Онлайн калькулятор линейного программирования графическим методом онлайн: Симплекс метод онлайн

Содержание

Симплекс метод онлайн

Данный онлайн калькулятор решает задачу линейного программирования симплекс методом. Дается подробное решение с пояснениями. Для решения задачи линейного программирования задайте количество ограничений и количество переменных. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть смотрите в статье: Решение задачи линейного программирования. Симплекс метод.

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Симплекс метод

Симплекс метод − это метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП). Суть метода заключается в нахождении начального допустимого плана, и в последующем улучшении плана до достижения максимального (или минимального) значения целевой функции в данном выпуклом многогранном множестве или выяснения неразрешимости задачи.

Подробнее в статье: Решение задачи линейного программирования. Симплекс метод.

Примеры решения ЗЛП симплекс методом

Пример 1. Решить следующую задачу линейного программирования:

Р е ш е н и е. Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Составляем симплексную таблицу. В столбец x0 записывается правая часть ограничений. С правой стороны записывается матрица коэффициентов A. Последняя строка – это целевая функция, умноженная на −1. Последние три векторы столбцы обазуют базис в трехмерном пространствое. Следовательно базисные переменные , а свободные переменные :

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x2. Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . min(40:6, 28:2)=20/3 соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x3. Сделаем исключение Гаусса для столбца x2, учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на -1/3, 1/6, 1/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x1. Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . min(44/3:11/3, 62/3:5/3)=4 соответствует строке 2. Из базиса выходит вектор x4. Сделаем исключение Гаусса для столбца x1, учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 2. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 3, 4 со строкой 2, умноженной на 1/11, -5/11, 9/11, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Запишем текущий опорный план:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение можно записать так: .

Значение целевой функции в данной точке: F(X)=.

Пример 2. Найти максимум функции

при условиях

 

Р е ш е н и е. Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Составляем симплексную таблицу. В столбец x0 записывается правая часть ограничений. С правой стороны записывается матрица коэффициентов

A. Последняя строка – это целевая функция, умноженная на −1:

Базисные векторы x4, x3, следовательно, все элементы в столбцах x4, x3, ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x4, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 4. Обнулим все элементы столбца x3, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 1.

Симплекс таблица примет вид:

 

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-11), следовательно в базис входит вектор x2. Определяем, какой вектор выходит из базиса.

Для этого вычисляем при . Все следовательно целевая функция неограничена сверху. Т.е. задача линейного программирования неразрешима.

Примеры решения ЗЛП методом искусственного базиса

Пример 1. Найти максимум функции

при условиях

 

Р е ш е н и е. Так как количество базисных векторов должен быть 3, то добавляем искусственное переменное, а в целевую функцию добавляем это переменное, умноженное на −M, где M, очень большое число:

Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Составляем симплексную таблицу. В столбец x0 записывается правая часть ограничений. С правой стороны записывается матрица коэффициентов

A. Последние две строки − это целевая функция, умноженная на −1 и разделенная на две части. Последняя строка − строка с исскуственными переменными:

Базисные векторы следовательно, все элементы в столбцах ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.

Симплекс таблица примет вид:

 

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-5), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор Сделаем исключение Гаусса для столбца учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строку 5 со строкой 3, умноженной на 1. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

 

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x2. Сделаем исключение Гаусса для столбца x1, учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на 3/2, -1/10, 3/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

 

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-13/2), следовательно в базис входит вектор x3. Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор x5. Сделаем исключение Гаусса для столбца x3, учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 2, 4 со строкой 3, умноженной на 5/3, 25/9, 65/9, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

 

Запишем текущий опорный план:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4−5 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение исходной задачи можно записать так:

.

Значение целевой функции в данной точке:

.

Пример 2. Найти оптимальный план задачи линейного программирования:

 

Р е ш е н и е. Так как количество базисных векторов должен быть 3, то добавляем искусственные переменные, а в целевую функцию добавляем эти переменные, умноженные на −M, где M, очень большое число:

Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Составляем симплексную таблицу. В столбец x0 записывается правая часть ограничений. С правой стороны записывается матрица коэффициентов A. Последние две строки − это целевая функция, умноженная на −1 и разделенная на две части. Последняя строка − строка с исскуственными переменными:

Базисные векторы x4, x5, x6, следовательно, все элементы в столбцах x4, x5, x6, ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x4, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 4 со строкой 1, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца

x5, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 2, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x6, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.

Симплекс таблица примет вид:

 

Запишем текущий опорный план:

В строке 5 элементы, соответствующие переменным x1, x2, x3, x4, x5, x6 неотрицательны, а число находящийся в пересечении данной строки и столбца x0 отрицательнo. Тогда исходная задача не имеет опорного плана. Следовательно она неразрешима.

