Онлайн калькулятор линейного программирования графическим методом онлайн: Симплекс метод онлайн - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Симплекс метод онлайн

Данный онлайн калькулятор решает задачу линейного программирования симплекс методом. Дается подробное решение с пояснениями. Для решения задачи линейного программирования задайте количество ограничений и количество переменных. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть смотрите в статье: Решение задачи линейного программирования. Симплекс метод.

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Симплекс метод

Симплекс метод − это метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП). Суть метода заключается в нахождении начального допустимого плана, и в последующем улучшении плана до достижения максимального (или минимального) значения целевой функции в данном выпуклом многогранном множестве или выяснения неразрешимости задачи.

Подробнее в статье: Решение задачи линейного программирования. Симплекс метод.

Примеры решения ЗЛП симплекс методом

Пример 1. Решить следующую задачу линейного программирования:

Р е ш е н и е. Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Составляем симплексную таблицу. В столбец x₀ записывается правая часть ограничений. С правой стороны записывается матрица коэффициентов

A. Последняя строка – это целевая функция, умноженная на −1. Последние три векторы столбцы обазуют базис в трехмерном пространствое. Следовательно базисные переменные , а свободные переменные :

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x₂. Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при .

min(40:6, 28:2)=20/3 соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x₃. Сделаем исключение Гаусса для столбца x₂, учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на -1/3, 1/6, 1/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор

x₁. Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при .

min(44/3:11/3, 62/3:5/3)=4 соответствует строке 2. Из базиса выходит вектор x₄. Сделаем исключение Гаусса для столбца x₁, учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 2. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 3, 4 со строкой 2, умноженной на 1/11, -5/11, 9/11, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Запишем текущий опорный план:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение можно записать так: .

Значение целевой функции в данной точке: F(X)=.

Пример 2. Найти максимум функции

при условиях

Р е ш е н и е. Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Составляем симплексную таблицу.

В столбец x₀ записывается правая часть ограничений. С правой стороны записывается матрица коэффициентов A. Последняя строка – это целевая функция, умноженная на −1:

Базисные векторы x₄, x₃, следовательно, все элементы в столбцах x₄, x₃, ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x₄, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 4. Обнулим все элементы столбца x₃, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 1.

Симплекс таблица примет вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-11), следовательно в базис входит вектор x₂. Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . Все следовательно целевая функция неограничена сверху. Т.е. задача линейного программирования неразрешима.

Примеры решения ЗЛП методом искусственного базиса

Пример 1. Найти максимум функции

при условиях

Р е ш е н и е. Так как количество базисных векторов должен быть 3, то добавляем искусственное переменное, а в целевую функцию добавляем это переменное, умноженное на −M, где M, очень большое число:

Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Составляем симплексную таблицу. В столбец x₀ записывается правая часть ограничений. С правой стороны записывается матрица коэффициентов A. Последние две строки − это целевая функция, умноженная на −1 и разделенная на две части. Последняя строка − строка с исскуственными переменными:

Базисные векторы следовательно, все элементы в столбцах ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.

Симплекс таблица примет вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-5), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор Сделаем исключение Гаусса для столбца учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строку 5 со строкой 3, умноженной на 1. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор

x₂. Сделаем исключение Гаусса для столбца x₁, учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на 3/2, -1/10, 3/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-13/2), следовательно в базис входит вектор

x₃. Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор x₅.

Сделаем исключение Гаусса для столбца x₃, учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 2, 4 со строкой 3, умноженной на 5/3, 25/9, 65/9, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Запишем текущий опорный план:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4−5 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение исходной задачи можно записать так:

Значение целевой функции в данной точке:

Пример 2. Найти оптимальный план задачи линейного программирования:

Р е ш е н и е. Так как количество базисных векторов должен быть 3, то добавляем искусственные переменные, а в целевую функцию добавляем эти переменные, умноженные на −M, где M, очень большое число:

Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Базисные векторы x₄, x₅, x₆, следовательно, все элементы в столбцах x₄, x₅, x₆, ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x₄, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 4 со строкой 1, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x₅, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 2, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x₆, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.

Симплекс таблица примет вид:

Запишем текущий опорный план:

В строке 5 элементы, соответствующие переменным x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆ неотрицательны, а число находящийся в пересечении данной строки и столбца x₀ отрицательнo. Тогда исходная задача не имеет опорного плана. Следовательно она неразрешима.

Симплекс метод онлайн | Калькулятор симплекс-метода | Решение основной задачи линейного программирования

Количество переменных:

Количество ограничений:

Целевая функция:

→ minmax

Базовый симплекс-методМетод искусственного базиса

Очистить

Решить

В двойственную

Выполнено действий:

Как пользоваться калькулятором

Задайте количество переменных и ограничений
Введите коэффициенты целевой функции
Введите коэффициенты ограничений и выберите условия (≤, = или ≥)
Выберите тип решения
Нажмите кнопку “Решить”

Что умеет калькулятор симплекс-метода

Решает основную задачу линейного программирования
Позволяет получить решение с помощью основного симплекс-метода и метода искусственного базиса
Работает с произвольным количеством переменных и ограничений

Что такое симплекс-метод

Задача линейного программирования — это задача поиска неотрицательных значений параметров, на которых заданная линейная функция достигает своего максимума или минимума при заданных линейных ограничениях.

Симплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. Алгоритм является универсальным методом, которым можно решить любую задачу линейного программирования.

Если вам тоже ничего не понятно из этого определения, то вы на верном пути. Чаще всего статьи про симплекс-метод очень сильно углубляются в дебри теории задачи линейного программирования, из-за чего очень легко потерять суть и так ничего и не понять. Мы постараемся описать алгоритм симплекс-метода так, чтобы показать, что в нём нет ничего страшного и на самом деле он весьма простой. Но сначала нам всё-таки потребуется ввести несколько определений.

Целевая функция — функция, максимум (или минимум) которой нужно найти. Представляет собой сумму произведений коэффициентов на значения переменных: F = c₁·x₁ + c₂·x₂ + … + c_n·x_n

Ограничение — условие вида a₁·x₁ + a₂·x₂ + . .. + a_n·x_n v b_{, где вместо v ставится один из знаков: ≤, = или ≥}

План — произвольный набор значений переменных x₁ … x_n.

Алгоритм решения основной задачи ЛП симплекс-методом

Пусть в задаче есть m ограничений, а целевая функция заивисит от n основных переменных. Первым делом необходимо привести все ограничения к каноническому виду — виду, в котором все условия задаются равенствами. Для этого предварительно все неравенства с ≥ умножаются на -1, для получения неравенств с ≤.

Чтобы привести ограничения с неравенствами к каноническому виду, для каждого ограничения вводят переменную, называемую дополнительной с коэффициентом 1. В ответе эти переменные учитываться не будут, однако сильно упростят начальные вычисления. При этом дополнительные переменные являются базисными, а потому могут быть использованы для формирования начального опорного решения.

Пример 1

Привести к каноническому виду ограничения:
2·x₁ + 3·x₂ + 6·x₃ ≤ 240
4·x₁ + 2·x₂ + 4·x₃ = 200
4·x₁ + 6·x₂ + 8·x₃ ≥ 160
Меняем знаки у ограничений с ≥, путём умножения на -1 и добавляем дополнительные переменные к ограничениям с неравенством:
2·x₁ + 3·x₂ + 6·x₃ + x₄ = 240
4·x₁ + 2·x₂ + 4·x₃ = 200
-4·x₁ – 6·x₂ – 8·x₃ + x₅ = -160

Формирование начального базиса

После того как задача приведена к каноническому виду, необходимо найти начальный базис для формирования первого опорного решения. Если в процессе приведения были добавлены дополнительные переменные, то они становятся базисными.

Иначе необходимо выделить среди коэффициентов ограничений столбец, который участвует в формировании единичной матрицы в заданной строке (например, если требуется определить вторую базисную переменную, то необходимо искать столбец, в котором второе число равно 1, а остальные равны нулю). Если такой столбец найден, то переменная, соответствующая этому столбцу, становится базисной.

В противном случае можно поискать столбец, в котором все значения кроме числа в заданной строке равны нулю, и, если он будет найден, то разделить все значения строки на число, стоящее на пересечении этих строки и столбца, тем самым образовав столбец, участвующий в формировании единичной матрицы.

Пример 2

9·x₁ + 5·x₂ + 4·x₃ + 3·x₄ + 2·x₅ → max
x₁ – 2·x₂ + 2·x₃ ≤ 6
x₁ + 2·x₂ + x₃ + x₄ = 24
2·x₁ + x₂ – 4·x₃ + 2·x₅ = 30
Для ограничения с неравенством добавляем дополнительную переменную x₆.

Перепишем ограничения в каноническом виде:
x₁ – 2·x₂ + 2·x₃ + x₆ = 6
x₁ + 2·x₂ + x₃ + x₄ = 24
2·x₁ + x₂ – 4·x₃ + 2·x₅ = 30

Ищем начальное базисное решение:
Ограничение 1 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x₆
Столбец 4 является частью единичной матрицы. Переменная x₄ входит в начальный базис
В пятом столбце все значения кроме третьего равны нулю. Поэтому в качестве третьей базисной переменной берём x₅, предварительно разделив третью строку на 2.
Симплекс-таблица

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	b
x₆	1	-2	2	0	0	1	6
x₄	1	2	1	1	0	0	24
?	2	1	-4	0	2	0	30

После преобразования получаем следующую таблицу:

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	b
x₆	1	-2	2	0	0	1	6
x₄	1	2	1	1	0	0	24
x₅	1		-2	0	1	0	15

Если такой столбец отсутствует, то для формирования базиса необходимо применить исключение Гаусса для первого ненулевого столбца, который ещё не является базисным. Для этого вся строка делится на элемент в найденном столбце, а из остальных строк вычитается полученная строка, разделённая на значение, стоящее в этом же столбце. После этой операции все значения вне данной строки будут обнулены, и столбец можно будет считать базисным.

