Неопределенные интегралы примеры: Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений

Примеры решений неопределенных интегралов

• Попробуйте решить приведенные ниже неопределенные интегралы.
• Нажмите на изображение интеграла, и вы попадете на страницу с подробным решением.

Примеры на основные формулы и методы интегрирования

См раздел
Основные формулы и методы интегрирования > > >

    Решение > > >
    Решение > > >
    Решение > > >
    > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >

Примеры интегрирования рациональных функций (дробей)

См раздел
Интегрирование рациональных функций (дробей) > > >

    > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >      

Примеры интегрирования иррациональных функций (корней)

См раздел
Методы интегрирования иррациональных функций (корней) > > >

    > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >

Примеры интегрирования тригонометрических функций

См раздел
Методы интегрирования тригонометрических функций > > >

    > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >      

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 21-01-2016

Неопределенный интеграл с примерами решения

Содержание:

1. Простейшие неопределенные интегралы
2. Примеры с решением:
3. Первообразная и неопределенный интеграл
4. Преобразования неопределенных интегралов

Неопределенным интегралом называется совокупность всех первообразных. Первообразной данной функции на некотором промежутке называется такая функция производная которой на всем промежутке равна данной функции Можно показать, что разные первообразные одной и той же функции отличаются на постоянную величину. Таким образом, если мы знаем одну из первообразных заданной функции то неопределенный интеграл

Эту формулу можно также записать в другом виде:

из которого следует, что интегрирование является операцией, обратной дифференцированию. Можно предположить (и это подтверждается на практике), что хорошо интегрировать будет тот, кто умеет хорошо дифференцировать.

Так же как техника дифференцирования опирается на знание таблицы производных, так и вычисление интегралов невозможно без знания таблицы основных интегралов.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Эта таблица фактически является переписанной наоборот (с небольшими изменениями) таблицей производных.

Относительно приводимой таблицы можно сделать следующие замечания. Полезно запомнить распространенный частный случай формулы 3 при

В восьмой формуле можно пользоваться любым из выражений, стоящих справа ( производные функции и равны). То же самое замечание относится и к девятой формуле (производные функций и также равны между собой).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Последние четыре формулы относятся к так называемым гиперболическим функциям ( — гиперболический синус, — гиперболический косинус гиперболический тангенс, — гиперболический котангенс). Этим функциям в учебной литературе обычно уделяется незначительное внимание, хотя в приложениях они используются довольно часто. Следующий раздел будет посвящен гиперболическим функциям, что компенсирует имеющийся пробел в учебниках.

Наконец приведем известную задачу Л. Д. Ландау, которую он давал на экзамене по теоретическому минимуму для отбора физиков-теоретиков в свои группы. Она относится к самому первоначальному понятию и обозначению неопределенного интеграла.

Простейшие неопределенные интегралы

Непосредственное использование таблицы основано на свойстве линейности неопределенного интеграла:

Иа этого свойства следует, что если нам удалось представить подынтегральную функцию в виде линейной комбинации функций, интегралы от которых известны, то интеграл от этой функции равен линейной комбинации соответствующих табличных интегралов. Рассмотрим применение этого метода на примерах.

Примеры с решением:

На участке выполнено неравенство следовательно, и первообразная подынтегральной функции

На участке имеем и поэтому следовательно, первообразная подынтегральной функции Из условия непрерывности функции в точке находим соотношение между постоянными

т.е. Опуская индекс у константы получаем следующий ответ:

Первообразная и неопределенный интеграл

Определение. Первообразной от заданной функции называется функция такая, что ее дифференциал равен т. е.

Например, функция является первообразной от функции так как Площадь криволинейной трапеции (в соответствии с § 4 гл. IX) является первообразной от функции график которой ограничивает эту криволинейную трапецию, так как

Пример 1.

Покажем, что функция есть первообразная от функции В самом деле, производная равна следовательно, дифференциал равен Поэтому есть первообразная от

Определение первообразной можно дать в другой, эквивалентной форме: первообразной от функции называется функция имеющая своей производной

Обратим внимание на то, что первообразная от данной функции существует не одна. Например, как было указано, есть первообразная от но, взяв функцию где —любое постоянное число, получим, что т. е. также является первообразной от

Можно было бы доказать, что и обратное предложение верно, т. е. если функции и являются первообразными от функции то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Из сказанного следует, что операция нахождения первообразной, во-первых, является операцией, обратной дифференцированию, и, во-вторых, эта операция неоднозначная, т. е. в результате ее применения можно получить различные функции, отличающиеся на постоянные слагаемые.

Определение. Совокупность всех первообразных от заданной функции называется неопределенным интегралом от этой функции.

Неопределенный интеграл обозначается так и читается: неопределенный интеграл от функции Если — одна из первообразных функций то любая другая из первообразных от той же функции будет равна

где —любое число. Следовательно

Из определения первообразной и неопределенного интеграла следует, что

В самом деле,

Выпишем формулы, справедливость которых проверяется дифференцированием.

Проверим формулу 10. Возьмем дифференциал от левой части равенства, получим [в силу формулы (Б)]

Таким образом, мы убеждаемся в том, что левая часть есть первообразная от функции Теперь возьмем дифференциал от правой части равенства 10:

Убеждаемся в том, что правая часть равенства есть первообразная от функции часть может отличаться от правой только на постоянное слагаемое, но это постоянное у нас и написано в правой части формулы 10. Итак, формула 10 верна.

Преобразования неопределенных интегралов

Подобно тому, как в алгебре даются правила, позволяющие преобразовывать алгебраические выражения с целью их упрощения, так и для неопределенного интеграла существуют правила, позволяющие производить его преобразования.

Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от каждого члена в отдельности, т. е.

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла, т. е

(—постоянная величина).

Формула интегрирования по частям, а именно:

Докажем формулу

Возьмем дифференциал от правой части равенства

Применяя формулу 4 из таблицы § 2 гл. IX, получим

Член преобразуем по формуле 5 той же таблицы:

а член по формуле (Б) § 1 этой главы равен

Собирая все вместе, будем иметь

т. е. мы получили то, что получается при дифференцировании левой части равенства (III). Аналогично проверяются формулы (I) и (II).

Пример 2.

Применяя правило интегрирования I и формулы 1 и 5 из таблицы интегралов, получаем

Пример 3.

Применяя правило II и формулу 6 из таблицы интегралов, получаем

Пример 4.

В таблице интегралов, приведенных в § 1, такого интеграла нет. Вычислим его, интегрируя по частям; для этого перепишем данный интеграл следующим образом:

Положив применим правило интегрирования по частям:

Но так как то, применяя формулу 1 таблицы интегралов получим Окончательно получаем

Пример 4.

2

Функция – Квадрат x

ctg(x)

Функция – Котангенс от x

arcctg(x)

Функция – Арккотангенс от x

arcctgh(x)

Функция – Гиперболический арккотангенс от x

tg(x)

Функция – Тангенс от x

tgh(x)

Функция – Тангенс гиперболический от x

cbrt(x)

Функция – кубический корень из x

gamma(x)

Гамма-функция

LambertW(x)

Функция Ламберта

x! или factorial(x)

Факториал от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7. 3

– возведение в степень

x + 7

– сложение

x – 6

– вычитание

15/7

– дробь

Другие функции:

asec(x)

Функция – арксеканс от x

acsc(x)

Функция – арккосеканс от x

sec(x)

Функция – секанс от x

csc(x)

Функция – косеканс от x

floor(x)

Функция – округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

ceiling(x)

Функция – округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)

sign(x)

Функция – Знак x

erf(x)

Функция ошибок (или интеграл вероятности)

laplace(x)

Функция Лапласа

asech(x)

Функция – гиперболический арксеканс от x

csch(x)

Функция – гиперболический косеканс от x

sech(x)

Функция – гиперболический секанс от x

acsch(x)

Функция – гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi

Число “Пи”, которое примерно равно ~3. 14159..

e

Число e – основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..

i

Комплексная единица

oo

Символ бесконечности – знак для бесконечности

11.1.2. Неопределенный интеграл. Примеры.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 4 мин. Просмотров 1.1k. Опубликовано 9 сентября 2012

Прежде, чем решать примеры на нахождение неопределенных интегралов, вспомним основные свойства  и основные формулы неопределенных интегралов и запишем все это на отдельном листе “Интегралы“.

Интегралы.

Основные свойства.

I. (∫f (x) dx)’=f (x).

II. d∫f (x) dx=f (x) dx.

III. ∫dF (x)=F (x)+C  или   ∫F'(x) dx=F (x)+C.

IV. ∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx, где k – постоянная величина, не равная нулю.

V. ∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx.

VI. Если F (x) есть первообразная для f (x), а k и b – постоянные величины,

причем, k≠0, то (1/k)·F (kx+b) есть первообразная для f (kx+b).

Справедливо равенство:

Даже простейшие примеры на нахождение неопределенных интегралов предполагают хорошее знание таблицы интегралов. С этого и начнем, причем, перепишем все формулы таблицы интегралов для функции u, которая зависит от х. Итак, мы будем считать, что u – не простая переменная, а функция от х, т.е.  u=φ(x), тогда нижеприведенная таблица интегралов окажется справедливой в любом случае: и если  переменная интегрирования является независимой переменной, и если переменная интегрирования есть функция от независимой переменной.

Таблица интегралов.

 3) ∫du=u+C.

 6) ∫cosudu=sinu+C.

 7) ∫sinudu=-cosu+C.

Примеры. 

Найти следующие интегралы и сделать проверку.

1) ∫(2x – 3) dx. Используем свойства V и IV, формулы 1). и 3).

(Наш лист Интегралы)

∫(2x – 3) dx = 2∫xdx – 3∫dx = 2·x²/2  – 3x + C = х² – 3х + С.

Проверка.   F'(x) = (х² – 3х + С)’ = 2x – 3 = f (x).

2). ∫(2x – 3)²dx.  Преобразуем подынтегральную функцию по формуле ФСУ (формулы сокращенного умножения): (a – b)² = a² – 2ab + b², а затем используем те же свойства и формулы, что и в примере 1).

∫(2x – 3)²dx =∫( 4x² – 12x + 9) dx = 4∫x²dx — 12∫xdx + 9∫dx =

= 4·x³/3 — 12· x²/2 + 9x + C = ( 4/3) x³ – 6x² + 9x + C.

