Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Общий вид линейного д.у.1: непрерывные функции или постоянные. Если, то уравнениерешается как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Рассмотрим уравнения:
1) Это уравнение является линейным по определению
,но лучше рассматривать его как уравнение с разделяющимися переменными:
2) Это уравнение не является линейным, т. к. функцияy в уравнении имеет не первую степень, а выше
3)
Уравнение является
линейным по определению. Но проще
рассматривать его как однородное д.у.1:
где– однородная функция нулевого измерения.
Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка
Общее решение ищется в виде гденекоторые функции.
Покажем на примере, что любую функцию можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых выбирается произвольно, а вторая зависит от этого выбора.
Пусть . Можнопредставить в виде различных пар множителей:
где первый множитель выбирается произвольно.
Указанная подстановка приводит линейное д.у.1 к решению двух д.у. с разделяющимися переменными. Покажем это в общем виде. В линейное уравнениеподставимПолучим
. (4)
Выберем функцию u такой, чтобы
(5)
Уравнение (5) – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
Интегрируя, найдем функцию без
учета произвольной
постоянной.
Подставим найденную функцию
в уравнение (4) и получимдифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными (3). Его общее решение
позволит получить второй множитель
Тогда общее решение линейного д. у. 1.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
Решаем подстановкой
(6)
подставим в (6).
Общее решение:
Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения
Подстановка: .
(7)
Подставим найденную функцию u в уравнение (7):
Таким образом, общее решение данного уравнения будет иметь вид
или
Найдем частное решение дифференциального решения, удовлетворяющее начальному условию
Следовательно, искомое частное решение такое:
Уравнения, приводящиеся к линейным (уравнения Бернулли)
Здесь n
– действительное число, причем при n
= 0 получим линейное уравнение; при
получим уравнение с разделяющимися
переменными. Приуравнение Бернулли приводится к
линейному, поэтому решается подстановкойПример. Найти общее решение уравнения
Разделив левую и правую части уравнения на х, представим его в виде
. Можно утверждать, что это уравнение имеет общий вид
т. е. является уравнением Бернулли. Решаем его подстановкой
где – вспомогательные функции.
Подставим в исходное уравнение:
(8)
Для получения общего интеграла найдем
или
.
Замечание. Неопределенный интеграл найден с применением
формулы интегрирования по частям:
Производим подстановку
;.
Тогда
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕВВЕДЕНИЕ Вопросы для самопроверки Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. 3. Однородные уравнения. 4. Уравнения в полных дифференциалах. 5. Определение типа дифференциального уравнения. Вопросы для самопроверки § 2. РЕШЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2. Составление дифференциального уравнения по условию физической задачи. 3. Решение геометрических задач с помощью дифференциальных уравнений. 4. Дифференциальное уравнение семейства кривых. Ортогональные траектории. 5. Решение задач с помощью интегральных уравнений. Упражнения § 3. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 1.  2. Системы дифференциальных уравнений. Вопросы для самопроверки Глава II. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Поле направлений. 2. Поле направлений и дифференциальные уравнения. Вопросы для самопроверки § 2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 1. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения у’ = f(x,y). 2. Теорема существования и единственности решений дифференциальных уравнений высшего порядка. 3. Дифференциальные уравнения и степенные ряды. 4. Приближенное решение дифференциальных уравнений. § 3. ОБЩЕЕ, ЧАСТНОЕ И ОСОБОЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1. Общее и частное решения дифференциального уравнения. 2. Особые точки и особые решения дифференциального уравнения у’ = f(x, у). 3. Огибающая семейства плоских кривых. 4. Уравнение Клеро. Вопросы для самопроверки Глава III.  ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА1. Линеаризация уравнений и систем уравнений. 2. Теорема существования и единственности решения линейных дифференциальных уравнений высшего порядка и систем линейных дифференциальных уравнений. 4. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения. 5. Определитель Вронского. 6. Составление уравнения по фундаментальной системе решений. 7. Формула Остроградского. 8. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка. 9. Метод вариации произвольных постоянных. Вопросы для самопроверки § 2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1. Алгебра дифференциальных операторов. 2. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. 3. Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (специальный случай).  4. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (случай резонанса). 5. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (специальные случаи, окончание). Вопросы для самопроверки § 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС 1. Колебания под действием упругой силы пружины. 2. Колебательный контур. Вопросы для самопроверки § 4. НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 2. Вывод уравнения колебаний струны. 3. Решение уравнения колебаний струны методом Даламбера. |
Видео с вопросами: Решение линейных дифференциальных уравнений первой степени первого порядка
Стенограмма видео
Решите дифференциальное уравнение 𝑥
d𝑦 на d𝑥 равно 𝑦 плюс 𝑥 квадрат греха 𝑥 при условии 𝑦 из 𝜋 равно
нуль. Это (а) 𝑦 равно 𝑥 потому что 𝑥 плюс
𝑥? (б) 𝑦 равно 𝑥 потому что 𝑥 минус
𝑥.
