Неопределенность в математике – Раскрытие неопределённостей — Википедия

Неопределённость (математика) Википедия

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

(Здесь 0{\displaystyle 0} — бесконечно малая величина, а ∞{\displaystyle \infty } — бесконечно большая величина)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки.
Для раскрытия неопределённостей видов ( 00){\displaystyle \left(~0^{0}\right)}, (1∞){\displaystyle \left(1^{\infty }\right)}, (∞0){\displaystyle \left(\infty ^{0}\right)} пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

( 00)=(e0⋅ln⁡0)=(e0⋅(−∞)){\displaystyle \left(~0^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {0}}\right)=\left(e^{0\cdot (-\infty )}\right)}
( 1∞)=(e∞⋅ln⁡1)=(e∞⋅0){\displaystyle \left(~1^{\infty }\right)=\left(e^{\infty \cdot \ln {1}}\right)=\left(e^{\infty \cdot 0}\right)}
( ∞0)=(e0⋅ln⁡∞)=(e0⋅∞){\displaystyle \left(~\infty ^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {\infty }}\right)=\left(e^{0\cdot \infty }\right)}

Для раскрытия неопределённостей типа ∞∞{\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}} используется следующий алгоритм:

  1. Выявление старшей степени переменной;
  2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа (00){\displaystyle \left({\frac {0}{0}}\right)} существует следующий алгоритм:

  1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
  2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа (∞−∞){\displaystyle (\infty -\infty )} иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть f(x)→x→a∞{\displaystyle f(x){\xrightarrow {x\to a}}\infty } и g(x)→x→a∞{\displaystyle g(x){\xrightarrow {x\to a}}\infty };
limx→a[f(x)−g(x)]=(∞−∞)=limx→a(11f(x)−11g(x))=limx→a1g(x)−1f(x)1g(x)⋅1f(x)=(00){\displaystyle \lim _{x\to a}[f(x)-g(x)]=(\infty -\infty )=\lim _{x\to a}\left({\frac {1}{\frac {1}{f(x)}}}-{\frac {1}{\frac {1}{g(x)}}}\right)=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{f(x)}}}{{\frac {1}{g(x)}}\cdot {\frac {1}{f(x)}}}}=\left({\frac {0}{0}}\right)}.

Данный вид неопределённостей может раскрываться с использованием асимптотических разложений уменьшаемого и вычитаемого, при этом бесконечно большие члены одного порядка должны уничтожаться.

При раскрытии неопределённостей также применяются замечательные пределы и их следствия.

Пример

limx→aax−xax−a,a>0{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}},a>0} — пример[1] неопределённости вида (00){\displaystyle \left({\frac {0}{0}}\right)}. По правилу Лопиталя limx→aax−xax−a=limx→aaxln⁡a−axa−11=aa(ln⁡a−1){\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}\ln a-ax^{a-1}}{1}}=a^{a}(\ln a-1)}. Второй способ — прибавить и отнять в числителе aa{\displaystyle a^{a}} и дважды применить теорему Лагранжа, к функциям ax{\displaystyle a^{x}} и xa{\displaystyle x^{a}} соответственно:

ax−xax−a=ax−aa−(xa−aa)x−a=acln⁡a(x−a)−ada−1(x−a)x−a=acln⁡a−ada−1{\displaystyle {\frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}}={\frac {a^{x}-a^{a}-(x^{a}-a^{a})}{x-a}}={\frac {a^{c}\ln a(x-a)-ad^{a-1}(x-a)}{x-a}}=a^{c}\ln a-ad^{a-1}}

здесь c, d лежат между a и x, поэтому они стремятся к a при x стремящемся к a, отсюда получаем тот же предел, что и в первом способе.

Примечания

  1. Демидович Б.П. Задача №1358 // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 7-е изд. — М.: Наука, 1969. — С. 136.

wikiredia.ru

Виды и правила раскрытия неопределенностей (Таблица)

Вид неопределенности

Правило раскрытия

1.       

1.1. Чтобы раскрыть неопределенность вида ,

заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени.

1.2. Для раскрытия неопределенности вида ,

заданную отношением иррациональных функций, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени с учетом степеней корней.

 

2.        