Проверка.   F'(x) = ((4/3) x³ – 6x² + 9x + C)’ =(4/3)  · 3x² — 6·2x + 9 = 4x² – 12x + 9 = (2x – 3)² = f (x).

Решим пример 2) вторым способом – подведения под знак дифференциала.

Итак, требуется найти  ∫(2x – 3)²dx.

Будем использовать формулу 1). Вместо u у нас (2х – 3) и, по формуле 1), переменная интегрирования должна быть такой же, как и основание степени, т. е (2х – 3). Хорошо,  вместо dx запишем d(2x – 3). И что изменилось? d (2x – 3) = 2dx, т.е. подынтегральное выражение стало больше в 2 раза. Разделим его на 2. Для этого перед значком интеграла поставим множитель ½.

Значит,∫(2x – 3)²dx = (½)∫( 2x – 3)² d (2x – 3).     Мысленно представляйте себе u² вместо

(2х – 3)²  и du вместо d(2x – 3). Увидели ∫u²du ?  И что получится? Верно:  u³/3+ C.

«Долго сказка сказывается…», а решаются такие примеры быстро:

∫(2x – 3)²dx =  (½)∫(2x – 3)² d (2x – 3) =(½) ·(2x-3)³/3  + С =(1/6) · (2х – 3)³ + С.

Проверка.   (F (x)+С)′ = ( 1/6· (2х – 3)³ + С)’ =  (1/6)· 3 (2x – 3)² · 2 = (2x – 3)² = f (x).

Сравните эти два способа решения примера 2. Что, не впечатлил второй способ? Тогда пример 3).

3) ∫(2x – 3)⁷dx.   Желаете возводить (2х – 3) в седьмую степень? А-а, то-то же!

Решаем способом подведения под знак дифференциала, т.е. вторым способом так же, как предыдущий пример.

∫(2x – 3)⁷dx =  (½)∫(2x – 3)⁷d (2x – 3) =  (½)· (2x – 3)⁸ /8 + C =(1/16) (2x – 3)⁸ + C.

Проверка. F'(x) = ((1/16)(2x – 3)⁸ + C)’ =(1/16) ·8 (2x – 3)⁷·2 = (2x – 3)⁷ = f (x). 2 $$ Как видим, всё отлично совпало.

Появляется вопрос: как решать интегралы неопределенные и какой у них смысл? Решение таких интегралов – это нахождение первообразных функций. Этот процесс противоположный нахождению производной. Для того, чтобы найти первообразную можно использовать нашу помощь в решении задач по математике или же необходимо самостоятельно безошибочно вызубрить свойства интегралов и таблицу интегрирования простейших элементарных функций. Нахождение выглядит так $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text{где} F(x) $ – первообразная $ f(x), C = const $.

Для решения интеграла нужно интегрировать функцию $ f(x) $ по переменной. Если функция табличная, то записывается ответ в подходящем виде. Если же нет, то процесс сводится к получению табличной функции из функции $ f(x) $ путем хитрых математических преобразований. Для этого есть различные методы и свойства, которые рассмотрим далее.

Свойства интегралов

• Вынос константы из под знака интеграла: $$ $$ $$ \int Cg(x) dx = C\int g(x) dx $$
• Интеграл суммы/разности двух функций равен сумме/разности интегралов этих функций: $$ \int ( f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx $$
• Изменение направления интегрирования: $$ \int _a ^b f(x) = -\int _b ^a f(x) dx $$
• Разбиение отрезка интегрирования: $$ \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx $$ $$ c \in (a,b) $$

 

Итак, теперь составим алгоритм как решать интегралы для чайников?

Алгоритм вычисления интегралов

1. Узнаем определенный интеграл или нет. 4}{4}+\sqrt{x} + C $$

   Итак, вы узнали как решать интегралы для чайников, примеры решения интегралов разобрали по полочкам. Узнали физический и геометрический их смысл. О методах решения будет изложено в других статьях.

   Решение интегралов. Рассказываем, как решать интегралы.

   Интегралы и их решение многих пугает. Давайте избавимся от страхов и узнаем, что это такое и как решать интегралы!
   Интеграл – расширенное математическое понятие суммы. Решение интегралов или их нахождение называется интегрированием. Пользуясь интегралом можно найти такие величины, как площадь, объем, массу и другое.
   Решение интегралов (интегрирование) есть операция обратная дифференцированию.
   Чтобы лучше представлять, что есть интеграл, представим его в следующей форме. Представьте. У нас есть тело, но пока не можем описать его, мы только знаем какие у него элементарные частицы и как они расположены. Для того, чтобы собрать тело в единое целое необходимо проинтегрировать его элементарные частички – слить части в единую систему.
   В геометрическом виде для функции y=f(x), интеграл представляет собой площадь фигуры ограниченной кривой, осью х, и 2-мя вертикальными линиями х=а и х=b .
   

   
   
   Так вот площадь закрашенной области, есть интеграл от функции в пределах от a до b.
   Не верится? Проверим на любой функции. Возьмем простейшую у=3. Ограничим функцию значениями а=1 и b=2. Построим:
   
   Итак ограниченная фигура прямоугольник. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. В наше случае длина 3, ширина 1, площадь 3*1=3.
   Попробуем решить тоже самое не прибегая к построению, используя интегрирование:
   
   Как видите ответ получился тот же. Решение интегралов – это собирание во едино каких-либо элементарных частей. В случае с площадью суммируются полоски бесконечно малой ширины. Интегралы могут быть определенными и неопределенными.
   Решить определенный интеграл значит найти значение функции в заданных границах. Решение неопределенного интеграла сводиться к нахождению первообразной.
   
   F(x) – первообразная. Дифференцируя первообразную, мы получим исходное подынтегральное выражение. Чтобы проверить правильно ли мы решили интеграл, мы дифференцируем полученный ответ и сравниваем с исходным выражением.
   Основные функции и первообразные для них приведены в таблице:

   Таблица первообразных для решения интегралов

   
   Основные приемы решения интегралов:
   Решить интеграл, значит проинтегрировать функцию по переменной. Если интеграл имеет табличный вид, то можно сказать, что вопрос, как решить интеграл, решен. Если же нет, то основной задачей при решении интеграла становиться сведение его к табличному виду.
   Сначала следует запомнить основные свойства интегралов:
   

   Знание только этих основ позволит решать простые интегралы. Но следует понимать, что большинство интегралов сложные и для их решения необходимо прибегнуть к использованию дополнительных приемов. Ниже мы рассмотрим основные приемы решения интегралов. Данные приемы охватывают большую часть заданий по теме нахождения интегралов.
   Также мы рассмотрим несколько базовых примеров решения интегралов на базе этих приемов. Важно понимать, что за 5 минут прочтения статьи решать все сложные интегралы вы не научитесь, но правильно сформированный каркас понимания, позволит сэкономить часы времени на обучение и выработку навыков по решению интегралов.

   Основные приемы решения интегралов

   1. Замена переменной.
   
   Для выполнения данного приема потребуется хороший навык нахождения производных.

   2. Интегрирование по частям. Пользуются следующей формулой.
   
   Применения этой формулы позволяет казалось бы нерешаемые интегралы привести к решению.

   3. Интегрирование дробно-рациональных функций.
   – разложить дробь на простейшие
   – выделить полный квадрат.
   – создать в числителе дифференциал знаменателя.

   4. Интегрирование дробно-иррациональных функций.
   – выделить под корнем полный квадрат
   – создать в числителе дифференциал подкоренного выражения.
   5. Интегрирование тригонометрических функций.
   При интегрировании выражений вида
   применяет формулы разложения для произведения.
   Для выражений
   m-нечетное, n –любое, создаем d(cosx). Используем тождество sin²+cos²=1
   m,n – четные, sin²x=(1-cos2x)/2 и cos²x=(1+cos2x)/2
   Для выражений вида:
   – Применяем свойство tg²x=1/cos²x – 1

   С базовыми приемами на этой всё. Теперь выведем своего рода алгоритм:
   Алгоритм обучения решению интегралов:
   1. Разобраться в сути интегралов. Необходимо понять базовую сущность интеграла и его решения. Интеграл по сути есть сумма элементарных частей объекта интегрирования. Если речь идет об интегрирование функции, то интеграл есть площадь фигуры между графиком функции, осью х и границами интегрирования. Если интеграл неопределенный, то есть границы интегрирования не указаны, то решение сводиться к нахождению первообразной. Если интеграл определенный, то необходимо подставить значения границ в найденную функцию.
   2. Отработать использование таблицы первообразных и основным свойства интегралов. Необходимо научиться пользоваться таблицей первообразных. По множеству функций первообразные найдены и занесены в таблицу. Если мы имеем интеграл, которые есть в таблице, можно сказать, что он решен.
   3. Разобраться в приемах и наработать навыки решения интегралов.Если интеграла не табличного вида, то его решение сводиться к приведению его к виду одного из табличных интегралов. Для этого мы используем основные свойства и приемы решения. В случае, если на каких то этапах применения приемов у вас возникают трудности и непонимания, то вы более подробно разбираетесь именно по этому приему, смотрите примеры подобного плана, спрашиваете у преподавателя.
   Дополнительно после решения интеграла на первых этапах рекомендуется сверять решение. Для этого мы дифференцируем полученное выражение и сравниваем с исходным интегралом.
   Отработаем основные моменты на нескольких примерах:

   Примеры решения интегралов

   Пример 1:
   Решить интеграл:
   
   Интеграл неопределенный. Находим первообразную.
   Для этого интеграл суммы разложим на сумму интегралов.
   
   Каждый из интегралов табличного вида. Смотрим первообразные по таблице.
   Решение интеграла:
   
   Проверим решение(найдем производную):
   

   Пример 2. Решаем интеграл
   
   Интеграл неопределенный. Находим первообразную.
   Сравниваем с таблицей. В таблице нет.
   Разложить, пользуясь свойствами, нельзя.
   Смотрим приемы. Наиболее подходит замена переменной.
   Заменяем х+5 на t⁵. t⁵ = x+5 . Получаем.
   
   Но dx нужно тоже заменить на t. x= t⁵ – 5, dx = (t⁵ – 5)’ = 5t⁴. Подставляем:
   
   Интеграл из таблицы. Считаем:
   
   Подставляем в ответ вместо t ,
   
   Решение интеграла:
   

   Пример 3. Решение интеграла:
   
   Для решения в этом случае необходимо выделить полный квадрат. Выделяем:
   

   В данном случае коэффициент 1/2 перед интегралом получился в результате замены dx на 1/2*d(2x+1). Если вы найдете производные x’ = 1 и 1/2*(2x+1)’= 1, то поймете почему так.
   В результате мы привели интеграл к табличному виду.
   Находим первообразную.
   
