Односторонний предел как найти: Односторонние пределы – левый и правый пределы функции

Предел функции. Односторонний предел

Задачи на нахождение предела очень часто можно встретить в таких науках как механика, физика, высшая математика, прикладная математика и т.д. Суть таких задач заключается в отыскании значения функции при движении аргумента до некоторого значения при котором функция может быть и неопределена. Поведение функции в определенной точке и называется ее пределом. Он может принимать как постоянное значение так и быть равным бесконечности ().

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ

Пусть имеем функцию которая определена в некоторой окрестности точки . Число называется пределом функции при , если для любого малого наперед заданного положительного числа можно найти такое положительное число что для всех удовлетворяющих неравенство

выполняется неравенство

В упрощенной форме определения записывают так

При функция является бесконечно большой, если для любого числа можно найти такое число что для всех , удовлетворяющих неравенство оправдывается неравенство

В краткой форме это определение примет вид

Функция является бесконечно малой при , если выполняется

ОДНОСТОРОННИЕ ГРАНИЦЫ

Запись можно понимать как приближение к точке слева, когда и дело, когда . аким образом, приближение точек до может быть двусторонним. На основе этого введены определения правой и левой границы.

Число есть пределом функции слева (левой границей), если для любого числа существует такое, что при выполняется неравенство

Число является пределом функции справа (правой границей) если для сколь угодно малого значения найдется такое что для всех из промежутка выполняется неравенство

Левая и правая границы называются односторонними границами.

Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда существуют одновременно границы справа и слева и они равны между собой

Рассмотрим примеры из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. “Высшая математика” на нахождение границ.

———————————–

Пример 1. Найти пределы.

1) (4. 331)

2) (4. 333)

3) (4. 337)

4) (4. 342)

5) (4. 348)

6) (4. 357)

Решение.

1) Первые примеры не являются сложными и их решения сводится к подстановки значения аргумента в функцию

2) Как и в предыдущем примере проводим подстановку

3) Выполняем подстановку переменной в предел

4) В такого типа примерах нужно знаменатель разложить по правилу разности квадратов, после этого выполнить подстановку

5) В таких примерах нужно числитель и знаменатель сократить на множитель, который вносит наибольший вклад

6) В подобных примерах ищут наибольший показатель переменной в числителе и знаменателе, а потом проводят анализ. При следовании корни ведут себя следующим образом

С оценки показателей видим что числитель быстрее растет чем знаменатель

следовательно функция бесконечно большая и ее предел бесконечный

На этом вводной урок нахождения пределов функций завершен. Другие примеры вычисления пределов и методику их нахождения Вы найдете в следующих материалах.

———————————–

Посмотреть материалы:

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Олег Шпинарев (7), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2),

Правосторонний предел – это… Что такое Правосторонний предел?

• Православные
• Православные христиане

Смотреть что такое “Правосторонний предел” в других словарях:

• Предел слева — Односторонний предел в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом… …   Википедия

• Предел справа — Односторонний предел в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом… …   Википедия

• Односторонний предел — в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом (пределом справа).… …   Википедия

• Левосторонний предел — Односторонний предел в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом… …   Википедия

• Непрерывная функция — Эта статья  о непрерывной числовой функции. О непрерывных отображениях в различных разделах математики см. непрерывное отображение. Непрерывная функция  функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения… …   Википедия

• Односторонние пределы — Односторонний предел в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом… …   Википедия

• Непрерывность (математика) — Непрерывное отображение или непрерывная функция это такое отображение, у которого небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения отображения. Это понятие определятся немного по разному в различных разделах математики;… …   Википедия

• Непрерывные функции — Непрерывное отображение или непрерывная функция это такое отображение, у которого небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения отображения. Это понятие определятся немного по разному в различных разделах математики;… …   Википедия

• Непрерывный оператор — Непрерывное отображение или непрерывная функция это такое отображение, у которого небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения отображения. Это понятие определятся немного по разному в различных разделах математики;… …   Википедия

• Непрерывный функционал — Непрерывное отображение или непрерывная функция это такое отображение, у которого небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения отображения. Это понятие определятся немного по разному в различных разделах математики;… …   Википедия

Определение предела функции в точке

Определение предела функции по Коши

Конечный предел функции в конечной точке

Предел функции в точке:
|f(x) – a| < ε  при  0 < |x – x₀| < δ

Определение конечного предела функции по Коши
Число a называется пределом функции f(x) в точке x₀, если
1) существует такая проколотая окрестность конечной точки x₀, на которой функция определена;
2) для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует такое число δ_ε> 0, зависящее от ε, что для всех x, принадлежащих проколотой δ_ε – окрестности точки x₀: 0 < |x – x₀| < δ_ε, значения функции принадлежат ε – окрестности точки a:
|f(x) – a| < ε.
Предел функции обозначается так:
.
Или     при   .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.

Односторонние пределы

Левый предел функции в точке:
|f(x) – a| < ε  при  0 < x₀ – x < δ

Функция может быть определена не с двух сторон от точки , а в некоторой левой окрестности точки , при или в некоторой правой окрестности, при . Также функция может иметь разрыв в точке . Тогда используют односторонние пределы.

Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
;   .

