Определенный интеграл. Примеры решений
И снова здравствуйте. На данном уроке мы подробно разберем такую замечательную вещь, как определенный интеграл. На этот раз вступление будет кратким. Всё. Потому что снежная метель за окном.
Для того чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо:
1) Уметь находить неопределенные интегралы.
2) Уметь вычислить определенный интеграл.
Как видите, для того чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах. Поэтому если вы только-только начинаете погружаться в интегральное исчисление, и чайник еще совсем не закипел, то лучше начать с урока Неопределенный интеграл. Примеры решений.
В общем виде определенный интеграл записывается так: Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования.
Нижний
предел интегрирования стандартно обозначается буквой .
Прежде чем мы перейдем к практическим примерам, небольшое «факью» по определенному интегралу.
Что такое определенный интеграл? Я бы мог вам рассказать про диаметр разбиения отрезка, предел интегральных сумм и т.д., но урок носит практический характер. Поэтому я скажу, что определенный интеграл – это ЧИСЛО. Да-да, самое что ни на есть обычное число.
Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл? Есть. И очень хороший. Самая популярная задача – вычисление площади с помощью определенного интеграла.
Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти число.
Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница:
Формулу
лучше переписать на отдельный листочек,
она должна быть перед глазами на
протяжении всего урока.
Этапы решения определенного интеграла следующие:
1) Сначала находим первообразную функцию (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа в определенном интеграле никогда не добавляется. Обозначение является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись ? Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.
2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: .
3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: .
4) Рассчитываем (без ошибок!) разность , то есть, находим число.
Готово.
Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда.
Например,
интеграла не
существует, поскольку отрезок
интегрирования не
входит в область определения подынтегральной
функции (значения под квадратным корнем
не могут быть отрицательными). А вот
менее очевидный пример: .
Такого интеграла тоже не существует,
так как в точках , отрезка не
существует тангенса.
Для того чтобы определенный интеграл вообще существовал, необходимо чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования.
Из вышесказанного следует первая важная рекомендация: перед тем, как приступить к решению ЛЮБОГО определенного интеграла, нужно убедиться в том, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования. По студенческой молодости у меня неоднократно бывал казус, когда я подолгу мучался с нахождением трудной первообразной, а когда наконец-то ее находил, то ломал голову еще над одним вопросом: «что за ерунда получилась?». В упрощенном варианте ситуация выглядит примерно так: ???! Нельзя подставлять отрицательные числа под корень! Изначальная невнимательность.
Если
для решения (в контрольной работе, на
зачете, экзамене) Вам предложен
несуществующий интеграл вроде
,
то нужно дать ответ, что интеграла не
существует и обосновать – почему.
Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу? Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будет несобственный интеграл, коим отведена отдельная лекция.
Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования? Может, и такая ситуация реально встречается на практике.
– интеграл преспокойно вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.
Без чего не обходится высшая математика? Конечно же, без всевозможных свойств. Поэтому рассмотрим некоторые свойства определенного интеграла.
Примеры решения интегралов иррациональных функций. Сложные интегралы
Универсального способа решения иррациональных уравнений нет, так как их класс отличается количеством. В статье будут выделены характерные виды уравнений с подстановкой при помощи метода интегрирования.
Для использования метода непосредственного интегрирования необходимо вычислять неопределенные интегралы типа ∫ k x + b p d x , где p является рациональной дробью, k и b являются действительными коэффициентами.
Пример 1
Найти и вычислить первообразные функции y = 1 3 x – 1 3 .
Решение
По правилу интегрирования необходимо применить формулу ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C , а таблица первообразных говорит о том, что имеется готовое решение данной функции. Получаем, что
∫ d x 3 x – 1 3 = ∫ (3 x – 1) – 1 3 d x = 1 3 · 1 – 1 3 + 1 · (3 x – 1) – 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x – 1) 2 3 + C
Ответ: ∫ d x 3 x – 1 3 = 1 2 (3 x – 1) 2 3 + C .
Имеют место быть случаи, когда можно использовать метод подведения под знак дифференциала. Это решается по принципу нахождения неопределенных интегралов вида ∫ f ” (x) · (f (x)) p d x , когда значение p считается рациональной дробью.
Пример 2
Найти неопределенный интеграл ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x – 7 7 6 d x .