   В итоге получаем:
   

   Для закрепления темы интегралов рекомендуем также посмотреть видео.
   
   В нем мы на примере физики показываем практическое применение интегрирования, а также решаем еще несколько задач.

   Надеюсь вопрос, как решать интегралы для вас прояснился. Мы дорабатываем статью по мере поступления предложений. Поэтому если у вас появились какие то предложения или вопросы по теме решения интегралов, пишите в комментариях.

   Рекламная заметка: Для особо пытливых умов советуем Видео-лекции по математическому программированию. Программирование одна из дочек математики!

   ---

   Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

   ---

   высшая математика для чайников интегралы

   Вы искали высшая математика для чайников интегралы? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и высшая математика интегралы, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «высшая математика для чайников интегралы».

   Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как высшая математика для чайников интегралы,высшая математика интегралы,высшая математика интегралы для чайников,вычислить интеграл примеры решений,вычислить неопределенный интеграл примеры решений,задания интегралы,интеграл как брать,интеграл как находить,интеграл как решать,интеграл как решать примеры,интеграл матпрофи,интеграл пример,интеграл примеры,интеграл примеры решения,интегралы высшая математика,интегралы высшая математика для чайников,интегралы для чайников,интегралы для чайников как решать,интегралы для чайников примеры решения,интегралы задания,интегралы задачи,интегралы как находить,интегралы как решать,интегралы как решать примеры,интегралы неопределенные,интегралы неопределенные примеры решений,интегралы определенные примеры,интегралы примеры,интегралы примеры решения,интегралы примеры решения для чайников,интегралы примеры с решением,интегралы простые,интегралы с нуля,интегралы с нуля простым языком,интегрирование примеры,интегрирование сложной функции,интегрирование сложных функций,интегрирования примеры,как брать интеграл,как вычислить интеграл для чайников,как интегрировать,как найти неопределенный интеграл примеры,как находить интеграл,как находить интегралы,как решать интеграл примеры,как решать интегралы для чайников,как решать интегралы неопределенные,как решать интегралы определенные,как решать интегралы примеры,как решать интегралы примеры решения,как решать неопределенные интегралы,как решать неопределенные интегралы для чайников,как решать неопределенный интеграл,как решать определенные интегралы,как решать определенные интегралы примеры решения,как решать определенный интеграл,как решать первообразные,как решить интеграл определенный,как решить определенный интеграл,матпрофи интегралы,методы решения интегралов,неопределенные интегралы,неопределенные интегралы как решать,неопределенные интегралы примеры,неопределенные интегралы примеры с решением,неопределенные интегралы сложные,неопределенный интеграл для чайников,неопределенный интеграл как решать,неопределенный интеграл примеры,неопределенный интеграл примеры решений,неопределенный интеграл примеры решения,неопределенный интеграл примеры с решениями,неопределенный интеграл решения примеры,неопределенный интеграл формулы,определенные интегралы для чайников,определенные интегралы как решать,определенные интегралы примеры с решением,определенный интеграл для чайников,определенный интеграл как решать,определенных интегралов примеры с решением,первообразная примеры,первообразная примеры решения,первообразная примеры с решением,первообразные как решать,правила интегрирования неопределенного интеграла,пример интеграл,примеры интегралов,примеры интегралов неопределенных,примеры интегралов с решением,примеры интегралов с решением для студентов,примеры интегралы с решением,примеры интегрирования,примеры неопределенные интегралы,примеры неопределенных интегралов,примеры неопределенных интегралов с решением,примеры первообразных с решением,примеры решений интегралов,примеры решений неопределенный интеграл,примеры решений неопределенных интегралов,примеры решения интегралов,примеры решения интегралов неопределенных,примеры решения интегралов с ответами,примеры решения неопределенных интегралов,примеры с решением интегралов,примеры с решением неопределенных интегралов,примеры с решением определенных интегралов,примеры с решением первообразных,примеры с решениями определенный интеграл,простейшие интегралы,решение интегралов для чайников,решение интегралов определенных примеры,решение интегралов примеры,решение определенных интегралов примеры с решением,сложные неопределенные интегралы,способы решения интегралов,формулы неопределенный интеграл. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и высшая математика для чайников интегралы. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, высшая математика интегралы для чайников).

   Где можно решить любую задачу по математике, а так же высшая математика для чайников интегралы Онлайн?

   Решить задачу высшая математика для чайников интегралы вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

   Исчисление I – Вычисление неопределенных интегралов

   Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

   Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана (, т. е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

   Раздел 5-2: Вычисление неопределенных интегралов

   В предыдущем разделе мы начали рассматривать неопределенные интегралы, а в этом разделе мы сосредоточились почти исключительно на обозначениях, понятиях и свойствах неопределенного интеграла.{n + 1}}}} {{n + 1}} + c, \, \, \, \, \, n \ ne – 1 \]

   Общее правило: при интегрировании степени \ (x \) мы прибавляем единицу к показателю, а затем делим на новый показатель. Ясно (надеюсь), что нам нужно будет избежать \ (n = – 1 \) в этой формуле. Если мы допустим \ (n = – 1 \) в этой формуле, мы получим деление на ноль. Мы немного позаботимся об этом случае.

   Next – один из самых простых интегралов, но он всегда создает проблемы для людей.

   \ [\ int {{k \, dx}} = kx + c, \ hspace {0.2} x \, dx}} = – \ cot x + c \ hspace {0,75in} & \ int {{\ csc x \ cot x \, dx}} = – \ csc x + c \ end {array} \ ]

   Обратите внимание, что здесь мы интегрировали только две из шести триггерных функций. Остальные четыре интеграла на самом деле являются интегралами, которые дают оставшиеся четыре триггерные функции. Также будьте осторожны со знаками здесь. Легко перепутать знаки производных и интегралов. Опять же, помните, что мы спрашиваем, какую функцию мы дифференцировали, чтобы получить подынтегральное выражение.

   Мы сможем интегрировать оставшиеся четыре триггерные функции в пару разделов, но все они требуют правила замены.{- 1}} \, dx}} = \ ln \ left | х \ право | + c \]

   Интегрирование логарифмов требует предмета, который обычно преподается в исчислении II, поэтому мы не будем интегрировать логарифм в этом классе. {- 1}} x + c \]

   Традиционно мы используем первую форму этого интеграла.3}}} \, dx}} \)

Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

Хорошо, во всем этом помните основные правила неопределенных интегралов. Во-первых, для объединения сумм и разностей все, что мы на самом деле делаем, – это объединяем отдельные термины, а затем снова складываем их вместе с соответствующими знаками. Затем мы можем игнорировать любые коэффициенты, пока мы не закончим интегрирование этого конкретного члена, а затем снова ввести коэффициент. Также не забывайте «+ \ (c \)» в конце, это важно и должно быть там.{\ frac {1} {2}}} + c \ end {align *} \]

Имея дело с дробными показателями, мы обычно не делим на новый показатель. Это эквивалентно умножению на величину, обратную новому показателю степени, и именно так мы обычно и поступаем.

d \ (\ displaystyle \ int {{dy}} \) Показать решение

Не усложняйте это…

\ [\ int {{dy}} = \ int {{1 \, dy}} = y + c \]

В данном случае мы действительно просто интегрируем один!

е \ (\ Displaystyle \ int {{\ влево ({вес + \ sqrt [3] {w}} \ вправо) \ влево ({4 – {ш ^ 2}} \ вправо) dw}} \, \) Показать решение

У нас есть продукт, и, как мы отметили в предыдущем разделе, нет правил обращения с продуктами. 2} + 15 \ ln \ left | х \ право | + c \ end {align *} \]

Будьте осторожны, чтобы не думать о третьем члене как о \ (x \) степени в целях интегрирования. Использование этого правила для третьего члена НЕ сработает. Третий член – это просто логарифм. Кроме того, не волнуйтесь по поводу числа 15. 15 – это просто константа, поэтому ее можно вычесть из интеграла. Другими словами, вот что мы сделали, чтобы интегрировать третий член.

\ [\ int {{\ frac {{15}} {x} \, dx}} = 15 \ int {{\ frac {1} {x} \, dx}} = 15 \ ln \ left | х \ право | + c \]

Всегда помните, что вы не можете интегрировать продукты и коэффициенты так же, как мы интегрируем суммы и разницы.На данный момент единственный способ интегрировать продукты и частные – это умножить произведение или разбить частное. В конце концов мы увидим некоторые другие продукты и факторы, с которыми можно будет справиться другими способами. Однако никогда не будет единого правила, которое будет работать для всех продуктов, и никогда не будет единого правила, которое будет работать для всех частных. Каждый продукт и фактор индивидуальны, и их нужно будет рассматривать в индивидуальном порядке.

Первый набор примеров сосредоточен почти исключительно на степенях \ (x \) (или любой другой переменной, которую мы использовали в каждом примере).x} + 5 \ sin x – 10 \ tan x + c \]
b \ (\ displaystyle \ int {{2 \ sec w \ tan w + \ frac {1} {{6w}} \, dw}} \) Показать решение

Давайте будем немного осторожнее с этим. Сначала разбейте его на два интеграла и обратите внимание на переписанное подынтегральное выражение во втором интеграле.

\ [\ begin {align *} \ int {{2 \ sec w \ tan w + \ frac {1} {{6w}} \, dw}} & = \ int {{2 \ sec w \ tan w \, dw}} + \ int {{\ frac {1} {6} \ frac {1} {w} \, dw}} \\ & = \ int {{2 \ sec w \ tan w \, dw}} + \ frac {1} {6} \ int {{\ frac {1} {w} \, dw}} \ end {align *} \]

Переписывание второго подынтегрального выражения немного поможет с интеграцией на этой ранней стадии. Мы можем думать о 6 в знаменателе как о 1/6 перед членом, а затем, поскольку это константа, ее можно вычесть из интеграла. Тогда ответ:

. \ [\ int {{2 \ sec w \ tan w + \ frac {1} {{6w}} \, dw}} = 2 \ sec w + \ frac {1} {6} \ ln \ left | w \ right | + c \]

Обратите внимание, что мы не вычитали двойку из первого интеграла, так как мы разложили на множитель 1/6 из второго. Фактически, мы, как правило, не будем учитывать 1/6 и в более поздних задачах.2} \ theta}} \, d \ theta}} = – 7 \ cot \ theta – 6 \ theta + c \]

Как показано в последней части этого примера, мы можем сделать некоторые довольно сложные на вид частные на этом этапе, если мы не забываем делать упрощения, когда видим их. Фактически, это то, о чем вы всегда должны помнить. Практически в любой проблеме, которую мы здесь решаем, не забывайте упрощать, где это возможно. Практически в каждом случае это может только решить проблему и редко усложняет ее.