Бесконечный предел функции в конечной точке

Бесконечный предел функции в точке:
|f(x)| > M  при  0 < |x – x₀| < δ

Определение бесконечного предела функции по Коши
Предел функции  f(x)  при  x → x₀  равен бесконечности, если
1) существует такая проколотая окрестность конечной точки x₀, на которой функция определена;
2) для любого, сколь угодно большого числа M > 0, существует такое число δ_M > 0, зависящее от M, что для всех x, принадлежащих проколотой δ_M – окрестности точки x₀: 0 < |x – x₀| < δ_M, значения функции принадлежат окрестности бесконечно удаленной точки:
|f(x)| > M.
Бесконечный предел обозначают так:
.
Или   при  .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение бесконечного предела функции можно записать так:
.

Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.

Аналогичным образом вводятся определения односторонних пределов.
Левые пределы.
.
.
.
Правые пределы.
.
.
.

Определение предела функции по Гейне

Число a (конечное или бесконечно удаленное) называется пределом функции f(x) в точке x₀:
,
если
1) существует такая проколотая окрестность точки x₀, на которой функция определена;
2) для любой последовательности {x_n}, сходящейся к x₀: ,
элементы которой принадлежат окрестности , последовательность {f(x_n)} сходится к a:
.

Если в качестве окрестности взять левостороннюю окрестность точки x₀, то получим определение левого предела. Если правостороннюю – то получим определение правого предела.

Определения предела по Гейне и Коши эквивалентны.

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения задач, в которых нужно показать существование пределов, используя определение предела по Коши.
⇓,   ⇓,   ⇓.

Пример 1

Все примеры ⇑ Используя эпсилон и дельта – рассуждения показать, что
.

Решение

Введем обозначения:
.
Выпишем определение конечного предела функции в точке по Коши:
.
Преобразуем разность:

.

Пусть
.
Тогда
;
;
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
  при ,    и  .

Поскольку всегда можно уменьшить, то возьмем . Тогда для любого ,
  при  .
Это означает, что .

Пример 2

Все примеры ⇑ Используя определение предела по Коши показать, что
.

Решение

Введем обозначение:
.
Выпишем определение предела функции в точке , равного бесконечности, по Коши:
.
Выразим многочлены в числителе и знаменатели через многочлены от .
;
.

Пусть
.
Тогда
;

;
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
  при ,    и  .

Поскольку всегда можно уменьшить, то возьмем . Тогда для любого ,
  при  .
Это означает, что .

Пример 3

Все примеры ⇑ Используя определение предела по Коши показать, что
.

Решение

Введем обозначение:
.
Выпишем определение левого предела в точке , равного , по Коши:
.
В нашем случае .
Выразим многочлены в числителе и знаменатели через многочлены от .
;

.

Пусть
.
Тогда
;   ;
;
;
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
  при ,    и  .

Поскольку всегда можно уменьшить, то возьмем . Тогда для любого ,
  при  .
Это означает, что .

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 12-05-2018

Левый и правый предел

Возможно, ранее вы уже познакомились с определением предела функции в точке, но для тех, кто подзабыл, напомним его:

Некоторое число называется пределом функции в точке $x_0$, если для любого $ε$

Математически это записывается в следующем виде: $\lim_{x \to x_0} f(x)= A$.

Данное определение также называется определением по Коши.

Теперь перейдём к определению понятия одностороннего предела.

Определение 1

Односторонним пределом некоторой функции называется предел, который стремится к какому-либо значению только с одной стороны.

Готовые работы на аналогичную тему

Если функция стремится к какому-либо значению слева направо, то есть все значения, которые она принимает, меньше её предела, такой предел носит название правостороннего предела.

Если же все значения, которые она принимает, больше её предельного значения, то есть функция «подходит» к предельному значению справа налево, то она носит название левостороннего предела.

Выше мы привели более простые определения односторонних левых и правых пределов, а вот ниже мы дадим определения по Коши:

Левым пределом функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ называется такое число $A_1$, для которого будут выполняться следующие условия: для любого $ε$ > $0$ имеется $δ=δ(ε)$ > $0$, причём если $x$ будет принадлежать отрезку $(x_0-δ; x_0)$, то будет выполняться неравенство: $|f(x)-A_1|$

Математическая форма записи выглядит так:

$\lim_{x \to x_0-0} f(x)=A_1$ или так: $f(x_0 – 0)=A_1$.

Правый предел определяется подобным же способом:

Правый предел некоторой функции $y=f(x)$ в точке по оси икс $x_0$ — это число $A_2$, причём такое, что для любого $ε$ > $0$ имеется $δ=δ(ε)$, такое что если $x$ принадлежит $(x_0; x_0+δ)$, то справедливо равенство $|f(x)-A_2|$

Записывается кратко в следующем виде:

$\lim_{x \to x_0+0} f(x)=A_2$ или $f(x_0 + 0)=A_2$.

Существует одно важное свойство односторонних пределов.

Если у некоторой функции $y=f(x)$ существуют левый $f(x_0-0)$ и правый $f(x_0 + 0)$ пределы, причём они являются равными между собой, то у этой функции есть и обычный предел, равный значению этих пределов.

Обратное утверждение также верно.

Контрольная работа по мат. анализу 13

Контрольная работа №2

Раздел 4.

