Объяснение метод гаусса: Как решить методом Гаусса СЛАУ (систему линейных уравнений). Правила, примеры

2.2 Метод Гаусса

2.2.1 Описание метода Гаусса

Дадим сначала общее описание метод Гаусса для решении СЛАУ (2.2). Этот метод состоит из двух этапов, которые называются прямым и обратным ходом. В процессе прямого хода система уравнений путем исключения переменных приводится к так называемому верхнему треугольному виду. В процессе обратного хода находится решение системы.

Прямой ход состоит из шагов. На шагеисключается неизвестнаяиз всех уравнений, начиная со второго. На шагеисключаетсяиз всех уравнений, начиная с третьего. На любом-м шаге исключается, из всех уравнений, начинаяуравнения. На последнем шагеисключаетсяиз последнего уравнения. В результате выполнения прямого хода мы получаем систему уравнений с так называемой верхней треугольной матрицей коэффициентов.

Обратный ход позволяет последовательно получить неизвестные системы уравнений. Сначала определяют из последнего-го уравнения. Затем это значение подставляют в ()-е уравнение и определяют, и т.

д., до определенияиз первого уравнения.

2.2.2 Расчетные формулы метода Гаусса

Получим расчетные формулы метода Гаусса. Начнем с прямого хода. Прямой ход базируется на том, что решение системы уравнений не изменится, если из некоторого уравнения вычесть любое другое уравнение, умноженное на некоторый коэффициент. Коэффициенты подбираются таким образом, чтобы при вычитании исключались определенные переменные.

На первом шаге для -го уравнения начиная свводится коэффициент

,

и из -го уравнения вычитается 1-е уравнение, умноженное на этот коэффициент. Результирующее уравнение записывается на место-го. Это приводит к исключению переменнойиз-го уравнения. После этого шага система уравнений примет следующий вид:

где для всех– коэффициенты, полученные на первом шаге прямого хода. Они определяются следующими выражениями:

,

,

.

На втором шаге для -го уравнения начиная свводится коэффициент

,

и из -го уравнения вычитается 2-е уравнение, умноженное на этот коэффициент. Это приводит к исключению из-го уравнения переменной. После второго шага система уравнений примет вид

где – коэффициенты, полученные на втором шаге прямого хода. Они определяются выражениями

,

,

.

Вообще, на -м шаге для-го уравнения начиная свводится коэффициент

, (2.7)

и из -го уравнения вычитается-е уравнение, умноженное на этот коэффициент. Результирующее уравнение записывается на место-го. При этом из-го уравнения исключается переменная. Коэффициенты системы уравнений на-м шаге пересчитываются по формулам

, (2.

8)

, (2.9)

.

При происходит исключениеиз последнего уравнения, и окончательная верхняя треугольная система записывается следующим образом:

(2.10)

Теперь выполняется обратный ход. Видно, что из последнего уравнения можно сразу определить :

.

Подставляя это значение в предпоследнее уравнение, находим :

.

Для нахождения любой переменной применяется формула

.

Замечание. В процессе решения СЛАУ легко может быть получен определитель системы . Он равен произведению диагональных элементов матрицы верхней треугольной системы:

.

Алгоритм Гаусса реализуется по схеме, приведенной на рисунке 2.1, в том случае, когда блок № 5 «Выбор главного элемента» пропускается. Назначение этого блока описывается в п. 2.2.3.

Рисунок 2.1 – Схема алгоритма Гаусса

Конспект и презентация по математике “Система линейных алгебраических уравнений”

Краткое описание материала статьи.

Сначала дадим все необходимые определения, понятия и введем обозначения.

Далее рассмотрим методы решения систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных переменных и которые имеют единственное решение. Во-первых, остановимся на методе Крамера, во-вторых, покажем матричный метод решения таких систем уравнений, в-третьих, разберем метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных переменных). Для закрепления теории обязательно решим несколько СЛАУ различными способами.

После этого перейдем к решению систем линейных алгебраических уравнений

общего вида, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных переменных или основная матрица системы является вырожденной. Сформулируем теорему Кронекера – Капелли, которая позволяет установить совместность СЛАУ. Разберем решение систем (в случае их совместности) с помощью понятия базисного минора матрицы. Также рассмотрим метод Гаусса и подробно опишем решения примеров.

Обязательно остановимся на структуре общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Дадим понятие фундаментальной системы решений и покажем, как записывается общее решение СЛАУ с помощью векторов фундаментальной системы решений. Для лучшего понимания разберем несколько примеров.

В заключении рассмотрим системы уравнений, сводящиеся к линейным, а также различные задачи, при решении которых возникают СЛАУ.