В следующей задаче мы рассмотрим продукт, и на этот раз мы не сможем просто умножить продукт.Однако, если мы вспомним замечание о небольшом упрощении, эта проблема становится довольно простой.

Пример 3 Интегрируйте \ (\ displaystyle \ int {{\ sin \ left ({\ frac {t} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {t} {2}} \ right) \, dt }} \). Показать решение

Есть несколько способов сделать этот интеграл, и для большинства из них требуется следующий раздел. Однако есть способ сделать этот интеграл, используя только материал из этого раздела. Все, что требуется, – это запомнить тригонометрическую формулу, которую мы можем использовать, чтобы немного упростить подынтегральное выражение.Вспомните следующую формулу двойного угла.

\ [\ sin \ left ({2t} \ right) = 2 \ sin t \ cos t \]

Небольшая переработка этой формулы дает,

\ [\ sin t \ cos t = \ frac {1} {2} \ sin \ left ({2t} \ right) \]

Если мы теперь заменим все \ (t \) на \ (\ frac {t} {2} \), мы получим

\ [\ sin \ left ({\ frac {t} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {t} {2}} \ right) = \ frac {1} {2} \ sin \ влево (т \ вправо) \]

Используя эту формулу, интеграл становится чем-то, что мы можем сделать.

\ [\ begin {align *} \ int {{\ sin \ left ({\ frac {t} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {t} {2}} \ right) \, dt}} & = \ int {{\ frac {1} {2} \ sin \ left (t \ right) dt}} \\ & = – \ frac {1} {2} \ cos \ left (t \ right ) + c \ end {выровнять *} \]

Как отмечалось ранее, существует другой метод выполнения этого интеграла. Фактически, есть два альтернативных метода. Чтобы увидеть все три, ознакомьтесь с разделом «Константы интеграции» в главе «Дополнительные возможности», но имейте в виду, что для двух других требуется материал, описанный в следующем разделе.3} + 6, \, \, \, \, f \ left (1 \ right) = – \ frac {5} {4}, \, \, \, f \ left (4 \ right) = 404 \) Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

В обоих случаях нам нужно помнить, что

\ [е \ left (x \ right) = \ int {{f ‘\ left (x \ right) \, dx}} \]

Также обратите внимание, что, поскольку мы даем значения функции в определенных точках, мы также собираемся определить, какая константа интегрирования будет в этих задачах. 3} + 6, \, \, \, \, f \ left (1 \ right) = – \ frac {5} {4}, \, \, \, f \ left (4 \ right) = 404 \) Показать решение

Этот немного отличается от первого. Чтобы получить функцию, нам понадобится первая производная, а у нас есть вторая производная. Однако мы можем использовать интеграл, чтобы получить первую производную от второй производной, так же, как мы использовали интеграл для получения функции от первой производной.

Итак, давайте сначала получим наиболее общую возможную первую производную, интегрировав вторую производную.2} + cx + d \ end {align *} \]

Не радуйтесь интеграции \ (c \). Это просто константа, и мы знаем, как интегрировать константы. Кроме того, не будет причин думать, что константы интегрирования на каждом шаге будут одинаковыми, и поэтому нам нужно будет называть каждую константу интегрирования чем-то другим, в данном случае \ (d \).

Теперь вставьте два значения полученной функции.

\ [\ begin {align *} – \ frac {5} {4} & = f \ left (1 \ right) = 4 + \ frac {1} {4} + 3 + c + d = \ frac {{29 }} {4} + c + d \\ 404 & = f \ left (4 \ right) = 4 \ left ({32} \ right) + \ frac {1} {4} \ left ({1024} \ right ) + 3 \ left ({16} \ right) + c \ left (4 \ right) + d = 432 + 4c + d \ end {align *} \]

Это дает нам систему двух уравнений с двумя неизвестными, которую мы можем решить.2} – \ frac {{13}} {2} x – 2 \]

Не помните, как решать системы? Ознакомьтесь с разделом «Решающие системы» в «Обзоре алгебры / триггера».

В этом разделе мы начали процесс интеграции. Мы видели, как делать довольно много основных интегралов, а также видели быстрое применение интегралов в последнем примере.

В этом разделе есть много новых формул, которые нам теперь нужно знать. Однако, если подумать, это не совсем новые формулы.На самом деле это не что иное, как производные формулы, которые мы уже должны знать, написанные в терминах интегралов. Если вы помните, вам будет легче запоминать формулы из этого раздела.

Всегда помните, что интеграция не требует ничего, кроме того, какую функцию мы различали, чтобы получить подынтегральное выражение. Если вы помните, что многие из основных интегралов, которые мы видели в этом разделе, и многие интегралы в следующих разделах не так уж и плохи.

Неопределенный интеграл: определение, правила и примеры – видео и стенограмма урока

Позиция vs.Скорость

Предположим, вы путешествуете на своей машине, и ваша скорость (или скорость ) известна. Возможно, ваш друг на пассажирском сиденье смотрел на ваш спидометр и записывал скорость каждый час в общей сложности четыре часа.

Время ( т ), в часах	Скорость ( против ), миль / ч.
0	0
1	20
2	40
3	60
4	80

Исходя из таблицы, кажется, что против = 20 т миль / ч. 2, то похлопайте себя по спине.

Технически мы также должны включить константу интегрирования, поэтому наиболее общий способ выражения функции положения s ( t ) будет:

Однако мы можем спокойно игнорировать C для такой проблемы, потому что нас интересует только изменение положения.

А теперь давайте ответим на исходный вопрос: как далеко вы и ваш друг прошли? Давайте отследим положение, подставив соответствующее значение t в функцию положения s ( t ).2), в милях
0 0 0
1 20 10
2 40 40
3 60 90
4 80 160

Поездка длилась t = 4 часа, поэтому общее расстояние составило с = 10 (4) ^ 2 = 160 миль. (- 1/2).

Фактически, эти два правила были тем, что мы использовали, чтобы найти первообразную 20 t .

Правило сумм – еще один чрезвычайно полезный инструмент.

Есть много других первообразных правил, на самом деле так много, что у нас нет места, чтобы написать их здесь.Это для других уроков.

Примеры

Давайте вместе рассмотрим несколько примеров. Постарайтесь определить, где мы использовали каждое правило, но мы также рассмотрим каждый шаг позже. Вы можете обратиться к таблице интегральных формул, которую можно найти в большинстве учебников по математическому анализу или в Интернете. Начнем с этого уравнения:

Сначала мы используем правило сумм, затем правило множественных постоянных, затем правило мощности (с n = 3) и правило для первообразной cos x . ( kx ). Второй член использует правило мощности ( n = 1/2). Третий член использует правило первообразной константы. Тогда уберись.

Возможно, некоторые из этих первообразных правил, которые мы использовали в примерах, появились неожиданно. Но чем больше опыта вы получите с неопределенными интегралами, тем больше вы откроете и будете использовать соответствующие правила.

Итоги урока

Давайте рассмотрим, что мы узнали. Неопределенный интеграл (или первообразная) функции f – это функция F , производная которой равна f .В качестве практического примера, если дана функция скорости v , то неопределенный интеграл v будет функцией положения, s . Интегральное обозначение, предполагающее, что F ‘ ( x ) = f ( x ), составляет:

C называется константой интегрирования и является просто частью формы первообразной. Существуют определенные правила, которые помогают нам находить неопределенные интегралы, в том числе:

1. Правило для постоянных кратных чисел гласит, что любое постоянное кратное может быть извлечено из интеграла.
2. Правило степени говорит нам, как интегрировать выражения, которые являются степенями переменной.
3. Правило сумм выглядит следующим образом:

Модуль 18 – Первообразные как неопределенные интегралы и дифференциальные уравнения

В этом уроке исследуется связь между первообразными и неопределенными интегралами, а также обсуждаются семейства кривых.

---

Математику можно открыть с помощью TI-89, как показано в Модуле 2 и Модуле 10. При индуктивном обучении возникает чувство сопричастности и интереса. Просмотрите процесс открытия и обучения, который был описан в Модуле 2 и Модуле 10 и показан ниже.

• Изучите несколько связанных примеров
• Опишите устно картину результатов
• Предсказать результат
• Подтвердите прогноз
• Расширить типы исследуемых примеров
• Обобщить

Определение неопределенных интегралов

Напомним, что первообразной функции f является функция F , производная которой равна .

Основная теорема устанавливает связь между первообразной F и функцией f .

, где F ‘ ( x ) = f ( x ) и a – любая константа.

Для обозначения первообразных f используется модифицированное обозначение. Новое обозначение называется неопределенным интегралом, а первообразные f записываются как

Определенный vs.Неопределенные интегралы В неопределенном интеграле нет пределов интегрирования. Определенный интеграл представляет собой число, когда нижний и верхний пределы составляют , константы . Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций, производные которых равны f . Разница между любыми двумя функциями в семье постоянна.

Использование интегрального ключа

Клавиша интеграла, которая используется для нахождения определенных интегралов, также может использоваться для нахождения неопределенных интегралов, просто пропуская пределы интегрирования.

Изучение

Изучите первообразную каждой из следующих функций, которые имеют форму x ⁿ , и найдите образец, который приведет вас к общему правилу поиска .

• Оценивать
• Оценивать
• Оценивать

Обратите внимание, что произвольная константа C не является частью результата, данного TI-89.

Описание модели и прогноз

18.1. 1 Опишите шаблон, который вы обнаружили при вычислении неопределенных интегралов выше, и используйте его для прогнозирования .
Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

18.1.2 Подтвердите свой прогноз на свой ТИ-89.
Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

Расширение примеров

Расширьте изучение примеров, предсказав следующие неопределенные интегралы.

• Оценивать
• Оценивать

18.1.3 Подтвердите свои прогнозы, введя интегралы на вашем TI-89.
Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

Обобщение паттерна

18.1.4 Предсказать общее правило для и подтвердите это, введя интеграл на вашем TI-89.
Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

Проверка неопределенных интегралов

Потому что вы можете проверить результат каждого неопределенного интеграла, найдя производную от результата. Например, можно проверить, взяв производную от результата: . Поскольку результатом дифференцирования является исходная функция, интегрирование подтверждается.