Пример 4.1. Найти область определения функции D(f)

Решение. Если числовая функция задана аналитически (в виде формулы ) и область ее определения не указана, то считают, что эта область есть множество всех действительных значений аргумента, при которых выражение – действительное число. Для существования заданной функции необходимо, чтобы имело место неравенство . Для существования функции должно иметь место неравенство , откуда . Область определения исходной функции или .

Пример 4.2. Найти область определения функций:

Решение. Для приведенных выше функций области определения удовлетворяют условиям:

1.

2. 3.

3.

4.

5.

6. ;

Пример 4.3. Найти область определения функции

.

Решение. Для существования функции необходимо, чтобы . Для существования функции надо, чтобы , откуда . Для существования функции необходимо, чтобы , откуда и .

Таким образом, получены условия

.

Следовательно, .

Пример 4.4. Определить, являются ли функции

1. ;

2. ;

3. ;

4.

Четными или нечетными.

Решение. Для определения свойств четности или нечетности функции следует проверить выполнение следующих положений:

1. Является ли область определение симметричной относительно начала координат, т. е. если , то и ;

2. Выполняются ли равенства или . При выполнении первого равенства функция окажется четной с графиком, симметричным относительно оси ординат, во втором – нечетной с графиком, симметричным относительно начала координат.

Для указанных в задаче функций:

1. ,

То функция – нечетная;

2. ,

То функция является четной;

3. ,

Следовательно, функция нечетная;

4. ,

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Пример 4.5. Найти период функции

.

Решение. При решении задач на нахождение периода функции следует использовать следующее.

Функция является периодической, если существует такое число

Т¹0, GB> ?@8 ;N1>< X из области определения функции числа и также принадлежат этой области и выполняется равенство .

В этом случае Т есть период функции .

Так как , то период Т=1.

Пример 4. 6. Доказать, что

Решение. Зададим произвольное и покажем, что существует положительное такое, что из неравенства вытекает неравенство .

Действительно,

.

Значит, если положить , то выполнение неравенства влечет за собой выполнение неравенства . Таким образом, согласно определению, заключаем, что

Практически предел функции находят не на основании определения предела функции, а на основании теорем о пределе функции.

Теорема. Если при существуют пределы функций и , то:

;

;

, где ;

, где – постоянный множитель.

Пример 4.7. Вычислить

.

Решение. Так как

, а ,

То по теореме о пределе частного получаем, что

.

Но не всегда можно применять теоремы о пределах без предварительного преобразования функций, стоящих под знаком предела. При этом возможны следующие неопределенные ситуации: , , , , .

Приемом раскрытия неопределенности вида является деление числителя и знаменателя на наивысшую степень X.

При неопределенности вида требуется выполнить преобразование функции, выделив в числителе и знаменателе дроби множитель, стремящийся к нулю. Затем сократить дробь на этот общий множитель.

Неопределенности же вида и путем преобразований приводят к одному из рассмотренных случав или . Поясним сказанное на примерах.

Пример 4. 8. Вычислить

.

Решение. Наивысшая степень X – вторая, делим числитель и знаменатель на . Получим

, так как и .

Пример 4.9. Вычислить

.

Решение. Имеет место неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Получим

.

Пример 4. 10. Вычислить

.

Решение. Числитель и знаменатель дроби при стремятся к нулю. Преобразуем функцию, выделим общий множитель

.

Пример 4.11. Вычислить

.

Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем дробь, домножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю

.

Пример 4.12. Вычислить

.

Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем функцию под знаком предела, домножив и поделив на сопряженное выражение.

.

Таким образом получили предел, в котором имеет место неопределенность вида . Наибольшая степень X – первая, поэтому поделим числитель и знаменатель на X, получим

.

Пример 4.13. Вычислить

.

Решение. Так как , а , то имеет место неопределенность вида .

Выполним преобразования

.

Пример 4.14. Найти точки разрыва функции. Построить чертеж.

Если

Естественно, что на интервалах , и функция непрерывна. Проверке подлежат только точки и .

Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке.

Рассмотрим точку .

.

Вычислим односторонние пределы

,

.

Так как односторонние пределы не совпадают, – точка разрыва функции.

Рассмотрим точку .

,

,

,

– точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности.

Рис. 2

Пример 4.15. Исследовать поведение функции вблизи точки разрыва. Построить схематический чертеж.

.

Решение. Область определения функции

. Точка разрыва .

Найдем односторонние пределы

; .

Знак предела зависит от знаков числителя и знаменателя дроби. В обоих случаях числитель , но знаменатель в пределе слева остается отрицательным, приближаясь к нулю, а в пределе справа, приближаясь к нулю, знаменатель остается положительным. Схематичный чертеж представлен на рис. 3.

Рис. 3

Раздел 5.

Пример 5.1. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:

4.

Решение.

1.

2. есть сложная функция.

, где .

Производная сложной функции имеет вид

или .

Следовательно,

.

– сложная функция.

, где , а ,

.

5.

Функция от независимой переменной задана через посредство вспомогательной переменной (параметра T). Производная от по определяется формулой

.

Находим производные от и по параметру T:

,

,

.

Пример 5.2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке, где .

Решение. Уравнение касательной к кривой в точке

,

,

.

Для определения углового коэффициента касательной находим производную

,

.

Подставляя значения в уравнение, получим

или .

Уравнение нормали

,

или .

Пример 5.3. Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону . Определить скорость и ускорение движения в момент времени .

