Обратный ход метода гаусса: Метод Гаусса. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Обратный ход метода Гаусса.

Обратный ход метода состоит в последовательном вычислении неизвестных. Решая последнее, уравнение находим единственное значение . Далее, используя это значение, находим значение неизвестного в предпоследнем уравнении. Последним определяем значение неизвестного в первом уравнении.

Обратный ход для решения системы (5.3) начинается с решения

.

Затем, используя значения , определяем из второго уравнения:

;

и из первого:

.

На этом заканчивается обратный ход метода Гаусса.

Аналогичным образом строится вычислительный алгоритм для линейной системы с произвольным числом уравнений.

Блок-схема решения методом Гаусса системы n линейных уравнений (Рис.5.1).

(Выносится на самостоятельную работу )

Левая часть блок-схемы соответствует прямому ходу. Здесь i-ый номер, из которого исключается неизвестное ; j-ый номер столбца; К – номер неизвестного, которое исключается из оставшихся уравнений (а также номер того уравнения, с помощью которого исключается ). Операция перестановки уравнений (т.е. перестановки соответствующих коэффициентов) служит для предотвращения деления на нулевой элемент. Правая часть блок-схемы описывает процесс обратного хода. Здесь

i-ый номер неизвестного, которое определяется из i-ого уравнения; номера уже найденных неизвестных.

Рисунок 5.1 – Блок – схема решения системы линейных уравнений методом

Гаусса

Лекция 6

Итерационные методы.

Метод Гаусса-Зейделя.

Этот метод является одним из самых распространенных итерационных методов, отличается простотой и легкостью программирования.

Рассмотрим этот метод на примере решения системы трех уравнений:

,

, (6.1)

.

Предположим, что диагональные элементы отличны от нуля. Выразим неизвестные соответственно из 1,2,3 уравнений системы:

, (6.2)

, (6.3)

. (6.4)

Зададим некоторые начальные (нулевые) приближения значений неизвестных:

Подставляя эти значения в правую часть выражения (6. 2) получаем новое (первое) приближение для :

. (6.5)

Используя это приближение для и приближение для , находим из (6.3) первое приближение для :

. (6.6)

И, наконец, используя вычисленные значения , находим с помощью выражения (6.4) первое приближение для :

. (6.7)

На этом заканчивается первая итерация решения системы (6.2-6.4). Используя теперь значения можно таким же способом выполнить к решению и т.д. Приближение с номером К можно представить в виде:

,

, (6.8)

.

Итерационный процесс выполняется до тех пор, пока значения не станут близкими к значениям с заданной погрешностью.

Блок-схема метода итераций.

Как показано на рисунке 6.1, первоначально вводятся исходные данные, например коэффициенты уравнения и допустимое значение погрешности. Задаются также начальные приближения значений неизвестных. (Они вычисляются заранее, например, прямым методом). Затем организуется циклический вычислительный процесс, каждый цикл которого представляет собой одну итерацию. В результате каждой итерации получаются новые значения неизвестных. При малом (с заданной допустимой погрешностью) изменении этих значений на двух последовательных итерациях процесс прекращается, и происходит вывод значений неизвестных, полученных на последней итерации.

В данной схеме не предусмотрен случай отсутствия сходимости. Для таких случаев, чтобы избежать большого числа вычислений, в алгоритм вводится счетчик итераций, который прекращает счет после достижения некоторого значения.

Рисунок 6. 1- Блок-схема метода итераций

Блок-схема метода Гаусса-Зейделя.

(Выносится на самостоятельную работу студентов)

В качестве исходных данных вводятся коэффициенты и правые части уравнений системы, погрешность ε, допустимое число итераций М, а также начальные приближения переменных . Начальные приближения можно не вводить в программу, а полагать их равными некоторым значениям, например нулю.

Обозначения: К – порядковый номер итерации; – номер уравнения; а также переменного, которое вычисляется в данном цикле; – номер члена вида в правой части соотношения (6.9):

, . (6.9)

δ – критерий окончания итерационного процесса.