Решение
Отметим, что d x 3 + 5 x – 7 = x 3 + 5 x – 7 ” d x = (3 x 2 + 5) d x . Тогда необходимо произвести подведение под знак дифференциала с использованием таблиц первообразных. Получаем, что
∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x – 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x – 7) – 7 6 · (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x – 7) – 7 6 d (x 3 + 5 x – 7) = x 3 + 5 x – 7 = z = = ∫ z – 7 6 d z = 1 – 7 6 + 1 z – 7 6 + 1 + C = – 6 z – 1 6 + C = z = x 3 + 5 x – 7 = – 6 (x 3 + 5 x – 7) 6 + C
Ответ: ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x – 7 7 6 d x = – 6 (x 3 + 5 x – 7) 6 + C .
Решение неопределенных интегралов предусматривает формулу вида ∫ d x x 2 + p x + q , где p и q являются действительными коэффициентами. Тогда необходимо выделить полный квадрат из-под корня. Получаем, что
x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 – p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q – p 2 4
Применив формулу, расположенную в таблице неопределенных интегралов, получаем:
∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C
Тогда вычисление интеграла производится:
∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q – p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q – p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C
Пример 3
Найти неопределенный интеграл вида ∫ d x 2 x 2 + 3 x – 1 .
Решение
Для вычисления необходимо вынести число 2 и расположить его перед радикалом:
∫ d x 2 x 2 + 3 x – 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x – 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x – 1 2
Произвести выделение полного квадрата в подкоренном выражении. Получим, что
x 2 + 3 2 x – 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 – 3 4 2 – 1 2 = x + 3 4 2 – 17 16
Тогда получаем неопределенный интеграл вида 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x – 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 – 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x – 1 2 + C
Ответ: d x x 2 + 3 x – 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x – 1 2 + C
Интегрирование иррациональных функций производится аналогичным способом. Применимо для функций вида y = 1 – x 2 + p x + q .
Пример 4
Найти неопределенный интеграл ∫ d x – x 2 + 4 x + 5 .
Решение
Для начала необходимо вывести квадрат знаменателя выражения из-под корня.
∫ d x – x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x – x 2 – 4 x – 5 = = ∫ d x – x 2 – 4 x + 4 – 4 – 5 = ∫ d x – x – 2 2 – 9 = ∫ d x – (x – 2) 2 + 9
Табличный интеграл имеет вид ∫ d x a 2 – x 2 = a r c sin x a + C , тогда получаем, что ∫ d x – x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x – (x – 2) 2 + 9 = a r c sin x – 2 3 + C
Ответ: ∫ d x – x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x – 2 3 + C .
Процесс нахождения первообразных иррациональных функций вида y = M x + N x 2 + p x + q , где имеющиеся M , N , p , q являются действительными коэффициентами, причем имеют схожесть с интегрированием простейших дробей третьего типа. Это преобразование имеет несколько этапов:
подведение дифференциала под корень, выделение полного квадрата выражения под корнем, применение табличных формул.
Пример 5
Найти первообразные функции y = x + 2 x 2 – 3 x + 1 .
Решение
Из условия имеем, что d (x 2 – 3 x + 1) = (2 x – 3) d x и x + 2 = 1 2 (2 x – 3) + 7 2 , тогда (x + 2) d x = 1 2 (2 x – 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 – 3 x + 1) + 7 2 d x .
Рассчитаем интеграл: ∫ x + 2 x 2 – 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 – 3 x + 1) x 2 – 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 – 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 – 3 x + 1) – 1 2 d (x 2 – 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x – 3 2 2 – 5 4 = = 1 2 · 1 – 1 2 + 1 · x 2 – 3 x + 1 – 1 2 + 1 + 7 2 ln x – 3 2 + x – 3 2 – 5 4 + C = = x 2 – 3 x + 1 + 7 2 ln x – 3 2 + x 2 – 3 x + 1 + C
Ответ: ∫ x + 2 x 2 – 3 x + 1 d x = x 2 – 3 x + 1 + 7 2 ln x – 3 2 + x 2 – 3 x + 1 + C .
Поиск неопределенных интегралов функции ∫ x m (a + b x n) p d x осуществляется при помощи метода подстановки.
Для решения необходимо ввести новые переменные:
- Когда число p является целым, тогда считают, что x = z N , а N является общим знаменателем для m , n .
- Когда m + 1 n является целым числом, тогда a + b x n = z N , а N является знаменателем числа p .
- Когда m + 1 n + p является целым числом, то необходим ввод переменной a x – n + b = z N , а N является знаменателем числа p .
Пример 6
Найти определенный интеграл ∫ 1 x 2 x – 9 d x .
