Нерешенные задачи: ds.dynamical systems – *The* open problem in General Relativity?

5 самых старых нерешенных задач Математики о простых числах / Хабр

Математика была предметом, который веками бросал вызов величайшим умам в истории человечества. Пожалуй, одной из наиболее исследуемых областей Математики является изучение простых чисел.

Наши размышления о закономерностях в простых числах привели к некоторым сложнейшим проблемам, нерешенным даже величайшими математическими гениями. Сегодня мы рассмотрим 5 старейших математических задач о простых числах, которые интуитивно понятны старшекласснику, но все еще не доказаны даже после упорных попыток в течение 500-2000 лет.

1. Совершенные числа: существуют ли нечетные совершенные числа? Бесконечны ли четные совершенные числа?

Рассмотрим числа 6, 28, 496, 8128…

Что в них особенного? Если вы не знаете, то я бы посоветовал сделать небольшую паузу и попытаться найти красивое свойство, которым обладают эти числа. 

Двигаемся дальше….

Если посмотреть на собственные делители этих чисел, то нетрудно заметить то самое «красивое» свойство:

Числа, для которых сумма собственных делителей равна самому числу, называются совершенными числами. Самое раннее исследование совершенных чисел затеряно в истории. Однако, мы знаем, что пифагорейцы 525годдон.э. изучали совершенные числа. 

Что мы знаем о таких числах?

• Евклид доказал, что для данного n, если – простое число, то – совершенное число. В качестве упражнения попробуйте доказать это самостоятельно.

Окей, краткий экскурс.

Простые числа Мерсенна: простые числа вида для некоторого n. Мерсенн предположил, что все числа вида простые, когда n простое. (Мы знаем, что это неправда. Например, ).

Открытый вопрос: существует ли бесконечно много простых чисел Мерсенна? На данный момент нам известно 47 простых чисел Мерсенна. 

Как видите, мы знаем о четных совершенных числах и способах их получения еще со времен Евклида около300годдон.э.. Но нам неизвестно, существую ли нечетные совершенные числа!!! насамомделе,прогрессврешенииэтойпроблемыпрактическиотсутствует.

Подводя итог, можно сказать, что изучение совершенных чисел ставит две давние открытые проблемы, а именно «существование нечетных совершенных чисел» и «существование бесконечно большого числа простых чисел Мерсенна».

Евклид (ок. 300 г. до. н. э.) первым доказал то, что простых чисел бесконечно много.

2. Гипотеза о близнецах: простых чисел-близнецов бесконечно много

Простые числа-близнецы — это пара вида (p, p + 2), где p и p + 2 являются простыми числами.

Точное происхождение гипотезы о простых числах-близнецах не установлено. Первая формулировка гипотезы о простых числах-близнецах была дана в 1846 году французским математиком Альфонсом де Полиньяком. Однако греческий математик Евклид дал старейшее из известных доказательств существования бесконечного числа простых чисел. Но он не предполагал, что существует бесконечное число простых чисел-близнецов.

На протяжении 2000 лет в доказательстве этого утверждения практически не было прогресса. 

Что мы знаем!

1. Существует бесконечно много простых пар вида (p, p + k), где k <= 246.

2. Если допустить истинность гипотезы Эллиота — Халберстама (которая, по нашему мнению, верна), то существует бесконечно много простых пар вида (p, p + k), где k <= 6. Это означает, что множество пар простых чисел, отличающихся на 2 (twin-primes), на 4 (cousin-primes) и на 6 (sexy-primes) бесконечно.

Возможно, величайший из ныне живущих математиков, Теренс Тао, активно работает над этой проблемой. Посмотрите это видео, чтобы познакомиться с этим математическим гением и его работой над простыми числами-близнецами. 

3. Какие правильные n-угольники построимы?

Правильный многоугольник считается построимым, если его можно построить с помощью линейки и циркуля. Например, правильный пятиугольник можно построить с помощью линейки и циркуля, а правильный семиугольник нет.

Древние греки знали, как построить правильный многоугольник с 3, 4 и 5 сторонами. Также они умели строить правильные многоугольники с удвоенным числом сторон для данного правильного многоугольника. 

Таким образом, они могли построить правильный n-угольник для n = {3, 6, 12, 24… 4, 8, 16… 5, 10, 20…} и так далее.

Естественно задать вопрос, для каких значений n можно построить правильный многоугольник. Первый реальный результат в решении этой проблемы был получен спустя 2000 лет после того, как древние греки впервые начали её изучать. В 1796 году 19-летний подросток построил правильный 17-угольник. Этим ребенком был не кто иной, как Карл Фридрих Гаусс. Несколько лет спустя Гаусс дал ответ на общую проблему.