< ε. (6.10)

Итерации прекращаются либо после выполнения условия (6.10), либо при К=М.

Уточнение решений.

(Выносится на самостоятельную работу )

Так как решения, получаемые прямыми методами, содержат погрешности, вызванные округлениями чисел, то для уменьшения погрешностей используются итерационные методы.

Рассмотрим уточнение решения с помощью итерационного метода на примере системы линейных уравнений (3.1).

Пусть с помощью прямого метода вычислены приближенные значения неизвестных Подставляя это решение в левые части системы (3.1), получаем некоторые значения , отличные от :

,

, (6.11)

………………………….

.

Введем обозначения: – погрешности значений неизвестных; – невязки, т.е. , , . (6.12)

Вычитая каждое уравнение системы (6.

11) из соответствующего уравнения системы (3.1) и используя введенные обозначения (6.12) получаем:

,

, (6.13)

………………………….

.

Решая эту систему, находим значение погрешностей , которые используем в качестве поправок к решению.

Следующие приближения имеют вид:

, , …, .

Таким же образом можно найти новые поправки к решению следующие приближения переменных и т.д. Процесс продолжается до тех пор, пока все очередные значения погрешностей (поправок) не станут достаточно малыми.

Процесс уточнения решения представляет итерационный метод решения системы линейных уравнений. При этом для нахождения очередного приближения, т.е. на каждой итерации решаются системы уравнений вида (6.13) с одной и той же матрицей, являющейся матрицей исходной системы (3. 1) при разных правых частях. Это позволяет строить упрощенные алгоритмы.