Обобщенное правило

Обобщенная версия этого правила такова: , куда и C – постоянная. Напомним, что производная константы равна 0, поэтому для любой постоянной C .

Иллюстрируя

Неопределенный интеграл может быть проиллюстрировано графическим изображением семейства кривых , которые представлены для разных значений C .Например, соответствует . Допустим, C принимает значения -240, -200, -160, -120, -80, -40, 0, 40, 80, семейство кривых показано ниже в виде [0, 50] x [-50, 100], где конкретная кривая, связанная с C = 0, темнее.

Каждую кривую в семействе можно получить, выбрав другое значение C и вертикально перенеся кривую, соответствующую C = 0.

Первообразные / неопределенные интегралы

Первообразные / неопределенные интегралы

Функция F ( x ) называется первообразной функции f ( x ), если F ′ ( x ) = f ( x ) для всех x в домене f . Обратите внимание, что функция F не уникальна и что для данной функции может существовать бесконечное количество первообразных.Например, F ( x ) = x ³ , G ( x ) = x ³ + 5 и H ( x ) = x . ³ -2 – все первообразные f ( x ) = 3 x ² , потому что F ′ ( x ) = G ′ ( x ) = H ′ ( x ) = f ( x ) для всех x в домене f .Ясно, что эти функции F, G и H отличаются только некоторым постоянным значением и что производная этого постоянного значения всегда равна нулю. Другими словами, если F ( x ) и G ( x ) являются первообразными f ( x ) на некотором интервале, то F ′ ( x ) = G ′ ( x ) и F ( x ) = G ( x ) + C для некоторой постоянной C в интервале. Геометрически это означает, что графики F ( x ) и G ( x ) идентичны, за исключением их вертикального положения.

Обозначение, используемое для представления всех первообразных функции f ( x ) – это символ неопределенного интеграла , записанный, где. Функция f ( x ) называется подынтегральным выражением, а C называется константой интегрирования. Выражение F ( x ) + C называется неопределенным интегралом F относительно независимой переменной x .Используя предыдущий пример F ( x ) = x ³ и f ( x ) = 3 x ² , вы обнаружите, что.

Неопределенный интеграл функции иногда также называют общей первообразной функции.

Пример 1: Найдите неопределенный интеграл от f ( x ) = cos x .

Пример 2: Найдите общую первообразную f ( x ) = –8.

• Поскольку производная F ( x ) = −8 x составляет F ′ ( x ) = −8, запишите

Неопределенный интеграл (первообразная): определение, правила и примеры

Состав:

См. Также: Интеграция по частям

Неопределенные интегралы (также называемые первообразными ) не имеют пределов / границ интегрирования, в то время как определенные интегралы – имеют границы.

Когда вы находите неопределенный интеграл, вы всегда добавляете к решению «+ C» (так называемая константа интегрирования ). Это потому, что у вас может быть множества решений , каждое из которых является набором всех вертикальных преобразований первообразной.

Например, первообразная 2x равна x ² + C, где C – константа. Производная константы равна нулю, поэтому C может быть любой постоянной, положительной или отрицательной. Четыре первообразных 2x: x ² + 1, x ² -1, x ² + 2 или x ² – 2.

Решение с постоянной интегрирования (+ C).

Другими словами, неопределенный интеграл не имеет никаких ограничений, поэтому вы получаете набор интегралов (а не только один конкретный). «+ C» указывает на то, что решение действительно имеет бесконечные возможности.

Если это звучит странно, вы на самом деле использовали похожую технику в алгебре, когда вы добавляли k для константы (например, f (x) = k * sin (x)): вы позволяете читателю знайте, что существует множество возможных значений.

Другой способ взглянуть на это: буква «C» обозначает неопределенность в вашем решении.

Почему для неопределенного интеграла необходима постоянная интегрирования?

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте взглянем на простую функцию:

f (x) = 3x ²

Предположим, что это ответ на проблему интеграции. Интегрирование является обратным дифференцированию (поэтому неопределенные интегралы также называют первообразными), поэтому вы пытаетесь найти функцию F (x), у которой первая производная равна 3x ² :

F ^′ (x) = 3x ²

Какая функция имеет первую производную от 3x ² ? Одно решение – x ³ .Используя правило дифференцирования показателей, получаем

Но это не единственное решение. Добавление константы к решению никоим образом не меняет его, потому что производная константы равна нулю. Другими словами, у вас может быть бесконечное количество решений, например:

• 3x ² + 9
• 3x ² + .09
• 3x ² + π
• 3x ² + 3/2
• 3x ² -8629862394629834
• 3x ² – 9

Поскольку невозможно записать все бесконечные решения, мы просто добавляем константу интеграции в качестве заполнителя и говорим 3x ² + C.

Теорема о постоянной разности

В приведенном выше примере показано, что несколько производных одной и той же функции отличаются только одной константой C, которая может равняться нулю. Теорема о постоянной разности использует этот факт вместе с разницей двух функций:

Если f и g дифференцируемы на интервале, и если f ^′ (x) = g ′ (x) для всех x в этом интервале, то f – g постоянна на интервале; то есть существует постоянная k такая, что f (x) – g (x) = k, или, что эквивалентно,
f (x) = g (x) + k
для всех x в интервале.(Антон и др., 2012).

Правила неопределенного интеграла

Неопределенные интегралы могут существовать, а могут и не существовать, но когда они существуют, существуют некоторые общие правила, которым вы можете следовать, чтобы упростить процедуру интегрирования.

∫m dx = mx + c для любого числа m.
∫x ⁿ dx = ¹ ⁄ _{n + 1} x ^{x + 1} + c, если n ≠ –1.
∫ ¹ ⁄ _x dx = ln | x | + c, для x ≠ 0.
∫sin x dx = −cos x + c
∫cos x dx = sin x + c
∫e ^x dx = e ^x + c

Интеграл от суммы двух функций – это сумма их отдельных интегралов:

Сложение : ∫ [f (x) + g (x)] dx = ∫f (x) dx + ∫g (x) dx
Вычитание : ∫ [f (x) – g (x)] dx = ∫f (x) dx – ∫g (x) dx

Обратите внимание, что это правило не говорит вам, как найти отдельные интегралы.Для этого вам нужно будет обратиться к правилам для конкретных функций (например, к интегральному правилу или тригонометрическим правилам).

Пример задачи: Найти cos x + x dx

1. Разделить интегралы: ∫cos x + x dx = ∫cos x dx + ∫x dx
2. Найдите индивидуальные решения:
3. ∫cos x = sin x
4. ∫x = = sin x + x ² /2 + C (см .: правило интегрирования степенной функции )

Решение = sin x + x ² /2 + C

См . : Правило суммы: определение и примеры – пара пошаговых примеров.

Любой постоянный коэффициент можно вынести за пределы символа интегрирования:

∫ax ndx = a∫xn dx для любой константы «a».

Аналогично
∫ [af (u) + bg (u)] du = a = ∫ f (u) du + b ∫g (u) du

Если F ‘(x) = f (x), то для любого m ≠ 0
∫f (mx + b) dx = ¹ ⁄ _m F (mx + b) + c

∫ cos x dx = sin x + C
∫ sin x = -cos x + C
∫ sec ² x dx
∫ csc ² x dx = -cot x + C
∫ sec x tan x dx
∫ csc x стоимость x dx

Вернуться к началу

Неопределенные интегралы от

степенных функций

Следующее общее правило предназначено для интегрирования степенных функций вида
f (x) = x ⁿ (n – 1):


На самом деле это проще, чем кажется – все, что формула говорит, – это добавить единицу. к степени, разделите на эту степень, а затем добавьте букву «C» для константы.

Пример проблемы:
Пример проблемы № 1: Найдите первообразную (неопределенный интеграл) для 20x ³

Шаг 1: Увеличьте мощность на 1 :
20x ³ = 20x ⁴

Шаг 2: Разделите на новую степень , вычисленную на шаге 1:
20x ⁴ = ²⁰ ⁄ ₄ x ⁴ = 5x ⁴

Шаг 3: Добавить «C» :
5x ⁴ + C

Пример задачи № 2: Найдите первообразную (неопределенный интеграл) для 3x ⁸


Шаг 1: Увеличьте мощность на 1 :
3x ⁸ = 3x ⁹

Шаг 2: Разделите на новую степень , рассчитанную на шаге 1:
³ ⁄ ₉ x ⁹ = ¹ ⁄ ₃ x ⁹

Шаг 3: Добавить «C» :
¹ ⁄ ₃ x ⁹ + C

Пример задачи № 3: Найдите первообразную (неопределенный интеграл) для x ⁴ + 6

Шаг 1: Увеличьте степень на 1 для x (обратите внимание, что вы добавляете x ⁰ к константе сам по себе – в этом случае 6 становится 6x ⁰ ).
x ⁴ + 6x ⁰ = x ⁵ + 6x ¹

Шаг 2: Разделите на новые степени , рассчитанные на шаге 1:
^{x 5} ⁄ ₅ + ^{6x 1} ⁄ ₁ = ¹ ⁄ ₅ x ⁵ + 6x ¹

Шаг 3: Добавить «C» :
¹ ⁄ ₅ x ⁵ + 6x ¹ + C

Вот и все!

Совет: При добавлении 1 к вашей мощности помните, что x становится x ¹ , а константа становится этой константой плюс x ⁰ .Например, 6x ¹⁰ + 17x + 9 становится 6x ¹⁰ + 17x ¹ + 9x ⁰ перед вы добавляете мощность и 6x ¹¹ + 17x ² + 9x ¹ после вы добавляете тот.
К началу

Список литературы

Антон, Х. и др. (2012). Исчисление одной переменной. Вайли.
Riley, K. et al. (2006). Математические методы для физики и техники. Всеобъемлющее руководство. Издательство Кембриджского университета
Справочник по математическим формулам и интегралам

————————————————– —————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области.Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Определенные интегралы

Возможно, вам сначала захочется прочитать «Введение в интеграцию»!

Интеграция

Integration можно использовать для поиска областей, объемов, центральных точек и многих полезных вещей. Но его часто используют, чтобы найти область под графиком функции следующим образом:
Область можно найти, добавив срезы, ширина которых приближается к нулю : И есть Правила интеграции, которые помогают нам получить ответ.