Что мы знаем!

Гаусс показал, что правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда n является произведением степени двойки и любого количества различных простых чисел Ферма (включая ни одного).

Простое число Ферма — это простое число вида:

Таким образом, проблема поиска всех построимых многоугольников сводится к нахождению всех простых чисел Ферма. Это отдельная нерешенная проблема. Несколько первых чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297…

По состоянию на 2021 год единственными известными простыми числами Ферма являются F0=3, F1=5, F2=17, F3=257, F4=65537.

Ферма предположил, что все числа Ферма являются простыми. В 1732 году Эйлер открыл, что F5 делится на 641. С тех пор мы выяснили, что для n = 5, 6…31 числа Ферма составные. Простое число Ферма после F4 неизвестно.

Мы найдем ответ на вопрос о построимых правильных n-угольниках в тот же момент, как только найдем ответ на вопрос о существовании простых чисел Ферма.

4. Гипотеза Гольдбаха (1742)

Сильная гипотеза Гольдбаха:

Каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Слабая гипотеза Гольдбаха:

Каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Второе утверждение называется «слабым», потому что в случае истинности «сильной» гипотезы вторая также будет истинной. К сожалению, после значительных усилий поколений математиков, начиная с Эйлера, мы так и не смогли доказать ее.

(Примечание — В 2013 году Харальд Хельфготт опубликовал доказательство слабой гипотезы Гольдбаха. По состоянию на 2018 год доказательство широко принято в математическом сообществе, однако оно еще не было опубликовано в рецензируемом журнале).

В любом случае, все ждут доказательства сильной гипотезы.

Что мы знаем!

1. В 1930 году было доказано, что любое натуральное число больше 1 может быть записано в виде суммы не более чем C простых чисел, где C < 800 000 [Примечание — мы хотим, чтобы C = 2].

2. В последнее десятилетие было показано, что каждое четное число n >= 4 на самом деле является суммой не более чем 6 простых чисел (т.е. С <= 6). Позже результат был улучшен до C <= 4.

Забавный факт — гипотеза Гольдбаха является частью сюжета испанского фильма 2007 года «Западня Ферма«.

Отказ от ответственности: название статьи вводит в заблуждение. После рассказа о 4 нерешенных задачах я хотел бы показать одну математическую проблему (пятая проблема), которая была недавно решена (в 2004 году).

5. Тест простоты числа принадлежит классу P (2004)

Допустим, вам дано число n = 10089886811898868001. Вас спрашивают, простое ли это число. Первое, что вам приходит на ум, так это, 

Алгоритм A — проверить для каждого числа делится ли n на k. Вы можете оптимизировать этот алгоритм, понимая, что если n не является простым, то n будет иметь такой множитель k, что

Алгоритм B — итак, вы проверяется только

Хорошо, но погодите, что такое «P»?

Говорят, что задача находится в «P», если существует «быстрый» алгоритм, который может решить задачу. В нашем случае задача заключается в том, чтобы определить, является ли заданное n простым числом.

Итак, что такое быстрый алгоритм?

Для любой заданной проблемы у нас имеется размер ввода (назовем его x). Для нашей задачи размер ввода — это количество цифр в числе n. Итак, x = 20 для указанного выше n. В общем случаем, при заданном n,

Алгоритм называется быстрым (алгоритм с полиномиальным временем), если он решает задачу за f(x) шагов, где f — полиномиальная функция. 

Если взглянуть на вышеупомянутые алгоритмы, то получим, что мы имеем n шагов в алгоритме А и шагов в алгоритме B. 

Итак, размер ввода в нашем случае —

Обозначим – количество шагов в алгоритме для данного размера ввода x.

Для алгоритма А,

Для алгоритма B,

В обоих случаях алгоритмы имеют экспоненциальное время. В течение 400 лет математики пытались выяснить, можно ли решить задачу определения простоты числа за полиномиальное время. Оказывается, что да. Новость об этом распространилась в математическом сообщество (особенно среди теоретиков чисел) в 2004 году, когда об этом объявили профессор и двое его студентов из IITK.

Алгоритм (известный как тест простоты AKS) был опубликован в статье под названием «Primes Is In P«, где показывается, что задача (независимо от того, является ли n простым или нет), может быть решена за ~ шагов. Позже были внесены некоторые улучшения, сократившие время до ~ шагов, также выдвигались предположения, что время можно уменьшить и вовсе до ~ шагов (прим. переводчика — предположение оказалось ложным).