Вычислительные методы для инженеров

Вычислительные методы для инженеров

Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 1994. — 544 с. В книге рассматриваются вычислительные методы, наиболее часто используемые в практике инженерных и научно-технических расчетов: методы решения задач линейной алгебры и нелинейных уравнений, проблема собственных значений, методы теории приближения функций, численное дифференцирование и интегрирование, поиск экстремумов функций, решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Значительное внимание уделяется особенностям реализации вычислительных алгоритмов на ЭВМ и оценке достоверности полученных результатов. Имеется большое количество примеров и геометрических иллюстраций. Для студентов и аспирантов технических вузов, а также для инженеров и научных работников, применяющих вычислительные методы. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭВМ § 1.2. Основные этапы решения инженерной задачи с применением ЭВМ § 1.3. Вычислительный эксперимент § 1.4. Дополнительные замечания Глава 2. ВВЕДЕНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНУЮ ТЕОРИЮ ПОГРЕШНОСТЕЙ § 2.1. Источники и классификация погрешностей результата численного решения задачи § 2.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности 2. Правила записи приближенных чисел. 3. Округление. § 2.3. Погрешности арифметических операций над приближенными числами § 2.4. Погрешность функции § 2.5. Особенности машинной арифметики 2. Представление целых чисел. 3. Представление вещественных чисел. 4. Арифметические операции над числами с плавающей точкой. 5. Удвоенная точность. 6. Вычисление машинного эпсилон. § 2.6. Дополнительные замечания Глава 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ § 3.2. Обусловленность вычислительной задачи 2. Примеры плохо обусловленных задач. 3. Обусловленность задачи вычисления значения функции одной переменной. 4. Обусловленность задачи вычисления интеграла … 5. Обусловленность задачи вычисления суммы ряда. § 3.3. Вычислительные методы § 3.4. Корректность вычислительных алгоритмов § 3.5. Чувствительность вычислительных алгоритмов к ошибкам округления § 3.6. Различные подходы к анализу ошибок § 3.7. Требования, предъявляемые к вычислительным алгоритмам § 3.8. Дополнительные замечания Глава 4. МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ § 4.2. Обусловленность задачи вычисления корня § 4.3. Метод бисекции § 4.4. Метод простой итерации § 4.5. Обусловленность метода простой итерации § 4. 6. Метод Ньютона § 4.7. Модификации метода Ньютона § 4.8. Дополнительные замечания Глава 5. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ § 5.2. Нормы вектора и матрицы § 5.3. Типы используемых матриц § 5.4. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений § 5.5 Метод Гаусса § 5.6. Метод Гаусса и решение систем уравнений с несколькими правыми частями, обращение матриц, вычисление определителей § 5.7. Метод Гаусса и разложение матрицы на множители. LU-разложение § 5.8. Метод Холецкого (метод квадратных корней) § 5.9. Метод прогонки § 5.10. QR-разложение матрицы. Методы вращений и отражений § 5.11. Итерационное уточнение § 5.12. Дополнительные замечания Глава 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ § 6.1. Метод простой итерации § 6.2. Метод Зейделя § 6.3. Метод релаксации § 6.4. Дополнительные замечания Глава 7. МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ § 7. 2. Метод простой итерации § 7.3. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений 7.4. Модификации метода Ньютона § 7.5. О некоторых подходах к решению задач локализации и отыскания решений систем нелинейных уравнений § 7.6. Дополнительные замечания Глава 8. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ § 8.2. Степенной метод § 8.3. Метод обратных итераций § 8.4. QR-алгоритм § 8.5. Дополнительные замечания Глава 9. МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОЙ МИНИМИЗАЦИИ § 9.2. Обусловленность задачи минимизации § 9.3. Методы прямого поиска. Оптимальный пассивный поиск. Метод деления отрезка пополам. Методы Фибоначчи и золотого сечения § 9.4. Метод Ньютона и другие методы минимизация гладких функций § 9.5. Дополнительные замечания Глава 10. МЕТОДЫ МНОГОМЕРНОЙ МИНИМИЗАЦИИ § 10.1. Задача безусловной минимизации функции многих переменных § 10.2. Понятие о методах спуска. Покоординатный спуск § 10.3. Градиентный метод § 10.4. Метод Ньютона § 10. 5. Метод сопряженных градиентов § 10.6. Метода минимизации без вычисления производных § 10.7. Дополнительные замечания Глава 11. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ § 11.2. Интерполяция обобщенными многочленами § 11.3. Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа § 11.4. Погрешность интерполяции § 11.5. Интерполяция с кратными узлами § 11.6. Минимизация оценки погрешности интерполяции. Многочлены Чебышева § 11.7. Конечные разности § 11.8. Разделенные разности § 11.9. Интерполяционный многочлен Ньютона. Схема Эйткена § 11.10. Обсуждение глобальной полиномиальной интерполяции. Понятие о кусочно-полиномиальной интерполяции § 11.11. Интерполяция сплайнами § 11.12. Понятие о дискретном преобразовании Фурье и тригонометрической интерполяции § 11.13. Метод наименьших квадратов § 11.14. Равномерное приближение функций § 11.15. Дробно-рациональные аппроксимации и вычисление элементарных функций § 11.16. Дополнительные замечания Глава 12. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ § 12.1. Простейшие формулы численного дифференцирования § 12.2. О выводе формул численного дифференцирования § 12.3. Обусловленность формул численного дифференцирования § 12.4. Дополнительные замечания Глава 13. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 13.2. Квадратурные формулы интерполяционного типа § 13.3. Квадратурные формулы Гаусса § 13.4. Апостериорные оценки погрешности. Понятие об адаптивных процедурах численного интегрирования § 13.5. Вычисление интегралов в нерегулярных случаях § 13.6. Дополнительные замечания Глава 14. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 14.1. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка § 14.2. Численные методы решения задачи Коши. Основные понятия и определения § 14.3. Использование формулы Тейлора § 14.4. Метод Эйлера § 14.5. Модификации метода Эйлера второго порядка точности § 14.6. Методы Рунге-Кутты § 14.7. Линейные многошаговые методы. Методы Адамса § 14.8. Устойчивость численных методов решения задачи Коши § 14.9. Неявный метод Эйлера § 14.10. Решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений m-го порядка § 14.11. Жесткие задачи § 14.12. Дополнительные замечания Глава 15. РЕШЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ § 15.1. Краевые задачи для одномерного стационарного уравнения теплопроводности § 15.2. Метод конечных разностей: основные понятия § 15.3. Метод конечных разностей: аппроксимации специального вида § 15.4. Понятие о проекционных и проекционно-разностных методах. Методы Ритца и Гадеркина. Метод конечных элементов § 15.5. Метод пристрелки § 15.6. Дополнительные замечания

