Применение эквивалентных функций при решении пределов
Метод решения
Применение эквивалентных функций позволяет упростить вычисление пределов. Если нам нужно вычислить предел дроби, то мы можем заменить множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями и вычислять предел от более простого выражения. Подчеркнем, что речь идет именно о множителях в дробях и произведениях. Замена эквивалентными функциями в других выражениях, например в суммах, может привести к неправильному результату. Однако, ошибки не будет, если выразить любую функцию в виде суммы эквивалентной ей функции и о малого (см. пример ⇓).
Все связанные с этим определения и теоремы приводятся на странице «О большое и о малое. Сравнение функций». Напомним некоторые из них.
Применяемые определения и теоремы
Определение эквивалентных функций
Функции f и g называются эквивалентными (асимптотически равными) при :
при ,
если на некоторой проколотой окрестности точки ,
при , причем
.
Если при , то ;
если , то .
При этом функцию называют главной частью при . См. теорему о связи эквивалентных функций с о малым
Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного
Если, при , и и существует предел
, то существует и предел
.
Доказательство
Отметим часто применяемое следствие этой теоремы. Пусть мы имеем частное, составленное из конечного произведения функций: . Тогда, при вычислении предела, эти функции можно заменить на эквивалентные:
,
где . Знак равенства означает, что если существует один из этих пределов, то существует и равный ему второй. Если не существует один из пределов, то не существует и второй.
Таблица эквивалентных функций
Далее приводится таблица функций, эквивалентных при . Здесь t может быть как переменной, так и бесконечно малой функцией при : ; .
| Эквивалентность при | Равенство при |
Предостережение
Как указывалось в самом начале, производить замену функций эквивалентными можно только в множителях дробей и произведений, предел которых мы хотим найти.
В других выражениях, например в суммах, делать такую замену нельзя.
В качестве примера рассмотрим следующий предел:
.
При . Но если заменить в числителе на x, то получим ошибку:
.
Ошибки не будет, если выразить синус через эквивалентную функцию и о малое, :
.
Поскольку и , то мы снова получили неопределенность 0/0. Это указывает на то, что для вычисления этого предела применение эквивалентной функции не достаточно. Нужно применить другой метод.
Можно решить этот пример разложением в ряд Маклорена:
.
Также можно применить правило Лопиталя:
.
Примеры
Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов, упрощая вычисления с помощью эквивалентных функций.
⇓, ⇓, ⇓, ⇓.
Пример 1
Все примеры ⇑ Найти предел:
.
Решение
Из таблицы эквивалентных функций ⇑ имеем:
. Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.
.
Ответ
Пример 2
Все примеры ⇑ Найти предел:
.
Решение
Из таблицы эквивалентных функций ⇑ находим:
.
Преобразуем квадрат логарифма:
.
Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.
.
Ответ
Пример 3
Все примеры ⇑ Вычислить предел.
.
Решение
Здесь мы имеем неопределенность вида один в степени бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0. Для этого воспользуемся тем, что экспонента и натуральный логарифм являются взаимно обратными функциями.
.
Теперь в показателе экспоненты у нас неопределенность вида 0/0.
Вычисляем предел:
.
Поскольку у нас дробь, то заменим некоторые множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями, пользуясь приведенной выше таблицей ⇑.
;
;
.
Поскольку экспонента непрерывна для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
.
Ответ
Пример 4
Все примеры ⇑ Вычислить предел.
.
Решение
При . Выясним, к чему стремится . Поскольку здесь дробь, то заменим логарифм эквивалентной функцией: . Тогда
. Таким образом, мы имеем неопределенность вида ∞–∞.
Преобразуем ее к неопределенности вида 0/0. Для этого приводим дроби к общему знаменателю.
.
Здесь мы также воспользовались формулой . После преобразований, наш предел принимает следующий вид:
.
В знаменателе мы сразу можем заменить натуральный логарифм эквивалентной функцией, как это сделали выше:
.
В числителе имеется произведение двух множителей, каждый из которых тоже можно заменить эквивалентной функцией и, таким образом, упростить вычисления. В качестве эквивалентных, попробуем найти степенные функции:
.
Тогда . Считаем, что . Раскрываем неопределенность по правилу Лопиталя.
.
Если положить , то . Тогда
.
Тот же результат можно получить, применяя разложение в ряд Тейлора при :
.
Отсюда .
