Неопределенный интеграл примеры решений: Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений

Неопределённый интеграл примеры решений – Telegraph

Неопределённый интеграл примеры решений

Скачать файл – Неопределённый интеграл примеры решений

На нашем сайте собрано более бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике. Не можете решить контрольную?! Более 20 авторов выполнят вашу работу от руб! При нахождении неопределенных интегралов подынтегральную функцию сводят к одной из табличных функций. Если подынтегральная функция не может быть непосредственно преобразована к одной из табличных функций, то можно использовать метод внесения под дифференциал, метод замены переменной или интегрирование по частям. Разобьем последний интеграл на сумму двух интегралов, разделив почленно числитель на знаменатель:. Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения администрации портала и при наличие активной ссылки на источник. Онлайн калькуляторы На нашем сайте собрано более бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике. Справочник Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание! Заказать решение Не можете решить контрольную?! Главная Онлайн калькуляторы Справочник Примеры решений Заказать решение О проекте. Методы решения интегралов Примеры решения интегралов Примеры решения сложных интегралов Примеры решения определенных интегралов Примеры решения двойных интегралов. Главная Примеры решений Примеры решения неопределенных интегралов. Далее преобразуем степени переменных: Применяя таблицу интегралов, получим: Разобьем последний интеграл на сумму двух интегралов, разделив почленно числитель на знаменатель: Последние два интеграла являются табличными, а тогда будем иметь: Поэтому для нахождения заданного интеграла будем использовать метод внесения под дифференциал. Для его нахождения воспользуемся методом замены переменной. Сервисы Онлайн калькуляторы Справочник Примеры решений Заказать решение Учебные статьи. SolverBook О проекте Задать вопрос Контакты Карта сайта. Используя свойство интегралов, заменим интеграл суммы суммой интегралов и вынесем коэффициенты за знак интеграла: Преобразуем сумму в числителе следующим образом: Данный интеграл не выражается в табличных функциях, но если рассмотреть вместо переменной выражение , то подынтегральную функцию можно рассматривать как степенную. Заданный интеграл нельзя преобразовать элементарными преобразования к табличному интегралу.

Примеры решений неопределенных интегралов

Должностные инструкции начальника пришкольного лагеря дневного пребывания

Структура компании книга

/ Неопределенный интеграл

Александров схема города

Дайте определение понятию система обеспечения пожарной безопасности

Как настроить навигатор на гранте

График работы мега дыбенко спб

Примеры решения задач с интегралами

Стихи офисным работникам

Цитаты антуан де сент экзюпери

Расписание поездов челябинск усть катав

Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений

Как пользоваться shareit на компьютере

Реформа государственного управления

Деревья из ткани своими руками

Решение интегралы примеры: примеры решения интегралов — ЭкоДом: Дом своими руками

Узнаем определенный интеграл или нет. 4}{4}+\sqrt{x} + C $$

Итак, вы узнали как решать интегралы для чайников, примеры решения интегралов разобрали по полочкам. Узнали физический и геометрический их смысл. О методах решения будет изложено в других статьях.

Примеры на решение интегралов

Навыки нахождения интегралов могут пригодиться не только в математике, но и в других точных дисциплинах. Рассмотрим различные примеры по решению неопределённых интегралов и правила, по которым они решаются.

Структура статьи следующая: сначала даётся правило, а затем приводятся примеры его применения. Для удобства мы также вставили таблицу с простейшими интегралами.

Использование таблицы

Рисунок 1. Табличные значения. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Таблица является основой интегрального исчисления. Для того чтобы использовать её, достаточно лишь найти необходимые значения. Рассмотрим примеры использования простейших табличных интегралов.2}$.

После этого можно сделать замену $x+\frac{b}{2a}=t$, в результате чего данный тип интегралов можно свести к табличным или их сумме.

как понять и решать неопределенные и определенные интегралы, правила и примеры

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры.

Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

«Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a, b и с:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.3}}.$

 

Базовые примеры интеграции и решения

Пример 1:

Интегрируйте следующее относительно x

∫ x ¹¹ dx

Решение:

∫ x ¹¹ dx = x ^{(11 + 1)} / (11 + 1) + c

= ( x ¹² /12) + c

Пример 2:

Интегрируйте следующее относительно x

∫ (1 / x ⁷ ) dx

Решение:

∫ (1 / x ⁷ ) dx = ∫ x ^-7 dx

= x ^{(-7 + 1)} / (- 7 + 1) + c

= x ^-6 / (- 6) + c

= (-1 / 6x ⁶ ) + c

Пример 3:

Интегрировать следующее относительно x

∫ ∛x ⁴ dx

Решение:

900 02 ∫ ∛x ⁴ dx = ∫ x ^4/3 dx

= x ^{[(4/3) + 1)]} / [(4/3) + 1)] + c

= x ^7/3 / (7/3) + c

= (3/7) x ^7/3 + c

Пример 4:

Интегрируйте следующее относительно x

∫ (x ⁵ ) ^1/8 dx

Решение:

∫ (x ⁵ ) ^1/8 dx = ∫ x ^5/8 dx

= x ^{[(5/8 ) + 1]} / [(5/8) + 1] + c

= x ^13/8 / (13/8) + c

= (8/13) x ^13/8 + c

Пример 5:

Интегрируйте следующее относительно x

∫ (1 / sin ² x) dx

Решение:

∫ (1 / sin ² x) dx = ∫ cosec ² x dx

= -cot x + c

Пример 6:

Интегрируйте следующее относительно x

∫ (tan x / cos x) dx

Решение:

∫ (tan x / cos x) dx = ∫tan x (1 / cos x) dx

= ∫tan x sec x dx

= sec x + c

Пример 7:

Интегрируйте следующее относительно x

∫ (cos x / sin ² x) dx

Решение:

∫ (cos x / sin ² x) dx = ∫ (cosx / sinx) (1 / sinx) dx

= ∫cot x cosec x dx

= — cosec x + c

Пример 8:

Интегрируйте следующее относительно x

∫ (1 / cos ² x) dx

Решение:

∫ (1 / cos ² x) dx = ∫ sec ² x dx

= tan x + c

Пример 9:

Интегрируйте следующее относительно x

∫ 12 ³ dx

Решение:

∫ 12 ³ dx = 12

3 x + c

Пример 10:

Интегрируйте следующее относительно x

∫ (x ²⁴ / x ²⁵ ) dx

Решение:

∫ (x ²⁴ / x ²⁵ ) dx = ∫ x ^{24- 25} dx

= ∫ x ^-1 dx

= ∫ (1 / x) dx

= log x + c

Пример 11 :

Интегрировать следующее относительно x

∫ e ^x dx

Решение:

∫ e ^x dx = e ^x + c

Пример 12:

Интегрировать следующее относительно x

∫ (1 + x ² ) ^-1 dx

Решение:

∫ (1 + x ²

) ^-1 dx = ∫ 1 / (1 + x ² ) dx

= tan ^-1 x + c

Пример 13:

I Включите следующее относительно x

∫ (1 — x ² ) ^-1/2 dx

Решение:

∫ (1 — x ² ) ^-1/2 dx = ∫ 1 / (1 — x ² ) ^1/2 dx

= ∫ 1 / √ (1 — x ² ) ^dx

= sin ^-1 x + c

Помимо вышеперечисленного, если вам нужны еще какие-либо сведения по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Если у вас есть отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