Обозначение

Символ «Интеграл» – стильная буква «S» (от «Сумма», идея суммирования срезов):

После символа интеграла мы помещаем функцию, интеграл от которой мы хотим найти (называемую интегралом).

А затем закончите с dx , что означает, что срезы идут в направлении x (и приближаются к нулю по ширине).

Определенный интеграл

Определенный интеграл имеет начальное и конечное значения: другими словами, существует интервал [a, b].

a и b (называемые пределами, границами или границами) помещаются внизу и вверху буквы “S”, например:

Определенное Интегральное (от a до b )		Неопределенный Интегральный (без конкретных значений)

Мы находим Определенный интеграл, вычисляя неопределенный интеграл при a и b , затем вычитая:

Пример: что такое

Нам нужен определенный интеграл , от 1 до 2, из 2x dx

Сначала нам нужно найти неопределенный интеграл .

Используя правила интегрирования, находим, что ∫2x dx = x ² + C

Теперь посчитайте, что при 1 и 2:

• При x = 1: ∫2x dx = 1 ² + C
• При x = 2: ∫2x dx = 2 ² + C

Вычесть:

(2 ² + C) – (1 ² + C)

2 ² + К – 1 ² – К

4 – 1 + С – С = 3

И “C” отменяется… так что с определенными интегралами мы можем игнорировать C .

Результат:

Проверка : с такой простой формой попробуем еще вычислить площадь по геометрии:

A = 2 + 4 2 × 1 = 3

Да, у него есть площадь 3.

(Ура!)

Обозначение : Обычно неопределенный интеграл (без + C) указывается внутри квадратных скобок с пределами a и b после, например:

Пример (продолжение)

Как показать свой ответ:

Давайте попробуем другой пример:

Пример:

Определенный интеграл, от 0.5 до 1.0, из cos (x) dx:

(Примечание: x должен быть в радианах)

Неопределенный интеграл : ∫ cos (x) dx = sin (x) + C

Мы можем игнорировать C для определенных интегралов (как мы видели выше) и получаем:

= грех (1) – грех (0,5)

= 0,841 … – 0,479 …

= 0,362 …

И еще один важный пример:

Пример:

Определенный интеграл от 0 до 1 от sin (x) dx:

Неопределенный интеграл : ∫ sin (x) dx = −cos (x) + C

Поскольку мы идем от 0, , можем ли мы просто вычислить интеграл при x = 1 ??

−cos (1) = −0.540 …

Что? Это отрицательное ? Но на графике это выглядит положительно.

Ну … мы сделали ошибку !

Поскольку нам нужно вычесть интеграл при x = 0 . Не следует предполагать, что он равен нулю.

Итак, давайте сделаем это правильно, вычтя одно из другого:

грех (x) dx

= [−cos (x)]

= −cos (1) – (−cos (0))

= -0,540 … – (-1)

= 0.460 …

Так лучше!

Но мы можем иметь отрицательные области , когда кривая ниже оси:

Пример:

Определенный интеграл от 1 до 3 от cos (x) dx:

Обратите внимание, что некоторые из них положительные, а некоторые отрицательные.
Определенный интеграл даст значение нетто .

Сделаем расчеты:

= грех (3) – грех (1)

= 0.141 … – 0,841 …

= −0,700 …

Таким образом, отрицательного больше, чем положительного, с чистым результатом -0,700 ….

Итак, нам нужно запомнить одну важную вещь:

f (x) dx = (Площадь выше оси x) – (Площадь ниже оси x)

Попробуйте интегрировать cos (x) с разными начальными и конечными значениями, чтобы увидеть, как работают положительные и отрицательные значения.

Положительная область

Но иногда мы хотим, чтобы вся область обрабатывалась как положительное значение (без вычитания части под осью).

В этом случае мы должны вычислить площади отдельно , как в этом примере:

Пример: Какова общая площадь

между y = cos (x) и осью x, от x = 1 до x = 3?

Это похоже на тот пример, который мы только что сделали, но теперь мы ожидаем, что – это все положительное значение (представьте, что нам пришлось его раскрасить).

Итак, теперь нам нужно сделать детали отдельно:

• Один для области над осью x
• Один для области ниже оси x

Кривая пересекает ось x при x = π / 2, поэтому мы имеем:

От 1 до π / 2:

cos (x) dx

= грех (π / 2) – грех (1)

= 1 – 0.841 …

= 0,158 …

От π / 2 до 3:

cos (x) dx

= грех (3) – грех (π / 2)

= 0,141 … – 1

= -0,859 …

Последний выходит отрицательным, но мы хотим, чтобы он был положительным, поэтому:

Общая площадь = 0,158 … + 0,859 … = 1,017 …

Это сильно отличается от ответа в предыдущем примере.

Непрерывный

О да, функция, которую мы интегрируем, должна быть непрерывной между a и b : без дырок, скачков или вертикальных асимптот (где функция движется вверх / вниз к бесконечности).

Пример:

Вертикальная асимптота между a и b влияет на определенный интеграл.

Недвижимость

Область выше – область ниже

Интеграл добавляет площадь над осью, но вычитает площадь ниже, для «чистого значения»:

f (x) dx = (Площадь выше оси x) – (Площадь ниже оси x)

Добавление функций

Интеграл от f + g равен интегралу от f плюс интеграл от g :

f (x) + g (x) dx =

ф (х) dx +

г (x) dx

Реверсирование интервала

Изменение направления интервала на противоположное дает отрицательное значение исходного направления.

f (x) dx = –

f (x) dx

Интервал нулевой длины

Когда интервал начинается и заканчивается в одном и том же месте, результат равен нулю:

Добавление интервалов

Мы также можем сложить два соседних интервала вместе:

f (x) dx =

ф (х) dx +

f (x) dx

Сводка

Определенный интеграл между a и b – это неопределенный интеграл при b минус неопределенный интеграл при a .

6864, 6865, 6866, 6867, 6868, 6869, 6870, 6871, 6872, 6873, 6874

Объяснитель урока: неопределенные интегралы: правило мощности

В этом пояснителе мы узнаем, как найти неопределенные интегралы от многочлены и общие степенные функции с использованием правило власти для интеграции.

Напомним, что первообразная, также известная как обратная производная или примитив, функции – это другая функция, производная равна исходной функции.

Определение: первообразная функции

Для любой функции 𝑓, определенной на подмножестве 𝑈⊆ℝ и дифференцируемая функция 𝐹∶𝑈 → ℝ, если имеем 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓 (𝑥), то мы говорим, что 𝐹 (𝑥) – первообразная от 𝑓 (𝑥).

Первообразная функции эквивалентна неопределенному интегралу, который мы определяем следующим образом.

Определение: неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл от (𝑥) относительно 𝑥 можно записать в терминах первообразной 𝐹 (𝑥) как 𝑓 (𝑥) 𝑥 = 𝐹 (𝑥) +, dC где C также называется постоянной интегрирования.

Первообразные всегда существуют, когда 𝑓 непрерывна, а первообразных для бесконечно много, полученный добавлением произвольной константы C к 𝐹. Эта постоянная, также известная как постоянная интегрирования, равна очень важно, так как он производит семейство первообразных, параматеризированных C. Другими словами, 𝐹 (𝑥) + C является самая общая функция, имеющая производную 𝑓 (𝑥) для всех C∈ℝ. Например, производная от определяется выражением (𝑥) ′ = 1.

Таким образом, мы можем сказать, что является первообразной от 1, но 𝑥 + C – самая общая первообразная 1, что означает что 𝑥 + 1, 𝑥 + 7, 𝑥 + √2, 𝑥 + 𝜋 и т. д. являются все также первообразные от 1. Это то, что мы называем неопределенным интегралом и выражается как 1𝑥 = 𝑥 + .dC

Аналогично, производная 𝑥 равна 𝑥 = 2𝑥,  откуда следует, что неопределенный интеграл от 2𝑥 равен 2𝑥𝑥 = 𝑥 + .dC

Напомним, что производная удовлетворяет свойству (𝑎𝐹 (𝑥)) ′ = 𝑎𝐹 ′ (𝑥).

Это означает, что мы всегда можем вынести постоянное кратное вне производной. Таким образом, 𝑎𝐹 (𝑥) – первообразная от 𝑎𝑓 (𝑥) или 𝑎𝐹 (𝑥) + C является общей первообразной (𝑥) для всех C∈ℝ, что то же самое, что и неопределенное интеграл. Другими словами, если производная умножается на константу, первообразная также умножается на ту же константу и наоборот. Этот влечет следующее свойство неопределенных интегралов:  (𝑎𝑓 (𝑥)) 𝑥 = 𝑎𝑓 (𝑥) 𝑥.dd

Используя неопределенный интеграл 2𝑥, как написано выше, мы можно вычесть множитель 2, используя это свойство, и разделить обе части выражение на 2, чтобы получить 2𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 = 𝑥 + 𝑥𝑥 = 𝑥2 +, ddCdC где мы отмечаем, что мы сохранили постоянную C той же самой, так как это произвольно, а C2 – просто еще одна константа. В этого объяснителя, мы будем особенно заинтересованы в определении неопределенного интегралы вида 𝑥𝑥d используя силовое правило интеграции.Мы можем определить это правило прямо из силовое правило дифференциации. Предполагать 𝐹 (𝑥) = 𝑥, для 𝑝∈ℝ. Производную этой функции можно найти по степенному правилу дифференциации следующим образом: (𝑥) = 𝑝𝑥.

Будет полезно переписать это как 1𝑝 (𝑥) = 1𝑝𝑝𝑥𝑥𝑝 = 𝑥,  где мы разделили на константу ≠ 0, как на константу кратное функции не влияет на производную или первообразную. Но что если мы хотим работать наоборот? (я.е., учитывая 𝑥, мы хотим определить первообразную). Это означает, что мы хотим найти наиболее общие функция, которая дифференцирует, чтобы дать 𝑥.

Мы уже показали, что производная от 𝑥𝑝 – это 𝑥, для 𝑝 ≠ 0. Если положить 𝑝 = 𝑛 + 1, то имеем 𝑥𝑛 + 1 = 𝑥, 𝑛 ≠ −1.

Таким образом, 𝑥𝑛 + 1 является первообразной 𝑥 при условии 𝑛 ≠ −1. Мы можем выразить это в терминах неопределенного интеграла в следующем определении.