2.1. Для того, чтобы определить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при x → a числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные  нулю, надо числитель и знаменатель дроби разделить на x — a и перейти к пределу. Если и после этого числитель и знаменатель новой дроби имеют пределы, равные  нулю при x → a, то надо произвести повторное деление на x — a.

2.2. Чтобы раскрыть неопределенность вида ,

в которой числитель или знаменатель иррациональны, следует надлежащим образом избавиться от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби.

В случае квадратных корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на сопряженное выражение тому, которое содержит иррациональность и применяется формула

a2 – b2 = (a – b)(a + b) .

В случае кубических корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула

a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ± ab + b2).

 

3.     

3.1. Неопределенность вида ,

получающаяся в результате алгебраической суммы иррациональных выражений, устраняется или приводится к типу 1 путем домножения и деления на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.

В случае квадратных корней разность домножается на сопряженное выражение и применяется формула a2 – b2 = (a – b)(a + b) .

В случае кубических корней функция домножается на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ± ab + b2).

3.2. Неопределенность вида ,

получающаяся в результате алгебраической суммы двух дробей, устраняется или сводится к типу 2  путем приведения дробей к общему знаменателю.

Пусть:

, .

Тогда:

4. Замечательные пределы

 4.1. Первый замечательный предел  (неопределенность ).

В случае, когда под знаком предела стоят тригонометрические функции, дающие неопределенность , используется первый замечательный предел:

.

Его различные формы:      ,     ,     ,

  ,          ,

  ,          .

4.2. Второй замечательный предел (неопределенность ):   

.

Его различные формы:

,    ,      , ,    

 

5.       

5.1. Неопределенность вида  

сводится либо к неопределенности типа 1 , либо к неопределенности типа 2  путем перемещения в знаменатель одного из сомножителей.

Пусть

, .

Тогда:

 

6.      ,

6.1. Неопределенности вида ,  

сводятся к неопределенности типа 5  путем логарифмирования.

infotables.ru

Неопределённость (математика) Википедия

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

(Здесь 0{\displaystyle 0} — бесконечно малая величина, а ∞{\displaystyle \infty } — бесконечно большая величина)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки.
Для раскрытия неопределённостей видов ( 00){\displaystyle \left(~0^{0}\right)}, (1∞){\displaystyle \left(1^{\infty }\right)}, (∞0){\displaystyle \left(\infty ^{0}\right)} пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

ru-wiki.ru

Типы неопределенностей (Лекция №3)

ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Функция не определена при x=0, так как числитель и
знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке.

Однако, можно найти предел этой функции при х→0.

Приведем доказательство
записанной формулы. Рассмотрим окружность радиуса 1 и предположим, что угол
α, выраженный в радианах, заключен в пределах 0 < α
< π/2. (Так как четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α,
то достаточно рассмотреть случай, когда α > 0.)
Из рисунка видно, что

SΔOAC <Sсект.OAC <SΔOBC.

Так как указанные площади соответственно равны

SΔOAC=0,5∙OCOA∙sinα=0,5sinα,Sсект.OAC=0,5∙OC2∙α=0,5α,SΔOBC=0,5∙OCBC=0,5tgα.

Следовательно,

sin α
< α < tg α.

Разделим все члены неравенства на sin α > 0:

.

Но . Поэтому на основании теоремы 4 о пределах заключаем, что .

Выведенная формула и
называется первым замечательным пределом.

Таким образом,
первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности . Заметим, что полученную формулу не следует путать с
пределами .

Примеры.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .

ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Второй
замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1
и выглядит следующим образом

Обратим внимание
на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени
должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в
основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести
искомый предел ко второму замечательному пределу).

Примеры.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .

СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть при xa функции f(x) и
g(x)
являются бесконечно малыми. Тогда будем пользоваться следующими определениями.

  1. Если , то f(x)
    называется бесконечно малой высшего
    порядка
    , чем g(x)
    (относительно g(x)).
  2. Если , то функции f(x) и
    g(x)
    называются бесконечно малыми одногопорядка.
  3. Если , то f(x)
    называется бесконечно малой k-го порядка относительноg(x).