матриц – обратная матрица вращения с использованием исключения Гаусса-Жордана

Задавать вопрос

спросил 9 лет, 3 месяца назад

Изменено 7 лет, 9 месяцев назад

Просмотрено 7к раз

$\begingroup$ 9T$

, но я не могу вычислить обратное с помощью исключения $Gauss-Jordan$, то есть я не знаю, как вычесть $\cos\theta$ из $\sin\theta$ во второй строке. Все становится немного сложнее; Я осмотрелся, и ни у кого нет метода полного шага, использующего $G.-J.$ только решение или метод транспонирования. Может ли кто-нибудь предоставить мне полное решение с использованием $G.-J.$?

• матрицы

$\endgroup$

$\begingroup$ 92t}{\cos t}&\sin t\\ 0&1&|&-\sin t&\cos t \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 &0&|&\cos t&\sin t\\ 0&1&|&-\sin t&\cos t \end{bmatrix} $$

Это ужасный метод вычисления обратной любой матрицы $2\times 2$.

Редактировать: конечно это не работает, когда $\cos t=0$; но это гораздо более простой случай: вы просто делите на $\sin t$ и переставляете строки.

$\endgroup$

92\\ \end{bmatrix} Разделите итоговую строку на $c$ \begin{bматрица} 1 и 0 &| &c &s\\ 0 и 1 &| &-с и с\\ \end{bmatrix} Опять же, если вы хотите сделать конкретные случаи для тета $(=\pi/2,0,etc. )$, просто подставьте эти конкретные значения $\theta$. Заметьте, я не перенес никаких дробей; каждый раз я делил на триггерный член, если полностью сокращались члены в числителях.

$\endgroup$

$\begingroup$

Для упрощения обозначений пусть $s = \sin (\theta)$, $c = \cos(\theta)$. 92 и СБН \end{bmatrix} \сим \\ &\begin{bmatrix} 1 и 0 \\ п/к и 1 \end{bmatrix} \конец{выравнивание*} $$ тогда заканчивай!

Если $\theta = \pm \pi/2$, то $\theta \neq 0$ или $\pi$, поэтому выполните аналогичный набор операций, сначала поменяв местами две строки и закончив делением на $ \грех$.

КЭД

$\endgroup$

2.4: Обратные матрицы — Математика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

37849

• Рупиндер Секон и Роберта Блум
• Колледж Де Анза

Цели обучения

В этом разделе вы научитесь:

1. Находить обратную матрицу, если она существует. 9{-1}\).

   Пример \(\PageIndex{1}\)

   Имея приведенные ниже матрицы \(A\) и \(B\), убедитесь, что они обратные.

   \[A=\left[\begin{array}{ll}
   4 & 1 \\
   3 & 1
   \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{cc }
   1 & -1 \\
   -3 & 4
   \end{array}\right] \nonumber \]

   Решение

   Матрицы являются обратными, если произведение \(AB\) и \(BA\ ) оба равны единичной матрице размерности \(2 \times 2\): \(I_2\),

   \[\mathrm{AB}=\left[\begin{array}{ll}
   4 & 1 \\
   3 & 1
   \end{массив}\right]\left[\begin{массив}{cc }
   1 & -1 \\
   -3 & 4
   \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
   1 & 0 \\
   0 & 1
   \end{array} \right]=\mathrm{I}_{2} \nonumber \]

   и

   \[\mathrm{BA}=\left[\begin{array}{cc}
   1 & -1 \\
   – 3 и 4
   \end{массив}\right]\left[\begin{array}{ll}
   4 & 1 \\
   3 & 1
   \end{массив}\right]=\left[\begin{массив {ll}
   1 & 0 \\
   0 & 1
   \end{массив}\right]=\mathrm{I}_{2} \nonumber \]

   Очевидно, что это так; следовательно, матрицы A и B обратны друг другу.