Симплекс метод онлайн | Калькулятор симплекс-метода | Решение основной задачи линейного программирования

Количество переменных:

Количество ограничений:

Целевая функция:

→ minmax

Базовый симплекс-методМетод искусственного базиса

Очистить

Решить

В двойственную

Выполнено действий:

Как пользоваться калькулятором

  • Задайте количество переменных и ограничений
  • Введите коэффициенты целевой функции
  • Введите коэффициенты ограничений и выберите условия (≤, = или ≥)
  • Выберите тип решения
  • Нажмите кнопку “Решить”

Что умеет калькулятор симплекс-метода

  • Решает основную задачу линейного программирования
  • Позволяет получить решение с помощью основного симплекс-метода и метода искусственного базиса
  • Работает с произвольным количеством переменных и ограничений

Что такое симплекс-метод

Задача линейного программирования — это задача поиска неотрицательных значений параметров, на которых заданная линейная функция достигает своего максимума или минимума при заданных линейных ограничениях.

Симплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. Алгоритм является универсальным методом, которым можно решить любую задачу линейного программирования.

Если вам тоже ничего не понятно из этого определения, то вы на верном пути. Чаще всего статьи про симплекс-метод очень сильно углубляются в дебри теории задачи линейного программирования, из-за чего очень легко потерять суть и так ничего и не понять. Мы постараемся описать алгоритм симплекс-метода так, чтобы показать, что в нём нет ничего страшного и на самом деле он весьма простой. Но сначала нам всё-таки потребуется ввести несколько определений.

Целевая функция — функция, максимум (или минимум) которой нужно найти. Представляет собой сумму произведений коэффициентов на значения переменных: F = c1·x1 + c2·x2 + … + cn·xn

Ограничение — условие вида a1·x1 + a2·x2 + . .. + an·xn v b, где вместо v ставится один из знаков: ≤, = или ≥

План — произвольный набор значений переменных x1 … xn.

Алгоритм решения основной задачи ЛП симплекс-методом

Пусть в задаче есть m ограничений, а целевая функция заивисит от n основных переменных. Первым делом необходимо привести все ограничения к каноническому виду — виду, в котором все условия задаются равенствами. Для этого предварительно все неравенства с ≥ умножаются на -1, для получения неравенств с ≤.

Чтобы привести ограничения с неравенствами к каноническому виду, для каждого ограничения вводят переменную, называемую дополнительной с коэффициентом 1. В ответе эти переменные учитываться не будут, однако сильно упростят начальные вычисления. При этом дополнительные переменные являются базисными, а потому могут быть использованы для формирования начального опорного решения.

Пример 1


Привести к каноническому виду ограничения:
2·x1 + 3·x2 + 6·x3 ≤ 240
4·x1 + 2·x2 + 4·x3 = 200
4·x1 + 6·x2 + 8·x3 ≥ 160
Меняем знаки у ограничений с ≥, путём умножения на -1 и добавляем дополнительные переменные к ограничениям с неравенством:
2·x1 + 3·x2 + 6·x3 + x4 = 240
4·x1 + 2·x2 + 4·x3 = 200
-4·x1 – 6·x2 – 8·x3 + x5 = -160

Формирование начального базиса

После того как задача приведена к каноническому виду, необходимо найти начальный базис для формирования первого опорного решения. Если в процессе приведения были добавлены дополнительные переменные, то они становятся базисными.

Иначе необходимо выделить среди коэффициентов ограничений столбец, который участвует в формировании единичной матрицы в заданной строке (например, если требуется определить вторую базисную переменную, то необходимо искать столбец, в котором второе число равно 1, а остальные равны нулю). Если такой столбец найден, то переменная, соответствующая этому столбцу, становится базисной.

В противном случае можно поискать столбец, в котором все значения кроме числа в заданной строке равны нулю, и, если он будет найден, то разделить все значения строки на число, стоящее на пересечении этих строки и столбца, тем самым образовав столбец, участвующий в формировании единичной матрицы.

Пример 2


9·x1 + 5·x2 + 4·x3 + 3·x4 + 2·x5 → max
x1 – 2·x2 + 2·x3 ≤ 6
x1 + 2·x2 + x3 + x4 = 24
2·x1 + x2 – 4·x3 + 2·x5 = 30
Для ограничения с неравенством добавляем дополнительную переменную x6.
Перепишем ограничения в каноническом виде:
x1 – 2·x2 + 2·x3 + x6 = 6
x1 + 2·x2 + x3 + x4 = 24
2·x1 + x2 – 4·x3 + 2·x5 = 30

Ищем начальное базисное решение:
Ограничение 1 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x6
Столбец 4 является частью единичной матрицы. Переменная x4 входит в начальный базис
В пятом столбце все значения кроме третьего равны нулю. Поэтому в качестве третьей базисной переменной берём x5, предварительно разделив третью строку на 2.
Симплекс-таблица

базисx1x2x3x4x5x6b
x61-220016
x412110024
?21-402030

После преобразования получаем следующую таблицу:
базисx1x2x3x4x5x6b
x61-220016
x412110024
x51-201015

Если такой столбец отсутствует, то для формирования базиса необходимо применить исключение Гаусса для первого ненулевого столбца, который ещё не является базисным. Для этого вся строка делится на элемент в найденном столбце, а из остальных строк вычитается полученная строка, разделённая на значение, стоящее в этом же столбце. После этой операции все значения вне данной строки будут обнулены, и столбец можно будет считать базисным.