Цель урока: формирование у учащихся умения решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки.

Этап №1

Слайд №1.

Приготовились к уроку, встали у своих мест.

-Здравствуйте, ребята. Сегодня у нас на уроке присутствуют гости, поздоровайтесь, пожалуйста, садитесь.

Этап№2

На прошлом уроке мы с вами познакомились с новой математической моделью.

Эта математическая модель представляет собой систему двух линейных уравнений с двумя переменными. Перед нами стояла задача найти такие пары значений (х; у) , которые одновременно удовлетворяют и первому, и второму уравнению.

-Кто может мне сказать:

 Что называется решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными?

Слайд№2. (открыть после ответа уч-ся) .

-Хорошо.

-А что значит решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными?

Слайд №3. (открыть после ответа уч-ся) .

-Ребята! Скажите мне, пожалуйста, а как назывался метод решения системы, которым мы пользовались на прошлых уроках и в домашнем задании? (Ответ: графический метод) .

Проверим домашнее задание.

-Пока мы будем проверять домашнее задание, у доски нам решит систему графическим методом…(вызвать ученика к доске, задание на карточке) .

. Открыли тетради, взяли зеленую пасту, проверяем:

Слайды №4, №5, №6.

-У кого не было ошибок, может поставить себе «5», у кого были помарки, исправления, неточности – зеленой пастой пишут: Домашнее задание проверено.

-Дома, я также просила поработать вас с текстом параграфа №11, и найти ответ на вопрос: Почему для нас графический способ решения системы двух линейных уравнений имеет большое значение?». Кто нашел ответ на этот вопрос? (стр. 63 учебника) .

Слайд №7. (строки «выпускать» по мере ответа уч-ся) .

-ученик закончил решение системы. Сейчас он прокомментирует нам ее решение.

-Спасибо, садись.

Этап№3

-А сейчас, внимание на экран, я хочу показать вам решение графическим методом еще одной системы:

Слайд№8.

– На чертеже: построен синим цветом график первого линейного уравнения и зеленым цветом график второго уравнения.

Как видите, графики пересекаются.

 Координаты точки пересечения графиков и будут являться решением данной системы. Координаты данной точки являются решением и первого и второго линейных уравнений, т. к. точка принадлежит и первому и второму графикам функций. Однако, чему конкретно равны абсцисса и ордината точки, определить очень сложно. Точка «висит» внутри определенной клеточки.

Из этого примера видно, что графический метод решения выручает нас не всегда. Значит, нам нужно располагать надежным алгебраическим методом, который нас не подведет в случае с дробными значениями координат точки.

 Этим мы и займемся сегодня на уроке.

Этап№4

-В тетрадях запишите, пожалуйста, число 19. 11

. Классная работа.

 Тема урока: «Метод подстановки».

Слайд№9.

Для удачного использования этого метода, нам необходимо повторить, как можно из линейного уравнения выразить одну переменную через другую. Мы это уже делали с вами на прошлых уроках. И так:

 №1. Выразить переменную У через Х в следующих уравнениях: (К доске пойдет…)

(Вызвать к доске ученика, задание на доске, следить за устной речью ученика, ученик комментирует свое решение)

5х-2у=0, 3х+2у-16=0

Ответ: у=2, 5х у=8-1, 5х.

Весь материал – смотрите архив.

Статья о методе гаусса+исключения+метода The Free Dictionary

Метод гаусса+исключения+ | Статья о методе гаусса+исключения+от The Free Dictionary

Гаусс+исключение+метод | Статья о методе гаусса+исключения+от The Free Dictionary

---

Слово, не найденное в Словаре и Энциклопедии.

Пожалуйста, попробуйте слова отдельно:

гаусс устранение метод

Некоторые статьи, соответствующие вашему запросу:

• Исключение Гаусса
• Девять глав математического искусства
• Список важных публикаций по математике

• Список тем, названных в честь Карла Фридриха Гаусса
• Метод гибкости
• Список полиномиальных тем

• Фронтальный решатель
• Итерационный метод
• Минимальная среднеквадратическая ошибка

• Метод эквивалентности Картана
• Быстрый фильтр Калмана
• Хронология алгоритмов

• численный анализ
• Карл Георг Кристиан фон Штаудт
• эклектика

Не можете найти то, что ищете? Попробуйте выполнить поиск по сайту Google или помогите нам улучшить его, отправив свое определение.

Полный браузер ?

• ▲
• Знак Гаусса
• Знак Гаусса
• Знак Гаусса
• Знак Гаусса
• Знак Гаусса
• Сумма Гаусса
• Тест Гаусса
• Теорема Гаусса
• Башня Гаусса
• Теорема Гаусса о расходимости
• Кривая ошибки Гаусса
• Гипергеометрическое уравнение Гаусса
• Закон потока Гаусса
• Закон Гаусса о среднем арифметическом
• Теорема Гаусса о среднем значении
• Принцип наименьшего ограничения Гаусса
• Принцип наименьшего ограничения Гаусса
• Теорема Гаусса
• постоянная Гаусса
• Непрерывная дробь Гаусса

• Дигамма-теорема Гаусса
• Закон Гаусса
• Закон Гаусса для гравитационных полей
• Закон Гаусса для гравитации
• Лемма Гаусса
• Лемма Гаусса (теория чисел)
• Лемма Гаусса (многочлен)
• Логарифмы Гаусса
• Принцип наименьшего ограничения Гаусса
• Теорема Гаусса
• Гаусс+исключение+метод
• Гаусс, Карл Фридрих
• Гаусс, Иоганн К. Ф.
• Гаусс, Иоганн К.Ф.
• Гаусс, Иоганн К.Ф.
• Гаусс, Иоганн К.Ф.
• Гаусс, Иоганн KF
• Гаусс, Карл Фридрих
• Гаусс, Карл Фридрих
• Гаусс, Карл Фридрих
• Гаусс, Карл Дж.

• Гаусс, Карл Дж.
• Гаусс, Карл Дж.
• Пространство Гаусса-Бойяи-Лобачевского
• Пространство Гаусса-Бойяи-Лобачевского
• Теорема Гаусса-Бонне
• Квадратура Гаусса-Чебышёва
• Уравнения Гаусса-Кодацци
• Уравнения Гаусса-Кодацци
• Уравнения Гаусса-Кодацци (относительность)
• Уравнения Гаусса-Кодацци-Майнарди
• Гаусс-Якоби
• Гаусс-Джонсон
• Исключение Гаусса-Жордана
• Алгоритм исключения Гаусса-Жордана
• Система координат Гаусса-Крюгера
• Распределение Гаусса-Кузьмина
• Гаусс-Кузьмин-Вирсинг
• Оператор Гаусса-Кузьмина-Вирсинга
• Алгоритм Гаусса-Лежандра
• Квадратура Гаусса-Лежандра
• ▼

Сайт: Следовать:

Делиться:

Открыть / Закрыть

 

Метод Гаусса-Зейделя: объяснение, приложения, примеры – наука

Видео: Метод Gauss-Seidel

Содержание

• Объяснение с использованием простого случая
• Шаги, посвященные
• Анализ метода
• Приложения
• Примеры. – Пример 1
• Решение
• – Example 2
• Solution
• – Example 3
• Solution
• – Example 4
• Solution
• References

The Gauss-Seidel method — это итерационная процедура поиска приближенных решений системы линейных алгебраических уравнений с произвольно выбранной точностью. Метод применяется к квадратным матрицам с ненулевыми элементами в их диагоналях, и сходимость гарантируется, если матрица является доминирующей по диагонали.

Он был создан Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855), который провел частную демонстрацию одному из своих учеников в 1823 году. Позже он был официально опубликован Филиппом Людвигом фон Зайделем (1821-1896) в 1874 году, отсюда и название оба математики.

Для полного понимания метода необходимо знать, что матрица является доминантной по диагонали, когда абсолютное значение диагонального элемента каждой строки больше или равно сумме абсолютных значений другие элементы той же строки.

Математически это выражается так:

Объяснение на простом случае

Чтобы проиллюстрировать, из чего состоит метод Гаусса-Зейделя, возьмем простой случай, в котором значения X и Y можно найти в системе линейных уравнений 2 × 2, показанной ниже: безопасно. Сразу же видно, что в действительности это диагонально-доминантная система, так как в первой строке первый коэффициент имеет более высокое абсолютное значение, чем другие в первой строке:

|5|>|2|

Аналогично, второй коэффициент во второй строке также доминирует по диагонали:

|-4|>|1|

2- Переменные X и Y решаются:

X = (1 – 2Y) / 5

Y = X / 4

3- Произвольное начальное значение, называемое “seed”, размещается: Xo = 1, I = 2.

4-Начинается итерация: для получения первого приближения X1, Y1 затравка подставляется в первое уравнение шага 2, а результат во второе уравнение шага 2:

X1 = (1 – 2 I) / 5 = (1 – 2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- Действуем аналогичным образом для получения второго приближения решения системы уравнений:

X2 = (1 – 2 Y1) / 5 = (1 – 2x (-3/20)) / 5 = 13 /50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- Третья итерация:

X3 = (1 – 2 Y2) / 5 = (1 – 2 (13/200) ) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- Четвертая итерация, как последняя итерация этого иллюстративного случая:

X4 = (1 – 2 Y3) / 5 = (1 – 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

Эти значения достаточно хорошо согласуются с решением, найденным другими методами разрешения. Читатель может быстро проверить это с помощью онлайн-математической программы.