Пример 3

4·x₁ + 5·x₂ + 4·x₃ → max
2·x₁ + 3·x₂ + 6·x₃ ≤ 240
4·x₁ + 2·x₂ + 4·x₃ = 160
4·x₁ + 6·x₂ + 8·x₃ ≤ 200
Для каждого ограничения с неравенством добавляем дополнительные переменные x₄ и x₅.
Перепишем ограничения в каноническом виде:
2·x₁ + 3·x₂ + 6·x₃ + x₄ = 240
4·x₁ + 2·x₂ + 4·x₃ = 160
4·x₁ + 6·x₂ + 8·x₃ + x₅ = 200

Ищем начальное базисное решение:
Ограничение 1 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x₄
Ограничение 3 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x₅

Начальная симплекс-таблица

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	b
x₄	2	3	6	1	0	240
?	4	2	4	0	0	160
x₅	4	6	8	0	1	200

Для определения второй базисной переменной ищем первый ненулевой столбец, который ещё не является базисным.

Первый столбец не нулевой и не является базисным. Выполняем исключение Гаусса: делим строку 2 на 4, а из первой и третьей строк вычитаем вторую, умноженную на соответствующий элемент в первом столбце.

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	b
x₄	2	3	6	1	0	240
x₁	4	2	4	0	0	160
x₅	4	6	8	0	1	200

После исключения получаем следующую таблицу:

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	b
x₄	0	2	4	1	0	160
x₁	1		1	0	0	40
x₅	0	4	4	0	1	40

После того как базис сформирован, нужно построить начальную симплекс-таблицу. Она строится следующим образом:

Для удобства в первой строке можно записать коэффициенты C_i целевой функции (для дополнительных переменных эти коэффициенты равны нулю)
Вторая строка формирует шапку таблицы. В ней первый столбец называется базис, а остальные перечисляют основные переменные x₁..x_n и дополнительные x_n+1..x_n+k
Затем построчно перечисляются базисные переменные и коэффициенты ограничений

Схематично начальная таблица будет выглядеть примерно так:

C	с₁	c₂	…	c_n	0	0	…	0	0
базис	x₁	x₂	…	x_n	x_n+1	x_n+2	…	x_n+k	b
x_e₁	a₁₁	a₁₂	. ..	a_1n	a_1n+1	a_1n+2	…	a_1n+k	b₁
x_e₂	a₂₁	a₂₂	…	a_2n	a_2n+1	a_2n+2	…	a_2n+k	b₂
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
x_{e_m}	a_m1	a_m2	…	a_mn	a_mn+1	a_mn+2	…	a_mn+k	b_m

Избавляемся от отрицательных свободных коэффициентов

После приведения к каноническому виду или после алгебраических преобразований при формировании базиса некоторые из свободных коэффициентов (b_i) могли стать отрицательными, что не позволяет перейти к дальнейшим вычислениям. Чтобы избавиться от отрицательных значений b необходимо:

Найти строку, в которой находится максимальное по модулю значение b. Пусть это будет строка i;
Найти максимальный по модулю элемент в этой строке. Пусть он находится в столбце j;
Строку i разделить на элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца;
Из каждой оставшейся строки k вычесть строку i, умноженную на элемент строки k и столбца j;
Переменную, соответствующую найденному столбцу j, сделать базисной (добавить в базис вместо переменной, находящейся в строке i).

Этот шаг необходимо повторять до тех пор, пока все отрицательные b не станут положительными или в строке не останется отрицательных элементов. Если строка с максимальным по модулю b_i не содержит отрицательных элементов, то такая задача не имеет решений и на этом алгоритм заканчивает свою работу. В противном случае все b_i положительны и алгоритм переходит к следующему этапу — расчёту дельт.

Пример 4

20·x₁ + 20·x₂ + 10·x₃ → min
4·x₁ + 3·x₂ + 2·x₃ ≥ 33
3·x₁ + 2·x₂ + x₃ ≥ 23
x₁ + x₂ + 2·x₃ ≥ 12

Меняем знаки у ограничений с ≥, путём умножения на -1:
-4·x₁ – 3·x₂ – 2·x₃ ≤ -33
– 3·x₁ – 2·x₂ – x₃ ≤ -23
– x₁ – x₂ – 2·x₃ ≤ -12

Для каждого ограничения с неравенством добавляем дополнительные переменные x₄..x₆.
Перепишем ограничения в каноническом виде:
– 4·x₁ – 3·x₂ – 2·x₃ + x₄ = -33
– 3·x₁ – 2·x₂ – x₃ + x₅ = -23
– x₁ – x₂ – 2·x₃ + x₆ = -12

Ищем начальное базисное решение:
Ограничение 1 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x₄
Ограничение 2 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x₅
Ограничение 3 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x₆

Начальная симплекс-таблица

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	b
C	20	20	10	0	0	0	0
x₄	-4	-3	-2	1	0	0	-33
x₅	-3	-2	-1	0	1	0	-23
x₆	-1	-1	-2	0	0	1	-12

В столбце b присутствуют отрицательные значения.

Максимальное по модулю |b|_max = |-33| находится в первой строке.
Максимальный по модулю элемент в первой строке = -4 находится в первом столбце.
В качестве базисной переменной x₄ берём x₁.
Делим первую строку на -4. Из второй и третьей строк вычитаем первую, умноженную на соответствующий элемент в первом столбце.

Обновлённая таблица:

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	b
C	20	20	10	0	0	0	0
x₁	1			–	0	0
x₅	0			–	1	0
x₆	0	–	–	–	0	1	–

В столбце b присутствуют отрицательные значения.

Максимальное по модулю |b|_max = |- | находится в третьей строке.
Максимальный по модулю элемент в третьей строке = – находится в третьем столбце.
В качестве базисной переменной x₆ берём x₃.
Делим третью строку на – . Из первой и второй строк вычитаем третью, умноженную на соответствующий элемент в третьем столбце.

Обновлённая таблица:

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	b
C	20	20	10	0	0	0	0
x₁	1		0	–	0		7
x₅	0		0	–	1
x₃	0		1		0	–

Расчёт дельт

Дельты — это параметры, на основании которых проверяется оптимальность текущего решения и улучшается функция. Они рассчитываются для каждой из переменных ограничений и записываются последней строкой таблицы.

Для расчёта дельт используется следующая формула: Δ_i = c_e₁·a_1i + c_e₂·a_2i + … + c_{e_m}·a_mi – c_i. Проще говоря, чтобы вычислить дельту по заданной i-ой переменной, нужно перемножить коэффициенты условий в i-ом столбце на коэффициенты целевой функции при соответствующих базисных переменных, сложить эти произведения и вычесть из полученной суммы коэффициент целевой функции столбца i.

Пример 5

Таблица:

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	b
C	3	0	2	0	0	-6	0
x₂	2	1	-3	0	0	6	18
x₄	-3	0	2	1	0	-2	24
x₅		0		0	1	–

Вычисляем дельты: Δ_i = C₂·a_1i + C₄·a_2i + C₅·a_3i – C_i
Симплекс-таблица с дельтами

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	b
C	3	0	2	0	0	-6	0
x₂	2	1	-3	0	0	6	18
x₄	-3	0	2	1	0	-2	24
x₅		0		0	1	–
Δ	-3	0	-2	0	0	6	0

Проверка плана на оптимальность

После того как дельты рассчитаны, необходимо проверить оптимальность текущего плана. Критерий оптимальности формулируется следующим образом:
При максимизации функции: текущее решение считается оптимальным, если в таблице отсутствуют отрицательные дельты.
При минимизации функции: текущее решение считается оптимальным, если в таблице отсутствуют положительные дельты.

Пример 6

9·x₁ + 5·x₂ + 4·x₃ + 3·x₄ + 2·x₅ → max
x₁ – 2·x₂ + 2·x₃ ≤ 6
x₁ + 2·x₂ + x₃ + x₄ = 24
2·x₁ + x₂ – 4·x₃ + x₅ = 30
Симплекс-таблица с дельтами

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	b
C	9	5	4	3	2	0	0
x₆	1	-2	2	0	0	1	6
x₄	1	2	1	1	0	0	24
x₅	2	1	-4	0	1	0	30
Δ	-2	3	-9	0	0	0	132

Критерий оптимальности: план оптимален, если в таблице отсутствуют отрицательные дельты.

План не оптимален, так как ищется максимум функции, а Δ₁ = -2 отрицательна.

Если текущий план оптимален, то алгоритм завершает свою работу. Значениям переменных соответствуют значения столбца свободных коэффициентов b. Если свободной переменной нет в базисе, то её значение считается нулевым. Значение целевой функции, принимаемой на данном наборе, находится в строке с дельтами в том же столбце. Если какое-либо из значений столбца b отрицательно, то решения задачи не существует.

Переход к более оптимальному решению

Если текущий план оказался не оптимальным, то алгоритм ищет столбец с наименьшей (с наибольшей, если ищется минимум) дельтой. После чего вычисляются симплекс-отношения Q. Для этого значения свободных коэффициентов делятся на ненулевые коэффициенты из найденного столбца. Если результат деления получается отрицательным, то такие отношение игнорируются.

Среди найденных симплекс-отношений ищется строка, в которой находится симплекс-отношение с наименьшим значением. Если таких отношений нет, то алгоритм останавливает свою работу, так как целевая функция не ограничена и решения не существует.

Пример 7

Симплекс-таблица с дельтами

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	b
C	2	1	-2	0	0	0	0
x₁	1	-5	0	-3	0	-1	25
x₅	0	-16	0	-7	1	-3	57
x₃	0	-6	1	-2	0	-1	17
Δ	0	1	0	-2	0	0	16

Проверяем план на оптимальность: план не оптимален, так как ищется минимум функции, а Δ₂ = 1 положительна.

Определяем разрешающий столбец – столбец, в котором находится максимальная дельта: 2, Δ₂: 1
Находим симплекс-отношения Q, путём деления коэффициентов b на соответствующие значения второго столбца

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	b	Q
C	2	1	-2	0	0	0	0
x₁	1	-5	0	-3	0	-1	25	–
x₅	0	-16	0	-7	1	-3	57	–
x₃	0	-6	1	-2	0	-1	17	–
Δ	0	1	0	-2	0	0	16

Все значения второго столбца отрицательны.

Функция не ограничена. Оптимальное решение отсутствует.

В противном случае строка с наименьшим отношением считается разрешающей и, аналогично избавлению от отрицательных свободных коэффициентов, делится на разрешающий элемент, расположенный в найденных столбце и строке, и из остальных строк вычитается найденная строка, разделённая на значения, стоящие в этом же столбце соответствующей строки. Переменная, стоящая в разрешающем столбце заменяет базисную переменную, находящуюся в найденной строке.

После этого вычисляются новые дельты и проверяется новый план. Так продолжается до тех пор пока не будет выполнен критерий оптимальности плана или не будет установлено, что решение не существует.