Пример 3


4·x1 + 5·x2 + 4·x3 → max
2·x1 + 3·x2 + 6·x3 ≤ 240
4·x1 + 2·x2 + 4·x3 = 160
4·x1 + 6·x2 + 8·x3 ≤ 200
Для каждого ограничения с неравенством добавляем дополнительные переменные x4 и x5.
Перепишем ограничения в каноническом виде:
2·x1 + 3·x2 + 6·x3 + x4 = 240
4·x1 + 2·x2 + 4·x3 = 160
4·x1 + 6·x2 + 8·x3 + x5 = 200

Ищем начальное базисное решение:
Ограничение 1 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x4
Ограничение 3 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x5

Начальная симплекс-таблица

базисx1x2x3x4x5b
x423610240
?42400160
x546801200

Для определения второй базисной переменной ищем первый ненулевой столбец, который ещё не является базисным. Первый столбец не нулевой и не является базисным. Выполняем исключение Гаусса: делим строку 2 на 4, а из первой и третьей строк вычитаем вторую, умноженную на соответствующий элемент в первом столбце.
базисx1x2x3x4x5b
x423610240
x142400160
x546801200

После исключения получаем следующую таблицу:
базисx1x2x3x4x5b
x402410160
x1110040
x50440140

После того как базис сформирован, нужно построить начальную симплекс-таблицу. Она строится следующим образом:

  • Для удобства в первой строке можно записать коэффициенты Ci целевой функции (для дополнительных переменных эти коэффициенты равны нулю)
  • Вторая строка формирует шапку таблицы. В ней первый столбец называется базис, а остальные перечисляют основные переменные x1..xn и дополнительные xn+1..xn+k
  • Затем построчно перечисляются базисные переменные и коэффициенты ограничений

Схематично начальная таблица будет выглядеть примерно так:

C с1 c2 cn 0 0 0 0
базис x1 x2 xn xn+1 xn+2 xn+k b
xe1 a11 a12 . .. a1n a1n+1 a1n+2 a1n+k b1
xe2 a21 a22 a2n a2n+1 a2n+2 a2n+k b2
xem am1 am2 amn amn+1 amn+2 amn+k bm

Избавляемся от отрицательных свободных коэффициентов

После приведения к каноническому виду или после алгебраических преобразований при формировании базиса некоторые из свободных коэффициентов (bi) могли стать отрицательными, что не позволяет перейти к дальнейшим вычислениям. Чтобы избавиться от отрицательных значений b необходимо:

  • Найти строку, в которой находится максимальное по модулю значение b. Пусть это будет строка i;
  • Найти максимальный по модулю элемент в этой строке. Пусть он находится в столбце j;
  • Строку i разделить на элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца;
  • Из каждой оставшейся строки k вычесть строку i, умноженную на элемент строки k и столбца j;
  • Переменную, соответствующую найденному столбцу j, сделать базисной (добавить в базис вместо переменной, находящейся в строке i).

Этот шаг необходимо повторять до тех пор, пока все отрицательные b не станут положительными или в строке не останется отрицательных элементов. Если строка с максимальным по модулю bi не содержит отрицательных элементов, то такая задача не имеет решений и на этом алгоритм заканчивает свою работу. В противном случае все bi положительны и алгоритм переходит к следующему этапу — расчёту дельт.

Пример 4


20·x1 + 20·x2 + 10·x3 → min
4·x1 + 3·x2 + 2·x3 ≥ 33
3·x1 + 2·x2 + x3 ≥ 23
x1 + x2 + 2·x3 ≥ 12

Меняем знаки у ограничений с ≥, путём умножения на -1:
-4·x1 – 3·x2 – 2·x3 ≤ -33
– 3·x1 – 2·x2 – x3 ≤ -23
– x1 – x2 – 2·x3 ≤ -12

Для каждого ограничения с неравенством добавляем дополнительные переменные x4..x6.
Перепишем ограничения в каноническом виде:
– 4·x1 – 3·x2 – 2·x3 + x4 = -33
– 3·x1 – 2·x2 – x3 + x5 = -23
– x1 – x2 – 2·x3 + x6 = -12

Ищем начальное базисное решение:
Ограничение 1 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x4
Ограничение 2 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x5
Ограничение 3 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x6

Начальная симплекс-таблица

C2020100000
базисx1x2x3x4x5x6b
x4-4-3-2100-33
x5-3-2-1010-23
x6-1-1-2001-12

В столбце b присутствуют отрицательные значения.
Максимальное по модулю |b|max = |-33| находится в первой строке.
Максимальный по модулю элемент в первой строке = -4 находится в первом столбце.
В качестве базисной переменной x4 берём x1.
Делим первую строку на -4. Из второй и третьей строк вычитаем первую, умноженную на соответствующий элемент в первом столбце.

