Решение высшей математики онлайн
‹– Назад
Рассмотрим теперь поподробнее понятие обратной функции, введённое в начале главы.
Если — взаимно-однозначное отображение (биекция), то для любого однозначно определен такой элемент , что . Тем самым однозначно определено соответствие , называемое обратной функцией по отношению к функции . Обратная функция для обозначается . Таким образом,
Очевидно, что согласно определению мы имеем тождество , то есть композиция — это тождественное отображение , для любого . Точно так же , то есть , , , если .
Последнее утверждение означает, что функция, обратная к , равна : , то есть что функции и — это две взаимно обратные функции.
Пример 1.21 Если — ограничение функции на отрезок (это ограничение называется главной ветвью синуса), то отображение — биекция.
Рис.1.31.Главная ветвь синуса
Поэтому существует обратная функция , называемая арксинусом и обозначаемая или (второе обозначение употребляется в англоязычной математической и инженерной литературе). Таким образом,
если и
Пример 1.22 Аналогично определяется функция арккосинус (обозначается или ). Это функция, обратная к ограничению функции на отрезок (такое ограничение называется главной ветвью косинуса):
если и
Рис.
1.32.Главная ветвь косинуса
Пример 1.23 Функция арктангенс (обозначается , или , или ) — это функция, обратная к ограничению функции на интервал , то есть обратная к главной ветви тангенса:
Так как — это биекция, то обратная функция определена при всех :
если и
Рис.1.33.Главная ветвь тангенса
Упражнение 1.4 Дайте определение функции арккотангенс (обозначается ), рассмотрев главную ветвь котангенса — ограничение функции на интервал .
Упражнение 1.5 Вспомните или выведите простые соотношения, которым удовлетворяют значения функций:
а) и ;
б) и .
График обратной функции получается из графика исходной функции , если у каждой точки графика поменять местами координаты и :
так как состоит из таких точек , что , а — из таких точек , что ; но, согласно определению обратной функции, равенства и эквивалентны.
В случае, когда , , перестановка координат геометрически может быть описана как преобразование симметрии относительно прямой , то есть относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Рис.
1.34.Симметричные точки графиков функций и
Значит (в случае , ), графики и симметричны относительно этой биссектрисы, если ось, по которой откладываются значения аргумента функции, каждый раз размещать горизонтально.
Рис.1.35.Графики взаимно обратных функций расположены симметрично
Пример 1.24 Согласно с последним замечанием, мы легко построим теперь графики обратных тригонометрических функций и :
Рис.1.36.Графики главной ветви и
Рис.1.37.Графики главной ветви и
Рис.1.38.Графики главной ветви и
Рис.
1.39.Графики главной ветви и
Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции
Производные обратных тригонометрических функций Калькулятор и решатель
Получите подробные решения ваших математических задач с помощью нашего пошагового калькулятора
Производные обратных тригонометрических функций .
Практикуйте свои математические навыки и учитесь шаг за шагом с помощью нашего математического решателя. Проверьте все наши онлайн-калькуляторы здесь!1
2
3
4
5
6
7
8
9 99
B
C
D
F
G
M
N
U
V
W
x
Y
Z
.
(◻)
+
–
×
◻/◻
/
÷
◻ 2
◻ ◻
√◻
√
◻ √ ◻
◻ √
∞
e
π
ln
log
log ◻
lim
d/dx
D □ x
∫
∫ ◻
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc
asin
acos
atan
acot
асек
acsc
sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch
acosh
atanh
acoth
asech
acsch
Пример
Решенные проблемы
Сложные задачи
1
Решенный пример производных обратных тригонометрических функций 92}}$
Проблемы с математикой?
Доступ к подробным пошаговым решениям тысяч проблем, число которых растет с каждым днем!
Производная обратной функции — eMathHelp
Теперь воспользуемся неявным дифференцированием, чтобы найти производные обратных функций.