Пример 8

Симплекс-таблица с дельтами

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	b
C	9	5	4	3	2	0	0
x₆	1	-2	2	0	0	1	6
x₄	1	2	1	1	0	0	24
x₅	2	1	-4	0	1	0	30
Δ	-2	3	-9	0	0	0	132

Проверяем план на оптимальность: план не оптимален, так как Δ₁ = -2 отрицательна.

Итерация 1

Определяем разрешающий столбец – столбец, в котором находится минимальная дельта: 3, Δ₃: -9
Находим симплекс-отношения Q, путём деления коэффициентов b на соответствующие значения третьего столбца
В найденном столбце ищем строку с наименьшим значением Q: Q_min = 3, строка 1.
На пересечении найденных строки и столбца находится разрешающий элемент: 2
В качестве базисной переменной x₆ берём x₃.

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	b	Q
C	9	5	4	3	2	0	0
x₃	1	-2	2	0	0	1	6	6 / 2 = 3
x₄	1	2	1	1	0	0	24	24 / 1 = 24
x₅	2	1	-4	0	1	0	30	–
Δ	-2	3	-9	0	0	0	132

Делим первую строку на 2.

Из второй и третьей строк вычитаем первую, умноженную на соответствующий элемент в третьем столбце.
Вычисляем новые дельты: Δ_i = C₃·a_1i + C₄·a_2i + C₅·a_3i – C_i

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	b	Q
C	9	5	4	3	2	0	0
x₃		-1	1	0	0		3	3
x₄		3	0	1	0	–	21	24
x₅	4	-3	0	0	1	2	42	–
Δ		-6	0	0	0		159

Текущий план X: [ 0, 0, 3, 21, 42, 0 ]
Целевая функция F: 9·0 + 5·0 + 4·3 + 3·21 + 2·42 + 0·0 = 159
Проверяем план на оптимальность: план не оптимален, так как Δ₂ = -6 отрицательна.

Итерация 2

Определяем разрешающий столбец – столбец, в котором находится минимальная дельта: 2, Δ₂: -6
Находим симплекс-отношения Q, путём деления коэффициентов b на соответствующие значения второго столбца
В найденном столбце ищем строку с наименьшим значением Q: Q_min = 7, строка 2.
На пересечении найденных строки и столбца находится разрешающий элемент: 3
В качестве базисной переменной x₄ берём x₂.

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	b	Q
C	9	5	4	3	2	0	0
x₃		-1	1	0	0		3	–
x₂		3	0	1	0	–	21	21 / 3 = 7
x₅	4	-3	0	0	1	2	42	–
Δ		-6	0	0	0		159

Делим вторую строку на 3.

Из первой и третьей строк вычитаем вторую, умноженную на соответствующий элемент во втором столбце.
Вычисляем новые дельты: Δ_i = C₃·a_1i + C₂·a_2i + C₅·a_3i – C_i

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	b	Q
C	9	5	4	3	2	0	0
x₃		0	1		0		10	–
x₂		1	0		0	–	7	7
x₅		0	0	1	1		63	–
Δ		0	0	2	0		201

Текущий план X: [ 0, 7, 10, 0, 63, 0 ]
Целевая функция F: 9·0 + 5·7 + 4·10 + 3·0 + 2·63 + 0·0 = 201
Проверяем план на оптимальность: отрицательные дельты отсутствуют, следовательно план оптимален.

Ответ: x₁ = 0, x₂ = 7, x₃ = 10, x₄ = 0, x₅ = 63, F = 201

Метод искусственного базиса

Очень часто при решении задачи линейной оптимизации бывает довольно сложно выполнять алгебраические преобразования над коэффициентами ограничений для поиска начального базиса. Для упрощения вычислений существует альтернативный метод решения, называемый методом искусственного базиса. Его суть заключается в том, что вместо того, чтобы искать базис среди имеющихся основных и дополнительных переменных, ввести так называемые искусственные переменные, которые сформируют начальный базис. Возможно, звучит сложно и непонятно, но сейчас мы всё объясним.

Подготовительный этап

Аналогично базовому симплекс-методу для всех ограничений с неравентством вводятся дополнительные переменные, причём для ограничений с ≥ они берутся с коэффициентом -1, а для ограничений с ≤ с коэффициентом 1. Ограничения с равенством остаются без изменений. Если свободный коэффициент какого-либо из ограничений меньше нуля, то такое ограничение умножается на -1 (знак неравенства при этом меняется на противоположный). После этого приступают к поиску базиса.

Пример 9

3·x₁ + 2·x₂ + 3·x₃ → min
-2·x₁ – x₂ – x₃ ≥ -2
3·x₁ + 8·x₂ + 2·x₃ ≥ 8
2·x₁ + x₃ = 1
Меняем знаки у ограничений с отрицательными свободными коэффициентами, путём умножения на -1:
2·x₁ + x₂ + x₃ ≤ 2
3·x₁ + 8·x₂ + 2·x₃ ≥ 8
2·x₁ + x₃ = 1

Для каждого ограничения с неравенством добавляем дополнительные переменные x₄ и x₅.
Ограничение 1 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x₄
Ограничение 2 содержит неравенство с ≥. Базисная переменная для этого ограничения будет определена позднее.
Ограничение 3 содержит равенство. Базисная переменная для этого ограничения будет определена позднее.

Начальная симплекс-таблица

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	b
C	3	2	3	0	0	0
x₄	2	1	1	1	0	2
?₁	3	8	2	0	-1	8
?₂	2	0	1	0	0	1

Формирование начального базиса

Для того, чтобы сформировать начальный базис в первую очередь можно поискать столбец, у которого одно значение равно единице, а все значения остальные значения равны нулю, и сделать соответствующую переменную базисной для этой строки. Однако такое случается довольно редко, поэтому проще сразу перейти к следующему пункту. Для всех ограничений, не имеющих базисной переменной, добавляем искусственную переменную с коэффициентом 1. В целевую функцию добавляем эту же переменную с коэффициентов -M, если ищется максимум или с коэффициентом M, если ищется минимум. M всего лишь является очень большим числом.

Пример 10

x₁ – x₂ → min
2·x₁ + x₂ = 1
x₁ – 3·x₂ + x₃ = 3
x₁ + 11·x₂ = 11
Ограничение 1 содержит равенство. Базисная переменная для этого ограничения будет определена позднее.
Столбец 3 является частью единичной матрицы. Переменная x₃ входит в начальный базис
Ограничение 3 содержит равенство. Базисная переменная для этого ограничения будет определена позднее.

Начальная симплекс-таблица

базис	x₁	x₂	x₃	b
C	1	-1	0	0
?₁	2	1	0	1
x₃	1	-3	1	3
?₃	1	11	0	11

Для ограничения 1 добавляем искусственную переменную u₁ и делаем её базисной.

Для ограничения 3 добавляем искусственную переменную u₂ и делаем её базисной.
В целевую функцию добавляем искусственные пременные с коэффициентом M, где M — очень большое число.

Таблица с искусственными переменными

базис	x₁	x₂	x₃	u₁	u₂	b
C	1	-1	0	M	M	0
u₁	2	1	0	1	0	1
x₃	1	-3	1	0	0	3
u₂	1	11	0	0	1	11

Перепишем условие задачи с учётом добавленных искусственных переменных:
F = 1x₁ -1x₂ + Mu₁ + Mu₂ → min
2·x₁ + x₂ + u₁ = 1
x₁ – 3·x₂ + x₃ = 3
x₁ + 11·x₂ + u₂ = 11

Расчёт дельт и проверка плана на оптимальность

После того, как начальный базис сформирован необходимо вычислить дельты. Дельты вычисляются полностью аналогично базовому методу: Δ_i = c_e₁·a_1i + c_e₂·a_2i + … + c_{e_m}·a_mi – c_i. Единственным отличием будет тот факт, что результат может содержать значения с M. Когда дельты будут получены необходимо проверить текущий опорный план на оптимальность (см. проверку плана на оптимальность в базовом симплекс-методе). Если план оптимален, то алгоритм завершает свою работу, иначе формирует более оптимальное решение и повторяет процесс.

Пример 11

Таблица с искусственными переменными

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	u₁	u₂	b
C	3	2	3	0	0	0	M	M	0
x₄	2	1	1	1	0	0	0	0	2
u₁	3	0	2	0	-1	0	1	0	3
u₂	0	0	1	0	0	-1	0	1	1

Вычисляем дельты: Δ_i = C₄·a_1i + C₇·a_2i + C₈·a_3i – C_i

Δ₁ = C₄·a₁₁ + C₇·a₂₁ + C₈·a₃₁ – C₁ = 0·2 + M·3 + M·0 – 3 = -3 + 3M
Δ₂ = C₄·a₁₂ + C₇·a₂₂ + C₈·a₃₂ – C₂ = 0·1 + M·0 + M·0 – 2 = -2
Δ₃ = C₄·a₁₃ + C₇·a₂₃ + C₈·a₃₃ – C₃ = 0·1 + M·2 + M·1 – 3 = -3 + 3M
Δ₄ = C₄·a₁₄ + C₇·a₂₄ + C₈·a₃₄ – C₄ = 0·1 + M·0 + M·0 – 0 = 0
Δ₅ = C₄·a₁₅ + C₇·a₂₅ + C₈·a₃₅ – C₅ = 0·0 + M·(-1) + M·0 – 0 = -M
Δ₆ = C₄·a₁₆ + C₇·a₂₆ + C₈·a₃₆ – C₆ = 0·0 + M·0 + M·(-1) – 0 = -M
Δ₇ = C₄·a₁₇ + C₇·a₂₇ + C₈·a₃₇ – C₇ = 0·0 + M·1 + M·0 – M = 0
Δ₈ = C₄·a₁₈ + C₇·a₂₈ + C₈·a₃₈ – C₈ = 0·0 + M·0 + M·1 – M = 0
Δ_b = C₄·b₁ + C₇·b₂ + C₈·b₃ – C₉ = 0·2 + M·3 + M·1 – 0 = 4M

Симплекс-таблица с дельтами

базис	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	u₁	u₂	b
C	3	2	3	0	0	0	M	M	0
x₄	2	1	1	1	0	0	0	0	2
u₁	3	0	2	0	-1	0	1	0	3
u₂	0	0	1	0	0	-1	0	1	1
Δ	-3 + 3M	-2	-3 + 3M	0	-M	-M	0	0	4M

Текущий план X: [ 0, 0, 0, 2, 0, 0, 3, 1 ]
Целевая функция F: 3·0 + 2·0 + 3·0 + 0·2 + 0·0 + 0·0 + M·3 + M·1 = 4M
Проверяем план на оптимальность: план не оптимален, так как Δ₁ = -3 + 3M положительна.