Решение. Найдем скорость и ускорение движения в любой момент времени T

;

.

При

,

.

Пример 5.4. Найти дифференциалы функций

1. ;

2. , вычислить .

Решение. Находим производную данной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получим искомый дифференциал данной функции:

1. ;

2.

Полагая и , получим .

Пример 5.5. Вычислить приближенное значение:

1.;

2. .

Решение. Если требуется вычислить и если проще вычислить и , то при достаточно малой по абсолютному значению разности можно заменить приращение функции ее дифференциалом и отсюда приближенное значение искомой величины по формуле

.

1. Будем рассматривать как частное значение функции при . Пусть , тогда

,

,

.

Подставляя в формулу, получим

.

,

, .

Получим

.

Пример 5.6. Найти пределы используя правило Лопиталя

1.;

2. ;

3. ;

4. .

Решение. Убедившись, что имеет место неопределенность или , применяем затем правило Лопиталя.

1. ;

2.

;

Здесь правило Лопиталя применено дважды.

3.

;

4. .

Раздел 6.

Пример 6.1. Исследовать функцию и построить её график.

1. Функция определена и непрерывна в интервалах .

2. Функция общего вида, так как

.

3. График функции не пересекается с осью OХ, а с осью OY пересекается при X = 0, Y= -2, т. е. в точке В(0; -2).

4. Исследуем функцию на наличие асимптот.

а) Уравнение вертикальной асимптоты: . Вычислим пределы функции при слева и справа.

.

.

б) Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y = kx + b, где

.

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты .

5. Исследуем функцию на экстремум.

– точки, подозрительные на экстремум.

Исследуем знак производной в интервалах, окружающих подозрительные точки.

Рис. 4.

Получили, что в точке х=-1 возрастание функции сменяется убыванием, следовательно, это точка максимума. В точке х=2 убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума (рис. 4).

; .

6. Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость.

Точек перегиба нет, так как .

Исследуем знак второй производной в интервалах, где функция определена, (смотрите пункт 1. этого примера) (рис. 5а).

Рис. 5а.

Основываясь на полученных результатах исследования, строим график функции.

< Предыдущая		Следующая >

Вычисление пределов – Интеллектуальная Кобринщина

Compute a Limit – Wolfram Mathematica

Вычисление пределов

Даже, казалось бы, простые пределы порой довольно сложно вычислить. Mathematica предоставляет функциональные средства для вычисления основных типов пределов.

Для вычисления пределов используется функция Limit . Её первым аргументом является функция, а второй имеет вид переменная ->  значение. Для второго замечательного предела , например, имеем:

In[1]:=

Out[1]=

Предусмотрена возможность нахождения односторонних пределов. Например, несмотря на то, что не существует, Mathematica, по умолчанию, вычисляет предел при стремлении переменной к точке справа:

In[2]:=

Out[2]=

In[3]:=

Out[3]=

Для указания, что переменная стремится к точке слева, используется параметр :

In[4]:=

Out[4]=

    

Опция Assumptions позволяет включить информацию о возможных параметрах в записи функции под пределом.

Допустим, требуется найти . Без дополнительных данных, предел найти невозможно.

In[5]:=

Out[5]=

Однако, если указать, что 0?x<1, тогда ответ может быть найден:

In[6]:=

Out[6]=

Односторонние ограничения – Проблема 1

Вы можете найти некоторые ограничения, просто подставив числа в функцию и посмотрев, к какому числу функция кажется все ближе и ближе. Чтобы показать, что предел существует, вы должны показать, что левый и правый пределы совпадают. Начните с поиска левого предела. Чтобы узнать, что такое f (x) по мере приближения к точке p слева, подставьте значения x, которые меньше p. По мере того, как значения x становятся все ближе и ближе к p, посмотрите, к какому числу f (x) приближается.Чтобы найти правый предел, сделайте то же самое, за исключением того, что вместо использования значений x, меньших p, используйте значения x, которые больше p. Тогда вы сможете увидеть, что такое f (x) по мере приближения к p. Итак, с помощью этой информации вы сможете определить, существует ли предел f (x) по мере приближения к p, и если это так, вы можете определить, каков его предел.

Один из самых простых способов вычислить пределы – это вычислить их на своем калькуляторе.Итак, давайте посмотрим, как функция f (x) равна x² плюс 3x минус 10 по сравнению с x минус 2. Сначала я хочу посмотреть на предел, когда x приближается к 2 слева от f (x). Давайте взглянем на наш TI 84. Итак, вот TI 84.

Первое, что мне нужно сделать, это ввести свою функцию. Я нажимаю y равно и хочу (x² плюс 3x минус 10) разделить на (x минус 2). Так что это моя функция. Теперь мне нужно перейти к набору стола. На самом деле он настроен идеально для меня, я хочу его настроить. Меня действительно не интересует начало таблицы или значение дельта-таблицы, но я хочу, чтобы независимая переменная задавала запрос, а зависимая – автоматически.Это позволит мне вводить значения x и автоматически выдавать значения y.