Обновлённая таблица:

C2020100000
базисx1x2x3x4x5x6b
x1100
x5010
x6001

В столбце b присутствуют отрицательные значения.
Максимальное по модулю |b|max = |- | находится в третьей строке.
Максимальный по модулю элемент в третьей строке = – находится в третьем столбце.
В качестве базисной переменной x6 берём x3.
Делим третью строку на – . Из первой и второй строк вычитаем третью, умноженную на соответствующий элемент в третьем столбце.

Обновлённая таблица:

C2020100000
базисx1x2x3x4x5x6b
x11007
x5001
x3010

Расчёт дельт

Дельты — это параметры, на основании которых проверяется оптимальность текущего решения и улучшается функция. Они рассчитываются для каждой из переменных ограничений и записываются последней строкой таблицы.

Для расчёта дельт используется следующая формула: Δi = ce1·a1i + ce2·a2i + … + cem·ami – ci. Проще говоря, чтобы вычислить дельту по заданной i-ой переменной, нужно перемножить коэффициенты условий в i-ом столбце на коэффициенты целевой функции при соответствующих базисных переменных, сложить эти произведения и вычесть из полученной суммы коэффициент целевой функции столбца i.

Пример 5


Таблица:
C30200-60
базисx1x2x3x4x5x6b
x221-300618
x4-30210-224
x5001

Вычисляем дельты: Δi = C2·a1i + C4·a2i + C5·a3i – Ci
Симплекс-таблица с дельтами
C30200-60
базисx1x2x3x4x5x6b
x221-300618
x4-30210-224
x5001
Δ-30-20060

Проверка плана на оптимальность

После того как дельты рассчитаны, необходимо проверить оптимальность текущего плана. Критерий оптимальности формулируется следующим образом:
При максимизации функции: текущее решение считается оптимальным, если в таблице отсутствуют отрицательные дельты.
При минимизации функции: текущее решение считается оптимальным, если в таблице отсутствуют положительные дельты.

Пример 6


9·x1 + 5·x2 + 4·x3 + 3·x4 + 2·x5 → max
x1 – 2·x2 + 2·x3 ≤ 6
x1 + 2·x2 + x3 + x4 = 24
2·x1 + x2 – 4·x3 + x5 = 30
Симплекс-таблица с дельтами
C9543200
базисx1x2x3x4x5x6b
x61-220016
x412110024
x521-401030
Δ-23-9000132

Критерий оптимальности: план оптимален, если в таблице отсутствуют отрицательные дельты.
План не оптимален, так как ищется максимум функции, а Δ1 = -2 отрицательна.

Если текущий план оптимален, то алгоритм завершает свою работу. Значениям переменных соответствуют значения столбца свободных коэффициентов b. Если свободной переменной нет в базисе, то её значение считается нулевым. Значение целевой функции, принимаемой на данном наборе, находится в строке с дельтами в том же столбце. Если какое-либо из значений столбца b отрицательно, то решения задачи не существует.

Переход к более оптимальному решению

Если текущий план оказался не оптимальным, то алгоритм ищет столбец с наименьшей (с наибольшей, если ищется минимум) дельтой. После чего вычисляются симплекс-отношения Q. Для этого значения свободных коэффициентов делятся на ненулевые коэффициенты из найденного столбца. Если результат деления получается отрицательным, то такие отношение игнорируются.

Среди найденных симплекс-отношений ищется строка, в которой находится симплекс-отношение с наименьшим значением. Если таких отношений нет, то алгоритм останавливает свою работу, так как целевая функция не ограничена и решения не существует.

Пример 7


Симплекс-таблица с дельтами
C21-20000
базисx1x2x3x4x5x6b
x11-50-30-125
x50-160-71-357
x30-61-20-117
Δ010-20016

Проверяем план на оптимальность: план не оптимален, так как ищется минимум функции, а Δ2 = 1 положительна.
Определяем разрешающий столбец – столбец, в котором находится максимальная дельта: 2, Δ2: 1
Находим симплекс-отношения Q, путём деления коэффициентов b на соответствующие значения второго столбца
C21-20000
базисx1x2x3x4x5x6bQ
x11-50-30-125
x50-160-71-357
x30-61-20-117
Δ010-20016

Все значения второго столбца отрицательны. Функция не ограничена. Оптимальное решение отсутствует.

В противном случае строка с наименьшим отношением считается разрешающей и, аналогично избавлению от отрицательных свободных коэффициентов, делится на разрешающий элемент, расположенный в найденных столбце и строке, и из остальных строк вычитается найденная строка, разделённая на значения, стоящие в этом же столбце соответствующей строки. Переменная, стоящая в разрешающем столбце заменяет базисную переменную, находящуюся в найденной строке.

После этого вычисляются новые дельты и проверяется новый план. Так продолжается до тех пор пока не будет выполнен критерий оптимальности плана или не будет установлено, что решение не существует.

Пример 8


Симплекс-таблица с дельтами
C9543200
базисx1x2x3x4x5x6b
x61-220016
x412110024
x521-401030
Δ-23-9000132

Проверяем план на оптимальность: план не оптимален, так как Δ1 = -2 отрицательна.