Найдем эквивалентную функцию для второго множителя, используя разложение в ряд Тейлора при :
.
Отсюда .
Теперь заменим множители эквивалентными функциями:
.
Примечание. Заметим, что делать замену функций на эквивалентные можно, только если функция, от которой ищется предел, является дробью или произведением. Тогда часть множителей в числителе или знаменателе можно заменить эквивалентными функциями. Так, если бы мы с самого начала заменили \ln (1+x) на x, то получили бы ошибку.
Ответ
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.
Новое единое детское пособие с 1 января 2023 года: условия, как оформить
22.02.2023
Группа ВТБ
Время прочтения: 5 минут
С 1 января 2023 года меняются правила выплаты детских пособий. Вместо нескольких видов социальных пособий на детей и беременных женщин вводится единое.
Главный акцент нововведения — всесторонний анализ материального положения получателей. Помощь предоставляется только тем, у кого доходы и имущество не превышают установленные пределы. Кроме того, пособие не положено безработным, не имеющим уважительных причин.
Как и прежде, на помощь могут рассчитывать женщины, которые встали на учет на сроке беременности до 12 недель, и родители детей от 0 до 17 лет включительно. Выплаты продлеваются на время очного обучения до 23 лет.
Таким образом, государственная помощь становится более адресной. Теперь выплаты унифицированы, учитывают потребности конкретной семьи и обеспечивают поддержку в течение всего периода взросления ребенка.
Какие выплаты заменит единое пособие
Информация о том, что в России начнут выплачивать универсальное пособие, появилась еще в середине 2022 года. Затем название изменили на «единое». Выплата заменит 5 видов ранее действовавших социальных мер поддержки:
ежемесячное пособие по беременности, которое получали женщины, вставшие на учет в медицинском учреждении на сроках до 12 недель
ежемесячное пособие на первого ребенка до достижения им 3 лет
ежемесячное пособие на третьего ребенка до достижения им 3 лет (региональная мера поддержки — есть не во всех регионах и предоставляются по разным правилам)
ежемесячное пособие на ребенка от 3 до 7 лет
ежемесячное пособие на ребенка от 8 до 17 лет
Размер единого пособия
Размер нового единого пособия зависит от уровня дохода.
Задача государства — уйти от фиксированных выплат, сделать их адекватными для каждой конкретной семьи.
Размер будет рассчитываться таким образом, чтобы доход каждого члена семьи достигал прожиточного минимума — чем меньше доходы, тем больше пособие.
Рассмотрим расчет пособия на примере семьи, проживающей в Алтайском крае. В 2023 году в регионе действуют 3 типа прожиточных минимума:
на душу населения — 12 794 ₽
на трудоспособного человека — 13 945 ₽
на ребенка — 13 373 ₽
Пособие в цифрах:
беременные женщины получат 50, 75 или 100% от прожиточного минимума трудоспособного человека
родители детей от 0 до 17 лет будут получать те же 50, 75 или 100%, но от детского прожиточного минимума
Чтобы понять, имеет ли право семья получать единое пособие, посчитаем среднедушевой доход. В качестве базы для расчета, согласно законодательству, берутся 12 месяцев, предшествующих месяцу, в котором было подано заявление.
Важно: доходы учитываются до налогообложения, а доходы в иностранной валюте конвертируются по курсу на день получения (поступления).
Допустим, в семье из 4 человек отец зарабатывает 20 тыс. ₽, мама — 18 тыс. ₽, дети не работают.
Итого среднедушевой доход равен (20 000 + 18 000) / 4 = 9 500 ₽.
Таким образом, средний доход в семье меньше, чем прожиточный минимум на душу населения в регионе — 12 794 ₽. Это значит, что семье положено единое пособие.
Согласно нормативам, доход семьи должен составлять не менее 12 794 * 4 = 51 176 ₽. Чтобы достичь этой суммы, семье назначат максимальное пособие 13 373 ₽ (100% детского прожиточного минимума, установленного в Алтайском крае). В результате доход семьи составит 20 000 + 18 000 + 13 373 = 51 373 ₽ — чуть больше необходимого минимума.
Отличия нового пособия от старого
Единое пособие будет выплачиваться с 1 января 2023. Однако те, кто уже получает «детские», и семьи, в которых дети родились до 2023 года, смогут выбирать — оставить все как есть или перейти на новое пособие (если выплата получается больше).
Все назначенные ранее пособия будут действовать до конца срока, на которые были предоставлены. Далее их продлить будет нельзя. Так же как нельзя и одновременно получать деньги по старым и новым правилам. При переходе на единое пособие с 2023 года старые выплаты перестанут начисляться автоматически.
То есть 2023 год будет переходным — будут завершаться выплаты пособий по уходу за детьми до 3 лет без комплексной оценки нуждаемости.
Новый принцип расчета может оказаться как более выгодным, так и полностью лишить выплаты, поэтому переход остается на усмотрение семьи.
Выплата беременным раньше составляла 50% прожиточного минимума, а сейчас есть несколько вариантов: 50, 75 или 100%.
Пособие по уходу за ребенком до 1,5 лет в размере 7 678 ₽ сейчас получают все, в том числе и неработающие родители. По новым правилам безработные и не учащиеся на очном отделении этой выплаты лишатся.
Ежемесячные выплаты на детей в возрасте до 3 лет по-новому будут полагаться на каждого ребенка.
Раньше социальная помощь предоставлялась на первого, а в отдельных регионах — на третьего и последующих детей. Сейчас будут платить и за второго ребенка.По новым правилам получателей станет меньше. До изменений нуждающимися считались семьи со среднедушевым доходом менее двух прожиточных минимумов, а сейчас этот порог снизили до одного.
Раньше социальная помощь предоставлялась на первого, а в отдельных регионах — на третьего и последующих детей. Сейчас будут платить и за второго ребенка.Кого изменения не коснутся, так это родителей с детьми от 3 до 17 лет — здесь правила начисления остались прежними.
Какие доходы учитываются для единого пособия
Перечень доходов, которые имеют значение при оценке материального положения семьи:
заработная плата, доходы предпринимателей и самозанятых
деньги, вырученные от продажи и сдачи в аренду движимого и недвижимого имущества
алименты
пенсии и другие меры социальной поддержки
проценты, начисленные по банковским вклада
выигрыши
доходы, полученные за рубежом
Какие доходы не учитываются для единого пособия
В общий доход семьи не включаются:
налоговые льготы и вычеты
пособия, выплаченные ранее
выплаты из средств материнского капитала
деньги, полученные по социальному контракту
зарплата мобилизованных, а также выплаты за ранение или гибель
другие социальные льготы и компенсации
Кто может получить пособие
Чтобы получить пособие, недостаточно подтвердить низкие доходы.
При оценке имущества учитываются:
Недвижимость. Установленная норма — одна квартира или дом любой площади на семью. Если объектов недвижимости несколько, то считается норматив — на человека может быть не больше 24 м2 площади всех квартир и не больше 40м2 площади домов.
Земельный участок. Жителю города допускается владеть участком земли не больше 0,25 га, а жителю сельской местности — до 1 га.
Количество транспортных средств. Семьи с одним или двумя детьми могут иметь только один автомобиль. Если семья многодетная или с инвалидом, то их может быть два. При оценке нуждаемости учитываются транспортные средства младше 5 лет.
Проценты от банковских вкладов. Если накопления семьи позволяют получать доход больше прожиточного минимума, то социальная помощь не предоставляется.
Это не исчерпывающий список имущества. Полный перечень включает гаражи, нежилые помещения, различные виды транспортных средств, в том числе мотоциклы, самоходную технику и т. д.
Еще одно принципиальное условие для получения поддержки — члены семьи старше 18 лет должны иметь подтвержденный заработок или уважительную причину его отсутствия.
Действует так называемое «правило нулевого дохода». Проще говоря, если у одного из взрослых в семье нет дохода, он не работает и не имеет на это объективных оснований, то материальная поддержка не выплачивается.
Категории получателей, которых принцип «нулевого дохода» также не затронет:
родители, опекуны, являющиеся единственными кормильцами
многодетные
мобилизованные
жители новых территорий РФ
жители Дальнего Востока, Сибири, малочисленные народы Крайнего Севера
Кроме того, законом определен целый ряд причин, которые считаются основанием отсутствия трудовых или иных доходов. К ним относят беременность, уход за человеком с инвалидностью, срочная служба в армии и т. д.
Как получить пособие
За пособием могут обратиться женщины после 12 недель беременности. Они получат деньги за период с момента, как встали на учет в поликлинике, но не раньше 6-недельного срока. Пособие будет выплачиваться до рождения малыша.