Я нажимаю на второй стол, и у меня уже есть импровизированный стол. Мне нужно, чтобы мои значения x приблизились к 2. Вы увидите, что произойдет, когда x будет равно 2. Произошла ошибка. Так что 1 на самом деле хорошее значение. Дай попробовать 1.5. Я получаю 6.5 в качестве значения y. Дай мне попробовать 1.9. Получаю 6.9. Итак, я пытаюсь выяснить, что происходит, когда x приближается к 2 1,99, 6,99. Так что теперь я почти уверен, что знаю, что происходит.Похоже, приближается к семи. Но я хочу попробовать еще один. 1.999. Определенно приближается к 7. Итак, давайте запишем эти данные в нашу таблицу на таблице, и мы подойдем к нашему выводу.

Мы вернулись. Я просто помещаю здесь свои данные в таблицу. Теперь помните, что мы хотели выяснить, что произошло, когда x приближается к 2 слева к f (x). Здесь мои значения приближаются к 2 слева. И совершенно очевидно, что значения f приближаются к 7. Итак, я бы сказал, что предел, когда x приближается к 2 слева от x, равен 7.Теперь давайте вычислим предел, когда x приближается к 2 справа от x. Снова обратимся к TI 84.

Я хочу, чтобы x приблизился к 2 справа. Итак, я собираюсь начать со значения больше 2, например 3. Я получаю 8, я получаю значение y 8. Дайте мне попробовать 2,1, я получу 7,1. Как насчет 2.01, я получаю 7.01. Так что похоже, что приближается 7. Позвольте мне попробовать еще несколько. 2.001, я уверен. Так что давайте запишем это обратно на наш стол и сделаем некоторые выводы. Я записал данные в таблицу.

Помните, я хотел, чтобы x приближался ко 2 справа, и это то, что я здесь делаю, x идет от 3 к 2.1 до 2,01 и так далее, все ближе и ближе к 2. Но идем туда справа, от более положительных значений. Посмотрите, что делает f (x), 8, 7.1, 7.01, 7.001. Похоже, он также приближается к 7. Итак, я бы сказал, что предел, когда x приближается к 2 справа от f (x), равен 7.

Теперь вспомните, когда предел справа и предел слева имеют одинаковое значение, это означает, что двусторонний предел существует и имеет это значение. Итак, что касается части c, каков предел, когда x приближается к 2? Я могу просто сказать 7. Помните, когда существуют два односторонних предела, и они равны, двусторонний предел имеет это значение, в данном случае это 7.

2.5 Односторонние ограничения и непрерывность – методы исчисления 1

Односторонние ограничения

Иногда указание на то, что предел функции не существует в какой-либо точке, не дает нам достаточно информации о поведении функции в этой конкретной точке. -} 𝑔 (𝑥) = – 1.+} 𝑔 (𝑥) = 1. $$

Теперь мы можем дать неформальное определение односторонних ограничений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Мы определяем два типа односторонних ограничений.

Предел слева : Пусть [latex] 𝑓 (𝑥) [/ latex] будет функцией, определенной для всех значений в открытом интервале формы [latex] (c, a) [/ latex], и пусть [ latex] L [/ latex] быть действительным числом. Если значения функции [latex] 𝑓 (𝑥) [/ latex] приближаются к действительному числу [latex] L [/ latex] как значения [latex] x [/ latex] (где [latex] 𝑥Limit from the right : Пусть [latex] 𝑓 (𝑥) [/ latex] будет функцией, определенной для всех значений в открытом интервале формы [latex] (𝑎, 𝑐) [/ latex], и пусть [latex] [/ latex] L быть реальным числом.+} f (x) = \ lim \ limits_ {x \ to 1} f (x) = 1. \]

Давайте теперь рассмотрим взаимосвязь между пределом функции в точке и пределами справа и слева в этой точке. Кажется очевидным, что если предел справа и предел слева имеют общее значение, то это общее значение является пределом функции в этой точке. Точно так же, если предел слева и предел справа принимают разные значения, предел функции не существует. Эти выводы резюмируются в следующей теореме.2 [/ latex] становятся все больше и больше и, по сути, становятся бесконечными. Математически мы говорим, что предел [latex] h (x) [/ latex], когда [latex] x [/ latex] приближается к 2, равен положительной бесконечности. Символически мы выражаем эту идею как

.

$$ \ underset {x \ to 2} {\ lim} h (x) = + \ infty. $$

В более общем смысле, мы определяем бесконечные пределы следующим образом:

Определение

Мы определяем три типа бесконечных лимитов .

Бесконечные пределы слева: Пусть [latex] f (x) [/ latex] будет функцией, определенной для всех значений в открытом интервале формы [latex] (b, a) [/ latex].

1. Если значения [latex] f (x) [/ latex] неограниченно увеличиваются как значения [latex] x [/ latex] (где [latex] x
2. Если значения [latex] f (x) [/ latex] неограниченно уменьшаются как значения [latex] x [/ latex] (где [latex] x

Бесконечные пределы справа : Пусть [latex] f (x) [/ latex] будет функцией, определенной для всех значений в открытом интервале формы [latex] (a, c) [/ latex]. +} {\ lim} е (х) = + \ infty.+} {\ lim} f (x) = – \ infty $$

Двусторонний бесконечный предел: Пусть [latex] f (x) [/ latex] будет определено для всех [latex] x \ ne a [/ latex] в открытом интервале, содержащем [latex] a [/ latex] .