Итерация 1

Определяем разрешающий столбец – столбец, в котором находится минимальная дельта: 3, Δ3: -9
Находим симплекс-отношения Q, путём деления коэффициентов b на соответствующие значения третьего столбца
В найденном столбце ищем строку с наименьшим значением Q: Qmin = 3, строка 1.
На пересечении найденных строки и столбца находится разрешающий элемент: 2
В качестве базисной переменной x6 берём x3.
C9543200
базисx1x2x3x4x5x6bQ
x31-2200166 / 2 = 3
x41211002424 / 1 = 24
x521-401030
Δ-23-9000132

Делим первую строку на 2. Из второй и третьей строк вычитаем первую, умноженную на соответствующий элемент в третьем столбце.
Вычисляем новые дельты: Δi = C3·a1i + C4·a2i + C5·a3i – Ci
C9543200
базисx1x2x3x4x5x6bQ
x3-110033
x430102124
x54-3001242
Δ-6000159

Текущий план X: [ 0, 0, 3, 21, 42, 0 ]
Целевая функция F: 9·0 + 5·0 + 4·3 + 3·21 + 2·42 + 0·0 = 159
Проверяем план на оптимальность: план не оптимален, так как Δ2 = -6 отрицательна.

Итерация 2

Определяем разрешающий столбец – столбец, в котором находится минимальная дельта: 2, Δ2: -6
Находим симплекс-отношения Q, путём деления коэффициентов b на соответствующие значения второго столбца
В найденном столбце ищем строку с наименьшим значением Q: Qmin = 7, строка 2.
На пересечении найденных строки и столбца находится разрешающий элемент: 3
В качестве базисной переменной x4 берём x2.
C9543200
базисx1x2x3x4x5x6bQ
x3-11003
x230102121 / 3 = 7
x54-3001242
Δ-6000159

Делим вторую строку на 3. Из первой и третьей строк вычитаем вторую, умноженную на соответствующий элемент во втором столбце.
Вычисляем новые дельты: Δi = C3·a1i + C2·a2i + C5·a3i – Ci
C9543200
базисx1x2x3x4x5x6bQ
x301010
x210077
x5001163
Δ0020201

Текущий план X: [ 0, 7, 10, 0, 63, 0 ]
Целевая функция F: 9·0 + 5·7 + 4·10 + 3·0 + 2·63 + 0·0 = 201
Проверяем план на оптимальность: отрицательные дельты отсутствуют, следовательно план оптимален.
Ответ: x1 = 0, x2 = 7, x3 = 10, x4 = 0, x5 = 63, F = 201

Метод искусственного базиса

Очень часто при решении задачи линейной оптимизации бывает довольно сложно выполнять алгебраические преобразования над коэффициентами ограничений для поиска начального базиса. Для упрощения вычислений существует альтернативный метод решения, называемый методом искусственного базиса. Его суть заключается в том, что вместо того, чтобы искать базис среди имеющихся основных и дополнительных переменных, ввести так называемые искусственные переменные, которые сформируют начальный базис. Возможно, звучит сложно и непонятно, но сейчас мы всё объясним.

Подготовительный этап

Аналогично базовому симплекс-методу для всех ограничений с неравентством вводятся дополнительные переменные, причём для ограничений с ≥ они берутся с коэффициентом -1, а для ограничений с ≤ с коэффициентом 1. Ограничения с равенством остаются без изменений. Если свободный коэффициент какого-либо из ограничений меньше нуля, то такое ограничение умножается на -1 (знак неравенства при этом меняется на противоположный). После этого приступают к поиску базиса.

Пример 9


3·x1 + 2·x2 + 3·x3 → min
-2·x1 – x2 – x3 ≥ -2
3·x1 + 8·x2 + 2·x3 ≥ 8
2·x1 + x3 = 1
Меняем знаки у ограничений с отрицательными свободными коэффициентами, путём умножения на -1:
2·x1 + x2 + x3 ≤ 2
3·x1 + 8·x2 + 2·x3 ≥ 8
2·x1 + x3 = 1

Для каждого ограничения с неравенством добавляем дополнительные переменные x4 и x5.
Ограничение 1 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x4
Ограничение 2 содержит неравенство с ≥. Базисная переменная для этого ограничения будет определена позднее.
Ограничение 3 содержит равенство. Базисная переменная для этого ограничения будет определена позднее.

Начальная симплекс-таблица

C323000
базисx1x2x3x4x5b
x4211102
?13820-18
?2201001


Формирование начального базиса

Для того, чтобы сформировать начальный базис в первую очередь можно поискать столбец, у которого одно значение равно единице, а все значения остальные значения равны нулю, и сделать соответствующую переменную базисной для этой строки. Однако такое случается довольно редко, поэтому проще сразу перейти к следующему пункту. Для всех ограничений, не имеющих базисной переменной, добавляем искусственную переменную с коэффициентом 1. В целевую функцию добавляем эту же переменную с коэффициентов -M, если ищется максимум или с коэффициентом M, если ищется минимум. M всего лишь является очень большим числом.