(c) 𝑦 равно отрицательному 𝑥 потому что 𝑥
плюс 𝑥. (d) 𝑦 равно 𝑥 потому что 𝑥. Или (e) 𝑦 равно отрицательному 𝑥 потому что 𝑥
минус 𝑥.
Линейный дифференциал первого порядка уравнение в самом общем виде выглядит так: d𝑦 на d𝑥 плюс некоторая функция 𝑓 𝑥, умноженное на 𝑦, равно некоторой функции 𝑔 от 𝑥. В большинстве случаев для 𝑓 из 𝑥 и 𝑔 𝑥, нельзя будет разделить переменные этого дифференциала уравнение. Поэтому нам нужно использовать интегрирующую множитель, который определяется 𝐼 от 𝑥, равен 𝑒 интегралу 𝑓 от 𝑥 d𝑥. И мы игнорируем константу интеграция. Затем умножаем обе части дифференциальное уравнение с помощью этого интегрирующего множителя. Это достигается тем, что мы теперь есть точное дифференциальное уравнение, то есть у нас есть производная от только одно слагаемое в левой части.
Точнее, у нас есть d на d𝑥
интегрирующего множителя, умноженного на 𝑦.
Это затем позволяет нам отделить
переменных и интегрируем по 𝑥 с обеих сторон. Это дает нам стандартную формулу
для решения общего дифференциального уравнения первого порядка, которое обычно
цитируется без доказательства, 𝐼𝑦 равно интегралу 𝐼𝑔 от 𝑥 d𝑥.
Итак, давайте применим это к данному
дифференциальное уравнение. Сначала нам нужно переставить
уравнение, чтобы получить его в стандартной форме. То есть d𝑦 d𝑥 плюс некоторая функция
𝑥 умножить на 𝑦 равно другой функции от 𝑥. Преобразовывая в эту форму, мы получаем
d𝑦 на d𝑥 минус 𝑦 сверх 𝑥 равно 𝑥 sin 𝑥. Итак, в этом случае наше 𝑓 из 𝑥 равно
отрицательный над 𝑥 и наш 𝑔 из 𝑥 просто 𝑥 грех 𝑥. Таким образом, наш интегрирующий фактор дан
через 𝑒 к интегралу 𝑓 от 𝑥 d𝑥, который в данном случае равен 𝑒 к интегралу
отрицательный над 𝑥 d𝑥. Это интегрируется с 𝑒 в
отрицательный натуральный логарифм 𝑥.
И мы игнорируем константу
интеграция.
Используя стандартные законы индексов, это равно 𝑒 натуральному логарифму 𝑥 отрицательному. 𝑒 к натуральному логарифму 𝑥 равно просто 𝑒 возводится в степень 𝑒, что составляет 𝑥. Так что это просто 𝑥. Таким образом, наш интегрирующий фактор 𝐼 из 𝑥 на единицу больше 𝑥. Теперь подключаюсь к стандарту формула 𝐼𝑦 равна интегралу 𝐼𝑔 от 𝑥 d𝑥. У нас есть один над 𝑥 𝑦 равно интеграл от одного по 𝑥 раз 𝑥 sin 𝑥 d𝑥. Правая часть упрощается до интеграл от sin 𝑥 d𝑥, который интегрируется с отрицательным cos 𝑥. И в этот раз мы не игнорируем постоянная интегрирования. Умножая обе части на 𝑥, мы получить 𝑦 равно отрицательному 𝑥, потому что 𝑥 плюс 𝐶𝑥.
Это общее решение
дифференциальное уравнение. Но мы еще не закончили, так как
это зависит от условия 𝑦 из 𝜋 равно нулю.
Подставив эти значения 𝑥 и
𝑦, мы получаем, что ноль равен минусу 𝜋, потому что 𝜋 плюс 𝐶𝜋. Переставляя и упрощая, получаем
𝐶 равно отрицательной единице. Подставив в это значение 𝐶
в общее решение, мы получаем частное решение 𝑦 равно отрицательному 𝑥 cos
𝑥 минус 𝑥. Сравнивая это с нашим возможным
ответы, мы видим, что это соответствует (e). 𝑦 равно отрицательному 𝑥 потому что 𝑥 минус
𝑥. 93x(t)=\cos t.
\end{собрать*}
Хотя это ОДУ нелинейно относительно независимой переменной $t$, оно все же считается линейным ОДУ, поскольку нас интересует только зависимость уравнения от $x$ и его производной.
Как вы увидите, мы легко справляемся с нелинейностями в $t$.
Такие нелинейности могут приводить к интегралам, которые невозможно вычислить аналитически, но мы будем считать дифференциальное уравнение «решенным», если
мы можем записать $x(t)$ как выражение, содержащее только интегралы от функций $t$.