Если , то функции f(x) и
g(x)
называются эквивалентными бесконечно малыми. В этом случае обе функции
стремятся к нулю примерно с одинаковой скоростью. Эквивалентные бесконечно
малые будем обозначать f ≈ g.

Примеры.

  1. Пусть f(x)=x2,g(x)=5x. Функции являются
    бесконечно малыми при x→0.
    Найдем . Следовательно, f(x)
    бесконечно малая высшего порядка относительно g(x).
  2. Пусть f(x)=x2–4,g(x)=x2–5x+6 – бесконечно малые при x→2.

    .

    Поэтому f(x) и g(x) одного
    порядка.

  3. f(x)=tg2x,g(x) = 2x – бесконечно малые при х→0.

    .

    Следовательно, f ≈ g.


  4. бесконечно малые при n→∞.

    – этот предел не
    существует. Поэтому говорят, что функции f и g не сравнимы.

При вычислении пределов
полезно помнить о следующем свойстве эквивалентных бесконечно малых функций.

Теорема. Пусть f и g – бесконечно малые функции
при ха. Если и f ≈ f1, gg1, то , т.е. если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то
этот предел не изменится, если каждую из бесконечно
малых заменить эквивалентной бесконечно малой.

Доказательство. Имеем . Тогда

,

что и требовалось доказать.

Докажите самостоятельно эквивалентность
следующих бесконечно малых функций при

x→0: sinx ≈ x,tgx ≈ x,arcsinx ≈ x,arctgx ≈ x,1–cosx ≈ x2∕2,loga(1+x) ≈ x/lna,ln
(1+x) ≈ x,(1+x)m–1
≈ mx,ax–1 ≈ xlna,ex–1 ≈ x.

Примеры.

  1. .
  2. .

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

Представление о
непрерывности функции интуитивно связано у нас с тем, что её графиком является
плавная, нигде не прерывающаяся линия. При рассмотрении графика такой функции y = f(x)
мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют близкие значения
функции: если независимая переменная приближается к точке x0, то значение функции y = f(x)
неограниченно приближается к значению функции в точкеx0, т.е. к f(x0).

Дадим строгое
определение непрерывности функции. Итак, пусть имеем функцию y = f(x).

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в этой точке и в некоторой
окрестности содержащей x0 и


.

(1)

Таким образом,
можно сказать, что функция непрерывна в точкеx0, если выполнены 3 условия:

  1. она определена в точке x0 и в некоторой её окрестности;
  2. имеет предел при x → x0;
  3. этот предел равен значению
    функции в точке x0.

Формулу (1) можно записать в виде , т.к. . Это означает, что для того, чтобы найти предел непрерывной
функции при x → x0,
достаточно в выражение функции подставить вместо аргумента xего значение x0.

Пример: Докажем, что функция y = 3x2 непрерывна в произвольной
точке x0. Для этого найдем .

Если функция y=f(x) непрерывна
в каждой точке некоторого интервала (a; b), где a < b, то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.

Непрерывные
функции обладают следующими свойствами.

Теорема 1. Если функции f(x) и
g(x) непрерывны
в точке x0, то их сумма φ(x) = f(x) + g(x) также
есть непрерывная функция в точке x0.

Доказательство. Так как функции f(x) и
g(x)
непрерывны в точке x0, то исходя из определения
можно написать . Тогда на основании свойств пределов
будем иметь

.

Эта теорема
справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Следующие две
теоремы докажите самостоятельно аналогично теореме 1.

Теорема 2. Произведение двух непрерывных функций есть функция
непрерывная.

Теорема 3. Частное двух непрерывных функций есть функция
непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль.

Если функцию
можно представить в виде y = f(u),
где u = φ(x), т.е. если функция зависит от переменной через промежуточный аргумент u, то называется сложной
функцией переменной x.

Примеры:

  1. y = sinx3. Здесь u = x3, y = sin u.
  2. y = etg x, u = tg x, y
    = eu
    .

Таким образом,
под термином сложная функция следует понимать не какое – либо очень сложное
выражение, а функцию, которая зависит от аргумента x через несколько промежуточных функций.

Справедлива
следующая теорема.

Теорема 4. Если функция u = φ(x)
непрерывна в точкеx0 и принимает в этой точке значение u0 = φ(x0),
а функция f(u)
непрерывна в точке u0, то сложная функция y = f(φ(x)) непрерывна в точке x0.

Используя эти
теоремы можно доказать следующий результат.

Теорема 5. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой
точке, в которой она определена.

Заметим,
что если функция y = f(x)
непрерывна в точке x0 и её значение в этой точке
отлично от 0, f(x0) ≠ 0, то значения
функции f(x) в
некоторой окрестности точки x0 имеют тот же знак, что и f(x0), т.е. если f(x0) > 0, то найдётся такое δ > 0, что на интервале(x0– δ;x0+ δ) f(x)
> 0 (в этой окрестности значения функции f(x)
очень мало отличаются от своего предела).

ТОЧКИ РАЗРЫВА И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Если рассмотреть график
функции в окрестности точки x= 0 (см. рис. справа), то ясно видно, что он как бы “разрывается”
на отдельные кривые. Аналогично можно рассмотреть функцию, изображенную на
рисунке слева в окрестности точки 2. Говорят, что во всех указанных точках
соответствующие функции становятся разрывными.

Точка называется точкой разрыва функции y = f(x),
если она принадлежит области определения функции или её границе и не является
точкой непрерывности.

В этом случае говорят, что при x= x0 функция разрывна. Это
может произойти, если в точке x0 функция не определена или
не существует предел , или если предел существует, но .

Примеры.

  1. Рассмотрим функцию:

    Эта функция определена во
    всех точках отрезка [0, 4] и её значение при x = 3 равно 0. Однако, в точке x = 3 функция имеет разрыв,
    т.к. она не имеет предела при x =
    3:

    Следует
    отметить, что f(x)
    непрерывна во всех остальных точках отрезка [0, 4]. При этом в точке x = 0 она непрерывна справа,
    а в точке x = 4 – слева, т.к.

    .

  2. Как уже отмечалось, функция разрывна при x = 0. Действительно, при x = 0 функция не определена: .
  3. Функция разрывна
    при x = 0. Действительно, . При x = 0
    функция не определена.
  4. Функция определена для всех
    значений x, кроме x = 0. В этой точке она имеет
    разрыв, т.к. предел не существует (рисунок см. в лекции 1).

    Точки разрыва
    функции можно разбить на два типа.

    Точка разрыва x0 функции f(x)
    называется точкой разрыва первого рода,
    если существуют оба односторонних конечных предела и , но они не равны между собой или не равны значению функции в
    точке x0, т.е. f(x0). Точка разрыва, не
    являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.

    Примеры: В первом примере точка х=3 является точкой разрыва первого
    рода. В примерах 2 – 4 все точки разрыва являются точками разрыва второго рода.

  5. Для функции, изображённой на рисунке точка x = 2 является точкой разрыва
    первого рода.
  6. Функция не определена в точке x = 0. Эта точка является
    точкой разрыва 1-го рода, т.к. в ней существуют пределы справа и слева.

toehelp.ru

Раскрытие неопределённостей — это… Что такое Раскрытие неопределённостей?

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки.

Для раскрытия неопределённостей видов , , пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

Для раскрытия неопределённостей типа используется следующий алгоритм:

  1. Выявление старшей степени переменной;
  2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа существует следующий алгоритм:

  1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
  2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть и

Пример

dic.academic.ru

Виды и правила раскрытия неопределенностей при вычислении пределов

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Предел функции, суммы ряда. Ограниченность функции, замечательные пределы, односторонние и бесконечные пределы, необходимые и достаточные условия существования предела функции в точке. Правила вычисления.  / / Виды и правила раскрытия неопределенностей при вычислении пределов


Виды определенностей и неопределенностей при вычислении пределов




Виды определенностейВиды неопределенностей

Правила раскрытия неопределенностей при вычислении пределов






Вид неопределенностиПравило раскрытия неопределенностей при вычислении пределов
Тип 1.1.1. Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени.
1.2. Для раскрытия неопределенности вида , заданную отношением иррациональных функций, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени с учетом степеней корней.