   Пример \(\PageIndex{2}\)

   Найдите обратную матрицу \(\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}
   3 & 1 \\
   5 & 2
   \ конец{массив}\справа]\).

   Решение

   Предположим, \(A\) имеет обратное значение, и оно равно

   \[B=\left[\begin{array}{ll}
   a & b \\
   c & d
   \end{массив}\right] \nonumber \]

   Затем \(AB = I_2\): \(\left[\begin{array}{cc}
   3 & 1 \\
   5 & 2
   \end{массив}\right]\left[\begin{array}{ll}
   a & b \\
   c & d
   \end{массив}\right]=\left[ \begin{array}{ll}
   1 & 0 \\
   0 & 1
   \end{array}\right]=I_{2}\)

   После умножения двух матриц в левой части мы получаем

   \[\left[\begin{array}{cc}
   3 a+c и 3 b+d \\
   5 a+2 c и 5 b+2 d
   \end{массив}\right]=\left[\begin{массив}{cc}
   1 & 0 \\
   0 & 1
   \end{массив}\ right] \nonumber \]

   Приравнивая соответствующие записи, получаем четыре уравнения с четырьмя неизвестными:

   \[\begin{array}{ll}
   3 a+c=1 & 3 b+d=0 \\
   5 a+2 c=0 & 5 b+2 d=1
   \end{array} \nonumber \]

   Решая эту систему, получаем: \(a = 2 \quad b = -1 \quad c = – 5 \quad d = 3\)
   Следовательно, обратной матрицей \(A\) является \(B=\left[\begin{array}{cc}
   2 & -1 \\
   -5 & 3
   \end{массив}\right] \nonnumber\)

   В этой задаче нахождение обратной матрицы \(A\) сводилось к решению системы уравнений:

   \[\begin{array}{ll}
   3 a+c=1 и 3 b+d=0 \\
   5 a+2 c=0 и 5 b+2 d=1
   \end{array} \ не число \]

   На самом деле это можно записать как две системы, одну с переменными \(a\) и \(c\), а другую с \(b\) и \(d\). Расширенные матрицы для обоих приведены ниже.

   \[\left[\begin{array}{llll}
   3 & 1 & | & 1 \
   5 & 2 & | & 0
   \end{массив}\right] \text { и }\left[\begin{массив}{llll}
   3 & 1 & | & 0 \
   5 & 2 & | & 1
   \end{массив}\right] \nonumber \]

   Глядя на две расширенные матрицы, мы замечаем, что матрица коэффициентов для обеих матриц одинакова. Это означает, что операции над строками метода Гаусса-Жордана также будут такими же. Можно сэкономить много работы, если два правых столбца сгруппировать вместе, чтобы сформировать одну расширенную матрицу, как показано ниже. 9{-1}\) матрица.

   То, что вы только что видели, не случайно. Это метод, который часто используется для нахождения обратной матрицы. Перечислим шаги следующим образом:

   Метод нахождения обратной матрицы

   1. Запишите расширенную матрицу \([ A | I_n ]\).

   2. Запишите расширенную матрицу из шага 1 в сокращенной ступенчатой ​​форме строк.

   3. Если редуцированная ступенчатая форма строки в 2 есть \([ I_n | B]\), то \(B\) является обратной формой \(A\).

   4. Если левая часть редуцированного эшелона строки не является единичной матрицей, то обратной не существует.

   Пример \(\PageIndex{3}\)

   Учитывая приведенную ниже матрицу A, найдите ее обратную.

   \[A=\left[\begin{array}{ccc}
   1 & -1 & 1 \\
   2 & 3 & 0 \\
   0 & -2 & 1
   \end{массив}\right] \номер\]

   Решение

   Расширенную матрицу запишем следующим образом.

   \[\left[\begin{массив}{ccccccc}
   1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\
   2 & 3 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\
   0 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 1
   \end{массив}\right] \nonumber \]

   Мы уменьшим эту матрицу, используя метод Гаусса-Жордана.