---

Дата-центр ITSOFT — размещение и аренда серверов и стоек в двух дата-центрах в Москве. За последние годы UPTIME 100%. Размещение GPU-ферм и ASIC-майнеров, аренда GPU-серверов, лицензии связи, SSL-сертификаты, администрирование серверов и поддержка сайтов.

7 нерешенных задач. Сможет ли с ними справиться молодое поколение?

30 ноября 2017

Современная наука решает сложные задачи: ищет лекарства от тяжелых заболеваний, разбирается в устройстве «черных дыр» и пытается понять, как зародилась жизнь на Земле. Теоретические вопросы кажутся многим малозначительными, ведь непонятно, какую практическую пользу принесут их ответы. Однако именно они и расширяют понимание закономерностей, по которым живет окружающий мир. Поняв эти законы, человечество найдет новые способы улучшить жизнь на Земле и приспособиться к среде обитания на других планетах. Мы собрали семь примеров нерешенных задач из области естественных наук — математики, физики, химии и биологии.

№1. Теорема Римана и математические проблемы тысячелетия
Из школьной программы мы помним о существовании простых чисел: они делятся только на единицу и самих себя. Некоторые из них образуют пары с разницей в 2 (11 и 13, 59 и 61), а иногда — целые скопления (101, 103, 107, 109 и 113). Однако никто точно не знает, сколько таких скоплений существует и какой закономерности они подвержены. Эта задача называется теоремой Римана. Она входит в список нерешенных математических задач тысячелетия. Тому, кто ее решит, Математический институт Клэя выплатит вознаграждение в 1 млн долларов. Кроме того, подтверждение или опровержение теоремы Римана докажет стойкость протоколов на основе открытых кодов шифрования — например, RSA или HTTPS. От их целостности зависит, получат ли злоумышленники информацию пользователей.  

Больше информации о задаче — на сайте.

 

№2. Можно ли выбраться из черной дыры?  

Менее абстрактные задачи предстоит решить современным физикам. Одна из них — о существовании излучения, названного в честь известного физика и популяризатора науки Стивена Хокинга. Согласно его гипотезе, учитывающей квантовую теорию гравитации, черная дыра способна испускать элементарные частицы-фотоны, хотя сама обладает колоссальной силой притяжения. Исходя из этого, у любого объекта в космосе есть шанс выбраться из черной дыры, в том числе и у космического корабля при достаточной мощности двигателей. Однако теория пока не получила окончательного подтверждения и остается гипотезой.  

О деталях этой задачи можно узнать по ссылке.  

№3. Природа шаровой молнии  

Многие видели шаровую молнию, однако ученые так и не разобрались с причинами ее появления. Поняв, по каким законам существуют шаровые молнии, ученые смогут разработать дешевое средство противовоздушной обороны и приблизиться к созданию рабочего термоядерного реактора.  

Подробнее о шаровых молниях и их практическом применении можно узнать по ссылкам.  

№4. 137-й элемент периодической системы — последний?  

С момента первой публикации Дмитрием Менделеевым в 1871 году, таблица химических элементов пополнилась множеством новых. Последний из них — Оганессон — впервые был синтезирован в 2002 году и стал 118-м по счету. Теоретически ученые могут создавать новые химические элементы вплоть до 137-го. После этого скорость вращения электрона вокруг ядра атома на первом энергетическом уровне превысит скорость света. Этот факт нарушает законы физики и ставит под сомнение синтез 138 гипотетического элемента. Синтез новых химических элементов докажет или опровергнет нынешние представления о строении атомов, а также предоставит более совершенное сырье для выработки электроэнергии.  

Узнать больше о задаче можно на сайте.  

№ 5. Истоки жизни на Земле  

В биологии, которая граничит с химией, ученые также бьются над нерешенными вопросами. Одна из наиболее фундаментальных проблем — вопрос о происхождении жизни на Земле. Существующую теорию «первичного бульона», согласно которой органические вещества появились под воздействием солнечного света, молний и других факторов, экспериментально подтвердили американские химики Стэнли Миллер и Гарольд Юри

. Однако эта теория не объясняет, как из хаотичного скопления примитивных органических веществ появилась сложная и «элегантная» молекула ДНК — основа большинства известных живых организмов на земле. Помимо ответа на один из фундаментальных вопросов, понимание истоков происхождения жизни даст людям шанс самим стать «творцами» и синтезировать новые живые существа. Этот факт станет не только прорывом в биологии: он поможет в генной инженерии и биотехнологиях.  

Подробнее о задаче можно узнать по ссылке.  

