? Любое число, поделенное на ноль равно бесконечности и любое число, поделенное на бесконечность, дает ноль. Это настолько просто, что чем раньше детям давать эти два понятия, тем более правильным будет их понимание как на самом деле устроен мир!

Почему-то большинство людей считают математику абстрактной наукой, и занимаются ей как этаким упражнением для мозгов, чтобы натренированные мозги пригодились, но совершенно в других практических областях. Придерживаясь модели единства мира, готов объявить, что это не так и заявить о полном единстве математики и физики. Если вы что-то доказали или осознали математически, но не видите этому практических примеров, это не значит, что таких явлений не существует. Это просто сигнал-подсказка. Ищите эти явления, чтобы лучше понимать, как устроен мир.

Обучая детей математике, мы совершенно правильно даем сначала понимание натуральных чисел, потом целых, потом рациональных, получаемых в форме дробей, путем деления одного целого числа на другое. Великолепно! Внутри самодостаточного мира целых чисел и двух операций сложения и вычитания скрывается цельный более тонкий мир рациональных чисел. Люди, которым достаточно складывать и вычитать поштучно, могут и не догадываться о существовании более тонкого мира дробных чисел.

Мир дробных чисел действительно более тонкий, чем мир целых чисел. Целое число является частным случаем дробного, а значит, оно принадлежит, как своему более простому и более раннему по развитию миру, так и к более тонкому и более развитому миру. Дробные же числа, видят и знают о существовании своих некоторых собратьев – целых чисел, но в большинстве своем располагаются между ними, так что два рядом стоящих целых числа, например, 1 и 2, считающие, что стоят рядом друг с другом, даже и не подозревают, что между ними, оказывается, есть еще множество более тонких чисел: 3/2, 4/3, 5/4… А, впрочем, если они живут в своем мире целых чисел, выполняя только сложение и вычитание, и не знают операций умножение и деления, зачем им знать о более тонком мире? Они его просто не чувствуют, а поэтому и не признают. Нет, конечно же, некоторые из целых чисел, наверное, догадываются о существовании дробных, но не попробовав, что такое операция деления этого так и не поймешь, это так и останется догадкой. Запомните этот пример. Он нам еще пригодится.

Одно из проявлений неопределенности, как математического понятия – попытка использовать и в числителе и знаменателе дроби одновременно ноль или бесконечность.

Рис. Неопределенность значения дроби

Если признать единство физики и математики, то только лишь из этого следуют два потрясающих вывода: Первый вывод: иногда существуют моменты, когда вы не можете точно определить, где вы находитесь или, что то же самое, вы находитесь в двух местах одновременно. Но не об этом ли говорит и принцип неопределенности квантовой физики? Второй вывод: единство макро и микро мира. В эти короткие моменты вы одновременно находитесь очень далеко вовне (бесконечность) и очень далеко внутри (ноль).

Чтобы ощутить единство минус бесконечности и плюс бесконечности, можете поставить простой компьютерный эксперимент. Мы все знаем, что через 3 точки приходит одна и только одна единственная окружность. Прекрасно! Возьмите любую компьютерной графическую оболочку, например, MS Visio (там есть такой объект) и попробуйте разместить три точки A, B, C не на одной линии (Рис. Положение окружности 1). Теперь плавно, не спеша, слева направо перемещаем одну из точек (точку B) между двумя другими (точками А и С). Вы визуально обнаружите, что маленькая окружность быстро превращается в большую и очень большую (1,2,3), а потом резко меняет расположение, появляясь с противоположность стороны (5,6,7).

Рис. Три точки и проходящая через них окружность

При этом на короткий момент существует положение (4), когда радиус окружности бесконечен, а сама окружность на мгновение превратилась в прямую линию. Задайтесь вопросом: «В момент, когда окружность стала прямой линией, она находится слева или справа от линии? Или одновременно и там, и там?» Это и есть принцип неопределенности. Все зависит от выбора, куда дальше сдвинется точка B – влево или вправо.

А теперь задумайтесь, существует ли в природе прямая линия или как раз она является выдуманной абстракцией, а все линии состоят из фрагментов окружностей малых и больших радиусов? А если это так, то почему мы детям даем прямую линию в качестве первичного, базового и неопределимого понятия? А окружности даем определение как центр, где конечно же мысленно располагаем самого себя, свое драгоценное Эго, и равноудаленную границу, конечно же между своим мирком и внешним чужим окружающим нас миром?

Не правда ли, мы сами вручаем детям ключи от эгоизма, с которым сами же потом безуспешно боремся. Вот она самая первая построенная замкнутая закрытая система, к которой потом можно безуспешно строить множество закрытых интерфейсов по придуманным правилам.

А можно ведь и по-другому. Давайте считать окружность первичным неопределимым понятием, а прямую линию определим, как частный случай окружности с бесконечным радиусом. Насколько при этом многие вещи впоследствии лягут в голове на более правильные полочки!