Пример 10


x1 – x2 → min
2·x1 + x2 = 1
x1 – 3·x2 + x3 = 3
x1 + 11·x2 = 11
Ограничение 1 содержит равенство. Базисная переменная для этого ограничения будет определена позднее.
Столбец 3 является частью единичной матрицы. Переменная x3 входит в начальный базис
Ограничение 3 содержит равенство. Базисная переменная для этого ограничения будет определена позднее.

Начальная симплекс-таблица

C1-100
базисx1x2x3b
?12101
x31-313
?3111011

Для ограничения 1 добавляем искусственную переменную u1 и делаем её базисной.
Для ограничения 3 добавляем искусственную переменную u2 и делаем её базисной.
В целевую функцию добавляем искусственные пременные с коэффициентом M, где M — очень большое число.

Таблица с искусственными переменными

C1-10MM0
базисx1x2x3u1u2b
u1210101
x31-31003
u211100111

Перепишем условие задачи с учётом добавленных искусственных переменных:
F = 1x1 -1x2 + Mu1 + Mu2 → min
2·x1 + x2 + u1 = 1
x1 – 3·x2 + x3 = 3
x1 + 11·x2 + u2 = 11

Расчёт дельт и проверка плана на оптимальность

После того, как начальный базис сформирован необходимо вычислить дельты. Дельты вычисляются полностью аналогично базовому методу: Δi = ce1·a1i + ce2·a2i + … + cem·ami – ci. Единственным отличием будет тот факт, что результат может содержать значения с M. Когда дельты будут получены необходимо проверить текущий опорный план на оптимальность (см. проверку плана на оптимальность в базовом симплекс-методе). Если план оптимален, то алгоритм завершает свою работу, иначе формирует более оптимальное решение и повторяет процесс.

Пример 11


Таблица с искусственными переменными
C323000MM0
базисx1x2x3x4x5x6u1u2b
x4211100002
u13020-10103
u200100-1011

Вычисляем дельты: Δi = C4·a1i + C7·a2i + C8·a3i – Ci

Δ1 = C4·a11 + C7·a21 + C8·a31 – C1 = 0·2 + M·3 + M·0 – 3 = -3 + 3M
Δ2 = C4·a12 + C7·a22 + C8·a32 – C2 = 0·1 + M·0 + M·0 – 2 = -2
Δ3 = C4·a13 + C7·a23 + C8·a33 – C3 = 0·1 + M·2 + M·1 – 3 = -3 + 3M
Δ4 = C4·a14 + C7·a24 + C8·a34 – C4 = 0·1 + M·0 + M·0 – 0 = 0
Δ5 = C4·a15 + C7·a25 + C8·a35 – C5 = 0·0 + M·(-1) + M·0 – 0 = -M
Δ6 = C4·a16 + C7·a26 + C8·a36 – C6 = 0·0 + M·0 + M·(-1) – 0 = -M
Δ7 = C4·a17 + C7·a27 + C8·a37 – C7 = 0·0 + M·1 + M·0 – M = 0
Δ8 = C4·a18 + C7·a28 + C8·a38 – C8 = 0·0 + M·0 + M·1 – M = 0
Δb = C4·b1 + C7·b2 + C8·b3 – C9 = 0·2 + M·3 + M·1 – 0 = 4M

Симплекс-таблица с дельтами
C323000MM0
базисx1x2x3x4x5x6u1u2b
x4211100002
u13020-10103
u200100-1011
Δ-3 + 3M-2-3 + 3M0-M-M004M

Текущий план X: [ 0, 0, 0, 2, 0, 0, 3, 1 ]
Целевая функция F: 3·0 + 2·0 + 3·0 + 0·2 + 0·0 + 0·0 + M·3 + M·1 = 4M
Проверяем план на оптимальность: план не оптимален, так как Δ1 = -3 + 3M положительна.

задачи линейного программирования решение онлайн

Вы искали задачи линейного программирования решение онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и калькулятор онлайн симплексный метод, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «задачи линейного программирования решение онлайн».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как задачи линейного программирования решение онлайн,калькулятор онлайн симплексный метод,калькулятор симплекс,калькулятор симплекс метод,калькулятор симплекс метода онлайн,метод искусственного базиса калькулятор онлайн,метод искусственного базиса онлайн калькулятор,метод оптимальных решений онлайн калькулятор,методы оптимальных решений калькулятор онлайн,методы оптимальных решений онлайн калькулятор,онлайн калькулятор метод искусственного базиса,онлайн калькулятор методы оптимальных решений,онлайн калькулятор симплекс метод,онлайн калькулятор симплекс метод с подробным решением,онлайн калькулятор симплекс метода,онлайн калькулятор симплексный метод,онлайн решение задач линейного программирования,онлайн решение задачи линейного программирования,онлайн решение симплекс метод,онлайн решение симплекс методом,решение задач линейного программирования онлайн,решение задач линейного программирования симплекс методом онлайн,решение задач симплекс методом онлайн,решение задач симплекс методом онлайн с решением,решение задачи линейного программирования онлайн,решение задачи линейного программирования симплекс методом онлайн,решение задачи симплекс методом онлайн,решение злп симплекс методом онлайн,решение онлайн симплекс методом,решение симплекс метод онлайн,решение симплекс методом,решение симплекс методом онлайн,решения задачи табличным симплексным методом онлайн,решить задачу линейного программирования онлайн,решить задачу линейного программирования симплекс методом онлайн,решить задачу симплекс методом онлайн,решить онлайн задачу линейного программирования,решить онлайн симплекс методом,решить симплекс методом задачу,решить симплекс методом задачу линейного программирования онлайн,решить симплекс методом онлайн,симплекс калькулятор,симплекс калькулятор онлайн,симплекс метод калькулятор,симплекс метод калькулятор онлайн,симплекс метод онлайн,симплекс метод онлайн калькулятор,симплекс метод онлайн калькулятор с подробным решением,симплекс метод онлайн решение,симплекс метод онлайн с параметром,симплекс метод онлайн с подробным решением,симплекс метод онлайн с подробным решением онлайн,симплекс метод решение онлайн,симплекс метод с параметром онлайн,симплекс онлайн,симплекс онлайн калькулятор,симплекс таблица онлайн,симплексный метод калькулятор онлайн,симплексный метод онлайн,симплексный метод онлайн калькулятор. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и задачи линейного программирования решение онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, калькулятор симплекс).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же задачи линейного программирования решение онлайн Онлайн?