Правило: Правило мощности для интеграции

Правило мощности для интеграции позволяет нам определить неопределенный интеграл 𝑥, при условии 𝑛 ≠ −1, следующим образом: 𝑥𝑥 = 𝑥𝑛 + 1 +.dC

Например, используя это правило мощности, мы можем определить неопределенный интеграл от 𝑥 следующим образом: 𝑥𝑥 = 𝑥2 + 1 + = 𝑥3 +, dCC что можно проверить напрямую, дифференцируя правую часть, чтобы получить подынтегральное выражение 𝑥.

В первом примере мы определим неопределенный интеграл функции с целой положительной степенью числа, использующей степень правило вместе со свойством, которое позволяет нам принимать постоянное кратное за пределы интеграл.

Пример 1: Правило мощности интеграции

Определите  − 𝑥𝑥d.

Ответ

В этом примере мы определим неопределенный интеграл положительного целая степень, в частности функция −𝑥.

Для определения интеграла воспользуемся следующим свойство неопределенных интегралов:  (𝑎𝑓 (𝑥)) 𝑥 = 𝑎𝑓 (𝑥) 𝑥.dd

Мы также будем использовать правило мощности: 𝑥𝑥 = 𝑥𝑛 + 1 +, 𝑛 ≠ −1.dC

Мы можем использовать свойство, чтобы вычесть коэффициент (−1) вне интеграла и определим неопределенный интеграл от с использованием правила мощности:  − 𝑥𝑥 = −𝑥𝑥 = −𝑥9 + 1 + = – 𝑥10 + .ddCC

Теперь давайте рассмотрим пример, в котором мы определим неопределенный интеграл функции, включающей отрицательную целую степень используя правило мощности вместе со свойством, которое позволяет нам постоянное кратное вне интеграла.

Пример 2: Поиск интеграции функции с использованием правила мощности для интеграции с отрицательной экспонентой

Определить  − 27𝑥𝑥d.

Ответ

В этом примере мы определим неопределенный интеграл отрицательного целая степень, в частности функция −27𝑥.

Для определения интеграла воспользуемся следующим свойство неопределенных интегралов:  (𝑎𝑓 (𝑥)) 𝑥 = 𝑎𝑓 (𝑥) 𝑥.dd

Мы также будем использовать правило мощности: 𝑥𝑥 = 𝑥𝑛 + 1 +, 𝑛 ≠ −1.dC

Мы можем использовать свойство, чтобы взять множитель −27 вне интеграла и определить неопределенный интеграл от 𝑥 используя правило мощности:  − 27𝑥𝑥 = −27𝑥𝑥 = −27𝑥 − 9 + 1 + = – 27𝑥 − 8 + = 2𝑥56 + = 128𝑥 + .ddCCCC

Этот результат верен для всех 𝑥 ≠ 0, так как мы требуем подынтегральное выражение и интеграл должны быть непрерывными и корректными.

Мы можем использовать правило степеней, чтобы определить неопределенный интеграл любой степени 𝑥, а не только целые числа, при условии, что степень не равна −1.В следующем примере мы определим неопределенный интеграл функции, включающей положительную дробную степень 𝑥 переписав радикал в терминах силы 𝑥 и используя правило мощности вместе со свойством, которое позволяет взять постоянное кратное за пределы интеграла.

Пример 3: Нахождение общей первообразной функции с использованием правила мощности Интегрирование с дробными показателями

Определить 7√𝑥𝑥d.

Ответ

В этом примере мы определим неопределенный интеграл положительного дробная степень 𝑥, в частности функция 7√𝑥.

Давайте сначала перепишем подынтегральное выражение, отметив, что √𝑥 = 𝑥, поскольку 7√𝑥 = 7𝑥 = 7𝑥.

Для определения интеграла воспользуемся следующим свойство неопределенных интегралов:  (𝑎𝑓 (𝑥)) 𝑥 = 𝑎𝑓 (𝑥) 𝑥.dd

Мы также будем использовать правило мощности: 𝑥𝑥 = 𝑥𝑛 + 1 +, 𝑛 ≠ −1.dC

Мы можем использовать свойство, чтобы вынести множитель 7 за пределы интеграла и определить неопределенный интеграл от, используя правило власти.После этого мы можем переписать окончательный ответ обратно на члены квадратного корня: 7√𝑥𝑥 = 7𝑥𝑥 = 7𝑥𝑥 = 7𝑥 + 1 + = 7𝑥 + = 72𝑥5 + = 145𝑥 + = 145√𝑥 + .dddCCCCC 

Этот результат верен для всех 𝑥≥0, так как мы требуем подынтегральное выражение и интеграл должны быть непрерывными и корректно определенными, а квадрат root определяется только для неотрицательных чисел.

Теперь давайте рассмотрим пример, в котором мы определим неопределенный интеграл функции, содержащей дробную отрицательную степень 𝑥 переписав радикал в терминах степени и используя правило мощности вместе со свойством, которое позволяет нам взять постоянную кратное вне интеграла.

Пример 4: Поиск интеграции функции с использованием правила мощности с корнями

Определите 6√𝑥𝑥d.

Ответ

В этом примере мы определим неопределенный интеграл отрицательного дробная степень 𝑥, в частности функция 6√𝑥.

Во-первых, давайте перепишем подынтегральное выражение, отметив, что √𝑥 = 𝑥, поскольку 6√𝑥 = 6𝑥 = 6𝑥.

Для определения интеграла воспользуемся следующим свойство неопределенных интегралов:  (𝑎𝑓 (𝑥)) 𝑥 = 𝑎𝑓 (𝑥) 𝑥.dd

Мы также будем использовать правило мощности: 𝑥𝑥 = 𝑥𝑛 + 1 +, 𝑛 ≠ −1.dC

Мы можем использовать свойство, чтобы вынести множитель 6 за пределы интеграла. и определить неопределенный интеграл от 𝑥 используя правило мощности: 6√𝑥𝑥 = 6𝑥𝑥 = 6𝑥𝑥 = 6𝑥 + 1 + = 6𝑥 + = 68𝑥7 + = 487𝑥 + . dddCCCC

Этот результат верен для всех 𝑥> 0, так как мы требуем подынтегральное выражение и интеграл должны быть непрерывными и корректно определенными, а восьмой root определяется только для неотрицательных чисел.

Напомним, что производная – это линейная операция, так как она удовлетворяет (𝐹 (𝑥) + 𝐺 (𝑥)) ′ = 𝐹 ′ (𝑥) + 𝐺 ′ (𝑥).

Отсюда также следует аналогичное правило для неопределенных интегралов:  (𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥)) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑔 (𝑥) 𝑥.ddd

Следовательно, чтобы определить неопределенный интеграл от суммы функций, мы просто находим неопределенный интеграл каждой части отдельно и складываем результаты вместе, не забывая + C в конце. Обычно мы получаем несколько константы для каждой части из процесса интеграции, но мы можем комбинировать их в одну константу.Мы также можем объединить это свойство с тем, что позволяет вынести константы за пределы интеграла.

Свойство: свойство линейности интеграции

Для любых непрерывных функций 𝑓 и 𝑔, определенных на подмножестве имеет место линейность свойство  (𝑎𝑓 (𝑥) + 𝑏𝑔 (𝑥)) 𝑥 = 𝑎𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑏𝑔 (𝑥) 𝑥, ддд для 𝑎, 𝑏∈ℝ.

Правило мощности для интегрирования вместе с этим свойством линейности позволяет нам определить неопределенный интеграл, включающий суммы различных степеней 𝑥 включая полиномиальные, обратные и радикальные функции.Например, мы можем определить неопределенный интеграл от линейной функции 6𝑥 + 8 следующим образом:  (6𝑥 + 8) 𝑥 = 6𝑥𝑥 + 8𝑥 = 6𝑥𝑥 + 81𝑥 = 6𝑥1 + 1 + 8𝑥 + = 6𝑥2 + 8𝑥 + = 3𝑥 + 8𝑥 + .dddddCCC 

В следующем примере мы определим неопределенный интеграл многочлена функция, использующая свойства линейности и правило степени для интегралов.

Пример 5: Нахождение интегрирования полиномиальной функции с использованием правила мощности

Определите 25𝑥 − 65𝑥 + 36𝑥d.

Ответ

В этом примере мы определим неопределенный интеграл многочлена функция 25𝑥 − 65𝑥 + 36.

Для определения интеграла воспользуемся следующим свойства неопределенных интегралов:  (𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥)) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑔 (𝑥) 𝑥,  (𝑎𝑓 (𝑥)) 𝑥 = 𝑎𝑓 (𝑥) 𝑥.ddddd

Мы будем также используйте правило мощности: 𝑥𝑥 = 𝑥𝑛 + 1 +, 𝑛 ≠ −1.dC

Используя первое свойство, мы можем разбить данный интеграл на три части. Затем мы можем использовать второе свойство, чтобы взять соответствующие факторы за пределы интеграл и определить неопределенный интеграл различных членов используя правило мощности: 25𝑥 − 65𝑥 + 36𝑥 = 25𝑥𝑥 +  − 65𝑥𝑥 + 36𝑥 = 25𝑥𝑥 − 65𝑥𝑥 + 361𝑥 = 25𝑥2 + 1 − 65𝑥1 + 1 + 36𝑥0 + 1 = 25𝑥3 − 65𝑥2 + 36𝑥 = 253𝑥 − 652𝑥 + 36𝑥 +.dddddddC

Обратите внимание, что мы получили бы постоянную интегрирования для каждой части из процесс интеграции, но мы можем объединить их в одну константу, C.

Теперь давайте рассмотрим пример, в котором мы определим неопределенный интеграл полиномиальной функции путем распределения двух скобок с помощью свойства линейности и правило степени для интегралов.

Пример 6: Нахождение интегрирования полинома с использованием умножения двух скобок и Применяя правило мощности

Определите  (𝑥 + 4) 𝑥 − 4𝑥 + 16𝑥d.

Ответ

В этом примере мы определим неопределенный интеграл от полиномиальная функция (𝑥 + 4) 𝑥 − 4𝑥 + 16.

Давайте сначала упростим подынтегральное выражение, раздвинув скобки: (𝑥 + 4) 𝑥 − 4𝑥 + 16 = 𝑥 − 4𝑥 + 16𝑥 + 4𝑥 − 16𝑥 + 64 = 𝑥 + 64.