[email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

Задачи со словами HCF и LCM

Задачи со словами на простых уравнениях

Задачи со словами на линейных уравнениях

Задачи со словами на квадратных уравнениях

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами по площади и периметру

Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям

Проблемы со словами по цене за единицу

Проблемы со словами по скорости единицы

задачи по сравнению ставок

Преобразование обычных единиц в текстовые задачи

Преобразование метрических единиц в текстовые задачи

Word задачи по простому проценту

Word по сложным процентам

ngles

Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах

Проблемы со словами с двойными фактами

Проблемы со словами в тригонометрии

Проблемы со словами в процентах

Проблемы со словами

Задачи

Задачи с десятичными словами

Задачи со словами о дробях

Задачи со словами о смешанных фракциях

Одношаговые задачи с уравнениями со словами

Проблемы со словами с линейным неравенством

Задачи

Проблемы со временем и рабочими словами

Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

Проблемы со словами на возрастах

Проблемы со словами из теоремы Пифагора

Процент числового слова проблемы

Проблемы со словами при постоянной скорости

Проблемы со словами при средней скорости

Проблемы со словами при сумме углов треугольника 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Сокращения прибыли и убытков

Сокращение в процентах

Сокращение в таблице времен

Сокращение времени, скорости и расстояния

Сокращение соотношения и пропорции

Область и диапазон рациональных функций

Область и диапазон рациональных функций

функции с отверстиями

Графики рациональных функций

Графики рациональных функций с отверстиями

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

с использованием длинного корня видение

Л. Метод CM для решения задач времени и работы

Преобразование задач со словами в алгебраические выражения

Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

Остаток при делении в степени 17 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

4.b`

`= F (б) -F (а)`

где

`F (x)` — интеграл от `f (x)`;

`F (b)` — значение интеграла на верхнем пределе, `x = b`; и

`F (a)` — значение интеграла на нижнем пределе, `x = a`.

Это выражение называется определенным интегралом . Обратите внимание, что это не включает константу
интеграция и дает нам определенное значение (число) при
конец расчета.(n + 1)) / (n + 1) + K` (если `n ≠ -1`)

Когда мы заменяем, мы меняем переменную, поэтому мы не можем
используйте одинаковые верхний и нижний пределы. Мы можем либо:

• Выполните задачу как неопределенный интеграл сначала , затем
  использовать верхний и нижний пределы позже
• Решите проблему, используя новую переменную и
  новые верхний и нижний пределы
• Показать правильную переменную для верхнего и нижнего предела
  во время фазы замены.4] `

  `= 0`, как и раньше.

  Этот второй подход будет весьма полезен позже, когда
  замены становятся более сложными (например, тригонометрические
  замена).

  Приложение: Работа

  Эйнштейн катается на велосипеде. 3 + 3 (2))]`

  `= -1 / 3 [1 / 36-1 / 14]`

  `= 0. 014550`

  Таким образом, смещение объекта от времени t = 2 до t = 3 составляет 0,015 единиц.

  См. Подробнее: смещение, скорость и ускорение как приложения интеграции.

  ПРИМЕЧАНИЕ 1: Как вы можете видеть из приведенных выше приложений работы, среднего значения и смещения, определенный интеграл можно использовать, чтобы найти больше, чем просто области под кривыми.

  ПРИМЕЧАНИЕ 2: Определенный интеграл только дает нам площадь , когда вся кривая находится на выше оси x в
  область от x = a до x = b.2+ 1`.

  Затем находим дифференциал:

  `du = 2x \ dx`

  Но в вопросе нет «` 2x \ dx` «(только» dx` «), поэтому
  мы не можем заменить что-либо в вопросе на «du» должным образом. Это означает, что мы не можем решить ее ни одним из используемых методов интеграции. 2 + 1`

  Тогда найдем дифференциал:

  `du = 2x \ dx`

  Затем мы могли бы перейти к нахождению интеграла, как мы делали в примерах выше, заменив `2x \ dx` на` du` , а часть квадратного корня на `sqrt u`. 2 + 1) \ dx`

  ( Примечание: Исторически все определенные интегралы аппроксимировались численными методами до того, как Ньютон и Лейбниц разработали методы интегрирования, которые мы изучили до сих пор в этой главе.)

  Мы можем использовать два различных численных метода для вычисления интеграла:

  Мы встречаемся с этими методами в следующих двух разделах.

  % PDF-1.3
  %
  129 0 объект
  >
  эндобдж
  xref
  129 73
  0000000016 00000 н.
  0000001811 00000 н.
  0000003821 00000 н.
  0000004039 00000 п.
  0000004356 00000 п.
  0000004542 00000 н.
  0000004696 00000 н.
  0000004918 00000 н.
  0000005138 00000 п.
  0000005553 00000 н.
  0000005777 00000 н.
  0000006001 00000 п.
  0000006390 00000 н.
  0000006720 00000 н.
  0000006928 00000 н.
  0000006969 00000 н.
  0000007191 00000 н.
  0000007380 00000 н.
  0000007680 00000 н.
  0000007834 00000 н.
  0000008255 00000 н.
  0000008784 00000 н.
  0000008806 00000 н.
  0000009595 00000 н.
  0000009954 00000 н.
  0000010158 00000 п.
  0000010362 00000 п.
  0000010571 00000 п.
  0000010593 00000 п.
  0000011145 00000 п.
  0000011498 00000 п.
  0000011850 00000 п.
  0000012054 00000 п.
  0000012273 00000 п.
  0000012295 00000 п.
  0000012850 00000 п.
  0000012872 00000 п.
  0000013427 00000 п.
  0000013633 00000 п.
  0000014115 00000 п.
  0000014137 00000 п.
  0000014703 00000 п.
  0000014856 00000 п.
  0000015169 00000 п.
  0000015191 00000 п.
  0000015810 00000 п.
  0000015832 00000 п.
  0000016384 00000 п.
  0000016406 00000 п.
  0000016963 00000 п.
  0000017184 00000 п.
  0000018982 00000 п.
  0000021053 00000 п.
  0000032608 00000 п.
  0000034570 00000 п.
  0000042603 00000 п.
  0000042818 00000 п.
  0000050984 00000 п.
  0000052469 00000 п.
  0000054269 00000 п.
  0000054473 00000 п.
  0000054552 00000 п.
  0000057230 00000 н.
  0000057455 00000 п.
  0000062027 00000 п.
  0000062263 00000 п.
  0000062468 00000 п.
  0000064036 00000 п.
  0000066960 00000 п.
  0000071140 00000 п.
  0000074430 00000 п.
  0000001908 00000 н.
  0000003798 00000 н.
  трейлер
  ]
  >>
  startxref
  0
  %% EOF

  130 0 объект
  >
  эндобдж
  200 0 объект
  >
  поток
  Hb«f« / a`g` Ȁ

  Интеграция путем замены

  В этом разделе мы увидим важный метод вычисления многих сложных интегралов.\ prime \ left (x \ right)} dx}} = {\ int {f \ left (u \ right) du}, \; \;} \ kern0pt {\ text {where} \; \; {u = u \ left (x \ right)}.} \]

  Это формула правила замены для неопределенных интегралов.