задачи линейного программирования решение онлайн

Вы искали задачи линейного программирования решение онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и калькулятор онлайн симплексный метод, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «задачи линейного программирования решение онлайн».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как задачи линейного программирования решение онлайн,калькулятор онлайн симплексный метод,калькулятор симплекс,калькулятор симплекс метод,калькулятор симплекс метода онлайн,метод искусственного базиса калькулятор онлайн,метод искусственного базиса онлайн калькулятор,метод оптимальных решений онлайн калькулятор,методы оптимальных решений калькулятор онлайн,методы оптимальных решений онлайн калькулятор,онлайн калькулятор метод искусственного базиса,онлайн калькулятор методы оптимальных решений,онлайн калькулятор симплекс метод,онлайн калькулятор симплекс метод с подробным решением,онлайн калькулятор симплекс метода,онлайн калькулятор симплексный метод,онлайн решение задач линейного программирования,онлайн решение задачи линейного программирования,онлайн решение симплекс метод,онлайн решение симплекс методом,решение задач линейного программирования онлайн,решение задач линейного программирования симплекс методом онлайн,решение задач симплекс методом онлайн,решение задач симплекс методом онлайн с решением,решение задачи линейного программирования онлайн,решение задачи линейного программирования симплекс методом онлайн,решение задачи симплекс методом онлайн,решение злп симплекс методом онлайн,решение онлайн симплекс методом,решение симплекс метод онлайн,решение симплекс методом,решение симплекс методом онлайн,решения задачи табличным симплексным методом онлайн,решить задачу линейного программирования онлайн,решить задачу линейного программирования симплекс методом онлайн,решить задачу симплекс методом онлайн,решить онлайн задачу линейного программирования,решить онлайн симплекс методом,решить симплекс методом задачу,решить симплекс методом задачу линейного программирования онлайн,решить симплекс методом онлайн,симплекс калькулятор,симплекс калькулятор онлайн,симплекс метод калькулятор,симплекс метод калькулятор онлайн,симплекс метод онлайн,симплекс метод онлайн калькулятор,симплекс метод онлайн калькулятор с подробным решением,симплекс метод онлайн решение,симплекс метод онлайн с параметром,симплекс метод онлайн с подробным решением,симплекс метод онлайн с подробным решением онлайн,симплекс метод решение онлайн,симплекс метод с параметром онлайн,симплекс онлайн,симплекс онлайн калькулятор,симплекс таблица онлайн,симплексный метод калькулятор онлайн,симплексный метод онлайн,симплексный метод онлайн калькулятор. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и задачи линейного программирования решение онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, калькулятор симплекс).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же задачи линейного программирования решение онлайн Онлайн?

Решить задачу задачи линейного программирования решение онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Графический метод – линейное программирование

Описание метода

Если в задаче линейного программирования имеется только две переменные, то ее можно решить графическим методом.

Рассмотрим задачу линейного программирования с двумя переменными и :
(1.1) ;
(1.2)
Здесь , есть произвольные числа. Задача может быть как на нахождение максимума (max), так и на нахождение минимума (min). В системе ограничений могут присутствовать как знаки , так и знаки .

Построение области допустимых решений

Графический метод решения задачи (1) следующий.
Вначале мы проводим оси координат и и выбираем масштаб. Каждое из неравенств системы ограничений (1.2) определяет полуплоскость, ограниченную соответствующей прямой.

Так, первое неравенство
(1.2.1)
определяет полуплоскость, ограниченную прямой . С одной стороны от этой прямой , а с другой стороны . На самой прямой . Чтобы узнать, с какой стороны выполняется неравенство (1.2.1), мы выбираем произвольную точку, не лежащую на прямой. Далее подставляем координаты этой точки в (1.2.1). Если неравенство выполняется, то полуплоскость содержит выбранную точку. Если неравенство не выполняется, то полуплоскость расположена с другой стороны (не содержит выбранную точку). Заштриховываем полуплоскость, для которой выполняется неравенство (1.2.1).

Тоже самое выполняем для остальных неравенств системы (1.2). Так мы получим заштрихованных полуплоскостей. Точки области допустимых решений удовлетворяют всем неравенствам (1.2). Поэтому, графически, область допустимых решений (ОДР) является пересечением всех построенных полуплоскостей. Заштриховываем ОДР. Она представляет собой выпуклый многоугольник, грани которого принадлежат построенным прямым. Также ОДР может быть неограниченной выпуклой фигурой, отрезком, лучом или прямой.

Может возникнуть и такой случай, что полуплоскости не содержат общих точек. Тогда областью допустимых решений является пустое множество. Такая задача решений не имеет.

Можно упростить метод. Можно не заштриховывать каждую полуплоскость, а вначале построить все прямые
(2)
Далее выбрать произвольную точку, не принадлежащую ни одной из этих прямых. Подставить координаты этой точки в систему неравенств (1.2). Если все неравенства выполняются, то область допустимых решений ограничена построенными прямыми и включает в себя выбранную точку. Заштриховываем область допустимых решений по границам прямых так, чтобы оно включало в себя выбранную точку.

Если хотя бы одно неравенство не выполняется, то выбираем другую точку. И так далее, пока не будет найдены одна точка, координаты которой удовлетворяют системе (1.2).

Нахождение экстремума целевой функции

Итак, мы имеем заштрихованную область допустимых решений (ОДР). Она ограничена ломаной, состоящей из отрезков и лучей, принадлежащих построенным прямым (2). ОДР всегда является выпуклым множеством. Оно может быть как ограниченным множеством, так и не ограниченным вдоль некоторых направлений.

Теперь мы можем искать экстремум целевой функции
(1.1) .

Для этого выбираем любое число и строим прямую
(3) .
Для удобства дальнейшего изложения считаем, что эта прямая проходит через ОДР. На этой прямой целевая функция постоянна и равна . такая прямая называется линией уровня функции . Эта прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. На одной полуплоскости
.
На другой полуплоскости
.
То есть с одной стороны от прямой (3) целевая функция возрастает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3), тем больше будет значение . С другой стороны от прямой (3) целевая функция убывает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3) в другую сторону, тем меньше будет значение . Если мы проведем прямую, параллельную прямой (3), то новая прямая также будет линией уровня целевой функции, но с другим значением .

Таким образом, чтобы найти максимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3), максимально удаленную от нее в сторону возрастания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР. Чтобы найти минимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3) и максимально удаленную от нее в сторону убывания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР.

Если ОДР неограниченна, то может возникнуть случай, когда такую прямую провести нельзя. То есть как бы мы ни удаляли прямую от линии уровня (3) в сторону возрастания (убывания) , то прямая всегда будет проходить через ОДР. В этом случае может быть сколь угодно большим (малым). Поэтому максимального (минимального) значения нет. Задача решений не имеет.

Рассмотрим случай, когда крайняя прямая, параллельная произвольной прямой вида (3), проходит через одну вершину многоугольника ОДР. Из графика определяем координаты этой вершины. Тогда максимальное (минимальное) значение целевой функции определяется по формуле:
.
Решением задачи является
.

Также может встретиться случай, когда прямая параллельна одной из граней ОДР. Тогда прямая проходит через две вершины многоугольника ОДР. Определяем координаты и этих вершин. Для определения максимального (минимального) значения целевой функции, можно использовать координаты любой из этих вершин:
.
Задача имеет бесконечно много решений. Решением является любая точка, расположенная на отрезке между точками и , включая сами точки и .

Пример решения задачи линейного программирования графическим методом

Фирма выпускает платья двух моделей А и В. При этом используется ткань трех видов. На изготовление одного платья модели А требуется 2 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. На изготовление одного платья модели В требуется 3 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. Запасы ткани первого вида составляют 21 м, второго вида – 10 м, третьего вида – 16 м. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 400 ден. ед., одного изделия типа В – 300 ден. ед.

Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход. Задачу решить графическим методом.

Решение

Пусть переменные и означают количество произведенных платьев моделей А и В, соответственно. Тогда количество израсходованной ткани первого вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани второго вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани третьего вида составит:
(м)
Поскольку произведенное количество платьев не может быть отрицательным, то
и .
Доход от произведенных платьев составит:
(ден. ед.)

Тогда экономико-математическая модель задачи имеет вид:

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (10,5; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 10) и (10; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (8; 0).

Прямые и являются осями координат.

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми и осями координат. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область, чтобы точка (2; 2) попала в заштрихованную часть. Получаем четырехугольник OABC.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
(П1.1) .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 4) и (3; 0).

Далее замечаем, что поскольку коэффициенты при и целевой функции положительны (400 и 300), то она возрастает при увеличении и . Проводим прямую, параллельную прямой (П1.1), максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку четырехугольника OABC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

.
То есть, для получения наибольшего дохода, необходимо изготовить 8 платьев модели А. Доход при этом составит 3200 ден. ед.

Пример 2

Решить задачу линейного программирования графическим методом.

Решение

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 6) и (6; 0).

Строим прямую .
Отсюда .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (7; 2).

Строим прямую .
Строим прямую (ось абсцисс).

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область по границам построенных прямых, чтобы точка (4; 1) попала в заштрихованную часть. Получаем треугольник ABC.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
.
При .
При .
Проводим прямую линию уровня через точки (0; 6) и (4; 0).
Поскольку целевая функция увеличивается при увеличении и , то проводим прямую, параллельную линии уровня и максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку треугольника АВC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

Пример отсутствия решения

Решить графически задачу линейного программирования. Найти максимальное и минимальное значение целевой функции.

Решение

Решаем задачу графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (2,667; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 3) и (6; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (6; 3).

Прямые и являются осями координат.

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми и осями координат. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область, чтобы точка (3; 3) попала в заштрихованную часть. Получаем неограниченную область, ограниченную ломаной ABCDE.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
(П3.1) .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (7; 0).
Поскольку коэффициенты при и положительны, то возрастает при увеличении и .