Для определения интеграла воспользуемся следующим свойства неопределенных интегралов:  (𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥)) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑔 (𝑥) 𝑥,  (𝑎𝑓 (𝑥)) 𝑥 = 𝑎𝑓 (𝑥) 𝑥.ddddd

Мы будем также используйте правило мощности: 𝑥𝑥 = 𝑥𝑛 + 1 +, 𝑛 ≠ −1.dC

Используя первое свойство, мы можем разделить данный интеграл на две части. Затем мы можем использовать второе свойство, чтобы взять соответствующие факторы за пределы интеграл и определить неопределенный интеграл различных членов используя правило мощности:  (𝑥 + 4) 𝑥 − 4𝑥 + 16𝑥 = 𝑥 + 64𝑥 = 𝑥𝑥 + 64𝑥 = 𝑥𝑥 + 641𝑥 = 𝑥3 + 1 + 64𝑥 + = 𝑥4 + 64𝑥 + . ddddddCC

Обратите внимание, что мы получили бы постоянную интегрирования для каждой части из процесс интеграции, но мы можем объединить их в одну константу, С.

В следующем примере мы определим неопределенный интеграл рационального функция с использованием факторизации, свойств линейности и мощности правило для интегралов.

Пример 7: Нахождение интеграции рациональной функции с использованием факторизации разности двух квадратов

Определить 𝑥 − 225𝑥 − 15𝑥d.

Ответ

В этом примере мы определим неопределенный интеграл рационального функция 𝑥 − 225𝑥 − 15.

Давайте сначала упростим подынтегральное выражение, отметив, что числитель разность двух квадратов и может быть записана как 𝑥 − 225 = (𝑥 + 15) (𝑥 − 15) ; таким образом, подынтегральное выражение становится 𝑥 − 225𝑥 − 15 = (𝑥 + 15) (𝑥 − 15) (𝑥 − 15) = 𝑥 + 15,  для 𝑥 ≠ 15. Для определения интеграла будем использовать следующие свойства неопределенных интегралов:  (𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥)) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑔 (𝑥) 𝑥,  (𝑎𝑓 (𝑥)) 𝑥 = 𝑎𝑓 (𝑥) 𝑥.ddddd

Мы будем также используйте правило мощности: 𝑥𝑥 = 𝑥𝑛 + 1 +, 𝑛 ≠ −1.dC

Используя первое свойство, мы можем разделить данный интеграл на две части. Затем мы можем использовать второе свойство, чтобы взять соответствующие факторы за пределы интеграл и определить неопределенный интеграл различных членов используя правило мощности: 𝑥 − 225𝑥 − 15𝑥 =  (𝑥 + 15) 𝑥 = 𝑥𝑥 + 15𝑥 = 𝑥𝑥 + 151𝑥 = 𝑥1 + 1 + 15𝑥 + = 𝑥2 + 15𝑥 + .ddddddCC

Обратите внимание, что мы получили бы постоянную интегрирования для каждой части из процесс интеграции, но мы можем объединить их в одну константу, С.

Этот результат верен для всех ≠ 15, так как мы требуем подынтегральное выражение и интеграл должны быть непрерывными и корректными.

Теперь рассмотрим пример, в котором мы определяем неопределенный интеграл рациональной функции с отрицательными степенями 𝑥, используя свойства линейности и правило степени для интегралов.

Пример 8: Поиск интеграции функции с помощью правила мощности для интеграции с отрицательной экспонентой

Определить  − 8 + 89𝑥 + 75𝑥𝑥d.

Ответ

В этом примере мы определим неопределенный интеграл рационального функция −8 + 89𝑥 + 75𝑥.

Давайте сначала перепишем подынтегральное выражение в виде степеней: −8 + 89𝑥 + 75𝑥 = −8 + 89𝑥 + 75𝑥.

Для определения интеграла воспользуемся следующим свойства неопределенных интегралов:  (𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥)) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑔 (𝑥) 𝑥,  (𝑎𝑓 (𝑥)) 𝑥 = 𝑎𝑓 (𝑥) 𝑥.ddddd

Мы будем также используйте правило мощности: 𝑥𝑥 = 𝑥𝑛 + 1 +, 𝑛 ≠ −1.dC

Используя первое свойство, мы можем разбить данный интеграл на три части. Затем мы можем использовать второе свойство, чтобы взять соответствующие факторы за пределы интеграл и определить неопределенный интеграл различных членов используя правило мощности:  − 8 + 89𝑥 + 75𝑥𝑥 =  − 8 + 89𝑥 + 75𝑥𝑥 =  − 8𝑥 + 89𝑥𝑥 + 75𝑥𝑥 = −81 + 89𝑥𝑥 + 75𝑥𝑥 = −8𝑥 + 89 𝑥 − 2 + 1 + 75𝑥 − 6 + 1 + = – 8𝑥 + 89𝑥 − 1 + 75𝑥 − 5 + = – 8𝑥 − 89𝑥 − 725𝑥 + 𝐶. dddddddCC

Обратите внимание, что мы получили бы постоянную интегрирования для каждой части из процесс интеграции, но мы можем объединить их в одну константу, С.

Этот результат верен для всех 𝑥 ≠ 0, так как нам требуется подынтегральная функция и интеграл должны быть непрерывными и четко определенными.

В следующем примере мы определим неопределенный интеграл функции с корнями и отрицательными показателями, используя свойства линейности и правило мощности для интегралов.

Пример 9: Поиск интеграции функции с помощью правила мощности для интеграции с корнями и отрицательными показателями

Определить  − √𝑥 + 8 + 9𝑥𝑥d.

Ответ

В этом примере мы определим неопределенный интеграл от функция −√𝑥 + 8 + 9𝑥.

Давайте сначала перепишем подынтегральное выражение в виде степеней используя √𝑥 = 𝑥: −√𝑥 + 8 + 9𝑥 = 8 − 𝑥 + 9𝑥,  при> 0. Для определения интеграла будем использовать следующие свойства неопределенных интегралов:  (𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥)) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑔 (𝑥) 𝑥,  (𝑎𝑓 (𝑥)) 𝑥 = 𝑎𝑓 (𝑥) 𝑥.ddddd

Мы будем также используйте правило мощности: 𝑥𝑥 = 𝑥𝑛 + 1 +, 𝑛 ≠ −1.dC

Используя первое свойство, мы можем разбить данный интеграл на три части. Затем мы можем использовать второе свойство, чтобы взять соответствующие факторы за пределы интеграл и определить неопределенный интеграл различных членов используя правило мощности:  − √𝑥 + 8 + 9𝑥𝑥 = 8 − 𝑥 + 9𝑥𝑥 = 8𝑥 +  − 𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 = 81𝑥 − 𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 = 8𝑥 − 𝑥 + 1 + 9𝑥 − 2 + 1 + = 8𝑥 − 𝑥 + 9𝑥 − 1 + = 8𝑥 − 23𝑥 − 9𝑥 + = 8𝑥 − 23√𝑥 − 9𝑥 + . ddddddddCCCC

Обратите внимание, что мы можем получить константу интегрирования для каждой части из процесс интеграции, но мы можем объединить их в одну константу, С.

Этот результат верен для всех 𝑥> 0, так как нам требуется подынтегральное выражение и интеграл должны быть непрерывными и корректно определенными, а квадратный корень равен определяется только для неотрицательных чисел.

В последнем примере мы определим неопределенный интеграл функции включающие дробные показатели с использованием факторизации, свойства линейность и правило степени для интегралов.

Пример 10: Нахождение интеграции функции с использованием факторизации

Определите 36𝑥 − 49√𝑥 (6𝑥 + 7) 𝑥d.

Ответ

В этом примере мы определим неопределенный интеграл от функция 36𝑥 − 49√𝑥 (6𝑥 + 7) .

Отметим, что числитель в подынтегральном выражении можно записать как разность два квадрата, как 36𝑥 − 49 = (6𝑥) −7 = (6𝑥 + 7) (6𝑥 − 7) . Используя это, мы можем упростить интегрируем и перепишем оставшиеся члены как степени 𝑥, используя √𝑥 = 𝑥: 36𝑥 − 49√𝑥 (6𝑥 + 7) = (6𝑥 + 7) (6𝑥 − 7) √𝑥 (6𝑥 + 7) = 6𝑥 − 7√𝑥 = (6𝑥 − 7) 𝑥 = 6𝑥 − 7𝑥,   при> 0.Для определения интеграла будем использовать следующие свойства неопределенных интегралов:  (𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥)) 𝑥 = 𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑔 (𝑥) 𝑥,  (𝑎𝑓 (𝑥)) 𝑥 = 𝑎𝑓 (𝑥) 𝑥.ddddd

Мы будем также используйте правило мощности: 𝑥𝑥 = 𝑥𝑛 + 1 +, 𝑛 ≠ −1.dC

Используя первое свойство, мы можем разбить данный интеграл на две части. Затем мы можем использовать второе свойство, чтобы взять соответствующие факторы за пределы интеграл и определить неопределенный интеграл различных членов используя правило мощности: 36𝑥 − 49√𝑥 (6𝑥 + 7) 𝑥 = 6𝑥 − 7𝑥𝑥 = 6𝑥𝑥 +  − 7𝑥𝑥 = 6𝑥𝑥 − 7𝑥𝑥 = 6𝑥 + 1 − 7𝑥 + 1 + = 6𝑥 + 7𝑥 + = 68𝑥15 + 78𝑥7 + = 16𝑥5−8𝑥 +. ddddddCCCC

Обратите внимание, что мы получили бы постоянную интегрирования для каждой части из процесс интеграции, но мы можем объединить их в одну константу, C.

Этот результат верен для всех 𝑥> 0, так как мы требуем подынтегральное выражение и интеграл должны быть непрерывными и корректно определенными, а Корень 8-й степени определяется только для неотрицательных чисел.

Давайте закончим, рассмотрев ключевые моменты, которые мы рассмотрели в этом объяснитель.

Ключевые точки

Для определения неопределенных интегралов функций, включающих различные степени 𝑥, включая полиномиальные, обратные и радикальные функций, мы используем следующие:

• Свойство линейности интегралов:  (𝑎𝑓 (𝑥) + 𝑏𝑔 (𝑥)) 𝑥 = 𝑎𝑓 (𝑥) 𝑥 + 𝑏𝑔 (𝑥) 𝑥, ддд для 𝑎, 𝑏∈ℝ.
• Правило мощности для интеграции: 𝑥𝑥 = 𝑥𝑛 + 1 +, 𝑛 ≠ −1.dC

.