Решить задачу задачи линейного программирования решение онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Графический метод – линейное программирование

Описание метода

Если в задаче линейного программирования имеется только две переменные, то ее можно решить графическим методом.

Рассмотрим задачу линейного программирования с двумя переменными и :
(1.1)   ;
(1.2)  
Здесь , есть произвольные числа. Задача может быть как на нахождение максимума (max), так и на нахождение минимума (min). В системе ограничений могут присутствовать как знаки , так и знаки .

Построение области допустимых решений

Графический метод решения задачи (1) следующий.
Вначале мы проводим оси координат и и выбираем масштаб. Каждое из неравенств системы ограничений (1.2) определяет полуплоскость, ограниченную соответствующей прямой.

Так, первое неравенство
(1.2.1)  
определяет полуплоскость, ограниченную прямой . С одной стороны от этой прямой , а с другой стороны . На самой прямой . Чтобы узнать, с какой стороны выполняется неравенство (1.2.1), мы выбираем произвольную точку, не лежащую на прямой. Далее подставляем координаты этой точки в (1.2.1). Если неравенство выполняется, то полуплоскость содержит выбранную точку. Если неравенство не выполняется, то полуплоскость расположена с другой стороны (не содержит выбранную точку). Заштриховываем полуплоскость, для которой выполняется неравенство (1.2.1).

Тоже самое выполняем для остальных неравенств системы (1.2). Так мы получим заштрихованных полуплоскостей. Точки области допустимых решений удовлетворяют всем неравенствам (1.2). Поэтому, графически, область допустимых решений (ОДР) является пересечением всех построенных полуплоскостей. Заштриховываем ОДР. Она представляет собой выпуклый многоугольник, грани которого принадлежат построенным прямым. Также ОДР может быть неограниченной выпуклой фигурой, отрезком, лучом или прямой.

Может возникнуть и такой случай, что полуплоскости не содержат общих точек. Тогда областью допустимых решений является пустое множество. Такая задача решений не имеет.

Можно упростить метод. Можно не заштриховывать каждую полуплоскость, а вначале построить все прямые
(2)  
Далее выбрать произвольную точку, не принадлежащую ни одной из этих прямых. Подставить координаты этой точки в систему неравенств (1.2). Если все неравенства выполняются, то область допустимых решений ограничена построенными прямыми и включает в себя выбранную точку. Заштриховываем область допустимых решений по границам прямых так, чтобы оно включало в себя выбранную точку.

Если хотя бы одно неравенство не выполняется, то выбираем другую точку. И так далее, пока не будет найдены одна точка, координаты которой удовлетворяют системе (1.2).

Нахождение экстремума целевой функции

Итак, мы имеем заштрихованную область допустимых решений (ОДР). Она ограничена ломаной, состоящей из отрезков и лучей, принадлежащих построенным прямым (2). ОДР всегда является выпуклым множеством. Оно может быть как ограниченным множеством, так и не ограниченным вдоль некоторых направлений.

Теперь мы можем искать экстремум целевой функции
(1.1)   .

Для этого выбираем любое число и строим прямую
(3)   .
Для удобства дальнейшего изложения считаем, что эта прямая проходит через ОДР. На этой прямой целевая функция постоянна и равна . такая прямая называется линией уровня функции . Эта прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. На одной полуплоскости
.
На другой полуплоскости
.
То есть с одной стороны от прямой (3) целевая функция возрастает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3), тем больше будет значение . С другой стороны от прямой (3) целевая функция убывает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3) в другую сторону, тем меньше будет значение . Если мы проведем прямую, параллельную прямой (3), то новая прямая также будет линией уровня целевой функции, но с другим значением .

Таким образом, чтобы найти максимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3), максимально удаленную от нее в сторону возрастания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР. Чтобы найти минимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3) и максимально удаленную от нее в сторону убывания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР.