Задача №6. В чем секрет живучести тихоходок?  

Тихоходки — животные, отдаленно напоминающие медведок и организмы, близкие к членистоногим. Их размер не превышает 1,5 мм, а свое название они оправдывают невероятной медлительностью: средняя скорость их передвижения не превышает 3 мм в минуту. Такой неспешный образ жизни, а также способность высушивать собственное тело позволяют тихоходкам выживать в самых экстремальных условиях: при крайне низких температурах (-273 С), в кипящей воде и даже в открытом космосе под воздействием радиации. В то же время, ученые пока не знают, как механизмы выживания тихоходок можно использовать для человеческих нужд. Открытия в этой области могут помочь ученым создать скафандры, защищающие космонавтов от опасных температур и высокого давления. Кроме того, существование тихоходок на Земле дает исследователям надежду найти похожие формы жизни на других планетах.  

Подробное описание — на сайте.  

№7. Точные долгосрочные прогнозы погоды  

Прошедшее лето в центральной России показало, насколько непредсказуемой и разрушительной может быть природа: череда ураганов тому подтверждение. Службы спасения требуют от метеорологов точных прогнозов погоды, но специалисты уверяют, что здесь всегда возможен элемент случайности. Еще больший вопрос представляют долговременные климатические прогнозы, глобально влияющие на жизнь во всем мире. Сохранившиеся в северном полушарии озера, фьорды и другие геологические образования — лишь незначительное подтверждение изменений, которые могут изменить мир. Ученые знают, что на климат влияет множество факторов: от вулканической активности до интенсивности солнечного излучения. В то же время, исследователи не могут создать комплексную модель, которая смогла бы дать относительно точный прогноз на ближайшие 25 или 50 лет. Такая модель могла бы уберечь людей от стихийных бедствий и подготовить их к переменам в образе жизни.

 

В чем проблема долгосрочных прогнозов погоды можно узнать из видео по ссылке.  

Александр Токарев,
Медиалаборатория Университета Талантов

10 самых увлекательных нерешенных проблем в мире

Эбби Норман | Проверено Саванной Кокс

Опубликовано 7 июня 2015 г.

Обновлено 13 июня 2019 г.

Эти нерешенные вопросы продолжают волновать умы практиков во всех дисциплинах современной науки и гуманитарных наук.

Помимо вездесущей логической задачи «Если дерево упадет в лесу», бесчисленные загадки продолжают будоражить умы практиков во всех дисциплинах современной науки и гуманитарных наук.

Вопросы типа «Есть ли универсальное определение «слова»?», «Цвет в нашем сознании или он существует физически, присущ объектам окружающего нас мира?» и «Какова вероятность того, что завтра взойдет солнце?» продолжают будоражить даже самые проницательные умы.

Взятые из медицины, физики, биологии, философии и математики, вот некоторые из самых увлекательных вопросов без ответа в мире — у вас есть ответ на любой из них?

Интересные нерешенные проблемы: почему клетки совершают самоубийство?

Источник: Giphy

Биохимическое явление, известное как апоптоз, иногда называют «запрограммированной гибелью клеток» или «клеточным самоубийством». По причинам, которые науке еще предстоит полностью понять, клетки, по-видимому, обладают способностью «отмирать» строго регулируемым, ожидаемым образом, который полностью отличается от некроза (гибели клеток, вызванной болезнью или травмой). Где-то от 50 до 80 миллиардов клеток умирает в результате запрограммированной клеточной смерти в среднем человеческом теле каждый день, но механизм этого и даже намерения не совсем понятны.

С одной стороны, слишком большая запрограммированная гибель клеток приводит к атрофии мышц и связана с заболеваниями, вызывающими крайнюю, но в остальном необъяснимую мышечную слабость, тогда как слишком слабый апоптоз позволяет клеткам пролиферировать, что может привести к раку. Общая концепция апоптоза была впервые описана немецким ученым Карлом Фогтом в 1842 году. В ее понимании был достигнут значительный прогресс, но более глубокие загадки этого процесса все еще существуют.

Вычислительная теория разума

Источник: Giphy

Некоторые ученые сравнивают деятельность разума с тем, как компьютер обрабатывает информацию. Таким образом, вычислительная теория разума была разработана в середине 1960-х годов, когда человек и машина впервые начали всерьез бороться за существование друг друга. Проще говоря, представьте, что ваш мозг — это компьютер, а ваш разум — это операционная система, которой он управляет.