Чтобы найти максимум, нужно провести параллельную прямую, максимально удаленную в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Однако, поскольку область неограниченна со стороны больших значений и , то такую прямую провести нельзя. Какую бы прямую мы не провели, всегда найдутся точки области, более удаленные в сторону увеличения и . Поэтому максимума не существует. можно сделать сколь угодно большой.

Ищем минимум. Проводим прямую, параллельную прямой (П3.1) и максимально удаленную от нее в сторону убывания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.
Минимальное значение целевой функции:

Ответ

Максимального значения не существует.
Минимальное значение
.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 08-08-2016

Онлайн-калькулятор неопределенности измерений — Profilab.

Расчет составляющей неопределенности измерений из-за построения градуировочного графика

Многие испытательные лаборатории при реализации различных методик выполнения измерений проводят калибровку (градуировку) оборудования (хроматографов, спектрофотометров) для выражения результатов измерений в установленных единицах измерений и обеспечения прослеживаемости своих измерений.

Калибровка (градуировка) связывает сигнал (отклик) используемого оборудования (например, оптическая плотность) с интересующей специалиста величиной (например, концентрация элемента в растворе).

Наиболее часто используется простая линейная зависимость отклика оборудования от интересующей специалиста величины и применяется регрессионный анализ и метод наименьших квадратов для построения этой зависимости.

ВНИМАНИЕ!

Для удобства использования онлайн-калькулятора ознакомьтесь с видео инструкцией:

ОНЛАЙН-КАЛЬКУЛЯТОР

Расчет составляющей неопределенности измерений из-за построения градуировочного графика

Перейти к калькулятору

Онлайн-калькулятор позволяет на основании введенных исходных данных: приписанных значений интересующей специалиста величины и измеренных откликов применяемого оборудования, построить и оценить параметры линейной регрессионной зависимости применяя метод наименьших квадратов, а также рассчитать составляющую неопределенности измерений, связанную с построением калибровочного (градуировочного) графика методом наименьших квадратов.
Расчет составляющей неопределенности измерений основан на подходе, изложенном в п. Е.4 (неопределенность от калибровки методом наименьших квадратов), EURACHEM/CITAC Guide Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement, Third Edition, 2012.
Если вас интересует создание ОНЛАЙН-калькулятора расчета неопределенности измерений для конкретного вида измерений/испытаний, отправьте нам запрос.
Отправить заявку на создание онлайн-калькулятора неопределенности измерений
Также информируем вас, что при заказе у нас Методики оценивания неопределенности вы получаете разработанную программу автоматизированного расчета неопределенности измерений величин согласно разработанным алгоритмам оценивания.
РАЗРАБОТКА/ВАЛИДАЦИЯ МЕТОДИК
Выполним работы по разработке Методик измерений
ПОДРОБНЕЕ ОБ УСЛУГЕ
РАЗРАБОТКА Методик оценивания неопределенности
В комплекте с автоматизированным расчетом
ПОДРОБНЕЕ ОБ УСЛУГЕ

ИЩЕТЕ ЧТО-ТО ДРУГОЕ?
Неопределенность измерения величин: основные принципы и подходы к оцениванию
Неопределенность измерения величин: основные принципы и подходы к оцениванию (при проведении химических и био-аналитических измерений)
Валидация/верификация методик выполнения измерений в рамках одной лаборатории. Метрологическая прослеживаемость измерений
T \ mathbf {x} \\ \ mbox {при условии} & \ mathbf {A} \ mathbf {x} \ left \ {\ begin {array} {c} \ leqslant \\ = \\ \ geqslant \ end {массив } \ right \} \ mathbf {b} \\ \ mbox {and} & \ mathbf {x} \ geqslant 0 \ end {array} \], где $ \ mathbf {x} = \ {x_1, x_2, \ ldots, x_n \} $ – вектор $ n $ переменных, $ \ mathbf {c} $ и $ \ mathbf {b} $ – векторы $ n $ действительных коэффициентов и $ m $ (правые) числа, соответственно. , $ \ mathbf {A} $ – это матрица вещественных чисел $ m \ times n $, этот калькулятор находит $ \ mathbf {x} $, которые максимизируют или минимизируют целевую функцию $ f (\ mathbf {x}) $.
Входные данные
Этот калькулятор требует от пользователя двух входов. Первая состоит из двух строк: « max » или « min » в первой строке и коэффициента $ \ mathbf {c} $ во второй строке. Например, вы хотите максимизировать $ f (\ mathbf {x}) = x_1 + 2x_2 + 3x_3 $, первый ввод выглядит следующим образом:
Максимум 1 2 3

Второй вход предназначен для линейных ограничений.Он вводится как матрица $ m \ times (n + 2) $, где $ m $ – количество ограничений, $ n $ – количество переменных. Первые $ n $ столбцов представляют собой матрицу $ \ mathbf {A} $. Следующий столбец представляет знак равенства или знак неравенства в виде следующих чисел: $ -1 $ для $ \ leqslant $, $ 0 $ для $ = $ и $ 1 $ для $ \ geqslant $. Последний столбец представляет вектор правой части $ \ mathbf {b} $. Например, ограничения ниже \ [\ begin {array} {rcl} x_1 + x_2 – x_3 & = & 1 \\ -2x_1 + x_2 + 2x_3 & \ geqslant & -5 \\ x_1 – x_2 & \ leqslant & 4 \ \ x_2 + x_3 & \ leqslant & 5 \ end {array} \] вводится во второй вход как
1 1 -1 0 1 -2 1 2 1-5 1–1 0–1 4 0 1 1 -1 5