  Обратите внимание, что интеграл слева выражается через переменную \ (x. \). Интеграл справа выражается через \ (u. \)

  Метод подстановки (также называемый подстановкой \ (u — \)) используется, когда интеграл содержит некоторую функцию и ее производную. {\ frac {1} {2}}}}} {2} + C} = {\ frac {{\ sqrt u}} {2} + C} = {\ frac {{\ sqrt {1 + 4x}) }} {2} + C.3} + 1} \ right | + C}}. \]

  1.1 Интегралы как решения — Mathematics LibreTexts

  ОДУ первого порядка — это уравнение вида

  \ [\ dfrac {dy} {dx} = f (x, y) \]

  или просто

  \ [y ‘= f (x, y) \]

  В общем, не существует простой формулы или процедуры, которым можно было бы следовать, чтобы найти решения. В следующих нескольких лекциях мы рассмотрим частные случаи, когда нетрудно получить решения. В этом разделе предположим, что \ (f \) является функцией только \ (x \), то есть уравнение:

  \ [y ‘= f (x) \ label {1.1.1} \]

  Мы могли бы просто интегрировать (антидифференцировать) обе части относительно \ (x \).

  \ [\ int y ‘(x) dx = \ int f (x) dx + C \]

  , то есть

  \ [y (x) = \ int f (x) dx + C \]

  Это \ (y (x) \) на самом деле является общим решением. Итак, чтобы решить уравнение \ (\ ref {1.1.1} \), мы находим некоторую первообразную \ (f (x) \), а затем добавляем произвольную константу, чтобы получить общее решение. xf (t) dt + C \]

  Следовательно, терминология для интеграции, когда мы действительно можем иметь в виду антидифференцировать.{x_0} f (x) dx + y_0 = y_0 \). Это!

  Обратите внимание, что определенный интеграл и неопределенный интеграл (антидифференциация) — совершенно разные звери. Определенный интеграл всегда дает число. Следовательно, Equation \ (\ ref {1.1.2} \) — это формула, которую мы можем подключить к калькулятору или компьютеру, и она будет рада вычислить для нас конкретные значения. Мы легко сможем построить решение и работать с ним, как с любой другой функцией. Не так важно всегда находить замкнутую форму первообразной.2} ds + 1. \]

  Solution

  Вот хороший способ подшутить над своими друзьями, которые изучают математику во втором семестре. Скажите им, чтобы они нашли решение в закрытой форме. Ха-ха-ха (плохая математическая шутка). Невозможно (в закрытом виде). Нет ничего плохого в том, чтобы записать решение в виде определенного интеграла. Этот конкретный интеграл на самом деле очень важен в статистике.

  Используя этот метод, мы также можем решить уравнения вида

  \ [y ‘= f (y) \]

  Запишем уравнение в нотации Лейбница.

  \ [\ dfrac {dy} {dx} = f (y) \]

  Теперь мы используем теорему об обратной функции из исчисления, чтобы поменять роли \ (x \) и \ (y \), чтобы получить

  \ [\ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {1} {f (y)} \]

  То, что мы делаем, похоже на алгебру с \ (dx \) и \ (dy \). Заманчиво просто заниматься алгеброй с \ (dx \) и \ (dy \), как если бы они были числами. И в этом случае это действительно работает. Однако будьте осторожны, так как такой вид вычислений может привести к проблемам, особенно когда задействовано более одной независимой переменной.2, ~~~~ v (0) = 10 \]

  Решив для \ (v \), мы можем проинтегрировать и найти \ (x \).

  Авторы и авторство

  Калькулятор интегралов

  : интеграция с Wolfram | Alpha

  Что такое интегралы?

  Интеграция — важный инструмент в исчислении, который может дать первообразную или представить площадь под кривой.

  Неопределенный интеграл от, обозначенный, определяется как первообразная от. Другими словами, производная от is.Поскольку производная константы равна 0, неопределенные интегралы определяются только с точностью до произвольной константы. Например, так как производная от. Определенный интеграл от до, обозначенный, определяется как область со знаком между и осью, от до.

  Оба типа интегралов связаны основной теоремой исчисления. Это означает, что если непрерывен на и является его непрерывным неопределенным интегралом, то. Это означает . Иногда требуется приближение к определенному интегралу.Обычный способ сделать это — разместить под кривой тонкие прямоугольники и сложить области со знаком. Wolfram | Alpha может решать широкий спектр интегралов.

  Как Wolfram | Alpha вычисляет интегралы

  Wolfram | Alpha вычисляет интегралы иначе, чем люди. Он вызывает функцию Integrate системы Mathematica, которая представляет собой огромное количество математических и вычислительных исследований. Integrate не выполняет интегралы, как это делают люди. Вместо этого он использует мощные общие алгоритмы, которые часто включают очень сложную математику.Есть несколько подходов, которые используются чаще всего. Один из них включает разработку общей формы интеграла, затем дифференцирование этой формы и решение уравнений для сопоставления неопределенных символьных параметров. Даже для довольно простых подынтегральных выражений уравнения, сгенерированные таким образом, могут быть очень сложными и для их решения требуются сильные алгебраические вычислительные возможности Mathematica. Другой подход, который Mathematica использует при вычислении интегралов, состоит в том, чтобы преобразовать их в обобщенные гипергеометрические функции, а затем использовать наборы отношений об этих очень общих математических функциях.

  Хотя эти мощные алгоритмы дают Wolfram | Alpha возможность очень быстро вычислять интегралы и обрабатывать широкий спектр специальных функций, понимание того, как будет интегрироваться человек, также важно. В результате в Wolfram | Alpha также есть алгоритмы для пошаговой интеграции. В них используются совершенно разные методы интеграции, имитирующие подход человека к интегралу. Это включает интегрирование путем подстановки, интегрирование по частям, тригонометрическую замену и интегрирование по частичным дробям.

  Решение интегралов подстановкой — Исчисление 2

  Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
  или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
  то
  информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
  ан
  Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
  средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

  Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
  в виде
  ChillingEffects.org.

  Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно
  искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
  на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

  Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

  Вы должны включить следующее:

  Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
  Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
  Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
  достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
  а
  ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
  к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
  Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
  Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
  ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
  информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
  либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

  Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

  Чарльз Кон
  Varsity Tutors LLC
  101 S. Hanley Rd, Suite 300
  St. Louis, MO 63105

  Или заполните форму ниже:

  .

Интегрирование по частям. Первая часть.

В этой теме мы подробно поговорим вычислении неопределённых интегралов с помощью так называемой “формулы интегрирования по частям”. Нам понадобится таблица неопределенных интегралов и таблица производных. В первой части будут разобраны стандартные примеры, которые большей частью встречаются в типовых расчётах и контрольных работах. Более сложные примеры разобраны во второй части.