В контексте информатики можно провести захватывающую аналогию: теоретически программы производят выходные данные исключительно на основе набора входных данных (внешние стимулы, зрение, звук и т. д.) и памяти (что здесь означает как физическое жесткий диск и нашу психологическую память). Программы выполняются с помощью алгоритмов, которые имеют конечное число шагов, повторяющихся в соответствии с получением различных входных данных. Подобно мозгу, компьютер должен отображать то, что он физически не может вычислить, — и это один из основных аргументов в пользу данной конкретной теории.

Однако вычислительная теория отличается от репрезентативной теории разума тем, что она допускает, что не все состояния являются репрезентативными (например, депрессия) и, следовательно, не будут реагировать на лечение, основанное на вычислениях. Проблема скорее философская, чем какая-либо другая: вычислительная теория разума работает хорошо, за исключением случаев, когда речь идет о том, как «перепрограммировать» депрессивный мозг. Мы не можем перезагрузиться к заводским настройкам.

Эбби Норман — писательница из Новой Англии, в настоящее время пишет мемуары для Nation Books. Ее работы были представлены на The Rumpus, The Independent, Cosmopolitan, Medium, Seventeen, Romper, Bustle и Quartz.

Подпишитесь на информационный бюллетень ATI

Нерешенные проблемы в алгоритмах

Получите БЕСПЛАТНЫЙ домен на 1 год и создайте свой новый сайт

Алгоритмы кажутся простыми, но в алгоритмах есть несколько нерешенных проблем. Мы перечислили некоторые из самых простых нерешенных задач, таких как гипотеза динамической оптимальности, которые вам следует знать.

1. Растопыренные деревья тоже работают?
2. Все пары кратчайших путей
3. Самое быстрое умножение матриц
4. Временная сложность Shellsort
5. Гипотеза экспоненциального времени
6. Сложность минимального остовного дерева

Некоторые из официальных нерешенных проблем алгоритмов:

• Гипотеза динамической оптимальности
• Гипотеза обхода
• Гипотеза Деке
• Гипотеза раскола

В этой части мы рассмотрим 4 связанные гипотезы:

• Гипотеза динамической оптимальности
• Гипотеза обхода
• Гипотеза Деке
• Гипотеза раскола

Да, Splay Tree — это обычное двоичное дерево поиска (BST), но о нем известно не все. Одна из сложных задач:

Работают ли расширенные деревья так же хорошо, как любой другой алгоритм двоичного дерева поиска?

Это известно как ” гипотеза динамической оптимальности » и упоминается в статье Слейтора и Тарьяна о расширенных деревьях.

Гипотеза утверждает, что расширенные деревья работают так же, как и другие бинарные деревья поиска с постоянным коэффициентом. Обратите внимание, что производительность различных операций расширенного дерева была доказана. но эта гипотеза до сих пор не доказана

Точная формулировка гипотезы динамической оптимальности:

Пусть A — любой алгоритм бинарного дерева поиска, который обращается к элементу x, проходя путь от корня к x по цене d(x) +1, а между доступами можно совершать любые повороты в дереве по цене 1 за оборот. Пусть A(S) будет стоимостью для A выполнения последовательности доступов S. Тогда стоимость для расширенного дерева, чтобы выполнить то же самое доступов составляет O[n + A(S)].

Есть еще 3 гипотезы, связанные с этой гипотезой:

• Гипотеза обхода
• Гипотеза Деке
• Гипотеза раскола

Обход Гипотеза утверждает, что если есть два растянутых дерева с одинаковыми элементами, то обход определенной последовательности элементов в прямом порядке должен быть линейным для обоих деревьев. (3−ϵ)) для некоторого ϵ>0? 94/3).

Есть два алгоритма Tokuda, 1992 и Ciura, 2001, временная сложность которых до сих пор неизвестна.

Нерешенная проблема:

Можно ли вычислить расстояние редактирования между двумя строками длины n за строго субквадратичное время?

Если гипотеза сильного экспоненциального времени ложна, то только расстояние редактирования может быть вычислено в субквадратичном времени.

Гипотеза экспоненциального времени утверждает, что задача 3-SAT не может быть решена за субэкспоненциальное время в худшем случае.

Если это будет доказано, то знаменитая проблема P = NP будет решена (то есть опровергнута).

Какова алгоритмическая сложность задачи о минимальном связующем дереве?

Основная проблема для решения этой проблемы:
Какова сложность дерева решений задачи MST?

Оптимальный алгоритм вычисления MST известен, но он основан на деревьях решений, поэтому его сложность неизвестна.

Попробуйте эти задачи и посмотрите, сможете ли вы решить одну из этих нерешенных задач в алгоритмах.