Решение
Получаем, что ∫ 1 x 2 x – 9 d x = ∫ x – 1 · (- 9 + 2 x 1) – 1 2 d x . Отсюда следует, что m = – 1 , n = 1 , p = – 1 2 , тогда m + 1 n = – 1 + 1 1 = 0 является целым числом. Можно ввести новую переменную вида – 9 + 2 x = z 2 . Необходимо выразить x через z . На выходы получим, что
9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 ” d z = z d z – 9 + 2 x = z
Необходимо произвести подстановку в заданный интеграл. Имеем, что
∫ d x x 2 x – 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x – 9 3 + C
Ответ: ∫ d x x 2 x – 9 = 2 3 a r c c t g 2 x – 9 3 + C .
Для упрощения решения иррациональных уравнений применяются основные методы интегрирования.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Под иррациональным понимают выражение, в котором независимая переменная %%x%% или многочлен %%P_n(x)%% степени %%n \in \mathbb{N}%% входят под знак радикала (от латинского radix — корень), т.е. возводятся в дробную степень. Некоторые классы иррациональных относительно %%x%% подынтегральных выражений заменой переменной удается свести к рациональным выражениям относительно новой переменной.
Понятие рациональной функции одной переменной можно распространить на несколько аргументов. Если над каждым аргументом %%u, v, \dotsc, w%% при вычислении значения функции предусмотрены лишь арифметические действия и возведение в целую степень, то говорят о рациональной функции этих аргументов, которую обычно обозначают %%R(u, v, \dotsc, w)%%. 2 + bx + c}\right) \mathrm{d}x%% используются
Вспоминаем счастливые школьные годы. Пионеры на уроках математики, приступая к изучению корней, в первую очередь знакомились с квадратным корнем. Мы пойдем тем же путем.
Пример 1
Найти неопределенный интеграл
Анализируя подынтегральную функцию, приходишь к печальному выводу, что она совсем не напоминает табличные интегралы. Вот если бы всё это добро находилось в числителе – было бы просто. Или бы корня внизу не было. Или многочлена. Никакие методы интегрирования дробей тоже не помогают. Что делать?
Основной приём решения иррациональных интегралов – это замена переменной, которая избавит нас от ВСЕХ корней в подынтегральной функции.
Отметим, что эта замена немного своеобразная, ее техническая реализация отличается от «классического» способа замены, который рассмотрен на уроке Метод замены в неопределенном интеграле .
В данном примере нужно провести замену x = t 2 , то есть, вместо «икса» под корнем у нас окажется t 2 . Почему замена именно такая? Потому что , и в результате замены корень пропадёт.
Если бы в подынтегральной функции вместо квадратного корня у нас находился , то мы бы провели замену . Если бы там был , то провели бы и так далее.
Хорошо, у нас превратится в . Что произойдет с многочленом ? Сложностей нет: если , то .
Осталось выяснить, во что превратится дифференциал . Делается это так:
Берем нашу замену и навешиваем дифференциалы на обе части :
(распишем максимально подробно).
Оформление решения должно выглядеть примерно так:
.
Проведем замену: .
.
(1) Проводим подстановку после замены (как, что и куда, уже рассмотрено).
(2) Выносим константу за пределы интеграла. Числитель и знаменатель сокращаем на t .
(3) Получившийся интеграл является табличным, готовим его для интегрирования, выделяя квадрат.
(4) Интегрируем по таблице, используя формулу
.
(5) Проводим обратную замену. Как это делается? Вспоминаем, от чего плясали: если , то .
Пример 2
Найти неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Как-то так получилось, что в Примерах 1, 2 «голый» числитель с одиноким дифференциалом . Исправим ситуацию.
Пример 3
Найти неопределенный интеграл
Предварительный анализ подынтегральной функции опять показывает, что лёгкого пути нет. А поэтому нужно избавляться от корня.
Проведем замену: .
Заобозначаем ВСЁ выражение под корнем . Замена из предыдущих примеров здесь не годится (точнее, сделать-то её можно, но это не избавит нас от корня).
Навешиваем дифференциалы на обе части:
С числителем разобрались. Что делать с в знаменателе?
Берем нашу замену и выражаем из неё: .
Если , то .
(1) Проводим подстановку в соответствии с выполненной заменой.
(2) Причесываем числитель. Константу здесь я предпочел не выносить за знак интеграла (можно делать и так, ошибкой не будет)
(3) Раскладываем числитель в сумму. Еще раз настоятельно рекомендуем ознакомиться с первым параграфом урока Интегрирование некоторых дробей . Канители с разложением числителя в сумму в иррациональных интегралах будет предостаточно, очень важно отработать это прием.
(4) Почленно делим числитель на знаменатель.
(5) Используем свойства линейности неопределенного интеграла. Во втором интеграле выделяем квадрат для последующего интегрирования по таблице.
(6) Интегрируем по таблице. Первый интеграл совсем простой, во втором используем табличную формулу высокого логарифма .