Обратите внимание, что $ 0 $ вводятся в третью / четвертую строки, поскольку они не зависят от $ x_3 $ и $ x_1 $ соответственно.
Калькулятор линейного программирования
Калькулятор симплексного метода -: Простое решение задач линейного программирования
Оцените лучший и удивительный калькулятор линейного программирования с нами. Этот калькулятор – замечательный инструмент, который может помочь вам в легко решать уравнения линейного программирования. С мотивом чтобы помочь вам сделать ваши расчеты простыми и интересными, мы разработали этот инструмент для вас.Все, что вам нужно сделать, это ввести ваша функция, и он легко покажет вам результат в секунд. Для решения задач линейного программирования симплекс был использован метод.
Чтобы помочь вам разобраться в калькуляторе симплекс-метода с шагами, мы взяли задачу линейного программирования, которая минимизация стоимости в соответствии с ограничениями.
Стоимость: C = 5×1 + 3×2
Ограничения:
Шаг 1
Прежде всего, будет составлена начальная таблица. Прежде всего, вам нужно решить, какова ваша цель – минимизировать или максимизировать цена. Кроме того, вам необходимо решить, сколько переменных там в ограничениях и типе константы. На на основе этой информации будет создана эта таблица из правильный размер. Вам необходимо заполнить его, введя имена переменные и коэффициенты, фигурирующие в константах а также целевая функция.
Шаг 2
Применение симплекс-метода Прежде всего, вам необходимо выбрать столбец и оставьте строку. Та же процедура будет выполняться до тех пор, пока решение помогло. В строке состояния вы узнаете по поводу продолжения шагов. Как только процесс будет завершен, вы получите окончательное решение вашей проблемы.
Симплексный алгоритм
Это один из популярных методов, которые используются для численное решение задач линейного программирования.Лучшая часть об этом калькуляторе легко решить проблемы точно небольшими шагами. Если вы хотите оптимизировать свой практики, то вы должны использовать симплекс-метод линейного программирования калькулятор.
Линейное программирование
Симплексный метод – один из популярных методов решения используются при решении задач линейного программирования. В в этом методе задействованы две переменные и ограничения.В этом, основные переменные – это решения, указанные для уравнения связи с ненулевыми переменными. Чтобы получить оптимальное значение целевой функции используется этот систематический метод.
Калькулятор симплексного алгоритма
Онлайн-калькулятор симплекс-метода или программа для решения симплексной удивительная роль в решении задач линейного программирования с легкостью. Самое приятное в этом калькуляторе то, что он также может генерировать примеры, чтобы вы могли понять метод.
Калькулятор двухфазного симплексного метода
Приведенный здесь калькулятор может легко решить проблемы, связанные с симплекс-метод, двухфазный метод и графический метод как хорошо. В этом калькуляторе вы можете ввести неограниченное количество переменные или константы.
Лучшее в этой максимизации калькулятор заключается в том, что вам не нужно говорить на каком-либо языке проблема конкретно. Пользовательский интерфейс этого инструмента так легко, что любой пользователь без каких-либо технических знаний может использовать Это.
Очков, которые следует помнить при использовании калькулятора:
Не используйте запятые в больших числах при использовании симплексного режима. калькулятор таблиц.
В правой части каждой константы не вводите e отрицательное число.
В десятичном режиме все результаты будут отображаться в десятичные дроби.
Режим дроби помогает преобразовать все десятичные дроби в фракции.
Внутренний режим помогает избавиться от десятичных знаков и дроби из таблиц.
Калькулятор двойного симплексного метода
Калькулятор максимизации двойного симплексного метода играет важную роль. роль в преобразовании исходной таблицы в финальную. В Финальная таблица всегда содержит как первичное, так и дуальное проблемы связанные решения. Каждый этап алгоритма воспроизводится удивительно в создании промежуточной таблицы, поскольку алгоритм карабкается к окончательному результату.
Наконец, это все важные детали, касающиеся Симплексный калькулятор. Вы можете легко использовать этот калькулятор и сделать ваши простые задачи уравнения линейного программирования легко и просто, как хорошо.
Линейное программирование: примеры проблем со словами
линейный Программирование: проблемы Word (стр. 3 из 5)
Разделы: Оптимизация линейные системы, Постановка текстовых задач
Расчетная компания производит научный калькулятор и графический калькулятор.Долгосрочное прогнозы указывают на ожидаемый спрос не менее 100 научный и 80 графические калькуляторы каждый день. Из-за ограничений на производство вместимость, не более 200 научный и 170 Графические калькуляторы можно делать ежедневно. Для выполнения контракта на отгрузку, всего не менее 200 калькуляторы будут поставляться каждый день.
Если каждый научный калькулятор продал результаты в $ 2 убыток, но каждый графический калькулятор дает $ 5 прибыль, сколько каждого вида должно производиться ежедневно, чтобы максимизировать чистую прибыль?
В вопросе задается оптимальное количество калькуляторов, поэтому мои переменные будут соответствовать:
Поскольку они не могут производить отрицательные числа калькуляторов, у меня есть два ограничения, x > 0 и y > 0.Но в этом случае я могу игнорировать эти ограничения, потому что я уже иметь это x > 100 и y > 80. Упражнение также дает максимумы: x < 200 и y < 170. Минимальная доставка требование дает мне x + и > 200; в другом слова, y > х + 200.Отношение прибыли будет моим уравнением оптимизации: P = 2 x + 5 y . Так что вся система:
P = 2 x + 5 y , при условии:
100 < x < 200
80 < y < 170
y > x + 200
График выполнимости области выглядит следующим образом: авторское право Элизабет Стапель 2006-2011 Все права защищены
Когда вы проверяете угловые точки в (100, 170), (200, 170), (200, 80), (120, 80), и (100, 100), вы должны получить максимальное значение P = 650 при ( x , y ) = (100, 170). Это решение “100 научные калькуляторы и 170 графические калькуляторы ».
Вам нужно купить шкафы. Вы знаете, что шкаф X стоит 10 долларов за единицу, требует шесть квадратных футов площади и вмещает восемь кубических футов файлов. Шкаф Y стоит 20 долларов за единицу, требует восьми квадратных футов площади пола, и вмещает двенадцать кубических футов файлов. Вам дали 140 долларов за это покупка, хотя вам не нужно тратить так много.В офисе есть комната для шкафов площадью не более 72 квадратных футов. Сколько какой модели стоит ли покупать, чтобы максимально увеличить объем хранилища?
Вопрос задайте по количеству шкафов Мне нужно купить, поэтому мои переменные будут соответствовать:
Естественно, x > 0 и y > 0. Надо учесть стоимость и площадь пола («площадь основания» каждой единицы), в то время как максимальное увеличение объема хранилища, поэтому мои ограничения будут ограничиваться расходами и занимаемой площадью, а объем будет моим уравнением оптимизации.
Стоимость: 10 x + 20 y <140, или л < (¹/₂) x + 7
пространство: 6 x + 8 y < 72, или л < (³/₄) x + 9
объем: V = 8 x + 12 y
Эта система (вместе с первыми двумя ограничения) графики как:
Когда вы проверяете угловые точки в (8, 3), (0, 7) и (12, 0), вы должны получить максимальную громкость из 100 кубических футов, купив восемь моделей X и три модели Y.
<< Предыдущая Вверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Вернуться к указателю Далее >>
Цитируйте эту статью как:
Стапель, Елизавета. «Линейное программирование: проблемы со словами». Пурпурная Математика . Доступна по номеру
https: // www.purplemath.com/modules/linprog3.htm . Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.
Решение задач линейного программирования – MATLAB linprog
Основан метод 'internal-point-legacy' на LIPSOL (Linear Internal Point Solver, [3]), который является вариантом предиктора-корректора Mehrotra алгоритм [2], прямодвойственная внутренняя точка метод.Перед алгоритмом выполняется ряд этапов предварительной обработки. начинает повторяться. См. Раздел «Внутреннее-точечное-устаревшее линейное программирование».
Первый этап алгоритма может включать некоторую предварительную обработку. ограничений (см. Линейное программирование внутренних точек и прежних версий). Несколько условий могут заставить linprog выйти с сообщением о невозможности выполнения. В каждом случае linprog возвращает отрицательный exitflag , указывает на сбой.
Если строка всех нулей обнаружена в Aeq , но соответствующий элемент beq не равен нулю, то сообщение о выходе:
Выход из-за невозможности: строка с нулевыми значениями в матрица ограничений не имеет нуля в соответствующем правосторонний вход.
Если один из элементов x является обнаружено, что он не ограничен снизу, то сообщение о выходе –
Выход из-за невозможности: Цель f '* x не ограничена снизу.
Если одна из строк Aeq имеет только один ненулевой элемент, тогда связанное значение в x будет называется одноэлементной переменной . В этом случае значение этого компонента x может быть вычислено из Aeq и beq . Если вычисленное значение нарушает другое ограничение, то сообщение о выходе is
Выход из-за невозможности: переменные Singleton в ограничения равенства невозможны.
Если одноэлементная переменная может быть решена для, но решение нарушает верхнюю или нижнюю границы, тогда сообщение о выходе is
Выход из-за недопустимости: переменные Singleton в ограничения на равенство выходят за рамки установленных ограничений.
Примечание
Шаги предварительной обработки являются кумулятивными.Например, даже если ваша матрица ограничений не имеет в начале строки всех нулей, другие шаги предварительной обработки могут вызвать появление такой строки.
По окончании предварительной обработки итерационная часть алгоритма начинается до тех пор, пока не будут выполнены критерии остановки. (За дополнительной информацией об остатках, прямой проблеме, двойственной проблеме и связанных Критерии остановки см. в разделе «Внутреннее-точечное-устаревшее линейное программирование». ) Если остатки растут вместо того, чтобы становиться меньше, или остатки не растут и не при сжатии отображается одно из двух следующих сообщений о завершении, соответственно,
Один или несколько остатков, разрыв двойственности или полная относительная ошибка выросло в 100000 раз по сравнению с минимальным значением:
или
Один или несколько остатков, разрыв двойственности или общая относительная ошибка остановился:
После отображения одного из этих сообщений за ним следует одно из следующих сообщений, указывающих, что двойственное, первичное, или оба кажутся невозможными.
Дуал кажется невозможным (и первичный безграничный). (Первичный остаток
Первичный остаток кажется недопустимым (и двойственное неограниченное). (Двойной остаток
Двойственный остаток кажется недопустимым (и прямая неограниченная), поскольку двойная невязка> sqrt (OptimalityTolerance). (Первичный остаток <10 * OptimalityTolerance.)
Первичный вариант кажется невозможным (и двойственный неограниченный), поскольку прямая невязка> sqrt (OptimalityTolerance). (Двойной остаток <10 * OptimalityTolerance.)
Двойной кажется невозможным и первичная неограниченная, поскольку первичная цель <-1e + 10 и двойная цель <1e + 6.
Первичный выглядит невыполнима, а двойственная неограниченна, поскольку двойная цель> 1e + 10 и основная цель> -1e + 6.
И первичный, и двойной кажутся невозможными.
Например, первичная (цель) может быть неограниченной, а первичный остаток, который является мерой удовлетворения первичного ограничения, может быть маленьким.
Система 2-х линейных уравнений с 2-мя переменными Калькулятор
[1] 2021.01.28 10:36 Младше 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / Очень /
Цель использования
Учебное пособие