Постановка задачи в стандартном случае следующая. Допустим, под интегралом у нас расположены две функции разной природы: многочлен и тригонометрическая функция, многочлен и логарифм, многочлен и обратная тригонометрическая функция и так далее. В этой ситуации выгодно отделить одну функцию от другой. Грубо говоря, имеет смысл разбить подынтегральное выражение на части, – и разобраться с каждой частью по отдельности. Отсюда и название: “интегрирование по частям”. Применение этого метода основано на следующей теореме:

Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы на некотором промежутке, и на этом промежутке существует интеграл $\int v \; du$. Тогда на этом же промежутке существует и интеграл $\int u \; dv$, при этом верно следущее равенство:

$$ \begin{equation} \int u \; dv=u\cdot v-\int v\; du \end{equation} $$

Формулу (1) и называют “формулой интегрирования по частям”.2+14x-5)$. Т.е. запись $\ln x$ нужно воспринимать как своего рода обобщение.

Ещё один момент. Бывает, что формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз. Об этом поговорим подробнее в примерах №4 и №5. Теперь перейдём непосредственно к решению типичных задач. Решение задач, уровень которых чуть выше стандартных, разбирается во второй части.

Пример №1

Найти $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$.

Решение

Под интегралом расположен многочлен $3x+4$ и тригонометрическая функция $\cos (2x-1)$. Это классический случай для применения формулы (1), поэтому возьмём заданный интеграл по частям. Формула (1) требует, чтобы интеграл $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$ был представлен в форме $\int u \; dv$. Нам нужно выбрать выражения для $u$ и для $dv$. Можно в качестве $u$ принять $3x+4$, тогда $dv=\cos (2x-1)dx$. Можно взять $u=\cos (2x-1)$, тогда $dv=(3x+4)dx$. Чтобы сделать правильный выбор обратимся к правилу №2. Заданный интеграл $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$ подпадает под вид $\int P_n(x) \cos x \;dx$ (многочлен $P_n(x)$ в нашем интеграле имеет вид $3x+4$). Согласно правилу №2 нужно выбрать $u=P_n(x)$, т.е. в нашем случае $u=3x+4$. Так как $u=3x+4$, то $dv=\cos(2x-1)dx$.

Однако недостаточно просто выбрать $u$ и $dv$. Нам еще понадобятся значения $du$ и $v$. Так как $u=3x+4$, то:

$$ du=d(3x+4)=(3x+4)’dx=3dx.$$

Теперь разберёмся с функцией $v$. Так как $dv=\cos(2x-1)dx$, то согласно определению неопределённого интеграла имеем: $ v=\int \cos(2x-1)\; dx$. Чтобы найти нужный интеграл применим внесение под знак дифференциала:

$$ v=\int \cos(2x-1)\; dx=\frac{1}{2}\cdot \int \cos(2x-1)d(2x-1)=\frac{1}{2}\cdot \sin(2x-1)+C=\frac{\sin(2x-1)}{2}+C. $$

Однако нам нужно не всё бесконечное множество функций $v$, которое описывает формула $\frac{\sin(2x-1)}{2}+C$. Нам нужна какая-то одна функция из этого множества. Чтобы получить искомую функцию нужно вместо $C$ подставить какое-либо число. Проще всего, разумеется, подставить $C=0$, получив при этом $v=\frac{\sin(2x-1)}{2}$.

Итак, соберём всё вышеизложенное воедино. Мы имеем: $u=3x+4$, $du=3dx$, $dv=\cos(2x-1)dx$, $v=\frac{\sin(2x-1)}{2}$. Подставляя всё это в правую часть формулы (1) будем иметь:

$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=(3x+4)\cdot\frac{\sin(2x-1)}{2}-\int \frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx. $$

Осталось, по сути, только найти $\int\frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx$. Вынося константу (т.е. $\frac{3}{2}$) за знак интеграла и применяя метод внесения под знак дифференциала, получим:

$$ (3x+4)\cdot \frac{\sin(2x-1)}{2}-\int \frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{2}\int \sin(2x-1) \;dx= \\ =\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{4}\int \sin(2x-1) \;d(2x-1)= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{4}\cdot (-\cos (2x-1))+C=\\ =\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C. $$

Итак,

$$\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C.$$

В сокращенном виде процесс решения записывают так:

$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\left | \begin{aligned} & u=3x+4; \; du=3xdx.\\ & dv=\cos(2x-1)dx; \; v=\frac{\sin(2x-1)}{2}. \end{aligned} \right |=\\ =(3x+4)\cdot\frac{\sin(2x-1)}{2}-\int \frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{2}\int \sin(2x-1) \;dx=\\ =\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{4}\cdot (-\cos (2x-1))+C= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C. $$

Неопределённый интеграл по частям найден, осталось лишь записать ответ.

Ответ: $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C$.

Полагаю, здесь не обойдётся без вопроса, поэтому попробую сформулировать его и дать ответ.

Вопрос

Почему мы приняли именно $u=3x+4$ и $dv=\cos(2x-1)dx$? Да, интеграл был решён. Но, может быть, если бы мы взяли $u=\cos (2x-1)$ и $dv=(3x+4)dx$ интеграл тоже был бы найден!

Ответ

Нет, если принять $u=\cos (2x-1)$ и $dv=(3x+4)dx$, то ничего хорошего с этого не выйдет, – интеграл не упростится.2\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}-\frac{43\cos(3x+1)}{27}+C$.

Применение метода интегрирования по частям в несколько нестандартных случаях, не подпадающих под действие правил №1 и №2, будет дано во второй части.

1.1: Интегралы как решения – Mathematics LibreTexts

ODE первого порядка – это уравнение вида

\ [\ dfrac {dy} {dx} = f (x, y) \]

или просто

\ [y ‘= f (x, y) \]

В общем, не существует простой формулы или процедуры, которым можно было бы следовать, чтобы найти решения. В следующих нескольких лекциях мы рассмотрим частные случаи, когда нетрудно получить решения. В этом разделе предположим, что \ (f \) является функцией только \ (x \), то есть уравнение

\ [y ‘= f (x) \ label {1.1.1} \]

Мы могли бы просто интегрировать (антидифференцировать) обе части относительно \ (x \).

\ [\ int y ‘(x) dx = \ int f (x) dx + C \]

, то есть

\ [y (x) = \ int f (x) dx + C \]

Это \ (y (x) \) на самом деле является общим решением. x f (t) dt + C \]

Отсюда терминология «интегрировать», когда мы действительно можем иметь в виду «антидифференцировать».{x_0} f (x) dx + y_0 = y_0 \). Это!

Обратите внимание, что определенный интеграл и неопределенный интеграл (антидифференциация) – совершенно разные звери. Определенный интеграл всегда дает число. Следовательно, Equation \ (\ ref {1.1.2} \) – это формула, которую мы можем подключить к калькулятору или компьютеру, и она будет рада вычислить для нас конкретные значения. Мы легко сможем построить решение и работать с ним, как с любой другой функцией. Не так важно всегда находить замкнутую форму первообразной.2} ds + 1. \]

Решение

Вот хороший способ подшутить над своими друзьями, берущими расчет во втором семестре. Скажите им, чтобы они нашли решение в закрытой форме. Ха-ха-ха (плохая математическая шутка). Невозможно (в закрытом виде). Нет ничего плохого в том, чтобы записать решение в виде определенного интеграла. Этот конкретный интеграл на самом деле очень важен в статистике.

Используя этот метод, мы также можем решить уравнения вида

\ [y ‘= f (y) \]

Запишем уравнение в обозначениях Лейбница.