(7) Проводим обратную замену. Если мы проводили замену , то, обратно: .
Пример 4
Найти неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения, если вы невнимательно проработали предыдущие примеры, то допустите ошибку! Полное решение и ответ в конце урока.
Принципиально так же решаются интегралы с несколькими одинаковыми корнями, например
И т.д. А что делать, если в подынтегральной функции корни разные ?
Пример 5
Найти неопределенный интеграл
Вот и пришла расплата за голые числители. Когда встречается такой интеграл, обычно становится страшно. Но страхи напрасны, после проведения подходящей замены подынтегральная функция упрощается. Задача состоит в следующем: провести удачную замену, чтобы сразу избавиться от ВСЕХ корней.
Когда даны разные корни, удобно придерживаться определённой схемы решения.
Сначала выписываем на черновике подынтегральную функцию, при этом все корни представляем в виде :
Нас будут интересовать знаменатели степеней:
Неопределенные Integral -Problems – Google Suce
ALLBILDERVIDEOSNEWSMAPSSHOPPINGBücher
SUCOOPTION
Calculus I – Неопределенные интегралы (Практические задачи)
. 2022 · Вот набор практических задач, которые сопровождают раздел «Неопределенные интегралы» главы «Интегралы» заметок для Пола Докинза …
Основные правила интегрирования, задачи, формулы, триггерные функции, исчисление
www.youtube. com › смотреть
19.12.2016 · В этом видеоуроке по математическому анализу объясняется, как найти неопределенный интеграл функции. Это объясняет, как …
Dauer: 29:00
Прислан: 19.12.2016
Исчисление 2: Неопределенные интегралы – Университетские репетиторы
www.varsitytutors.com › calculus_2-help › indefinit…
3 : Неопределенные интегралы. Изучение концепций, примеров вопросов и пояснений к исчислению 2. Примеры вопросов. Исчисление …
Неопределенные интегралы Решенные задачи – Byjus
byjus.com › JEE › IIT JEE Study Material
Неопределенный интеграл определяется как функция, которая будет описывать площадь под кривой функции от неопределенной точки до другой произвольной точки. …
Ähnliche Fragen
Как вы решаете неопределенные задачи интеграции?
Какая формула неопределенного интеграла?
Могут ли калькуляторы решать неопределенные интегралы?
Определенный или неопределенный интеграл сложнее?
Неопределенные интегралы
www. sfu.ca › math-coursenotes › sec_IndefInt
В этом разделе мы сосредоточимся на неопределенном интеграле: его определении, различиях между … Такая задача известна как начальное значение проблема.
Неопределенный интеграл от функции — математические упражнения и математические задачи
www.math-exercises.com › limit-derivatives-integrals
Математические упражнения на интеграл функции. Практика основных формул для интегралов и метод подстановки, чтобы найти неопределенный интеграл от …
Антипроизводные и неопределенные интегралы (практика) – Khan Academy
www.khanacademy.org › math › ab-integration-new
Узнайте бесплатно о математике, искусстве, компьютерном программировании, экономике, физике, химии, биологии, медицине, финансах, истории и многом другом. Академия Хана – это …
[PDF] 1 Неопределенные интегралы
www.math.toronto.edu › jko › MAT186_week_7
1.3 Примеры задач. 1. 3.1 Нахождение неопределенных интегралов. Задача 1. (⋆) Найдите неопределенный интеграл. ∫ e−7x dx. Решение 1. Легко проверить, что − …
Алгебраический Неопределенный интеграл Задачи и решения – Сомнения по математике
www.mathdoubts.com › … › Интеграция › Неопределенный
функции с решениями и научиться вычислять неопределенный интеграл от алгебраических функций.
[PDF] Вычисление неопределенных интегралов
www.tesd.net › cms › lib › Centricity › Domain
Обзорные вопросы. В задачах №1–3 найдите первообразную функции. 1. 2. 3. В №4–7 найдите неопределенный интеграл.
Ähnlichesuchanfragen
Сложные интегральные задачи с решениями pdf
Неопределенные интегральные задачи и решения
Неопределенные интегральные задачи и решения pdf
Трудные неопределенные интегральные задачи
Практические задачи на получение производных с ответами pdf
Неопределенные интегральные вопросы
Как вычислять неопределенные интегралы
Хорошие интегральные задачи
Пожалуйста, дважды проверьте веб-адрес или воспользуйтесь функцией поиска на этой странице, чтобы найти то, что вы ищете. Если вы уверены, что у вас правильный веб-адрес, но столкнулись с ошибкой, пожалуйста, свяжитесь с администрацией сайта. Спасибо. Возможно, вы искали…
|