Анализ метода

Как видно, в методе Гаусса-Зейделя приблизительные значения, полученные для предыдущей переменной на том же шаге, необходимо подставить в следующую переменную. Это отличает его от других итерационных методов, таких как метод Якоби, в котором каждый шаг требует приближений предыдущего этапа.

Метод Гаусса-Зейделя не является параллельной процедурой, в отличие от метода Гаусса-Джордана. Это также причина того, что метод Гаусса-Зейделя имеет более быструю сходимость — за меньшее количество шагов — чем метод Жордана.

Что касается диагонально доминирующего матричного условия, то оно не всегда выполняется. Однако в большинстве случаев для выполнения условия достаточно просто поменять местами строки из исходной системы. Кроме того, метод почти всегда сходится, даже если условие диагонального преобладания не выполняется.

Предыдущий результат, полученный четырьмя итерациями метода Гаусса-Зейделя, можно записать в десятичной форме:

X4 = 0,1826

Y4 = 0,04565

Точное решение предложенной системы уравнений:

X = 2/11 = 0,1818

Y = 1/22 = 0,04545.

Итак, всего 4 итерации дают результат с точностью до одной тысячной (0,001).

На рис. 1 показано, как последовательные итерации быстро сходятся к точному решению.

Приложения

Метод Гаусса-Зейделя не ограничивается только системой линейных уравнений 2 × 2. Предыдущая процедура может быть обобщена для решения линейной системы из n уравнений с n неизвестными, которая представлена ​​в виде следующей матрицы: матрица n x n , тогда как X представляет собой вектор n компонентов n переменных, подлежащих вычислению; Д b — вектор, содержащий значения независимых термов.

Чтобы обобщить последовательность итераций, примененную в иллюстративном случае к системе n x n, из которой должна быть рассчитана переменная Xi, , будет применена следующая формула:

В этом уравнении:

– k — индекс значения, полученного на итерации k.

-k + 1 указывает новое значение в следующем.

Окончательное число итераций определяется, когда значение, полученное на итерации k + 1 , отличается от значения, полученного непосредственно перед этим, на величину ε, которая точно соответствует желаемой точности.

Примеры метода Гаусса-Зейделя

– Пример 1

Напишите общий алгоритм вычисления вектора приближенных решений X линейной системы уравнений nxn по матрице коэффициентов TO , вектор независимых членов b , количество итераций (i ter) и начальное или «начальное» значение вектора X .

Решение

Алгоритм состоит из двух циклов «To», один для количества итераций, а другой для количества переменных. Это будет следующим образом:

Для k ∊ [1..iter]

Для i ∊ [1..n]

X [i]: = (1 / A [i, i]) * (b [ i] – ∑ _{j = 1} ⁿ (A [i, j] * X [j]) + A [i, i] * X [i])

– Пример 2

Проверить работу предыдущего алгоритма, применив его в математическом ПО SMath Studio можно использовать бесплатно, доступно для Windows и Android. Возьмем в качестве примера случай матрицы 2 × 2, которая помогла нам проиллюстрировать метод Гаусса-Зейделя. Пример 3 , большей абсолютной величины, чем абсолютные значения коэффициентов той же строки):

9 X1 + 2 X2 – X3 = -2

7 X1 + 8 X2 + 5 X3 = 3

3 X1 + 4 X2 – 10 X3 = 6

Используйте нулевой вектор в качестве исходного и рассмотрите пять итераций. Прокомментируйте результат.

Решение

Для той же системы с 10 итерациями вместо 5 получены следующие результаты: X1 = -0,485; Х2 = 1,0123; X3 = -0,3406

Это говорит нам о том, что пяти итераций достаточно для получения трех знаков после запятой и что метод быстро сходится к решению.

– Пример 4

Используя приведенный выше алгоритм Гаусса-Зейделя, найдите решение системы уравнений 4 × 4, приведенной ниже:

10 x1 – x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 x1 + 11 x2 – 1 x3 + 3 x4 = 25

2 x1 – 1 x2 + 10 x3 – 1 x4 = -11

0 x1 + 3 x2 – 1 x3 + 8 x4 = 15

Чтобы запустить метод, используйте это начальное число:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 и x4 = 0

Рассмотрим 10 итераций и оценим погрешность результата по сравнению с итерацией номер 11.