\ [\ dfrac {dy} {dx} = f (y) \]

Теперь мы используем теорему об обратной функции из исчисления, чтобы поменять ролями \ (x \) и \ (y \), чтобы получить

\ [\ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {1} {f (y)} \]

То, что мы делаем, похоже на алгебру с \ (dx \) и \ (dy \). Заманчиво просто заниматься алгеброй с \ (dx \) и \ (dy \), как если бы они были числами. И в этом случае это действительно работает. Однако будьте осторожны, так как такой вид вычислений может привести к проблемам, особенно когда задействовано более одной независимой переменной.2 \) очень красиво и определено везде, но решение определено только на некотором интервале \ ((- \ infty, C) \) или \ ((C, \ infty) \). Обычно, когда это происходит, мы рассматриваем только одно из этих решений. Например, если мы наложим условие \ (y (0) = 1 \), то решение будет \ (y = \ frac {1} {1-x} \), и мы будем рассматривать это решение только для \ (x \) на интервале \ ((- \ infty, 1) \). На рисунке это левая часть графика.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): график \ (y = \ frac {1} {1-x} \).2, \ quad v (0) = 10 \]

Как только мы решим для \ (v \), мы можем проинтегрировать и найти \ (x \).

Авторы и авторство

неопределенный интеграл в nLab

Неопределенные интегралы

Идея

Неопределенный интеграл – это нечто менее определенное, чем определенный интеграл. В то время как определенный интеграл обычно представляет собой какое-то число или другую конкретную величину, неопределенный интеграл обычно представляет собой другую переменную величину того же типа, что и подынтегральное выражение.

Термин «неопределенный интеграл» сам по себе довольно неопределенный, поскольку использовался для множества немного разных понятий. Оба полуопределенных интеграла и первообразные являются более точными версиями неопределенных интегралов. Основная теорема исчисления – это, по сути, теорема о том, что эти два вида неопределенного интеграла по сути являются одним и тем же.

Определения и обозначения

Для начала мы обсудим интеграцию функций с действительными значениями на действительной прямой, но многое из этого можно обобщить на другие контексты.а.)

Полуопределенный интеграл определяется в терминах определенного интеграла. Мы можем поместить такие имена, как «Риман» и «Лебег» между «полуопределенным» и «целым», чтобы указать конкретный вид определенного интеграла, который будет использоваться. Обратите внимание, что область полуопределенного интеграла – это интервал, содержащий aa и содержащийся в области определения ff (или, по крайней мере, в его замыкании, если мы допускаем несобственный интеграл? S или интегрирующие почти функции). Если мы начнем с определения ff как локально интегрируемой функции? на отрезке II, содержащем aa, то полуопределенный интеграл также будет иметь II в качестве области определения.х f (t) \, \ mathrm {d} t.

Мы можем записать это значение как C + ∫af (x) dxC + \ int_a f (x) \, \ mathrm {d} x для краткости.

Это только одно из значений «неопределенного интеграла», но это единственное, которое не имеет альтернативной однозначной терминологии. Обратите внимание, что CC – это значение неопределенного интеграла в aa; таким образом, CC является начальным значением, если aa является начальной точкой. Но для авторов, которые используют эту концепцию, часто нет необходимости упоминать ни aa, ни CC (и, следовательно, для них не нужна терминология), потому что их интересует только то, является ли некоторая другая функция FF неопределенным интегралом от ff, где ff равно локально интегрируемая функция на некотором отрезке.

Определение

Если FF является частичной функцией от ℝ \ mathbb {R} до ℝ \ mathbb {R}, то FF является первообразной от ff (или антидифференциалом от fdxf \, \ mathrm {d} x), если ff является производной от FF в своем домене:

∀x∈domF, f (x) = F ′ (x). \ forall \, x \ in \ dom F, \; f (x) = F ‘(x).

Апостериори, FF должны быть дифференцируемыми.

Это обычное значение «неопределенного интеграла» в современных учебниках по математическому анализу с использованием интеграла Римана, особенно когда область определения ff является интервалом.

Определение

Если FF – измеримая по Лебегу частичная почти функция от ℝ \ mathbb {R} до ℝ \ mathbb {R}, то FF является почти первообразной от ff, если ff является производной от F почти всюду:

ess∀x∈domF, f (x) = F ′ (x). \ operatorname {ess} \ forall \, x \ in \ dom F, \; f (x) = F ‘(x).

Нас особенно интересует случай, когда FF абсолютно непрерывна.

Это нестандартная терминология, но она хорошо согласуется с другой «почти» терминологией в теории меры.Это обычное значение термина «неопределенный интеграл» при использовании интеграла Лебега.

Недвижимость

Основным свойством, связывающим различные виды неопределенного интеграла, является фундаментальная теорема исчисления (FTC). Для различных определений интеграла можно доказать, что каждый полуопределенный интеграл или, в более общем смысле, любой неопределенный интеграл в смысле определения, является первообразной; и что каждая первообразная или, в более общем смысле, каждая почти первообразная является неопределенным интегралом; возможно, с техническими условиями (в зависимости от типа рассматриваемого интеграла), такими как дифференцируемость или абсолютная непрерывность.Подробности см. В этой статье.

Неопределенные интегралы дают решения дифференциальных уравнений. Конечно, первообразная определяется как решение особенно простого дифференциального уравнения. Используя FTC, мы видим, что неопределенные интегралы являются решениями соответствующих задач с начальным значением. В частности, решение

F ′ (x) = f (x), F (a) = C F ‘(x) = f (x), \; F (а) = С

– неопределенный интеграл от ff с начальной точкой aa и начальным значением CC:

F (x) = C + af (x) dx.F (x) = C + \ int_a f (x) \, \ mathrm {d} x.

На коллекторах

Если мы думаем о действительной прямой как о прототипе 11-мерного дифференцируемого многообразия, а f (x) dxf (x) \, \ mathrm {d} x как о дифференциальной форме на этом многообразии, то мы можем попытаться обобщить это на другие внешние дифференциальные формы, обобщающие FTC на теорему Стокса. Понятно, что является первообразной в этом контексте: α \ alpha – внешняя первообразная ω \ omega, если ω \ omega – внешняя производная α \ alpha.n и PP является точкой в ​​своей области определения, тогда мы можем определить значение полуопределенного интеграла от ω \ omega с начальной точкой PP как интеграл от ω \ omega вдоль отрезка прямой от PP; область – это звездно-выпуклое множество? исходящий из PP и содержащийся в domω \ dom \ omega. Если мы определим неопределенный интеграл как полуопределенный интеграл плюс постоянное начальное значение, то каждая первообразная ω \ omega на звездно-выпуклом множестве будет неопределенным интегралом. Наоборот, всякий неопределенный интеграл является первообразной, если ω \ omega замкнута.Возможно, это можно обобщить на римановы многообразия, рассматривая интегралы по геодезическим; хотя геодезическая между двумя точками не всегда уникальна (даже если она существует), она уникальна в достаточно малой (и часто довольно большой) окрестности. (Например, на сфере, пока ω \ omega интегрируема, мы можем определить неопределенный интеграл таким образом в любой точке, кроме той, которая находится прямо напротив начальной точки.)