Комментарий / запрос
Очень полезно для быстрых ответов на 2 уравнения.
[2] 2021.01.20 20:31 20-летний уровень / Средняя школа / Университет / аспирант / Полезно /
Цель использования
, чтобы научиться пользоваться им.
[3] 2020/12/01 19:17 Уровень 60 и старше / Инженер / Полезно /
Цель использования
Для проекта строительства моста
Комментарий / Запрос
полезно для инженеров
[4] 2020/07/23 14:40 До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Очень /
Цель использования
Расчет статистики
Комментарий / запрос
Довольно хорошо
[5] 2020/06/23 12:09 Младше 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / Немного /
Комментарий / Запрос
не может вычислить с корневыми значениями
[6 ] 2020/03/21 05:46 До 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / Полезно /
Цель использования
Математическое представление / застрял на двух линейных уравнениях
[7] 2019/11 / 23 21:00 До 20 лет / Средняя школа / ВУЗ / Высшее студент / Очень /
Цель использования
Не терять время.
[8] 2019/10/15 20:25 Моложе 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Не совсем /
Цель использования
не хочу решать
Комментарий / Запрос
просто оставьте его в дробях НЕ НУЖНО РЕШИТЬ в десятичных дробях
[9] 2019/05/26 04:43 До 20 лет / Инженер / Немного /
Цель использования
домашнее задание
Комментарий / запрос
нет необходимости в графике, просто говоря
[10] 2018/12/01 18:21 Моложе 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Немного /
Цель используйте
, ЧТОБЫ ПРОВЕРИТЬ МОЙ ОТВЕТ
Комментарий / запрос
ЭТО ТОЛЬКО ДОЛЖНО БЫТЬ НЕКОТОРЫМ СЛУЧАЙНЫМ №ОТВЕТ НЕ СООТВЕТСТВУЕТ МОИМ РАСЧЕТАМ ИЛИ ОТВЕТАМ В МОЕМ ТЕКСТЕ ... Я ХОТЕЛ ПРОВЕРИТЬ, ЧТО ДЕВУШКА ОТЧИТЫВАЕТСЯ ОТ ЛЮБВИ ... ДАЙТЕ МНЕ УЗНАТЬ НА ЭТОМ САЙТЕ
Оптимизация с Python - Real Python
PuLP имеет более удобный API линейного программирования, чем SciPy. Вам не нужно математически модифицировать задачу или использовать векторы и матрицы. Все чище и менее подвержено ошибкам.
Теперь, когда вы импортировали PuLP, вы можете решить свои проблемы.
Пример 1
Теперь вы решите эту систему с помощью PuLP:
Первый шаг - инициализировать экземпляр LpProblem для представления вашей модели:
# Создать модель model = LpProblem (name = "small-проблема", смысл = LpMaximize)
Параметр sense используется для выбора выполнения минимизации ( LpMinimize или 1 , значение по умолчанию) или максимизации ( LpMaximize или -1 ).Этот выбор повлияет на результат вашей проблемы.
Получив модель, вы можете определить переменные решения как экземпляры класса LpVariable :
# Инициализировать переменные решения x = LpVariable (name = "x", lowBound = 0) y = LpVariable (name = "y", lowBound = 0)
Необходимо указать нижнюю границу с lowBound = 0 , потому что значение по умолчанию - отрицательная бесконечность. Параметр upBound определяет верхнюю границу, но вы можете опустить его здесь, потому что по умолчанию он равен положительной бесконечности.
Необязательный параметр cat определяет категорию переменной решения. Если вы работаете с непрерывными переменными, вы можете использовать значение по умолчанию «Непрерывный» .
Вы можете использовать переменные x и y для создания других объектов PuLP, которые представляют линейные выражения и ограничения:
>>> >>> выражение = 2 * x + 4 * y >>> тип (выражение) <класс 'pulp.pulp.LpAffineExpression'> >>> ограничение = 2 * x + 4 * y> = 8 >>> тип (ограничение) <класс "мякоть.pulp.LpConstraint '> Когда вы умножаете переменную решения на скаляр или строите линейную комбинацию нескольких переменных решения, вы получаете экземпляр pulp.LpAffineExpression , который представляет линейное выражение. Точно так же вы можете комбинировать линейные выражения, переменные и скаляры с операторами == , <= или > = , чтобы получить экземпляры pulp. LpConstraint, которые представляют линейные ограничения вашей модели. Примечание: Также возможно создавать ограничения с помощью расширенных методов сравнения .__ eq __ () , .__ le __ () и .__ ge __ () , которые определяют поведение операторов == , <= и > = . Имея это в виду, следующим шагом будет создание ограничений и целевой функции, а также их присвоение вашей модели. Вам не нужно создавать списки или матрицы. Просто напишите выражения Python и используйте оператор + = , чтобы добавить их в модель: # Добавить ограничения в модель модель + = (2 * x + y <= 20, "красное_ограничение") модель + = (4 * x - 5 * y> = -10, "blue_constraint") модель + = (-x + 2 * y> = -2, "желтое_ограничение") модель + = (-x + 5 * y == 15, "зеленое_ограничение") В приведенном выше коде вы определяете кортежи, которые содержат ограничения и их имена. LpProblem позволяет добавлять ограничения в модель, определяя их как кортежи. Первый элемент - это экземпляр LpConstraint . Второй элемент - это удобочитаемое имя для этого ограничения. Установка целевой функции очень похожа: # Добавляем в модель целевую функцию obj_func = х + 2 * у модель + = obj_func В качестве альтернативы вы можете использовать более короткое обозначение: # Добавляем в модель целевую функцию модель + = x + 2 * y Теперь у вас добавлена целевая функция и определена модель. Примечание: Вы можете добавить ограничение или цель к модели с помощью оператора + = , потому что его класс, LpProblem , реализует специальный метод .__ iadd __ () , который используется для определения поведения + = . Для более серьезных проблем часто удобнее использовать lpSum () со списком или другой последовательностью, чем повторять оператор + . Например, вы можете добавить в модель целевую функцию с помощью этого оператора: # Добавляем в модель целевую функцию модель + = lpSum ([x, 2 * y]) Дает тот же результат, что и предыдущий оператор. Теперь вы можете увидеть полное определение этой модели: >>> >>> модель маленькая проблема: МАКСИМАЛЬНО 1 * х + 2 * у + 0 ПРИ УСЛОВИИ красное_ограничение: 2 x + y <= 20 blue_constraint: 4 x - 5 y> = -10 желтое_ограничение: - x + 2 y> = -2 зеленое_ограничение: - x + 5 y = 15 ПЕРЕМЕННЫЕ x Непрерывный y Непрерывный Строковое представление модели содержит все соответствующие данные: переменные, ограничения, цель и их имена. Наконец, вы готовы к решению проблемы.Вы можете сделать это, вызвав .solve () для вашего объекта модели. Если вы хотите использовать решатель по умолчанию (CBC), вам не нужно передавать аргументы: # Решаем проблему status = model.solve () . solve () вызывает базовый решатель, изменяет объект модели и возвращает целочисленный статус решения, который будет 1 , если будет найден оптимум. Остальные коды состояния см. В разделе LpStatus [] . Вы можете получить результаты оптимизации как атрибуты модели . Функция value () и соответствующий метод .value () возвращают фактические значения атрибутов: >>> >>> print (f "status: {model.status}, {LpStatus [model.status]}") статус: 1, Оптимальный >>> print (f "objective: {model.objective.value ()}") цель: 16.8181817 >>> для var в model.variables (): ... print (f "{var.name}: {var.стоимость()}") ... х: 7.7272727 y: 4.5454545 >>> для имени, ограничения в model.constraints.items (): ... print (f "{имя}: {constraint.value ()}") ... красное_ограничение: -9.99999993922529e-08 blue_constraint: 18.181818300000003 желтое_ограничение: 3.3636362999999996 green_constraint: -2. 0000000233721948e-07) model.objective содержит значение целевой функции, model.constraints содержит значения переменных резервирования, а объекты x и y имеют оптимальные значения переменных решения. model.variables () возвращает список с переменными решения: >>> >>> model.variables () [x, y] >>> model.variables () [0] равно x Истинный >>> model.variables () [1] равно y Истинный Как видите, этот список содержит точные объекты, созданные с помощью конструктора LpVariable . Результаты примерно такие же, как у SciPy. Примечание: Будьте осторожны с методом .solution () - меняет состояние объектов x и y ! Вы можете увидеть, какой решатель использовался, позвонив по номеру .solver : >>> >>> model.solver <объект pulp.apis.coin_api. PULP_CBC_CMD по адресу 0x7f60aea19e50> Выходные данные сообщают вам, что решателем является CBC. Вы не указали решатель, поэтому PuLP вызвал его по умолчанию. Если вы хотите запустить другой решатель, вы можете указать его в качестве аргумента .Решить () . Например, если вы хотите использовать GLPK и уже установили его, вы можете указать solver = GLPK (msg = False) в последней строке. Имейте в виду, что вам также необходимо импортировать его: Теперь, когда у вас есть импортированный GLPK, вы можете использовать его внутри .solve () : # Создать модель model = LpProblem (name = "small-проблема", смысл = LpMaximize) # Инициализировать переменные решения x = LpVariable (name = "x", lowBound = 0) y = LpVariable (name = "y", lowBound = 0) # Добавляем ограничения в модель модель + = (2 * x + y <= 20, "красное_ограничение") модель + = (4 * x - 5 * y> = -10, "blue_constraint") модель + = (-x + 2 * y> = -2, "желтое_ограничение") модель + = (-x + 5 * y == 15, "зеленое_ограничение") # Добавляем в модель целевую функцию модель + = lpSum ([x, 2 * y]) # Решать проблему статус = модель. решить (solver = GLPK (msg = False)) Параметр msg используется для отображения информации от решающей программы. msg = False отключает отображение этой информации. Если вы хотите включить информацию, просто опустите msg или установите msg = True . Ваша модель определена и решена, поэтому вы можете проверить результаты так же, как и в предыдущем случае: >>> >>> print (f "status: {model.status}, {LpStatus [model.статус]}") статус: 1, Оптимальный >>> print (f "objective: {model.objective.value ()}") цель: 16.81817 >>> для var в model.variables (): ... print (f "{var.name}: {var.value ()}") ... х: 7.72727 y: 4.54545 >>> для имени, ограничения в model.constraints.items (): ... print (f "{имя}: {constraint.value ()}") ... красное_ограничение: -1.0000000000509601e-05 blue_constraint: 18.181830000000005 желтое_ограничение: 3.3636299999999997 зеленое_ограничение: -2.000000000279556e-05 Вы получили практически тот же результат с GLPK, что и с SciPy и CBC. Давайте посмотрим, какой решатель использовался на этот раз: >>> >>> model.solver <объект pulp.apis.glpk_api.GLPK_CMD по адресу 0x7f60aeb04d50> Как вы определили выше с помощью выделенного оператора model.solve (solver = GLPK (msg = False)) , решателем является GLPK. Вы также можете использовать PuLP для решения задач линейного программирования со смешанными целыми числами. Чтобы определить целочисленную или двоичную переменную, просто передайте cat = "Integer" или cat = "Binary" от до LpVariable .В остальном все осталось прежним: # Создать модель model = LpProblem (name = "small-проблема", смысл = LpMaximize) # Инициализировать переменные решения: x - целое число, y - непрерывное число x = LpVariable (name = "x", lowBound = 0, cat = "Integer") y = LpVariable (name = "y", lowBound = 0) # Добавляем ограничения в модель модель + = (2 * x + y <= 20, "красное_ограничение") модель + = (4 * x - 5 * y> = -10, "blue_constraint") модель + = (-x + 2 * y> = -2, "желтое_ограничение") модель + = (-x + 5 * y == 15, "зеленое_ограничение") # Добавляем в модель целевую функцию модель + = lpSum ([x, 2 * y]) # Решать проблему статус = модель. решить() В этом примере у вас есть одна целочисленная переменная, и вы получаете разные результаты, чем раньше: >>> >>> print (f "status: {model.status}, {LpStatus [model.status]}") статус: 1, Оптимальный >>> print (f "objective: {model.objective.value ()}") цель: 15,8 >>> для var в model.variables (): ... print (f "{var.name}: {var.value ()}") ... х: 7.0 y: 4.4 >>> для имени, ограничения в model.constraints.items (): ... print (f "{имя}: {ограничение.