Если ОДР неограниченна, то может возникнуть случай, когда такую прямую провести нельзя. То есть как бы мы ни удаляли прямую от линии уровня (3) в сторону возрастания (убывания) , то прямая всегда будет проходить через ОДР. В этом случае может быть сколь угодно большим (малым). Поэтому максимального (минимального) значения нет. Задача решений не имеет.

Рассмотрим случай, когда крайняя прямая, параллельная произвольной прямой вида (3), проходит через одну вершину многоугольника ОДР. Из графика определяем координаты этой вершины. Тогда максимальное (минимальное) значение целевой функции определяется по формуле:
.
Решением задачи является
.

Также может встретиться случай, когда прямая параллельна одной из граней ОДР. Тогда прямая проходит через две вершины многоугольника ОДР. Определяем координаты и этих вершин. Для определения максимального (минимального) значения целевой функции, можно использовать координаты любой из этих вершин:
.
Задача имеет бесконечно много решений. Решением является любая точка, расположенная на отрезке между точками и , включая сами точки и .

Пример решения задачи линейного программирования графическим методом

Фирма выпускает платья двух моделей А и В. При этом используется ткань трех видов. На изготовление одного платья модели А требуется 2 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. На изготовление одного платья модели В требуется 3 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. Запасы ткани первого вида составляют 21 м, второго вида – 10 м, третьего вида – 16 м. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 400 ден. ед., одного изделия типа В – 300 ден. ед.

Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход. Задачу решить графическим методом.

Решение

Пусть переменные и означают количество произведенных платьев моделей А и В, соответственно. Тогда количество израсходованной ткани первого вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани второго вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани третьего вида составит:
(м)
Поскольку произведенное количество платьев не может быть отрицательным, то
  и   .
Доход от произведенных платьев составит:
(ден. ед.)

Тогда экономико-математическая модель задачи имеет вид:


Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (10,5; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 10) и (10; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (8; 0).

Прямые и являются осями координат.

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми и осями координат. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область, чтобы точка (2; 2) попала в заштрихованную часть. Получаем четырехугольник OABC.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
(П1.1)   .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 4) и (3; 0).

Далее замечаем, что поскольку коэффициенты при и целевой функции положительны (400 и 300), то она возрастает при увеличении и . Проводим прямую, параллельную прямой (П1.1), максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку четырехугольника OABC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

.
То есть, для получения наибольшего дохода, необходимо изготовить 8 платьев модели А. Доход при этом составит 3200 ден. ед.

Пример 2

Решить задачу линейного программирования графическим методом.

Решение

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 6) и (6; 0).

Строим прямую .
Отсюда .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (7; 2).

Строим прямую .
Строим прямую   (ось абсцисс).

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область по границам построенных прямых, чтобы точка (4; 1) попала в заштрихованную часть. Получаем треугольник ABC.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
.
При .
При .
Проводим прямую линию уровня через точки (0; 6) и (4; 0).
Поскольку целевая функция увеличивается при увеличении и , то проводим прямую, параллельную линии уровня и максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку треугольника АВC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

.

Пример отсутствия решения

Решить графически задачу линейного программирования. Найти максимальное и минимальное значение целевой функции.

Решение

Решаем задачу графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (2,667; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 3) и (6; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (6; 3).

Прямые и являются осями координат.

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми и осями координат. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область, чтобы точка (3; 3) попала в заштрихованную часть. Получаем неограниченную область, ограниченную ломаной ABCDE.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
(П3.1)   .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (7; 0).
Поскольку коэффициенты при и положительны, то возрастает при увеличении и .

Чтобы найти максимум, нужно провести параллельную прямую, максимально удаленную в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Однако, поскольку область неограниченна со стороны больших значений и , то такую прямую провести нельзя. Какую бы прямую мы не провели, всегда найдутся точки области, более удаленные в сторону увеличения и . Поэтому максимума не существует. можно сделать сколь угодно большой.

Ищем минимум. Проводим прямую, параллельную прямой (П3.1) и максимально удаленную от нее в сторону убывания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.
Минимальное значение целевой функции:

Ответ

Максимального значения не существует.
Минимальное значение
.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

Онлайн-калькулятор неопределенности измерений — Profilab.

by

Расчет составляющей неопределенности измерений из-за построения градуировочного графика

Многие испытательные лаборатории при реализации различных методик выполнения измерений проводят калибровку (градуировку) оборудования (хроматографов, спектрофотометров) для выражения результатов измерений в установленных единицах измерений и обеспечения прослеживаемости своих измерений.

Калибровка (градуировка) связывает сигнал (отклик) используемого оборудования (например, оптическая плотность) с интересующей специалиста величиной (например, концентрация элемента в растворе).

Наиболее часто используется простая линейная зависимость отклика оборудования от интересующей специалиста величины и применяется регрессионный анализ и метод наименьших квадратов для построения этой зависимости.

ВНИМАНИЕ!

Для удобства использования онлайн-калькулятора ознакомьтесь с видео инструкцией: