Решение матриц ℹ️ методы решений и примеров для чайников, формулы
Понятие выражения
Определение гласит, что матрица — это прямоугольная таблица с заключёнными в ней числами. Её название обозначается латинскими прописными буквами (А, В). Таблицы бывают разной размерности — прямоугольной, квадратной, а также в виде строк и столбцов.
От количества строк и столбцов будет зависеть величина таблицы. Матрица размера m*n означает, что в таблице содержится m строк и n столбцов. Допустим, первая строка включает элементы а11, а12, а13, вторая — а21, а22, а23. Тогда элементы, где i = j (а11, а22) образовывают диагональ и называются диагональными.
Различают комплексные матрицы, у которых хотя бы один элемент равен комплексному числу, и действительные, когда все её элементы являются действительными числами. В математике комплексные числа представлены в виде a+b*i, где:
- a — действительная часть числа;
- b — мнимая часть;
- i — мнимая единица (квадратный корень из -1).
На приведенном примере показаны варианты.
Простейшие действия с матрицами могут быть разными. К их числу относятся:
- умножение;
- вычитание;
- умножение на число;
- перемножение между собой;
- транспортирование матриц.
Сложение и вычитание
Действия по сложению возможны только тогда, когда матрицы одинакового порядка равны между собой. В итоге получится новое матричное выражение такой же размерности. Сложение и вычитание выполняются по общей схеме — над соответствующими элементами таблиц проводят необходимые операции. Например, нужно сложить две матрицы А и В размерности 2*2.
Каждый элемент первой строки складывается по порядку с показателями верхней строчки второй матрицы. По аналогии производится вычитание, только вместо плюса ставится минус.
Умножение на число
Любую таблицу чисел можно умножить на число. Тогда каждый её элемент перемножается с этим показателем. К примеру, умножим матричное выражение на 2:
Операция перемножения
Матрицы подлежат перемножению одна на другую, когда количество столбцов первой таблицы равно числу строк второй. Каждый элемент Aij будет равняться сумме произведений элементов i-строки первой таблицы, перемноженных на числа в j-столбце второй. Способ произведения наглядно представлен на примере.
Возведение в степень
Формулу возведения в степень применяют только для квадратных матричных выражений. При этом степень должна быть натуральной. Формула возведения следующая:
Иначе, чтобы выполнить операцию возведения таблицы чисел в степень n, требуется умножить её на себя саму n раз. Для операции возведения в степень удобно применять свойство в соответствии с формулой:
Решение представлено на примере.
2 этап: сначала возводят в степень n =2. Согласно формуле перемножают таблицу чисел саму на себя n = 2 раз.
3 этап: в итоге получаем:
Расчёт определителя
В линейной алгебре существует понятие определителя или детерминанта. Это число, которое ставят в соответствие каждой квадратной матрице, вычисленное из её элементов по специальной формуле. Определитель или модуль используется для решения большинства задач. Детерминант самой простой матрицы определяется с помощью вычитания перемноженных элементов из побочной диагонали и главной.
Определителем матрицы А n-энного порядка называется число, которое получают из алгебраической суммы n! слагаемых, попадающих под определённые критерии. Эти слагаемые являются произведением n-элементов, взятых единично из всех столбов и строк.
Произведения могут отличаться друг от друга составом элементов.
Со знаком плюс будут включаться в сумму числа, если их индексы составляют чётную подстановку, в противоположном случае их значение меняется на минус. Определитель обозначается символом det A. Круглые скобки матричной таблицы, обрамляющие её элементы, заменяются на квадратные. Формула определителя:
Определитель первого порядка, состоящий из одного элемента, равен самому этому элементу. Детерминант матричной таблицы размером 2*2 второго порядка вычисляется путём перемножения её элементов, расположенных на главной диагонали, и вычитания из них произведения элементов, находящихся в побочной диагонали. Наглядный пример:
Для матрицы также можно найти дискриминант многочлена, отвечающий формуле:
Когда у многочлена имеются кратные корни, тогда дискриминант равен нулю.
Обратная матрица
Прежде чем переходить к понятию обратного выражения матрицы, следует рассмотреть алгоритм её транспонирования. Во время операции строки и столбцы переставляются местами.
На рисунке представлен метод решения:
По аналогии обратная матрица сходна с обратными числами. Например, противоположной цифре 5 будет дробь 1/5 = 5 (-1) степени. Произведение этих чисел равно 1, выглядит оно так: 5*5 (-1) = 1. Умножение обычной матричной таблицы на обратную даст в итоге единичную: А* А (-1) = Е. Это аналог числовой единицы.
Но для начала нужно понять алгоритм вычисления обратной матрицы. Для этого находят её определитель. Разработано два метода решения: с помощью элементарных преобразований или алгебраических дополнений.
Более простой способ решения — путём алгебраических дополнений. Рассмотрим матричную таблицу А, обратная ей А (-1) степени находится по формуле:
Матрица обратного вида возможна только для квадратного размера таблиц 2*2, 3*3 и т. д. Обозначается она надстроенным индексом (-1). Задачу легче рассмотреть на более простом примере, когда размер таблицы равен 2*2. На первом этапе выполняют действия:
Обратного выражения матрицы не может быть, если определитель равен нулю.
2 этап: рассчитывают матрицу миноров, которая имеет те же значения, что и первоначальная. Под минором k-того порядка понимается определитель квадратной матрицы порядка k*k, составленный из её элементов, которые располагаются в выбранных k- столбцах и k-строках.
При этом расположение элементов таблицы не меняется. Чтобы найти минор верхнего левого числа, вычёркивают строчку и столбец, в которых прописан этот элемент. Оставшееся число и будет являться минором. На выходе должна получиться таблица:
3 этап: находят алгебраические дополнения.
Итогом будет:
Проверка решения: чтобы удостовериться, что обратная таблица чисел найдена верно, следует выполнить проверочную операцию.
В рассматриваемом примере получается единичная матрица, когда на главной диагонали находятся единицы, при этом другие элементы равняются нулю.
Это говорит о том, что решение было найдено правильно.Нахождение собственных векторов
Определение собственного вектора и значений матричного выражения легче понять на примере. Для этого задают матричную таблицу чисел и ненулевой вектор Х, называемый собственным для А. Пример выражения:
Согласно теореме собственными числами матричного выражения будут корни характеристического уравнения:
Из однородной системы уравнений можно определить координаты собственного вектора Х, который соответствует значению лямбда.
Метод Гаусса
Методом Гаусса называют способ преобразования системы уравнений линейного вида к упрощённой форме для дальнейшего облегчённого решения. Операции упрощения уравнений выполняют с помощью эквивалентных преобразований. К таким относят:
- действия, когда в системе переставляются местами два уравнения;
- произведение одного из уравнений в системе на действительное ненулевое число;
- сложение первого уравнения со вторым, при этом последнее умножено на произвольное число.
Чтобы понять механизм решения, следует рассмотреть линейную систему уравнений.
Следует переписать эту систему в матричный вид:
А будет являться таблицей коэффициентов системы, b — это правая часть ограничений, а Х — вектор переменных координат, который требуется найти. Для решения используют ранг матрицы. Под ним понимают наивысший порядок минора, который отличается от 0.
В этом примере rang (A) = p. Способ эквивалентных преобразований не изменяет ранг таблицы коэффициентов.
Метод Гаусса предназначен для приведения матричной таблицы коэффициентов А к ступенчатому или диагональному виду. Расширенная система выглядит так:
Допустим, а11 не равен 0. В противном случае, если это не так, то меняют эту строку с другой, где в первом столбце находится элемент, отличный от нуля. Когда подобные строчки отсутствуют, переходят к другому столбцу. Все нижние элементы столбца после а11 обнуляют. Для этих целей выполняют операции сложения строк 2,3.
..m с первой строчкой, умноженной на а21/а11, -а31/а11….- аm1/a11. В результате система примет вид:
На втором шаге повторяют все действия с элементами столбца 2, которые расположены ниже а22. Если показатель равен нулю, строку также меняют местами со строчкой, лежащей ниже с ненулевым элементом во втором столбце. Затем обнулению подлежат все показатели ниже а22. Для этого складывают строки 2,3 ..m, как описано выше. Выполняя процедуру со всеми элементами, приходят к матричной таблице ступенчатого или диагонального вида. Полученная расширенная таблица будет выглядеть:
Обращают внимание на последние строки.
В этом случае система уравнений имеет решение, но когда хотя бы одно из этих чисел отличается от нуля, она несовместима. Таким образом, система совместима, если ранг таблицы А равен расширенному рангу В (А|b).
Если rang А=rang (A|b), то существует множество решений, где n-p — многообразие. Из этого следует n-p неизвестных Хр+1,…Xn выбираются произвольно. Неизвестные X1, X2,.
..Xp вычисляют следующим образом: из последнего уравнения выражают Хр через остальные переменные, вставляя в предыдущие выражения. Затем из предпоследнего уравнения получают Хр-1 через прочие переменные и подставляют их в предыдущие выражения. Процедуру повторяют.
Найти быстро ответ и проверить себя позволяет онлайн-калькулятор. Решение матрицы методом Гаусса с помощью такого расчёта показывает подробные этапы операций. Для нахождения достаточно указать количество переменных и уравнений, отметить в полях значения чисел и нажать кнопку «Вычислить».
Способ Крамера
Метод Крамера используют для решения квадратной системы уравнений, представленной в линейном виде, где определитель основной матрицы не равен нулю. Считается, что система обладает единственным решением. Например, задана система линейных уравнений:
Её необходимо заменить равноценным матричным уравнением.
Второй столбец вычисляют, а первый уже задан. Есть предположение, что определитель матрицы отличен от нуля. Из этого можно сделать выводы, что существует обратная матрица. Перемножив эквивалентное матричное уравнение на обратного формата матрицу, получим выражение:
В итоге получают выражения:
Из представленных уравнений выделяют формулы Крамера:
Метод Крамера не представляет сложности. Он может быть описан следующим алгоритмом:
- Высчитывают определитель дельта базовой матрицы.
- В матричной таблице А замещают первый столбец на вектор свободных элементов b.
- Выполняют расчёт определителя дельта1 выявленной матрицы А1.
- Определяют переменную Х1 = дельта1/дельта.
- Повторяют шаги со 2 по 4 пункт в матрице А для столбов 2,3…n.
Проверить решение матрицы методом Крамера онлайн позволяет калькулятор автоматического расчёта. Для получения быстрого ответа в представленные поля подставляют переменные числа и их количество.