   Умножив первую строку на -2 и прибавив ее ко второй строке, мы получим

   \[\left[\begin{array}{ccccccc}
   1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\
   0 & 5 & -2 & | &-2&1&0\
   0 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 1
   \end{array}\right] \nonumber \]

   Если мы поменяем местами вторую и третью строки, мы получим

   \[\left[\begin{array}{ccccccc}
   1 & -1 и 1 и | & 1 & 0 & 0 \\
   0 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\
   0 & 5 & -2 & | & -2 & 1 & 0
   \end{массив}\right] \nonumber \]

   Разделить вторую строку на -2. Результат:

   \[\left[\begin{array}{ccccccc}
   1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & -1 / 2 & | & 0 & 0 & -1 / 2 \\
   0 & 5 & -2 & | & -2 & 1 & 0
   \end{массив}\right] \nonumber \]

   Выполним здесь две операции. 1) Прибавьте вторую строку к первой, 2) Прибавьте -5 раз вторую строку к третьей. И мы получаем

   \[\left[\begin{array}{ccccccc}
   1 & 0 & 1 / 2 & | & 1 & 0 & -1 / 2 \\
   0 & 1 & -1 / 2 & | &0&0&-1/2\
   0 и 0 и 1 / 2 и | & -2 & 1 & 5 / 2
   \end{array}\right] \nonumber \]

   Умножение третьей строки на 2 дает

   \[\left[\begin{array}{ccccccc}
   1 & 0 и 1 / 2 и | & 1 & 0 & -1 / 2 \\
   0 & 1 & -1 / 2 & | & 0 & 0 & -1 / 2 \\
   0 & 0 & 1 & | & -4 & 2 & 5
   \end{массив}\right] \nonumber \]

   Умножьте третью строку на 1/2 и прибавьте ко второй. 9{-1}=\left[\begin{array}{rrr}
   3 & -1 & -3 \\
   -2 & 1 & 2 \\
   -4 & 2 & 5
   \end{массив}\right ]\)

   Нужно проверить результат, перемножив две матрицы, чтобы увидеть, действительно ли произведение равно единичной матрице.

   Теперь, когда мы знаем, как найти обратную матрицу, мы будем использовать обратную сторону для решения систем уравнений. Этот метод аналогичен решению простого уравнения, подобного приведенному ниже. \[ \frac{2}{3}x = 4 \nonumber \]

   Пример \(\PageIndex{4}\)

   Решите следующее уравнение: \(\frac{2}{3}x = 4\)

   Решение

   Чтобы решить приведенное выше уравнение, мы умножаем обе части уравнения мультипликативным обратным к \(\frac{2}{3}\), которое оказывается равным \(\frac{3}{2}\). Получаем

   \[\begin{array}{l}
   \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} x=4 \cdot \frac{3}{2} \\
   x =6
   \конец{массив} \номер\]

   Мы используем пример \(\PageIndex{4}\) в качестве аналогии, чтобы показать, как решаются линейные системы вида \(AX = B\).

   Чтобы решить линейную систему, сначала запишем систему в виде матричного уравнения \(AX = B\), где \(A\) – матрица коэффициентов, \(X\) – матрица переменных, а \(B\ ) матрица постоянных членов.
   Затем мы умножаем обе части этого уравнения на мультипликативную обратную матрицу \(A\).

   Рассмотрим следующий пример.

   Пример \(\PageIndex{5}\)

   Решите следующую систему

   \begin{aligned}
   3 x+y&=3 \\
   5 x+2 y&=4
   \end{align}

   Решение

   Чтобы решить приведенное выше уравнение, сначала мы представим систему как

   \[AX = B \nonumber \]