Если бы мы могли каким-то образом вернуть левую часть в производную выражения относительно $t$ (при сохранении правой части функцией только $t$), мы могли бы восстановить идеальную ситуацию более раннее уравнение и мог решить ОДУ, интегрируя по $t$.
Весь фокус в том, чтобы найти способ превратить $\diff{x}{t} + x(t)$ в
производная от некоторого выражения. Член $x(t)$ просто не является производной
любой алгебраической функции от $x(t)$. Тем не менее, правило произведения полезно.
инструмент в этой ситуации, так как в производной продукта,
каждый фактор остается нетронутым в одном из терминов.
2.
\label{multmu1}\тег{2}
\конец{собрать}
Мы так близки к тому, чтобы превратить левую часть в производную произведения. Если только коэффициент при $x(t)$ был $\diff{\mu}{t}$, а не $\mu(t)$! Тогда левая часть уравнения \eqref{multmu1} действительно будет производной от $\mu(t)x(t)$, и мы могли бы решить ОДУ интегрированием.
К счастью, мы вольны выбирать любые $\mu(t)$, какие захотим. Почему нет выбрать $\mu(t)$, чтобы все работало идеально? Мы могли бы позволить $\mu(t)$ — функция, позволяющая заменить $\mu(t)$ на $\diff{\mu}{t}$. Другими словами, мы могли бы позволить $\mu(t)$ быть решением ОДУ \начать{собирать} \diff{\mu}{t} = \mu(t). \метка{odemu1}\тег{3} \конец{собрать} 92. \end{собрать*}
Сразу видно, что нас не волнует константа интегрирования $C_1$, так как мы можем исключить ее из обеих частей уравнения.
Причина, по которой $C_1$ не имеет значения, заключается в том, что нам просто нужен любой множитель $\mu(t)$
которое удовлетворяет уравнению \eqref{odemu1}, чтобы сделать левую руку
часть уравнения \eqref{multmu1} — производная от $\mu(t)x(t)$.
t.$$ 92.
\конец{выравнивание*}
Решение удовлетворяет уравнению \eqref{ode1}.
Поскольку умножение ОДУ на множитель $\mu(t)$ позволило проинтегрировать уравнения, мы ссылаемся на $\mu(t)$ как на интегрирующий коэффициент .
Общее линейное ОДУ первого порядка
Мы можем использовать интегрирующий множитель $\mu(t)$ для решения любого первого порядка линейная ОДУ. Напомним, что такое ОДУ линейно по функции и его первая производная. Общая форма линейного ОДУ первого порядка в $x(t)$ такова: \начать{собирать} \diff{x}{t} + p(t)x(t)=q(t). \label{фолин}\тег{6} \конец{собрать} (Если ОДУ имеет функцию $t$, умножающую $\diff{x}{t}$, вы можете разделить на функцию, чтобы представить ее в таком виде, предполагая, что функция никогда не равен нулю.)
Повторим описанную выше процедуру, чтобы превратить левую часть уравнения \eqref{folin} в производную от $t$.
Умножая на интегрирующий множитель $\mu(t)$, ОДУ принимает вид
\начать{собирать}
\mu(t)\diff{x}{t} + \mu(t)p(t)x(t)=\mu(t)q(t).
\label{folin_multmu}\tag{7}
\конец{собрать}
Левая часть уравнения \eqref{folin_multmu} будет производной от $\mu(t)x(t)$
$$\diff{}{t}(\mu(t)x(t)) = \mu(t)\diff{x}{t} + \diff{\mu}{t}x(t)$$
если бы мы могли обменять $\diff{\mu}{t}$ на $\mu(t)p(t)$.
Единственным отличием от первого примера является наличие функции
$р(т)$.
Интегрирующий множитель $\mu(t)$ должен удовлетворять уравнению \начать{собирать} \diff{\mu}{t} = p(t)\mu(t). \label{folin_odemu}\tag{8} \конец{собрать} Это уравнение похоже на уравнение (3) из введения ОДУ, за исключением того, что у нас есть изменяющийся во времени коэффициент $p(t)$. Аналогично можно решить следующим образом.
Если разделить уравнение \eqref{folin_odemu} на $\mu(t)$, левая часть
становится $\displaystyle\frac{1}{\mu(t)}\diff{\mu}{t} = \diff{}{t} \log |\mu(t)|$.
Мы можем преобразовать уравнение \eqref{folin_odemu} в
\начать{собирать*}
\diff{}{t} \log |\mu(t)| = р(т),
\end{собрать*}
которое легко решается интегрированием
\начать{выравнивать*}
\int \diff{}{t} \log |\mu(t)| dt&= \int p(t)dt\\
\лог |\му(т)| &= \int p(t)dt + C_2.