Все эти, казалось бы, сложные рассуждения, навеяли мне популярную когда-то песенку “Замыкая круг, ты назад посмотришь вдруг”. Я и раньше не мог понять ее смысла, а теперь вдруг понял почему. В подсознании проснулось желание кардинально изменить слова “Размыкая круг, ты вокруг посмотришь вдруг…” и вот тогда уж точно увидишь сияющий свет…

Математический способ раскрытия неопределенности такого рода дробей первым предложил ученый Лопиталь. Найденное им довольно простое правило подсказывает очень даже практические способы поведения людей не в математике, а в реальной жизни. Если хочешь определенности – включи первую производную, не стой на месте, просто двигайся. “Just Do it”.

Определить свои цели гораздо проще оказалось, находясь в движении. Не в напряжении, как может показаться, а именно в движении. Но куда двигаться? Если хочешь понять нужное тебе направление движения – вычисли вторые производные, изучи не только тенденции, но и скорость их изменений, пойми, где в следующий момент окажется шайба и вовремя измени свое направление движения.

Но как быстро двигаться к цели? Если хочешь понять скорость требуемых своих изменений – займись третьими производными и поторопись, а то в нужной точке, кто-то окажется раньше тебя… Знаменитый хоккеист Уэйн Грецки говорил: «Все, что я делаю – это пытаюсь угадать, где в следующий момент окажется шайба, чтобы успеть к ней раньше других». У наших хоккеистов это правило звучало несколько по другому: «Выигрывает не тот, кто хорошо движется с шайбой, а тот кто хорошо движется без нее».

Но как же пытаться сдвинуться с места, если ты весь скован страхом от полной неопределенности? Давайте вспомним совет того же Морфиуса из кинофильма Матрица, обращенный к Нео: “Хватит пытаться бить! Просто бей!” Важно лишь сделать первое усилие над собой, сделать первый шаг, и вы сразу выйдете из двойственности, из неопределенности, оказавшись в движении.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Что такое измерение и неопределенность?

Неопределенность измерения может скрыть такие научные понятия, как сохранение энергии. Студентам нужна прочная основа техники измерения, чтобы иметь возможность изучать науку.

Вот обычная ситуация в сегодняшнем научном классе, основанном на исследованиях: преподаватель ведет лабораторную работу, которая демонстрирует концепцию сохранения механической энергии. Учащиеся измеряют энергию маятника в различных точках во время его качания, чтобы сравнить общую энергию в разных местах. Какими бы осторожными они ни были, большинство студентов будут измерять разные значения энергии маятника в разных местах. Что это значит? Энергия сохраняется или нет? Некоторые учащиеся обнаружат, что при движении маятника энергия увеличивается, а у других она уменьшается.

Обычным козлом отпущения является всеобъемлющая “ошибка”. Но что мы, как инструкторы, имеем в виду, когда говорим «ошибка»? Подразумеваем ли мы, что ученики допустили ошибку? Действительно ли отклонения в измерениях являются ошибками? Чтобы разобраться в этой ситуации, учащиеся должны четко понимать неопределенность измерений . Им необходимо знать, как определить неопределенность измерения и как сохранить неопределенность измерения во время расчетов. Наконец, они должны иметь возможность формулировать результаты с точки зрения неопределенности. Учитывая тенденцию к преподаванию естественных наук путем исследования, учащиеся должны понимать роль неопределенности измерений, когда они используют данные, чтобы делать выводы о научных концепциях.

Эффективная методика измерения включает следующие ключевые понятия:

Различие между ошибкой и неопределенностью
Учитывая, что все измерения имеют неопределенность
Определение типов ошибок, источников ошибок и способов обнаружения/минимизации ошибок
Оценка, описание и выражение неопределенности в измерениях и расчетах
Использование неопределенности для описания результатов собственной лабораторной работы
Сравнение измеренных значений и определение того, совпадают ли значения в пределах установленной неопределенности.

Определение ошибки и неопределенности

Некоторые термины в этом модуле используются разными авторами по-разному. В результате использование некоторых терминов здесь может противоречить другим опубликованным использованиям. Определения, используемые в этом модуле, предназначены для использования в таких документах, как Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности.

Например, термин ошибка , используемый здесь, означает разницу между измеренным значением и истинным значением для измерения. Поскольку точное или «истинное» измеренное значение количества часто не может быть определено, погрешность измерения редко может быть определена. Вместо этого он больше соответствует методам NIST для количественной оценки неопределенности измерения.

Неопределенность в данном контексте означает диапазон возможных значений, в котором находится истинное значение измерения . Это определение изменяет использование некоторых других часто используемых терминов. Например, термин точность часто используется для обозначения разницы между измеренным результатом и фактическим или истинным значением. Поскольку истинное значение измерения обычно неизвестно, точность измерения также обычно неизвестна. Из-за этих определений мы изменили способ представления результатов лабораторных исследований. Например, когда учащиеся сообщают о результатах лабораторных измерений, они не вычисляют процентную ошибку между своим результатом и фактическим значением. Вместо этого они определяют, попадает ли принятое значение в диапазон неопределенности их результата.