На более общем многообразии нам нужно определение полуопределенного интеграла, которое существует гораздо реже, но значение состоит в том, что нам больше не нужно предполагать, что ω \ omega замкнута для половины FTC; так что это, вероятно, лучшее определение.Итак, если ω \ omega – 11-форма на любом дифференцируемом многообразии, а PP – точка в ее области определения, то полуопределенный интеграл от ω \ omega с начальной точкой PP определен в другой точке QQ тогда и только тогда, когда интеграл от ω \ omega равен то же самое на любом пути от PP до QQ (и тогда этот интеграл является значением). Затем мы можем определить неопределенный интеграл, добавив постоянное начальное значение. По-прежнему верно, что каждая первообразная представляет собой неопределенный интеграл (по крайней мере, в линейно-связной области или, в более общем смысле, когда область представляет собой многообразие, в котором мы можем выбрать начальную точку в каждом связном компоненте), и теперь также верно, что каждый неопределенный интеграл является первообразной.По определению ω \ omega точна тогда и только тогда, когда существует первообразная, и, следовательно, если и только если существует неопределенный интеграл. Аналогично, ω \ omega замкнута тогда и только тогда, когда она имеет неопределенный интеграл в окрестности каждой точки; если область ω \ omega односвязна, то неопределенный интеграл можно распространить на всю область.

Неопределенный интеграл – определение, формулы, примеры

Неопределенный интеграл – это интегрирование функции без каких-либо ограничений. Интеграция – это процесс, обратный дифференциации.Неопределенные интегралы с применением предельных точек называются определенными интегралами. Интеграция помогает узнать площадь, ограниченную кривой, относительно одной из осей координат.

Применение ограничений к выражению площади, полученному из неопределенного интеграла, преобразует его в определенные интегралы. Давайте узнаем больше о неопределенных интегралах, важных формулах, примерах и разнице между неопределенными интегралами и определенными интегралами.

Что такое неопределенный интеграл?

Неопределенные интегралы – это процесс, обратный дифференцированию.Для функции f (x), если производная представлена ​​как f ‘(x), интегрирование результирующего f’ (x) возвращает начальную функцию f (x). Этот процесс интегрирования можно определить как определенные интегралы. Давайте поймем это из приведенного ниже выражения.

d / dx.f (x) = f ‘(x)

\ (\ int f ‘(x) .dx = f (x) + C \)

Важные формулы неопределенных интегралов

Ниже приведены некоторые важные формулы неопределенных интегралов.b_af (x) dx \), где a – нижний предел, а b – верхний предел, для функции f (x), определенной относительно оси x. Определенные интегралы являются первообразной функции f (x) для получения функции F (x), а верхний и нижний пределы применяются для нахождения значения F (b) – F (a).

Кроме того, многочисленные формулы и теоремы, используемые для неопределенного интеграла, могут использоваться с определенными интегралами. Основное различие между неопределенными интегралами и определенными интегралами состоит в том, что неопределенные интегралы не имеют никаких ограничений, а для определенных интегралов существует верхний и нижний пределы.2x \) равно Tanx – x + C.

перейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе по простым подсказкам

Занимаясь заучиванием наизусть, вы, вероятно, забудете концепции. С Cuemath вы будете учиться наглядно и будете удивлены результатами.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Практические вопросы по неопределенному интегралу

Вот несколько занятий для вас.Выберите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

перейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о неопределенном интеграле

В чем разница между неопределенными интегралами и определенными интегралами?

Определенный интеграл и неопределенный интегралы различаются применением предельных точек. Неопределенные интегралы, мы применяем нижний предел и верхний предел к точкам, а в неопределенных интегралах вычисляются для всего диапазона без каких-либо ограничений.

Каковы свойства неопределенных интегралов?

Свойства неопределенных интегралов аналогичны свойствам дифференцирования. Неопределенные интегралы обратны дифференцированию. Дифференцирование f (x) дает f ‘(x), которая при применении неопределенного интеграла возвращает функцию f (x).

Каковы важные формулы неопределенных интегралов?

Вот некоторые из важных формул неопределенных интегралов. п.х + С \)

\ (\ int \ frac {1} {x} .dx = Log | x | + C \)

Каковы применения неопределенных интегралов?

Тема неопределенного интеграла имеет множество приложений в исчислении. Понятие неопределенного интеграла можно использовать, чтобы найти площадь, заключенную в данном уравнении кривой. Далее при применении пределов неопределенный интеграл преобразуется в определенный интеграл, что помогает в вычислении площади, заключенной этой кривой.

Indefinte Integrals

В исчислении есть два важных процесса: дифференцирование и интегрирование.Дифференциация относится к процессу поиска производной функции, тогда как интегрирование – это процесс, противоположный дифференциации. Неопределенный интегральный смысл состоит в том, что когда задана функция f, вы находите функцию F таким образом, что F ’= f. Нахождение неопределенных интегралов – важный процесс, когда дело доходит до исчисления. Он используется в качестве метода для получения площади под кривой и для получения многих физических и электрических уравнений, которые ученые и инженеры используют в своей повседневной жизни.В этой статье вы узнаете об определении неопределенного интеграла, неопределенных интегральных формулах и неопределенных интегральных задачах.

Определение неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл относится к интегралу, не имеющему верхнего и нижнего пределов.

Изображение будет загружено в ближайшее время

Здесь f (x) интегрировано и представлено как:

\ [\ int \] f (x) dx = F (x) + C

Это обозначение неопределенного интеграла .

Здесь по x интеграл от f (x) дан на R.H.S.

F (x) называется первообразной или примитивной

f (x) называется подынтегральным выражением

dx – интегрирующим агентом

C – произвольной константой интегрирования

x называется переменной интегрирования.

Формула неопределенного интеграла

Для функции f (x) множество всех первообразных называется неопределенными интегралами функции f (x), которая обозначается как:

\ [\ int \] f (X ) dx = F (x) + C

Свойства неопределенных интегралов

Ниже приведены некоторые свойства неопределенных интегралов.

Свойство 1

Интегрирование и дифференцирование – процессы, обратные друг другу, потому что

\ [\ frac {d} {dx} \] \ [\ int \] f (x) dx = f (x)

И

\ [\ int \] f ‘(x) dx = F (x) + C

Здесь C – любая заданная произвольная константа.

Доказательство:

Рассмотрим заданную функцию f такую, что ее антипроизводная отмечена F, то есть

\ [\ frac {d} {dx} \] F (x) = f (x)

Следовательно,

\ [\ int \] f (x) dx = F (x) + C

Если вы дифференцируете его с обеих сторон относительно x, вы получите

\ [\ frac {d} {dx } \] \ [\ int \] f (x) dx = \ [\ frac {d} {dx} \] (F (x) + C)

Поскольку производная любой заданной постоянной функции равна нулю, вы получите

\ [\ frac {d} {dx} \] \ [\ int \] f (x) dx = \ [\ frac {d} {dx} \] (F (x) + C) = f (x)

Производная данной функции f обозначается f ‘(x), и, следовательно,

f’ (x) = \ [\ frac {d} {dx} \] f (x)

Следовательно,

\ [\ int \] f ‘(x) dx = f (x) + C

, где C – произвольная постоянная, известная как постоянная интегрирования.

Свойство 2

Два неопределенных интеграла с одинаковой производной имеют одно и то же семейство интегралов или кривых, и поэтому они называются эквивалентными.