Тип 2. 2.1. Для того, чтобы определить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при x → a числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю, надо числитель и знаменатель дроби разделить на x — a и перейти к пределу. Если и после этого числитель и знаменатель новой дроби имеют пределы, равные нулю при x → a, то надо произвести повторное деление на x — a.
2.2. Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель иррациональны, следует надлежащим образом избавиться от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби. В случае квадратных корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на сопряженное выражение тому, которое содержит иррациональность и применяется формула . В случае кубических корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2).

Тип 3.3.1. Неопределенность вида , получающаяся в рез

dpva.ru

Раскрытие неопределённостей Википедия

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

(Здесь 0{\displaystyle 0} — бесконечно малая величина, а ∞{\displaystyle \infty } — бесконечно большая величина)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки.
Для раскрытия неопределённостей видов ( 00){\displaystyle \left(~0^{0}\right)}, (1∞){\displaystyle \left(1^{\infty }\right)}, (∞0){\displaystyle \left(\infty ^{0}\right)} пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

( 00)=(e0⋅ln⁡0)=(e0⋅(−∞)){\displaystyle \left(~0^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {0}}\right)=\left(e^{0\cdot (-\infty )}\right)}
( 1∞)=(e∞⋅ln⁡1)=(e∞⋅0){\displaystyle \left(~1^{\infty }\right)=\left(e^{\infty \cdot \ln {1}}\right)=\left(e^{\infty \cdot 0}\right)}
( ∞0)=(e0⋅ln⁡∞)=(e0⋅∞){\displaystyle \left(~\infty ^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {\infty }}\right)=\left(e^{0\cdot \infty }\right)}

Для раскрытия неопределённостей типа ∞∞{\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}} используется следующий алгоритм:

  1. Выявление старшей степени переменной;
  2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа (00){\displaystyle \left({\frac {0}{0}}\right)} существует следующий алгоритм:

  1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
  2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа (∞−∞){\displaystyle (\infty -\infty )} иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть f(x)→x→a∞{\displaystyle f(x){\xrightarrow {x\to a}}\infty } и g(x)→x→a∞{\displaystyle g(x){\xrightarrow {x\to a}}\infty };
limx→a[f(x)−g(x)]=(∞−∞)=limx→a(11f(x)−11g(x))=limx→a1g(x)−1f(x)1g(x)⋅1f(x)=(00){\displaystyle \lim _{x\to a}[f(x)-g(x)]=(\infty -\infty )=\lim _{x\to a}\left({\frac {1}{\frac {1}{f(x)}}}-{\frac {1}{\frac {1}{g(x)}}}\right)=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{f(x)}}}{{\frac {1}{g(x)}}\cdot {\frac {1}{f(x)}}}}=\left({\frac {0}{0}}\right)}.

Данный вид неопределённостей может раскрываться с использованием асимптотических разложений уменьшаемого и вычитаемого, при этом бесконечно большие члены одного порядка должны уничтожаться.

При раскрытии неопределённостей также применяются замечательные пределы и их следствия.

Пример

limx→aax−xax−a,a>0{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}},a>0} — пример[1] неопределённости вида (00){\displaystyle \left({\frac {0}{0}}\right)}. По правилу Лопиталя limx→aax−xax−a=limx→aaxln⁡a−axa−11=aa(ln⁡a−1){\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}\ln a-ax^{a-1}}{1}}=a^{a}(\ln a-1)}. Второй способ — прибавить и отнять в числителе aa{\displaystyle a^{a}} и дважды применить теорему Лагранжа, к функциям ax{\displaystyle a^{x}} и xa{\displaystyle x^{a}} соответственно:

ax−xax−a=ax−aa−(xa−aa)x−a=acln⁡a(x−a)−ada−1(x−a)x−a=acln⁡a−ada−1{\displaystyle {\frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}}={\frac {a^{x}-a^{a}-(x^{a}-a^{a})}{x-a}}={\frac {a^{c}\ln a(x-a)-ad^{a-1}(x-a)}{x-a}}=a^{c}\ln a-ad^{a-1}}

здесь c, d лежат между a и x, поэтому они стремятся к a при x стремящемся к a, отсюда получаем тот же предел, что и в первом способе.

Примечания

  1. Демидович Б.П. Задача №1358 // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 7-е изд. — М.: Наука, 1969. — С. 136.

wikiredia.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о