   , где A – матрица коэффициентов, а B – матрица постоянных терминов. Получаем

   \[\left[\begin{array}{ll}
   3 & 1 \\
   5 & 2
   \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
   x \ \
   y
   \end{массив}\right]=\left[\begin{array}{l}
   3 \\
   4
   \end{массив}\right] \nonumber \] 9{-1}\), получаем

   \[\begin{array}{c}
   {\left[\begin{array}{cc}
   2 & -1 \\
   -5 & 3
   \end{ array}\right]\left[\begin{array}{cc}
   3 & 1 \\
   5 & 2
   \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
   x \\
   y
   \end{массив}\right]=\left[\begin{array}{cc}
   2 & -1 \\
   -5 & 3
   \end{массив}\right]\left[\begin{ array}{c}
   3 \\
   4
   \end{массив}\right]} \\
   {\left[\begin{массив}{cc}
   1 & 0 \\
   0 & 1
   \end{массив}\right]\left[\begin{array}{c}
   x \\
   y
   \end{массив}\right]=\left[\begin{array}{c}
   2 \ \
   -3
   \end{массив}\right]} \\
   {\left[\begin{array}{c}
   x \\
   y
   \end{массив}\right]=\left[\begin {array}{c}
   2 \\
   -3
   \end{array}\right]}
   \end{array} \nonumber \]

   Следовательно, \(x = 2\) и \(y = -3\).

   Пример \(\PageIndex{6}\)

   Решите следующую систему:

   \begin{aligned}
   x-y+z &=6 \\
   2 x+3 y &=1 \\
   -2 y+z &=5
   \end{aligned}

   Решение

   Чтобы решить приведенное выше уравнение, запишем систему в матричной форме \(AX = B\) следующим образом:

   \[\left[\begin{array}{rrr}
   1 & -1 & 1 \\
   2 & 3 & 0 \\
   0 & -2 & 1
   \end{array }\right]\left[\begin{array}{l}
   x \\
   y \\
   z
   \end{массив}\right]-\left[\begin{array}{l}
   6 \\
   1 \\
   5
   \конец{массив}\право] \номер\] 9{-1}\), получаем

   \[\left[\begin{array}{rrr}
   3 & -1 & -3 \\
   -2 & 1 & 2 \\
   -4 & 2 & 5
   \end{массив}\right]\left[\begin{array}{rrr}
   1 & 1 & 1 \\
   2 & 3 & 0 \\
   0 & 2 & 1
   \end{массив}\right ]\left[\begin{array}{l}
   x \\
   y \\
   z
   \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}
   3 & -1 & – 3 \\
   -2 & 1 & 2 \\
   -4 & 2 & 5
   \end{массив}\right]\left[\begin{массив}{l}
   6 \\
   1 \\
   5
   \end{array}\right] \nonumber \]

   После перемножения матриц получаем

   \begin{aligned}
   {\left[\begin{array}{ lll}
   1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 1
   \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
   x \\
   y \\
   z
   \end{массив}\right]=\left[\begin{array}{r}
   2 \\
   -1 \\
   3
   \end{массив}\right]} \\
   { \left[\begin{array}{l}
   x \\
   y \\
   z
   \end{массив}\right]=\left[\begin{array}{r}
   2 \\
   -1 \\
   3
   \end{массив}\right]}
   \end{выровненный}

   Напоминаем читателю, что не всякая система уравнений может быть решена методом обращения матриц. Хотя метод Гаусса-Жордана работает для любой ситуации, метод обратной матрицы работает только в тех случаях, когда существует обратная квадратная матрица. В таких случаях система имеет единственное решение.

   Метод нахождения обратной матрицы

   1. Запишите расширенную матрицу \(\left[\mathrm{A} | \mathrm{I}_{\mathrm{n}}\right]\).
   2. Запишите расширенную матрицу на шаге 1 в сокращенной эшелонированной форме строк.
   3. Если редуцированная форма эшелона строк в 2 имеет вид \(\left[\mathrm{I}_{\mathrm{n}} | \mathrm{B}\right]\), то \(B\) является обратным \(А\).
   4. Если левая часть редуцированного эшелона строки не является единичной матрицей, обратная матрица не существует.

   Метод решения системы уравнений при наличии единственного решения 9{-1}B \text{ где } I \text{ — единичная матрица} \nonumber \]

   ---

   Эта страница под названием 2.4: Inverse Matrices распространяется под лицензией CC BY 4.