Доказательство:

Рассмотрим две заданные функции f и g от x таким образом, что

\ [\ frac {d} {dx} \] \ [\ int \] f (x) dx = \ [\ frac { d} {dx} \] \ [\ int \] f (x) dx

Вы также можете записать это как

\ [\ frac {d} {dx} \] \ [\ int \] f (x) dx – \ [\ frac {d} {dx} \] \ [\ int \] f (x) dx = 0

Когда вы интегрируете с обеих сторон, вы получаете

\ [\ int \] f (X ) dx – \ [\ int \] g (x) dx = c

, где C – любое заданное действительное число

Из приведенного выше уравнения можно сказать, что семейство кривых [∫ f (x) dx + c3, c3∈ R] и [∫ g (x) dx + c2, c2∈ R] одинаковы.Следовательно, можно сказать, что f (x) dx = ∫ g (x) dx.

Свойство 3

Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов данных функций, то есть

\ [\ int \] [f (x) dx + g (x)] dx = \ [\ int \] f (x) dx + \ [\ int \] g (x) dx

Доказательство:

Используя первое свойство интегралов, вы получите

\ [\ frac {d} {dx } \] [f (x) dx + g (x) dx] = f (x) + g (x) … (1)

У вас также есть

\ [\ frac {d} {dx} \ ] \ [\ int \] [f (x) dx + g (x) dx] = \ [\ frac {d} {dx} \] \ [\ int \] f (x) dx + \ [\ frac {d } {dx} \] \ [\ int \] dx = f (x) + g (x)… (2)

Следовательно, из уравнений 1 и 2 имеем

\ [\ int \] [f (X) + g (x)] dx = \ [\ int \] f (x) dx + \ [\ int \] g (x) dx

Свойство 4

Для любого заданного действительного значения p

\ [\ int \] pf (x) dx = p \ [\ int \] f (x ) dx

Доказательство:

Из первого свойства интегралов можно сказать, что

\ [\ frac {d} {dx} \] \ [\ int \] pf (x) dx = pf (x)

У вас также есть

\ [\ frac {d} {dx} \] [p \ [\ int \] f (x) dx] = P \ [\ frac {d} {dx} \] f (x) dx = pf (x)

Из второго свойства интегралов можно сказать, что

\ [\ int \] pf (x) dx = p \ [\ int \] f (x) dx

Свойство 5

Для заданное конечное число функций f1, f2….fn и заданные действительные числа p1, p2… pn,

∫ [p1f1 (x) + p2f2 (x)…. + pnfn (x)] dx

= p1∫f1 (x) dx + p2∫f2 (x) dx +… .. + pn∫fn (x) dx

Примеры неопределенного интеграла

Давайте теперь посмотрим при решении неопределенных интегралов

Пример 1

Вычислите следующий неопределенный интеграл.

\ [\ int \] (3x ² – 6x + 2cosx) dx

Решение:

Из интегральных свойств 1 и 2 получаем

I = \ [\ int \] (3x ² – 6x + 2Cosx) dx = \ [\ int \] (3x ² dx – \ [\ int \] 6xdx + \ [\ int \] 2cosxdx

= 3 \ [\ int \] x ² dx – 6 \ [\ int \] xdx + 2 \ [\ int \] cosxdx

Вы можете вычислить все три интеграла, используя таблицу интегрирования.{2}} {2} \] + 2 sin x + C

= x ² – 3x ² + 2sin x + c

Пример 2

Найдите неопределенный интеграл от следующего

\ [\ int \] \ [\ frac {x + 1} {\ sqrt {x}} \] dx

Решение:

Для данной функции вам нужно записать интегралы в виде суммы двух различных интегралов и затем рассчитайте каждый из них отдельно. 5 (x) dx?

Решение подобных проблем часто сводится к разбиению интеграла с использованием триггерных тождеств.5 x) / 5 + C #

Итак, вкратце, когда у вас есть интегралы, включающие нечетные степени #sin x # или #cos x #, тождество Пифагора может использоваться для разбиения интегралов до точки, где они могут быть легко решены с помощью # u # -замены.

Закрытие прикладной математики – Закрытие прикладной математики

Кафедра прикладной математики закрыта с 1 июля 2021 г. .

Программы и факультет прикладной математики (за исключением инженерной математики) переведены на кафедру математики.Программы и факультет, специализирующийся на теоретической физике и научных вычислениях, переместились на факультет физики и астрономии. Запросы по инженерной математике следует направлять в Департамент физики и астрономии.

Веб-сайт математического факультета

Веб-сайт физико-астрономического факультета

---

Контактная информация администрации

---

Мы предлагаем следующие замены студентам, которые начинают свой 3–4-летний курс обучения по основному модулю прикладной математики [Описание в формате PDF для печати]

Вместо:

• 0.5 курсов AM 4613A / B, 4617A / B
• 0,5 Курсы из AM 4815A / B, AM 4817A / B

Заменим:

• 1.0 Курсы AM 3615A (математическая биология), Phys 3151A (ранее AM 3151A, классическая механика), математика 3152 A (комбинаторная математика), математика 3157 B (теория игр), AM 4615 A ​​(компьютерная алгебра), математика 4958 B (Специальные темы в прикладной математике, эволюционная динамика, требуются AM 3815A и SS 2857A), Phys 3926F (Компьютерное моделирование в физике, 2 ^и год Предварительные требования по физике, вероятно, будут отменены преподавателем; только для студентов с * не * взят AM 3911F / G).

Обратите внимание, что вы уже не можете учитывать замененный курс как часть других требований вашего модуля. Вы должны это проверить.

Возможны другие замены; Перечисленные выше курсы были выбраны потому, что студенты AM часто имеют соответствующие предварительные условия.

---

Мы предлагаем следующие замены студентам, которые начинают свой 3-й или 4-й год обучения со специализацией с отличием по прикладной математике [Версия для печати PDF Описание здесь] :

Вместо:

• 0.5 курсов AM 4613A / B, 4617A / B
• 1.0 дополнительный курс от AM 3151A / B, AM 3615A / B, AM 3611F / G, AM 4613A / B, AM 4615A / B, AM 4617A / B, FM 3613A / B, FM 3817A / B

Заменим:

• 1.5 Курсы AM 3615A (математическая биология), Phys 3151A (ранее AM 3151A, классическая механика), Math 3152 A (комбинаторная математика), Math 3157 B (теория игр), AM 4615 A ​​(компьютерная алгебра), математика 4958 B (Специальные темы в прикладной математике, эволюционная динамика, требуется AM 3815A и SS 2857A), Phys 3926F (компьютерное моделирование в физике, 2 ^и год Предварительные требования по физике, вероятно, будут отменены преподавателем; только для студентов с * не * взято AM 3911F / G), SS 3859A / B (регрессионный анализ), AM 4264B (введение в нейронные сети; не предлагается в 21-22, но актуально здесь, если вы его приняли), FM 3613A / B, FM 3817А / Б.

Обратите внимание, что вы уже не можете учитывать замененный курс как часть других требований вашего модуля. Вы должны проверить это

Возможны другие замены; Перечисленные выше курсы были выбраны потому, что студенты AM часто имеют соответствующие предварительные условия.