1. Если значения [latex] f (x) [/ latex] неограниченно увеличиваются по мере приближения значений [latex] x [/ latex] (где [latex] x \ ne a [/ latex]]) к числу [ latex] a, [/ latex], тогда мы говорим, что предел, когда [latex] x [/ latex] приближается к [latex] a [/ latex], равен положительной бесконечности, и мы пишем
   $$ \ underset {x \ to a} { \ lim} f (x) = + \ infty $$
2. Если значения [latex] f (x) [/ latex] неограниченно уменьшаются по мере того, как значения [latex] x [/ latex] (где [latex] x \ ne a [/ latex]]) приближаются к числу [latex ] a, [/ latex] тогда мы говорим, что предел, когда [latex] x [/ latex] приближается к [latex] a [/ latex], является отрицательной бесконечностью, и мы пишем
   $$ \ underset {x \ to a} {\ lim} f (x) = – \ infty $$

Важно понимать, что когда мы пишем такие операторы, как [latex] \ underset {x \ to a} {\ lim} f (x) = + \ infty [/ latex] или [latex] \ underset {x \ to a} {\ lim} f (x) = – \ infty [/ latex] мы описываем поведение функции, как мы только что определили ее. +} {\ lim} f (x) & = \ hfill & + \ infty \, \ text {или} \, – \ infty \ hfill \\ & \ text {или} \ hfill & \\ \ hfill \ underset {x \ to a} {\ lim} f (x) & = \ hfill & + \ infty \, \ text {or} \, – \ infty \ hfill \ end {array} $$

В следующем примере мы применяем наши знания о различных типах ограничений, чтобы использовать их для анализа поведения функции в нескольких разных точках.

Как найти односторонние ограничения

Шаги по поиску односторонних пределов

Шаг 1: Определите значение {eq} x {/ eq} приближается и с какой стороны мы хотим исследовать.

Шаг 2: Определите значение функции {eq} f (x) {/ eq} приближается как {eq} x {/ eq} приближается к предельному значению.

Определения для поиска односторонних пределов

Односторонний предел: Это значение, которое функция принимает как {eq} x {/ eq} приближается к предельному значению слева или справа.+ {/ eq} – односторонний предел как {eq} x {/ eq} приближается к {eq} a {/ eq} справа. +} x-1 $$

Шаг 1: Определите значение {eq} x {/ eq} приближается.-} f (x) {/ eq} означает.

Шаг 1: Определите значение {eq} x {/ eq} приближается.

Мы видим в вопросе, что {eq} x {/ eq} приближается к {eq} 2 {/ eq} слева.

Шаг 2: Определите значение функции {eq} f (x) {/ eq} приближается как {eq} x {/ eq} приближается к предельному значению.

В этом примере мы исследуем график слева от {eq} x = 2 {/ eq}, и посмотрите, к какому значению приближается функция, когда мы приближаемся к этому значению.Мы видим, что приближаемся к значению {eq} 2 {/ eq} на {eq} y {/ eq} -ось. (Обратите внимание, что у нас есть {eq} f (2) = 4 {/ eq}, но мы ищем только значение, которое функция принимает для точек, приближающихся к {eq} x = 2 {/ eq} слева.

Таким образом, мы можем описать односторонний предел как {eq} x {/ eq} приближается к {eq} 2 {/ eq} слева, затем {eq} f (x) {/ eq} приближается к {eq} 2 {/ экв}.

1.3 Односторонние ограничения

1.3 Односторонние ограничения

1: Введение в односторонний предел и визуальные эффекты

Это видео включает в себя:
* Обзор определения лимита и случаев, когда лимит «DNE» не существует
* Определение одностороннего лимита и его сравнение с лимитом в целом
* Как найти односторонний ограничивает визуально по заданному графику
* Как односторонние ограничения можно также назвать левым пределом или правым пределом
* Как ученики часто делают ошибку, неправильно ставя отрицательный знак

Примеры:

---

2: Вычислительные методы для поиска односторонних пределов

Это видео включает в себя:
* Обзор определения одностороннего предела
* Обзор вычислительной техники конечных пределов
* Как можно скорректировать вычислительные методы конечных пределов, чтобы найти односторонние пределы
* Как учащиеся делают частая ошибка неправильной установки знака минус
* Как вы можете использовать график для проверки ответа вашей вычислительной техники
* Как односторонние пределы могут фактически совпадать с конечными пределами

Примеры:

---

3: Использование вычислительных методов односторонних пределов для поиска рационального радикального предела

Это видео включает в себя:
* Обзор методов вычисления односторонних пределов
* Обзор того, как односторонние пределы могут фактически совпадать с конечными пределами

Пример:

---

4: Использование методов вычисления односторонних пределов вертикальной асимптоты

Это видео включает в себя:
* Обзор методов вычисления односторонних пределов
* Обзор конечного предела вертикальной асимптоты
* Как конечный, левый и правый пределы могут быть уникальными ответами
* Как вы можете использовать график, чтобы проверить ответ вашей вычислительной техники

Пример:

---

5: Использование вычислительных методов для поиска одностороннего предела в кусочной функции

Это видео охватывает:
* Обзор того, что такое кусочная функция, и как ее оценить и построить график
* Обзор вычислительной техники односторонних пределов
* Как односторонние пределы помогут вам найти конечный предел
* Как вы можете использовать график, чтобы проверить ответ вашей вычислительной техники

Пример:

---

6: Пример применения односторонних ограничений

Это видео включает в себя:
* Как интерпретация переменных в прикладной задаче может помочь решить поставленный вопрос
* Обзор шагов для построения графика рациональной функции, включая количество частей на графике, которое должно быть, и использование графического калькулятора для проверки
* Обзор вычислительной техники односторонних пределов
* Напоминание о маркировке всех ответов в прикладном примере

Примеры:

Видео-вопрос: поиск односторонних пределов функции

стенограмма видео

Определите левосторонний предел как приближается к отрицательной девятке 𝑓 из 𝑥 и правому пределу, когда 𝑥 приближается отрицательная девятка из из 𝑥 при условии, что 𝑓 из 𝑥 равно 𝑥 плюс девять, если 𝑥 меньше чем или равно отрицательным девяти и один больше плюс девять, если 𝑥 больше, чем отрицательная девятка.