стоимость()}") ... красное_ограничение: -1.5999999999999996 blue_constraint: 16.0 желтое_ограничение: 3.8000000000000007 green_constraint: 0,0) >>> model.solver Теперь x является целым числом, как указано в модели. (Технически он содержит значение с плавающей запятой с нулем после десятичной точки.) Этот факт меняет все решение. Покажем это на графике: Как видите, оптимальным решением является крайняя правая зеленая точка на сером фоне. Это возможное решение с наибольшими значениями x и y , что дает максимальное значение целевой функции. ГЛПК может решить и такие задачи. Пример 2 Теперь вы можете использовать PuLP для решения проблемы распределения ресурсов сверху: Подход к определению и решению проблемы такой же, как в предыдущем примере: # Определить модель model = LpProblem (name = "распределение ресурсов", смысл = LpMaximize) # Определить переменные решения x = {i: LpVariable (name = f "x {i}", lowBound = 0) для i в диапазоне (1, 5)} # Добавить ограничения модель + = (lpSum (x.values ()) <= 50, "рабочая сила") модель + = (3 * x [1] + 2 * x [2] + x [3] <= 100, "material_a") модель + = (x [2] + 2 * x [3] + 3 * x [4] <= 90, "material_b") # Ставим цель модель + = 20 * x [1] + 12 * x [2] + 40 * x [3] + 25 * x [4] # Решаем проблему оптимизации status = model.solve () # Получите результаты print (f "status: {model.status}, {LpStatus [model. status]}") print (f "objective: {model.objective.value ()}") для var в x.values (): print (f "{var.name}: {var.value ()}") для имени, ограничения в модели.constraints.items (): print (f "{имя}: {constraint.value ()}") В этом случае вы используете словарь x для хранения всех переменных решения. Этот подход удобен тем, что словари могут хранить имена или индексы переменных решения как ключи и соответствующие объекты LpVariable как значения. Также могут быть полезны списки или кортежи из экземпляров LpVariable . Приведенный выше код дает следующий результат: статус: 1, Оптимальный цель: 1900 г.0 x1: 5,0 х2: 0,0 x3: 45,0 x4: 0,0 рабочая сила: 0,0 material_a: -40.0 material_b: 0,0 Как видите, решение согласуется с решением, полученным с помощью SciPy. Наиболее выгодное решение - производить 5,0 единиц первого продукта и 45,0 единиц третьего продукта в день. Давайте сделаем эту задачу более сложной и интересной. Допустим, фабрика не может производить первую и третью продукцию параллельно из-за проблем с оборудованием. Какое решение в этом случае наиболее выгодно? Теперь у вас есть еще одно логическое ограничение: если x положительно, то x должно быть равно нулю, и наоборот.Здесь очень полезны переменные двоичного решения. Вы будете использовать две двоичные переменные решения, y ₁ и y , которые будут обозначать, генерируются ли вообще первый или третий продукты: 1model = LpProblem (name = "распределение ресурсов", смысл = LpMaximize) 2 3 # Определите переменные решения 4x = {i: LpVariable (name = f "x {i}", lowBound = 0) для i в диапазоне (1, 5)} 5y = {i: LpVariable (name = f "y {i}", cat = "Binary") для i в (1, 3)} 6 7 # Добавить ограничения 8model + = (lpSum (x.values ()) <= 50, "рабочая сила") 9модель + = (3 * x [1] + 2 * x [2] + x [3] <= 100, "material_a") 10модель + = (x [2] + 2 * x [3] + 3 * x [4] <= 90, "material_b") 11 12M = 100 13model + = (x [1] <= y [1] * M, "x1_constraint") 14model + = (x [3] <= y [3] * M, "x3_constraint") 15модель + = (y [1] + y [3] <= 1, "y_constraint") 16 17 # Установить цель 18модель + = 20 * x [1] + 12 * x [2] + 40 * x [3] + 25 * x [4] 19 20 # Решить проблему оптимизации 21status = model. solve () 22 23print (f "status: {model.status}, {LpStatus [model.статус]}") 24print (f "objective: {model.objective.value ()}") 25 26 для var в model.variables (): 27 print (f "{var.name}: {var.value ()}") 28 год 29 для имени, ограничение в model.constraints.items (): 30 print (f "{name}: {constraint.value ()}") Код очень похож на предыдущий пример, за исключением выделенных строк. Вот отличия: Строка 5 определяет переменные двоичного решения y [1] и y [3] , содержащиеся в словаре y . Строка 12 определяет произвольно большое число M . Значение 100 в этом случае достаточно велико, потому что у вас не может быть более 100 единиц в день. Строка 13 говорит, что если y [1] равно нулю, то x [1] должно быть равно нулю, иначе это может быть любое неотрицательное число. Строка 14 говорит, что если y [3] равно нулю, то x [3] должно быть равно нулю, иначе это может быть любое неотрицательное число. Строка 15 говорит, что либо y [1] , либо y [3] равно нулю (или оба равны), поэтому либо x [1] , либо x [3] также должны быть равны нулю. Вот решение: статус: 1, Оптимальный цель: 1800.0 x1: 0,0 х2: 0,0 x3: 45,0 x4: 0,0 y1: 0,0 y3: 1.0 рабочая сила: -5.0 material_a: -55.0 material_b: 0,0 x1_constraint: 0.0 x3_constraint: -55.0 y_constraint: 0.0 Оказывается, оптимальный подход - исключить первый продукт и производить только третий. Линейное программирование - Обучение навыкам принятия решений от MindTools.com Оптимизация ваших ограниченных ресурсов © iStockphoto BartCo Когда ресурсы ограничены, вам нужно распределять их с умом. Если в вашем распоряжении только ограниченные ресурсы, полезно рассчитать, как лучше всего использовать эти ресурсы - будь то время, деньги или пространство. Допустим, у вас есть 50 квадратных футов офисного пространства, которое можно использовать для хранения. Ваш бюджет составляет 200 долларов, и вы можете выбирать из множества типов и размеров шкафов. Как вы оптимизируете имеющееся пространство и не выходите за рамки выделенного бюджета? Или предположим, что у вас есть три грузовика для доставки и 10 точек высадки. Как вы планируете наиболее эффективный маршрут и график движения этих грузовиков? Или представьте, что вы производите три продукта из одного и того же основного сырья. Однако, поскольку в каждом продукте используется разное количество материала, некоторые из них производить дороже, чем другие.Некоторые материалы являются скоропортящимися, и их нужно использовать быстро. Какую часть каждого продукта вы должны производить, чтобы свести к минимуму свои затраты? И какая комбинация дает наименьшее количество отходов? Подобные вопросы могут показаться очень сложными. С таким количеством переменных и ограничений, которые необходимо учитывать, как вы решите, что делать? Ответ - использовать линейное программирование. Линейное программирование - это математический метод, определяющий наилучший способ использования доступных ресурсов.Менеджеры используют этот процесс, чтобы принимать решения о наиболее эффективном использовании ограниченных ресурсов, таких как деньги, время, материалы и оборудование. Примечание: Вы можете использовать линейное программирование, только если существует линейная связь между переменными, на которые вы смотрите. Отношение является линейным, если изменение единицы в одном связано с постоянной величиной изменения в другом. На графике линейная зависимость показана в виде прямой линии. Техника линейного программирования Чтобы помочь вам понять линейное программирование, мы рассмотрим пример.Допустим, ваша компания производит два продукта - Joops и Goops. Мощность вашего производственного подразделения составляет 525 часов в неделю. На производство одного Joop уходит пять часов, а на производство одного Goop - три часа. Рабочие часы на единицу Джупс (Дж) Гупс (G) 5 часов 3 часа Производительность = 525 часов Ваш покупательский спрос на Goops безграничен.Они купят столько, сколько вы сможете произвести. С другой стороны, у Joops максимальный спрос составляет всего 100 штук в неделю. Ваши поставщики могут предоставить вам только сырье, необходимое для производства не более 75 Goops в неделю. Сырье для Joops находится в свободном доступе. Прибыль на единицу или вклад единицы (C) составляет 2,50 доллара для Joop и 2,00 доллара для Goop. Подпишитесь на нашу рассылку новостей Получайте новые карьерные навыки каждую неделю, а также наши последние предложения и бесплатное загружаемое учебное пособие по личному развитию. Прочтите нашу Политику конфиденциальности Сколько единиц Joops и Goops вы должны производить каждую неделю, чтобы максимизировать вашу прибыль? 1. Математическое выражение проблемы Развернуть: C = 2,5J + 2G (максимальная прибыль) При соблюдении следующих ограничений по мощности: 5J + 3G ≤ 525 (ограничение мощности) J ≤ 100 (ограничение продаж Joop) G ≤ 75 (ограничение Goop на сырье) 2.Изобразите проблему Если у вас есть две переменные (в нашем примере две комбинации продуктов), вы можете построить график, чтобы показать решение. Это отличный инструмент для понимания вопроса в целом. С производством Joop на оси x и производством Goop на оси Y ваш график может показать максимальные производственные мощности для всех возможных комбинаций Joops и Goops. Нарисуйте линию мощности: Конечными точками линии производительности являются максимально возможные Joops и Goops, которые могут быть произведены. Вы можете произвести: 105 Joops (525/5) и 0 Goops (100,0) или 0 Joops (0,175) и 175 Goops (525/3) Линия мощности соединяет эти две точки. Нарисуйте линию ограничения продаж для Joops как J = 100 для всех значений G. Изобразите ограничение сырья для Goops как G = 75 для всех значений J. Эти три линии ограничения показаны ниже. Область, ограниченная тремя ограничивающими линиями и осями x и y, представляет собой набор возможных комбинаций производства Joop и Goop.Все, что выходит за эти границы, невозможно - с учетом этих ограничений и при условии, что производство Joops и Goops больше 0. Оптимальная комбинация будет где-то вдоль внешней границы. Все, что находится внутри границы, не будет использовать всю доступную емкость. 3. Рассчитайте оптимальное значение Как узнать, где на границе находится точка оптимизации? Он будет на одном из пересечений различных линий ограничения. В этом примере есть четыре точки пересечения (w, x, y и z).Чтобы определить точную точку оптимизации, вы исследуете каждый из них. Поскольку вы уже знаете, что точки w и z представляют собой крайние точки, используемые в линиях ограничения, вы можете рассмотреть приведенные ниже вычисления. Максимальный вклад (C) в точке w J = 0, G = 75 C = 2,5J + 2G (максимальная прибыль) C = (2,5 x 0) + (2 x 75) C = 150 Максимальный вклад (C) в точке x 5J + 3G = 525 G = 75 Подставьте значение G в первое уравнение и решите относительно J: 5 Дж + (3 x 75) = 525 5 Дж = 300 Дж = 60 Итак, в точке x производство составляет 60 Joops и 75 Goops: С = 2.5J + 2G (максимальная прибыль) C = (2,5 x 60) + (2 x 75) C = 120 +150 C = 270 Максимальный вклад (C) в точке y 5Дж + 3G = 525 Дж = 100 Подставляем J = 100 в первое уравнение: (5 x 100) + 3G = 525 3G = 25 G = 8 (округлить в меньшую сторону, потому что вы не можете продать часть Goop) C = 2,5J + 2G (максимальная прибыль) C = (2,5 x 100) + (2 x 8) C = 250 +16 C = 266 Максимальный вклад (C) в точке z Дж = 100, G = 0 С = 2.5J + 2G (максимальная прибыль) C = (2,5 x 100) + (2 x 0) C = 250 На основании этих расчетов оптимальная производительность для Joops и Goops находится в точке x (60 Joops и 75 Goops). Это простой пример линейного программирования. На самом деле, большинство бизнес-проблем связано с таким количеством переменных и ограничений, что вы бы не стали (или не смогли бы) попытаться решить их вручную. Программы линейного программирования могут решать уравнения быстро и легко, и они предоставляют большой объем информации о различных точках в пределах возможного набора.Вы также можете запускать сценарии «что, если», чтобы определить, например, какое дополнительное оборудование покупать или добавлять ли дополнительную смену рабочих. Ключевые моменты Линейное программирование использует математические или графические методы для поиска оптимального способа использования ограниченных ресурсов. Когда у вас есть проблема, которая связана с различными ограничениями ресурсов, линейное программирование может сгенерировать наилучшее возможное решение.