Если ваш модуль не указан выше, вы можете найти соответствующую информацию здесь

ЕСЛИ ВЫ ХОТИТЕ ПРЕДЛОЖИТЬ ЗАМЕНУ КУРСОВ, И ВЫ НАЧИТАЕТЕ ЛИБО НА 3 ИЛИ 4 ГОД ОБУЧЕНИЯ В ПРИКЛАДНОМ МОДУЛЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ, ТО ПОДАЙТЕ ВАШЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ ЧЕРЕЗ ДОСТУПНУЮ ЗДЕСЬ ВЕБФОРМУ.

5.7 Первообразные и неопределенные интегралы

Исчисление одного реального Переменная от Pheng Kim Ving Глава 5: Применение производной части 1 раздела 5.7: Первообразные и неопределенные интегралы

5.7 Первообразные И неопределенные интегралы

Вернуться к содержанию
Перейти к проблемам и решениям

Определение 1.1

Первообразная (или примитив ) функции f на интервале I является функцией F , у которой производная от I равна f , т.е. F ‘( x ) = f ( x ) для всех x в I .

Аббревиатура AD

В оставшейся части этого раздела аббревиатура AD расшифровывается как первообразное.

Перейти к проблемам и Решения Возврат К началу страницы

2. Отношения между первообразными

Предположим, что F ( x ) – это AD f ( x ).Ясно F ( x ), F ( x ) + 1, F ( x ) 2/5, F ( x ) 100 и F ( x ) + 1000 – это объявления из f ( x ),
потому что их производные равны f ( x ). Напомним, что производная константы равна 0; например, ( d / dx ) ( F ( x ) + 1) =
( d / dx ) F ( x ) + 0 = f ( x ).AD не уникален. Действительно, для любой константы C функция F ( x ) + C является AD функция
f ( x ). Это означает, что если G ( x ) такое, что G ( x ) = F ( x ) + C для некоторой константы C , то G ( x ) будет x ( x ). Модель
Следующая теорема утверждает, что верно и обратное, т. е. если G ( x ) является AD f ( x ), то G ( x ) имеет вид G ( x ) =
F ( x ) + C для некоторой константы C .

Теорема 2.1

Предположим, что F ( x ) является первообразная f ( x ) на интервале I . Затем каждые первообразное G ( x ) f ( x ) на I имеет форму G ( x ) = F ( x ) + C на I , где C – некоторая постоянный.

Доказательство

Пусть H ( x ) = G ( x ) F ( x ). Тогда H ‘( x ) = G ‘ ( x ) F ‘( x ) = f ( x ) f ( x ) = 0. Таким образом H ( x ) = C на I , где C – некоторая константа.
Таким образом, G ( x ) F ( x ) = C , следовательно, G ( x ) = F ( x ) + C , на I .

EOP

Примечания 2.1

и. г. фраза на I означает для всех x в I .

ii. Все Каждый из AD f ( x ) на I имеет форму F ( x ) + C для некоторой константы С .Все они получены таким образом. Других
нет.

iii. А как насчет самого F ( x )? Ну, F ( x ) = F ( x ) + 0.

iv. Банка функция F ( x ) будет любым AD из f ( x ), а не только некоторыми конкретный? да. Предположим, F ₂ ( x ) – это AD f ( x ).Итак,
F ₂ ( x ) = F ( x ) + C ₂ для некоторой константы С ₂ . Тогда G ( x ) = F ( x ) + C = F ₂ ( x ) C ₂ + C =9 F ( x ) + K , где K = C ₂ +
C – константа.Это подтверждает наш утвердительный ответ.

v. Любая два AD f ( x ) отличаются на константу. Чтобы понять, почему, предположим, что G ₁ ( x ) = F ( x ) + C ₁ и G ₂ ( x ) = F ( x ) + C ₂ . Тогда
G ₁ ( x ) G ₂ ( x ) = ( F ( x ) + C ₁ ) ( F ( x ) + C ₂ ) = C ₁ C ₂ .

vi. Важно, чтобы набор, на котором f ( x ) и его AD были Рассматривается интервал . Если этот набор не является интервалом, может быть
AD, которые не имеют формы F ( x ) + C для любой константы C . Мы дадим пример такой ситуации в
Задача & Решение 5.

Из теоремы 1 следует, что графики различных AD функции на интервале – это смещенные по вертикали версии того же
кривая, как показано на рис.2.1. То есть расстояние по вертикали между графиков любых двух AD функции на интервале – это
постоянный. Это также подразумевается замечаниями 2.1 v выше.

Рис. 2.1 Графики некоторых первообразных функции.

Перейти к проблемам и Решения Возврат К началу страницы

3.Общий Первообразные

Пусть F ( x ) будет AD f ( x ). Тогда по теореме 2.1 все AD f ( x ) являются каждой из форма F ( x ) + C для некоторой константы C . Ср
используйте функцию F ( x ) + C , где C – произвольная константа , чтобы представить каждый AD из f ( x ), и назовите его общий
первообразная из f ( x ).

Определение 3.1

Пусть F ( x ) будет первообразная функции f ( x ) на интервале I . Тогда функция F ( x ) + C , где C – произвольный константа, называется общей первообразной f ( x ) на I .

Аббревиатура GAD

В оставшейся части этого раздела аббревиатура GAD расшифровывается как General первообразный.

Перейти к проблемам и Решения Возврат К началу страницы

GAD f ( x ) также называется неопределенный интеграл из f ( x ).Причина для это будет известно в разделе 9.4 Неопределенный
Интегралы.

Определение 4.1

Также называется общая первообразная функции f на интервале I неопределенный интеграл из f на I , который обозначается: , где C – произвольный постоянный.

Примечания 4.1

Перейти к проблемам и Решения Возврат К началу страницы

5. Поиск Общие антипроизводные

Пример 5.1

Найдите общую первообразную f ( x ) = x ² 3 x + 2.

Решение

EOS

Ответ можно проверить, просто дифференцируя это.

Напомним, что нахождение производной от функция называется дифференцированием. Нахождение первичной производной
функция называется антидифференцировка .

Перейти к проблемам и Решения Возврат К началу страницы

6.Общий Первообразные целых степеней переменной

Случай, когда n = 1, что приводит к тому, что знаменатель n + 1 становится 0, будет рассмотрен в Разделе 7.1. Там мы найдем
AD x ¹ = 1/ x .

Вернуться к началу страницы

1. Найдите общую первообразную каждого из следующие функции.
а. 2.
б. x ³ .

Решение

Вернуться к началу страницы

2. Найдите каждый из следующих неопределенных интегралы.

Решение

Вернуться к началу страницы

3. Найдите общую первообразную каждого из следующие функции.

Решение

Вернуться к началу страницы

4. Докажите, что:

, где a и b не равны 0 константам.

Решение

Пусть F ( x ) и G ( x ) будут первообразные f ( x ) и g ( x ) соответственно. У нас:

Вернуться к началу страницы

5. Здесь мы приводим пример как обещано в Примечаниях 2.1 vi. Пусть:

f ( x ) = 0 для всех x ,
F ₁ ( x ) = 2 для всех x и:

Решение

Банкноты

Вернуться к началу страницы Вернуться к содержанию

.