Здесь нам дана функция определяется кусочно по двум интервалам. Для левого предела мы приближение 𝑥 равно минус девять с отрицательного направления. Следовательно, меньше отрицательного девять. Для правостороннего предела мы приближение 𝑥 равно отрицательным девяти с положительного направления. Следовательно, больше, чем отрицательная девятка. Поскольку 𝑥 равно отрицательному девяти, точка между двумя интервалами нашей кусочной функции, для нашей левой предел будет в первом интервале, а для нашего правостороннего предела будет в второй интервал.Давайте поработаем над поиском левосторонний предел.

В этом случае наша функция 𝑓 от 𝑥 составляет 𝑥 плюс девять. Мы можем найти этот предел прямым подстановка 𝑥 дает в нашу функцию отрицательные девять. Таким образом, мы обнаруживаем, что наш ответ отрицательно девять плюс девять, что равно нулю. Левосторонний предел при приближается к минусу девять из из 𝑥, следовательно, ноль. Теперь что касается правостороннего предела, здесь наша функция 𝑓 от равна единице над 𝑥 плюс девять. Опять же, мы попробовали прямую замену равно отрицательным девяти в нашей функции.На этот раз это дает нам ответ один больше нуля. И, как известно, разделив один на ноль не может быть оценен как числовое значение. В таких случаях мы говорим, что лимит не существует. Итак, в строгом смысле это ответ на наш вопрос.

Чтобы лучше понять наши Результат, однако, давайте посмотрим на график нашей функции. Здесь мы набросали наши график. И мы знаем, что в промежутке где 𝑥 меньше или равно отрицательным девяти, мы имеем функция.И мы знаем, что благодаря твердому точка здесь под минусом девять 𝑥 действительно определена в этой точке. Для другого интервала мы знаем что, когда 𝑥 приближается к отрицательным девяти, мы получаем вертикальную асимптоту. Это означает, что значения 𝑓 𝑥 получить произвольно большой. И это часто представляется как бесконечность. В этом смысле обычно напишем, что правосторонний предел, когда приближается к отрицательной девятке 𝑓 из 𝑥, равен в положительную бесконечность.

Односторонние ограничения::

Категория	Описание	Разрешить
Аналитические и рабочие файлы cookie	Эти файлы cookie, включая файлы cookie Google Analytics, позволяют нам распознавать и подсчитывать количество посетителей на сайтах TI и видеть, как посетители перемещаются по нашим сайтам.Это помогает нам улучшить работу сайтов TI (например, облегчая вам поиск информации на сайте).
Рекламные и маркетинговые файлы cookie	Эти файлы cookie позволяют размещать рекламу на основе интересов на сайтах TI и сторонних веб-сайтах с использованием информации, которую вы предоставляете нам при взаимодействии с нашими сайтами.Объявления на основе интересов отображаются для вас на основе файлов cookie, связанных с вашими действиями в Интернете, такими как просмотр продуктов на наших сайтах. Мы также можем передавать эту информацию третьим лицам для этих целей. Эти файлы cookie помогают нам адаптировать рекламные объявления в соответствии с вашими интересами, управлять частотой, с которой вы видите рекламу, и понимать эффективность нашей рекламы.
Функциональные файлы cookie	Эти файлы cookie помогают идентифицировать вас и хранить ваши действия и информацию об учетной записи, чтобы предоставлять расширенные функциональные возможности, включая более персонализированный и релевантный опыт на наших сайтах.Если вы не разрешите использование этих файлов cookie, некоторые или все функции и услуги сайта могут работать некорректно. Если вы не разрешите использование этих файлов cookie, некоторые или все функции и услуги сайта могут работать некорректно.
Файлы cookie социальных сетей	Эти файлы cookie позволяют идентифицировать пользователей и контент, подключенный к онлайн-социальным сетям, таким как Facebook, Twitter и другим платформам социальных сетей, и помогают TI улучшить охват социальных сетей.
Строго необходимо	Эти файлы cookie необходимы для работы сайтов TI или для выполнения ваших запросов (например, для отслеживания того, какие товары вы поместили в корзину на сайте TI.com, для доступа к защищенным областям сайта TI или для управления настроенными вами настройки файлов cookie).	Всегда на связи

Пределы: Введение и односторонние ограничения

Предел функции f (x) при приближении x к некоторому произвольному значению a обозначается как:

limx → af (x) = L

и читается как «предел f (x), когда x приближается к равному L».Таким образом, когда значение x приближается к значению a, значение f (x) приближается к L. Важно отметить, что предел не включает, где x = a, а только значения, близкие к a и по обе стороны от a.