Материалы, представленные здесь, предназначены для обучения технике измерения учащихся 9-х классов на начальной стадии обучения в колледже. Кроме того, мы представили примеры, показывающие, как интегрировать эти концепции в существующие лабораторные работы.

См. примеры интеграции измерения и неопределенности

Принципы математической неопределенности | Автор: Мэтью Уорд Я часто вижу в фильмах и научно-фантастических книгах, не говоря уже о реальных дискуссиях, непонимание того, что они означают.

Вспомните классическую форму Гейзенберга в квантовой механике. Там написано:
Мы не можем одновременно знать точный импульс и положение частицы.
Во-первых, приведенная выше формулировка мне нравится больше, чем обычная альтернатива: мы не можем измерить импульс и положение одновременно.
Когда я изучал квантовую механику в качестве старшекурсника, я думал, что понял это. В голове была четкая картина. Когда вы измеряете положение, вы сталкиваетесь с частицей и, следовательно, теряете счет импульса, и наоборот.
Хотя я думаю, что технически это верно, это дает неверное представление. Это звучит так, как будто у нас нет достаточно хорошего измерительного оборудования. Может быть, через сто лет наши инструменты станут лучше, и мы сможем проводить более точные измерения, чтобы делать и то, и другое одновременно.
Это неправильно и полностью не понимает принцип.
Когда я поступил в аспирантуру, я понял, что «принципы неопределенности» существуют повсюду в чисто математической среде. Принцип неопределенности Гейзенберга на самом деле является чисто математическим фактом, который исходит из операторов импульса и положения.
Это означает, что с теоретической точки зрения мы никогда не сможем «знать» и то, и другое одновременно, даже математически, без использования измерительных приборов.
Я не хочу слишком углубляться в то, что значит «знать» что-то. Это немного не по теме этой статьи.
В каком-то смысле принцип неопределенности должен говорить, что нет смысла спрашивать об импульсе и положении частицы (хотя это снова вводит в заблуждение, потому что мы знаем точную величину неопределенности при попытке сделать это).
Это все равно, что спросить: синий твердый или мягкий? Нет смысла спрашивать о твердости цвета. Вы даже не можете записать уравнение (волновую функцию для частицы), в котором имеет точный импульс и положение одновременно.
Вот математический формализм, который легко позволяет это сделать. Для каждой наблюдаемой величины (например, импульса и положения) существует эрмитов оператор.
Если вы еще этого не видели, не волнуйтесь. Единственный факт, который нам нужен по этому поводу, это то, что «знание» или «измерение» или «нахождение» в некотором наблюдаемом состоянии соответствует волновой функции частицы, являющейся собственной функцией для этого оператора (определение будет дано).
Предположим, у нас есть два оператора A и B , соответствующие наблюдаемым величинам a и b , и имеет смысл сказать, что для Ψ мы можем одновременно измерять свойства а и б .
Это означает, что существуют два числа λ₁ и λ₂ такие, что
AΨ = λ₁ Ψ и BΨ = λ₂ Ψ.
Это определение собственной функции .
Коммутатор двух операторов просто выполняет AB , а затем вычитает BA .
Если применить коммутатор к Ψ, посмотрите, что получится:
[ A , B ]Ψ = AB ψ – BA ψ
= A λ₂ ψ – B λ₁ ψ
= λ₂ λ₁ ψ – λ₁ λ₂ ψ
= 0.
Это просто определение, а затем применяя определение, являющуюся EigenFunction. В упрощениях нет ничего сложного или сложного.
Математически говоря, частица, находящаяся в состоянии, для которого имеет смысл говорить о присоединении двух определенных наблюдаемых величин, должна описываться волновой функцией в ядре коммутатора.
Не беспокойтесь о терминологии. Это просто основной факт об операторах: если вы можете знать оба одновременно для данной функции (или распределения), то коммутатор, примененный к этой функции, дает вам 0.
Следовательно, никогда даже не имеет смысла запрашивать оба, если коммутатор не имеет (нетривиального) ядра.
Теперь, что касается принципа неопределенности Гейзенберга в квантовой механике, все, что нам нужно сделать, это вычислить коммутатор оператора импульса и положения и убедиться, что он не имеет ядра (за исключением функции 0, которая не соответствует законной волновой функции).
Вы можете посмотреть Википедию или что-то в этом роде, но оператор положения задается как x f= xf, а импульс определяется как p f=-i ħ (d/dx)f.
Теперь мы вычисляем:
Это показывает, что коммутатор является константой, умноженной на тождественный оператор. Это никогда не может быть 0!
Поэтому нет смысла задавать одновременно определенное положение и импульс частицы. Нет даже какой-то сумасшедшей, абстрактной чисто теоретической конструкции частицы, которая могла бы обладать этим свойством.
На этот факт стоит обратить внимание, потому что есть операторы, для которых часто нельзя знать два свойства одновременно, но для которых есть специальные частицы, где можно.
Это также показывает, что мы можем получить все виды других математических принципов неопределенности, проверяя другие операторы. Известным является преобразование Фурье, в котором существует фундаментальная неопределенность в знании как частот, так и их локализации во времени.