После родов важно обратиться за пособием в течение 6 месяцев — в этом случае его выплатят с первого месяца жизни ребенка. Иначе пособие будет назначено с даты обращения.
Кроме того, право на пособие нужно подтвержда ть каждые 12 месяцев, то есть каждый год понадобится новое заявление. Если ранее на портале «Госуслуги» вы подключали счет для социальных выплат, в заявлении можно указать его реквизиты. В одном документе можно указать сведения обо всех детях, на которых положены выплаты.
Обратиться нужно через портал «Госуслуги» или лично в центры обслуживания клиентов Социального фонда или МФЦ. Чаще всего достаточно электронного заявления, так как все необходимые сведения (например, о доходах) Социальный фонд запрашивает по межведомственным каналам.
В редких случаях может возникнуть необходимость личного посещения Социального фонда, чтобы прояснить особенности ситуации, в которой оказалась семья. Например, сейчас нет возможности получать данные о больничных листах.
Для подачи заявления потребуется подтвержденная учетная запись «Госуслуг».
Заявление принимают от:
одного из родителей (в том числе усыновителей, опекунов или попечителей)
беременных женщин, вставших на учет в медицинском учреждении на сроке беременности до 12 недель
Назначают пособие в течение 10 дней после поступления заявления. Иногда требуется больше времени. Это связано с подтверждением сведений, доступа к которым у Социального фонда нет. Тем не менее дольше 30 дней заявление рассматривать не могут.
При положительном ответе первая выплата поступит в течение 5 дней. Затем деньги будут приходить:
на банковскую карту — ежемесячно с 1 по 25 число следующего месяца
на почту — до 25 числа каждого месяца
Получать деньги удобнее на пластиковую карту.
Оформите онлайн Дебетовую карту «Мир» от банка ВТБ. Она выпускается и обслуживается бесплатно, курьер доставит ее в удобное для вас время. Дополнительным преимуществом станет возврат 2% от суммы покупок в самых популярных категориях: супермаркеты, транспорт, рестораны.
Кроме того, при получении пособия на карту ВТБ вам будет доступная бесплатная услуга страхования всех детей в семье от критических заболеваний на период 12 месяцев. Подробнее о всех выгодах получения соцвыплат в ВТБ можно ознакомиться здесь
Таким образом, новое пособие призвано привести многообразные формы социальной поддержки к единой форме и логике, а также сделать их более эффективными. Теперь с помощью одного заявления можно оформить выплаты сразу на всех детей до 17 лет. Родители детей, родившихся до 31 декабря 2022 года, все еще имеют право выбора: сохранить старые выплаты или перейти на новые. А вот за детей, появившихся на свет в 2023 году, будут платить только с учетом имущества семьи и занятости родителей.
Поделиться:
Как получить пособие на карту ВТБ
1
Оформите бесплатную карту ВТБ «Мир»
Закажите бесплатную карту. Это займет не более 5 минут
1
Оформите бесплатную карту ВТБ «Мир»
Закажите бесплатную карту. Это займет не более 5 минут
2
Обновите реквизиты
Поменяйте реквизиты на счет ВТБ на Госуслугах или обратитесь в орган Социального фонда России/ МФЦ или к работодателю
Узнать реквизиты2
Обновите реквизиты
Поменяйте реквизиты на счет ВТБ на Госуслугах или обратитесь в орган Социального фонда России/ МФЦ или к работодателю
3
Получите выплату и другие выгоды
После перевода выплаты на карту ВТБ вам будет доступна бесплатная страховка на ребенка
Программа страхования3
Получите выплату и другие выгоды
После перевода выплаты на карту ВТБ вам будет доступна бесплатная страховка на ребенка
1
Оформите бесплатную карту ВТБ «Мир»
Реквизиты карты укажите в заявлении на выплату
1
Оформите бесплатную карту ВТБ «Мир»
Реквизиты карты укажите в заявлении на выплату
2
Подайте заявление на выплату
Обратитесь с заявлением и документами к работодателю/в отделение CФР/МФЦ или оформите выплату на Госуслугах
2
Подайте заявление на выплату
Обратитесь с заявлением и документами к работодателю/в отделение CФР/МФЦ или оформите выплату на Госуслугах
3
Получите выплату и другие выгоды
После перевода выплаты на карту ВТБ вам будет доступна бесплатная страховка на ребенка
Программа страхования3
Получите выплату и другие выгоды
После перевода выплаты на карту ВТБ вам будет доступна бесплатная страховка на ребенка
Другие полезные статьи
Вклады и счета03.
02.2023
Виды вкладов в банке
Читать далее
Дебетовые карты26.08.2023
Что такое дебетовая карта
Читать далее
Госуслуги27.06.2022
Детские пособия в 2022
Читать далее
Получайте детское пособие в ВТБ
Перейти
App Store: Калькулятор лимита с шагами
Описание
Решатель предельных калькуляторов — это подарок всем, кто изучает математику, и тем, кто преподает математический анализ. Потому что этот калькулятор рассчитывает лимиты и показывает пошаговые результаты.
Этот онлайн-калькулятор пределов позволяет сразу найти предел любой сложной дифференцируемой функции. Вы можете получить подробное решение любой функции, заключенной в определенные границы, используя этот искатель пределов.
Что такое предел?
«Предел говорит нам о поведении конкретной функции вблизи точки, но не точно в этой точке».
Эта операция обеспечивает надежную поддержку при решении различных числовых задач. Воспользуйтесь этим приложением калькулятора пределов, чтобы выполнить ряд математических вычислений в кратчайшие сроки. Этот искатель пределов не только вычисляет границы, но и отображает разложение данной функции в ряд Тейлора.
Правило Лопиталя:
Это специальное правило предлагается для нахождения пределов точно так же, как 0/0 или ∞/∞. Наш калькулятор лимитов сразу же упрощает такие лимиты и предоставляет вам правильный способ выполнения расчетов.
Как найти предел сложных функций с помощью калькулятора пределов?
Поскольку пределы широко используются в математике, вы можете найти границы функции, в которых она сохраняет свою непрерывность. Что вам нужно сделать, так это ввести функцию в наш лимитный калькулятор с шагами, и он быстро определит характер функции. Найдем как!
Запишите функцию в указанное поле
Теперь выберите переменную, для которой вы хотите найти предел
Затем выберите точку, вблизи которой должен быть определен предел.
Из следующего выпадающего списка выберите направление предела, которое может быть как положительным, так и отрицательным.
Нажмите кнопку расчета, и калькулятор пределов предоставит пошаговый шаг решения на экране вашего устройства.
Возможности многопараметрического решателя:
Дружественный интерфейс
100% точные результаты
Пошаговые расчеты
Легко загружаемый PDF-файл всего решения для лучшего понимания проблемы
Простота в использовании
Удобная клавиатура для ввода любой сложной функции без каких-либо препятствий
Итак, используйте это приложение-калькулятор пределов, чтобы получить четкое представление о задачах исчисления, связанных с ограничениями.
”
Версия 1.0.2
— Исправление ошибки
— Добавление дополнительных функций
— Улучшение взаимодействия с пользователем
Разработчик Асад Ахсан указал, что политика конфиденциальности приложения может включать обработку данных, как описано ниже.
Для получения дополнительной информации см. политику конфиденциальности разработчика.
Данные, используемые для отслеживания вас
Следующие данные могут использоваться для отслеживания вас в приложениях и на веб-сайтах, принадлежащих другим компаниям:
Данные, связанные с вами
Следующие данные могут быть собраны и связаны с вашей личностью:
Методы обеспечения конфиденциальности могут различаться, например, в зависимости от используемых вами функций или вашего возраста. Узнать больше
Информация
- Продавец
- Асад Ахсан
- Размер
- 36,2 МБ
- Категория
- Образование
- Возрастной рейтинг
- 4+
- Авторское право
- © 2022 eClixTech.
- Цена
- Бесплатно
- Сайт разработчика
- Тех. поддержка
- политика конфиденциальности
Еще от этого разработчика
Вам также может понравиться
Лучший инструмент для поиска предела функции
| Допустимые функции и символы | Описание | |
|---|---|---|
| квт() | Квадратный корень | |
| лн() | Натуральный логарифм | |
| лог() | Основание логарифма 10 9 | Экспоненты |
| абс() | Абсолютное значение | |
| sin(), cos(), tan(), csc(), sec(), cot() | Основные тригонометрические функции | |
| asin(), acos(), atan(), acsc(), asec(), acot() | Обратные тригонометрические функции | |
| sinh(), cosh(), tanh(), csch(), sech(), coth() | Гиперболические функции | |
| asinh(), acosh(), atanh(), acsch(), asech(), acoth() | Обратные гиперболические функции | |
| число пи | PI-номер (π = 3,14159. |