Возьмем функцию f (x) = x + 2x − 1 по мере приближения к 1. В таблице перечислены значения f (x) около x = 0.

Икс	f (х) = х + 2x − 1	Икс	f (х) = х + 2x − 1
-0.1	-1,72	0,0001	-2,0003
-0.5	-1,8571	0,001	-2,003003
-0.01	-0.1.9702	0,01	-2,030303
-0.001	-1,997003	0,05	-2,157895
-0.0001	-1,9997	0,1	-2,333333

Таблица показывает, что, когда x приближается к 0 слева или справа, значение f (x) приближается к -2.Отсюда мы можем предположить, что предел f (x) = x + 2x − 1, когда x приближается к 0, равен -2:

limx → 0 (x + 2) x − 1 = −2

В то время как предел функции f (x) = x + 2x − 1 кажется приближается к -2, когда x приближается к 0 либо слева, либо справа , некоторые функции имеют только односторонние ограничения. Для обозначения левого и правого пределов используются следующие обозначения.

limx → a − f (x) limx → a + f (x)

Левая граница Правая граница

Давайте посмотрим на некоторые пределы функции, показанные ниже.

Предел, когда x приближается к 1 слева, limx → 1 − f (x), равен 3, в то время как предел, когда x приближается к 1 справа, limx → 1 + f (x), равен 1. Поскольку слева- ручной и правый пределы, когда x приближается к 1, различны, предел, когда x приближается к 1, не существует.

Теперь давайте посмотрим на пределы, когда x приближается к 2. Предел, когда x приближается к 2 слева, равен 0,5, а предел, когда x приближается к 2 справа, равен 0,5. Следовательно, предел, когда x приближается к 1 в любом направлении, равен 0,5.

Обратите внимание, что когда x = 2, значение функции равно 4.Таким образом, предел не касается значения, когда x = 2, а только значения, которое оценивает x 2.

Пределы при x → 1

Левый предел: limx → 1 − f (x) = 3

Правый предел: limx → 1 + f (x) = 1

Общий предел: limx → 1f (x) = DNE

Пределы как x → 2

Левый предел: limx → 2 − f (x) = 0,5

Правый предел: limx → 2 + f (x) = 0,5

Общий предел: limx → 2f (x) = 0,5

Давайте найдем пределы на нескольких примерах.

Пример 1. Нарисуйте график и создайте таблицу, чтобы определить предел функции при x → 2.

limx → 2x − 1 + 3x

Шаг 1. Постройте график функции.
Шаг 2: Создайте таблицу значений, близких к 2 и по обе стороны от него. Икс f (x) = x − 1 + 3x Икс f (x) = x − 1 + 3x 1.8 2,1635 2,01 1.9925311 1.9 2,0782 2.05 1,9632659 1,95 2.0382 2.1 1,9280042 1.99 2,0075314 2.2 1.861566 Значение, когда x приближается к 2, как слева, так и справа приближается к 2. limx → 2 − f (x) = 2; limx → 2 + f (x) = 2
Шаг 3: Оцените предел	Поскольку пределы слева и справа одинаковы, то общий предел, когда x приближается к 2, равен 2. limx → 2f (x) = 2.

Пример 2: Нарисуйте график и создайте таблицу, чтобы определить предел функции при x → 1.

limx → 1×6 + 2×8 + 1

Шаг 1. Постройте график функции.
Шаг 2. Создайте таблицу для значений, близких к единице и по обе стороны от нее. Икс f (x) = x − 1 + 3x Икс f (x) = x − 1 + 3x 0.9 1,7696 1.0001 1.4997 0,99 1,5298 1.001 1,4969 0,999 1.5029 1.01 1,4969 0.9999 1,5003 1.1 1.1997628 Значение, когда x приближается к 1 как слева, так и справа, приближается к 1,5. limx → 1 − f (x) = 1,5; limx → 1 + f (x) = 1,5
Шаг 3: Оцените предел	Поскольку пределы слева и справа одинаковы, то общий предел, когда x приближается к 1, равен 1.5. limx → 1f (x) = 1,5.

Пример 3: Для функции, график которой указан, укажите значение каждой величины, если она существует. Если его нет, объясните почему.

limx → 3 − f (x) limx → 3 + f (x) limx → 3f (x) f (3) limx → 1 − f (x) limx → 1 + f (x) limx → 1f (x)).

График функций
Шаг 1. Оцените пределы, когда x приближается к 3. limx → 3 − f (x) – Когда x приближается к 3 слева, значение f (x) приближается к 2. limx → 3 + f (x) – Когда 3 приближается к 3 справа, значение f (x) приближается к 0. limx → 3f (x) – Поскольку значение f (x), когда x приближается к 3 слева, не равно значению, когда x приближается к 3 справа, этот предел не существует.
Шаг 2: Оцените f (3).	Значение y, когда x равно 3, равно -1. f (3) = -1 Обратите внимание, что пределы f (x) при x → 1 слева или справа могут не быть связаны со значением, когда x = 1.
Шаг 3. Оцените пределы, когда x приближается к 1. limx → 1 − f (x) – Когда x приближается к 1 слева, значение f (x) приближается к 2. limx → 1 + f (x) – Когда x приближается к 1 справа, значение f (x) приближается к 2. Оставить комментарий Отменить ответ Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться. Меню Поиск: